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Olimpíada Brasileira de Matemática
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2010
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Silmara Sapiense Vespasiano
Editora
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Assistente de produção
Ana Paula Iazzetto
Editor de arte e projeto gráfico
Carlos Augusto Asanuma
Editoração eletrônica
Diagramação
Cláudia da Silva
Nadir Fernandes Racheti
Gerente de pré-impressão
Reginaldo Soares Damasceno
APRESENTAÇÃO
Prezado professor,
Este CD contém provas, gabaritos
e resoluções das Olimpíadas
Brasileiras de Matemática de
2000 a 2009, níveis 1 e 2, 1a. e 2a. fases,
para você preparar avaliações,
simulados ou questões extras.
No propósito de aprimorar cada vez
mais seu trabalho, é que oferecemos
esta ferramenta, na certeza de que ela
lhe será muito útil.
3
XXXI OLIMPÍADA
BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2009
PROVAS
7
Nível 1 (6o. e 7o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
Esta prova também corresponde à prova da
Primeira Fase da Olimpíada Regional nos
Estados de:
AL – BA – ES – GO – MA – RS – RN – SP – SC
8 Esmeralda lançou um dado dez vezes e obteve 57
como soma de todos os pontos obtidos nesses
lançamentos. No mínimo, quantas vezes saíram 6
pontos?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
1
1
5
de um número é , quanto vale
desse
8
5
8
número?
1
1
8
A) B) C) 1
D) E) 2
5
8
5
1 Se
2 Na figura, C é um ponA
to do segmento BD tal
que ACDE é um retângulo e ABCE é um paralelogramo de área
22 cm2. Qual é a área E
de ABDE, em cm2?
A) 28 B) 33
C) 36
Se a 5 240, b 5 320 e c 5 710, então:
A) c , b , a D) b , c , a
B) a , c , b E) c , a , b
C) b , a , c
9 Usando palitos de fósforos, podemos construir um
hexágono regular, formado por seis triângulos equiláteros unitários, como mostra a figura. Juntando
mais palitos a esse hexágono, queremos obter outro
hexágono regular com o quádruplo da área, tam­
bém formado por triângulos equiláteros unitários.
Quantos palitos deverão ser acrescentados?
A) 12
C) 30E) 48
B) 24
D) 36
B
C
D
D) 42 E) 44
3 Numa festa, o número de pessoas que dançam é
igual a 25% do número de pessoas que não dançam. Qual é a porcentagem do total de pessoas na
festa que não dançam?
A) 50% B) 60% C) 75% D) 80% E) 84%
4 De quantas maneiras dois casais podem sentar-se
em quatro cadeiras em fila se marido e mulher devem sentar-se em cadeiras vizinhas?
A) 2
B) 4
C) 8
D) 12
E) 24
10 Cinco cartas iguais têm um lado branco e um lado
preto. Elas se encontram em fila com a face branca
para cima. Um movimento consiste em escolher um
único par de cartas vizinhas e virá-las. No mínimo,
quantos movimentos são
necessários para que as
cartas fiquem como na
figura ao lado?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) Não é possível obter a configuração acima.
5 Eliana tem 27 cubos iguais em tamanho, mas 4 são
brancos e os demais, pretos. Com esses 27 cubos, ela
monta um cubo maior. No máximo, quantas faces
inteiramente pretas ela poderá obter?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
6 A figura ao lado é o mapa de
A
um bairro: os pontos A, B, C e
D são as casas, e os segmentos
B
são as ruas. De quantas casas D
é possível fazer um caminho
que passa exatamente uma
C
vez por cada uma das ruas?
É permitido passar mais de uma vez por uma mesma casa.
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
11 Uma barra de chocolate é dividida entre Nelly, Pe2
nha e Sônia. Sabendo que Nelly ganha
da barra,
5
1
Penha ganha
e Sônia ganha 70 gramas, o peso
4
da barra, em gramas, é:
A) 160
C) 240
E) 400
B) 200
D) 280
4
12 Numa fila para compra de ingressos para um jogo
da seleção brasileira, havia 49 pessoas: 25 corintianos, 14 flamenguistas e 10 gremistas. Sabendo que
cada pessoa da fila torce para um único time, dois
torcedores do mesmo time não estão em posições
consecutivas, podemos concluir que:
A)tal fila não existe.
B)algum dos torcedores das extremidades da fila é
gremista.
C)algum dos torcedores das extremidades da fila é
flamenguista.
D)algum flamenguista é vizinho de um gremista.
E) algum gremista é vizinho de dois corintianos.
16 O relógio de parede indica inicialmente meio-dia.
12
9
6
Os ponteiros das horas e dos minutos irão formar
um ângulo de 90 graus pela primeira vez:
A) entre 12h e 12h10min.
B) entre 12h10min e 12h15min.
C) entre 12h15min e 12h20min.
D) entre 12h20min e 12h25min.
E) após as 12h25min.
13 Na figura, P é um ponto da reta CD. A região cinza é
comum ao retângulo ABCD e ao triângulo ADP.
Se AB 5 5 cm, AD 5 8 cm e a área da região cinza é
3
da área do retângulo, quanto vale a distância PC?
4
A
B
M
Q
D
A) 1 cm
B) 2 cm
C
C) 3 cm
D) 4 cm
3
17 Eduardo escreveu todos os números de 1 a 2009
numa folha de papel. Com os amigos, combinou o
seguinte: cada um deles poderia apagar quantos
números quisesse e escrever, no fim da lista, o algarismo das unidades da soma dos números apagados. Por exemplo, se alguém apagasse os números
28, 3, 6, deveria escrever no fim da lista o número 7,
pois 28 1 3 1 6 5 37. Após algum tempo, sobraram
somente dois números. Se um deles era 2 000, qual
dos números a seguir poderia ser o outro?
A) 0
B) 1
C) 3
D) 5
E) 6
P
E) 5 cm
18 Uma folha de caderno de Carlos é um retângulo
com dois lados (bordas) amarelos de 24 cm e dois
lados (bordas) vermelhos de 36 cm. Carlos pinta
cada ponto do retângulo na mesma cor do lado
mais próximo desse ponto. Qual é a área da região
pintada de amarelo?
C) 364 cm2
E) 524 cm2
A) 144 cm2 B) 288 cm2
D) 442 cm2
14 Numa pesquisa sobre o grau de escolaridade, obtiveram-se os resultados expressos no gráfico abaixo:
19 O professor Piraldo aplicou uma prova de 6 questões para 18 estudantes. Cada questão vale 0 ou 1
ponto; não há pontuações parciais. Após a prova, Piraldo elaborou uma tabela como a seguinte para organizar as notas, em que cada linha representa um
estudante e cada coluna representa uma questão.
Que fração do total de entrevistados representa o
total de pessoas que terminaram pelo menos o Ensino Fundamental?
5
1
11
3
16
A)
B)
C)
D)
E)
16
17
13
13
17
15 Um número natural A de três algarismos detona um
número natural B de três algarismos se cada algarismo de A é maior do que o algarismo correspondente de B. Por exemplo, 876 detona 345; porém, 651
não detona 542, pois 1 , 2. Quantos números de
três algarismos detonam 314?
A) 120
C) 360
E) 600
B) 240
D) 480
Questões
Estudantes
1
2
3
4
5
6
Arnaldo
0
1
1
1
1
0
Bernaldo
1
1
1
0
0
1
Cernaldo
0
1
1
1
1
0

5

Piraldo constatou que cada estudante acertou exatamente 4 questões e que cada questão teve a mesma quantidade m de acertos. Qual é o valor de m?
A) 8
C) 10
E) 14
B) 9
D) 12
20 Alguns cubos foram empilhados formando um
bloco. As figuras abaixo representam a vista da
esquerda e da frente desse bloco.
vista da
esquerda
4 Mariazinha deseja cobrir o tampo de uma mesa retangular de 88 cm por 95 cm colando quadrados
de cartolina de lado 10 cm, a partir de um canto,
como mostrado na figura. Ela cola os quadrados
sem buracos nem superposições, até chegar às bordas opostas. Aí, em vez de cortar as folhas para não
ultrapassar as bordas, ela as sobrepõe, formando
regiões retangulares com duas folhas de espessura (região cinza) e uma pequena região retangular
com quatro folhas de espessura (região preta). Qual
é a área da região coberta por quatro folhas?
vista da
frente
C)
D)
esquerda
B)
frente
frente
frente
esquerda
frente
E)
esquerda
A)
esquerda
esquerda
Olhando o bloco de cima, qual das figuras a seguir não pode ser vista?
frente
5 O número 200920092009... 2009 tem 2008 algarismos. Qual é a menor quantidade de algarismos que
devem ser apagados, de modo que a soma dos algarismos que restarem seja 2008?
segunda FASE – parte A
••••••
6 Dizemos que dois ou mais números, com a mesma
quantidade de algarismos, são membros da mesma
família, quando todos possuem pelo menos um
algarismo comum. Por exemplo, os números 72,
32, 25 e 22 pertencem à mesma família, pois todos
possuem o algarismo 2, enquanto os números 123,
245 e 568 não pertencem à mesma família, pois não
há um algarismo que apareça nesses três números.
Qual é a maior quantidade de membros de uma família, cujos elementos têm três algarismos?
1 A figura abaixo mostra castelos de cartas de 1, 2 e
3 andares. Para montar esses castelos, foram usadas 2, 7 e 15 cartas, respectivamente. Quantas cartas serão necessárias para montar um castelo de 5
andares?
segunda FASE – parte B
••••••
(1)
(2)
1 Carlinhos tem folhas iguais na forma de triângulos
retângulos de lados 6 cm, 8 cm e 10 cm. Em cada
triân­gulo, o ângulo assinalado opõe-se ao menor
lado. Fazendo coincidir lados iguais desses triângulos sobre uma mesa, sem superpor as folhas, ele
desenha o contorno de cada figura obtida (linha
grossa), como nos exemplos abaixo. O perímetro de
uma figura é o comprimento do seu contorno.
(3)
2 Numa classe do 6º. ano, de cada 11 estudantes, 4 são
meninas. Se há 15 meninos a mais que meninas,
quantos alunos há na classe?
3 Num curso com duração de cinco dias, a frequên­cia
dos alunos foi registrada na tabela abaixo:
Dia de aula
1o
dia
2o
dia
3o
dia
4o
dia
5o
dia
Quantidade
de alunos
presentes
271
296
325
380
168
fig. 1
fig. 2
a) Qual é a diferença entre os perímetros das figuras 1 e 2 do exemplo?
b)Com figuras de três triângulos, qual é o maior perímetro que pode ser obtido?
Cada aluno faltou exatamente dois dias. No dia de
menor frequência, de quantos por cento foi o total
de faltas?
6
2 Esmeralda ia multiplicar um número A de três algarismos por outro número B de dois algarismos, mas
na hora de multiplicar inverteu a ordem dos dígitos
de B e obteve um resultado 2 034 unidades maior.
a) Qual era o número A, se os dígitos de B eram consecutivos?
b)Qual seria o número A, se os dígitos de B não fossem consecutivos?
A
5 A figura ao lado é o mapa de
um bairro: os pontos A, B, C e
D são as casas, e os segmentos
B
são as ruas. De quantas casas D
é possível fazer um caminho
que passa exatamente uma
vez por cada uma das ruas?
C
É permitido passar mais de uma vez por uma mesma casa.
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
3 Um campeonato de xadrez de 7 rodadas, com 4 jogos por rodada, tem 8 participantes, cujas pontuações por jogo são as usuais: um ponto por vitória,
meio ponto por empate e nenhum ponto por derrota. Cada par de jogadores se enfrenta exatamente
uma vez.
a) Ao término da terceira rodada, é possível que um
grupo de jogadores esteja em primeiro lugar e o
restante dos jogadores esteja em segundo lugar?
Explique por meio de um exemplo.
b)Ao término da terceira rodada, é possível que
todos os jogadores tenham pontuações diferentes? Explique.
6 Os inteiros positivos m e n satisfazem 15m 5 20n.
Então é possível afirmar, com certeza, que mn é
múltiplo de:
A) 5
B) 10
C) 12
D) 15
E) 20
7 Um número natural A de três algarismos detona um
número natural B de três algarismos se cada algarismo de A é maior do que o algarismo correspondente de B. Por exemplo, 876 detona 345; porém, 651
não detona 542, pois 1 , 2. Quantos números de
três algarismos detonam 314?
A) 120
C) 360
E) 600
B) 240
D) 480
Nível 2 (8o. e 9o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
Esta prova também corresponde à prova da
Primeira Fase da Olimpíada Regional nos
Estados de:
AL – BA – ES – GO – MA – RS – RN – SP – SC
8 Uma barra de chocolate é dividida entre Nelly, Pe2
nha e Sônia. Sabendo que Nelly ganha
da barra,
5
1
Penha ganha
e Sônia ganha 70 gramas, o peso
4
da barra, em gramas, é:
A) 160
C) 240
E) 400
B) 200
D) 280
1
1
5
de um número é , quanto vale desse
8
5
8
número?
1
1
8
B) C) 1
D) E) 2
A) 8
5
5
9 Esmeralda lançou um dado dez vezes e obteve 57
como soma de todos os pontos obtidos nesses
lançamentos. No mínimo, quantas vezes saíram 6
pontos?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
1 Se
2 Usando palitos de fósforos, podemos construir um
hexágono regular, formado por seis triângulos equiláteros unitários, como mostra a figura. Juntando
mais palitos a esse hexágono, queremos obter outro hexágono regular com
o quádruplo da área, tam­
bém formado por triângulos equiláteros unitários.
Quantos palitos deverão
ser acrescentados?
A) 12
B) 24
C) 30
D) 36
E) 48
10 Na figura ao lado, a 5 18°
e AB 5 AC 5 AD 5 AE.
O valor do ângulo b é:
D) 20o
E) 30o
b
_
C
D
E
11 Cinco cartas iguais têm um lado branco e um lado
preto. Elas se encontram em fila com a face branca
para cima. Um movimento consiste em escolher um
único par de cartas vizinhas e virá-las. No mínimo,
quantos movimentos são
necessários para que as
cartas fiquem como na
figura ao lado?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) Não é possível obter a configuração acima.
4 Se
ααα
B
3 De quantas maneiras dois casais podem sentar-se
em quatro cadeiras em fila se marido e mulher devem sentar-se em cadeiras vizinhas?
A) 2
B) 4
C) 8
D) 12
E) 24
1
1
5 4, o valor de
é:
x1 6
x1 5
4
2
1
1
A) B) C) D) 5
3
4
5
A) 18o
B) 36o
C) 15o
A
E) 1
7
12 Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono regular,
CDFG é um quadrado e DFH é um triângulo equilátero. O valor do ângulo b é:
H
16 Na figura abaixo, E é o ponto médio de AB, F é o ponto médio de AC e BR 5 RS 5 SC. Se a área do triângulo ABC é 252, qual é a
A
área do pentágono AERSF?
A) 168
F
E
B) 189
C) 200
D) 210
E) 220
B
R
S
F
b
G
D
E
C
A
A) 30o
B) 36o
17 Quantos pares ordenados (x, y) de números reais
2
2
satisfazem a equação (x y2) 1(x  y  2) 5 0?
A) 0
B) 1 C) 2
D) 3
E) infinitos
B
C) 39o
D) 45o
18 O professor Piraldo aplicou uma prova de 6 questões para 18 estudantes. Cada questão vale 0 ou 1
ponto; não há pontuações parciais. Após a prova, Piraldo elaborou uma tabela como a seguinte para organizar as notas, em que cada linha representa um
estudante e cada coluna representa uma questão.
E) 60o
13 Numa fila para compra de ingressos para um jogo
da seleção brasileira, havia 49 pessoas: 25 corintianos, 14 flamenguistas e 10 gremistas. Sabendo que
cada pessoa da fila torce para um único time, dois
torcedores do mesmo time não estão em posições
consecutivas, podemos concluir que:
A)tal fila não existe.
B)algum dos torcedores das extremidades da fila é
gremista.
C)algum dos torcedores das extremidades da fila é
flamenguista.
D)algum flamenguista é vizinho de um gremista.
E) algum gremista é vizinho de dois corintianos.
A) 1 cm
B) 2 cm
C) 3 cm D) 4 cm
A
B
M
Q
D
C
1
2
3
4
5
6
Arnaldo
0
1
1
1
1
0
Bernaldo
1
1
1
0
0
1
Cernaldo
0
1
1
1
1
0

14 Na figura, P é um ponto da reta CD. A região cinza é
comum ao retângulo ABCD e ao triângulo ADP.
Se AB 5 5 cm, AD 5 8 cm e a área da região cinza
3
é
da área do retângulo, quanto vale a distân4
cia PC?
Questões
Estudantes

Piraldo constatou que cada estudante acertou exatamente 4 questões e que cada questão teve a mesma quantidade m de acertos. Qual é o valor de m?
A) 8 B) 9
C) 10
D) 12 E) 14
19 Entre os inteiros positivos n14018, n51, 2, ..., 20092 ,
quantos são quadrados perfeitos?
A) 1 945
C) 1 947
E) 1 949
B) 1 946
D) 1 948
E) 5 cm
20 Para cada número natural n, seja Sn a soma dos dez
primeiros múltiplos positivos de n. Por exemplo,
S2 5 2 1 4 1 6 1 8 1 10 1 12 1 14 1 16 1 18 1 20.
Quanto é S1 1 S2 1 S3 1  1 S10?
A) 2 925
C) 3 125
E) 3 325
B) 3 025
D) 3 225
21 Em uma folha quadriculada em que cada quadrado
tem lado 2 cm, são desenhados dois círculos como
na figura abaixo. A distância mínima entre os dois
círculos mede:
A) 3 cm
P
15 A famosa Conjectura de Goldbach diz que todo número inteiro par maior que 2 pode ser escrito como
a soma de dois números primos. Por exemplo, 18
pode ser representado por 5 1 13 ou, ainda, por
7 1 11. Considerando todas as possíveis representações de 126, qual a maior diferença entre os dois
primos que a formam?
A) 112
C) 92
E) 80
B) 100
D) 88
B)
10 cm
( 10 13) cm
D) ( 10 2) cm
E) ( 10 3) cm
C)
8
22 Quantos números naturais de 1 a 100, inclusive,
podem ser escritos na forma de potência ab, com
a, b  IN e a, b . 1?
A) 10
C) 14E) 18
B) 12
D) 16
3 Dizemos que dois ou mais números, com a mesma
quantidade de algarismos, são membros da mesma
família, quando todos possuem pelo menos um algarismo em comum. Por exemplo, os números 32,
25 e 22 pertencem à mesma família, enquanto 123,
245 e 568 não pertencem à mesma família, pois
123 e 568 não pertencem à mesma família. Qual é
a maior quantidade de membros de uma família,
cujos elementos têm três algarismos?
23 Uma folha de caderno de Carlos é um retângulo
com dois lados (bordas) amarelos de 24 cm e dois
lados (bordas) vermelhos de 36 cm. Carlos pinta
cada ponto do retângulo na mesma cor do lado
mais próximo desse ponto. Qual é a área da região
pintada de amarelo?
A) 144 cm2 C) 364 cm2 E) 524 cm2
2
2
B) 288 cm
D) 442 cm
4 Determine a quantidade de inteiros de dois algarismos que são divisíveis pelos seus algarismos.
5 Na figura abaixo, ABCD e EFGH são quadrados de
lado 48 cm. Sabendo que A é o ponto médio de EF
e G é o ponto médio de DC, determine a área destacada em cm2.
E
24 Os inteiros 0 , x , y , z , w , t são tais que
w 5 z(x 1 y) e t 5 w(y 1 z). Sendo w 5 9, então t é
igual a:
A) 45
C) 63E) 81
B) 54
D) 72
L
A
25 Alguns cubos foram empilhados formando um
bloco. As figuras abaixo representam a vista da
esquerda e da frente desse bloco.
B
H
F
K
vista da
frente
vista da
esquerda
D
C
G
Olhando o bloco de cima, qual das figuras a seguir não pode ser vista?
D)
esquerda
B)
frente
frente
SEGUNDA FASE – parte B
••••••
1 Sejam m e n dois inteiros positivos primos entre si.
O Teorema Chinês dos Restos afirma que, dados inteiros i e j, com 0 < i , m e 0 < j , n, existe exatamente um inteiro a, com 0 < a , m ? n, tal que o resto da
divisão de a por m é igual a i e o resto da divisão de
a por n é igual a j. Por exemplo, para m 5 3 e n 5 7,
temos que 19 é o único número que deixa restos 1 e
5 quando dividido por 3 e 7, respectivamente.
Assim, na tabela a seguir, cada número de 0 a 20
aparecerá exatamente uma vez.
frente
esquerda
frente
E)
esquerda
C)
esquerda
A)
esquerda
frente
segunda FASE – parte A
••••••
Restos
por 7
1 Esmeralda tem uma garrafa com 9 litros de uma
mistura que tem 50% de álcool e 50% de água. Ela
quer colocar água na garrafa de tal forma que apenas 30% da mistura seja de álcool. Quantos litros de
água ela irá colocar?
Restos
por 3
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2 Se a, b, c e d são, em alguma ordem, 1, 2, 3 e 4. Qual
é o maior valor possível de
19
2
ab 1 bc 1 cd 1 da?
Qual a soma dos números das casas destacadas?
9
2 Observe:
baricentro G do triângulo ABC pertence ao segmento MN, determine o comprimento do segmento BG.
Obs.: Baricentro é o ponto de interseção das medianas do triângulo.
(x  r)(x  s) 5 x2  (r 1 s) x 1 rs
Assim, substituindo x por r e por s, obtemos:
r2 (r 1 s)r 1rs 5 0
a(rn12 (r 1 s)rn11 1rs ? rn ) 5 0
⇒
s2 (r 1 s)s 1rs 5 0
b(sn12 (r 1 s)sn11 1rs ? sn ) 5 0
4 Um campeonato de xadrez de 7 rodadas, com 4 jogos por rodada, tem 8 participantes, cujas pontuações por jogo são as usuais: um ponto por vitória,
meio ponto por empate e nenhum ponto por derrota. Cada par de jogadores se enfrenta exatamente
uma vez.
a)Ao término da terceira rodada, é possível que
todos os jogadores tenham pontuações distintas?
b) Se no final do campeonato todos os jogadores
têm pontuações distintas, qual o menor número possível de pontos obtidos pelo primeiro
colocado?
Somando as duas equações e sendo Sn 5 a ? rn 1b ? sn,
verifica-se que:
Sn12 5(r 1 s)Sn11 rsSn
Dados
S1 5 ar 1bs 51 , S2 5 ar2 1bs2 5 2 , S3 5 ar3 1bs3 5 5 e
S4 5 ar 4 1bs4 5 6 , determine S5 5 ar5 1bs5 .
3 Seja N o ponto do lado AC do triângulo ABC tal que
AN 5 2NC e M o ponto do lado AB tal que MN é perpendicular a AB. Sabendo que AC 5 12 cm e que o
10
XXX OLIMPÍADA
BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2008
PROVAS
4 O quociente e o resto na divisão de 26 097 por 25
são, respectivamente:
A) 1 043 e 22
C) 143 e 22
E) 144 e 3
B) 1 044 e 3
D) 1 044 e 22
Nível 1 (6o. e 7o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
Esta prova também corresponde à prova da
Primeira Fase da Olimpíada Regional nos
Estados de:
AL – BA – ES – GO – PI – RN – RS – SC
5 Numa reunião da comunidade do bairro, cada uma
das 125 pessoas presentes recebeu um número diferente, a partir do número 1 até o 125. Em dado
momento, foi feita uma lista das pessoas com número par e das pessoas com número múltiplo de
3, que deveriam participar de um projeto. Algumas
pessoas reclamaram, dizendo que o seu nome aparecia duas vezes na lista. Quantas pessoas apareceram duas vezes na lista?
A) 2
B) 6
C) 20
D) 41
E) 62
1 Com segmentos de 1 cm de comprimento podemos
formar triângulos. Por exemplo, com nove desses
segmentos podemos formar um triângulo equilátero de lado 3 cm. Com qual número de segmentos a
seguir é impossível formar um triângulo?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
6 Sobre uma mesa retangular de uma sala foram
colocados quatro sólidos, mostrados no desenho.
Uma câmera no teto da sala, bem acima da mesa,
fotografou o conjunto. Qual dos esboços a seguir
representa melhor essa fotografia?
2 Esmeralda compra cinco latas de azeite a quatro
reais e setenta centavos a lata, cinco latas de leite
em pó a três reais e doze centavos cada e três caixas
de iogurte com seis iogurtes cada caixa ao preço de
oitenta centavos por iogurte. Paga com uma nota
de cinquenta reais e quer saber quanto irá receber
de troco. Qual das expressões aritméticas a seguir
representa a solução para este problema?
A) 50  5 3 ( 4, 70 1 3,12) 1 18 3 0, 80
B) 5 3 4, 70 1 5 3 3,12 1 3 3 6 3 0, 80  50
C)  [5 3 ( 4, 70 1 3,12) 1 3 3 6 3 0, 80] 1 50 D) 50  [5 3 ( 4, 70 1 3,12) 1 3 3 6 1 0, 80]
E) 50  [5 3 ( 4, 70 1 3,12) 1 6 3 0, 80]
3 Uma pesquisa foi feita entre pessoas de ambos os
sexos, em igual número, com a seguinte pergunta:
Entre as cores azul, vermelho e amarelo, qual é a cor
que você prefere?
Cada pessoa apresentou a sua preferência por uma,
e só uma, dessas cores. E o resultado da pesquisa
aparece nos gráficos abaixo:
A)
D)
B)
E)
C)
7 Uma classe tem 22 alunos e 18 alunas. Durante as
férias, 60% de todos os alunos dessa classe foram
prestar trabalho comunitário. No mínimo, quantas
alunas participaram desse trabalho?
A) 1
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8
Podemos concluir que, em relação ao total de pessoas pesquisadas, a ordem de preferência das cores é:
A) I, II, III B) I, III, II C) II, I, III D) II, III, I E) III, II, I
11
8 Uma urna contém 2 008 cartões. Cada cartão recebeu um número diferente, a partir do número 1 até
o 2 008. Retiram-se dois cartões ao acaso e somam-se os números dos cartões. Quantos números ímpares diferentes podem ser obtidos dessa maneira?
A) 1 004 C) 2 007
E) 4 016
B) 1 005
D) 2 008
16 Três amigos moram na mesma rua: um médico, um
engenheiro e um professor. Seus nomes são: Arnaldo (A), Bernaldo (B) e Cernaldo (C). O médico é filho
único e o mais novo dos três amigos. Cernaldo é
mais velho que o engenheiro e é casado com a irmã
de Arnaldo. Os nomes do médico, do engenheiro e
do professor, nessa ordem, são:
A) A, B, C
C) B, A, C E) A, C, B
B) C, A, B
D) B, C, A
9 Juntando quatro trapézios iguais de bases 30 cm
e 50 cm, como o da figura abaixo, podemos formar
um quadrado de área 2 500 cm2, com um “buraco”
quadrado no meio. Qual é a área de cada trapézio,
em cm2?
30 cm
45o
A) 200
17 Dois cartões iguais têm a forma de um triângulo retângulo de lados 5 cm, 12 cm e 13 cm. Esmeralda
juntou os dois cartões sobre uma folha de papel e,
contornando as beiradas com um lápis, obteve uma
figura como a abaixo, que está fora de escala. Qual é
o perímetro dessa figura?
45o
50 cm
B) 250 C) 300
D) 350 E) 400
10 Quantos números pares de três algarismos têm dois
algarismos ímpares?
A) 20
B) 48 C) 100
D) 125 E) 225
2
11 Sabe-se que
do conteúdo de uma garrafa en9
5
de um copo. Para encher 15 copos iguais a
chem
6
esse, quantas garrafas deverão ser usadas?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
A) 28 cm
B) 35 cm
C) 42 cm
D) 43 cm
E) 60 cm
18 Qual é o maior número de algarismos que devem ser apagados do número de 1 000 algarismos
20082008…2008, de modo que a soma dos algarismos restantes seja 2 008?
A) 130
B) 260
C) 510
D) 746 E) 1 020
12 Quantos quadrados têm como
vértices os pontos do reticulado
ao lado?
A) 6
C) 8
E) 10
B) 7
D) 9
13 A primeira fase da OBM se realiza no dia 14 de junho,
um sábado do ano bissexto 2008. Daqui a quantos
anos o dia 14 de junho será novamente no sábado?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
19 Soninha tem muitos cartões, todos com o mesmo
desenho em uma das faces. Ela vai usar cinco cores
diferentes (verde, amarelo, azul, vermelho e laranja)
para pintar cada uma das cinco partes do desenho,
cada parte com uma cor diferente, de modo que não
haja dois cartões pintados da mesma forma. Na figura abaixo, por exemplo, os cartões são iguais, pois um
deles pode ser girado para se obter o outro. Quantos
cartões diferentes Soninha conseguirá produzir?
14 No desenho temos
AE 5 BE 5 CE 5 CD.
Além disso, a e b são
medidas de ângulos.
Qual é o valor da
α
razão
?
β
A)
3
5
B)
4
5
C) 1
D)
15 Na multiplicação ao lado, alguns
algarismos, não necessariamente
iguais, foram substituídos pelo
sinal *. Qual é a soma dos valores
desses algarismos?
A) 17
C) 37
E) 57
B) 27
D) 47
5
4
E)
5
3
A) 16
B) 25
C) 30
D) 60
E) 120
20 Três carros com velocidades constantes cada um,
na mesma estrada, passam no mesmo momento
por Brasilópolis. Ao viajar 100 quilômetros, o carro
A passa por Americanópolis, 20 quilômetros à frente do carro B e 50 quilômetros à frente do carro C.
Quando o carro B passar por Americanópolis, quantos quilômetros estará à frente do carro C?
A) 20
B) 25,5 C) 30
D) 35
E) 37,5
3
12
SEGUNDA FASE – parte A
••••••
SEGUNDA FASE – parte B
••••••
1 Nicanor quer completar o Sudoku abaixo, de modo
que em cada linha (fileira horizontal) e cada coluna
(fileira vertical) apareçam todos os números de 1 a
6. Qual é a soma de todos os números que faltam
para completar o Sudoku?
1 Zezinho tem 37 cartões quadrados de lado 6 cm e
21 cartões quadrados de lado 9 cm. Ele quer colar
esses cartões lado a lado, sem sobrepô-los nem deixar buracos, formando quadrados maiores.
a) Apresente, através de desenhos, duas maneiras
diferentes de Zezinho construir um quadrado de
lado 27 cm.
b)Quantos cartões são necessários para construir o
quadrado com a maior área possível?
2
1
5
4
2
6
6
2 Para construir o arranjo triangular de letras ao lado, que
tem 2 008 linhas, obedeceu-se a uma certa regra.
a) Quantas vezes a palavra
OBM aparece completamente na maior coluna
desse arranjo?
b)Quantas vezes a letra O
aparece no arranjo?
4
3
2
2 A partir das igualdades
32  12 5 8 5 8 ? 1,
52  32 5 16 5 8 ? 2,
72  52 5 24 5 8 ? 3,

e 2 0092  2 0072 5 8 ? N,
3 Em Ferius, os pontos do dominó vão de 0 a 7, ao contrário de um dominó comum, em que os pontos vão
de 0 a 6. Uma peça do dominó de Ferius é chamada
importante se a soma de seus pontos é par. Por exemplo, os seguintes dominós são importantes:
podemos escrever 2 0092  1 5 4 ? N ? (N 1 1) .
Qual é o valor de N?
3 Certo banco brasileiro obteve um lucro de R$ 4,1082
bilhões ao final do primeiro semestre de 2008. Esse
valor representa um aumento de 2,5% em relação
ao resultado obtido no mesmo período do ano passado. Qual é a soma dos dígitos do número inteiro
que representa, em reais, o lucro desse banco no
primeiro semestre de 2007?
a) Quantas peças diferentes possui o dominó jogado em Ferius?
b)Quantas dessas peças são importantes?
c) Qual é a soma dos pontos de todas as peças importantes?
4 A piscina do clube que Esmeralda frequenta tem a
forma de um hexágono (polígono com seis lados), com
um ângulo interno de 270º,
os demais ângulos de 90º
e os quatro lados menores
com 12 metros cada. Esmeralda costuma nadar pelo meio da piscina, a partir
do ponto A, descrevendo o trajeto representado, na
figura, pelo ângulo reto ABC, em que AB 5 BC.
Certo dia, ela nadou por esse trajeto 4 vezes, isto é,
foi e voltou 2 vezes. Quantos metros ela percorreu?
Nível 2 (8o. e 9o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
Esta prova também corresponde à prova da
Primeira Fase da Olimpíada Regional nos
Estados de:
AL – BA – ES – GO – PI – RN – RS – SC
1 No desenho temos AE 5 BE 5 CE 5 CD. Além disso, a e b são medidas de ângulos. Qual é o valor
α
da razão
?
β
5 Com o dinheiro que Carlinhos tinha, poderia ter
comprado 600 gramas de queijo ou 400 gramas de
presunto. Usando esse dinheiro, ele resolveu comprar quantidades iguais de presunto e queijo. Quantos gramas de cada item ele comprou?
6 Quantos números inteiros maiores que zero e menores que 100 possuem algum divisor cuja soma
dos dígitos seja 5?
13
A)
3
5
D)
5
4
B)
4
5
E)
5
3
C) 1
2 Quantos dos números abaixo são maiores que 10?
3
A) 1
3 11 , 4 7 , 5 5 , 6 3 , 7 2
B) 2
C) 3
D) 4
10 Os algarismos a, b e c são tais que os números de
dois algarismos aa , bc e cb são números primos,
2
e aa 1bc 1 cb 5 aa . Se b < c , então bc é igual a:
A) 19
B) 17
C) 37
D) 29
E) 59
E) 5
1212 é igual a:
A) 66
B) 122
3
C) 212 ? 36 D) 612 E)
12
11 Em um triângulo ABC foi traçada a altura AH. Sejam
M e N pontos sobre os lados AB e AC, respectivamente, tais que HM é perpendicular a AB, e HN é perpendicular a AC. Achar MN, sabendo que o perímetro do
triângulo órtico do triângulo ABC é igual a 10.
Observação: o triângulo órtico de um triângulo é
aquele cujos vértices são as interseções das alturas
do triângulo com os respectivos lados. Pode-se demonstrar que o incentro (encontro das bissetrizes)
do triângulo órtico é sempre igual ao ortocentro
(encontro das alturas) do triângulo original.
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
12
4 Uma grande empresa possui 84 funcionários, e
sabe-se que cada funcionário fala pelo menos uma
das línguas entre Português e Inglês. Além disso,
20% dos que falam Português também falam Inglês,
e 80% dos que falam Inglês também falam Português. Quantos funcionários falam as duas línguas?
A) 12
B) 14
C) 15
D) 16
E) 18
5 Edmílson, Carlos e Eduardo ganharam um total de
R$ 150,00 lavando carros. Eles ganharam quantidades diferentes de dinheiro. Como eles são muito
amigos, decidiram dividir o dinheiro ganho em partes iguais. Para isso, Edmílson deu metade do que
ganhou para dividir em partes iguais entre Carlos e
Eduardo, porém, Carlos tinha muito dinheiro e, portanto, deu R$ 10,00 a cada um dos outros dois. Finalmente, para que cada um tivesse a mesma quantidade de dinheiro, Eduardo deu R$ 2,00 a Edmílson.
Quanto Eduardo ganhou antes da divisão?
A) R$ 76,00
C) R$ 23,00
E) R$ 100,00
B) R$ 51,00
D) R$ 50,00
12 Quantos números inteiros positivos menores que
500 têm exatamente 15 divisores inteiros positivos?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
13 Seja P(n) a soma dos algarismos pares do número n.
Por exemplo, P(1234) 5 2 1 4 5 6. Qual o valor de
P(1) 1 P(2) 1 P(3) 1 ... 1 P(100)?
A) 200
B) 360 C) 400
D) 900 E) 2 250
14 De quantas maneiras podemos dividir R$ 10,00 em
moedas de 10 centavos e de 25 centavos, se pelo menos uma moeda de cada valor tem que ser usada?
A) 15
B) 16
C) 17
D) 18
E) 19
6 Nove números são escritos em ordem crescente.
O número do meio é a média aritmética dos nove
números. A média aritmética dos 5 maiores é 68, e
a média aritmética dos 5 menores é 44. A soma de
todos os números é:
A) 560
B) 504
C) 112
D) 56
E) 70
15 Sejam a, b, c, d números inteiros tais que a < 2b,
b < 3c , c < 4d. Se d < 40, o maior valor possível
de a será:
A) 960
B) 959
C) 951
D) 934 E) 927
16 A figura abaixo é um exemplo de um quadrado mágico de ordem 4. A soma dos 4 números em cada
linha, coluna e diagonal é 34. Então dizemos que a
soma mágica deste quadrado mágico é 34. Suponha que exista um quadrado mágico de ordem 7,
formado pelos números inteiros de 1 a 49. Determine sua soma mágica.
16 3 2 13
A) 175
B) 2 450
5 10 11 8
C) 1225
9 6 7 12
D) 190
E) 100
4 15 14 1
7 Quantos quadrados têm como
vértices os pontos do reticulado
ao lado?
A) 6
C) 8
E) 10
B) 7
D) 9
8 A primeira fase da OBM se realiza no dia 14 de
junho, um sábado do ano bissexto 2008. Daqui a
quantos anos o dia 14 de junho será novamente
no sábado?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
9 Cinco inteiros positivos, a, b, c, d, e, maiores que um,
satisfazem as seguintes condições:
17 Observe que:
a (b 1 c 1 d 1 e) 5 128
32 1 42 5 52 ,
32 1 42 1 122 5 132 ,
32 1 42 1 122 1 842 5 852.
b (a 1 c 1 d 1 e) 5 155
c (a 1 b 1 d 1 e) 5 203
d (a 1 b 1 c 1 e) 5 243
e (a 1 b 1 c 1 d) 5 275
Qual o menor valor possível da soma x 1 y com x,
y inteiros positivos tais que 32 1 42 1122 1 842 1 x2 5 y2 ?
2
2
2
2
3 1 4 112 1 84 1 x2 5 y2 ?
Quanto vale a soma a 1 b 1 c 1 d 1 e?
A) 9
B) 16
C) 25
D) 36
E) 49
14
A) 289
B) 250
C) 425
D) 795
E) 103
18 Um número de três algarismos é 629 vezes menor
que a soma de todos os outros números de três algarismos. Este número é:
A) 450 D) 471
B) 785E) 525
C) 630
23 O grupo A da última Copa do Mundo de futebol terminou com os seguintes resultados:
19 Soninha tem muitos cartões, todos com o mesmo desenho em uma das faces. Ela vai usar cinco
cores diferentes (verde, amarelo, azul, vermelho
e laranja) para pintar cada uma das cinco partes
do desenho, cada parte com uma cor diferente,
de modo que não haja dois cartões pintados da
mesma forma. Na figura abaixo, por exemplo, os
cartões são iguais, pois um deles pode ser girado
para se obter o outro. Quantos cartões diferentes
Soninha conseguirá produzir?

A) 16
B) 25
C) 30
D) 60
D
A
E
B) A2 5 A11A3
C) A2 > A11A3
Camarões
4
Dinamarca
0
A) 17
B) 18
C) 19
24
D) 20
E) 21
25 Tenho um cubo de madeira, com três faces vermelhas e três faces azuis. O cubo é cortado em
3 3 3 3 3 5 27 cubos menores. Quantos destes
cubos menores têm, pelo menos, uma face vermelha e outra azul?
A) 6
B) 12
C) 14
D) 16
E) depende de quais faces do cubo são vermelhas e
quais são azuis.
SEGUNDA FASE – parte A
••••••
F
5
C
A3
Sendo A1, A2 e A3 as áreas das regiões destacadas na
figura, podemos afirmar que:
A) A2 5 2A1 5 2A3
D) A2 < A11A3
Brasil
AC
C
2
7
4
22 Na figura abaixo os pontos A, B, C são colineares, assim como os pontos D, E, F. As duas retas ABC e DEF
são paralelas.
A1
Áustria
24 Abaixo temos um quadrado mágico multiplicativo,
onde o produto dos números em cada linha, coluna
e diagonal é o mesmo e igual ao número de quatro
dígitos ABCD, onde cada letra representa um dígito, e cada casa contém um número inteiro. Se AC
representa o número de dois dígitos no centro do
quadrado, a soma A 1 B 1 C 1 D vale:
E) 120
21 Uma classe tem 22 alunos e 18 alunas. Durante as
férias, 60% de todos os alunos dessa classe foram
prestar trabalho comunitário. No mínimo, quantas
alunas participaram desse trabalho?
A) 1
C) 4E) 8
B) 2
D) 6
B
Número de Pontos
Sabe-se que Áustria e Camarões levaram apenas
1 gol, cada um. Além disso, Brasil e Dinamarca
marcaram apenas 1 gol, cada um, enquanto Áustria marcou 3 gols. Qual o resultado da partida
Áustria 3 Dinamarca?
Observação: no grupo, cada seleção joga com as
demais exatamente uma vez e, em cada partida, o
time vencedor ganha 3 pontos, o perdedor não ganha nem perde pontos e, em caso de empate, cada
time ganha 1 ponto.
A) 1 3 0
B) 2 3 1
C) 2 3 0
D) 0 3 0
E) Nada se pode afirmar.
20 Em um triângulo ABC, A 5 20o e B 5 110o. Se I é
o incentro (centro da circunferência inscrita), e O, o
circuncentro (centro da circunferência circunscrita)
do triângulo ABC, qual a medida do ângulo IAO?
A) 20o
C) 30oE) 35o
o
B) 25
D) 40o
A
Equipe
1 Sejam x e y números reais positivos satisfazendo as
17
equações x2 1 y2 51 e x 4 1 y 4 5 . Calcule o valor
18
1
de
.
xy
E) A22 5 A1 ? A3
15
2 Um viajante, que se encontrava perdido na floresta,
andou 1 metro para o Leste, 2 metros para o Norte,
3 para o Oeste, 4 para o Sul, 5 para o Leste, 6 para
o Norte, ..., 2 006 metros para o Norte, 2 007 para o
Oeste e 2 008 para o Sul. Calcule, em metros, o valor
inteiro mais próximo da distância entre as posições
inicial e final do viajante.
3 Os números a e b são as raízes da equação
x2  x  1 5 0. Calcule 13 ? α5 1 5 ? β7 .
SEGUNDA FASE – parte B
••••••
1 Encontre todos os triângulos retângulos, de lados
com medidas inteiras, nos quais a área tem valor
numérico igual ao do perímetro.
2 No quadro negro são escritos os números 12, 22,
32, 42, ..., 2 0082. Pedro e Igor jogam um jogo onde
eles apagam alternadamente um número por vez
até sobrarem apenas dois números. Se a diferença
entre estes dois números for múltiplo de 2 009, Igor
vence. Caso contrário, quem vence é Pedro. Sabendo que Pedro é o primeiro a jogar, diga quem possui
a estratégia vencedora. Justifique sua resposta.
4 Em um triângulo ABC, seja D um ponto sobre o lado
BC tal que DB 5 14, DA 5 13 e DC 5 4. Sabendo
que o círculo circunscrito ao triângulo ADB tem raio
igual ao do círculo circunscrito ao triângulo ADC,
calcule a área do triângulo ABC.
3 Seja ABC um triângulo acutângulo com BC 5 5. Seja
E o pé da altura relativa ao lado AC e F o ponto médio do lado AB. Se BE 5 CF 5 4, calcule a área do
triângulo ABC.
5 Dado um número natural N, multiplicamos todos
os seus algarismos. Repetimos o processo com o
número obtido até obtermos um número com
um algarismo. Este número será chamado de primitivo de N. Por exemplo, como 3 ? 2 ? 7 5 42 e
4 ? 2 5 8, concluímos que o primitivo de 327 é 8.
Calcule a soma dos algarismos do maior número
natural com todos os algarismos diferentes cujo
primitivo é ímpar.
4 Um país tem 8 cidades, A1, A2, ..., A6, B, C, ligadas por
rodovias de mão dupla satisfazendo as seguintes
condições: B e C são ambas ligadas às cidades A1,
A2, ..., A6, mas não são ligadas uma à outra; A1, A2, ...,
A6 são ligadas duas a duas. Calcule o número de
­maneiras distintas de viajar de carro de B a C, sem
passar duas vezes por uma mesma cidade.
16
XXIX OLIMPÍADA
BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2007
PROVAS
6 Sílvia pensou que seu relógio estava atrasado
10 min e o acertou, mas na verdade o relógio estava
adiantado 5 min. Cristina pensou que seu relógio
estava adiantado 10 min e o acertou, mas na verdade o relógio estava atrasado 5 min. Logo depois,
as duas se encontraram, quando o relógio de Sílvia
marcava 10 horas. Neste momento, que horas o relógio de Cristina indicava?
A) 9h30min
C) 10 h
E) 10h 15min
B) 9h50min
D) 10h5min
7 A fração a , onde a e b são inteiros positivos, repreb
senta um número entre 0 e 1, na posição indicada
no desenho abaixo. Qual é um possível valor para a
soma a 1 b ?
Nível 1 (6o. e 7o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
Esta prova também corresponde
à prova da Primeira Fase da Olimpíada
Regional nos Estados de:
AL – BA – ES – GO – PA – PI – RN – RS – SC
1 Observe as multiplicações a seguir:
101 3 11 5 1111
101 3 111 5 11 211
101 3 1111 5 112 211
101 3 11111 5 1122 211
…
0
Qual é a soma dos algarismos do número obtido

11
?
quando multiplicamos 101 pelo número 11111
1
a
b
2007 algarismos 1
A) 1 001 B) 2 007 C) 2 009
D) 4 008 E) 4 014
2 Quantos números inteiros positivos de três algarismos têm a soma de seus algarismos igual a 4?
Observação: lembre-se de que zeros à esquerda
não devem ser contados como algarismos; por
exemplo, o número 031 tem dois algarismos.
A) 4
B) 6
C) 7
D) 10
E) 12
B) 2
C) 3
D) 4
E) 55
8 Em uma prova de olimpíada, 15% dos estudantes
não resolveram nenhum problema, 25% resolveram pelo menos um problema, mas cometeram
algum erro, e os restantes, 156 estudantes, resolveram todos os problemas corretamente. O número
de estudantes que participaram da olimpíada foi:
A) 200 B) 260 C) 93
D) 223 E) 300
3 Juntando dois retângulos iguais lado a lado, sem
sobreposição, podemos formar dois tipos de figura: um quadrado de área igual a 144 cm2 ou um retângulo de largura diferente do comprimento. Qual
é o perímetro deste último retângulo, em cm?
A) 12
B) 24
C) 48
D) 60
E) 72
4 A figura ao lado é formada
por dois quadrados de área
100 cm2 cada um, parcialmente sobrepostos, de modo que o
perímetro da figura (linha mais
grossa) é igual 50 cm. Qual é a
área da região comum aos dois
quadrados, em cm2 ?
A) 20
B) 25
C) 30
A) 1
9 Em uma certa cidade, a razão entre o número de
homens e mulheres é 2 : 3 e entre o número de
mulheres e crianças é 8 : 1. A razão entre o número
de adultos e crianças é:
A) 5 : 1 B) 16 : 1 C) 12 : 1 D) 40 : 3 E) 13 : 1
10 Na figura, o lado AB do triângulo equilátero ABC é
paralelo ao lado DG do quadrado DEFG. Qual é o
valor do ângulo x?
AA
D) 40
G
G
F
x
E) 50
D
5 A soma de todos os números positivos ímpares
até 2 007 menos a soma de todos os números positivos pares até 2 007 é igual a:
A) 1 003 B) 1 004 C) 2 005 D) 2 006 E) 2 007
BB
17
A) 80o
B) 90o
C) 100o
D) 110o
C
C EE
E) 120o
11 Uma loja de CDs realizará uma liquidação e, para
isso, o gerente pediu para Anderlaine multiplicar
todos os preços dos CDs por 0,68. Nessa liquidação, a loja está oferecendo um desconto de:
A) 68% B) 6,8% C) 0,68% D) 3,2% E) 32%
17 Lina e Lana brincam da seguinte maneira: a primeira a jogar pensa em um número de 10 a 99 e
diz apenas a soma dos algarismos do número; a
segunda tem então que adivinhar esse número.
Qual é o maior número de tentativas erradas que
a segunda pessoa pode fazer?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
12 Esmeralda e Pérola estão numa fila. Faltam 7 pessoas para serem atendidas antes de Pérola, e há 6
pessoas depois de Esmeralda. Duas outras pessoas
estão entre Esmeralda e Pérola. Dos números abaixo, qual pode ser o número de pessoas na fila?
A) 9 B) 11 C) 13 D) 14
E) 15
13 Preenchemos as casas vazias da tabela ao lado
com o produto dos nú­
meros que estão som­
breados na mesma linha e
na mesma coluna da casa
vazia a ser preenchida.
Quantas dessas casas conterão números primos?
A) 6
B) 7
C) 12
x
3
18 Anita imaginou que levaria 12 minutos para terminar a sua viagem, enquanto dirigia à velocidade
constante de 80 km/h, numa certa rodovia. Para sua
surpresa, levou 15 minutos. Com qual velocidade
constante essa previsão teria se realizado?
A) 90 km/h
C) 100 km/h
E) 120 km/h
B) 95 km/h
D) 110 km/h
1 2 3 5 7 11 13
1
2
19 O gráfico ao lado
70%
mostra o percentual 60%
de acertos numa pro- 50%
va de 60 testes de seis 40%
30%
candidatos  finalistas 20%
de um concurso. Qual 10%
foi o número médio
A B C
de questões erradas
por esses candidatos nessa prova?
A) 14
B) 24 C) 30
D) 32
3
5
7
11
13
D) 14
E) 26
D
E
F
14 O conteúdo de uma garrafa de refrigerantes enche três copos grandes iguais e mais meio copo
E) 40
pequeno ou 5 desses copos pequenos iguais mais
a metade de um daqueles grandes. Qual é a razão
20 Ao efetuar a soma 131 1 132 1 133 1  1 132 006 1 132 007
entre o volume de um copo pequeno e o de um
1
2
3
13 1 13 1 13 1  1 132 006 1 132 007 obtemos um número inteiro. Qual é o algagrande?
rismo das unidades desse número?
B) 3 C) 7 D) 5 E) 3
A) 2 A) 1
B) 3
C) 5 D) 7
E) 9
10
5
5
7
9
15 Um código de barras é formado por barras verticais pretas de três larguras diferentes. Duas barras
pretas sempre são separadas por uma barra branca, também com três larguras diferentes. O código
começa e termina com uma barra preta, como no
exemplo abaixo.
SEGUNDA FASE – parte A
••••••
1 O número N 5 1010010100101... contém somente os algarismos 0 e 1, de modo que o número de
algarismos 0 entre dois algarismos 1 é um ou dois,
alternadamente. O número N tem exatamente 101
algarismos. Qual é a soma de todos os algarismos
do número N?
2 Uma folha de papel tem 20 cm de comprimento por
15 cm de largura. Dobramos essa folha ao meio, paralelamente à sua largura. Em seguida, dobramos a
folha retangular dupla, de modo que dois vértices
opostos coincidam. Ao desdobrar a folha, as marcas
da segunda dobra dividem a folha em duas partes,
conforme mostrado na figura abaixo. Qual é a área
da parte escura, em cm2?
Considere um código S, formado por uma barra
preta fina, duas médias e uma grossa, separadas por
barras brancas finas. Quantos códigos S diferentes
podem ser assim formados?
A) 4
B) 6
C) 12
D) 24
E) 36
16 No quadriculado abaixo, cada quadradinho tem
1 cm2. Os segmentos inclinados ligam pontos médios dos lados dos quadradinhos ou um vértice ao
centro de um quadradinho. Qual é a área ocupada
pela sigla OBM, em cm2?
A) 28 B) 32
C) 33
D) 34
E) 35
18
3 Observe as igualdades a seguir:
2 Esmeralda comprou seis discos de ferro para usar
num aparelho de ginástica. Esses discos têm massas 1, 2, 3, 4, 5 e 6 quilogramas, respectivamente. Esmeralda pode combiná-los e obter outras massas,
como, por exemplo: 1 disco de 2 kg 1 1 disco de
6 kg 5 8 kg.
Qual a maior quantidade de massas diferentes
que ela pode obter?
11 2 1 15 4
11 2 1 3 1 2 1 15 9
1 1 2 1 3 1 4 1 3 1 2 1 1 5 16

1 1 2 1 3 1  1 2006 1 2007 1 2006 13 1 2 11 5 A
Qual é o valor de
A
?
2232
3 Observe como o quadriculado abaixo é preenchido.
4 Uma folha retangular de cartolina foi cortada ao
longo de sua diagonal. Num dos pedaços restantes, na forma de um triângulo retângulo, foram
feitos dois cortes, paralelos aos lados menores,
pelos meios desses lados. Ao final sobrou um retângulo de perímetro 129 cm. O desenho abaixo
indica a sequência de cortes.
3
3
3
3
Em centímetros, qual era o perímetro da folha
antes do corte?
a) Qual é a soma dos elementos da diagonal 9?
b) Qual é o resto da divisão por 100 da soma dos
elementos da diagonal 2 007?
5 Um reservatório cúbico internamente tem 2 metros
de lado e contém água até a sua metade. Foram colocados no reservatório 25 blocos retangulares de
madeira, que não absorvem água, de dimensões
20 3 30 3 160 centímetros. Sabendo que 80% do
volume de cada bloco permanece submerso na
água, calcule, em centímetros, a altura atingida pela
água, no reservatório.
Nível 2 (7o. e 8o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
Esta prova também corresponde
à prova da Primeira Fase da Olimpíada
Regional nos Estados de:
AL – BA – ES – GO – PA – PI – RN – RS – SC
6 A adição ao lado está incorreta.
Entretanto, se substituirmos so­ 1
mente um certo algarismo a, to­
da vez que ele aparece, por um
certo algarismo b, a conta fica
correta. Qual é o valor de ab ?
1 Observe as multiplicações a seguir:
101 3 11 5 1 111
101 3 111 5 11 211
101 3 1 111 5 112 211
101 3 11 111 5 1 122 211
…
SEGUNDA FASE – parte B
••••••
1 A área do quadrado ABCD é 300 cm2. Na figura,
M é ponto médio de CD, e o ponto F pertence à
reta BC.
Qual é a soma dos algarismos do número obtido
…
11
?
quando multiplicamos 101 pelo número 11111
2007 algarismos 1
A) 1 001
B) 2 007
a) Qual é a área do triângulo ABF?
b)Qual é a área do triângulo ADF?
19
E) 4 014
a
, onde a e b são inteiros positivos, repreb
0
senta um número entre
1
0 e 1, na posição indicaa
da no desenho ao lado.
b
Qual é um possível valor
para a soma a 1b ?
A) 1
C) 3
E) 5
B) 2 D) 4
2 A fração
M
C) 2 009
D) 4 008
10 De quantas maneiras diferentes podemos escrever o número 2 007 como soma de dois ou mais
números inteiros positivos e consecutivos?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
3 Na figura, o lado AB do triângulo equilátero ABC é
paralelo ao lado DG do quadrado DEFG. Qual é o
valor do ângulo x?
G
G
AA
11 As equações do 2o grau 2 007x2 1 2 008x 11 5 0
e x2 1 2 008x 1 2 007 5 0 têm uma raiz comum.
Qual é o valor do produto das duas raízes que não
são comuns?
A) 0 B) 1 C) 2 007 D) 2 008 E) 2 007
F
F
xx
D
D
C
C EE
BB
12 Qual é o máximo valor que o número a(b 1 c) 2 b(a 1 c)
A) 80o B) 90o
C) 100o D) 110o E) 120o a(b 1 c) 2 b(a 1 c) pode assumir se a, b e c são inteiros satis
fazendo 1  a  10, 1  b  10 e 1  c  10 ?
4 Em uma certa cidade, a razão entre o número de
A) 80 B) 81 C) 84 D) 90 E) 100
homens e mulheres é 2 : 3 e entre o número de mulheres e crianças é 8 : 1. A razão entre o número de
13 A quantidade de inteiros x com três dígitos tais que
adultos e crianças é:
6x e 7x possuem a mesma quantidade de dígitos é:
A) 5 : 1 B) 16 : 1 C) 12 : 1 D) 40 : 3 E) 13 : 1
A) 767 B) 875 C) 876 D) 974 E) 975
14 A figura abaixo é formada por três quadrados de
lado 1 e um retângulo que os contorna.
5 Em uma prova de olimpíada, 15% dos estudantes
não resolveram nenhum problema, 25% resolveram pelo menos um problema, mas cometeram
algum erro, e os restantes, 156 estudantes, resolveram todos os problemas corretamente. O número
de estudantes que participaram da olimpíada foi:
A) 200 B) 260 C) 93 D) 223 E) 300
6 Se N é o quadrado do quadrado de um número inN
teiro e tem 12 como fator, o menor valor para
é:
12
A) 3 B) 12 C) 36 D) 54 E) 108
A área do retângulo é:
16 A figura abaixo mostra um retângulo, um pentá­
gono, um triângulo e um círculo, com áreas respectivamente 121, 81, 49 e 25 centímetros quadrados. A diferença entre a área preta e a área cinza,
em centímetros quadrados, é:
AA
B
B
A) 200 B) 10 5 C) 100 D) 6 2 E) 8
15 Se x é real positivo e 1 1 (x2 1 x)(x2 1 5x 1 6) = 1812,
então o valor de x(x 1 3) é:
A) 180
B) 150
C) 120
D) 182 E) 75
7 O jardim da casa de Maria é formado por cinco quadrados de igual área e tem a forma da figura abaixo. Se AB 5 10 m, então a área do jardim em metros
quadrados é:
A) 3 2 B) 4 2 C) 6 100
500
D)
E)
3
3
A) 25 B) 36 C) 49 D) 64 E) 81
17 As seguradoras de automóveis A e B cobram um valor anual (prêmio) mais um valor que o usuário deve
pagar em caso de acidente (franquia). Jean quer fazer um seguro para seu automóvel e recebeu as seguintes propostas das seguradoras:
Seguradora A: Prêmio anual de R$ 1500,00 e franquia de R$ 1400,00;
Seguradora B: Prêmio anual de R$ 1700,00 e franquia de R$ 700,00.
Para valer a pena Jean contratar a Seguradora A, ele
não deve se acidentar com o carro por pelo menos
N anos. O valor de N é:
A) 2
B) 3
C) 4 D) 5
E) 6
8 Sejam a, b, c e k números reais diferentes de zero
a
b
c
satisfazendo as relações k 5
.
5
5
b 1 c c 1 a a 1b
Qual é o número de possíveis valores que k pode
assumir?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
9 Doze pontos estão sobre um círculo. Quantos polígonos convexos podemos formar com vértices
nesses 12 pontos?
A) 4 017 B) 220 C) 4 095 D) 66 E) 3 572
20
18 O desenho abaixo mostra um dado comum cujas
somas das pontuações em faces opostas é sempre
igual a 7. Ele é colocado em uma mesa horizontal
com a face “1” voltada para Leste. O dado é, então,
movido quatro vezes.
RR
Q
Q
S
PP
Norte
Norte
Leste
Leste
Um movimento consiste em uma rotação de 90 o
em relação a uma aresta. Depois do primeiro movimento a face em contato com a mesa passa a ser
a “1”, depois a “2”, então a “3” e, finalmente, a face
“5”. Para que sentido está voltada a face “1” após
esta sequên­cia de movimentos?
A) Oeste B) Leste C) Norte D) Sul
E) Cima
Uma bola, inicialmente a 1 metro da caçapa P, é
batida do lado SP em direção ao lado PQ, como
mostra a figura. A quantos metros de P a bola acerta o lado PQ se a bola cai na caçapa S após duas
batidas na borda da mesa?
6
2
3
A) 1
B) C) 3 D) E)
7
3
5
4
24 (Anulada) Considere todos os números abc de três
algarismos, onde b = a2 1 c2 e a  0. A diferença entre
o maior e o menor destes números é um número:
A) Múltiplo de 3
B) Primo
C) Com último algarismo igual a 7
D) Cuja soma dos algarismos é 10
E) Múltiplo de 7
19 Uma avenida possui 100 prédios numerados de 1
a 100, onde prédios com numeração par se situam
do lado direito da rua, e prédios com numeração
ímpar se situam no lado esquerdo. A quantidade
de andares de cada prédio é igual à soma dos algarismos do número correspondente ao prédio.
Assim, podemos afirmar que:
A)A quantidade de prédios com mais de 10 andares é maior do lado direito da rua.
B)A quantidade de prédios com menos de 5 andares é maior do lado direito da rua.
C)Pelo menos metade dos prédios possui 10 ou
mais andares.
D)Em ambos os lados da rua há a mesma quanti­
dade de prédios com exatos 8 andares.
E) Pelo menos 25% dos prédios possui menos de
5 andares.
25 (Anulada) Seja {an} uma sequência na qual cada
termo é definido como o dobro da soma dos algarismos do termo anterior, mais uma unidade. Por
exemplo, se an = 234, então an11 = 2(2 1 3 1 4) 1 1.
Se, a1 = 1, o valor de a31 1 a32 1 a33 1 a34 1 a35 é
igual a:
A) 44
B) 54
C) 64
D) 77
E) 84
SEGUNDA FASE – parte A
••••••
20 Qual o menor perímetro inteiro possível de um triângulo que possui um dos lados com medida igual
5 3
?
a
2
A) 8
B) 9 C) 10
D) 11
E)12
1 Ludmílson descobriu que o produto da idade que
tinha há 55 anos atrás pela idade que terá daqui
a 55 anos é igual ao cubo de um número primo.
Qual é a idade atual de Ludmílson?
2 Sendo f(x) 5 100x 1 3, calcule o valor de
f (10−8 ) 2 f (103 )
2 f ( 21) .
10−8 2103
21 Determine em qual dos horários abaixo o ângulo
determinado pelos ponteiros de um relógio é o
menor.
A) 02h30
C) 05h40 E) 09h55
B) 06h20
D) 08h50
3 Na figura abaixo temos um pentágono regular,
um quadrado e um triângulo equilátero, todos
com a mesma medida de lado.
22 O máximo divisor comum entre os números 1 221,
2 332, 3 443, 4 554,........, 8 998 é:
A) 3
B) 33
C) 37
D) 11 E) 101
Q
Q
RR
23 Uma mesa de bilhar tem dimensões de 3 metros
por 6 metros e tem caçapas nos seus quatro cantos
P, Q, R e S. Quando uma bola bate na borda da mesa,
sua trajetória forma um ângulo igual ao que a trajetória anterior formava.
C
C
EE
P
B
B
S
T
A
D
A
Determine a medida, em graus, do ângulo QCE.
21
4 Um inteiro positivo K tem n algarismos e é igual a
2 608 ? n. Determine a soma dos algarismos de K.
dio do lado AC. Se AOI = 45o, quanto mede, em
graus, o ângulo ACB?
5 Em 1949 o matemático indiano D. R. Kaprekar inventou
um processo conhecido como Operação de Kaprekar.
Primeiramente escolha um número de quatro dígitos
(não todos iguais), em seguida escreva a diferença entre
o maior e o menor número que podem ser formados a
partir de uma permutação dos dígitos do número inicial. Repetindo o processo com cada número assim obtido, obtemos uma sequência. Por exemplo, se o primeiro número for 2 007, o segundo será 7 200 2 0027 5
5 7 173. O terceiro será 7 731 2 1 377 5 6 354.
Começando com o número 1 998, qual será o
2 007-ésimo termo da sequência?
2 Sejam a e b as raízes da equação quadrática
(x 2 2)(x 2 3) + (x ­­2 3)(x 1 1) + (x 1 1)(x 2 2) 5 0.
Determine o valor de:
1
1
1
1
1
(a 11)(b11) (a 2 2)(b2 2) (a 2 3)(b2 3)
3 a) Determine a quantidade de divisores do nú­mero N = 235 2 23.
b) Mostre que para todo número natural n, n5 2 n é
múltiplo de 30.
4 Um quadrado 4 3 4 é dividido em 16 quadrados
unitários. Cada um dos 25 vértices desses quadrados deve ser colorido de vermelho ou azul. Ache
o número de colorações diferentes tais que cada
quadrado unitário possua exatamente dois vértices
vermelhos.
SEGUNDA FASE – parte B
••••••
1 O triângulo ABC é retângulo em B. Sejam I o centro
da circunferência inscrita em ABC e O o ponto mé-
22
XXVIII OLIMPÍADA
BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2006
PROVAS
Nível 1 (5o. e 6o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
Esta prova também corresponde
à prova da Primeira Fase da Olimpíada
Regional nos Estados de:
BA – ES – RS – RN – PA – PE – PI – SC
C)A soja é a cultura que mais precisa de nutrientes.
D)O milho precisa do dobro do volume de água de
que precisa a soja.
E) A cana-de-açúcar é a que necessita do ambiente
mais úmido para crescer.
3 Um time de futebol ganhou 8 jogos mais do que
perdeu e empatou 3 jogos menos do que ganhou,
em 31 partidas jogadas. Quantas partidas o time
venceu?
A) 11
B) 14
C) 15
D) 17
E) 23
1 Em um tanque há 4 000 bolinhas de pingue-pongue. Um menino começou a retirar as bolinhas, uma
por uma, com velocidade constante, quando eram
10 h. Após 6 horas, havia no tanque 3 520 bolinhas.
Se o menino continuasse no mesmo ritmo, quando
o tanque ficaria com 2 000 bolinhas?
A) às 11 h do dia seguinte
B) às 23 h do mesmo dia
C) às 4 h do dia seguinte
D) às 7 h do dia seguinte
E) às 9 h do dia seguinte
4 Efetuando as operações indicadas na expressão
 22 007 1 22 005 
 2 006
 3 2 006
1 22 004 
2
obtemos um número de quatro algarismos. Qual é a
soma dos algarismos desse número?
A) 4
B) 5
C) 6 D) 7 E) 8
5 Quantos números de três algarismos ímpares distintos são divisíveis por 3?
A) 18
B) 24
C) 28
D) 36
E) 48
2 O gráfico a seguir apresenta informações sobre
o impacto causado por 4 tipos de monocultura
ao solo. Para cada tipo de monocultura, o gráfico mostra a quantidade de água, em litros, e
a de nutrientes (nitrogênio, fósforo e potássio),
em quilogramas, consumidos por hectare para a
produção de 1 kg de grãos de soja ou 1 kg de
milho ou 1 kg de açúcar ou 1 kg de madeira de
eucalipto. Sobre essas monoculturas, pode-se
afirmar que:
6 Uma empresa de telefonia celular oferece planos
mensais de 60 minutos a um custo mensal de
R$ 52,00, ou seja, você pode falar durante 60 minutos no seu telefone celular e paga por isso exatamente R$ 52,00. Para o excedente, é cobrada uma
tarifa de R$ 1,20 cada minuto. A mesma tarifa por
minuto excedente é cobrada no plano de 100 minutos, oferecido a um custo mensal de R$ 87,00.
Um usuário optou pelo plano de 60 minutos, e no
primeiro mês ele falou durante 140 minutos. Se ele
tivesse optado pelo plano de 100 minutos, quantos
reais ele teria economizado?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
2 000
2000
1 500
1500
1 000
1000
7 Quantos triângulos isósceles
têm como vértices os vértices
do pentágono regular desenhado ao lado?
A) 5
D) 20
B) 10
E) 25
C) 15
500
500
0
cana-de-açúcar
açucar
soja
água
milho
eucalipto
nutrientes
1
da massa de
3
nutrientes necessários de que a cana-de-açúcar
precisa para se desenvolver.
B)O eucalipto é a que mais seca e empobrece o
solo, causando desequilíbrio ambiental.
A)O eucalipto precisa de cerca de
8 Dos números a seguir, qual é o único que pode
ser escrito como produto de quatro naturais consecutivos?
A) 712
C) 1 026E) 1 680
B) 548
D) 1 456
23
9 Ao redor de um grande lago existe uma ciclovia de
45 quilômetros de comprimento, na qual sempre se
retorna ao ponto de partida se for percorrida num
único sentido. Dois amigos partem de um mesmo
ponto com velocidades constantes de 20 km por
hora e 25 km por hora, respectivamente, em sentidos opostos. Quando se encontram pela primeira
vez, o que estava correndo a 20 km por hora aumenta para 25 km por hora, e o que estava a 25 km por
hora diminui para 20 km por hora. Quanto tempo
o amigo que chegar primeiro ao ponto de partida
deverá esperar pelo outro?
A) nada
C) 12 min
E) 18 min
B) 10 min
D) 15 min
14 Sara foi escrevendo nas casas de um tabuleiro
95 por 95 os múltiplos positivos de 4, em ordem
crescente, conforme a figura a seguir.
10 Num relógio digital, as horas são exibidas por meio
de quatro algarismos. Por exemplo, ao mostrar
00:00 sabemos que é meia-noite e ao mostrar 23:59
sabemos que falta um minuto para meia-noite.
Quantas vezes por dia os quatro algarismos mostrados são todos pares?
A) 60
B) 90
C) 105
D) 180 E) 240
O número que Sara escreveu onde se encontra a
letra U é:
A) 35 192
C) 36 100
E) 36 108
B) 35 196
D) 36 104
4
760
764
16
748
20
744
→
←
→
←
→
←
→
←
...
...
...
...
376
388
380
384
→
←
→
←
U
15 O desenho à direita
representa dois quadrados menores congruentes de lado 20 e
O
um quadrado maior. A
B
O vértice O é o único ponto comum aos
dois quadrados menores e é o centro do
quadrado maior. Os vértices A, O e B estão alinhados,
e a área da região do quadrado maior não pintada é
igual a 36% da área de toda a região pintada. Qual é
a área do quadrado maior?
A) 420
B) 496
C) 576
D) 640 E) 900
11 São dadas duas tiras retangulares de papel com 20 cm
de comprimento, uma com
5 cm de largura e outra
com 11 cm de largura. Uma
90°
delas foi colada sobre a
outra, perpendicularmente,
de modo a formar a figura ilustrada acima. Qual é o
perímetro dessa figura, em centímetros?
A) 50 B) 60
C) 80
D) 100 E) 120
12 Seis amigos planejam viajar e decidem fazê-lo em
duplas, cada uma utilizando um meio de transporte
diferente, dentre os seguintes: avião, trem e carro.
Alexandre acompanha Bento. André viaja de avião.
Carlos não acompanha Dário nem faz uso do avião.
Tomás não anda de trem. Qual das afirmações a seguir é correta?
A) Bento vai de carro, e Carlos vai de avião.
B) Dário vai de trem, e André vai de carro.
C) Tomás vai de trem, e Bento vai de avião.
D) Alexandre vai de trem, e Tomás vai de carro.
E) André vai de trem, e Alexandre vai de carro.
16 Um certo número inteiro positivo, quando dividido
por 15, dá resto 7. Qual é a soma dos restos das divisões desse número por 3 e por 5?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
17 No fim de 1994, Neto tinha a metade da idade de
sua avó. A soma dos anos de nascimento dos dois é
3 844. Quantos anos Neto completa em 2006?
A) 55
B) 56
C) 60
D) 62
E) 108
18 A figura a seguir representa um Tangram, quebra-cabeças chinês formado por 5 triângulos, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Sabendo que a área do
Tangram a seguir é 64 cm2, qual é a área, em cm2, da
região sombreada?
13 Usando pastilhas de cerâmica preta na forma de
quadradinhos foi composta uma decoração numa
parede, mostrada parcialmente abaixo:
12
752
...
←
8
756
Quantas pastilhas foram empregadas em toda a decoração considerando-se que na última peça montada foram utilizadas 40 pastilhas?
A) 60
B) 68
C) 81
D) 100 E) 121
24
A) 7,6
B) 8
C) 10,6
D) 12
E) 21,3
19 As permutações da palavra BRASIL foram listadas em
ordem alfabética, como se fossem palavras de seis letras em um dicionário. A 361a palavra nessa lista é:
A) BRISAL
C) RASBIL
E) LABIRS
B) SIRBAL
D) SABRIL
SEGUNDA FASE – parte B
••••••
1 Jade escreveu todos os números de 3 algarismos em
cartões amarelos, um por cartão, e escreveu todos os
números de 4 algarismos em cartões azuis, um por
cartão. Os cartões são todos do mesmo tamanho.
a) Ao todo, quantos cartões foram utilizados? Lembre-se de que, por exemplo, 037 é um número de
dois algarismos, bem como 0853 é um número
de três algarismos.
b) Todos os cartões são então colocados numa mesma urna e embaralhados. Depois Jade retira os
cartões, um a um, sem olhar o que está pegando.
Quantos cartões Jade deverá retirar para ter certeza
de que há dois cartões azuis entre os retirados?
20 No planeta POT o número de horas por dia é igual
ao número de dias por semana, que é igual ao
número de semanas por mês, que é igual ao número de meses por ano. Sabendo que em POT há
4 096 horas por ano, quantas semanas há num mês?
A) 8
B) 12
C) 64
D) 128
SEGUNDA FASE – parte A
••••••
2 No quadriculado ao lado, cada
quadradinho tem 1 cm2 de área.
a) Qual é a área e o perímetro
da figura formada pelos
quadradinhos pintados de
cinza?
b) Pintando outros quadradi­
nhos, podemos aumentar a área dessa figura,
sem mudar o seu perímetro. Qual é o valor máximo da área que podemos obter dessa maneira?
1 Qual é a soma dos algarismos do número
22
23
24
22 005
22 006
1 2 1 3 1 ... 1 2 004 1 2 005 ?
2
2
2
2
2
2 A massa de gordura de uma certa pessoa corresponde a 20% de sua massa total. Essa pessoa, pesando 100 kg, fez um regime e perdeu 40% de sua
gordura, mantendo os demais índices. Quantos quilogramas ela pesava ao final do regime?
3 Quantos números de dois algarismos têm a soma
desses algarismos igual a um quadrado perfeito?
Lembre-se de que, por exemplo, 09 é um número de
um algarismo.
3 Esmeralda inventou uma brincadeira. Digitou alguns
algarismos na primeira linha de uma folha. Depois,
na segunda linha, fez a descrição dos algarismos
digitados da seguinte maneira: ela apresentou as
quantidades de cada um dos que apareceram, em
ordem crescente de algarismo. Por exemplo, após
digitar 21035662112, ela digitou 103132131526,
pois em 21035662112 existe um algarismo 0, três
algarismos 1, três algarismos 2, um algarismo 3, um
algarismo 5 e dois algarismos 6.
a) Ela começou uma nova folha com 1. Fez, então,
sua descrição, ou seja, digitou 11 na segunda linha. Depois, descreveu 11, ou seja, digitou 21 na
terceira linha, e assim continuou. O que ela digitou na 10a linha da folha?
b) Esmeralda gostou tanto de fazer isso que decidiu preencher várias folhas com essa brincadeira, começando com 01 na primeira linha
da primeira folha. Quais são os dois primeiros
algarismos da esquerda do que ela digitou na
2 006a linha?
4 Os números de 1 a 99 são escritos lado a lado:
123456789101112...9899. Então aplicamos a seguinte operação: apagamos os algarismos que aparecem nas posições pares, obtendo 13579012...89.
Repetindo essa operação mais 4 vezes, quantos algarismos irão sobrar?
5 Com a parte destacada da folha retangular ao lado, pode-se
montar um cubo. Se a área da
folha é 300 cm2, qual é o volume
desse cubo, em cm3?
6 Na tabela a seguir, escreva os números de 1 a 9 em
cada coluna, de modo que a soma dos números escritos nas 9 linhas seja a mesma, igual a Y. Seja X a
soma dos números de cada coluna. Calcule X 1 Y.
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
X
X
Nível 2 (7o. e 8o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
1 Efetuando as operações
 22 007 1 22 005 
 2 006
 3 2 006
indicadas na expressão
1 22 004 
2
ao lado, obtemos um
número de quatro algarismos. Qual é a soma dos
algarismos desse número?
A) 4
B) 5
C) 6 D) 7 E) 8
X
25
2 São dadas duas tiras retangulares de papel com
20 cm de comprimento, uma com 5 cm de largura
e outra com 11 cm de largura. Uma delas foi colada sobre a outra, perpendicularmente, de modo a
formar a figura ilustrada abaixo. O perímetro dessa
figura, em centímetros é:
8 Três quadrados são colados pelos seus vértices entre
si e a dois bastões verticais, como mostra a figura.
75°
30°
90°
A) 50
B) 60
C) 80
D) 100
E) 120
A
30°
EE
A) 10º B) 20º C) 15º E) 46º
A) 18
B) 14
C) 9
D) 20
E) 10
12 Um triângulo equilátero e um hexágono regular
têm o mesmo perímetro. A razão entre a área do triângulo e a área do hexágono é:
C
C
D) 30º D) 44º
11 Seis amigos planejam viajar e decidem fazê-lo em
duplas, cada uma utilizando um meio de transporte
diferente, dentre os seguintes: avião, trem e carro.
Alexandre acompanha Bento. André viaja de avião.
Carlos não acompanha Dário nem faz uso do avião.
Tomás não anda de trem. Qual das afirmações a seguir é correta?
A) Bento vai de carro, e Carlos vai de avião.
B) Dário vai de trem, e André vai de carro.
C) Tomás vai de trem, e Bento vai de avião.
D) Alexandre vai de trem, e Tomás vai de carro.
E) André vai de trem, e Alexandre vai de carro.
5 Na figura, AB 5 AC, AE 5 AD, e o ângulo BAD mede
30o. Então, o ângulo x mede:
D
A medida do ângulo x é:
A) 39º
B) 41º
C) 43º
10 O número de quadrados que podem ser construídos com vértices nos pontos da figura abaixo é:
4 Ao redor de um grande lago existe uma ciclovia de
45 quilômetros de comprimento, na qual sempre se
retorna ao ponto de partida se for percorrida num
único sentido. Dois amigos partem de um mesmo
ponto com velocidades constantes de 20 km por
hora e 25 km por hora, respectivamente, em sentidos opostos. Quando se encontram pela primeira
vez, o que estava correndo a 20 km por hora aumenta para 25 km por hora, e o que estava a 25 km por
hora diminui para 20 km por hora. Quanto tempo
o amigo que chegar primeiro ao ponto de partida
deverá esperar pelo outro?
A) nada
C) 12 min
E) 18 min
B) 10 min
D) 15 min
B
B
126°
9 Sejam a, b e c inteiros e positivos. Entre as opções
abaixo, a expressão que não pode representar o número 24 é:
A) ab3
C) a c b c E) a b b c ca
B) a2b3
D) ab2c3
3 Se um número de dois dígitos é 5 vezes a soma de
seus dígitos, então o número formado pela troca
dos dígitos é a soma dos dígitos multiplicada por:
A) 3 B) 5 C) 6 D) 4 E) 7
xx
x
x
E) 5º
6 A soma de três números naturais consecutivos é
igual ao produto desses três números. A soma dos
quadrados desses números é:
A) 14
B) 15
C) 18
D) 24
E) 36
1
A) 
2
B) 1 2 C) 
3
3
D) 
2
1
E) 
3
13 O máximo divisor comum de todos os termos da
sequência an 5 n3 2 n, n 5 1, 2, 3, ... é:
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
14 Samuel possui três irmãos a mais do que irmãs. O
número de irmãos de Samila, irmã de Samuel, é
igual ao dobro do número de suas irmãs. O número
de filhos (homens e mulheres) que possui o pai de
Samuel e Samila é:
A) 10 B) 13 C) 16 D) 17 E) 20
7 No fim de 1994, Neto tinha a metade da idade de
sua avó. A soma dos anos de nascimento dos dois
é 3 844. Em 2006 Neto fará:
A) 55 anos
C) 60 anos
E) 108 anos
B) 56 anos
D) 62 anos
26
15 A figura a seguir representa um Tangram, quebra-cabeças chinês formado por 5 triângulos, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Sabendo que a área do
Tangram a seguir é 64 cm2, qual é a área, em cm2, da
região sombreada?
digitadas. Piraldo notou que após digitar cada nota
a média calculada pela planilha era um número inteiro. Se as notas dos cinco estudantes são, em ordem crescente, 71, 76, 80, 82 e 91, a última nota que
Piraldo digitou foi:
A) 71
B) 76
C) 80
D) 82
E) 91
21 Simplificando a expressão:
21 3 ? 21 21 3 ? 21 21 21 3 ? 2 21 3
Obtemos:
A) 7,6
B) 8
C) 10,6
D) 12
E) 21,3
E) a 
1
1
1
e b
e c
3
3
3
A) 0 y z 
x z
B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
D
D
a 1 b 5 c2

a 1 b 1 c 5 30
D) 25
D) 2 1 2 25 Na figura a seguir, ABC é um triângulo qualquer e
ACD e AEB são triângulos equiláteros. Se F e G são
os pontos médios de EA e AC, respectivamente, a
BD
é:
razão
FG
1
1
1
e b e c
3
3
3
C) 24 3
24 Num relógio digital, as horas são exibidas por meio
de quatro algarismos. Por exemplo, ao mostrar 00:00
sabemos que é meia-noite e ao mostrar 23:59 sabemos que falta um minuto para meia-noite. Quantas
vezes por dia os quatro algarismos mostrados são
todos pares?
A) 60
B) 90
C) 105
D) 180
E) 240
1
1
1
e b1c e c1a 2
2
2
B) 23
B)
1
1
1
e b e c
2
2
2
A) 45
x y
18 O número de soluções inteiras e positivas do sistema abaixo é:
C) 1


(x2 y2 z2 ) 31 3 1 31 3 1 31 3  é:
1
1
1
A) 0  a  b  e 0  b  c  e 0  c  a 
2
2
2
D) a 
2
23 Sejam x, y, z números reais não nulos tais que
x 1 y 1 z 5 0. O valor de
17 Sejam a, b e c números reais positivos cuja soma é 1.
Se a, b e c são as medidas dos lados de um triângulo,
podemos concluir que:
C) a 1 b 
A)
22 Ludmilson percebeu que para numerar as páginas
de um livro, consecutivamente, a partir da página 2,
foram usados 2 006 algarismos. O número de páginas do livro de Ludmilson é:
A) 701 B) 702 C) 703 D) 704 E) 705
16 João escreveu todos os números com menos de
4 dígitos usando apenas os algarismos 1 e 2 numa
folha de papel e depois somou todos eles. O valor
obtido foi:
A) 2 314 B) 3 000 C) 1 401 D) 2 316 E) 1 716
B) a 
E) 2 1 3
A
A
F
F
E
E
G
G
E) 72
19 Um número com dois dígitos distintos e não nulos é
chamado de bonito se o dígito das dezenas é maior
do que o dígito das unidades. A quantidade de números bonitos é:
A) 72 B) 36
C) 35
D) 64
E) 56
B
1
A) 2
B) 1
20 O professor Piraldo aplicou uma prova para seus
cinco alunos e, após corrigi-las, digitou as notas
em uma planilha eletrônica que calcula automaticamente a média das notas à medida que elas são
C)
27
C
C
D)2
E) Depende das medidas dos
lados de ABC.
3
2 SEGUNDA FASE – parte A
••••••
Por exemplo, a partir da terna (1, 2, 3), obtemos a
seguinte sequência:
(1, 2, 3) → (2, 2, 21) → (8, 21, 3) → (264, 12, 24) ...
1 Esmeralda posicionou todos os números naturais de
1 a 2 006 no seguinte arranjo em forma de pirâmide:
20 13 22
19 12
18 11
17 10
Se começarmos com (1, 1, 1) como a primeira terna
ordenada de uma sequência, qual será a soma dos
três termos da terna que ocupará a 2 006a posição
nesta sequência?
21
5
7
14 23
6
3
8
15 24
2
1
4
9
SEGUNDA FASE – parte B
••••••
16 25
1 Na Rua do Gengibre, existem n casas numeradas de
1 a n (n  IN). As casas de numeração par ficam todas de um mesmo lado da rua, com as casas de numeração ímpar do lado oposto. O prefeito Ludmilson Amottarim resolveu derrubar alguma(s) casa(s)
a fim de que as somas dos números das casas fossem iguais dos dois lados da rua. Para atingir o seu
objetivo, qual é o número mínimo de casas que o
prefeito deve derrubar se:
a) a rua tem n 5 15 casas?
b) a rua tem n 5 16 casas?
c) a rua tem n 5 2 006 casas?
Em qual andar se encontrará o número 2 006? (Por
exemplo: o número 1 está no primeiro andar, o 6, no
segundo andar, e o 23, no terceiro).
2 A soma dos quadrados de três inteiros consecutivos
é igual a 302. Qual é a soma desses números?
3 Seja ABC um triângulo retângulo em A. Considere M e N pontos sobre a hipotenusa BC tais que
CN 5 NM 5 MB. Os pontos X e Y são tais que XA 5 AM
e YA 5 AN. Determine a área do quadrilátero XYBC,
sabendo que o triângulo ABC tem área 12 cm2.
2 No triângulo ABC isósceles abaixo, I é o encontro
das bissetrizes, e H é o encontro das alturas. Sabe-se
que HAI 5 HBC 5 a. Determine o ângulo a.
C
N
B
B
M
A
B
X
II
Y
H
H
A
A
4 Um tabuleiro de xadrez 8 3 8 será decomposto em
retângulos que satisfazem simultaneamente às seguintes propriedades:
(i) cada retângulo possui um número inteiro de casas;
(ii) os diversos retângulos possuem números de casas distintos entre si;
(iii) cada retângulo possui a mesma quantidade de
casas brancas e pretas.
Qual é o maior número de retângulos que pode ter
a decomposição do tabuleiro?
C
C
3 Sejam a e b números reais distintos tais que a2 5 6b 1
1 5ab e b2 5 6a 1 5ab.
a) Determine o valor de a 1 b.
b) Determine o valor de ab.
4 Todos os inteiros de 1 a 2 006 são escritos num quadro. Então, cada um destes números é substituído
pela soma de seus algarismos. Estas substituições
são realizadas repetidas vezes até que tenhamos
2 006 números com 1 algarismo cada. Dos números
que restaram no quadro, qual aparece mais vezes: o
1 ou o 2?
5 A partir de uma terna ordenada (a, b, c), obtemos
uma sequência de ternas através de sucessivas
transformações do tipo:
(a, b, c) → (a2 ? b, a 2 b 1 c, b 2 c).
28
XXVII OLIMPÍADA
BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2005
PROVAS
7 Três anos atrás, a população de Pirajussaraí era igual
à população que Tucupira tem hoje. De lá para cá, a
população de Pirajussaraí não mudou, mas a população de Tucupira cresceu 50%. Atualmente, as duas
cidades somam 9 000 habitantes. Há três anos, qual
era a soma das duas populações?
A) 3 600 B) 4 500 C) 5 000 D) 6 000 E) 7 500
Nível 1 (5o. e 6o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
Esta prova também corresponde
à prova da Primeira Fase da Olimpíada
Regional nos Estados de:
AM – AL – BA – PA – PB – PI – PR– RS – RN – SC
8 Um agricultor esperava receber cerca de 100 mil
reais pela venda de sua safra. Entretanto, a falta de
chuva provocou uma perda da safra avaliada entre
1 1
e do total previsto. Qual dos valores a seguir
5 4
pode representar a perda do agricultor?
A)R$ 21 987,53
D)R$ 51 987,53
B)R$ 34 900,00
E) R$ 60 000,00
C)R$ 44 999,99
9 Devido a um defeito de impressão, um livro de
600 páginas apresenta em branco todas as páginas
cujos números são múltiplos de 3 ou de 4. Quantas
páginas estão impressas?
A) 100
B) 150 C) 250 D) 300 E) 430
1 Sabendo-se que 9 174 532 3 13 5 119 268 916 po­
de-se concluir que é divisível por 13 o número:
A) 119 268 903 D) 119 268 913
B) 119 268 907
E) 119 268 923
C) 119 268 911
2 Numa caixa havia 3 meias vermelhas, 2 brancas
e 1 preta. Professor Piraldo retirou 3 meias da caixa.
Sabendo-se que nenhuma delas era preta, podemos afirmar sobre as 3 meias retiradas que:
A) são da mesma cor.
B) são vermelhas.
C) uma é vermelha e duas são brancas.
D) uma é branca e duas são vermelhas.
E) pelo menos uma é vermelha.
10 Seis retângulos idênticos são reunidos para formar
um retângulo maior, conforme indicado na figura.
Qual é a área deste retângulo maior?
3 Diamantino colocou em um recipiente três litros de
água e um litro de suco composto de 20% de polpa
e 80% de água. Depois de misturar tudo, que porcentagem do volume final é polpa?
A) 5%
B) 7%
C) 8%
D) 20% E) 60%
21 cm
4 Perguntado, Arnaldo diz que 1 bilhão é o mesmo
que um milhão de milhões. Professor Piraldo o corrigiu e disse que 1 bilhão é o mesmo que mil milhões.
Qual é a diferença entre essas duas respostas?
A) 1 000
D) 999 000 000
B) 999 000
E) 999 000 000 000
C) 1 000 000
A) 210 cm2
C) 430 cm2
E) 588 cm2
B) 280 cm2
D) 504 cm2
11 O relógio do professor Piraldo, embora preciso, é
diferente, pois seus ponteiros se movem no sentido anti-horário. Se você olhar no espelho o relógio
quando ele estiver marcando 2h23min, qual das seguintes imagens você verá?
5 Numa sequência, cada termo, a partir do terceiro, é a
soma dos dois termos anteriores mais próximos. O segundo termo é igual a 1, e o quinto termo vale 2 005.
Qual é o sexto termo?
A) 3 002 B) 3 008 C) 3 010 D) 4 002 E) 5 004
6 Um galão de mel fornece energia suficiente para
E
uma abelha voar 7 milhões de quilômetros. QuanA) B)
A)
tas abelhas iguais a ela conseguiriam voar mil quilômetros se houvesse 10 galões de mel para serem
compartilhados entre elas?
E 000
A) 7 000
C) 700 000
E) 70 000
A)
B)
B) 70 000
D) 7 000 000 A)
29
E E
A)
A)
E
E
B)
B)
E
B) C)
E E
E
C)
B)
E
E
EE
C)C)D)
D)
C) D)
C)
E
E
E)
D) E)
D)
D)
E
E
E)
E E
E
E)
E
E)
E
E)
E
12 Uma placa decorativa
1m
consiste num quadrado
1m
de 4 metros de lado, pin- 1m
tada de forma simétrica com algumas faixas, 1m
conforme indicações no
1m
desenho ao lado. Qual é
1m
a fração da área da placa
que foi pintada?
6
3
1
1
A) 
B) 
C) 
D)  13
8
2
3
16 Dentre os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10, escolha
alguns e coloque-os nos círculos brancos de tal forma que a soma dos números em dois círculos vizinhos seja sempre um quadrado perfeito. Atenção: o
2 já foi colocado em um dos círculos e não é permitido colocar números repetidos; além disso, círculos
separados pelo retângulo preto não são vizinhos.
2
7
E) 
11
13 Películas de insulfilm são utilizadas em janelas de
edifícios e vidros de veículos para reduzir a radiação
solar. As películas são classificadas de acordo com
seu grau de transparência, ou seja, com o percen­
tual da radiação solar que ela deixa passar. Colo­
cando-se uma película de 70% de transparência sobre um vidro com 90% de transparência, obtém-se
uma redução de radiação solar igual a:
A) 3%
B) 37% C) 40% D) 63% E) 160%
A soma dos números colocados em todos os círculos brancos é:
A) 36
B) 46
C) 47
D) 49
E) 55
17 Figuras com mesma forma representam objetos de
mesma massa. Quantos quadrados são necessários
para que a última balança fique em equilíbrio?
14 Na figura, os dois triângulos são equiláteros. Qual é
o valor do ângulo x?
?
x
75o°
A) 30o
B) 40o
C) 50o
D) 60o
E) 70o
15 Um serralheiro solda varetas
10
de metal para produzir peças
5 5
iguais que serão juntadas para 10
5
formar o painel abaixo. O dese10
nho ao lado apresenta as medidas, em centímetros, de uma dessas peças. O serralheiro usa exatamente 20 metros de vareta para
fazer o seu trabalho.
B)
D) 10
E) 12
20 As nove casas de um tabuleiro 3 3 3 devem ser pintadas de forma que cada coluna, cada linha e cada
uma das duas diagonais não tenham duas casas de
mesma cor. Qual é o menor número de cores necessárias para isso?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
SEGUNDA FASE – parte A
••••••
D)
C) 9
19 Em um ano, no máximo quantos meses têm cinco
domingos?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Qual dos desenhos abaixo representa o final do
painel?
A)
B) 8
18 As 10 cadeiras de uma mesa circular foram numeradas com números consecutivos de dois algarismos,
entre os quais há dois que são quadrados perfeitos.
Carlos sentou-se na cadeira com o maior número, e
Janaína, sua namorada, sentou-se na cadeira com o
menor número. Qual é a soma dos números dessas
duas cadeiras?
A) 29
B) 36
C) 37
D) 41
E) 64
65°o
A) 7
1 O tanque do carro de Esmeralda, com capacidade de
60 litros, contém uma mistura de 20% de álcool e 80%
de gasolina ocupando metade de sua capacidade.
Esmeralda pediu para colocar álcool no tanque até
que a mistura ficasse com quantidades iguais de álcool e gasolina. Quantos litros de álcool devem ser
colocados?
E)
C)
30
2 Na sequência de números 1, a, 2, b, c, d, ..., dizemos
que o primeiro termo é 1, o segundo termo é a, o
terceiro termo é 2, o quarto termo é b, e Iassim por
I J
diante.
D
Sabe-se que essa sequência tem 2005 termos e D
que C
cada termo, a partir do terceiro, é a média aritmética
A
A
de todos os termos anteriores. Qual é o último ter- B
mo dessa sequência?
LK
L
3 Natasha é supersticiosa e, ao numerar as 200 páginas de seu diário, começou do 1 mas pulou todos
os números nos quais os algarismos 1 e 3 aparecem
juntos, em qualquer ordem. Por exemplo, os números 31 e 137 não aparecem no diário, porém 103
aparece.
Qual foi o número que Natasha escreveu na última
página do seu diário?
H
H
J
MN
M
C
B
K
E
P
E
Os quadrados ABCD e EFGH têm lados respectivamente iguais a 3 cm e 9 cm. Calcule as áreas dos
quadrados IJKL e MNOP.
2 Considere três números inteiros positivos consecutivos de três algarismos tais que o menor é múltiplo
de 7, o seguinte é múltiplo de 9, e o maior é múltiplo de 11. Escreva todas as sequências de números
que satisfazem a essas propriedades.
3 Cada peça de um jogo de dominó possui duas casas
numeradas. Considere as 6 peças formadas apenas
pelos números 1, 2 e 3.
A) De quantos modos é possível colocar todas estas peças alinhadas em sequência, de modo que
o número da casa da direita de cada peça seja
igual ao número da casa da esquerda da peça
imediatamente à direita?
A seguir, mostramos dois exemplos:
5 Lara tem cubos iguais e quer pintá-los de maneiras
diferentes, utilizando as cores laranja ou azul para
colorir cada uma de suas faces.
Para que dois cubos não se confundam, não deve
ser possível girar um deles de forma que fique idêntico ao outro. Por exemplo, há uma única maneira de
pintar o cubo com uma face laranja e cinco azuis.
Quantos cubos pintados de modos diferentes ela
consegue obter?
B)Explique por que não é possível fazer o mesmo
com todas as 10 peças formadas apenas pelos
números 1, 2, 3 e 4.
6 Um carpinteiro fabrica caixas de madeira abertas
na parte de cima, pregando duas placas retangulares de 600 cm2 cada uma, duas placas retangulares
de 1 200 cm2 cada uma
e uma placa retangular
de 800 cm2, conforme representado no desenho.
Qual é o volume, em litros, da caixa? Note que
1 litro 5 1 000 cm3.
Nível 2 (7o. e 8 o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
Esta prova também corresponde à
prova da Primeira Fase da Olimpíada
Regional nos Estados de:
AM – AL – BA – PA – PB – PI – PR– RS – RN – SC
1 Uma loja de sabonetes realiza uma promoção com
o anúncio “Compre um e leve outro pela metade do
preço”. Outra promoção que a loja poderia fazer oferecendo o mesmo desconto percentual é:
A)“Leve dois e pague um”
B) “Leve três e pague um”
C) “Leve três e pague dois”
D)“Leve quatro e pague três”
E) “Leve cinco e pague quatro”
SEGUNDA FASE – parte B
••••••
1 Quatro peças iguais, em forma de triângulo retângulo, foram dispostas de dois modos diferentes,
como mostram as figuras.
31
O
PO
F
4 Juliana foi escrevendo os números inteiros positivos em quadrados de papelão, colados lado a lado
por fitas adesivas representadas pelos retângulos
escuros no desenho
ao lado. Note que
1
cada fila de quadrados tem um quadra2
3
do a mais que a fila
de cima. Ela escreveu
5
6
4
até o número 105 e
parou. Quantos pe10
9
8
7
daços de fita adesiva
ela usou?
N
G
F
G
2 Películas de insulfilm são utilizadas em janelas de
edifícios e vidros de veículos para reduzir a radiação
solar. As películas são classificadas de acordo com
seu grau de transparência, ou seja, com o percen­
tual da radiação solar que ela deixa passar. Colocando-se uma película de 70% de transparência sobre
um vidro com 90% de transparência, obtém-se uma
redução de radiação solar igual a:
A) 3%
B) 37% C) 40% D) 63% E) 160%
3 Seis retângulos idênticos
são reunidos para formar um retângulo maior
conforme indicado na figura. Qual é a área deste
retângulo maior?
A) 210 cm2 C) 430 cm2
B) 280 cm2 D) 504 cm2 9 Entre treze reais não nulos há mais números positivos do que negativos. Dentre os 13 3 12 5 78 pro2
dutos de dois dos treze números, 22 são negativos.
Quantos números dentre os treze números dados
são negativos?
A) 2
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
10 O desenho ao lado
15 cm
mostra um pedaço
de papelão que será
dobrado e colado
nas bordas para for- 40 cm
40 cm
mar uma caixa retangular. Os ângulos
nos cantos do papelão são todos retos.
Qual será o volume da caixa em cm3?
A) 1 500 B) 3 000 C) 4 500 D) 6 000
21 cm
E) 588 cm2
4 Perguntado, Arnaldo diz que 1 bilhão é o mesmo
que um milhão de milhões. Professor Piraldo o corrigiu e disse que 1 bilhão é o mesmo que mil milhões.
Qual é a diferença entre essas duas respostas?
A) 1 000
D) 999 000 000
B) 999 000
E) 999 000 000 000
C) 1 000 000
6 Platina é um metal muito raro, mais raro até do que
ouro. Sua densidade é 21,45 g/cm3. Suponha que a
produção mundial de platina foi de cerca de 110 toneladas em cada um dos últimos 50 anos e desprezível antes disso. Assinale a alternativa com o objeto
cujo volume é mais próximo do volume de platina
produzido no mundo em toda a história.
A) uma caixa de sapatos
B) uma piscina
C) um edifício de dez andares
D) o monte Pascoal
E) a Lua
13 Na figura, os dois triângulos são equiláteros. Qual é
o valor do ângulo x?
x
8 Figuras com mesma forma representam objetos de
mesma massa. Quantos quadrados são necessários
para que a última balança fique em equilíbrio?
o
A) 30o 65°
o
B) 40o C) 50o D) 60o
E) 70o
14 As letras O, B e M representam números inteiros. Se
O 3 B 3 M 5 240, O 3 B 1 M 5 46 e O 1 B 3 M 5 64,
quanto vale O 1 B 1 M?
?
D) 10
75°
C) 9
E) 12 000
12 Em certa cidade, acontece um fato interessante. Dez
por cento dos baianos dizem que são paulistas, e
dez por cento dos paulistas dizem que são baianos.
Todos os outros paulistas e baianos assumem a sua
verdadeira origem. Dentre os paulistas e baianos,
20% dizem que são paulistas. Que percentual os
realmente paulistas representam dentre os paulistas e baianos?
A) 12,5% B) 18% C) 20%
D) 22% E) 22,5%
7 Numa sequência, cada termo, a partir do terceiro, é
a soma dos dois termos anteriores mais próximos.
O segundo termo é igual a 1, e o quinto termo
vale 2 005. Qual é o sexto termo?
A) 3 002 B) 3 008 C) 3 010 D) 4 002 E) 5 004
B) 8
20
11 Sendo a, b e c números reais, pela propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, é
verdade que a 3 (b 1 c) 5 (a 3 b) 1 (a 3 c). A
distributiva da adição em relação à multiplicação
a 1 (b 3 c) 5 (a 1 b) 3 (a 1 c) não é sempre verdadeira, mas ocorre se, e somente se:
1
ou a 5 0
A) a 5 b 5 c 5
3
B) a 5 b 5 c
C) A igualdade nunca ocorre
D) a 1 b 1 c 5 1 ou a 5 0
E) a 5 b 5 c 5 0
5 Devido a um defeito de impressão, um livro de
600 páginas apresenta em branco todas as páginas
cujos números são múltiplos de 3 ou de 4. Quantas
páginas estão impressas?
A) 100
B) 150
C) 250
D) 300 E) 430
A) 7
20 cm
cm
E) 12
32
A) 19
B) 20
C) 21
D) 24
E) 36
15 Um serralheiro solda varetas
10
de metal para produzir peças
5
iguais que serão juntadas 10
5
para formar o painel abaixo.
5
10
O desenho ao lado apresenta
as medidas, em centímetros,
de uma dessas peças. O serralheiro usa exatamente
20 metros de vareta para fazer o seu trabalho.
20 Um professor de Inglês dá aula particular para
uma classe de 9 alunos, dos quais pelo menos
um é brasileiro. Se o professor escolher 4 alunos
para fazer uma apresentação, terá no grupo pelo
menos dois alunos de mesma nacionalidade; se
escolher 5 alunos, terá no máximo três alunos de
mesma nacionalidade. Quantos brasileiros existem
na classe?
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4
E) 5
21 Um relógio, com ponteiros de horas, minutos e segundos, faz plim toda vez que um ponteiro ultrapassa outro no mostrador. O número de plins registrados
em certo dia, no período entre as 12 horas e 1 segundo e as 23 horas, 59 minutos e 59 segundos é:
A) 732
B) 1 438 C) 1 440 D) 1 446 E) 1 452
Qual dos desenhos abaixo representa o final do painel?
A)
B)
D)
22 Na figura, a reta PQ toca em N o círculo que passa
por L, M e N. A reta LM corta a reta PQ em R. Se
LM 5 LN, e a medida do ângulo PNL é a, a  60o,
quanto mede o ângulo LRP?
E)
L
C)
16 Em um ano, no máximo quantos meses têm cinco
domingos?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
M
17 Quantos números entre 10 e 13 000, quando lidos
da esquerda para a direita, são formados por dígitos
consecutivos e em ordem crescente? Exemplificando, 456 é um desses números, mas 7 890 não é:
A) 10
B) 13
C) 18
D) 22
E) 25
P
A) 3a 2 180o
B) 180o 2 2a
Q
R
N
C) 180o 2 a
D) 90o 2 α 2
E) a
23 Os inteiros positivos x e y satisfazem a equação:
18 Um piloto percorreu três trechos de um rali, de extensões 240 km, 300 km e 400 km, respectivamente.
As velocidades médias nos três trechos foram
40 km/h, 75 km/h e 80 km/h, mas não necessariamente nessa ordem. Podemos garantir que o tempo
total em horas gasto pelo piloto nos três trechos é:
A)menor ou igual a 13 horas
B)maior ou igual a 13 horas e menor ou igual a
16 horas
C)maior ou igual a 14 horas e menor ou igual a
17 horas
D)maior ou igual a 15 horas e menor ou igual a
18 horas
E) maior ou igual a 18 horas
19 Na figura, todas as circunferências
menores têm o mesmo raio r, e os
centros das circunferências que
a
tocam a circunferência maior são
vértices de um quadrado. Sejam a
e b as áreas cinza indicadas na figua
ra. Então, a razão
é igual a:
b
3
2
1
B) C) 1
D) A) 2
3
2
α
x1
1
1
y  x
y 51
2
2
Qual das alternativas apresenta um possível valor
de y?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
24 Dentre os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10, escolha alguns e coloque-os nos círculos brancos de tal
forma que a soma dos números em dois círculos
vizinhos seja sempre um quadrado perfeito. Atenção: o 2 já foi colocado em um dos círculos e não é
permitido colocar números repetidos; além disso,
círculos separados pelo retângulo preto não são
vizinhos.
b
2
E) 2
33
A soma dos números colocados em todos os círculos brancos é:
A) 36
B) 46
C) 47
D) 49
E) 55
25 Um bloco de dimensões 1 3 2 3 3 é coloZ
cado sobre um tabuleiY
ro 8 3 8, como mostra a
figura, com a face X, de
dimensões 1 3 2, virada para baixo. Giramos
o bloco em torno de uma de suas arestas de modo
que a face Y fique virada para baixo. Em seguida, giramos novamente o bloco, mas desta vez de modo
que a face Z fique virada para baixo. Giramos o bloco mais três vezes, fazendo com que as faces X, Y e
Z fiquem viradas para baixo, nessa ordem. Quantos
quadradinhos diferentes do tabuleiro estiveram em
contato com o bloco?
A) 18
B) 19
C) 20
D) 21
E) 22
4 Um terreno quadrangular foi dividido em quatro lotes menores por duas cercas retas unindo os pontos
médios dos lados do terreno. As áreas de três dos lotes estão indicadas em metros quadrados no mapa
a seguir.
SEGUNDA FASE – parte A
••••••
5 Seja a um número inteiro positivo tal que a é múltiplo de 5, a 1 1 é múltiplo de 7, a 1 2 é múltiplo de
9, e a 1 3 é múltiplo de 11. Determine o menor valor
que a pode assumir.
250
200
Qual é a área do quarto lote, representado pela região escura no mapa?
1 Natasha é supersticiosa e, ao numerar as 200 páginas de seu diário, começou do 1 mas pulou todos os
números nos quais os algarismos 1 e 3 aparecem juntos, em qualquer ordem. Por exemplo, os números 31
e 137 não aparecem no diário, porém 103 aparece.
Qual foi o número que Natasha escreveu na última
página do seu diário?
SEGUNDA FASE – parte B
••••••
1 Gabriel resolveu uma prova de Matemática com
questões de Álgebra, Geometria e Lógica. Após
checar o resultado da prova, Gabriel observou que
respondeu corretamente 50% das questões de Álgebra, 70% das questões de Geometria e 80% das
questões de Lógica. Gabriel observou, também, que
respondeu corretamente 62% das questões de Álgebra e Lógica e 74% das questões de Geometria
e Lógica. Qual a porcentagem de questões corretas
da prova de Gabriel?
2 Quatro peças iguais, em forma de triângulo retângulo, foram dispostas de dois modos diferentes,
como mostram as figuras abaixo.
H
J
I
D
A
L
N
M
G
C
B
E
K
O
P
210
2 O canto de um quadrado de cartolina foi cortado
com uma tesoura. A soma dos comprimentos dos
catetos do triângulo recortado é igual ao comprimento do lado do quadrado. Qual o valor da soma
dos ângulos a e b marcados na figura abaixo?
F
Os quadrados ABCD e EFGH têm lados respectivamente iguais a 3 cm e 9 cm. Determine a medida do
lado do quadrado IJKL.
3 Juliana foi escrevendo os números inteiros positivos em quadrados de papelão, colados lado a lado
por fitas adesivas representadas pelos retângulos
escuros no desenho abaixo. Note que cada fila de
quadrados tem um quadrado a mais que a fila de
cima. Ela escreveu até o número 105 e parou. Quantos pedaços de fita adesiva ela usou?
27°
β
1
α
2
3
4
5
6
7
8
9
3 (a) Fatore a expressão: x2  9xy 1 8y2.
(b) Determine todos os pares de inteiros (x; y) tais
que: 9xy  x2  8y2 5 2005.
10
34
4 Cada peça de um jogo de dominó possui duas casas
numeradas. Considere as 6 peças formadas apenas
pelos números 1, 2 e 3.
A)De quantos modos é possível colocar todas estas peças alinhadas em sequência, de modo que
o número da casa da direita de cada peça seja
igual ao número da casa da esquerda da peça
imediatamente à direita?
A seguir, mostramos dois exemplos:
B)Explique por que não é possível fazer o mesmo
com todas as 10 peças formadas apenas pelos
números 1, 2, 3 e 4.
35
XXVII OLIMPÍADA
BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2004
PROVAS
9 O preço de uma corrida de táxi é igual a R$ 2,50
(“bandeirada”), mais R$ 0,10 a cada 100 metros rodados. Tenho apenas R$ 10,00 no bolso. Logo, tenho dinheiro para uma corrida de até:
A) 2,5 km
C) 7,5 km
E) 12,5 km
B) 5,0 km
D) 10,0 km
Nível 1 (5o. e 6o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
1a. Fase Olimpíada Regional
AL – BA – ES – GO – PI – PA – PE – RN – RS – SC
João Pessoa ­– PB – S. B. do Campo – SP
Qual dos números a seguir é ímpar?
A) 7 3 8
C) 9 3 36
E) 17 3 61
B) 37 2 23
D) 144 : 36
10 Um arquiteto apresenta ao seu cliente cinco plantas
diferentes para o projeto de ajardinamento de um
terreno retangular, onde as linhas cheias representam a cerca que deve ser construída para proteger
as flores. As regiões claras são todas retangulares e
o tipo de cerca é o mesmo em todos os casos. Em
qual dos projetos o custo da construção da cerca
será maior?
Quanto é 26 1 26 1 26 1 26 2 44?
1 Calcule o valor de 1997 1 2004 1 2996 1 4003.
A) 10 000
C) 10 900
E) 13 000
B) 11000
D) 12 000
2
3
A) 0
B) 2
C) 4
4 20% de 40 é igual a:
A) 5
B) 8
C) 10
5 Simplificando a fração
A) 2004
113
B)
355
D) 4 E) 4
D) 12
E) 20
2
A)
2004 + 2004
, obtemos:
2004 + 2004 + 2004
1
2
C)
D) 2004
3
A)
2
E)
7
A)
6 Os alunos de uma escola participaram de uma excursão, para a qual dois ônibus foram contratados.
Quando os ônibus chegaram, 57 alunos entraram
no primeiro ônibus e apenas 31, no segundo. Quantos alunos devem passar do primeiro para o segundo ônibus para que a mesma quantidade de alunos
seja transportada nos dois ônibus?
A) 8
B) 13
C) 16
D) 26
E) 31
8 Dezoito quadrados iguais são construídos e sombreados como mostra a figura. Qual fração da área
total é sombreada?
A)
7
18
B)
4
9
C)
1
3
D)
5
9
C)
E)
E)
A)
B)
B)
B)
A)
B)
B)
C)
C)
B)
D)
C)
C)
D)
D)
C)
D)
D)
E)
D)
E)
11 108 crianças da 5ª. e 6ª. séries vão fazer um passeio
numa caverna. São formados grupos iguais com
mais de 5, porém menos de 20 alunos. Com relação
ao número de estudantes por grupo, de quantas
formas diferentes eles podem ser feitos?
A) 2
B) 8
C) 5
D) 4
E) 3
12 O desenho ao lado mostra
o mapa de um país (imaginário) constituído por
cinco estados. Deseja-se
colorir esse mapa com as
cores verde, azul e amarela, de modo que dois estados vizinhos não possuam a mesma cor. De quantas maneiras diferentes o
mapa pode ser pintado?
A) 12 B) 6
C) 10
D) 24
E) 120
7 Uma professora tem 237 balas para dar a seus 31
alunos. Qual é o número mínimo de balas a mais
que ela precisa conseguir para que todos os alunos
recebam a mesma quantidade de balas, sem sobrar
nenhuma para ela?
A) 11
B) 20
C) 21
D) 31
E) 41
A)
4
13 Um artesão começa a trabalhar às 8h e produz 6
braceletes a cada vinte minutos; seu auxiliar começa a trabalhar uma hora depois e produz 8 braceletes do mesmo tipo a cada meia hora. O artesão para
de trabalhar às 12h, mas avisa ao seu auxiliar que
este deverá continuar trabalhando até produzir o
mesmo que ele. A que horas o auxiliar irá parar?
A) 12 h C) 13 h
E) 14h30min
B) 12h30min
D) 13h30min
1
2
36
E)
E)
E
19 Ao somar cinco números consecutivos em sua calculadora, Esmeralda encontrou um número de 4 algarismos: 2 0 0 *. O último algarismo não está nítido,
pois o visor da calculadora está arranhado, mas ela
sabe que ele não é zero. Este algarismo só pode ser:
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 9
14 O algarismo das unidades do número 1 3 3 3 5 3
3 … 3 97 3 99 é:
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
15 Dois quadrados, cada um com área 25 cm2, são colocados lado a lado para formar um retângulo. Qual
é o perímetro do retângulo?
A) 30 cm B) 25 cm C) 50 cm D) 20 cm E) 15 cm
20 Sobre uma mesa estão três caixas e três objetos,
cada um em uma caixa diferente: uma moeda, um
grampo e uma borracha. Sabe-se que:
• A caixa verde está à esquerda da caixa azul.
• A moeda está à esquerda da borracha.
• A caixa vermelha está à direita do grampo.
• A borracha está à direita da caixa vermelha.
Em que caixa está a moeda?
A)Na caixa vermelha.
B)Na caixa verde.
C)Na caixa azul.
E)E)
D)D) informações
E) fornecidas
D)D)As
são insuficientes para
se dar uma resposta.
E) As informações fornecidas são contraditórias.
16 Se girarmos o pentágono regular, ao
lado, de um ângulo de 252°, em torno
do seu centro, no sentido horário,
qual figura será obtida?
A)
D)
A) A)A) B)
E) B) B)B)
C)
C) C)C)
E)
E)
D)
D)
C)
C)
21 Um feirante vende batatas e, para pesar, utiliza uma
balança de dois pratos, um peso de 1 kg, um peso de
3 kg e um peso de 10 kg. Considere a seguinte afirmação: “Este feirante consegue pesar (com uma pesagem) n quilogramas de batatas”. Quantos valores
positivos de n tornam essa afirmação verdadeira, supondo que ele pode colocar pesos nos dois pratos?
A) 7
B) 10
C) 12
D)13
E)14
17 Os resultados de uma pesquisa das cores de cabelo
de 1200 pessoas são mostrados no gráfico abaixo.
castanho 30%
preto 24%
22 O mapa abaixo mostra um conjunto residencial
onde as casas, numeradas, são interligadas por 23
ruelas. O vendedor Zé Ruela, que mora na casa 8,
planeja passar por todas as outras casas e retornar à
sua, percorrendo o menor número possível de ruelas. Ele deixará de caminhar por quantas ruelas?
ruivo 16%
loiro
1
Quantas dessas pessoas possuem o cabelo loiro?
A) 60 B) 320
C) 360
D) 400 E) 840
C)
6
B)B)A)
E)
C)
C)E)
C)
D)
B)
7
8
11
10
12
A) 15
B) 10
C) 13
D)12
E) 11
23 O arranjo a seguir, composto por 32 hexágonos, foi
montado com varetas, todas com comprimento
D) igual ao lado do hexágono. Quantas varetas, no mínimo, são necessárias para montar o arranjo?
…
…
…
B)E)
E)
D)
D)
37
E)
4
9
B)
D)
C)
D)
3
5
18 Um cubo pode ser construído a partir dos dois pedaços de papelão apresentados em uma das alternativas a seguir, bastando apenas dobrar nas linhas
tracejadas e unir nas linhas A)
contínuas. Esses dois
A)
B)
pedaços
são:
A)A)
2
A) 113
B) 123
C) 122
D) 132
E) 152
24 Observe a figura:
4 No desenho, os quadriláteros ABCD, EFAG e IAJH são
retângulos e H é ponto médio de AE.
Calcule a razão entre a área do retângulo ABCD e o
triângulo AHI.
A
Duas das figuras abaixo representam o objeto acima colocado em outras posições.
II)
I)
J
G
III)
IV)
Elas são:
A) I e II B) I e IV
C) II e IV
D) I e III
D
I
F
B
H
E
C
5 Dizemos que um número natural é teimoso se, ao
ser elevado a qualquer expoente inteiro positivo,
termina com o mesmo algarismo. Por exemplo, 10 é
teimoso, pois 102 ,103 ,104 ,..., são números que também terminam em zero. Quantos números naturais
teimosos de três algarismos existem?
E) II e III
25 Entre 1986 e 1989, época em que vocês ainda não
tinham nascido, a moeda do país era o cruzado
(Cz$). Com a imensa inflação que tivemos, a moeda foi mudada algumas vezes: tivemos o cruzado
novo, o cruzeiro, o cruzeiro real e, finalmente, o real.
A conversão entre o cruzado e o real é: 1 real 5
5 2 750 000 000 cruzados.
Imagine que a moeda não tivesse mudado e que
João, que ganha hoje 640 reais por mês, tivesse de
receber seu salário em notas novas de 1 cruzado. Se
uma pilha de 100 notas novas tem 1,5 cm de altura, o salário em cruzados de João faria uma pilha de
altura:
A) 26,4 km
D) 264 000 km
B) 264 km
E) 2 640 000 km
C) 26 400 km
6 Qual é o maior número natural menor que 100 cuja
soma dos divisores positivos é ímpar?
7 Esmeralda, de olhos vendados, retira cartões de uma
urna contendo inicialmente 100 cartões numerados
de 1 a 100, cada um com um número diferente. Qual
é o número mínimo de cartões que Esmeralda deve
retirar para ter certeza de que o número do cartão
seja um múltiplo de 4?
8 De quantos modos podemos sombrear quatro casas do tabuleiro 4  4 abaixo, de modo que em
cada linha e em cada coluna exista uma única casa
sombreada?
SEGUNDA FASE – parte A
••••••
1 O número 1 000…02 tem 20 zeros. Qual é a soma
dos algarismos do número que obtemos como
quociente quando dividimos esse número por 3?
9 Juntando cubinhos de mesmo volume, mas feitos de
materiais diferentes - cada cubo branco pesando 1
grama e cada cubo cinza pesando 2 gramas - formou-se um bloco retangular, conforme mostrado na figura
abaixo. Qual é a massa, em gramas, desse bloco?
2 A soma de dois números primos a e b é 34 e a soma
dos primos a e c é 33. Quanto vale a 1 b 1 c?
3 Na multiplicação a seguir, a, b e c são algarismos:
1 a
b
* *
* * *
1c c 0
b
3
*
×
1
Calcule a 1 b 1 c.
38
10 Na população de uma espécie rara de 1 000 aves
da floresta amazônica, 98% tinham cauda de cor
verde. Após uma misteriosa epidemia que matou
parte das aves com cauda verde, esta porcentagem
caiu para 95%. Quantas aves foram eliminadas com
a epidemia?
Nível 2 (7o. e 8o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
a
1. Fase Olimpíada Regional
AL 2 BA 2 ES 2 GO 2 PI 2 PA 2 PE
2 RN 2 RS 2 SC
João Pessoa – PB – S. B. do Campo – SP
SEGUNDA FASE – parte B
••••••
1 Quanto é 26  26  26  26 2 44?
A) 0
B) 2
C) 4
D) 42
1 No desenho abaixo, o triângulo ABC é retângulo e
os lados do polígono (região escura) são paralelos
ou coincidem com algum dos catetos do triângulo.
5
2 Se m e n são inteiros não negativos com m  n, definimos m  n como a soma dos inteiros entre m e n,
incluindo m e n. Por exemplo, 5  8  5  6  7 
 8  26.
10
A
O valor numérico de 22 ∇ 26 é:
4∇6
A) 4
x
2
B
C
2 Esmeralda, a digitadora, construiu uma tabela com
100 linhas e 100 colunas, preenchendo uma casa
com 1, se o número da linha da casa divide o número da coluna, e com 0, caso contrário. Assim, por
exemplo, a casa da linha 2 e da coluna 4 foi preenchida com 1, porque 2 divide 4, e a casa na linha 3 e
da coluna 7 foi preenchida com 0.
2
3
4
5
6
… 99
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
0
1
0
1
0
1
…
0
1
3
0
0
1
0
0
1
…
1
0
0
0
0
1
C) 8
D) 10
E) 12
1 real 5 2 750 000 000 cruzados
Imagine que a moeda não tivesse mudado e que
João, que ganha hoje 640 reais por mês, tivesse que
receber seu salário em notas novas de 1 cruzado. Se
uma pilha de 100 notas novas tem 1,5 cm de altura, o salário em cruzados de João faria uma pilha de
altura:
A) 26,4 km
D) 264 000 km
B) 264 km
E) 2 640 000 km
C) 26 400 km
100
4 O arranjo a seguir, composto por 32 hexágonos, foi
montado com varetas, todas com comprimento
igual ao lado do hexágono. Quantas varetas, no mínimo, são necessárias para montar o arranjo?
4
100
B) 6
3 Entre 1986 e 1989, época em que vocês ainda não
tinham nascido, a moeda do país era o cruzado
(Cz$). Com a imensa inflação que tivemos, a moeda
foi mudada algumas vezes: tivemos o cruzado novo,
o cruzeiro, o cruzeiro real e, finalmente, o real. A conversão entre o cruzado e o real é:
Calcule x de modo que a área do polígono seja igual
à do triângulo.
1
E) 44
a) Qual a soma dos números escritos na linha 5?
b) Qual a soma dos números da coluna 60?
…
…
…
3 a) É possível dividir o conjunto {12, 22,…,72} em dois
grupos A e B, de modo que a soma dos elementos de A seja igual à soma dos elementos de B?
Justifique.
b)É possível dividir o conjunto {12, 22, 32, …, 92} em
dois grupos C e D, de modo que a soma dos elementos de C seja igual à soma dos elementos de
D? Justifique.
A) 113
B) 123
C) 122
D) 132
5 O algarismo das unidades do número
1 3 3 3 5 3 ... 3 97 3 99 é:
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
39
E) 152
E) 9
6 Se girarmos o pentágono regular, ao
lado, de um ângulo de 252°, em torno
do seu centro, no sentido horário,
qual figura será obtida?
A)
B)
13 Na figura, quanto vale x?
5x
C)
3x
2x
6x
4x
C)
C)
D)
A) A)A) E) B)
B)B)
C) C)C)
A) 6°
B) 12°
C) 18° D) 20°
E) 24°
14 Se 2(22x) 5 4x 1 64, então x é igual a:
A) 2 2
B) 2 1
C) 1
D) 2
E)
E)
D)
D)
E) E)E)
D) D)D)
7 Há 1 002 balas de banana e 1 002 balas de maçã
numa caixa. Lara tira, sem olhar o sabor, duas balas
da caixa. Seja p a probabilidade de as duas balas serem do mesmo sabor e seja q a probabilidade de
as duas balas serem de sabores diferentes. Quanto
vale a diferença entre p e q?
1
1
1
2
A) 0
B)
C)
D)
E)
2003
1001
2004
2003
E) 3
15 Qual é o maior valor da soma dos algarismos da
soma dos algarismos de um número de três algarismos?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
16 Um arquiteto apresenta a seu cliente cinco plantas
diferentes para o projeto de ajardinamento de um
terreno retangular, onde as linhas cheias representam a cerca que deve ser construída para proteger
as flores. As regiões claras são todas retangulares e
o tipo de cerca é o mesmo em todos os casos. Em
qual dos projetos o custo da construção da cerca
será maior?
8 O perímetro de um retângulo é 100 e a diagonal
mede x. Qual é a área do retângulo?
2
x2
C) 1 250 2
E) 2 500 2 x
A) 625 2 x2
2
2
2
x2
x
B) 625 2
D) 250 2
2
2
9 Ao somar cinco números consecutivos em sua calculadora, Esmeralda encontrou um número de 4 alA)
garismos: 2 0 0 *. O último algarismo não está nítido,
pois o visor da calculadora está arranhado, mas ela
sabe que ele não é zero. Este algarismo só pode ser:
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 9
A)
A)
B)
B)
A)
B)
C)
C)
B)
D)
C)
E)
C)
D)
E)
D)
E)
D)
D) E)
E)
C) D)
B) C)
A) 2004 A) B)
10 Para quantos inteiros positivos m o número 2
17 Um ponto P pertence ao interior de um quadrado
m −2
é um inteiro positivo?
com 10 cm de lado. No máximo, quantos pontos da
A) um
D) quatro
borda do quadrado podem estar a uma distância de
B) dois
E) mais do que quatro
6 cm do ponto P?
C) três
A) 1
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8
11 Se x 1 y 5 8 e xy 5 15, qual é o valor de x2 1 6xy 1 y2?
A) 64
B) 109 C) 120 D) 124 E) 154
18 Um cubo pode ser construído, a partir dos dois pedaços de papelão apresentados em uma das alternativas a seguir, bastando apenas dobrar nas linhas
A)
tracejadas
e unir as linhas contínuas.
Esses dois peA)
B)
daços são:
12 Dois espelhos formam um ângulo de 30o no ponto
V. Um raio de luz, vindo de uma fonte S, é emitido
paralelamente a um dos espelhos e é refletido pelo
outro espelho no ponto A, como mostra a figura.
Depois de certa quantidade de reflexões, o raio retorna a S. Se AS e AV têm 1 metro de comprimento, a
distância percorrida pelo raio de luz, em metros, é:
S
A)A)
C)
A
B)B)A)
E)
A)
30°
A) 2
B) 2 1 3 B)
D)
C)
D)
C) 1 1 2 1 3 D) 2 1 1 3 (
)C)
C)
B)E)
E)
D)
V
E) 5 3
C)E)
C)
D)
40
E)
E)
D)
B)
D)
E
19 No triângulo PQR, a altura PF divide o lado QR em dois
segmentos de medidas QF 5 9 e RF 5 5. Se PR 5 13,
qual é a medida de PQ?
A) 5
B) 10
C) 15
D) 20
E) 25
25 Esmeralda, a digitadora, tentou digitar um número de seis algarismos, mas os dois algarismos 1
não apareceram (a tecla devia estar com defeito).
O que apareceu foi 2004. Quantos são os números de seis algarismos que ela pode ter tentado
digitar?
A) 4
B) 8
C) 10
D) 15
E) 20
20 Sobre uma mesa estão três caixas e três objetos,
cada um em uma caixa diferente: uma moeda, um
grampo e uma borracha. Sabe-se que:
• A caixa verde está à esquerda da caixa azul.
• A moeda está à esquerda da borracha.
• A caixa vermelha está à direita do grampo.
• A borracha está à direita da caixa vermelha.
Em que caixa está a moeda?
A)Na caixa vermelha.
B)Na caixa verde.
C)Na caixa azul.
D)As informações fornecidas são insuficientes para
se dar uma resposta.
E) As informações fornecidas são contraditórias.
SEGUNDA FASE – parte A
••••••
1 Na multiplicação a seguir, a, b e c são algarismos:
1 a b
b 3
* * *
* * *
1c c 0 1
21 No desenho abaixo, o quadrilátero ABCD é um quadrado de lado 3 cm e os triângulos ABF e AED são ambos equiláteros. Qual é a área da região destacada?
A
Calcule a 1 b 1 c.
2 De quantos modos podemos sombrear quatro ca­
sas do tabuleiro 4  4 abaixo, de modo que em
cada linha e em cada coluna exista uma única casa
sombreada?
E
B
F
×
D
C
A) 2 cm2 C) 3 cm2
E) 2,5 cm2
2
2
B) 1,5 cm D) 4,5 cm
22 Uma folha quadrada foi cortada em 42 quadrados
menores, dos quais um tem área maior do que 1 cm2
e os demais têm área de 1 cm2. Qual é a medida do
lado da folha?
A) 6 cm B) 12 cm C) 21 cm D) 19 cm E) 20 cm
3 Qual é a soma dos algarismos do número
2004  2002  1998  1996 1 36 ?
4 No desenho abaixo, o triângulo ABC é retângulo e
os lados do polígono (região escura) são paralelos
ou coincidem com algum dos catetos do triângulo.
Calcule x, de modo que a área do polígono seja
igual à do triângulo.
23 Eu planejava fazer um curral quadrado, com uma
certa área, usando uma certa quantidade de cerca
de arame farpado. Descobri, porém, que tenho 10%
a menos de cerca do que esperava. Por esta razão, a
área cercada será:
A) 5% menor
D) 20% menor
B) 10% menor
E) 25% menor
C) 19% menor
24 Um artesão começa a trabalhar às 8h e produz 6
braceletes a cada vinte minutos; seu auxiliar começa a trabalhar uma hora depois e produz 8 braceletes do mesmo tipo a cada meia hora. O artesão para
de trabalhar às 12h, mas avisa ao seu auxiliar que
este deverá continuar trabalhando até produzir o
mesmo que ele. A que horas o auxiliar vai parar?
A) 12 h C) 13 h
E) 14h30min
B) 12h30min
D) 13h30min 5
10
A
x
2
B
C
5 Um polígono com 20 lados é chamado icoságono.
Unindo-se três dos vértices de um icoságono regular obtemos triângulos. Quantos são triângulos retângulos?
41
3 Uma folha de papel retangular ABCD foi dobrada de
modo que o vértice B foi levado no ponto B’ sobre o
lado AD. A dobra é EF, com E sobre AB e F sobre CD.
Sabe-se que AE 5 8, BE 5 17 e CF 5 3.
SEGUNDA FASE – parte B
••••••
1 a) É possível dividir o conjunto {12, 22,…,72} em dois
grupos A e B de modo que a soma dos elementos
de A seja igual à soma dos elementos de B? Justifique.
b)É possível dividir o conjunto {12, 22, 32,…,92} em
dois grupos C e D de modo que a soma dos elementos de C seja igual à soma dos elementos de
D? Justifique.
2 a) Simplifique a expressão
a) Calcule a medida do segmento AB’.
b)Calcule a medida do lado AD.
b)Certa calculadora tem duas teclas especiais: A e
B. A tecla A transforma o número x, que está no
1
visor, em . A tecla B transforma o número x, que
x
está no visor, em 1 2 x.
Pedro tem um número no visor e aperta sucessivamente, de forma alternada, as duas teclas:
4 Um número de 4 algarismos a b c d é chamado de
legal quando a soma dos números formados pelos
dois primeiros e pelos dois últimos algarismos é
igual ao número formado pelos algarismos centrais
(ou seja, ab 1 cd 5 bc). Por exemplo, 2 307 é um
número legal, pois 23 1 07 5 30.
a) Qual é o menor número legal maior do que
2 307?
b)Quantos são os números legais de 4 algarismos?
A, B, A, B, ….
Após 1 000 operações, o visor mostrava o número
2 004. Que número Pedro tinha inicialmente no visor?
42
XXV OLIMPÍADA
BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2003
PROVAS
5 Considere um número inteiro x e faça com ele as
seguintes operações sucessivas: multiplique por 2,
some 1, multiplique por 3 e subtraia 5. Se o resultado for 220, o valor de x é:
A) um número primo.
B) um número par.
C)um número entre 40 e 50.
D)um número múltiplo de 3.
E) um número cuja soma dos algarismos é 9.
Nível 1 (6o. e 7o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
1a. Fase Olimpíada Regional
AL – BA – GO – PA – PB – PI – RS – RN – SC
1 Onze cubinhos, todos de mesma aresta, foram colados conforme a figura a seguir.
6 Escreva os números de
0 a 9 nos círculos ao
lado, de forma que eles
cresçam no sentido
anti-horário. Em seguida, subtraia 1 dos números ímpares e some
1 aos números pares.
Escolhendo três círculos consecutivos, qual
é a maior soma que se
pode obter?
A) 19
B) 21
C) 23
D) 24
E) 25
7 O retângulo da figura a seguir está dividido em 7
quadrados. Se a área do menor quadrado é igual a
1, a área do retângulo é igual a:
O menor número de cubinhos, iguais aos já utilizados, que devem ser agregados ao sólido formado
pelos onze cubinhos para obtermos um cubo maciço é igual a:
A) 48
B) 49
C) 52
D) 53
E) 56
2 Na tabela a seguir vemos o consumo mensal de água
de uma família durante os 5 primeiros meses de 2003.
Meses
Janeiro
Fevereiro
Março
Abril
Maio
Consumo (m3)
12,5
13,8
13,7
11,4
12,1
O consumo mensal médio dessa família durante os
5 meses foi:
C) 12,7 m3
E) 317,5 m3
A) 11,3 m3
3
3
B) 11,7 m
D) 63,5 m
A) 42
B) 44
C) 45
D) 48
E) 49
3 Você possui muitos palitos com 6 cm e 7 cm de
comprimento. Para fazer uma fila de palitos com
comprimento total de 2 metros, o número mínimo
de palitos que você precisa utilizar é:
A) 29
B) 30
C) 31
D) 32
E) 33
8 Considere a sequência oscilante: 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1,
2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, …
O 2 003o termo desta sequência é:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
4 Em um quadrado mágico, a soma dos números de
cada linha, coluna ou diagonal é sempre a mesma.
No quadrado mágico a seguir, o valor de x é:
9 João disse para Maria: “Se eu lhe der um quarto
do que tenho, você ficará com metade do que vai
me sobrar”. Maria acrescentou: “E eu lhe daria 5
reais, se lhe desse a metade do que tenho”. Juntos,
os dois possuem:
A) 80 reais
D) 120 reais
B) 90 reaisE) 130 reais
C) 100 reais
1 14 x
26
13
A) 20
B) 22
C) 23
D) 25
E) 27
43
10 Uma escola precisa comprar mesas e cadeiras novas
para seu refeitório, cada mesa com 4 cadeiras, que
serão distribuídas nos 3 setores do refeitório. Em
cada setor do refeitório cabem 8 fileiras de mesas
e, em cada fileira, cabem 14 mesas. Quantas mesas e
cadeiras deverão ser compradas?
A) 112 mesas e 448 cadeiras
B) 112 mesas e 1344 cadeiras
C) 336 mesas e 448 cadeiras
D) 336 mesas e 896 cadeiras
E) 336 mesas e 1344 cadeiras
15 Um troféu formado por
cinco recipientes cúbicos
foi construído da seguinte maneira: sob o cubo de
lado 10 cm foi soldado o
cubo de lado 20 cm, sob
este foi soldado o cubo de
lado 30 cm, e assim por
diante. Toda a superfície
externa desse tro­féu de­
verá ser coberta com um
certo tipo de revestimento.
Quantos metros quadrados desse revestimento serão necessários?
A) 1,5
B) 2,5
C) 2,7
D) 2,75 E) 3
16 Num certo aeroporto, Nelly caminhava calmamente
à razão de um metro por segundo; ao tomar uma
esteira rolante de 210 metros, Nelly continuou andando no mesmo passo e notou ter levado um minuto para chegar ao fim da esteira. Se Gugu ficar
parado nesta esteira, quanto tempo levará para ser
transportado?
A) 1min20s
B) 1min24s
C) 1min30s D) 1min40s
E) 2min
11 As 4 colorações a seguir são consideradas iguais por
coincidirem por rotação.
De quantos modos diferentes é possível colorir as
casas de um tabuleiro 2 3 2 de branco ou preto de
modo que não existam dois tabuleiros que coincidam por rotação?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
12 Numa festa típica, cada prato de arroz foi servido
para duas pessoas; cada prato de maionese, para
três pessoas; cada prato de carne servia quatro pessoas e, cada prato de doces dava exatamente para
cinco pessoas. Foram utilizados 77 pratos e todas as
pessoas se serviram de todos os pratos oferecidos.
Quantas pessoas havia na festa?
A) 20
B) 30
C) 45
D) 60
E) 75
17 Uma certa máquina tem um visor, onde aparece
um número inteiro x, e duas teclas A e B. Quando
se aperta a tecla A o número do visor é substituído
por 2x 1 1. Quando se aperta a tecla B o número do
visor é substituído por 3x 2 1.
Se no visor está o número 5, apertando alguma sequência das teclas A e B, o maior número de dois
algarismos que se pode obter é:
A) 85
B) 87
C) 92
D) 95
E) 96
13 Na organização retangular de pontos da figura
abaixo, a distância entre pontos vizinhos em uma
mesma linha ou coluna é igual a 1 cm.
C
D
B
E
A
18 A sequência “22” descreve a si mesma, pois ela é formada por exatamente dois 2. Analogamente, a se­
quência “31 12 33 15” descreve a si mesma, pois é formada por exatamente três 1, um 2, três 3 e um 5. Qual
das seguintes sequências não descreve a si mesma?
A) 21 32 23 16
D) 21 32 33 24 15
B) 31 12 33 18
E) 41 32 23 24 15 16 18
C) 31 22 33 17 19
A área do pentágono
ABCDE, em cm2,
é igual a:
21
A) 9
D)
2
19
B)
E) 11
2
C) 10
19 Camila e Lara estão disputando o seguinte jogo
num tabuleiro 4 3 4: Camila marca algumas casas
do tabuleiro e informa à Lara o número de casas
marcadas na vizinhança de cada casa do tabuleiro.
Neste jogo, duas casas distintas são consideradas
vizinhas se possuem um lado ou um canto (vértice)
em comum.
Lara deve descobrir quais
1
2
1
1
casas foram marcadas por
Camila. Após marcar algu1
2
0
2
mas casas, Camila passou
3
3
2
1
para Lara o tabuleiro ao
lado.
2
0
1
1
O número de casas marcadas foi:
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
14 Um quadrado de área 1 foi cortado em cinco filas
de 5 quadradinhos cada. Todos os quadradinhos
são congruentes. Marcam-se os quadradinhos de
uma linha qualquer, de
uma diagonal qualquer e
de uma coluna qualquer, e,
em seguida, retiram-se os
quadrados assinalados. A
área coberta pelos quadradinhos restantes vale, no
mínimo,
2
11
3
12
13
A) B)
C)
D)
E)
5
25
5
25
25
44
20 Imagine uma pilha com cem milhões de folhas de papel sulfite, cada uma com 0,1 milímetro de espessura.
Assinale a alternativa mais próxima da altura da pilha.
A)a sua altura.
B)o comprimento do maior animal do mundo, a
baleia-azul, que é cerca de 29 metros.
C)a altura do edifício mais alto do mundo, o Petronas Tower, que tem 88 andares.
D)a altura do pico mais alto do mundo, o Monte Everest, que é 8 848 metros.
E) a distância do planeta Terra à Lua, que é muito
maior que todas as alternativas anteriores.
6 Anos bissextos são múltiplos de 4, exceto aqueles
que são múltiplos de 100, mas não de 400. Quantos
anos bissextos houve desde a Proclamação da República, em 1889, até hoje?
7 Em um dado comum a soma dos pontos sobre faces opostas é sempre 7.
Beatriz construiu uma torre com 4 dados
comuns iguais, colando as faces como
mostrado na figura. Qual é o menor número de pontos que Beatriz pode obter
somando todos os pontos das dezoito
faces da superfície da torre?
SEGUNDA FASE – parte A
••••••
8 Na multiplicação a seguir a, b, c e d são algarismos.
45
a33
3bcd
1 Quantas vezes aparece o algarismo 9 no resultado
da operação 10100 2 2003?
2 Quantos números inteiros maiores do que 20032 e
menores do que 20042 são múltiplos de 100?
Calcule b 1 c 1 d.
9 A média de cinco inteiros positivos diferentes é 11.
Determine o maior valor possível para o maior dos
cinco inteiros.
3 Quantos triângulos existem cujos lados estão sobre
alguns dos segmentos traçados na figura abaixo?
10 Nove peças diferentes de dominó estão sobre uma
mesa, parcialmente cobertas por um pedaço de papel. Os dominós se tocam de modo que 1 ponto é
vizinho a 1 ponto, 2 pontos são vizinhos a 2 pontos,
etc. Qual o total de pontos escondidos pelo papel?
4 Um estudante, com muito tempo livre e muita curiosidade, resolveu fazer o seguinte: a cada minuto, ao
mudar o horário em seu relógio digital, marcava em
seu caderno um X para cada algarismo 7 que aparecia no visor. Assim, se seu relógio mostrava 02:07
ele marcava X e quando seu relógio mostrou 07:17
ele marcou XX. Começou a fazer isso quando seu
relógio mostrava 01:00 e parou
quase doze horas depois, quando o relógio mostrava 12:59.
Calcule a metade da quantidade de X que ele marcou em seu
caderno.
5 A grande atração do OBM Parque é uma roda-gigante (a figura mostra uma roda-gigante similar,
porém com um número menor de cabines). As
cabines são numeradas
com 1, 2, 3,…, no sentido horário. Quando
a cabine 25 está na
posição mais baixa
da roda-gigante, a
de número 8 está
na posição mais alta.
Quantas cabines tem
a roda-gigante?
SEGUNDA FASE – parte B
••••••
1 Quais números inteiros positivos menores que 120
podem ser escritos como soma de duas ou mais potências distintas de base 3 e expoente positivo? Por
exemplo, 12 5 32 131 é um número desse tipo, mas
18 5 32 1 32 não é.
45
2 No desenho ao lado, o quadrado ABCD tem área de
64 cm2 e o quadrado FHIJ tem área de 36 cm2. Os
vértices A, D, E, H e I dos três quadrados pertencem a
uma mesma reta. Calcule a área do quadrado BEFG.
5 Em um quadrado mágico, a soma dos números de
cada linha, coluna ou diagonal é sempre a mesma.
No quadrado mágico a seguir, o valor de x é:
1
x
14
26
42
8
3
C) 45
D) 48
A) 7
B) 3
5
x
C) 5
6
D) 4
E) 6
8 Considere um número inteiro x e faça com ele as
seguintes operações sucessivas: multiplique por 2,
some 1, multiplique por 3 e subtraia 5. Se o resultado foi 220, o valor de x é:
A)um número primo.
B)um número par.
C)um número entre 40 e 50.
D)um número múltiplo de 3.
E) um número cuja soma dos algarismos é 9.
1 O retângulo da figura a seguir está dividido em 7
quadrados. Se a área do menor quadrado é igual a
1, a área do retângulo é igual a:
B) 44
E) 27
7 Na figura, o número 8 foi obtido somando-se os
dois números diretamente abaixo de sua casinha.
Os outros números nas três linhas superiores são
obtidos da mesma forma. Qual é o valor de x?
Nível 2 (8o. e 9o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
a
1. Fase Olimpíada Regional
AL – BA – GO – PA – PB ­­– PI – RS – RN – SC
A) 42
C) 23
D) 25
6 Seja n 5 9 867. Se você calculasse n3 2 n2 você encontraria um número cujo algarismo das unidades é:
A) 0
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8
3 Considere o produto de todos os divisores positivos de um número inteiro positivo, diferentes desse número. Dizemos que o número é poderoso se o
produto desses divisores for igual ao quadrado do
número. Por exemplo, o número 12 é poderoso, pois
seus divisores positivos menores do que ele são 1, 2,
3, 4 e 6 e 1 2  3  4  6 5144 5122. Apresente todos os
números poderosos menores do que 100.
A) 20
B) 22
13
9 Os números a, b, e c são naturais consecutivos em
ordem crescente. Então, o valor de c2 − ab é igual a:
A) 0
C) 2a 1 b
E) 2b 1 c
B) 1
D) 2a 1 c
E) 49
2 Você possui muitos palitos com 6 cm e 7 cm de comprimento. Para fazer uma fila de palitos com comprimento total de 2 metros, o número mínimo de palitos que você precisa utilizar é:
A) 29
B) 30
C) 31
D) 32
E) 33
10 Considere a sequência oscilante: 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1,
2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, ...
O 2 003o termo desta sequência é:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
3 A maior raiz da equação (x 2 37)2 2 169 5 0 é:
A) 39
B) 43
C) 47
D) 50
E) 53
11 Considere as seguintes definições:
• A média aritmética de dois números reais positivos é a metade da sua soma.
• A média harmônica de dois números reais positivos é o inverso da média aritmética dos inversos
desses números.
A diferença entre a média aritmética e a média harmônica dos números 4 e 6 é:
A) 0,1
C) 0,3E) 0,5
B) 0,2
D) 0,4
4 Uma certa máquina tem um visor, onde aparece
um número inteiro x, e duas teclas A e B. Quando
se aperta a tecla A o número do visor é substituído
por 2x 1 1. Quando se aperta a tecla B o número do
visor é substituído por 3x 2 1.
Se no visor está o número 5, apertando alguma sequência das teclas A e B, o maior número de dois
algarismos que se pode obter é:
A) 85
B) 87
C) 92
D) 95
E) 96
46
12 A sequência “22” descreve a si mesma, pois ela é
formada por exatamente dois 2. Analogamente, a
sequência “31 12 33 15” descreve a si mesma, pois
é formada por exatamente três 1, um 2, três 3 e um
5. Qual das seguintes sequências não descreve a si
mesma?
A) 21 32 23 16
D) 21 32 33 24 15
B) 31 12 33 18
E) 41 32 23 24 15 16 18
C) 31 22 33 17 19
17 As 4 colorações a seguir são consideradas iguais por
coincidirem por rotação.
13 O dominó mais conhecido tem como maior peça o
duplo 6. Neste dominó são empregadas 28 peças
diferentes. Quantas peças tem o dominó cuja maior
peça é o duplo 8?
De quantos modos diferentes é possível colorir as
casas de um tabuleiro 2 3 2 de branco ou preto de
modo que não existam dois tabuleiros que coincidam por rotação?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
22003  91001 22002  91001
é:
1
41001  32003 41001  32003
4
2
B) C) 1
D) E) 2
3
3
18 O valor da soma
A) 34
B) 36
C) 42
D) 55
1
3
19 Considere os números X = 2700 , Y =11200 e Z = 5300 .
Assinale a alternativa correta:
A) X , Z , YD) Z , X , Y
B) Y , X , Z
E) Z , Y , X
C) Y , Z , X
E) 45
14 Os quadrados dos números naturais maiores do
que 2, subtraídos de seus sucessores, formam a sequência 5, 11, 19, ... . O primeiro elemento dessa sequência que não é um número primo é o:
A) quarto
D) nono
B) décimo
E) sétimo
C) sexto
20 Beatriz, Isabele e Nicole estão disputando um jogo
fazendo lançamentos sucessivos com uma moeda.
Beatriz ganha se, em dois lançamentos consecutivos, o primeiro resultar cara e o segundo, coroa.
Isabele ganha se forem obtidas duas coroas em
dois lançamentos consecutivos, e Nicole ganha se
forem obtidas duas caras em dois lançamentos consecutivos. Elas fazem os lançamentos até que uma
das jogadoras seja vencedora. Qual(is) jogadora(s)
possui(em) menos chances de ganhar o jogo?
A) Beatriz
D) Beatriz e Nicole
B) Isabele
E) As três têm a mesma chance.
C) Nicole
15 Você está em um país estrangeiro, a LUCIÂNIA, e não
conhece o idioma, o LUCIANÊS, mas sabe que as palavras “BAK” e “KAB” significam sim e não, porém não
sabe qual é qual. Você encontra uma pessoa que entende português e pergunta: “KAB significa sim?” A
pessoa responde “KAB”. Pode-se deduzir que:
A)KAB significa sim.
B)KAB significa não.
C)A pessoa que respondeu mentiu.
D)A pessoa que respondeu disse a verdade.
E) Não é possível determinar sem um dicionário
LUCIANÊS-PORTUGUÊS.
21 Camila e Lara estão disputando o seguinte jogo
num tabuleiro 4 3 4: Camila marca algumas casas
do tabuleiro e informa à Lara o número de casas
marcadas na vizinhança de cada casa do tabuleiro.
Neste jogo, duas casas distintas são consideradas
vizinhas se possuem um lado ou um canto (vértice)
em comum.
Lara deve descobrir quais casas foram marcadas por
Camila. Após marcar algumas casas, Camila passou
para Lara o seguinte tabuleiro:
16 Na organização retangular de pontos da figura
abaixo, a distância entre pontos vizinhos em uma
mesma linha ou coluna é igual a 1 cm.
C
D
B
E
A)
A
1
2
1
1
0
2
1
2
2
3
3
1
1
0
2
1
A área do pentágono ABCDE, em cm2, é igual a:
A) 9
B)
19
2
C) 10
D)
21
2
E) 11
47
O número de casas marcadas foi:
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
22 Divida os números 2, 3, 5, 7, 11, 13 e 17 em dois grupos x e y com produtos A e B, respectivamente, de
modo que A 2 B 5 1.
A soma dos algarismos de A é:
A) 10
B) 11
C) 13
D) 14
E) 15
2 Dados os números inteiros de 1 a 26, escolha 13
dentre eles de forma que:
1) O número 4 está entre os números escolhidos.
2) Nenhum número escolhido é divisor de outro
número escolhido.
23 A figura a seguir mostra um quadrado ABCD e um
triângulo equilátero BEF, ambos com lado de medida 1 cm. Os pon- D
C
tos A, B e E são coliF
neares, assim como
G
os pontos A, G e F.
A área do triângulo
BFG é, em cm2:
B
E
A
3 Uma folha retangular ABCD de área 1 000 cm2 foi
dobrada ao meio e em seguida desdobrada (segmento MN); foi dobrada e desdobrada novamente
(segmento MC) e, finalmente, dobrada e desdobrada segundo a diagonal BD. Calcule a área do pedaço
de papel limitado pelos três vincos (região hachurada no desenho).
A)
1
4
B)
1
3
C)
3
4
D)
3
12
E)
3
10
24 Carlinhos pensa num número ímpar positivo menor
do que 100. Pedrinho se dispõe a descobrir que número é esse fazendo a seguinte pergunta, quantas
vezes forem necessárias: “O número que você pensou é maior, menor ou igual a x? ”. Note que x é um
número que Pedrinho escolhe.
Quantas perguntas desse tipo Pedrinho poderá ter que
fazer até descobrir o número pensado por Carlinhos?
A) 5
B) 7
C) 15
D) 25
E) 45
4 Considere o produto de todos os divisores positivos de um número inteiro positivo, diferentes desse número. Dizemos que o número é poderoso se o
produto desses divisores for igual ao quadrado do
número. Por exemplo, o número 12 é poderoso, pois
seus divisores positivos menores do que ele são 1,
2, 3, 4 e 6 e 1  2  3  4  6 5 144 5 122 . Apresente
todos os números poderosos menores do que 100.
25 No triângulo ABC, AB 5 20, AC 5 21 e BC 5 29. Os
pontos D e E sobre o lado BC são tais que BD 5 8 e
EC 5 9. A medida do ângulo DÂE, em graus, é igual a:
A) 30
B) 40
C) 45
D) 60
E) 75
5 Seja : IR1* IR1* , uma função tal que
x y
f ( x)f ( y) 2 f ( xy) 5 1 quaisquer que sejam os ­reais
y x
não nulos x e y.
(a)Calcule f(1)
(b)Encontre uma fórmula para f(x)
SEGUNDA FASE
••••••
1 No desenho abaixo, o quadrado ABCD tem área
de 30 cm2 e o quadrado FHIJ tem área de 20 cm2.
Os vértices A, D, E, H e I dos três quadrados pertencem a uma mesma reta. Calcule a área do quadrado BEFG.
6 Dizemos que um número N de quatro algarismos é
biquadrado quando é igual à soma dos quadrados
de dois números: um é formado pelos dois primeiros algarismos de N, na ordem em que aparecem
em N, e o outro, pelos dois últimos algarismos de N,
também na ordem em que aparecem em N.
Por exemplo, 1233 é biquadrado pois
1233 5 122 1 332.
Encontre um outro número biquadrado.
Observação: Lembre-se de que um número de
quatro algarismos não pode começar com zero.
48
XXIV OLIMPÍADA
BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2002
PROVAS
5 Qual é a quantidade total de letras de todas as
respostas incorretas desta questão?
A) Quarenta e oito.
D) Cinquenta e um.
B) Quarenta e nove.
E) Cinquenta e quatro.
C) Cinquenta.
Nível 1 (6o. e 7o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
1a. Fase Olimpíada Regional
BA – ES – MG – PA – PB – RJ – RS – SC
(24 )8
1 A razão 8 2 é igual a:
(4 )
1
1
B) C) 1
A) 4
2
D) 2
6 Toda a produção mensal de latas de refrigerante
de certa fábrica foi vendida a três lojas. Para a loja
A, foi vendida metade da produção; para a loja B,
2
foram vendidos
da produção e para a loja C, fo5
ram vendidas 2 500 unidades. Qual foi a produção
mensal dessa fábrica?
A) 4 166 latas
C) 20 000 latas
E) 30 000 latas
B) 10 000 latas D) 25 000 latas
7 Um quadrado de área 1 foi dividido em 4 retângulos congruentes, conforme indicado no desenho à
esquerda. Em seguida, os quatro retângulos foram
reagrupados de maneira a formar um quadrado,
com um buraco quadrado no centro, conforme indica o desenho à direita.
E) 8
2 Num armazém foram empilhadas embalagens cúbicas conforme mostra a figura ao lado. Se
cada caixa pesa 25 kg, quanto
pesa toda a pilha?
A) 300 kg
D) 375 kg
B) 325 kg
E) 400 kg
C) 350 kg 3 Na balança a seguir temos pesadas bolas de chumbo, todas iguais, e leves saquinhos de plástico, todos com a mesma quantidade de bolinhas, iguais
às que estão fora dos mesmos. Quantas bolinhas
há em cada saquinho?
a
a
A) 1
a
a
a
a
a
B) 2
C) 3
D) 5
E) 6
B) 22
C) 21
D) 20
3
4
E) 1
2
1
A
A) 23
D)
8 A linha poligonal AB é desenhada mantendo-se
sempre o mesmo padrão mostrado na figura. Seu
comprimento total é igual a:
4 Escreva os números inteiros de 1 a 9 nos nove
quadradinhos, de forma que as somas dos quatro
números em cada uma das pás da “hélice” sejam
iguais e de maior valor possível. Esse valor é:
A área do buraco é igual a:
9
16
1
A) B)
C)
16
25
2
B
1
2
A) 31
3
4
5
B) 88
6
7
8
C) 90
9
30 31
D) 97
E) 105
9 A diferença entre os quadrados de dois números
inteiros positivos consecutivos é sempre:
A) um número primo. B) um múltiplo de 3.
C) igual à soma desses números.
D) um número par.
E) um quadrado perfeito.
E) 19
49
10 Marcelo leva exatamente 20 minutos para ir de
sua casa até a escola. Certa vez, durante o caminho, percebeu que esquecera em casa a revista
Eureka! que ia mostrar para a classe; ele sabia que,
se continuasse a andar, chegaria à escola 8 minutos antes do sinal, mas se voltasse para pegar a
revista, no mesmo passo, chegaria atrasado 10 minutos. Que fração do caminho já tinha percorrido
neste ponto?
9
9
2
1
2
A) B)
C) D) E)
20
10
3
2
5
14 O produto de um milhão de números naturais, não
necessariamente distintos, é igual a um milhão.
Qual é o maior valor possível para a soma desses
números?
A) 1 000 000
D) 1 999 999
B) 1 250 002
E) 13 999 432
C) 1 501 999
15 Se você tiver uma mesa de bilhar retangular cuja
5
razão entre a largura e o comprimento seja e ba7
ter em uma bola que está em um canto, de modo
que ela saia na direção da bissetriz do ângulo desse canto, quantas vezes ela baterá nos lados antes
de bater em um dos cantos?
A) 10 vezes
C) 13 vezes E) 15 vezes
B) 12 vezes
D) 14 vezes
200
180
A
140
B
120
dez
nov
out
set
ago
100
jul
milhões de reais
11 O gráfico abaixo mostra o faturamento mensal das
empresas A e B no segundo semestre de 2001.
160
cobra R$ 237,00, mais R$ 120,00 por ônibus utilizado. A escola deve preferir a empresa que utiliza
ônibus se forem ao passeio pelo menos N crianças.
O valor de N é:
A) 28
B) 31
C) 32
D) 33
E) 36
16 Na malha quadriculada a seguir, todas as circunferências têm centro em M. Então, pode-se concluir
que a área preta é:
Com base nesse gráfico, podemos afirmar que:
A)houve um mês em que o faturamento da empresa A foi o dobro do faturamento da empresa B.
B)no mês de julho, a diferença de faturamentos
foi maior que nos demais meses.
C)a empresa B foi a que sofreu a maior queda de
faturamento entre dois meses consecutivos.
D)no semestre, o faturamento total de A foi maior
que o de B.
E) a diferença entre os faturamentos totais do semestre excedeu os 20 milhões de reais.
M
A)dois quintos da área do círculo maior.
B)três sétimos da área do círculo maior.
C)metade da área do círculo maior.
D)quatro sétimos da área do círculo maior.
E) três quintos da área do círculo maior.
12 Patrícia mora em São Paulo e quer visitar o Rio de
Janeiro num feriado prolongado. A viagem de ida
e volta, de ônibus, custa R$ 80,00, mas Patrícia está
querendo ir com seu carro, que faz, em média,
12 quilômetros com um litro de gasolina. O litro da
gasolina custa, em média, R$ 1,60, e Patrícia calcula que terá de rodar cerca de 900 quilômetros
com seu carro e pagar R$ 48,00 de pedágio. Ela irá
de carro e para reduzir suas despesas chama duas
amigas, que irão repartir com ela todos os gastos.
Dessa forma, não levando em conta o desgaste do
carro e outras despesas inesperadas, Patrícia irá:
A) economizar R$ 20,00.
B) gastar apenas R$ 2,00 a mais.
C) economizar R$ 24,00.
D) gastar o mesmo que se fosse de ônibus.
E) gastar R$ 14,00 a mais.
17 As figuras a seguir são construídas com palitos pretos e brancos. Para construir as figuras, os palitos
pretos foram colocados apenas nas bordas, e os
brancos, apenas no interior. A figura de número n
corresponde a um retângulo 3 por n. Continuando
esse procedimento, quantos palitos brancos teremos na figura 2 002?
1
13 Uma escola vai organizar um passeio ao zoológico.
Há duas opções de transporte. A primeira opção é
alugar “vans”: cada van pode levar até 6 crianças e
seu aluguel custa R$ 60,00. A segunda opção é contratar uma empresa para fazer o serviço: a empresa
utiliza ônibus com capacidade para 48 crianças e
50
A) 2 001
B) 4 004
2
3
C) 12 006E) 10 010
D) 10 007
18 Um produtor de leite engarrafa diariamente toda a
produção de leite de sua fazenda. Depois de tirado,
o leite segue para um tanque de forma cilíndrica e
então é engarrafado, conforme vemos na figura a
seguir. Na tabela vemos a quantidade de garrafas
que foram enchidas e o nível do leite dentro do tanque. Depois de quantas garrafas serem enchidas o
tanque ficará vazio?
Quantidade de
garrafas enchidas
0
200
400
600
Nível do tanque (cm)
210
170
130
90
A) 1 000
B) 1 050 C) 1 100
3 Dado um número, pode-se escrever o seu dobro ou
suprimir o seu algarismo das unidades. Apresente
uma sequência que começa com 2 002 e termina
com 13, usando somente essas duas operações.
4 Três amigas foram para uma festa
com vestidos azul, preto e branco,
respectivamente. Seus pares de
sapa­to apresentavam essas mes­
mas três cores, mas somente Ana
usava vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Júlia
eram brancos. Marisa usava sapatos azuis. ­Des­creva a cor do vestido de cada uma das moças.
5 No jogo pega-varetas, as varetas verdes valem
5 pontos cada uma, as azuis valem 10 pontos, as
amarelas valem 15, as vermelhas, 20, e a preta,
50. Existem 5 varetas verdes, 5 azuis, 10 amarelas,
10 vermelhas e 1 preta. Carlinhos conseguiu fazer
40 pontos numa jogada. Levando em conta apenas
a quantidade de varetas e suas cores, de quantas
maneiras diferentes ele poderia ter conseguido
essa pontuação, supondo que em cada caso fosse
possível pegar as varetas necessárias?
D) 1 150 E) 1 200
19 Escrevendo todos os números inteiros de 100 a
999, quantas vezes escrevemos o algarismo 5?
A) 250
B) 270
C) 271
D) 280 E) 292
20 Uma usina comprou 2 000 litros de leite puro e então retirou certo volume V desse leite para produção
de iogurte e substituiu esse volume por água. Em
seguida, retirou novamente o mesmo volume V da
mistura e novamente substituiu por água. Na mistura final existem 1 125 litros de leite. O volume V é:
A) 500 litros
C) 700 litros
E) 900 litros
B) 600 litros
D) 800 litros
6 Nas casas de um tabuleiro 8 3 8 foram escritos números inteiros positivos de forma que a diferença
entre números escritos em casas vizinhas (quadrados com um lado comum) é 1. Sabe-se que numa
das casas está escrito 17 e, em outra, está escrito 3.
Desenhe um tabuleiro 8 3 8, preencha-o segundo
essas regras e calcule a soma dos números escritos
nas duas diagonais do tabuleiro.
Nível 2 (8o. e 9o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
a
1. Fase Olimpíada Regional
BA – ES – MG – PA – PB ­­– RJ – RS – SC
SEGUNDA FASE – parte A
••••••
1 O ano 2002 é palíndromo, ou seja, continua o mesmo se lido da direita para a esquerda.
a) Depois de 2002, quais serão os próximos quatro
anos palíndromos?
b)O último ano palíndromo, 1991, era ímpar. Quando será o próximo ano palíndromo ímpar?
1 Um comerciante comprou dois carros por um total de R$ 27 000,00. Vendeu o primeiro com lucro
de 10% e o segundo com prejuízo de 5%. No total
ganhou R$ 750,00. Os preços de compra foram, respectivamente:
A)R$ 10 000,00 e R$ 17 000,00
B)R$ 13 000,00 e R$ 14 000,00
C)R$ 14 000,00 e R$ 13 000,00
D)R$ 15 000,00 e R$ 12 000,00
E) R$ 18 000,00 e R$ 9 000,00
2 Um fazendeiro resolveu repartir sua fazenda para
seus cinco filhos. O desenho abaixo (fora de escala) representa a fazenda e as partes dos herdeiros,
BC
que são da forma triangular, de modo que BD 5 ,
4
AC
DC
AE 5
, DF 5
e EG 5 GC. O filho mais novo
3
2
recebeu o terreno representado pelo triângulo
escuro, de 40 alqueires. Quantos alqueires tinha a
propriedade original?
A
2 Se você tiver uma mesa de bilhar retangular cuja ra-
E
G
B
D
F
5
e bater
7
uma bola que está em um canto, de modo que ela
saia na direção da bissetriz do ângulo desse canto,
quantas vezes ela baterá nos lados antes de bater
em um dos cantos?
A) 10 vezes
C) 13 vezes
E) 15 vezes
B) 12 vezes
D) 14 vezes
zão entre a largura e o comprimento seja
C
51
3 Dizer que uma tela de televisão tem 20 polegadas
significa que a diagonal da tela mede 20 polegadas.
Quantas telas de televisão de 20 polegadas cabem
numa de 60 polegadas?
A) 9
B) 10
C) 18
D) 20
E) 30
9 Patrícia mora em São Paulo e quer visitar o Rio de
Janeiro num feriado prolongado. A viagem de ida
e volta, de ônibus, custa R$ 80,00, mas Patrícia está
querendo ir com seu carro, que faz, em média,
12 quilômetros com um litro de gasolina. O litro de
gasolina custa, em média, R$1,60, e Patrícia calcula
que terá de rodar cerca de 900 quilômetros com seu
carro e pagar R$ 48,00 de pedágio. Ela irá de carro e
para reduzir suas despesas chama duas amigas, que
irão repartir com ela todos os gastos. Dessa forma,
não levando em conta o desgaste do carro e outras
despesas inesperadas Patrícia irá:
A)economizar R$ 20,00.
B)gastar apenas R$ 2,00 a mais.
C)economizar R$ 24,00.
D)gastar o mesmo que se fosse de ônibus.
E) gastar R$ 14,00 a mais.
4 Uma usina comprou 2 000 litros de leite puro e então retirou certo volume V desse leite para produção de iogurte e substituiu este volume por água.
Em seguida, retirou novamente o mesmo volume V
da mistura e substituiu novamente este volume por
água. Na mistura final existem 1 125 litros de leite
puro. O volume V é:
A) 500 litros
D) 800 litros
B) 600 litros
E) 900 litros
C) 700 litros
5 Dois irmãos, Pedro e João, decidiram brincar de pega-pega. Como Pedro é mais velho, enquanto João
dá 6 passos, Pedro dá apenas 5. No entanto, 2 passos
de Pedro equivalem à distância que João percorre
com 3 passos. Para começar a brincadeira, João dá
60 passos antes de Pedro começar a persegui-lo.
Depois de quantos passos Pedro alcança João?
A) 90 passos
D) 180 passos
B) 120 passos
E) 200 passos
C) 150 passos
10 Traçando segmentos, podemos dividir um quadrado em dois quadradinhos congruentes, quatro trapézios congruentes e dois triângulos congruentes,
conforme indica o desenho abaixo, à esquerda. Eliminando algumas dessas partes, podemos montar
o octógono representado à direita. Que fração da
área do quadrado foi eliminada?
6 A diferença entre os quadrados de dois números
inteiros consecutivos é sempre:
A)um número primo.
B)um múltiplo de 3.
C)igual à soma desses números.
D)um número par.
E) um quadrado perfeito.
1
9
B)
2
9
C)
1
4
D)
1
3
E)
3
8
180
160
A
140
B
120
dez
nov
out
set
100
jul
casa até a escola. Certa vez, durante o caminho, percebeu que esquecera em casa a revista Eureka! que
ia mostrar para a classe; ele sabia que, se continuasse a andar, chegaria à escola 8 minutos antes do sinal, mas se voltasse para pegar a revista, no mesmo
passo, chegaria atrasado 10 minutos. Que fração do
caminho já tinha percorrido neste ponto?
2
9
1
2
9
B)
C) D) E)
A) 5
20
2
3
10
200
ago
milhões de reais
11 O gráfico abaixo mostra o faturamento mensal das
empresas A e B no segundo semestre de 2001.
7 Marcelo leva exatamente 20 minutos para ir de sua
A)
Com base nesse gráfico, podemos afirmar que:
A)houve um mês em que o faturamento da empresa A foi o dobro do faturamento da empresa B.
B)no mês de julho, a diferença de faturamentos
foi maior que nos demais meses.
C)a empresa B foi a que sofreu a maior queda de
faturamento entre dois meses consecutivos.
D)no semestre, o faturamento total de A foi maior
que o de B.
E) a diferença entre os faturamentos totais no semestre excedeu os 20 milhões de reais.
8 Escreva os números inteiros de 1 a 9 nos nove
quadradinhos, de forma que as somas dos quatro
números em cada uma das pás da “hélice” sejam
iguais e de maior valor possível. Esse valor é:
12 O produto de um milhão de números naturais,
A) 23
B) 22
C) 21
D) 20
E) 19
52
não necessariamente distintos, é igual a um milhão. Qual é o maior valor possível para a soma
desses números?
A) 1 000 000
C) 1 501 999
E) 13 999 432
B) 1 250 002
D) 1 999 999
13 O lava-rápido “Lave Bem” faz uma promoção:
19 Escrevendo todos os números inteiros de 100 a
999, quantas vezes escrevemos o algarismo 5?
A) 250
B) 270
C) 271
D) 280 E) 292
Lavagem simples R$5,00
Lavagem completa R$7,00
20 Se xy 5 2 e x2 1 y2 5 5, então
No dia da promoção, o faturamento do lava-rápido
foi de R$ 176,00. Nesse dia, qual o menor número
possível de clientes que foram atendidos?
A) 23
B) 24
C) 26
D) 28
E) 30
D)
3
4
E) 1
 5 80º e C 5 40o,
16 Dado um triângulo ABC, em que A
a medida do ângulo agudo formado pelas bissetri e B é:
zes dos ângulos A
o
o
B) 60 C) 70o
D) 80o
E) 110o
A) 40 17 Na malha quadriculada abaixo, há 6 quadrados de
lado 30 cm. A área do triângulo ABC é:
A) 150 cm2
B) 100 cm2
25
4
C)
5
4
23 Vamos provar que 4 é maior que 4.
Sejam a e b dois números tais que a . 4 e a 5 b.
1) Vamos subtrair 4 dos dois termos desta equação:
a5b
a245b24
C
B
B)
22 Durante sua viagem ao país das Maravilhas, a altura
de Alice sofreu quatro mudanças sucessivas da seguinte forma: primeiro ela tomou um gole de um
líquido que estava numa garrafa em cujo rótulo se
lia: “beba-me e fique 25% mais alta”. A seguir, comeu um pedaço de uma torta onde estava escrito:
“prove-me e fique 10% mais baixa”; logo após, tomou um gole do líquido de outra garrafa cujo rótulo estampava a mensagem: “beba-me e fique 10%
mais alta”. Finalmente, comeu um pedaço de outra
torta na qual estava escrito: “prove-me e fique 20%
mais baixa”. Após a viagem de Alice, podemos afirmar que ela:
A)ficou 1% mais baixa.
B)ficou 1% mais alta.
C)ficou 5% mais baixa.
D)ficou 5% mais alta.
E) ficou 10% mais alta.
15 Quantos números inteiros positivos menores que
900 são múltiplos de 7 e terminam em 7?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
A
5
2
21 Uma escola vai organizar um passeio ao zoológico.
Há duas opções de transporte. A primeira opção é
alugar “vans”: cada van pode levar até 6 crianças e
seu aluguel custa R$ 60,00. A segunda opção é contratar uma empresa para fazer o serviço: a empresa utiliza ônibus com capacidade para 48 crianças
e cobra R$ 237,00 mais R$ 120,00 por ônibus utilizado. A escola deve preferir a empresa que utiliza
ônibus se forem ao passeio pelo menos N crianças.
O valor de N é:
A) 28
B) 31
C) 32
D) 33
E) 36
14 Um quadrado de área 1 foi dividido em 4 retângulos congruentes, conforme indicado no desenho à
esquerda. Em seguida, os quatro retângulos foram
reagrupados de maneira a formar um quadrado,
com um buraco quadrado no centro, conforme indica o desenho à direita.
A área do buraco é igual a:
1
9
16
A) B)
C)
2
16
25
A)
x 2 y2
1 1 2 vale:
y2 x 2
1
D) E) 1
2
C) 75 cm2
D) 50 cm2
2) Colocamos 21 em evidência no segundo membro da equação:
a 2 4 5 21(2b 1 4)
a 2 4 5 21(4 2 b)
E) 25 cm2
3) Elevamos ambos os termos da equação ao quadrado:
(a 2 4)2 5 [21  ( 4 2 b)]2
(a 2 4)2 5 (21)2( 4 2 b)2
18 A linha poligonal AB é desenhada mantendo-se
sempre o mesmo padrão mostrado na figura. Seu
comprimento total é igual a:
(a 2 4)2 5 1  ( 4 2 b)2 (a 2 4)2 5 ( 4 2 b)2
2
B
4) Extraímos a raiz quadrada dos dois membros da
equação:
E) 105
(a 2 4)2 5 ( 4 2 b)2
a24542b
1
A
1
A) 31
2
3
4
B) 88
5
6
7
8
C) 90
9
30 31
D) 97
53
2 Um grande painel na forma de
um quarto de círculo foi composto com 4 cores, conforme indicado na figura ao lado, onde o
segmento divide o setor em duas
partes iguais e o arco interno é
uma semicircunferência. Qual é
a cor que cobre a maior área?
5) Como a 5 b, substituímos b por a:
a24542a
6) Resolvemos a equação:
a24542a
2a 5 8
a54
az ul
o
c
an
br amarelo
3 Nas casas de um tabuleiro 8 3 8 foram escritos
números inteiros positivos de forma que a diferença entre números escritos em casas vizinhas
(quadrados com um lado comum) é 1. Sabe-se
que numa das casas está escrito 17 e, em outra,
está escrito 3. Calcule a soma dos números escritos nas duas diagonais do tabuleiro.
Como escolhemos a tal que a . 4, chegamos à
inacreditável conclusão de que 4 . 4.
Onde está o erro no argumento acima?
A) Na passagem 2.
D) Na passagem 5.
B) Na passagem 3.
E) Na passagem 6.
C) Na passagem 4.
24 Qual é a quantidade total de letras de todas as
verde
4 O professor Pardal está estudando o comportamento familiar de uma espécie de pássaro. Os pontos A,
B, C e D da figura a seguir representam a disposição de quatro ninhos desses pássaros. O professor
construiu um posto de observação equidistante dos
quatro ninhos. Todos os ninhos e o posto de observação estão em um mesmo nível de altura a partir
do solo, a distância
C
de B a D é de 16 meB
B
ˆ 545o . Detros e BAD
termine a distância
que o posto guarda
D
AA
de cada ninho.
respostas incorretas desta questão?
A) Quarenta e oito.
D) Cinquenta e um.
B) Quarenta e nove.
E) Cinquenta e quatro.
C) Cinquenta.
25 O resto da divisão por 9 de 1111111111 2 22222 é:
A) 0
B) 1
C) 3
D) 6
E) 8
SEGUNDA FASE
••••••
1 Geraldinho e Magrão saíram de suas casas no mesmo instante com a intenção de um visitar o outro,
caminhando pelo mesmo percurso. Geraldinho
ia pensando num problema de olimpíada, e Magrão ia refletindo sobre questões filosóficas e nem
perceberam quando se cruzaram. Dez minutos
depois, Geraldinho chegava à casa de Magrão, e
meia hora mais tarde, Magrão chegava à casa de
Geraldinho. Quanto tempo cada um deles andou?
5 O primeiro número de uma sequência é 7. O próximo é obtido da seguinte maneira:
Calculamos o quadrado do número anterior 72 5
5 49 e a seguir efetuamos a soma de seus algarismos e adicionamos 1, isto é, o segundo número é
4 1 9 1 1 5 14. Repetimos este processo, obtendo 142 5 196, e o terceiro número da sequência é
1 1 9 1 6 1 1 5 17, e assim sucessivamente. Qual
o 2002o elemento desta sequência?
6 O ano 2002 é palíndromo, ou seja, continua o mesmo se lido da direita para a esquerda.
a) Depois de 2002, quais serão os próximos quatro
anos palíndromos?
b)O último ano palíndromo, 1991, era ímpar. Quando será o próximo ano palíndromo ímpar?
c) O último ano palíndromo primo aconteceu há
mais de 1 000 anos, em 929. Determine qual
será o próximo ano palíndromo primo.
Observação: Cada um deles anda com velocidade
constante.
54
XXIII OLIMPÍADA
BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2001
PROVAS
Nível 1 (6o. e 7o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
1a. Fase Olimpíada Regional
AM – GO – PA – RJ – RS – SC
A)é igual 11.
B)é igual a 4.
C)é menor do que 3.
D)é maior do que 4 e menor do que 11.
E) é 3.
6 Uma pera tem cerca de 90% de água e 10% de matéria sólida. Um produtor coloca 100 quilogramas
de pera para desidratar até o ponto em que a água
represente 60% da massa total. Quantos litros de
água serão evaporados? (Lembre-se: 1 litro de água
tem massa de 1 quilograma).
A) 15 litros.
C) 75 litros.
E) 30 litros.
B) 45 litros.
D) 80 litros.
1 Considere dois números naturais, cada um deles
com três algarismos diferentes. O maior deles só
tem algarismos pares, e o menor só tem algarismos ímpares. O menor valor possível para a diferença entre eles é:
A) 111
B) 49
C) 29
D) 69
E) 5
2 Na figura abaixo, temos 4 circunferências e alguns
pontos destacados no interior dessas circunferências. Escolhendo exatamente um desses pontos
dentro de cada uma das circunferências, e unindo-os por segmentos de reta que não se cruzam,
formamos um quadrilátero. Quantos quadriláteros
diferentes seremos capazes de desenhar nessas
condições?
7 O triângulo equilátero T à direita tem lado
1. Juntando triângulos congruentes a esse,
podemos formar outros triângulos equiláteros
maiores, conforme indicado no desenho abaixo.
Qual é o lado do triângulo equilátero formado por
49 dos triângulos T ?
A) 7
B) 49
C) 13 D) 21
E) É impossível formar um triângulo equilátero com
esse número de triângulos T.
A) 4
B) 14
C) 60
D) 120
8 Os números inteiros positivos de 1 a 1 000 são escritos, lado a lado, em ordem crescente, formando a
sequência 123 456 789 101 112 131 415... 9 991 000.
Nessa sequência, quantas vezes aparece o grupo
“89” ?
A) 98
C) 22E) 21
B) 32
D) 89
E) 24
3 Joana escreve a sequência de números naturais 1,
6, 11, ..., em que cada número, com exceção do primeiro, é igual ao anterior mais cinco. Joana para
quando encontra o primeiro número de três algarismos. Esse número é:
A) 100
B) 104
C) 101
D) 103 E) 102
9 Um serralheiro tem 10 pedaços de 3 elos de ferro
cada um, mostrados abaixo.
4 Quantos números de dois algarismos não são primos nem múltiplos de 2, 3 ou 5?
A) 1
C) 2
E) mais de 4
B) 3
D) 4
5 No conjunto {101, 1 001, 10 001, ..., 1 000 000 000 001}
cada elemento é um número formado por algarismos 1 nas extremidades e por algarismos 0 entre
eles. Alguns desses elementos são números primos,
e outros são compostos. Sobre a quantidade de números compostos, podemos afirmar que:
55
Ele quer fazer uma única corrente de 30 elos. Para
abrir e depois soldar um elo, o serralheiro leva 5
minutos. Quantos minutos, no mínimo, ele levará
para fazer essa corrente?
A) 30
C) 40
E) 50
B) 35
D) 45
10 Escrevem-se os números naturais numa faixa decorativa, da seguinte maneira:
1
2
3
5
7
6
4
17 Contando-se os alunos de uma classe de 4 em 4 sobram 2, e contando-se de 5 em 5 sobra 1. Sabendo-se que 15 alunos são meninas e que nessa classe o
número de meninas é maior que o número de meninos, o número de meninos nessa classe é:
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
8
18 São escritos todos os números de 1 a 999 nos quais
o algarismo 1 aparece exatamente 2 vezes (tais
como, 11, 121, 411, etc.). A soma de todos esses números é:
A) 6 882
C) 4 668 E) 3 448
B) 5 994 D) 7 224
Assinale a figura correta:
A)
2 001
B)
2 001
2 000
D)
E)
2 001
2 000
2 001
2 000
2 000
C)
19 Cinco animais, A, B, C, D e E, são cães ou são lobos.
Cães sempre contam a verdade, e lobos sempre
mentem. A diz que B é um cão. B diz que C é um
lobo. C diz que D é um lobo. D diz que B e E são animais de espécies diferentes. E diz que A é um cão.
Quantos lobos há entre os cinco animais?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
2 001
2 000
11 2 melancias custam o mesmo que 9 laranjas mais
6 bananas; além disso, meia dúzia de bananas custa
a metade de uma melancia. Portanto, o preço pago
por uma dúzia de laranjas e uma dúzia de bananas
é igual ao preço de:
A) 3 melancias.
D) 5 melancias.
B) 4 melancias.
E) 2 melancias.
C) 6 melancias.
20 Com azulejos quadrados brancos e pretos, todos
do mesmo tamanho, construímos os seguintes
mosaicos.
12 Qual é o último algarismo da soma de 70 números
inteiros positivos consecutivos?
A) 4 C) 7 E) Faltam dados.
B) 0
D) 5
13 Em Tumbólia, um quilograma de moedas de 50 centavos equivale, em dinheiro, a dois quilogramas
de moedas de 20 centavos. Sendo 8 gramas o peso
de uma moeda de 20 centavos, uma moeda de
50 centavos pesará:
A) 15 gramas.
C) 12 gramas.
E) 22 gramas.
B) 10 gramas.
D) 20 gramas.
14 As medidas dos lados de um retângulo são números inteiros distintos. O perímetro e a área do retângulo se exprimem pelo mesmo número. Determine
esse número.
A) 18
B) 12
C) 24
D) 9
E) 36
A regra para se construir esses mosaicos é a seguinte: inicialmente formamos um quadrado com
1 azulejo branco cercado por azulejos pretos; e,
em seguida, outro quadrado, este com 4 azulejos
brancos, também cercado por azulejos pretos; e
assim sucessivamente.
Com 80 azulejos pretos, quantos azulejos brancos
serão necessários para se fazer uma sequência de
mosaicos como essa?
A) 55
B) 65
C) 75
D) 85
E) 100
SEGUNDA FASE
••••••
1 O jogo de dominó é formado por 28 peças retangulares distintas, cada uma com duas partes, com
cada parte contendo de 0 a 6 pontinhos. Por exemplo, veja três dessas peças:
15 O número N de três algarismos multiplicado por 7
deu como resultado um número que termina em
171. A soma dos algarismos de N é:
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
16 Em um tabuleiro retangular com 6 linhas e 9 colunas, 32 casas estão ocupadas.
Podemos afirmar que:
A)Todas as colunas têm pelo menos 3 casas ocupadas.
B)Nenhuma coluna tem mais de 3 casas ocupadas.
C)Alguma coluna não tem casas ocupadas.
D)Alguma linha tem pelo menos 6 casas ocupadas.
E) Todas as linhas têm pelo menos 4 casas ocupadas.
Qual é o número total de pontinhos de todas as
peças?
56
2 As peças de um jogo chamado Tangram são cons­
truí­das cortando-se um quadrado em sete partes,
como mostra o desenho: dois triângulos retângu­
los grandes, um triângulo retângulo médio, dois triângulos
retângulos pequenos, um quadrado e um paralelogramo. Se
a área do quadrado grande é 1,
qual é a área do paralelogramo?
3 No conjunto {101, 1 001, 10 001, ..., 1 000 000 000 001}
cada elemento é um número formado por algarismos 1 nas extremidades e por algarismos 0 entre
eles. Alguns desses elementos são números primos,
e outros são compostos. Sobre a quantidade de números compostos, podemos afirmar que:
A) é igual 11.
B) é igual a 4.
C) é menor do que 3.
D) é maior do que 4 e menor do que 11.
E) é 3.
3 Carlinhos faz um furo numa folha de papel retangular. Dobra a folha ao meio e fura o papel dobrado;
em seguida, dobra e fura novamente o papel dobrado. Ele pode repetir esse procedimento quantas
vezes quiser, evitando furar onde já havia furos. Ao
desdobrar a folha, ele conta o número total de furos feitos. No mínimo, quantas dobras deverá fazer
para obter mais de 100 furos na folha?
4 Uma pera tem cerca de 90% de água e 10% de matéria sólida. Um produtor coloca 100 quilogramas
de pera para desidratar até o ponto em que a água
represente 60% da massa total. Quantos litros de
água serão evaporados? (Lembre-se: 1 litro de água
tem massa de 1 quilograma).
A) 15 litros.
C) 75 litros.E) 30 litros.
B) 45 litros.
D) 80 litros.
4 Os pontos da rede quadriculada abaixo são numerados a partir do vértice inferior esquerdo seguindo o ca­
minho poligonal suge­
rido no desenho. Considere o ponto correspondente ao número
13
13
2 001. Quais são os nú6
7
12
6
7
12
meros dos pontos si- 5
11
3
tuados imediatamente 4
8
3
8
11
abaixo e imediatamen­
te à esquerda dele?
1
2
9
10
5 Os números inteiros positivos de 1 a 1 000 são escritos, lado a lado, em ordem crescente, formando a
sequência 123 456 789 101 112 131 415... 9 991 000.
Nessa sequência, quantas vezes aparece o grupo
“89”?
A) 98
B) 32
C) 22
D) 89
E) 21
6 Um serralheiro tem 10 pedaços de 3 elos de ferro
cada um, mostrados abaixo.
5 Apresente todos os números inteiros positivos menores do que 1 000 que têm exatamente três divisores positivos. Por exemplo: o número 4 tem exatamente três divisores positivos: 1, 2 e 4.
6 Seja N o número inteiro positivo dado por N 5 12 1
1 22 1 32 1 42 1…1 (196 883)2. Qual é o algarismo
das unidades de N?
Nível 2 (8 . e 9 . anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
a
1. Fase Olimpíada Regional
AM – GO – PA – RJ – RS – SC
o
Ele quer fazer uma única corrente de 30 elos. Para
abrir e depois soldar um elo, o serralheiro leva
5 minutos. Quantos minutos, no mínimo, ele levará para fazer essa corrente?
A) 30
B) 35
C) 40
D) 45
E) 50
o
7 2 melancias custam o mesmo que 9 laranjas mais
6 bananas; além disso, meia dúzia de bananas custa a metade de uma melancia. Portanto, o preço
pago por uma dúzia de laranjas e uma dúzia de
bananas é igual ao preço de:
A) 3 melancias.
D) 5 melancias.
B) 4 melancias.
E) 2 melancias.
C) 6 melancias.
1 Quantos números de dois algarismos não são primos nem múltiplos de 2, 3 ou 5?
A) 1
B) 3
C) 2
D) 4
E) Mais de 4.
2 O triângulo CDE pode ser
obtido pela rotação do triângulo ABC de 90o no sentido anti-horário ao redor A
de C, conforme mostrado
no desenho ao lado.
Podemos afirmar que a é
igual a:
A) 75o
C) 70o
E) 55o
o
o
B) 65 D) 45
8 Qual é o último algarismo da soma de 70 números inteiros positivos consecutivos?
A) 4
D) 5
B) 0
E) Faltam dados.
C) 7
B
α
D
60
C
9 As medidas dos lados de um retângulo são números inteiros distintos. O perímetro e a área do retângulo se exprimem pelo mesmo número. Determine
esse número.
A) 18
B) 12
C) 24
D) 9
E) 36
O
40
O
E
57
10 O número N de três algarismos multiplicado por 7
deu como resultado um número que termina em
171. A soma dos algarismos de N é:
A) 10
C) 12
E) 14
B) 11
D) 13
18 São escritos todos os números de 1 a 999 nos quais o
algarismo 1 aparece exatamente 2 vezes (tais como,
11, 121, 411 etc.). A soma de todos esses números é:
A) 6 882
C) 4 668
E) 3 448
B) 5 994 D) 7 224
11 Os pontos P1, P2, P3, … estão, nessa ordem, sobre
uma circunferência e são tais que o arco que une
cada ponto ao seguinte mede 35o. O menor valor de
n . 1, tal que Pn coincide com P1 é:
A) 37
C) 109
E) 361
B) 73
D) 141
19 Uma mesa retangular, cujos pés têm rodas, deve ser
empurrada por um corredor de largura constante,
que forma um ângulo reto.
b
a
12 Em um tabuleiro retangular com 6 linhas e 9 colunas, 32 casas estão ocupadas.
Podemos afirmar que:
A)Todas as colunas têm pelo menos 3 casas
ocupadas.
B)Nenhuma coluna tem mais de 3 casas ocupadas.
C)Alguma coluna não tem casas ocupadas.
D)Alguma linha tem pelo menos 6 casas ocupadas.
E)Todas as linhas têm pelo menos 4 casas
ocupadas.
Se as dimensões da mesa são a e b (com 2a , b),
qual deve ser a largura mínima do corredor para
que a mesa possa ser empurrada através dele?
13 ABCDE é um pentágono regular, e ABF é um triângulo equilátero interior. O ângulo FCD mede:
A) 38o C) 42o
E) 46o
o
o
B) 40 D) 44
A) a 1 b
B) (a 1b)
2
2
C) (a 1b)
2
4
D) (2a 1b)
2
4
E) (a 12b)
2
4
20 Somente uma das figuras a seguir representa a planificação de um cubo na qual está destacada a sua
interseção com um plano. Qual?
A)
C)
E)
14 Contando-se os alunos de uma classe de 4 em 4 sobram 2, e contando-se de 5 em 5 sobra 1. Sabendo-se que 15 alunos são meninas e que nessa classe o
número de meninas é maior que o número de meninos, o número de meninos nessa classe é:
A) 7
C) 9
E) 11
B) 8
D) 10
B)
D)
15 Um círculo é dividido, por 2n 1 1 raios, em 2n 1 1
setores congruentes. Qual é o número máximo de
regiões do círculo determinadas por estes raios e
por uma reta?
A) 3n
C) 3n 1 2
E) 4n
B) 3n 1 1
D) 3n 1 3
21 Quantos dígitos tem o menor quadrado perfeito
cujos quatro últimos dígitos são 2 001?
A) 9
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
16 Paulo e Cezar têm algum dinheiro. Paulo dá a Ce1
zar R$ 5,00, e, em seguida, Cezar dá a Paulo
do
3
que possui. Assim, ambos ficam com R$ 18,00.
A diferença entre as quantias que cada um tinha
inicialmente é:
A) R$ 7,00
C) R$ 9,00E) R$11,00
B) R$ 8,00
D) R$10,00
22 Papa-Léguas participou de uma corrida (com o Ligeirinho e o Flash), que consistia em dar 100 voltas em um
circuito. Como sempre, o Coiote queria pegar o Papa-Léguas e colocou um monte de alpiste no meio da pista. É claro que o Coiote não conseguiu pegar o Papa-Léguas, mas ele fez com que a velocidade média dele
na primeira volta fosse de apenas 200 km/h. Sabendo
disso, a velocidade média do Papa-Léguas na corrida:
A)não ultrapassa 200 km/h. B)não ultrapassa 250 km/h, mas pode ultrapassar
200 km/h.
C)não ultrapassa 2 000 km/h, mas pode ultrapassar
250 km/h.
D)não ultrapassa 20 000 km/h, mas pode ultrapassar
os 2 000 km/h.
E) pode ultrapassar 20 000 km/h.
17 Um fazendeiro tinha 24 vacas e ração para alimentá-las por 60 dias. Entretanto, 10 dias depois, ele
comprou mais 6 vacas, e 10 dias depois dessa compra ele vendeu 20 vacas. Por mais quantos dias após
essa última compra ele pode alimentar o gado com
a ração restante?
A) 50
C) 70
E) 90
B) 60
D) 80
58
23 Com azulejos quadrados brancos e pretos, todos
do mesmo tamanho, construímos os seguintes
mosaicos.
3 Se a n-ésima OBM é realizada em um ano que é divisível por n, dizemos que esse ano é superolímpico.
Por exemplo, o ano 2001, em que está sendo realizada a 23a OBM, é superolímpico, pois 2 001 5 87 ? 23
e é divisível por 23. Determine todos os anos superolímpicos, sabendo que a OBM nunca deixou de
ser realizada desde sua primeira edição, em 1979, e
supondo que continuará sendo realizada todo ano.
A regra para se construir esses mosaicos é a seguinte: inicialmente formamos um quadrado com
1 azulejo branco cercado por azulejos pretos; e, em
seguida, outro quadrado, este com 4 azulejos brancos, também cercado por azulejos pretos; e assim
sucessivamente.
Com 80 azulejos pretos, quantos azulejos brancos
serão necessários para se fazer uma sequência de
mosaicos como essa?
A) 55
B) 65
C) 75
D) 85
E) 100
4 As medidas dos ângulos do triângulo ABC são tais
que Aˆ , Bˆ , 90o , Cˆ . As bissetrizes externas dos ângulos  e Ĉ cortam os prolongamentos dos lados
opostos BC e AB nos pontos P e Q, respectivamente.
Sabendo que AP 5 CQ 5 AC , determine os ângulos
de ABC.
5 Dizemos que um conjunto A formado por 4 algarismos distintos e não nulos é intercambiável se
podemos formar dois pares de números, cada um
com 2 algarismos de A, de modo que o produto
dos números de cada par seja o mesmo e que, em
cada par, todos os dígitos de A sejam utilizados.
Por exemplo, o conjunto {1; 2; 3; 6} é intercambiável,
pois 21 ? 36 5 12 ? 63.
Determine todos os conjuntos intercambiáveis.
24 Cinco animais, A, B, C, D e E, são cães ou são lobos.
Cães sempre contam a verdade, e lobos sempre
mentem. A diz que B é um cão. B diz que C é um
lobo. C diz que D é um lobo. D diz que B e E são animais de espécies diferentes. E diz que A é um cão.
Quantos lobos há entre os cinco animais?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
25 O hexágono ABCDEF é circunscritível. Se AB 5 1, BC 5 2,
CD 5 3, DE 5 4 e EF 5 5, quanto mede FA?
15
A) 1
C)
E) 9
8
B) 3
D) 6
C
2
6 O matemático excêntrico Jones, especialista em
Teoria dos Nós, tem uma bota com 5 pares de furos pelos quais o cadarço deve passar. Para não se
aborrecer, ele gosta de diversificar as maneiras de
passar o cadarço pelos furos, obedecendo sempre
às seguintes regras:
• o cadarço deve formar um padrão simétrico em
relação ao eixo vertical;
• o cadarço deve passar exatamente uma vez por
cada furo, sendo indiferente se ele o faz por cima
ou por baixo;
• o cadarço deve começar e terminar nos dois furos
superiores e deve ligar diretamente (isto é, sem
passar por outros furos) os dois furos inferiores.
B
1
3
A
?
D
F
4
E
5
SEGUNDA FASE
••••••
1 As peças de um jogo chamado Tangram são construídas cortando-se um quadrado em sete partes,
como mostra o desenho: dois triângulos retângulos grandes, um triângulo retângulo médio, dois
triângulos retângulos pequenos, um quadrado e
um paralelogramo. Se a
área do quadrado grande
é 1, qual é a área do paralelogramo?
Representamos a seguir algumas possibilidades.
Qual é o número total de possibilidades que o matemático tem para amarrar seu cadarço, obedecendo às regras acima?
Observação: Maneiras como as exibidas a seguir
devem ser consideradas iguais (isto é, deve ser levada em conta apenas a ordem na qual o cadarço
passa pelos furos).
2 Os pontos da rede quadriculada abaixo são numerados a partir do vértice inferior esquerdo seguindo
o caminho poligonal
sugerido no desenho.
Considere o ponto correspondente ao núme13
13
ro 2 001. Quais são os
12
66
5
77
12
números dos pontos si11
tuados imediatamente 4
33
88
11
abaixo e imediatamen1
2
9
10
te à esquerda dele?
59
XXII OLIMPÍADA
BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2000
PROVAS
7 O número 10 pode ser escrito de duas formas como
soma de dois números primos:
10 5 5 1 5 e 10 5 7 1 3. De quantas maneiras po­
demos expressar o número 25 como uma soma de
dois números primos?
A) 4
C) 2
E) Nenhuma.
B) 1
D) 3
Nível 1 (6o. e 7o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
1a. Fase Olimpíada Regional
BA – ES – GO – RJ – RN – SC – SP
1 Observe as multiplicações a seguir:
8 1 litro de álcool custa R$ 0,75. O carro de Henrique
percorre 25 km com 3 litros de álcool. Quantos reais
serão gastos em álcool para percorrer 600 km?
A) 54
C) 50
E) 45
B) 72 D) 52
12 345 679 3 18 5 222 222 222
12 345 679 3 27 5 333 333 333
12 345 679 3 54 5 666 666 666
Para obter 999 999 999, devemos multiplicar
12 345 679 por:
A) 29 B) 99
C) 72
D) 41
E) 81
9 Um certo número N de dois algarismos é o qua­
drado de um número natural. Invertendo-se a or­
dem dos algarismos desse número, obtém-se um
número ímpar. A diferença entre os dois números
é o cubo de um número natural. Podemos afirmar
que a soma dos algarismos de N é:
A) 7
C) 13
E) 11
B) 10
D) 9
2 Outro dia ganhei 250 reais, incluindo o pagamento
de horas extras. O salário (sem horas extras) excede
em 200 reais o que recebi pelas horas extras. Qual é
o meu salário sem horas extras?
A) 200 reais.
C) 225 reais.E) 180 reais.
B) 150 reais.
D) 175 reais.
10 Juliano colou uma bandeirinha cinza em cada en­
grenagem, como mostra a figura abaixo.
3 Num relógio digital, que marca de 0:00 até 23:59,
quantas vezes por dia o mostrador apresenta todos
os algarismos iguais?
A) 10
B) 8
C) 6
D) 7
E) 9
4 A prefeitura de uma certa cidade fez uma campa­
nha que permite trocar 4 garrafas de 1 litro, vazias,
por uma garrafa de 1 litro cheia de leite. Até quantos
litros de leite pode obter uma pessoa que possua 43
dessas garrafas vazias?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
5 Numa caixa havia várias bolas, sendo 5 azuis, 4 ama­
relas, 3 vermelhas, 2 brancas e 1 preta. Renato reti­
rou 3 bolas da caixa. Sabendo que nenhuma delas
era azul, nem amarela, nem preta, podemos afirmar,
a respeito dessas 3 bolas, que:
A) eram da mesma cor.
B) eram vermelhas.
C) uma era vermelha, e duas eram brancas.
D) uma era branca, e duas eram vermelhas.
E) pelo menos uma era vermelha.
As engrenagens são iguais, e quando a engrena­
gem da esquerda girou um pouco, a sua bandeiri­
nha ficou na posição indicada com a bandeirinha
branca pontilhada. Nessa condição, podemos afir­
mar que a posição da bandeirinha na engrenagem
da direita é:
A)
B)
C)
D)
E)
11 Uma fábrica embala 8 latas de palmito em caixas de
papelão cúbicas de 20 cm de lado. Para que possam
ser mais bem transportadas, essas caixas são colo­
cadas, da melhor maneira possível, em caixotes de
madeira de 80 cm de largura por 120 cm de com­
primento por 60 cm de altura. O número de latas de
palmito em cada caixote é:
A) 576
C) 2 304 E) 144
B) 4 608
D) 720
6 Se a área do retângulo
dado é 12, qual é a área
da figura sombreada?
A) 3
C) 5
E) 8
B) 4
D) 6
60
12 Há 18 anos, Hélio tinha precisamente três vezes a
idade de seu filho. Agora, tem o dobro da idade des­
se filho. Quantos anos têm Hélio e seu filho?
A) 72 anos e 36 anos. D) 50 anos e 25 anos.
B) 36 anos e 18 anos. E) 38 anos e 19 anos.
C) 40 anos e 20 anos.
18 Os 61 aprovados em um concurso, cujas notas fo­
ram todas distintas, foram distribuídos em duas tur­
mas, de acordo com a nota obtida no concurso: os
31 primeiros foram colocados na turma A, e os 30
seguintes, na turma B. As médias das duas turmas
no concurso foram calculadas. Depois, no entanto,
decidiu-se passar o último colocado da turma A
para a turma B. Com isso:
A)A média da turma A melhorou, mas a da B piorou.
B) A média da turma A piorou, mas a da B melhorou.
C)As médias de ambas as turmas melhoraram.
D)As médias de ambas as turmas pioraram.
E) As médias das turmas podem melhorar ou piorar,
dependendo das notas dos candidatos.
13 Se os números naturais são colocados em colunas,
como se mostra abaixo, debaixo de que letra apare­
cerá o número 2 000?
A
B
1
C
2
9
10
E
11
20
A) F
B) B
G
I
5
6
12
13
16
21
C) C
H
4
7
17
19
F
3
8
18
D
15
...
D) I
19 Escrevem-se, em ordem crescente, os números in­
teiros e positivos que sejam múltiplos de 7 ou de
8 (ou de ambos), obtendo-se 7, 8, 14, 16, ... . O 100o
número escrito é:
A) 406
B) 376
C) 392
D) 384 E) 400
14
...
E) A
20 A figura abaixo foi desenhada em cartolina e do­
brada de modo a formar um cubo.
14 O emir Abdel Azir ficou famoso por vários motivos.
Ele teve mais de 39 filhos, incluindo muitos gêmeos.
De fato, o historiador Ahmed Aab afirma, num dos
seus escritos, que todos os filhos do emir eram gê­
meos duplos, exceto 39; todos eram gêmeos triplos,
exceto 39; todos eram gêmeos quádruplos, exceto
39. O número de filhos do emir é:
A) 111
C) 51
E) 75
B) 48
D) 78
Qual das alternativas mostra o cubo assim formado?
15 Quatro amigos vão visitar um museu, e um deles
resolve entrar sem pagar. Aparece um fiscal que
quer saber qual deles entrou sem pagar.
— Eu não fui, diz o Benjamim.
— Foi o Carlos, diz o Mário.
— Foi o Pedro, diz o Carlos.
— O Mário não tem razão, diz o Pedro.
A) C) B) D) E) SEGUNDA FASE
••••••
Só um deles mentiu. Quem não pagou a entrada do
museu?
A) Mário.
B) Pedro.
C) Benjamim.
D) Carlos.
E) não é possível saber, pois faltam dados.
1 De quantas maneiras diferentes podemos construir
um paralelepípedo usando exatamente 24 blocos
cúbicos de medidas 1 3 1 3 1?
Obs.: Blocos de dimensões 2 3 3 3 4 e 2 3 4 3 3
devem ser considerados iguais.
2 O retângulo abaixo está dividido em 9 quadrados,
A, B, C, D, E, F, G, H e I.
O quadrado A tem lado 1, e o quadrado B tem lado 9.
Qual é o lado do quadrado I?
16 Em um jogo de duas pessoas, os jogadores tiram,
alternadamente, 1, 2, 3, 4 ou 5 palitos de uma pilha,
que, inicialmente, tem 1 000 palitos. Ganha o joga­
dor que tirar o último palito da pilha. Quantos pali­
tos o jogador que começa deve tirar na sua jogada
inicial para assegurar sua vitória?
A) 1
C) 3
E) 5
B) 2
D) 4
D
I
G
C
17 Quantos números inteiros e positivos menores do
que 1 000 000 existem cujos cubos terminam em 1?
A) 1 000
C) 50 000
E) 500 000
B) 10 000
D) 100 000
B
61
F
A
H
E
3 Juliano colou uma bandeirinha cinza em cada en­
grenagem, como mostra a figura abaixo.
3 Pintamos de vermelho ou azul 100 pontos em
uma reta. Se dois pontos vizinhos são vermelhos,
pintamos o segmento que os une de vermelho.
Se dois pontos vizinhos são azuis, pintamos o
segmento de azul. Finalmente, se dois pontos vi­
zinhos têm cores distintas, pintamos o segmento
de verde. Feito isso, existem exatamente 20 seg­
mentos verdes.
O ponto na ponta esquerda é vermelho.
É possível determinar com esses dados a cor do
ponto da ponta direita?
Em caso afirmativo, qual a cor desse ponto?
4 Desejamos escrever
os inteiros de 1 a 10
nas casas do dese­
nho ao lado, de tal
forma que quais­quer quatro números
alinhados aparecem
em ordem crescente
ou decrescente.
As engrenagens são iguais, e quando a engrena­
gem da esquerda girou um pouco, a sua bandeiri­
nha ficou na posição indicada com a bandeirinha
branca pontilhada. Nessa condição, podemos afir­
mar que a posição da bandeirinha na engrenagem
da direita é:
A)
B)
C)
D)
E)
4 Quatro amigos vão visitar um museu, e um deles
resolve entrar sem pagar. Aparece um fiscal que
quer saber qual deles entrou sem pagar.
— Eu não fui, diz o Benjamim.
— Foi o Carlos, diz o Mário.
— Foi o Pedro, diz o Carlos.
— O Mário não tem razão, diz o Pedro.
a) Mostre uma maneira de dispor os números res­
peitando essas condições.
b)Quais números podem aparecer nas pontas da
estrela?
c) Quais números podem aparecer nas outras cinco
posições?
Só um deles mentiu. Quem não pagou a entrada do
museu?
A) Mário.
B) Pedro.
C) Benjamim.
D) Carlos.
E) não é possível saber, pois faltam dados.
5 Qual é o menor inteiro positivo que é o dobro de
um cubo e o quíntuplo de um quadrado?
6 Qual é o maior inteiro positivo n tal que os restos
das divisões de 154, 238 e 334 por n são iguais?
5 Os 61 aprovados em um concurso, cujas notas fo­
ram todas distintas, foram distribuídos em duas tur­
mas, de acordo com a nota obtida no concurso: os
31 primeiros foram colocados na turma A, e os 30
seguintes, na turma B. As médias das duas turmas
no concurso foram calculadas. Depois, no entanto,
decidiu-se passar o último colocado da turma A
para a turma B. Com isso:
A)A média da turma A melhorou, mas a da B piorou.
B) A média da turma A piorou, mas a da B melhorou.
C)As médias de ambas as turmas melhoraram.
D)As médias de ambas as turmas pioraram.
E) As médias das turmas podem melhorar ou piorar,
dependendo das notas dos candidatos.
Nível 2 (8o. e 9o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
1a. Fase Olimpíada Regional
BA – ES – GO – RJ – RN – SC – SP
1 Quantos números inteiros e positivos menores
do que 1 000 000 existem cujos cubos terminam
em 1?
A) 1 000
D) 100 000
B) 10 000
E) 500 000
C) 50 000
2 Uma fábrica embala latas de palmito em caixas de
papelão cúbicas de 20 cm de lado, de modo que
cada caixa contém 8 latas. Para poderem ser mais
bem transportadas, essas caixas são colocadas, da
melhor maneira possível, em caixotes de madeira
de 80 cm de largura por 120 cm de comprimento
por 60 cm de altura. O número de latas de palmito
em cada caixote é:
A) 576
C) 2 304
E) 144
B) 4 608
D) 720
6 No triângulo ABC representado abaixo, a medida
∧
∧
do ângulo C é 60°, e a bissetriz do ângulo B forma
70° com a altura relativa ao vértice A. A medida do
∧
B
ângulo A é:
B
AA
A) 50°
B) 30°
C) 40°
D) 80°
E) 70°
C
C
62
15 Sejam a e b números reais positivos, tais que
7 Se a área do retângulo dado é 12, qual é a área da
figura sombreada?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
a 11
:
b 11
a
A) é igual a
1 1.
b
a
B) é igual a . b
a
C) é menor que .
b
a
D) é maior que , mas menor que 1.
b
E) pode ser maior que 1.
Então
E) 8
8 Alberto, Beatriz e Carlos correm numa pista circular.
Todos saem ao mesmo tempo e do mesmo lugar,
cada um desenvolvendo velocidade constante. Al­
berto e Beatriz correm no mesmo sentido. Correndo
no sentido oposto, Carlos encontra Alberto, pela pri­
meira vez, exatamente 90 segundos após o início da
corrida e encontra Beatriz exatamente 15 segundos
depois. Quantos segundos são necessários para que
Alberto ultrapasse Beatriz pela primeira vez?
A) 105
B) 630
C) 900 D) 1 050
E) Não pode ser determinado.
16 Em um jogo de duas pessoas, os jogadores tiram,
alternadamente, 1, 2, 3, 4 ou 5 palitos de uma pilha,
que, inicialmente, tem 1 000 palitos. Ganha o joga­
dor que tirar o último palito da pilha. Quantos pali­
tos o jogador que começa deve tirar na sua jogada
inicial para assegurar sua vitória?
A) 1
C) 3
E) 5
B) 2
D) 4
9 DEFG é um quadrado no exterior do pentágono re­
gular ABCDE. Quanto mede o ângulo EÂF?
A) 9º
B) 12º
C) 15º
D) 18º
E) 21º
17 Quantos são os retângulos que têm os pontos A e B
como vértices, e cujos vértices estão entre os pon­
tos de interseção das 9 retas horizontais com as 9
retas verticais da figura abaixo?
10 Quantos são os números inteiros de 2 algarismos
que são iguais ao dobro do produto de seus algaris­
mos?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
B
11 Escrevem-se, em ordem crescente, os números in­
teiros e positivos que sejam múltiplos de 7 ou de
8 (ou de ambos), obtendo-se 7, 8, 14, 16, …. O 100o
número escrito é:
A) 406
B) 376
C) 392
D) 384 E) 400
A
12 Uma caixa contém 900 cartões, numerados de 100 a
999. Retiram-se ao acaso (sem reposição) cartões da
caixa e anotamos a soma dos seus algarismos. Qual
é a menor quantidade de cartões que devem ser re­
tirados da caixa para garantirmos que pelo menos
três dessas somas sejam iguais?
A) 51
B) 52
C) 53
D) 54
E) 55
A)
9
10
C)
8
9
E)
C) 7
D) 2
E) 5
19 De Itacimirim a Salvador, pela Estrada do Coco,
são 60 km. Às 11 horas, a 15 km de Salvador, dá-se um acidente que provoca um engarrafamento,
que cresce à velocidade de 4 km/h, no sentido de
Itacimirim. A que horas, aproximadamente, deve­
mos sair de Itacimirim para chegar a Salvador ao
meio-dia, sabendo que viajamos a 60 km/h, ex­
ceto na zona de engarrafamento, onde a veloci­
dade é 6 km/h?
A) 10h43min
C) 10h48minE) 11h01min
B) 10h17min
D) 10h53min
14
15
15
11
D)
16
12
A) 3
B) 4
18 O emir Abdel Azir ficou famoso por vários motivos.
Ele teve mais de 39 filhos, incluindo muitos gêmeos.
De fato, o historiador Ahmed Aab afirma, num dos
seus escritos, que todos os filhos do emir eram gê­
meos duplos, exceto 39; todos eram gêmeos triplos,
exceto 39; todos eram gêmeos quádruplos, exceto
39. O número de filhos do emir é:
A) 111
C) 51
E) 75
B) 48 D) 78
13 Se x e y são números reais positivos, qual dos núme­
ros a seguir é o maior?
A) xy
D) x2 1 y(x 1 y)
2
2
B) x 1 y x 3 1 y3
C) (x 1 y)2
E)
x1y
14 Na figura, as distâncias entre dois pontos horizon­
tais consecutivos e as distâncias entre dois pontos
verticais consecutivos são iguais a 1. A região co­
mum ao triângulo e ao quadrado tem área:
a
, 1.
b
B)
63
20 Colocamos em ordem crescente os números escri­
tos nas casas brancas do tabuleiro a seguir (estamos
mostrando apenas as suas quatro primeiras linhas).
Assim, por exemplo, o nono número da nossa lista é
14. Qual é o 2 000o número da nossa lista?
4 O retângulo abaixo está dividido em 9 quadrados, A,
B, C, D, E, F, G, H e I. O quadrado A tem lado 1.
Qual é o lado do quadrado I?
D
1
…
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
…
…
…
…
…
…
…
A) 3 931
B) 3 933
C) 3 935
D) 3 937
G
C
F
…
E) 3 939
B
1 Qual é o menor inteiro positivo que é o dobro de
um cubo e o quíntuplo de um quadrado?
3 No retângulo ABCD, E é o ponto médio do lado BC,
e F é o ponto médio do lado CD. A interseção de DE
com FB é G.
∧
∧
O ângulo EAF mede 20°. Quanto vale o ângulo EGB?
C
G
E
A
H
E
6 O campeonato Venusiano de futebol é disputa­
do por 10 times, em dois turnos. Em cada turno,
cada equipe joga uma vez contra cada uma das
outras. Suponha que o Vulcano FC vença todas as
partidas do 1o turno. Caso não vença o 2o turno,
o Vulcano FC jogará uma final contra o vencedor
do 2o turno, na qual terá vantagem caso faça mais
pontos que o adversário durante todo o campeo­
nato (vitória vale 3 pontos, empate vale 1 ponto, e
derrota, 0 ponto).
a) Determine o menor n tal que, se o Vulcano FC
fizer exatamente n pontos no segundo turno,
garantirá pelo menos a vantagem na final (inde­
pendente de contra quem e com que placares
conquiste os n pontos).
b)Determine o menor n tal que, se o Vulcano FC
fizer pelo menos n pontos no segundo turno,
garantirá pelo menos a vantagem na final (inde­
pendente de contra quem e com que placares
conquiste os n pontos).
2 De quantas maneiras diferentes podemos construir
um paralelepípedo usando exatamente 216 blocos
cúbicos de medidas 1 3 1 3 1?
Obs.: Blocos de dimensões 2 3 3 3 36 e 2 3 36 3 3
devem ser considerados iguais.
F
A
5 Listamos os inteiros de 1 a n. Dessa lista, apagamos
o inteiro m. A média dos n 2 1 números restantes
134
. Determine n e m.
é
11
SEGUNDA FASE
••••••
D
I
B
64
XXXI OLIMPÍADA
BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2009
RESOLUÇÕES
Nível 1 (6o. e 7o. anos)
5 Resposta: (D)
Conseguiremos 4 faces totalmente pretas cortando o cubo como na figura abaixo e pintando da
maneira a seguir.
PRIMEIRA FASE
••••••
Esta prova também corresponde
à prova da Primeira Fase da Olimpíada
Regional nos Estados de:
AL 2 BA 2 ES 2 GO 2 MA 2
RS 2 RN 2 SP 2 SC
1 Resposta: (C)
1
Se um oitavo do número é , então esse número
5
vale 8 . Assim, 5 desse número é 5 ⋅ 8 = 1 .
8 5
8
5
2 Resposta: (B)
B
A
6 Resposta: (C)
Possível caminho: BADBCD
C
AA
E
D
B
B
D
Como ACDE é um retângulo, então AE 5 CD e
AE // CD. Como ABCE é um paralelogramo, AE 5 BC
e AE // BC. Como AE 5 CD 5 BC e AE // BD, então
as áreas dos triângulos ABC, ACE e CDE são iguais.
Além disso, as áreas dos triângulos ABC e ACE são
iguais a 11; logo, a área de ABDE é 33.
C
C
É impossível começar pelas casas A ou C, basta ver
as situações abaixo:
3 Resposta: (D)
Número de pessoas que dançam: x
Número de pessoas que não dançam: y
25
y
x5
 y ⇒ x 5 ⇒ y 5 4x
100
4
Porcentagem do número de pessoas que não
dançam:
y
4x
4
80
5
5 5
5 80%
x1y
5x
5 100
AA
B
B
D
4 Resposta: (C)
Seja C1 o casal 1 e C2 o casal 2. É fácil ver que podemos permutar os dois casais nos bancos, ou seja,
teremos as seguintes configurações: C1C2 e C2C1 .
Além disso, podemos trocar as posições do marido
e da mulher em cada casal. Pelo princípio multiplicativo, temos: 2  2  2 5 8.
B
B
D
C
C
C
C
AA
AA
B
B
D
C
C
65
AA
B
B
D
C
C
7 Resposta: (A)
a 5 240 5 (24)10 5 1610, b 5 320 5 (32)10 5 910 e
c 5 710. Logo: a . b . c.
A
A
8 Resposta: (C)
A soma máxima dos pontos é 6 3 10 5 60. Portanto, em no máximo três lançamentos, o número obtido não é o máximo.
Assim, em pelo menos sete lançamentos o número
obtido é o máximo 6.
B
B
Q
Q
M
M
D
D
C
C
P
Q
P
Dessa forma, os triângulos ABQ e QCP são congruentes e PC 5 AB 5 5.
9 Resposta: (C)
Para quadruplicar a área, devemos dobrar o lado do
hexágono, como na figura abaixo:
14 Resposta: (E)
Temos um total de 10 1 30 1 20 1 50 1 20 1 40 5 170
pessoas entrevistadas. Destas, apenas 10 não terminaram o Ensino Fundamental.
Logo, 170 2 10 5 160 têm pelo menos o Ensino
Fundamental.
A fração será 160 5 16 .
170 17
15 Resposta: (B)
Seja XYZ um número de três dígitos que detona
314. Devemos ter X 5 4, 5, 6, 7, 8 ou 9; Y 5 2, 3, ..., 9
e Z 5 5, 6, 7, 8 ou 9. Portanto, temos 6 opções para o
primeiro dígito, 8 para o segundo e 5 para o terceiro,
ou seja, 6 × 8 × 5 = 240 .
16 Resposta: (C)
Quinze minutos após o meio-dia, o ponteiro dos
minutos terá se deslocado 90º, e o das horas terá
se deslocado 7,5º. Assim, cinco minutos após
12h15min, o ponteiro dos minutos se deslocara 30º,
e o das horas, menos que 7,5º. Portanto, eles irão formar um ângulo reto entre 12h15min e 12h30min.
17 Resposta: (D)
Primeiramente observe que o algarismo das unidades da soma de todos os números nunca muda.
Inicialmente o algarismo das unidades da soma de
todos os números é 5. Pois, 1 1 2 1 3 1 ... 1 10 5 55.
E a cada bloco de dez consecutivos a soma terá o
dígito das unidades igual a 5.
Se, dos dois números que sobraram, um era 2 000, o
outro deve ser 5.
Assim, a quantidade de palitos adicionais, em preto
na figura, é 30.
10 Resposta: (B)
Para que a primeira e a quarta cartas fiquem pretas,
são necessários pelo menos dois movimentos. Por
outro lado, com apenas dois movimentos, a segunda carta seria preta. Assim, a quantidade mínima é
três, conforme o exemplo abaixo:
11 Resposta: (B)
2
1 13
1 5
5
4
20
da barra. Portanto, os 70 gramas de Sônia represen7
tam
da barra. Dessa forma, o peso da barra será
20
20
 70 5 200 .
200 gramas
7
Veja que Nelly e Penha pegam juntas
(
18 Resposta: (B)
A figura abaixo mostra todos os pontos amarelos,
24 ⋅ 12
que são dois triângulos de área
= 144. Des2
sa forma, a área total é 288.
)
12 Resposta: (E)
Como temos 24 torcedores (14 1 10 5 24) não
corintianos, na fila deve existir, sempre entre dois
torcedores corintianos, exatamente um torcedor de
outra equipe.
13 Resposta: (E)
Traçando uma paralela a DC por Q, temos que Área
(ABQ) 5 Área (AQM). Logo, Q é ponto médio de BC.
66
19 Resposta: (D)
Após completar a tabela, teremos quatro notas
1 em cada linha. Como temos 18 linhas, teremos
18 3 4 = 72 notas 1 em toda a tabela.
Se a quantidade de notas 1 é a mesma em cada coluna, e temos seis colunas, teremos 12 notas 1 por
coluna 72 = 12 .
6
(
Analogamente, para acrescentarmos um quinto andar a um castelo de 4 andares, precisamos de 4 cartas
para separar a base dos demais andares, e de 5 pares
de cartas para a base, totalizando 14 cartas a mais
(4 1 2  5 5 14). Assim, para montar um castelo de 5
andares, precisamos de 40 cartas (15 1 11 1 14 5 40).
Observação: De fato, o acréscimo de um n-ésimo
andar necessita de n 2 1 cartas para apoiar a base
anterior e n pares de cartas para a nova base. Portanto, são acrescentadas n 2 1 1 2  n 5 3n 2 1
cartas por andar.
)
3
2
1
1
1
D)
1
esquerda
A)
esquerda
20 Resposta: (C)
Considere a quantidade de cubos no quadradinho
central da vista de cima apresentada na alternativa
C. Esse é o único do meio da vista da frente e, portanto, deve ter 1 cubo; esse é também o único do
meio da vista da esquerda e, portanto, deve ter 2
cubos, o que não é possível. Então, a vista de cima
não pode ser a que está apresentada na alternativa C.
As figuras a seguir indicam possíveis quantidades
de cubos em cada quadradinho da vista de cima
das demais alternativas.
E)
1
esquerda
esquerda
2
1
3 Resposta: (65)
Se cada aluno compareceu exatamente três
dias, o número total de alunos do curso é
2711 296 1 325 1 380 1168 1 440
5
5 480. A me3
3
nor frequência foi de 168 alunos, num total de 312
faltas (480 2 168 5 312). Portanto, o percentual de
312
faltas nesse dia foi
5 0, 65 5 65%.
480
2
1
1
frente
3
1
Resolvendo a equação, obtemos x 5 20.
3
frente
B)
2 Resposta: (55)
Seja x a quantidade de meninas. Assim, a quanti­
dade de meninos é x 1 15, e a quantidade total de
alunos será 2x 1 15. Fazendo a proporção, temos:
4
x
=
2x � 15 11
3
2
frente
1
1
4 Resposta: (10)
Na direção da medida
88 cm, Mariazinha irá
usar 9 folhas e na direção da medida 95 cm,
irá usar 10 folhas. Mariazinha começa colando
as folhas sem sobreposição da esquerda para
a direita e de cima para
baixo (como na figura),
e, ao chegar às bordas direita e inferior, desloca, respectivamente, 2 cm à esquerda e 5 cm para cima (as
regiões em cinza representam as sobreposições de
2 folhas). A região retangular preta é a intersecção
dessas duas faixas de sobreposição; logo, é coberta
por 4 folhas. Sua área é de 10 cm2.
frente
segunda FASE – parte A
••••••
1 Resposta: (40)
Para fazer um novo andar num castelo já construído, precisamos de três cartas para cada andar
anterior mais duas para o topo. Assim, a partir do
castelo de 3 andares, para fazer o de 4 andares,
precisamos de mais 3 3 3 1 2 5 11 cartas, num
total de 15 1 11 5 26 cartas. Portanto, para fazer
o castelo de 5 an­­dares, precisamos de 40 cartas
(26 1 4 3 3 1 2 5 40).
Solução alternativa:
Para acrescentarmos um quarto andar a um castelo
de 3 andares, precisamos de 3 cartas para separar a
base dos demais andares, e de 4 pares de cartas para
a base, totalizando 11 cartas a mais (3 1 2  4 5 11).
Veja a figura a seguir:
5 Resposta: (392)
No número existem 502 algarismos 2 e 502 algarismos 9. Para retirar a menor quantidade possível de
algarismos, devemos tentar deixar a maior quantidade possível de algarismos 2. Porém, a soma de todos
os algarismos 2 é 1 004. Ainda falta 1 004 para completar a soma 2 008. Como 1 004 5 9 3 111 1 5, devemos deixar pelo menos 111 algarismos 9. Porém, é
impossível deixar exatamente 111 algarismos 9. Se
deixarmos 112 algarismos 9, devemos deixar 500 algarismos 2. Portanto, deve-se retirar no mínimo 392
algarismos (2 1 390 5 392).
67
6 Resposta: (252)
Como todos os membros de uma família devem
possuir pelo menos um algarismo comum, a maior
quantidade de membros de uma família cujos elementos têm três algarismos é igual ao número de
elementos de qualquer conjunto formado por todos os números de três algarismos que possuem
um determinado algarismo em sua representação
decimal.
O algarismo das centenas não pode ser zero. Vamos
contar então todos os números que têm um determinado algarismo a, não nulo, pois há mais deles.
Há 81 números (9 3 9 5 81) em que a aparece uma
única vez, como algarismo das centenas.
Há 72 números (8 3 9 5 72) em que a aparece uma
única vez, como algarismo das dezenas (lembre-se:
o das centenas não pode ser 0) e há 72 números em
que a aparece uma única vez, como algarismo das
unidades.
Há 9 números com a na centena e na dezena, menos na unidade; 9 números com a na centena e na
unidade, menos na dezena; 8 números com a na dezena e na unidade, menos na centena; e um único
número formado inteiramente de a.
A quantidade total de números em que figura o algarismo não nulo a é:
252 (81 1 72 1 72 1 9 1 9 1 8 1 1 5 252).
um dos triângulos. Isso
é mostrado na figura
ao lado cujo perímetro
é 44 (10 1 10 1 10 1
1 8 1 6 5 44). Há outras com o mesmo perímetro.
2 Resposta:
Seja A o número de três dígitos e B 5 10x 1 y o
número de dois dígitos. Portanto, ao trocar a ordem
dos dígitos de B, obtemos o número 10y 1 x. Montando a equação segundo as condições do problema, temos:
A(10x 1 y) 2 A(10y 1 x) 5 9A(x 2 y) 5 2 034
Com isso:
A( x 2 y) 5 226 5 2  113
Daí, se x e y são consecutivos, A 5 226, caso contrário, A 5 113.
3 Respostas:
a) Sim, é possível. Podem existir, por exemplo, quatro jogadores com pontuação 2 e outros quatro
com pontuação 1. Fazendo A, B, C, D o primeiro
grupo, e E, F, G, H o segundo grupo, temos:
Solução alternativa:
1a Rodada
Para simplificar o raciocínio, vamos contar quantos
números de três algarismos não contêm um algarismo a, não nulo, fixado. Assim, nessa situação, existem 8 escolhas para o algarismo das centenas (não
pode ser 0 ou a), 9 escolhas para o algarismo das
dezenas (não pode ser a), e 9 escolhas para os algarismos das unidades (não pode ser a). Logo, pelo
Princípio Fundamental da Contagem, há 648 números (8 ? 9 ? 9 5 648) que não possuem o algarismo a.
Assim, como existem 900 números de 3 algarismos,
há 252 números (900 2 648 5 252) que possuem
o algarismo a ( a ≠ 0 ). Essa é a maior quantidade de
membros que uma família pode ter.
A vence E
B vence F
C vence G
D vence H
2a Rodada
A empata com B
E empata com F
C empata com D
G empata com H
Observação:
3a Rodada
Podemos verificar que a família formada por todos
os números de três algarismos que possuem o zero
tem 171 membros (900 2 9  9  9 5 171).
A empata com F
B empata com E
C empata com H
D empata com G
segunda FASE – parte B
••••••
b)Após três rodadas, um jogador pode acumular
no máximo 3 pontos. Como as pontuações são
1
múltiplos inteiros de , os possíveis valores de
2
pontuação após a terceira rodada são:
1
3
5
0, , 1, , 2, , 3 (7 resultados possíveis).
2
2
2
Como existem 8 jogadores e apenas 7 possibilidades, dois jogadores terão pontuações iguais.
1 Respostas:
a) O perímetro da primeira figura é 36 (8 1 6 1
1 6 1 10 1 6 5 36), e o da segunda figura é
40 (10 1 8 1 6 1 8 1 8 5 40). Portanto, a dife­
rença é 4 (40 2 36 5 4).
b) A figura de maior perímetro é obtida quando fazemos coincidir os dois menores lados de cada
68
Nível 2 (8o. e 9o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
Esta prova também corresponde
à prova da Primeira Fase da Olimpíada
Regional nos Estados de:
AL – BA – ES – GO – MA – RS –
RN – SP – SC
É impossível começar pelas casas A ou C, basta ver
as situações abaixo:
AA
B
B
D
C
C
1 Resposta: (C)
1
Se um oitavo do número é , então esse número
5
5
8
vale . Assim,
desse número é 5 ⋅ 8 = 1 .
8
5
8 5
AA
B
B
D
2 Resposta: (C)
Para quadruplicar a área, devemos dobrar o lado do
hexágono, como na figura abaixo:
C
C
AA
B
B
D
C
C
AA
3 Resposta: (C)
Seja C1 o casal 1 e C2 o casal 2. É fácil ver que podemos permutar os dois casais nos bancos, ou seja, teremos as seguintes configurações: C1 C2 e C2 C1. Além
disso, podemos trocar as posições do marido e da
mulher em cada casal. Pelo princípio multiplicativo,
temos: 2 . 2 . 2 5 8.
C
C
6 Resposta: (C)
4
m 4
Como 15m 5 20n ⇔ 5 , e a fração é irredutí3
n 3
vel, m 5 4k e n 5 3k, k inteiro positivo. Assim, mn 5
5 12k2, que é múltiplo de 12. Tomando k 5 1, verificamos que as demais alternativas são incorretas.
4 Resposta: (D)
1
1
5
1
4
5 4 ⇔ x 155 ⇔ x 16 5 ⇔
5
x 15
4
4
x 16 5
7 Resposta: (B)
Seja XYZ um número de três dígitos que detona
314. Devemos ter X 5 4, 5, 6, 7, 8 ou 9; Y 5 2, 3, ..., 9 e
Z 5 5, 6, 7, 8 ou 9. Portanto, temos 6 opções para o
primeiro dígito, 8 para o segundo e 5 para o terceiro,
ou seja, 6 3 8 3 5 5 240.
5 Resposta: (C)
Possível caminho: BADBCD
AA
8 Resposta: (B)
2
1 13
Veja que Nelly e Penha pegam juntas 1 5
5
4
20
da barra. Portanto, os 70 gramas de Sônia representam 7 da barra. Dessa forma, o peso da barra será
20
20
200 gramas
 70 5 200 .
7
B
B
D
B
B
D
Assim, a quantidade de palitos adicionais, em preto
na figura, é 30.
(
C
C
69
)
9 Resposta: (C)
A soma máxima dos pontos é 60 (6 3 10 5 60) e,
portanto, em no máximo três lançamentos, o nú­
mero obtido não é o máximo.
Assim, em pelo menos sete lançamentos o número
obtido é o máximo 6.
15 Resposta: (B)
Para obtermos a maior diferença possível, devemos
tomar o maior e o menor primo cuja soma seja 126.
Como 123 5 3  41, 1215112 , 119 5 7  17, 115 5 5  23,
tal representação é 113 1 13, cuja diferença é
113 2 13 5 100.
10 Resposta: (A)
A circunferência de centro A e raio AB contém os
pontos C, D e E. Logo, a medida do ângulo inscrito
 é igual à metade da medida do ângulo central
EBC
 , ou seja, β = 2α = α = 18°.
EAC
2
16 Resposta: (A)
1
Temos BR 5 RS 5 SC 5 BC. Sabemos ainda que,
3
como E é ponto médio de AB, a altura do triângulo
EBR com relação à base BR é igual à metade da al­
tura do triângulo ABC com relação à base BC. Con1
1 1
sequentemente, área (EBR) 5  área (ABC) 5
6
3 2
1
área (ABC). Analogamente, área (FSC) 5 área
6
2
(ABC) 5  252 5 168.
3
11 Resposta: (B)
Para que a primeira e a quarta cartas fiquem pretas,
são necessários pelo menos dois movimentos. Por
outro lado, com apenas dois movimentos, a segunda carta seria preta. Assim, a quantidade mínima é
três, conforme o exemplo abaixo:
17 Resposta: (C)
Para x e y reais:
{ x 2 y 22 5 0 { y 2 y 22 5 0 ⇔
2
2
2
2
(x 2 y2) 1 (x 2 y 22) 5 0 ⇔ x 2 y 5 0 ⇔ x25 y
12 Resposta: (C)
As medidas dos ângulos internos de um triângulo equilátero, de um quadrado e de um pentágono regular são, respectivamente, 60º, 90º e
(5 2 2)  180o
5 108o.
5
 5 360o 2 ( 60o 1 90o 1 108o) 5 102o
Assim: m(HDE)
⇔
{
18 Resposta: (D)
Após completar a tabela, teremos quatro notas
1 em cada linha. Como temos 18 linhas, teremos
18 3 4 5 72 notas 1 em toda a tabela.
Se a quantidade de notas 1 é a mesma em cada coluna, e temos seis colunas, teremos 12 notas 1 por
72
coluna
5 12 .
6
Temos ainda que o triângulo HDE é isósceles, com
HD 5 DE e, portanto:
180° − 102°
β + β + 102° = 180° ⇔ β =
= 39°
2
(
13 Resposta: (E)
Como temos 24 torcedores (14 1 10 5 24) não corintianos, na fila deve existir, sempre entre dois torcedores corintianos, exatamente um torcedor de
outra equipe.
)
19 Resposta: (B)
Inicialmente, podemos observar que:
• Como 632 5 3 969 e 642 5 4 096, 632  4 018  642.
• 2 0092 1 4 018  2 0092  2 009 1 1
2 0092 1 4 018  (2 009 1 1)2
• Logo, entre os inteiros positivos n 1 4 018, n 5 1,
2, ..., 2 0092, encontramos os quadrados perfeitos 642, 652, ..., 2 0092, isto é, 2 009 2 64 1151946 ao
todo.
14 Resposta: (E)
Traçando uma paralela a DC por Q, temos que
Área(ABQ) 5 Área(AQM). Logo, Q é ponto médio
de BC.
A
( x 5 1 e y 521)

x 5 y2
⇔  ou
( y 521 ou y 5 2) 
( x 5 4 e y 5 2)
B
20 Resposta: (B)
D
S1 5 1 1 2 1 3 1 ... 1 10 5 55
Q
M
C
S2 5 2 1 4 1 6 1 ... 1 20 5 2(1 1 2 1 3 1 ... 1 10) 5 2S1
S3 5 3 1 6 1 9 1 ... 1 30 5 3(11 2 1 3 1 ... 110) 5 3S1



S10 5101201301...1100510(112131...110)510S1
P
Q
Logo, S1 1 S2 1 S3 1 ... 1 S10 5 S1 1 2S1 1 3S1 1 ... 110S1 5 (11 2 1 3 1 ... 1
Dessa forma, os triângulos ABQ e QCP são con2
gruentes e, com
isso,
PCS5
AB 5 5.
S1 1
S2 1
3 1 ... 1 S10 5 S1 1 2S1 1 3S1 1 ... 1 10S1 5 (11 2 1 3 1 ... 1 10)S1 5 S1 3 S1 5 55 5 3 025
70
21 Resposta: (E)
A distância mínima entre os dois círculos é determinada pelo segmento que une seus centros. Observando, então, a figura abaixo, concluímos que tal
distância é igual a 32 112 2 2 215 10 2 3 cm.
(
2cm
1cm
SEGUNDA FASE - parte A
••••••
1 Resposta: (6)
Inicialmente temos 4,5 litros de água e 4,5 litros de
álcool. Colocados x litros de água, para termos 30%
30
(9 1 x) 5 4, 5 ,
de álcool na mistura, basta que
100
então x 5 6.
)
2 Resposta: (25)
É fácil ver que:
ab 1bc 1 cd 1 da 5b(a 1 c) 1 d(c 1 a) 5(a 1 c)(b 1 d) .
Suponha sem perda de generalidade que a 5 1.
Com isso, {a, c} 5 {1, 2},{1, 3} ou {1, 4} e consequentemente {b, d} 5 {3, 4}, {2, 4} ou {2, 3}, respectivamente. Assim os possíveis valores do produto são
21, 24 e 25, e o máximo é 25.
1cm
3cm
22 Resposta: (B)
Listando todas as potências menores ou iguais a 100:
Quadrados: 22 , 32 ,..., 102
Cubos: 23 , 33 , 43 = 82
Demais potências: 24 5 42, 34 5 92, 25, 26 5 82
Portanto, 12 naturais podem ser escritos na forma
indicada.
3 Resposta: (252)
O algarismo das centenas não pode ser zero. Vamos
contar então todos os números que têm um determinado algarismo x, não nulo, pois há mais deles.
Há 81 números ( 9 3 9 5 81) em que x aparece uma
única vez, como algarismo das centenas.
Há 72 números ( 8 3 9 5 72 ) em que x aparece uma
única vez, como algarismo das dezenas (lembre-se
que o das centenas não pode ser 0).
Há 72 números em que o x aparece uma única vez,
como algarismo das unidades.
Há 9 números com x na centena e na dezena, menos na unidade; 9 números com x na centena e na
unidade, menos na dezena; 8 números com x na dezena e na unidade, menos na centena; e um único
número formado inteiramente de x.
A quantidade total de números em que figura o algarismo não nulo x é:
252 (81 1 72 1 72 1 9 1 9 1 8 1 1 5 252).
23 Resposta: (B)
A figura abaixo mostra todos os pontos amarelos,
24  12
5144. Desque são dois triângulos de área
2
sa forma, a área total é 288.
24 Resposta: (A)
Considerando que x, y e z são inteiros positivos, da
equação 9  z(x 1 y) chegamos às seguintes possibilidades:
(z  3 e x  y  3) ou (z  1 e x  y  9)
Porém, 0  x  yz e, portanto: z  3, y  2 e x  1.
Assim: t  w(y  z)  9(2  3)  45.
4 Resposta: (14)
Seja n =10A + B o número de dois dígitos. Se A divide n, então A divide B. Se A  5, então B  A, pois B
não pode ser 0, e B  10  2A.
Listemos as possibilidades:
Se A 5 1, então AB pode ser 11, 12, 15.
Se A 5 2, então AB pode ser 22, 24.
Se A 5 3, então AB pode ser 33, 36.
Se A 5 4, então AB pode ser 44, 48.
Se A 5 5, então AB pode ser 55.
Se A 5 6, então AB pode ser 66.
Se A 5 7, então AB pode ser 77.
Se A 5 8, então AB pode ser 88.
Se A 5 9, então AB pode ser 99.
Logo, o total de números é 14 (3 1 2 1 2 1 2 1
1 5 5 14).
3
2
1
1
1
D)
1
esquerda
A)
esquerda
25 Resposta: (C)
Considere a quantidade de cubos no quadradinho
central da vista de cima apresentada na alternativa
C. Esse é o único do meio da vista da frente e, portanto, deve ter 1 cubo; esse é também o único do meio
da vista da esquerda e, portanto, deve ter 2 cubos, o
que não é possível. Então, a vista de cima não pode
ser a que está apresentada na alternativa C.
As figuras a seguir indicam possíveis quantidades
de cubos em cada quadradinho da vista de cima
das demais alternativas.
3
2
2
E)
1
frente
1
esquerda
esquerda
3
1
5 Resposta: (1 704)
Sejam K a interseção dos lados AD e FG e L a inter­
seção dos lados AB e EH. Por simetria, veja que KD 
5 KF e AK  KG. Considere FK  x. Dessa forma,
AK  48  x. Usando o teorema de Pitágoras no triângulo AFK, temos: 242 1 x2 5(48 2 x)2 , o que nos
dá x 5 18.
1
frente
frente
B)
1
3
2
1
1
frente
71
Agora, veja que os triângulos AFK e ALE são semelhantes. Portanto:
AE EL
5
FK AF
Assim, EL 532.
Para achar a área procurada, basta subtrair a área do
quadrado EFGH das áreas dos triângulos AFK e AEL.
Portanto, a área será 1 704.
Se BP é uma mediana do triângulo, então AP 5 CP 5 6
e PN 5 2. Como G é o baricentro do triângulo, então
PG 1
PN 1
= e
= . Assim, pela recíproca do teoreGB 2
NC 2
ma de Tales, GN é paralelo a BC e B 5 90o. Como
o triângulo ABC é retângulo, então AP 5 CP 5 BP 5 6.
Com isso, BG 5 4 e GP 5 2.
4 Resposta:
a) Após três rodadas, um jogador pode acumular no
máximo 3 pontos. Como as pontuações são múlti1
plos inteiros de , os possíveis valores de pontua2
ção após a terceira rodada são:
5
1
3
0, , 1, , 2, , 3
2
2
2
Como existem 8 jogadores e apenas 7 possibilidades, dois jogadores terão pontuações iguais.
E
L B
A
H
F
K
D
C
G
b) Se k é a pontuação do primeiro colocado e todas
as pontuações são distintas, a soma das pontuações
dos oito jogadores será, no máximo:
SEGUNDA FASE - parte B
••••••
( 21) 1 (k 2 1) 1 (k 2 23) 1 (k 2 2) 1 (k 2 25) 1
7
1 (k 2 3) 1 (k 2 ) 5 8k 2 14
2
k1 k2
1 Resposta: (69)
0
1
2
3
4
5
6
0
0
15
9
3
18
12
6
1
7
1
16
10
4
19
13
2
14
8
2
17
11
5
20
Como foram disputados exatamente 28 pontos (4  7),
temos:
8k 14 > 28
1
Logo, k �
>5�
1 , pois as pontuações são múltiplos
2
1
inteiros
k � 5de
� . Basta mostrarmos um exemplo onde
2
este valor é atingido.
Na tabela abaixo, marcamos, na interseção da linha
Ai com a coluna Aj, o número de pontos que Ai ganhou na partida disputada contra Aj.
A resposta é 69 (15 1 8 1 10 1 11 1 12 1 13 5 69).
2 Resposta:
S3 5(r 1 s)S2 2rsS1 5(r 1 s)  2 2rs 15 2r 1 2s 2rs 5 5
A1
X
1
1
1
Com isso, encontramos: r 1 s 5− 4 e rs5−13 . Daí,
A2
0
X
1
1
A7
1
1k � 15 �
2
1 1 1
S5 5(r 1 s)S4 2rsS3 5224 1 65 5 41
A3
0
0
X
1
1
1k � 15 �
A4
0
0
0
X
1
1
1
1
1
k � 45 �
1
2
2
1
4
A5
0
0
0
0
X
0
0
0
A6
0
0
0
0
1k � X5 �
1
2
5�
1
1 k�2
k �A57 �
1
2
0
0
0k � 15 �
1
2
X
1
1
2
0
0
0
5�
1
Xk�3
S4 5(r 1 s)S3 2rsS2 5(r 1 s)  5 2rs  2 5 5r 1 5s 2 2rs 5 6
3 Resposta:
B
M
G
A
P
N
A8
C
72
A1
A2
A3
A4
1k � 15 �
A5
1
A6
A8
Total
0 k�5�
0
1
2
5
0
1
2
3
1
2
XXX OLIMPÍADA
BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2008
RESOLUÇÕES
6 Resposta: (E)
Olhando de cima, o cubo maior está em frente ao
cubo menor. O esboço que representa melhor essa
fotografia é o apresentado na alternativa E.
Nível 1 (6o. e 7o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
Esta prova também corresponde
à prova da Primeira Fase da Olimpíada
Regional nos Estados de:
AL – BA – ES – GO – PI –
– RN – RS – SC
7 Resposta: (B)
De
todos
os
alunos
dessa
classe,
60% (22 118) 5 0, 60  40 5 24 foram prestar traba60%
lho comunitário. O número mínimo de alunas que
participaram desse trabalho é obtido quando o número de alunos que participaram é máximo, ou seja,
quando 22 alunos se envolveram, restando assim o
mínimo de 2 vagas (24  22 5 2 ) para as meninas.
1 Resposta: (A)
Com 4 segmentos é impossível formar um triângulo, pois teríamos lados de medida 1, 1 e 2, o que impossibilita tal formação.
8 Resposta: (C)
A soma de dois inteiros é ímpar quando um é par
e o outro é ímpar (caso contrário, a soma é par). O
2 Resposta: (C)
menor resultado que satisfaz as condições dadas é
Ela compra 5 latas de azeite a R$ 4,70 a lata, 5 latas de
11 2 5 3, e o maior, 2007 1 2008 5 4015, e pode-se
leite a R$ 3,12 cada e 3 caixas de iogurte com 6 iogurobter qualquer ímpar entre 3 e 4 015 com os nútes em cada caixa a R$ 0,80 por iogurte. O total gasto
meros disponíveis nos cartões, ou seja, os números
com esses itens é: 54, 70 1 53,12 1 360, 80 5
ímpares que podem ser obtidos estão no conjunto
5 5  ( 4, 70 1 3,12) 1 3  6  0, 80. Como ela paga
{3, 5, 7, ..., 4015}.
com uma nota de R$ 50,00, ela irá receber de troco
No conjunto 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 4 015, 4 016 há
50 [5 ( 4, 70 1 3,12) 1 3  6  0, 80] 5[5 ( 4, 7013,12) 1 3 4 016
6  0,números,
80] 1 50 dentre os quais não nos interessa os
2 008 pares (4016 ÷ 2 5 2008) e o número 1. Logo, a
3,12) 1 3  6  0, 80] 5[5 ( 4, 7013,12) 1 3  6  0, 80] 1 50 .
quantidade de números ímpares diferentes que
pode ser obtida dessa maneira é 2007
(4016  2008 15 200
3 Resposta: (B) ou (D) ambas devem ser considera).
4016  2008 15 2007
das como resposta correta.
Seja 2n o número de pessoas entrevistadas. A
9 Resposta: (E)
quantidade de pessoas cuja preferência é pela
Juntando os quatro trapézios, formamos um
cor I é de 19% das mulheres e 50% dos homens,
quadrado de área 2 500 cm2. Como o “buraco”
ou seja, 0,19 ⋅ n 1 0, 50 ⋅ n 5 0, 69 ⋅ n ; pela cor II é
quadrado no meio tem área 30  30 5 900 cm2,
de 0, 33  n 1 0, 32  n 5 0, 65  n, e pela cor III é
a área de cada um dos 4 trapézios é 400 cm2
0, 48  n 1 0,18  n 5 0, 66  n. Nesse caso, a ordem de
(2 500  900)  4 5 1600  4 5 400.
preferência das cores é II, III, I. Observação: nessas
situações, quando se fala em ordem, é usual colo10 Resposta: (D)
carmos em ordem crescente. Porém, serão consiSeja ABC um número par de três algarismos. Nesse
deradas corretas as duas maneiras: crescente ou
caso, há exatamente 5 possibilidades para o algadecrescente.
rismo C: 0, 2, 4, 6 ou 8. Como esse número deve ter
dois algarismos ímpares, os algarismos A e B deverão ser preenchidos com 1, 3, 5, 7 ou 9, ou seja, há
5 possibilidades para cada um. Logo, 125 números
(5  5  5 5 125) pares de três algarismos têm dois
algarismos ímpares.
4 Resposta: (A)
Como 26 097 1 1043  25 5 22, o quociente procurado é 1 043 e o respectivo resto é 22.
5 Resposta: (C)
Apareceram duas vezes na lista o nome das pessoas
que tinham um número par e múltiplo de 3, que no
intervalo dado é o conjunto {6, 12, 18, ..., 120} . Como
1  6 5 6, 2  6 5 12, 3  6 5 18, ..., 20  6 5 120 , há 20
números nesse conjunto.
11 Resposta: (C)
Serão necessárias 4 garrafas
2
garrafas
2 6
15copos  9
515   garrafas 5 4 garrafas.
5
9 5
copos
6
73
12 Resposta: (E)
Podem ser construídos 10 quadrados (6 111 3 510)
com vértices nos pontos do reticulado, conforme
mostra a sequência de desenhos a seguir.
Como os ângulos  e  são iguais, pois os lados
de 12 cm são paralelos, o triângulo ABC é isósceles
e, portanto, AB 5 BC e BD 5 AB. Consequente­
mente, BD 5 BC e, assim, BD 1 BC 5 AD 5 13 cm.
Final­mente, o perímetro procurado é 42 cm
(12 1 5 1 12 1 13 5 42).
18 Resposta: (D)
A estratégia para apagar o maior número de algarismos é eliminar a maior quantidade possível de
algarismos de menor valor. Vamos começar pelos
500 zeros (1 000 : 2 5 500) que aparecem no número. Restam agora 250 algarismos 2 e 250 algarismos 8, cuja soma é 2 500 (250  2  250  3 8 5 500  2 000 5 2 500) 250  2 1 250  8  5 500  2 000  2 500. Apagamos agora a maior
quantidade de algarismos 2 e, como 2 500 2 2 2 008 5 492, podemos atingir nossa meta apagando 246 algarismos 2 ( 492  2 5 246) . Portanto, o maior número de algarismos que devem ser
apagados é 746 (500 1 246 5746).
13 Resposta: (C)
É verdade que 14 de junho de 2008 é um sábado.
Logo, 14 de junho de 2009 será um domingo, em
2010 será uma segunda-feira, em 2011 será uma terça-feira, em 2012 (que é bissexto) será uma quintafeira, em 2013 será uma sexta-feira e, finalmente, em
2014 será um sábado. Portanto, a próxima vez que o
dia 14 de junho cairá num sábado será daqui a 6 anos.
14 Resposta: (D)
Como CE 5 CD, m(CÊD) 5 (180o  20o) : 2 5 80o.
Logo, m(CÊB) 5 180o  80o 5 100o e, como BE 5 CE,
 5 (180o  100o) : 2 5 40º. Além disso, m(BÊA)  m
(CÊD)  80º e, como AE 5 BE,  5 (180o  80o) : 2 5 50o.
 50o 5
Portanto, o valor da razão é o 5 .
 40
4
19 Resposta: (C) ou (D) ambas devem ser consideradas como resposta correta.
(C) Escolhendo uma cor para o quadrado do centro
(como o azul do exemplo), sobram 4 cores diferentes para pintar cada uma das quatro partes restantes do desenho, cada parte com uma cor diferente, e
15 Resposta: (C)
Vemos a multiplicação de um número de três algarismos por um outro de dois algarismos terminado
em 7, que pode ser, portanto, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77,
87 ou 97. Desses 9 números, o único divisor de 6 157
é 47, o que nos dá 131 (6 157  47 5 131). Assim, a
multiplicação é:
131
47
917
524
6157
isso pode ser feito de 6 maneiras
de modo que não haja dois cartões pintados da
mesma forma. Pode-se verificar que há 4 maneiras
iguais de se pintar os cartões, pois, girando cada
uma delas, obtemos as outras três. Como há 5 maneiras de escolher uma cor para o quadrado do centro, Soninha conseguirá produzir 30 cartões diferentes (5  6  30).
(D) Se considerarmos que a diagonal com quadradinhos pretos é distinta da outra, então só precisamos
dividir por 2. Logo, Soninha conseguirá 60 cartões
diferentes.
E a soma dos números substituídos pelo sinal * é
37 (1 1 3 1 1 1 4 1 9 1 1 1 7 1 5 1 2 1 4 5 37 ).
16 Resposta: (C)
Como Cernaldo é casado com a irmã de Arnaldo e
não é o mais novo, e o médico é filho único, Bernaldo
é o médico. O médico é o mais novo dos três amigos
e, como Cernaldo é mais velho que o engenheiro,
Arnaldo é o engenheiro, e Cernaldo é o professor.
20 Resposta: (E)
No trajeto de 100 km, como o carro A passa por
Americanópolis 20 quilômetros à frente do carro
B, o carro B já percorreu 80 km (100  20 5 80) do
trajeto e, de forma análoga, o carro C já percorreu
50 km (100  50 5 50) do mesmo trajeto. Perceba
que, enquanto o carro B percorre 80 km, o carro C
percorre 50 km, ou seja, enquanto o carro C percorre 1 km, o carro B percorre 1,6 km (80  50 5 1, 6).
Assim, quando o carro B passar por Americanópolis, tendo percorrido os 20 km que lhe faltam, o
carro C terá percorrido 12,5 km (20  1, 6 5 12, 5) e
estará 37,5 km [100  (50  12,5)  37,5] atrás do
carro B.
17 Resposta: (C)
Os triângulos retângulos utilizados têm catetos 5 cm
e 12 cm e hipotenusa 13 cm. Desse modo, temos:
12
B
5
A
α
12
β
(4  3 4 2 15 6),
D
C
74
SEGUNDA FASE – parte A
••••••
Logo:
AB 5 BC 5 12 1 6 5 18 metros e, portanto, Esmeralda nadou 144 metros [4  (18 118) 5 4  36 5144] .
1 Resposta: (91)
A soma de todos os números do Sudoku completo
é igual a 6 vezes a soma dos números em cada linha,
ou seja, 126 [6  (1 1 2 1…1 6) 5 6  21 5 126] .
A soma dos números que já estão escritos no Sudoku é 35. Logo, a soma dos números que faltam
para completar o Sudoku é 91 126 2 35 5 91.
5 Resposta: (240)
Supondo que Carlinhos tem Q reais, o preço do
Q
, e o preço do grama de
grama de queijo é
600
Q
presunto é
. Seja m a quantidade, em gramas,
400
de queijo e de presunto que Carlinhos comprou.
2 Resposta: (1 004)
Dessa forma:
Temos:
20092 12 5 4  N (N11) ⇔ (2 009 1)(2 009 11) 5 4N(N11) ⇔ 2 008Q 2 010 5Q
4N(N11) ⇔  1
1 
1
40
m
1m
5 Q ⇔ m
1
5
51⇔ m 5
2 009 1)(2 009 11) 5
4
N
(
2
00
8

2
010
5
4
N
(
N
1
1)
⇔
2
008
010
4
N
(
N
1
1)
2N 11)
2 2⇔
2009

1
5
4

N

(
N
1
1)
⇔
(
2
009

1
)(
2
009
1
1
)
5
4
N
(
N
1
1)
⇔
2
00
8

2
010
5
4
N
(
N
1
1)
⇔
600
400
600
400
1
1
40
⇔

=
⇔ 1004 1005 5 N(N11) ⇔ N 51004


1
2
2
2(N 2
2
008
2
010
4
N
1
1)
600 400
⇔ 1004 1005 5 N(N⇔
11) ⇔ N 51004=
⇔ 1004
051)5⇔
N(N11) ⇔ N 51004
) ⇔ (2 009 1)(2 009 11) 5 4N(N11) ⇔
2 00Q8  2 010
5 4N10
(N1
1
400  600 240 000
2
2
2  2 1 m  Q 5 Q ⇔ m 1 1 1 51⇔ m 5
m

5
5
5
240
11)
400
1
1
400 1 600
1000
 600 400 
⇔ 1004 1005 5 N(N11) ⇔ N 51004 600
1
2
600 400
Soluções alternativas:
1a solução
Portanto, ele comprou 240 gramas de cada item.
Cada linha pode ser associada a um número ímpar e a
um múltiplo de 8 da seguinte forma: na linha 1, temos
6 Resposta: (34)
o quadrado de 15 2 11 (no lado esquerdo da igualSão os múltiplos de 5, que nesse intervalo são 19; os
dade) e 8 vezes 1 (no lado direito da igualdade); na limúltiplos de 14, que são 6 (pois o 70 já foi contado);
nha 2, temos o quadrado de 3 5 2  2 1 e 8 vezes 2; na
os múltiplos de 23, que são 4; os múltiplos de 32,
linha 3, temos o quadrado de 5 5 2  3 1 e 8 vezes 3; e
que são 3 e, finalmente, os múltiplos de 41, que são 2.
assim sucessivamente, até chegarmos à linha N, onde
Note que o único múltiplo de 50 no intervalo, que é o
temos o quadrado de 2007 5 2N 1e 8 vezes N.
próprio 50, já foi contado nos múltiplos de 5. Portanto,
Assim: 2N15 2 007 ⇔ 2N 5 2 008 ⇔ N 51004
ao todo são 34 números (19 1 6 1 4 1 3 1 2 5 34).
2a solução
Cada linha pode ser associada a um múltiplo de
8 da seguinte forma: na linha 1, temos 8 vezes 1
SEGUNDA FASE – parte B
(no lado direito da igualdade); na linha 2, temos
••••••
8 vezes 2; na linha 3, temos 8 vezes 3; e assim su 1 Respostas:
cessivamente, até chegarmos à última linha, onde
a) Os desenhos mostram as duas formas de constemos 2 0092  2 0072 5 8  N, que é a linha
trução dos quadrados. Elas são as únicas possíveis.
2 009  1
De fato, sendo x o número de quadrados de lado
5 1004, ou seja, N 5 1 004.
2
6 cm e y o número de quadrados de lado 9 cm usados para construir um lado de 27 cm, temos:
3a solução
Temos:
9  2x
6x 1 9y 5 27 ⇔ 2x 1 3y 5 9 ⇔ y 5
3
2 0092  2 0072 5 8  N ⇔ (2 009  2 007)(2 009 1 2 007) 5 8  N ⇔ 2  4 016 5 8  N ⇔ N 51004
Como x e y são inteiros não negativos, podemos
92  2 0072 5 8  N ⇔ (2 009  2 007)(2 009 1 2 007) 5 8  N ⇔ 2  4 016 5 8  N substituir
⇔ N 51004
x apenas por 0, 1, 2, 3 ou 4. As únicas soluções para essa situação são x 5 0 e y 5 3 ou x 5 3 e
09 1 2 007) 5 8  N ⇔ 2  4 016 5 8  N ⇔ N 51004
y 5 1, representadas nos desenhos.
3 Resposta: (12)
Seja x o lucro desse banco no primeiro semestre
de 2007, em bilhões de reais. Logo: x  2,5%  x 
 4,1082 x 1 0,025x  4,1082 1,025x  4,1082
x  4,008 bilhões de reais, ou seja, o lucro foi de
R$ 4 008 000 000,00, cuja soma dos dígitos é 12.
4 Resposta: (144)
A partir das informações dadas, concluímos que na figura ID 5 DE 5 EF 5 FG 512
metros e que A é o ponto médio de ID, ou seja,
AD 5 6 metros e, da mesma
forma, FC 5 6 metros.
I
D
E
F
b) Repetindo mais 3 vezes a segunda construção
acima, obtemos um quadrado de lado 54 cm, com
a utilização de 36 cartões de lado 6 cm e 20 cartões
de lado 9 cm, sobrando apenas 1 cartão de lado
6 cm e 1 cartão de lado 9 cm. Esse quadrado é o
G
75
Nível 2 (8o. e 9o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
Esta prova também corresponde
à prova da Primeira Fase da Olimpíada
Regional nos Estados de:
AL – BA – ES – GO – PI – RN – RS – SC
maior que se pode construir, usando o maior número de cartões, 56 cartões.
De fato, como os quadrados construídos com os cartões devem ter lados com medidas inteiras, concluímos que o quadrado maior do que o construído deveria ter lado de 60 cm, pelo menos, já que o cartão
menor tem lado 6 cm. Como 602  542 5 684 cm2 é
maior do que 62  92  117 cm2, que é a soma das
áreas dos quadrados que sobraram, concluímos que
realmente o quadrado de lado 54 cm é o maior que se
pode construir usando o maior número de cartões.
1 Resposta: (D)
Como EDC é isósceles, CDE  CDE  80º. Como
BEC é isósceles, CDE  BCE  . Usando ângulo externo,   40º. Como ABE também é isósceles,
BAE  . Finalmente, usando mais uma vez ângulo externo, podemos concluir que   50º.
2 Respostas:
a)A maior coluna tem 2 008 letras e OBM é um
bloco de 3 letras. Como 2 008  669  3  1, o
número de vezes em que a palavra OBM aparece
completamente na maior coluna é 669.
2 Resposta: (C)
Os quadrados dos números são, respectivamente:
b)Da esquerda para a direita, fazendo a contagem
99, 112, 125, 108 e 98. Destes, apenas o primeiro e
ao longo das flechas, a primeira passa por 2008
o último são menores que o quadrado de 10, que
letras O. Como a segunda inicia 3 linhas abaixo,
é 100. Assim, os três números do meio são maiores
ela passa por 2 005 letras O
que 10.
(2 008  3  2 005). Nesse padrão, a próxima passará por
3 Resposta: (C)
2 002 letras O, a seguinte, por
1 999, e assim até a última fle1212 5126 5(22  3)6 5 212  36
cha, que passará por 1.
4 Resposta: (D)
Portanto, o número de vezes
Seja P o número de funcionários que falam Portuque a letra O aparece no arguês e I o número de funcionários que falam Inglês.
ranjo é:
(2 008 11) 670 É fácil ver que:
5673 015
2 008 1 2 005 1 2 002 11999 1  11 5
20
20
2
P1
 I 5 I ⇒ P 5 4I
(2 008 11) 670
100
100
15
2 002 11999 1  1
5673 015
2
20
 I 5 84 ⇒ I 5 20. Com
Além disso, 4I 1 I 
100
3 Respostas:
isso, o número de funcionários que falam as duas
 8 7

 20

5 28 com quantidades dife 4I 5 16 .
a) Há 28 peças 
línguas é 16 
 2

100


rentes de pontos em cada lado e 8 com quan 5 Resposta: (C)
tidades iguais, ou seja, o dominó de Ferius tem
36 peças diferentes (28 1 8 5 36).
x
x
x
1 10
1 12
Edmílson x
Outra solução:
2
2
2
O dominó comum possui 28 peças. Como exisx
x
x
y 1 1 10 y 1 1 8
Eduardo y y 1
tem mais 8 novas peças que possuem alguma
4
4
4
casa marcando 7 pontos, o dominó de Ferius tem
x
x
x
z 1  20 z 1  20
Carlos z z 1
36 peças diferentes (28 1 8 5 36).
4
4
4
b)Como a soma de um par e um ímpar é ímpar, e
A quantidade final de cada é R$ 50,00, então
há 4 quantidades ímpares de pontos (1, 3, 5, 7) e 4
x
quantidades pares de pontos (0, 2, 4, 6), há 16 pe1 12 5 50, logo, x  76. Com isso, Eduardo tinha
2
ças (4  4  16) que não são importantes. Logo,
inicialmente R$ 23,00.
existem 20 peças (36  16  20) importantes.
c) Cada quantidade de pontos aparece exatamen 6 Resposta: (B)
te 9 vezes. Assim, a soma dos pontos de todas
Sejam a, b, c, d, e, f, g, h, i os números ordenados assim:
as peças é 252 9 (1  2  3 ...  7)  252.
abcdefghi
A soma dos pontos de todas as peças que não
são importantes é 112 4(1  2  3  ...  7)  Então,
5 112, pois cada quantidade de pontos aparece
a 1b 1 c 1 d 1 e 1 f 1 g 1h 1i
exatamente 4 vezes em peças que não são ime5
⇒ 9e 5 a 1b 1 c 1 d 1 e 1 f 1 g 1h
9
portantes. Assim, a soma pedida é 140 (252  a 1b 1 c 1 d 1 e 1 f 1 g 1h 1i
e5
⇒ 9e 5 a 1b 1 c 1 d 1 e 1 f 1 g 1h 1i.
2 112  140).
9
76
Além disso,
a 1b 1 c 1 d 1 e
5 68 ⇒ a 1b 1 c 1 d 1 e 5 340,
5
e também temos a seguinte equação:
e 1 f 1 g 1h 1i
5 44 ⇒
5
⇒ e 1 f 1 g 1 h 1 i 5220
Portanto: 9e  e  560
desejada será 504.
e  56. E, assim, a soma
7 Resposta: (E)
Quadradinhos de lado 1 existem 6, e quadradinho de
lado 2 existe 1. Além disso, existem três outros inclinados de lado 2. Portanto, temos 10 quadrados.
8 Resposta: (C)
2009 – Domingo 2012 – Quinta (pois é ano bissexto)
2010 – Segunda 2013 – Sexta
2011 – Terça 2014 – Sábado
12 Resposta: (D)
Sejam p, q números primos, então para que o número de divisores inteiros e positivos seja exatamente
15, os números precisam ser da seguinte forma: p14 e
p2  q4.
Assim, teremos as seguintes possibilidades:
22  34  324, 32  24  144 e 52  24  400.
9 Resposta: (D)
Se a, b, c, d, e são cinco inteiros maiores que um,
então a, b, c, d, e > 2, e com isso, a soma quaisquer
de quatro deles é pelo menos 8. Observando a
equação b(a  c  d  e)  155  5  31, em que 5
e 31 são primos, temos: b  5 e a  c  d  e  31.
Da mesma maneira, c(a  b  d  e)  203, então
c  7 e a  b  d  e  29. Baseado nos resultados
encontrados, concluímos que a  d  e  24, a  1 b  c  d  e)  36 e da equação a(b  c  d  1 e)  128, obtemos a(36  a)  128, ou seja, a  4
ou a  32. Porém, a  32 não poderá ser solução,
pois, caso fosse, teríamos a  b  c  d  e > 40.
Portanto, a  b  c  16 e a equação e(a  b  c  1 d)  275 será a mesma que e(16  d)  275, em
que d  e  36  a  b  c  20. Como 275  5 11  25 e 16  d > 18, temos que e  11 e d  5 25  16  9. Observe que outra fatoração de
275  5  55 faria d  39, que é muito grande. Portanto, a  b  c  d  e  4  5  7  9  11  36.
13 Resposta: (C)
Entre os números 1 e 100, o algarismo 2 aparece dez
vezes como dígito das dezenas e dez vezes como
dígito das unidades. O mesmo ocorre com os algarismos 4, 6 e 8. Portanto, a soma pedida é:
20  (2  4  6  8)  400
14 Resposta: (E)
1000  25y
, em que
10
x e y são, respectivamente, as quantidades de moedas de 10 centavos e de 25 centavos. Para que x seja
um valor inteiro positivo, basta que y seja qualquer
número par entre 2 e 38. Logo, temos 19 maneiras
diferentes.
Temos 10x 1 25y 51000 ⇒ x 5
10 Resposta: (C)
O único número primo de dois algarismos iguais é
11. Nesse caso, a  1. Usando agora a definição do
sistema decimal:
11  10b  c  10c  b  121
b  c  10
15 Resposta: (E)
Devemos encontrar o maior valor possível para a, então determinaremos os maiores valores para d, c e b.
Tomando d  39, observa-se que c  156. Tomando
c  155, observa-se que b  465. Tomando b 5 464,
a deverá ser menor que 928, e, portanto, o maior valor possível de a será 927.
11(b  c)  110
Como os números citados são primos, temos que b
e c devem ser ímpares e diferentes de 5. Além disso,
91 é múltiplo de 7. Portanto, os valores para b e c
são, respectivamente, 3 e 7.
16 Resposta: (A)
A soma de todos os números é:
49  50
1 1 2 1  1 49 5
5 1225
2
Como temos sete colunas com a mesma soma, o
resultado da soma dos elementos de uma mesma
1225

5 175 .
coluna é 175 
 7

11 Resposta: (A)
É fácil ver que os triângulos EQH e HPF são isósceles, logo EQ 5 QH 5 b e HP 5 PF 5 c. Seja QP 5 a.
No triângulo EHF, temos que EF 5 2MN (MN é base
média). Logo, MN 5 5.
77
17 Resposta: (A)
Temos: y2  x2 5 852  52  172
Temos, então, quatro possibilidades:
Como ABC  110º, então AOC  140º e, com
isso, OAC  20º. Por outro lado, IAC 10º. Portanto, IAO  30º.
{yy 1 xx 55 15  17 {yy 1 xx 55 175  17
2
21 Resposta: (B)
2
2
60
 40 5 24 alunos.
100
Como temos 22 alunos, pelo menos 2 alunas participarão do trabalho.
Total de alunos: 40. Com isso,
{yy 1 xx 55 55  17 {yy 1 xx 55 175
2
2
2
22 Resposta: (B)
Resolvendo os sistemas, temos:
x
3 612
720
204
132
y
3 613
725
221
157
A1
O menor valor da soma x  y é 289.
18 Resposta: (B)
Vamos chamar esse número de x. A soma de todos
os números de três algarismos é:
1 099  900
100 110111 999 5
5 494550
2
Assim, podemos montar a seguinte equação:
629x  49 4550  x x  785
D
P
A1
C
Q
A3
E
A3
F
Seja P o ponto de interseção dos segmentos DB e
AE; e Q o ponto de interseção de CE e BF. Note que
os triângulos ADE e BDE possuem a mesma altura e
a mesma base, logo, possuem a mesma área. O mesmo ocorre com os triângulos BEF e CEF. Retirando
as áreas comuns PDE e QEF, temos [ADP] 5 [PBE] e
[BEQ] 5 [QCF]. Logo, A2 5 A1 1 A3.
Observação: [XYZ] denota a área do triângulo XYZ.
19 Resposta: (C) ou (D) ambas devem ser consideradas como resposta correta.
(C) Escolhendo uma cor para o quadrado do centro
(como o azul do exemplo), sobram 4 cores diferentes
para pintar cada uma das quatro partes restantes do
desenho, cada parte com uma cor diferente, e isso
4  3  2  1

pode ser feito de 6 maneiras 
5 6 ,
4


de modo que não haja dois cartões pintados da
mesma forma. Pode-se verificar que há 4 maneiras
iguais de se pintar os cartões, pois, ao serem giradas,
obtém-se a mesma. Como há 5 maneiras de escolher
uma cor para o quadrado do centro, Soninha conseguirá produzir 30 cartões diferentes (5  6 5 30).
23 Resposta: (B)
Como cada time joga três vezes, podemos concluir
que:
•Dinamarca perdeu todos os jogos.
•Camarões ganhou um jogo, empatou uma vez e
perdeu o outro.
• Brasil ganhou um jogo e empatou outras duas vezes.
•Áustria ganhou dois jogos e empatou outro.
Assim, o Brasil venceu a Dinamarca. Como o Brasil
marcou apenas um gol, o único resultado possível
para esse jogo é 1  0. Além disso, os outros jogos
do Brasil foram empates, logo o resultado foi 0 3 0
em ambos. Da mesma forma, podemos concluir que
Camarões venceu a Dinamarca por 1 3 0. Assim, o
único gol que a Dinamarca marcou deve ter sido
contra a Áustria.
Por outro lado, sabemos que a Áustria venceu Camarões e que Camarões levou apenas um gol. Logo,
o resultado desse jogo foi 1 3 0. Finalmente, como
a Áustria marcou três gols, o jogo Áustria contra Dinamarca foi 2 3 1.
(D) Se considerarmos que a diagonal com quadradinhos pretos é distinta da outra, então só precisamos
dividir por 2. Logo, Soninha conseguirá 60 cartões
diferentes.
20 Resposta: (C)
B
I
A
B
A
C
24 Resposta: (B)
Como AC é um número de dois algarismos, então
AC  10A  C. Com isso, 4  (10A  C)  24C, e daí
C  2A.
Temos agora um novo tabuleiro.
Agora, 4x  24  6C, então x  36C. Com isso, o produto mágico será (6C)3. Fazendo C  2, o produto
O
78
será 1 728 e assim a soma será 18, mas se C  3, a
(1  3) 1 (5  7)1...1(2005  2007) 5 (2) 1 (2) 1 ... 1 (2) 5

soma será 5 832, que também terá soma 18. Para
502 vezes
 3) 1
7)1...1procu(2005  2007) 5 (2) 1 (2) 1 ... 1 (2) 5 1004
valores de C maiores ou(1iguais
a 4,(5o
número

502 vezes
rado terá mais que 4 algarismos.
x
Analogamente, o deslocamento líquido na direção
norte-sul foi de 1 004. Portanto, pelo teorema de
Pitágoras, a distância entre as posições inicial e final
4
6C
C
do viajante é 1004 2. Observe agora que, como
24
2  1, 414, temos 1004 2  1419, 656 . Para ter certeza se estamos usando uma aproximação boa o su-
25 Resposta: (E)
Se o cubo tiver um vértice cujas três faces adjacentes são todas azuis, então estas faces conterão um
total de 19 cubinhos com pelo menos uma face
azul. Destes, devemos descontar os 7 cubinhos (do
canto destacado) que não têm face vermelha. Neste
caso, exatamente 12 (19  7  12) cubinhos têm
pelo menos uma face de cada cor.
ficiente, basta checar se 1419, 5  1004 2  1420 ,
quer dizer, se (1419, 5)2  10042  2  14202. Mas é
fácil efetuar os cálculos e verificar que essas desigualdades realmente se verificam. Logo, a melhor
aproximação pedida é 1 420 metros.
3 Resposta:
Veja que �� � �1 e
3    2  (  1)  2   5 2  1
4    3  (2  1)  22   5 3  2
5    4  (3  2)  32  2 5 5  3
Analogamente:
7  4  3  (5  3)(  1)  52  8  3   13  8
Portanto:
135  57  13(5 1 3)  5(13  8) 
 65(  )  79  65  79  144
4 Resposta:
Como os dois círculos circunscritos são iguais, segue
do teorema do ângulo inscrito que ACB  ABC
e, com isso, AB  AC.
Por outro lado, se o cubo não tiver três faces azuis
incidindo num mesmo vértice, teremos duas faces opostas e uma face lateral azul, o mesmo
acontecendo para as faces vermelhas. Nesse caso,
supondo que as faces superior, inferior e frontal
sejam azuis, há 5 cubos que não possuem cor
vermelha: os 3 cubos dos centros das faces azuis
e os 2 cubos que dividem face com essas faces
centrais. Como o mesmo ocorre para as faces vermelhas e há 26 cubos com pelo menos uma face
pintada (de vermelho ou azul), neste caso há 16
(26  5  5  16) cubos com pelo menos uma
face de cada cor.
A
B
M
D
C
SEGUNDA FASE – parte A
••••••
Seja AM a altura relativa ao lado BC. Como ABC é
isósceles de base BC, segue que AM também é mediana, e daí MC 5 9. Portanto, MD 5 5 e, pelo teorema de Pitágoras, AM 5 12. Finalmente, a área do
1
1
triângulo ABC é: (AM)(BC) 5 (12)(18) 5108
2
2
1 Resposta:
2
17
5 x 4 1 y 4 5 (x2 1 y2)  2( xy)2 5 1 2( xy)2
De
18
1
1
5 6.
obtemos ( xy)2 5 , e daí
36
xy
5 Resposta:
Para que o primitivo de um número seja ímpar, todos os seus algarismos precisam ser ímpares, pois o
produto de um número par por um número qualquer é sempre um número par. Assim, só nos restam
2 Resposta:
O deslocamento líquido do viajante na direção leste-oeste foi de:
79
2
3 Resposta:
os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9 para construir o número
pretendido. Por outro lado, como os algarismos precisam ser todos diferentes, o número terá, no máximo, 5 algarismos. Contudo, qualquer número com 5
algarismos ímpares e todos distintos tem primitivo
0. De fato, o produto dos números 1, 3, 5, 7 e 9 é 945
e seu primitivo é 0. O maior número com 4 algarismos ímpares e todos diferentes é 9 753, mas esse
número tem primitivo 0. O número que o antecede
e tem seus 4 algarismos ímpares e distintos é 9 751,
e seu primitivo é 5. Portanto, a soma de seus algarismos é 22 (9 1 7 1 5 1 1 5 22).
A
D
B
(
C
Seja D o pé da perpendicular baixada de F a AC. Pelo
SEGUNDA FASE – parte B
••••••
5
E
F
teorema de Pitágoras, segue que EC 5 BC2 BE2 5 52  42 5 3.
EC 5 BC2 BE2 5 52  42 5 3. Por outro lado, por semelhança de
1
1 Resposta:
triângulos, temos: FD 5 BE 5 2 e AE 5 2DE. Por­2
Os catetos do triângulo medem a e b, e a hipotetanto: DC 5 CF2  FD2 5 42  22 5 2 3 , e daí:
nusa mede c. Como a área e o perímetro são iguais,
1
1
DE 5 2 3  3, de maneira que AE 5 4 3  6.
temos ab 5 a 1b 1 c, e daí c 5 ab  a b. Usando
2
2
Finalmente:
o teorema de Pitágoras, segue que:
2
1
1 2 ] 5 1 (AE 1EC)BE 5 1 4 3  6 1 3  4 5 8 3  6
a2 1 b2 5 ab  a  b 5 a2 1 b2 1 2ab  a2b  b2a 1 a2b[ABC
,
2
2
2
4
)
(
)
(
)
2
1
1
ab  a  b 5 a2 1 b2 1 2ab  a2b  b2a 1 a2b2 ,
2
4
4 Resposta:
Há duas escolhas envolvidas e que determinam a
maneira de viajar de B a C: por quais dentre as cidades A1, ..., A6 devemos passar, e em que ordem.
Digamos que escolhamos passar por exatamente
k dentre as cidades A1, ..., A6 , com 1  k  6; o nú6
mero de modos de escolher as k cidades é   . Por
k 
outro lado, após escolhermos as k cidades, devemos
escolher em que ordem vamos visitá-las, o que corresponde a k! possibilidades. Logo, o número de
modos de viajar de B a C é:
ou ainda 8ab  4a2b  4b2a 1 a2b2 5 0. Dividindo
por ab, obtemos (a  4)(b  4) 5 8, de maneira que
a  4 divide 8. Portanto, os possíveis valores de a
são 2, 3, 5, 6, 8 e 12. Determinando os valores de b
e c, encontramos os triângulos de lados 5, 12, 13 ou
6, 8, 10.
2 Resposta:
Note que (2 009  x)2  x2 5 2 009 (2 009  2x), um
múltiplo de 2 009. Assim, sempre que Pedro apagar
um número, x2 digamos, basta Igor apagar o número (2 009 2 x)2. Desse modo, no final restarão dois
números cuja diferença é um múltiplo de 2 009.
6
 
6
1 956
� 1956
∑k6 k! � ∑ (6 �6!k)! � 5!6! � 6!4! �... � 6!
0!
k �1
80
k �1
XXIX OLIMPÍADA
BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2007
RESOLUÇÕES
5 Resposta: (B)
A soma de todos os números positivos ímpares até
2 007, menos a soma dos números positivos pares
até 2 007, é 1 004 (1 2 2) 1 (3 2 4) 1 (5 2 6) 1 ... 1
(2 005 2 2 006) 1 2 007 5 21 003 1 2 007 5 1 004.
Nível 1 (6o. e 7o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
Esta prova também corresponde à prova da
Primeira Fase da Olimpíada Regional nos
Estados de:
AL 2 BA 2 ES 2 GO 2 PA 2 PI 2 RN 2 RS 2 SC
6 Resposta: (A)
Se Sílvia acertou o relógio, ela adiantou 10 min.
Como já estava adiantado 5 min, o relógio ficou
15 min adiantado. Portanto, se marcava 10 h, eram
na verdade 9h45min.
Se Cristina acertou o relógio, ela atrasou 10 min.
Como já estava atrasado 5 min, o relógio ficou
15 min atrasado. Como 9h45min foi o horário real
do encontro, o relógio de Cristina indicava 9h30min.
1 Resposta: (E)
1 ,
No resultado da multiplicação de 101 por 1111




2 007 algarismos 1
o dígito 1 aparece 4 vezes, e o dígito 2 aparece 2 005 vezes (2 007 2 2 5 2 005). Portanto, a
soma dos algarismos desse número é 4 014
1 3 4 1 2 3 2 005 5 4 1 4 010 5 4 014 .
7 Resposta: (E)
a
A soma a 1b é 1 se a 5 0 e b 5 1, ou seja, 50 , inb
a 1
compatível com o desenho. A soma é 2 se 5 51,
b 1
a 1
também incompatível. E a soma é 3 se 5 ou
b 2
a 2
5 5 2 , ambos incompatíveis.
b 1
a 1 1
Os casos em que a soma é 4 são: 5 , ou
b 3 2
a 2
a 3
5 51 ou 5 5 3 , todos incompatíveis.
b 2
b 1
Como todas as quatro primeiras alternativas são
falsas, a alternativa E é a verdadeira.
a 1 1
De fato, a soma é 5 nos casos: 5 , , ou
b 4 2
a
2
1
a
3
5 . , ou
5 . 1, ou a 5 4 . 1, dos
b
3
2
b
2
b
1
quais a possibilidade a 5 2 e b 5 3 dá a fração
a
2
5  0, 67 .
b
3
2 Resposta: (D)
São dez: 103, 112, 121, 130, 202, 211, 220, 301, 310
e 400.
3 Resposta: (D)
Um quadrado com área 144 cm2 tem lado 12 cm,
e se ele foi formado juntando-se dois retângulos
iguais lado a lado, esses retângulos
têm um lado igual ao lado do quadrado e o outro igual à metade do lado
do quadrado, ou seja, seus lados medem 12 cm e 6 cm.
Juntando-se agora esses
dois retângulos, e formando um retângulo de
largura diferente do comprimento, formamos um
retângulo de lados 24 cm e 6 cm.
O perímetro desse retângulo é 60 cm (24 1 6 1 24 1
1 6 5 60).
8 Resposta: (B)
Os 156 estudantes que resolveram todos os
problemas corretamente correspondem a 60%
do total (100% 2 25% 2 15% 5 60%). Logo,
o número total de estudantes é 260
156 ? 100
5 260.
60
4 Resposta: (E)
5 ? 10
A área do triângulo ADF é
= 25 cm2, ou seja,
2
1
da área do quadrado. Como os triângulos ADF e
4
AEF são congruentes, a área da região comum aos
dois quadrados é 50 cm2 (2 ⋅ 25 = 50).
10
B
10
10
10
E
9 Resposta: (D)
Sejam H, M e C as quantidades de homens, muH
lheres e crianças, respectivamente. Temos
5
M
2 M
H
H M
16
5
e
5 8. Logo,
5 . 5
. Logo, a
3
C
C
M C
3
razão entre o número de adultos e crianças é
H M
16 40
H1M
5 1 581
5 .
C
C
3
3
C
A
10
5
C 5 F
5
5 D 10
81
10 Resposta: (E)
Como o triângulo ABC é equilátero, o ângulo interno  mede 60°. Se DG é paralelo a AB , então o ângulo entre DG e AC é 60° ou 180° 2 60° 5 120°.
Sendo x o maior ângulo entre esses dois segmentos, x 5 120°.
17 Resposta: (B)
Dentre os números de 10 a 99, a soma dos algarismos mais frequente é 9 ou 10, ambas aparecendo 9 vezes cada. Logo, o maior número de
tentativas erradas que a segunda pessoa pode
fazer é 8 (9 2 1 5 8 ).
11 Resposta: (E)
Ao multiplicar os preços por 0,68 5 68%, a loja oferece um desconto de 32% (100% 2 68% 5 32%).
18 Resposta: (C)
15 1
Viajando a 80 km/h por 15 minutos, ou seja,
=
60 4
80
de hora, Anita percorreu
= 20 km. Para conse4
guir percorrer esses 20 km em 12 minutos, ou seja,
12 1
= de hora, ela deveria trafegar a uma veloci­
60 5
20

dade constante de 100 km/h  5 20 ? 5 5 100 .
1

5

12 Resposta: (B)
Se Pérola (P) estiver antes de Esmeralda (E), há
(7 1 6 2 2 5 11) 11 pessoas na fila, como vemos no
esquema a seguir:
7
6
5
4
3
2
1
1
2
E
P
3
4
5
6
19 Resposta: (D)
O candidato A errou 48 questões (80% ? 60 5 48), o
candidato B, 36 questões (60% ? 60 5 36), o candidato C, 30 questões (50% ? 60 5 30), o candidato D,
18 questões (30% ? 60 5 18), o candidato E, 24 questões (40% ? 60 5 24), e o candidato F, 36 questões
(60% ? 60 5 36). Portanto, o número médio de
questões erradas por esses candidatos foi 32:
48 1 36 1 30 1 18 1 24 1 36 192
5
5 32
6
6
Se Esmeralda (E) estiver antes de Pérola (P), há
(7 1 6 1 2 1 2 5 17) 17 pessoas na fila, como vemos
no esquema a seguir:
7
6
5
4
3
2
1
P
E
1
2
3
4
5
6
13 Resposta: (C)
Dentre todos os produtos, são primos apenas os
números 2, 3, 5, 7, 11 e 13, que aparecem 2 vezes
cada. Portanto, 12 casas ( 6 × 2 = 12 ) conterão números primos.
20 Resposta: (E)
Temos 131 = 13 , 132 = 169 , 133 5 2 197 e 134 5 28 561.
A partir desse ciclo, 135 5131 ⋅ 134 5 371 293 ,
136 5132 ⋅ 134 5 4 826 809 , 137 5133 ⋅ 134 5 62 748 517
e 138 5134 ⋅ 134 5 815 730 721. Veja que 135 , 136 ,
137 e 138 terminam com o mesmo algarismo que,
respectivamente, 131, 132, 133 e 134 . Desse modo,
podemos formar grupos de 4 em 4, sabendo que o
algarismo das unidades de cada um desses grupos
é 3, 9, 7 e 1, respectivamente.
Como 2007 5 501 ? 4 1 3, podemos formar 501
grupos com algarismo das unidades 3, 9, 7 e 1,
restando apenas os números 132 005, 132 006 e
132 007 , que têm algarismo das unidades 3, 9 e 7,
respectivamente. Portanto, o algarismo das unidades da soma é o algarismo das unidades de
(3 1 9 17 11) ? 501 1 (3 1 9 17) 5 20 ? 501 1 19 5
5 10 020 1 19 5 10 039, ou seja, o algarismo 9.
14 Resposta: (D)
Seja G o volume do copo grande e P, o do copo pequeno. Temos:
3G 1 0, 5P 5 5P 1 0, 5G 2, 5G 5 4, 5P P
2, 5
5
5
5
G
4, 5
9
15 Resposta: (C)
Para formar os códigos S serão usadas 1 barra preta
fina, 2 médias e 1 grossa, que serão separadas por
3 barras brancas finas. Como as barras brancas são
todas iguais, uma vez colocadas em seus lugares, o
número de códigos é o número de maneiras de se
distribuir as 4 barras pretas (1 1 2 1 1 5 4 ), ou seja,
4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24 . Como há 2 barras iguais, as médias, o número de diferentes códigos S que podem
24
ser formados é 12
5 12 .
2
(
)
SEGUNDA FASE – parte A
••••••
16 Resposta: (D)
1 Resposta: (41)
Para a letra “O” foram necessários 11,5 quadradi1
O número é formado por blocos iguais, de 5 alganhos 12 2 4 ? 5 11, 5 . Para a letra “B”, 12,5 qua8
rismos na forma “10 100”. Como o número tem 101
1
algarismos, concluímos que é formado por 20 desdradinhos 13 2 4 ? 5 12, 5 . E para a letra “M”,
8
ses blocos inteiros, mais o primeiro algarismo de
1
1
10 quadradi­nhos 12 2 2 ? 2 8 ? 5 10 . Logo,
um bloco, que é 1. A soma dos algarismos de cada
2
8
2
a área ocupada pela sigla é 34 cm (11, 5 1 12, 5 1 10 5 34 bloco é 2 (1 1 0 1 1 1 0 1 0 5 2); portanto, a soma
dos algarismos de N é 41 (20  2 1 1 5 41).
11, 5 1 12, 5 1 10 5 34).
(
(
)
(
)
)
82
2
Resposta: (150)
5 Resposta: (148)
O volume de cada bloco de madeira é 0, 2 3 0, 3 3 1, 60 5
0, 2 3 0, 3 3 1, 60 5 0, 096 m3; o volume de cada bloco
que fica submerso no líquido é 0, 80 3 0, 096 m3 .
O volume de líquido deslocado pelos 25 blocos é
igual a 25 3 0, 80 3 0, 096 5 1,92 m3 . Como o reservatório é um cubo de 2 m de lado, sua base é
um quadrado de área 4 m2. Podemos pensar no
líquido deslocado como se fosse um bloco cuja
base é igual à base do reservatório, de altura h e
volume acima.
O desenho abaixo à esquerda mostra como fica a
folha após a primeira dobra. À direita, mostra como
fica a folha após as duas dobras.
A5C
Observamos que CE 5 EA e que CF 5 FA. Por
uma propriedade da dobra, sabemos que o segmento FE é perpendicular ao segmento AC, e
esses segmentos se cruzam em seus pontos médios. Portanto, os quatro triângulos que compõem o quadrilátero AECF são congruentes; são
congruentes também os triângulos EBC e FDA.
A dobra FE divide o retângulo ABCD em dois trapézios, EBCF e AEFD, de mesma área. Desdobrando inteiramente a folha, obtemos duas metades
iguais. Portanto, a área do pentágono convexo
BEFE’B’ é igual à área do pentágono não convexo AA’E’FE, ou seja, a área da parte escura é metade da área da folha, ou seja, igual a 150 cm2
15 3 20
5 150 .
2
(
1, 92
5 0,48 m 5 48 cm.
4
Como a altura inicial do líquido era 100 cm, a nova
altura será 148 cm.
Portanto: 4h 5 1,92
Resposta: (64)
6
À primeira inspeção,
podemos admitir que
os três algarismos à
direita de todos os números estão corretos,
isto é, estão corretamente escritos os algarismos
0, 1, 3, 4, 5, 6 e 8. Portanto, dentre os algarismos
2, 7 e 9, um deles está escrito incorretamente.
O 9 está escrito corretamente, pois se o mudarmos, a soma com 2 não estará certa. Logo, 2 ou 7
está errado. Se o 7 estiver errado, então 2 estará
correto, mas isso não é possível, pois a soma de
2 com 4 mais 1 não estaria certa. Logo, o 2 é que
deve ser substituído; olhando novamente a soma
de 2 com 4 mais 1 resultando 1 vemos que o resultado só dará certo se no lugar de 2 colocarmos 6. Fazendo a substituição, verificamos que o
resto se encaixa. Teremos, então, ab 5 26 5 64 .
)
3
SEGUNDA FASE – parte B
••••••
Resposta: (81)
Pelo padrão observado, as somas são iguais ao quadrado da parcela central (aquela cujo número de
parcelas à esquerda é igual ao número de parcelas
à direita).
Portanto, A 5 2 0072 e, assim,
(
)
2
h5
1 Respostas:
(
)
2
A
2 0072
2 007
5
5
5 92 5 81.
2
223
2232
223
A
2 0072
2 007
5
5
5 92 5 81.
2
223
2232
223
4
Resposta: (258)
O retângulo que sobra após os cortes tem lados
iguais às metades dos lados da cartolina original,
cujo perímetro, então, é o dobro do perímetro desse retângulo. Logo, o perímetro da cartolina antes
do corte é 258 cm (129 3 2 5 258).
Temos m(F M̂C) 5 m(A M̂D) (ângulos opostos pelo
vértice), m(A D̂M) 5 m(F ĈM) , pois ABCD é quadra-
83
2 Resposta: (E)
a
A soma a 1b é 1 se a 5 0 e b 5 1, ou seja, 50 , inb
a 1
compatível com o desenho. A soma é 2 se 5 51,
b 1
a 1
também incompatível. E a soma é 3 se 5 ou
b 2
a 2
5 5 2 , ambos incompatíveis.
b 1
a 1 1
Os casos em que a soma é 4 são: 5 , ou
b 3 2
a 2
a 3
5 51 ou 5 5 3 , todos incompatíveis.
b 2
b 1
Como todas as quatro primeiras alternativas são
falsas, a alternativa E é a verdadeira.
a 1 1
5 , ,
De fato, a soma é 5 nos casos:
b 4 2
a
2
1
a
3
a
4
ou 5 . , ou 5 . 1, ou 5 . 1, dos
b
3
2
b
2
b
1
do, logo, esses ângulos são retos, e MC 5 MD, pois
M é ponto médio de CD. Logo, os triângulos AMD e
FMC são congruentes.
a) Vemos que a área ABF 5 área FMC 1 área
ABCM. Como área FMC 5 área AMD, temos:
área ABF 5 área AMD 1 área ABCM 5 área
do quadrado ABCD 5 300 cm2.
b)área ADF 5 área AMD 1 área DMF 5 área
FMC 1 área DMF 5 área FCD.
Como AD 5 FC, CD é lado comum e os ângulos Ĉ
e D̂
são retos, concluímos que os triângulos FCD
e ADC são congruentes, logo, área FCD 5 área
área ABCD
ADC 5
. Portanto, a área do triân2
300
gulo ADF é igual a 150 cm2
5 150 .
2
(
2
)
Resposta:
Dadas as massas de 1 a 6, podemos adicionar 1 a 6, 2
a 6 etc., até obter todos os pesos de 7 a 11; podemos
adicionar 1 1 5 a 6, 2 1 5 a 6 etc., até obter todos os
pesos de 12 a 15; podemos adicionar 1 1 4 1 5 a 6
etc., obtendo os pesos de 16 a 18; somando 1 1 3 1
1 4 1 5 a 6, obtemos 19; somando 2 1 3 1 4 1 5 a
6, obtemos 20 e, finalmente, somando 1 1 2 1 3 1
1 4 1 5 a 6, obtemos 21. Portanto, a quantidade de
massas diferentes que Esmeralda pode obter é 21.
3
quais a possibilidade a 5 2 e b 5 3 dá a fração
a
2
5  0, 67 .
b
3
3 Resposta: (E)
Como o triângulo ABC é equilátero, o ângulo interno  mede 60°. Se DG é paralelo a AB , então o
ângulo entre DG e AC é 60° ou 180° 2 60° 5 120°.
Sendo x o maior ângulo entre esses dois segmentos, x 5 120°.
Respostas:
Pode-se concluir, examinando a tabela, que a soma
dos elementos da diagonal n é igual a 2n 1 (n 2
2 1)k, em que k é o algarismo das unidades do
número n. Por exemplo, na diagonal de número
4, a soma dos números é 2 ? 4 1 (4 2 1) ? 4 5 20.
Na diagonal de número 10, a soma dos números é
2 ?10 1(10 21) ? 0 5 20 etc.
a) Na diagonal de número 9, a soma dos elementos
é 90
2 ? 9 1 (9 2 1) ? 9 5 90 . De outra forma,
na diagonal 9 há 10 números 9; portanto, a soma
é 90 (10 ? 9 5 90 ).
b)Na diagonal 2007, a soma será 18 056
2 ? 2 007 1(2 007 21) ? 7 5 4 014 114 042 518 056.
O resto da divisão desse número por 100 é 56.
4 Resposta: (D)
Sejam H, M e C as quantidades de homens, muH
lheres e crianças, respectivamente. Temos
5
M
2 M
H
H M
16
5
e
5 8. Logo,
5 . 5
. Logo, a
3
C
C
M C
3
razão entre o número de adultos e crianças é
H M
16 40
H1M
5 1 581
5 .
C
C
3
3
C
5 Resposta: (B)
Os 156 estudantes que resolveram todos os
problemas corretamente correspondem a 60%
do total (100% 2 25% 2 15% 5 60%). Logo,
o número total de estudantes é 260
156 ? 100
5 260.
60
Nível 2 (7o. e 8o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
Esta prova também corresponde à prova da
Primeira Fase da Olimpíada Regional nos
Estados de:
AL 2 BA 2 ES 2 GO 2 PA 2 PI 2 RN 2 RS 2 SC
6 Resposta: (E)
Como N é o quadrado de um quadrado perfeito,
N é uma quarta potência e, como possui o fator
12 5 22 3 3, N deve ser divisível por 24334 5 1 296.
Logo, N é da forma 1 296k, em que k é inteiro posiN
tivo. Portanto,
5 108k, e o menor valor possível
12
N
para
é 108.
12
1 Resposta: (E)
No resultado da multiplicação de 101 por 1111



1 ,
7 Resposta: (C)
A área do jardim é 5a2, em que a é o lado do qua­dra­do. Pelo teorema de Pitágoras, AB2 5 a2 1
1 (2a)2 5 5a2. Daí, 5a2 5 100, que é a área do
jardim.
2 007 algarismos 1
o dígito 1 aparece 4 vezes, e o dígito 2 aparece 2 005 vezes (2 007 2 2 5 2 005). Portanto, a
soma dos algarismos desse número é 4 014
1 3 4 1 2 3 2 005 5 4 1 4 010 5 4 014 .
84
13 Resposta: (C)
Como 100 < x , 1 000, temos 600 < 6x , 6 000 e
700 < 7x , 7 000. Os números 6x e 7x podem ter
ambos 3 algarismos ou ambos 4 algarismos. Para
que ambos tenham 3 algarismos, devemos ter
7x , 1 000, ou seja, x , 142,8...; há 43 números nestas condições. Para que ambos tenham 4 algarismos, devemos ter 6x > 1 000, ou seja, x > 166,6...;
há 833 números nestas condições. Logo, há 876 números satisfazendo as condições do problema.
Observação: também é possível resolver o problema sem usar o teorema de Pitágoras, formando o
quadrado de lado AB e observando que sua área é
equivalente à de 5 quadrados menores.
8 Resposta: (C)
Tem-se a 5 k(b 1 c), b 5 k(c 1 a) e c 5 k(a 1 b).
Logo, (a 1 b 1 c) 5 2k(a 1 b 1 c). Há dois casos:
1
(i) a 1 b 1 c 5 0; neste caso, k 5 (e a igualdade
2
ocorre se e só se a 5 b 5 c  0); (ii) a 1 b 1 c 5 0.
a
b
c
Neste caso, temos
5
5
5
(b 1 c)
(c 1 a)
(a 1 b)
1
5 21. Portanto, k pode assumir os valores ou 21.
2
14 Resposta: (C) Os triângulos isósceles junto à base têm área igual
à do quadrado. Os dois junto aos vértices supe1
riores têm área igual a
da área do quadrado.
4
Finalmente, o central no topo tem área igual à
metade da área do quadrado. Logo, a área total é
1
1
6 3121 1 56 .
2
2
9 Resposta: (A)
Um polígono convexo inscrito no círculo fica determinado quando seus vértices são escolhidos. Cada
um dos 12 pontos pode ou não ser escolhido como
vértice, dando um total de 4 096 escolhas (212). Mas,
para determinar um polígono, precisamos escolher
3 ou mais vértices. Logo, do número acima deve15 Resposta: (A)
mos excluir os casos em que são escolhidos 0 ponto
Note que:
2
2
2
2
11
(1 caso), 1 ponto (12 casos) ou 2 pontos 12 3 5 66 casos (.x 1 x)(x 1 5x 1 6) 5 x (x 1 1)(x 1 2)(x 1 3) 5 (x 1 3x)(x 1
11
(x2 1 x)(x2 1 5x 1 6) 5 x (x 1 1)(2x 1 2)(x 1 3) 5 (x2 1 3x)(x2 1 3x 1 2) .
12 3 5 66 casos . Portanto, o número de polígonos é
2
Seja y5 x2 1 3x . Então:
4 017 (4 096 2 1 2 12 2 66 5 4 017).
1 1 y(y 1 2) 5 1812 (y 1 1)2 5 1812 y 1 1 5 181
y 5 180
10 Resposta: (E)
(m 1n)(n 2m 11)
A soma dos números de m a n é
.
16 Resposta: (D)
2
(m 1n)(m 2n 11)
Sendo x, y e z as áreas das partes brancas, a área peOu seja, devemos ter
5 2007, cuja
2
di­da é: (121 2 x) 1 (49 2 y 2 z) 2 (81 2 x 2 y) 2
decomposição em fatores primos é 3 3 3 3 223.
2 (25 2 z) 5 121 1 49 2 81 2 25 5 64 cm2.
Da igualdade (m 1 n)(n 2 m 11) 5 2 3 3 3 3 3 223
(e observando que m 1 n > n 2 m 1 1), podemos
17 Resposta: (B)
ter os seguintes casos:
Se o primeiro acidente é sofrido no ano N 1 1, Jean
a) m 1 n 5 223, n 2 m 11 5 18 (que resulta em
gasta 1 500(N 1 1) 1 1 400 com a seguradora A e
m 5 103 e n 5 120).
1 700(N 1 1) 1 700 com a seguradora B. Para que
b)m 1 n 5 446, n 2 m 1 1 5 9 (que resulta em
A seja mais favorável, devemos ter 1 500(N 1 1) 1
m 5 219 e n 5 227).
1 1 400 , 1 700(N 1 1) 1 700, ou seja, N . 2,5.
c) m 1 n 5 669, n 2 m 1 1 5 6 (que resulta em
Logo, Jean deve ficar pelo menos 3 anos sem sofrer
m 5 332 e n 5 337).
acidentes.
d)m 1 n 5 1 338, n 2 m 1 1 5 3 (que resulta em
m 5 668 e n 5 670).
18 Resposta: (A)
e) m 1 n 5 2 007, n 2 m 1 1 5 2 (que resulta em
A face 1 estará, no início, voltada para Leste e, a
m 5 1 003 e n 5 1 004).
seguir, voltada para baixo. Quando o 2 estiver paPortanto, 2 007 pode ser escrito de 5 modos como
ra baixo, 1 estará a Oeste. Quando o 3 estiver para
soma de dois ou mais números inteiros e consecubaixo, 1 continua a Oeste. Quando o 5 estiver pativos.
ra baixo (face oposta ao 2), o 1 permanece a Oeste,
e assim termina após os movimentos.
11 Resposta: (B)
(
(
)
(
)
)
Ambas as equações tem 1 como raiz. As outras raí1
zes são
e 2 007, cujo produto é 1.
2007
19Resposta: (B)
A)Falsa (há 16 do lado direito e 20 do esquerdo).
B)Verdadeira (há 9 do lado direito e 6 do es­
querdo).
C)Falsa (há 45).
D)Falsa (há 5 do lado direito e 4 do esquerdo).
E) Falsa (há 15).
12 Resposta: (D)
a(b 1 c) 2 b(a 1 c) 5 c(a 2 b), que é máximo quando c é máximo (ou seja, igual a 10) e b 2 a é máximo
(ou seja, b 5 10 e a 5 1). Portanto, o produto máximo é 90 10 3 (10 2 1) 5 90.
85
20 Resposta: (B) A soma dos outros lados tem de ser maior que
• 09h55: o ponteiro maior está sobre o 11 e o me1
nor está
de hora antes do 10. Logo, o ângulo é
12
32,5º:
1
11
3 30º 5 32, 5º
12
5 3 . Logo, o perímetro deve ser maior que
2
11
12
8
5
6
• 06h20: o ponteiro maior está sobre o 4 e o menor
1
está de hora depois do 6. Logo, o ângulo é 70º:
3
(2 1 31) 3 30º 570º
1
2
10
9
3
8
4
5
12
10
2
8
4
Outra solução:
P
R
Q
(11 61) 3 30º 5 35º
12
6
7
V
R
1
PU
5
11 6 6
PU 5
6
7
25 (Anulada) Resposta:
Os primeiros termos dessa sequência são: 1, 3, 7, 15,
13, 9, 19, 21, 7, 15, ..., de onde vemos que ela tem período 6 a partir do 3o termo. Assim, a31 5 a25 5 a19 5
5 a12 5 a7 5 19, a32 5 a8 5 21, a33 5 7, a34 5 15 e
a35 5 13. A soma tem valor 75 (19 1 21 1 7 1 15 1
1 13 5 75). (Não há alternativa correta).
1
2
10
9
3
8
4
6
3 57 x 2 3 x 5
24 (Anulada) Resposta:
Os únicos números com essa propriedade são: 110,
121, 152, 240, 251, 282 e 390. A diferença entre o maior
e o menor é 280, que é múltiplo de 7 e, além disso,
2 1 8 1 0 5 10. (Há duas alternativas corretas).
1
de hora antes do 9. Logo, o ângulo é 35º:
6
7
33
2
11 772
5
5 xx xx
33
5
• 08h50: o ponteiro maior está sobre o 10 e o menor
11
AP
AP CR
CR
5
5 BP
BP RS
RS
TP PU
5
TS SV
3
6
5
S
T P
S
Como o ângulo de incidência é igual ao ângulo de
reflexão, ao refletir o retângulo inicial em relação ao
lado PQ e em seguida refletindo em relação ao lado
QR, obtemos um segmento TUV, de acordo com a
figura acima. Logo, pela semelhança dos triângulos
TPU e TSV, temos:
1
9
está
6
U
( 2 1 31) 3 30º 570º
7
3
6
• 05h40: o ponteiro maior está sobre o 8 e o menor
1
está de hora antes do 6. Logo, o ângulo é 70º:
3
11
4
23 Resposta: (B)
Sejam B e C os pontos de batida da bola em PQ e
QR, respectivamente, e A o ponto onde a bola está
inicialmente. Como os ângulos das trajetórias de
batida com a mesa são iguais, deveremos ter os triângulos APB, CQB e CRS semelhantes. Seja BP 5 x.
Assim:
AP CQ
1
CQ
3
5
CQ 5 21,
5
BP BQ
x 32 x
x
4
7
8
22 Resposta: (D) Sendo d o m.d.c. destes números, temos:
d 5 2 332 2 1 221 5 1 111 5 11 3 101. Como 101
é primo, 101 não divide 1 221, e 11 divide todos os 8
números, então 11 é o m.d.c. procurado.
3
12
2
7
2
9
11
1
10
1
10
7
12
9
21 Resposta: (E)
Para medir o ângulo entre os ponteiros, basta obter
as posições dos dois ponteiros. Fazendo isso para
cada um dos horários, e lembrando que o ângulo
entre dois números consecutivos do relógio é 30º:
• 02h30: o ponteiro maior está sobre o 6 e o menor
está exatamente na metade entre o 2 e o 3. Logo,
o ângulo entre eles será 105º ( 3, 5 3 30º 5 105º ).
11
)
(
5 3 5 8,66..., o que mostra que o menor perí­me­tro inteiro possível é 9.
5
86
2 Resposta:
É fácil ver que ( x 2 2)( x 2 3) 1 ( x 2 3)( x 1 1) + ( x 1 1)( x 2 2) 5 3
( x 2 2)( x 2 3) 1 ( x 2 3)( x 1 1) + ( x 1 1)( x 2 2) 5 3( x 2 )( x 2 ).
Fazendo x 5 21, 2 e 3, nesta igualdade, temos:
1 Resposta:
4
Seja x a idade de Ludmílson. Logo:
(11)(11) 5 4, (2 2)(2 2) 521, ( 2 3)( 2 3) 5
3
( x 2 55)( x 1 55) 5p3 , em que p é primo. Temos, então,
duas possibilidades:
Com isso:
SEGUNDA FASE – parte A
••••••
i)
{xx 215555551p
1
1
1
1
3
1
1
5 211 5 0
(11)(11) (2 2)(2 2) (2 3)(2 3) 4
4
3
Nesse caso, teríamos x 51 56 e p 5 111, 1absurdo, pois 1
1
3
111 não é primo. (11)(11) 1 (2 2)(2 2) 1 (2 3)(2 3) 5 4 211 4 5 0
x 2 55 5p
ii)
x 1 55 5p2
3 Resposta:
Com isso, 110 5p2 2p 5p(p 21) 511?10 . Assim, tea) N 5 23 ? (234 2 1) 5 23 ? (232 1 1)(232 2 1) 5 23 ? (232 11)(23 11)((2
mos p511 e x566. Logo,
a idade
N 5 23
? (234 de
2 1)Ludmílson
5 23 ? (232 é1 1)(232 2 1) 5 23 ? (232 11)(23 11)((23 21) 5 23 ? 530 ? 24 ? 22 5
66 anos.
525 ? 3 ? 5 ? 11 ? 23 ? 53. O número de divisores
(positivos) de N é 192 (6  2  2  2  2  2 5192).
2 Resposta:
b) N5n5 2n 5n(n2 11)(n 11)(n 21).
100 ? 1028 1 3 2 100 ? 103 2 3
Necessariamente, n ou n 1 1 é par. Logo, 2 di
 2 100 ? (21) 2 3 5
28
3
10
2
10
vide N. Do mesmo modo, um dos números


n 2 1, n ou n 1 1 é múltiplo de 3. Logo 3 tam1028 2 103 
5 100 28
1
5
1
5
97
100
97
197

bém
divide N. Finalmente, se nenhum dos 3
10 2 103 
números n 2 1, n ou n 1 1 é múltiplo de 5, en 3 Resposta: tão n é da forma 5k 1 2 ou 5k 1 3. No primeiro
Note que os triângulos PTA, ABD, BCE, e PQC são tocaso, temos n2 115 25k 2 110k 1 5 e, no segundo,
dos isósceles. Como STP 5 108°, PTA 5PAT 5
n2 115 25k 2 115k 110, ambos múltiplos de 5.
5 72°. Assim, temos: TPA 5 36° e BAD 5BDA 5
Portanto, um dos números n, n 21, n 11 ou n2 11
5 18°. Além disso, ABD 5 144° e CBE 5 66°.
é múltiplo de 5.
Como QPC 5 126°, temos QCP 5 27° e ECB 5
Assim, N é, simultaneamente, múltiplo dos núme5 57°. Logo, QCE 5 174°.
ros 2, 3 e 5, primos entre si, o que prova que N é
múltiplo de 30.
4 Resposta:
Tente 1, 2, 3 ... e perceba que, somente com n 5 5,
4 Resposta:
K terá 5 algarismos. Assim, K 5 2 608 ? 5 5 13 040.
Vamos começar colorindo a primeira linha de vérCom isso, a soma dos algarismos de K é 8.
tices. Cada coloração dessa linha é uma sequência
de letras “A” e “V”, por exemplo, A V V A V. Observe
que, uma vez colorida a primeira linha, se aparece 5 Resposta:
rem duas letras consecutivas iguais, o restante dos
A partir do sétimo termo, todos serão iguais a
vértices do tabuleiro já estão determinados. De fato,
6 174.
ao aparecer dois Vs consecutivos, os dois vértices
imediatamente abaixo deles deverão ser coloridos
com dois As, os que estão mais abaixo deverão ter
SEGUNDA FASE – parte B
dois Vs, e assim por diante. Isso completa a colora••••••
ção dessas duas colunas. Dessa forma, cada coluna
1 Resposta:
vizinha também estará determinada, pois em cada
B
retângulo teremos três vértices previamente coloridos, o que obriga o quarto vértice a ter sua cor
determinada. Então, para cada sequência de As e
Vs na primeira linha que contém pelo menos duas
I
letras iguais consecutivas, há exatamente uma maneira de colorir o tabuleiro. Como há 25 2 2 5 30 de
tais sequências, contamos 30 colorações possíveis.
{
A
D
C
A
Como ABC é um triângulo retângulo, então AO 5
5 BO 5 CO. Se ABI5AOI545o e BAI5OAI ,
então ABI  AOI (ALA). Com isso, AB 5 AO 5 BO,
portanto, o triângulo ABO é equilátero. Assim:
ACB530o
87
V
A
V
A
V
V
A
V
A
V
A
V
letra da terceira linha também há 2 possibilidades.
Com este raciocínio, cada vez que escolhemos a
primeira letra de uma linha, determinamos a coloração dessa linha. Logo, como há duas maneiras
de escolher a primeira letra de cada linha, há 32
maneiras (25 5 32) de colorir o tabuleiro, neste segundo caso. Logo, o total de colorações é igual a
62 (30 1 32 5 62).
Falta analisar um segundo caso, em que não há duas
letras consecutivas iguais na primeira linha. Há duas
possibilidades de sequências: começando com A ou
começando com V.
A
V
A
V
A
V
Observação: Veja que, no caso geral, para um quadrado n 3 n, o raciocínio é análogo. No primeiro
caso, teremos 2n 1 1 2 2 colorações; no segundo caso,
mais 2n 1 1. Logo, teremos 2 ? 2n 1 1 2 2 5 2n 1 2 2 2
colorações.
Para cada uma dessas sequências, há duas maneiras de escolher a primeira letra da segunda linha.
Uma vez escolhida essa letra, a segunda linha inteira também estará determinada. Para a primeira
88
115 31
XXVIII OLIMPÍADA
BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2006
RESOLUÇÕES
Nível 1 (5o. e 6o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
Esta prova também corresponde à prova da
Primeira Fase da Olimpíada Regional nos
Estados de:
BA – ES – RS – RN – PA – PE – PI – SC
1
6 Resposta: (D)
O usuário pagou 148 reais (52 1(140 2 60) ?1, 20 5148
Resposta: (A)
52 1(140 2 60) ?1, 20 5148); no plano de 100 minutos, teria pago
Em 6h de trabalho foram retiradas 480 bolinhas
135 reais (87 1(140 2100) ?1, 20 5135), ou seja, teria
(4 000 2 3 520 5 480), e como a velocidade de reeconomizado 13 reais (148 2 135 5 13).
480
5 80 por
tirada é constante, saem 80 bolinhas
6
7 Resposta: (B)
hora. Para que 2 000 bolinhas saiam do tanque são
Sejam A, B, C, D e E os vértices do pentágono. Para
2 000
5 25 . Portanto, o tanque
necessárias 25 horas
cada um desses vértices podemos contar dois tri80
ângulos isósceles cujos vértices coincidem com os
ficou com 2 000 bolinhas às 11 h do dia seguinte.
vértices do pentágono, e esse vértice é oposto à
base, conforme desenho abaixo (por exemplo,
Resposta: (A)
o vértice A é oposto às respectivas bases dos triO eucalipto precisa de cerca de 600 kg de nutrientes
ângulos
isósceles ACD e ABE. Nota: um triângu1
por hectare, aproximadamente da massa de nulo
isósceles
tem dois lados congruentes, e o ter3
trientes necessários, mais ou menos 1 800 kg, para a
ceiro lado é chamado base.) Como há 5 vértices,
cana-de-açúcar se desenvolver.
concluímos que existem 10 triângulos (5 3 2 510)
nas condições dadas. Outra solução: três vértices
Resposta: (B)
do pentágono determinam sempre um triângulo
Seja n o número de partidas que o time venceu. Enisósceles. Portanto, o número de triângulos isóscetão, perdeu n 2 8 e empatou n 2 3 jogos. Portanto,
les é igual ao número de formas pelas quais podennn
11
1
nnn
22
2
881
81
1
nnn
22
2
335
35
5
31
31
31 3 3n3nn
22
2
11
11
11
55
5
31
31
31 3 3n3nn
55
5
42
42
42 nn n
55
5
14
14
14 mos escolher três vértices do pentágono, ou seja,
n 514, isto é, o time venceu 14 partidas.
53 4 33
10
510 .
6
(
(
2
3
3n 5 42
ro divisível por 3, um deve ter resto 0, um deve ter
resto 1 e um deve ter resto 2; logo, eles podem ser
escolhidos de 4 maneiras (2 3 2 315 4 ) diferentes
e, para cada escolha podemos ordenar os algarismos de 6 maneiras (3 3 2 315 6 ) diferentes. Logo,
a quantidade de números nas condições dadas é
igual a 24 (4 3 6 5 24).
)
)
4 Resposta: (D)
22 005 (22 11)
 22 007 1 22 005 
3 2 006 5 2 3 2 006 5 4 012
 2 006 2 004  3 2 006 5 2 004 2
2 (2 11)
2 12 
22 005 (22 11)
3 2 006 5 2 3 2 006 5 4 012 . A soma dos algarismos do nú22 004 (22 11)
mero 4 012 é 7.
5 Resposta: (B)
Os algarismos ímpares são 1, 3, 5, 7 e 9. Para que o
número seja divisível por 3, a soma dos seus 3 algarismos deve ser múltiplo de 3. Os conjuntos de três
algarismos nessas condições são {1, 3, 5}, {3, 5, 7},
{5, 7, 9} e {1, 5, 9}. Com cada um desses conjuntos podemos formar seis números diferentes. Por exemplo, para o primeiro, temos os números 135, 153, 315,
351, 513 e 531. Portanto, há 24 números (4 3 6 5 24 ).
Outra solução: o resto da divisão dos algarismos
ímpares por 3 é igual a 0 (no caso de 3 e 9) ou 1 (no
caso de 1 e 7) ou 2 (no caso do 5). Para que a soma
de três desses algarismos diferentes dê um núme-
(
)
8 Resposta: (E)
Entre quatro números naturais consecutivos há
sempre um múltiplo de 3 e um múltiplo de 4.
O produto desses quatro números é múltiplo de
3, logo a soma de seus algarismos é divisível por
3 e, além disso, é múltiplo de 4, isto é, seus dois
últimos algarismos formam um número divisível
por 4. O único número nessas condições é 1 680
(5 3 6 3 7 3 8 51 680 ).
89
9 Resposta: (A)
O intervalo de tempo entre a partida e o primeiro
encontro é igual ao intervalo de tempo entre o primeiro encontro e o segundo encontro, no ponto de
partida. Isso acontece porque, ao se inverterem as
velocidades, a situação seria a mesma se cada um
deles retornasse ao ponto de partida pelo caminho
que veio, com a mesma velocidade. Portanto, eles
chegarão no mesmo instante, ou seja, o tempo que
um irá esperar pelo outro será igual a 0.
16 Resposta: (B)
11 Resposta: (C)
Traçando retas paralelas aos lados, verificamos que
o perímetro da figura é o mesmo que o de um quadrado de lado 20 cm, ou seja, 80 cm.
18 Resposta: (D)
Colocando o Tangram sobre uma malha quadriculada, a região sombreada ocupa 3 quadradinhos
3
da área do Tanda malha e sua área é, portanto,
16
3
gram, ou seja, 12 cm2
? 64 512 .
16
A 15p 17
7
5
5 5p 1 , con3
3
3
cluímos que o resto da divisão de A por 3 é igual
ao resto da divisão de 7 por 3, ou seja, 1. De forma
análoga, o resto da divisão de A por 5 é o mesmo
que o da divisão de 7 por 5, ou seja, é igual a 2.
A soma desses restos é igual a 3 (1 1 2 5 3).
Seja A515p 17 . Como
17 Resposta: (C)
Se x era a idade de Neto no final de 1994, então o
10 Resposta: (C) ano em que nasceu é 1994 2 x; de forma análoga, o
As horas possíveis são 00, 02, 04, 06, 08, 20 e 22, totaano em que sua avó nasceu é 1994 2 2x. Assim, telizando 7 possibilidades. Para cada uma dessas homos ((1994
19942
2xx))1
1((1994
19942
222xx))5
53844
3844 3988
39882
233xx5
53844
3844 33xx5
51
ras, os minutos podem
ser
00, 02, 04, 06, 08,
..., 40, 42,
.
Portanto,
Neto com1994
1994
1994
2
2
2
x
x
x
1
1
1
1994
1994
1994
2
2
2
2
2
2
x
x
x
5
5
5
3844
3844
3844
3988
3988
3988
2
2
2
3
3
3
x
x
x
5
5
5
3844
3844
3844
3
3
3
x
x
x
5
5
5
144
144
144
x
x
x
5
5
5
48
48
48
(((
))) (((
)))
..., 48 etc., num total de 15 possibilidades (3 3 5 515).
­pleta em 2006 a idade de 60 anos
(2006 21994) 1 48 51
Portanto, o número de vezes em que o relógio exi2006 21994) 1 48 512 1 48 5 60 .
(
be apenas algarismos pares é 105 (7 315 5105).
(
12 Resposta: (D)
Se Alexandre não vai de carro e acompanha Bento,
que não vai de avião, então ambos vão de trem. Carlos não acompanha Dário e não anda de avião; logo,
é companheiro de Tomás, que não anda de trem; assim, ambos vão de carro. André, que viaja de avião,
é companheiro de Dário; logo, ambos vão de avião.
Portanto, Alexandre vai de trem, e Tomás vai de carro.
13 Resposta: (E)
Seja n o número de quadradinhos para formar
um lado de uma peça. Então, são necessários
4 ? (n 2 2) 1 4 5 4n 2 8 1 4 5 4n 2 4 quadradinhos para formar a peça inteira. Na última peça da
2445
540
40 nn5
511
11. Note que,
decoração temos 44nn2
para contar o número de quadradinhos utilizados,
basta observar que cada peça da esquerda se encaixa na da direita. Se encaixarmos todas, teremos
um quadrado completo de lado igual a 11 quadradinhos. Portanto, o número de pastilhas utilizadas foi
121 (112 5121).
)
19 Resposta: (E)
A palavra BRASIL tem 6 letras diferentes. Fixando
a primeira letra à esquerda, restam 5 letras. O número de palavras que se obtém permutando essas 5 letras é 120 (5 3 4 3 3 3 2 315120 ). Portanto,
após fixar à esquerda as letras A, B e I, teremos listado 360 palavras (3 3120 5 360 ). Obedecendo à
ordem alfabética, a próxima letra a ser fixada é L;
escrevendo as demais letras em ordem alfabética,
teremos a palavra LABIRS.
14 Resposta: (C) O tabuleiro contém 95 3 95 5 9 025 casas. Nas linhas ímpares, a sequência é crescente, e nas linhas
pares, é decrescente. Portanto, na 95a linha, a última
casa da direita apresenta o maior múltiplo de 4 no
tabuleiro, ou seja, Sara escreveu na casa U o número
36 100 (9 025 3 4 5 36 100 ).
20 Resposta: (A)
15 Resposta: (C)
Supondo que x seja o número de horas por dia,
Como os quadrados pequenos dividem o maior em
então x também é o número de dias por semaquatro quadriláteros congruentes, a área pintada é
na, o número de semanas por mês e o número de
igual à soma das áreas dos dois quadrados menomeses por ano. Logo, o número de horas por ano
res, ou seja, 800. Como a área pintada do quadrado
44
é xx??xx??xx??xx5
5xx445
544096
096 xx445
5221212 xx445
5((2233))
xx5
522335
588
maior é igual à sua área não pintada, concluímos
4
4
4
12
4
3
3
x ? x ? x 5 xmaior
5 4 096
2 dax 5 (2 )
x 5 2 5 8. Portanto, o número de semanas por
que a área dox ?quadrado
é igualx a572%
mês é 8.
área total pintada, ou seja, 576 ( 0, 72 3 800 5 576 ).
90
SEGUNDA FASE – parte A
••••••
SEGUNDA FASE – parte B
••••••
1 Resposta:
a) Há 900 números ( 999 2100 115 900) de três al2 2 2
2
2
1 2 1 3 1  1 2 004 1 2 005 5 2 1 2 1 2 1  1 2 1 2 5 2 005 ?garismos
2 5 4 010 escritos em cartões amarelos, e 9 000

2 2
2
2
2
2 005 parcelas iguais
números
(9 999 21000 115 9 000) de quatro al22 005 22 006
1  1 2 004 1 2 005 5 2 1 2 1 2 1  1 2 1 2 5 2 005 ? 2 5 4 010 . A soma
garismos
escritos
em cartões azuis. Ao todo, foram

2
2
2 005 parcelas iguais
utilizados 9 900 cartões (900 1 9 000 5 9 900 ).
dos algarismos desse número é 5 ( 4 1 0 111 0 5 5).
b) Como existe a possibilidade de serem retirados
todos os cartões amarelos antes de aparecer algum azul, para Jade ter certeza de que há dois
2 Resposta:
cartões azuis entre os retirados ela deverá retirar
Como 20% da massa total dessa pessoa correspon902 cartões ( 900 1 2 5 902).
dem à massa de gordura, ela tem 20% ? 100 5 20 kg
de gordura. Ela perdeu 40% da sua gordura, ou seja,
2 Resposta:
perdeu 40% ? 20 5 8 kg de gordura. Como ela manteve os demais índices, no final do regime ela pesaComo cada quadradinho tem 1 cm2 de área, o lado
va 92 kg (100 2 8 5 92).
de cada um mede 1 cm.
1 Resposta:
2
3
4
2 005
2 006
3 Resposta:
A soma dos algarismos dos números de dois algarismos varia de 1 a 18. Dessas somas, as que são quadrados perfeitos são 1, 4, 9 e 16. Temos, então:
• Soma 1: número 10
• Soma 4: números 13, 22, 31 e 40
• Soma 9: números 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 e 90
• Soma 16: números 79, 88 e 97
Portanto, nas condições propostas, há 17 números.
4 Resposta: A quantidade inicial de algarismos é 189
a) Há 20 quadradinhos pintados de cinza. Logo,
(9 1 2 3 90 5189 ), dos quais 94 aparecem nas poa área da figura formada é 20 cm2 (20 ? 1 cm2 5 20 cm2
sições pares e 95 nas posições ímpares. Apagados
2
2
os algarismos que aparecem nas posições pares, 20 ? 1 cm 5 20 cm ) e como há 8 segmentos verticais à
esquerda e 8 à direita além de 9 segmentos hosobram 95 algarismos; desses, 47 estão nas posirizontais pela parte de cima e 9 pela debaixo, o
ções pares e 48 nas posições ímpares. Repetindo a
perímetro, que é a soma das medidas de todos
operação, restam 48 algarismos, sendo 24 algarisos lados, é 34 cm (2 ? 8 1 2 ? 9 516 118 5 34).
mos em posições pares e 24 em posições ímpares.
b) O quadriculado inteiro é um retângulo de lados
Na terceira aplicação da operação restam 12 alga8 cm e 9 cm, e, portanto, de perímetro 34 cm
rismos e, na quarta, sobram 6 algarismos.
(2 ? 8 1 2 ? 9 516 118 5 34). Deste modo, o valor
máximo
da área que podemos obter é quando
5 Resposta: a
figura
for
igual a todo o quadriculado e, assim,
2
Como a área da folha é 300 cm , cada quadrado
a área será 72 cm2 (8 ? 9 5 72).
300
destacado tem área 25 cm2 5 25 e, portanto,
12
lado medindo 5 cm. Logo, o volume desse cubo é
3 Resposta:
125 cm3 (53 5125).
a) Ela escreveu em cada uma das 9 primeiras linhas,
na seguinte ordem, 1, 11, 21, 1 112, 3 112, 211 213,
312 213, 212 223 e 114 213. Logo, na 10a linha ela
6 Resposta:
escreveu 31 121 314.
A soma dos 27 números escritos 1 5 9 Y
b)Esmeralda
escreveu em cada uma das primeiras
na tabela é igual a 3 vezes o X e a 2 6 7 Y
linhas,
na
seguinte
ordem, 01, 1 011, 1 031, 102 113,
9 vezes o Y. Como X é a soma dos 3 4 8 Y
10 311 213,
10 411 223,
1 031 221 314, 1 041 222 314,
números de cada coluna, temos 4 9 2 Y
1 031 321 324,
1 031 223 314,
1 031 223 314, ..., e
X 511 2 1 3 1 1 9 5 45. Por­tan­ 5 7 3 Y
a
per­
c
ebeu
que,
a
partir
da
10
linha, o número
to: 3 ? (11 2 1 3 1 1 9) 5 9 ? Y
3 ? 45
6 589 ? Y1 Y Y 515
1 031 223 314 começa
a
se
repetir.
7 2 6 Y
1 3 1 1 9) 5 9 ? Y 3 ? 45 5 9 ? Y
Y 515 .
Portanto, os dois primeiros algarismos da es­
Logo, X 1 Y 5 45 115 5 60. O dese- 8 3 4 Y
9
1
5
Y
querda do número que ela digitou na 2 006a linho ao lado mostra uma forma de
X
X
X
nha
serão 1 e 0.
escrever os números na tabela.
(
)
91
7 Resposta: (C)
Se x era a idade de Neto no final de 1994, então o
ano em que nasceu é 1994 2 x; de forma análoga,
o ano em que sua avó nasceu é 1994 2 2x. Assim,
temos: (1 994 2 x) 1 (1 994 2 2x) 5 3 844 3 988 2 3x 5 3 844
1 Resposta: (D)
994
9942
2
2xx)x)1
1
1(1((11994
994
9942
2
2222xx)x)5
5
5333844
844
844 33 3988
988
9882
2
2333xxx5
5
5333844
844
844 3 33xxx5
5
5144
144
144 xxx5
5
548
48
48
(21005
((11994
)
)
2 (22 11)
 22 007 1 22 005 
Portanto, Neto completa em 2006 a idade de
3 2 006 5 2 3 2 006 5 4 012
 2 006 2 004  3 2 006 5 2 004 2
60 anos (2006 21994) 1 48 512 1 48 5 60 .
2 (2 11)
2 12 
Nível 2 (7o. e 8o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
22 005 (22 11)
3 2 006 5 2 3 2 006 5 4 012. A soma dos algarismos do nú22 004 (22 11)
mero 4 012 é 7.
5 4b
2 Resposta: (C)
Traçando retas paralelas aos lados, verificamos que o perímetro
da figura é o mesmo
que o de um quadrado de lado 20 cm, ou
seja, 80 cm.
3 Resposta: (C)
10
10aa1
1bb5
555((aa1
1bb))
a 5 4, b 5 5
54 5 6 3 9
8 Resposta: (A)
Trace retas horizontais pelos vértices mais baixos
dos três quadrados:
75º
90°
55aa5
544bb
30º
aa5
544,, bb5
555
54
545
5663
399
4 Resposta: (A)
O intervalo de tempo entre a partida e o primeiro
encontro é igual ao intervalo de tempo entre o primeiro encontro e o segundo encontro, no ponto de
partida. Isso acontece porque, ao se inverterem as
velocidades, a situação seria a mesma se cada um
deles retornasse ao ponto de partida pelo caminho
que veio, com a mesma velocidade. Portanto, eles
chegarão no mesmo instante, ou seja, o tempo que
um irá esperar pelo outro será igual a 0.
xx
126º
Então, os ângulos à esquerda e à direita do vértice
do quadrado da esquerda são 60o e 30o, respectivamente; os ângulos à esquerda e à direita do vértice do quadrado do meio são, respectivamente,
180o 2 126o 2 30o 5 24o e 90o 2 24o 5 66o; os ângulos à esquerda e à direita do vértice do quadrado da
direita são, respectivamente, 180o 2 75o 2 66o 5 39o
e 90o 2 39o 5 51o. Enfim, no triângulo retângulo com
um dos ângulos igual a x, temos x 5 90o 2 51o 5 39o.
9 Resposta: (B)
O número 24 5 23 3 3 tem somente dois divisores
cubos perfeitos: 1 e 8. Assim, se é possível representar 24 na forma a2b3, então b 5 1 ou b 5 2 e, portanto, a2 5 24 ou a2 5 3, o que é impossível.
Além disso, na alternativa A podemos tomar a 5 3
e b 5 2; na alternativa C, podemos tomar a 5 24 e
b 5 c 5 1; na alternativa D, podemos tomar a 5 3,
b 5 1 e c 5 2; e na alternativa E, podemos tomar
a 5 2, b 5 3 e c 5 1.
5 Resposta: (C)
A
30
10 Resposta: (D)
E
x
B
D
C
o o
o o
o o

ADE
ADE
ADE
11
x5
x5
3030
1
1ABD
ABD
ADE
5
5AED
AED
55
3030
11
ABD
ABD
22
x5
x5
x1
x1
ACD
ACD x 5
x5
1515
o
o

ADE
ADE55
AED
AED530
530 11
ABD
ABD22xx55xx11
ACD
ACD xx5515
15
11)
oo
6 Resposta: (A)
(veja as figuras acima)
Sejam n 2 1, n e n 1 1 os três números inteiros conContagem:
secutivos. Temos:
9 quadradinhos 1 3 1
2
2
2
2
3 2, mas cada um deles tem um ins((nn2
211))1
1nn1
1((nn1
111))5
5((nn2
211))??nn??((nn1
111)) 33nn5
5nn((nn 2
211)) nn 2
2115
5334 quadrados
nn22 5
544 nn252
52
22
2
2
2
2
crito,
então
o
total
é 4 3 2 5 8.
3n 5 n(n 21) n 215 3 n 5 4 n 52
1
quadrado
3
3
3,
mas com 2 quadrados inscritos,
Portanto, os números são 1, 2 e 3, e a soma dos
então
o
total
é
3.
quadrados dos três números consecutivos é 14
Total: 9 1 8 1 3 5 20
(12 1 22 1 32 514).
92
11 Resposta: (D)
Se Alexandre não vai de carro e acompanha Bento, que não vai de avião, então ambos vão de trem.
Carlos não acompanha Dário e não anda de avião;
logo, é companheiro de Tomás, que não anda de
trem; assim, ambos vão de carro. André, que viaja
de avião, é companheiro de Dário; logo, ambos vão
de avião. Portanto, Alexandre vai de trem, e Tomás
vai de carro.
16 Resposta: (C)
Vamos contar primeiro quantos números desse
tipo existem:
2 com 1 dígito
22 com 2 dígitos
23 com 3 dígitos
Cada número desejado pode ser pareado com outro trocando os dígitos 2 por 1 (e vice-versa). Por
exemplo, 122 e 211. A soma dos números em cada
par é algo do tipo: 33 ... 3.
Assim, a soma total é:
12 Resposta: (C)
a2 3
2
4
R5
5 , pois o lado do hexágono é me­
3
6a2 3
16
tade do lado do triângulo.
Existe uma maneira bem geométrica de resolver,
basta observar a figura!
2
22
23
3 3 1 3 33 1 3 333 51 401
2
2
2
17 Resposta: (B)
Pela desigualdade triangular, os números reais a,
b e c são medidas dos lados de um triângulo se, e
somente se:
  1 1 1
c
 cc
 a1ab1a.
1.
2
b
cb .
c c  1212
c1.
c.
cc .
c c   2 2 2



  1 11
 
 
b.c1.
2
a
 b1
bc1
ac .
a a  1212
a1.
a.
aa .
a a  a a
   c 1 a . b    12 b . b    2 2 2
c
1
c
a
1
.
a
.
b
b
1
2
1
b
2
.
b
.
b
b
 
 
  1
11
b
b
 b
2 2 2
18 Resposta: (C)
Devemos ter c(c 1 1) 5 30, então c 5 5. Para
a 1 b 5 25, temos 24 soluções diferentes para o par
(a, b). Daí, a resposta correta seria 24.
13 Resposta: (E)
Sabemos que n3 2n é divisível por 6 para todo
n 51, 2, 3, ..., e esse é o máximo divisor comum
porque 23 2 2 5 6.
19 Resposta: (B)
1o) Existem 9 3 8 números de dois dígitos distintos,
exatamente metade deles é bonito, e a outra
metade não é. Logo, existem 36 números boni8
tos 9 3 5 36 .
2
2o) Existem 8 números bonitos que terminam em
1, 7 que terminam em 2, ..., 1 que termina em 8.
Logo, existem 36 números bonitos: 8 1 7 1 ... 1 1 1 5 36
14 Resposta: (C)
Seja H o número de filhos homens e M o número
de filhas mulheres. As afirmações são equivalentes a
H 2 1 5 M 1 3 e H 5 2(M 2 1). Resolvendo o sis­
tema, temos: M 5 6 e H 5 10; logo, a quantidade de
filhos é 16.
(
15 Resposta: (D) Colocando o Tangram sobre uma malha quadriculada, a região sombreada ocupa 3 quadradinhos da
3
malha e sua área é, portanto,
da área do Tan16
3
gram, ou seja, 12 cm2 ? 64 5 12 .
16
(
)
20 Resposta: (C)
A soma de todas as notas é 400 (71 1 76 1 80 1 1 82 1 91 5 400). A média de k números é inteira
quando a soma dos k números é divisível por k. Assim, como 400 é divisível por 4, e a soma das quatro
primeiras notas deve ser divisível por 4, o último
número a ser digitado é múltiplo de 4, ou seja, é
76 ou 80.
Se o último número é 76, a soma dos outros quatro
números é 324 (400 2 76 5 324), que é múltiplo
de 3. Seguindo um raciocínio análogo ao anterior,
obtemos o penúltimo número a ser digitado, que
é múltiplo de 3. Mas nenhum dos cinco números é
múltiplo de 3. Absurdo.
Logo, o último número é 80 (de fato, podem ocorrer as “ordens de digitação” 76, 82, 91, 71, 80 e 82,
76, 91, 71, 80).
)
93
21 Resposta: (C)
Multiplicamos primeiro os dois últimos radicais:
2 Resposta:
Podemos representar os três inteiros consecutivos
por n 21, n e n 11 . Temos: (n 2 1)2 1 n2 1 (n 1 1)2 5 5 302 n2 2 2n 1 1 1 n2 1 n2 1 2n 1 1 5 302 3n2 1 2 5 302 3n2 5 300 n2 5 100 n 5 210 ou n 5 10
Portanto, os três inteiros consecutivos são: 211,
210 e 29 ou 9, 10 e 11.
Se admitirmos que estamos falando de inteiros
positivos, a resposta é 30 (9 110 1115 30 ).
Rigorosamente falando, a resposta deveria ser: se
os inteiros são positivos, então sua soma é 30 e,
se os inteiros são negativos, então sua soma é 230.
21 21 21 3 ? 22 21 21 3
Obtemos :
22 21 3
Agora, multiplicamos o fator encontrado pelo segundo fator da expressão:
22 21 3 ? 21 21 3
E obtemos: 2 2 3
Finalmente, multiplicamos esse resultado pelo primeiro fator da expressão:
3 Resposta:
Observe que os triângulos
AXY e ANM são congruentes, e YXA 5 AMN.
Assim, XY  MN e como XY 5 5 MN 5 MC 5 NB, segue
que os quadriláteros XYCM
e XYNB são paralelogramos.
Como A é ponto médio de
XM e NY, temos:
22 3 ? 21 3 5 1
22 Resposta: (E)
2 a 9 2 8 números 2 8 algarismos
10 2 99 2 90 números 2 180 algarismos
Ainda restam 1 818 algarismos e, portanto, ainda
conseguimos formar 606 números de 3 algarismos. Assim, o livro de Ludmilson tem 705 páginas
(9 1 90 1 606 5 705).
2 
[AYC] 5 [BAX] 5   ? 12 5 8
3
23 Resposta: (D)
Se x 1 y 1 z 50, então x3 1 y3 1 z3 5 3xyz . Por outro
lado:
 1
1
1  x3 1 y3 1 z3 3xyz
3
5 3 3 35 2 2 2
 3 3 1 3 3 1 3 3 5
xz
yz 
x3y3z3
xyz
xyz
x y
8
Logo: [XYCB] 5   ? 12 5 32
3
25 Resposta: (D)
Portanto:
DAB  GAF,
LAL
N
M
A
B
X
Y
4 Resposta:
Cada retângulo da decomposição possui um número par de casas, pois possui a mesma quantidade de
casas brancas e pretas. Veja que a maior quantidade de números pares distintos tais que a soma não
supera 64 é: 2 1 4 1 6 1 8 1 10 1 12 1 14 5 56,
pois 2 1 4 1 6 1 8 1 10 1 12 1 14 1 16 5 72,
ou seja, a soma de 8 números pares distintos é sempre maior que 64. Portanto, a decomposição pode
ter, no máximo, 7 retângulos. Veja abaixo uma decomposição com 7 retângulos.
24 Resposta: (C)
As horas possíveis são 00, 02, 04, 06, 08, 20 e 22,
totalizando 7 possibilidades. Para cada uma dessas
horas, os minutos podem ser 00, 02, 04, 06, 08, ..., 40,
42, ..., 48 etc., num total de 15 possibilidades (3 3 5 5 5 15). Portanto, o número de vezes em que o relógio
exibe apenas algarismos pares é 105 (7 315 5105).

AG 1
5

AD
2


AF 1
5

AB 2

o
 DAB 5 60 1GAB 5GAF
C
com razão de
semelhança 2
BD
52
FG
SEGUNDA FASE – parte A
••••••
1 Resposta:
Os números da coluna do meio podem ser dados
por: 1 1 2 1 4 1 6 1 8 1...1 2n 5 n2 1 n 1 1. Dessa
forma, o número do topo é: 442 1 44 1 1 5 1981.
Como 1 981 está no 45o andar, e 2 006 2 1 981 5 25,
2 006 deve estar no 20o andar.
94
5 Resposta:
Fazendo as primeiras transformações, obtemos a
seguinte sequência:
(1, 1, 1)
(1, 1, 0)
(1, 0, 1)
(0, 2, 21)
(0, 23, 3) (0, 6, 26) ...
Primeiramente, vemos que a partir da quarta terna, o primeiro vai ser sempre igual a 0 (zero). Então,
a partir desta terna, as transformações são do tipo:
(0, b, c) (0, 2b 1 c, b 2 c). Logo, a partir da quarta
terna ordenada da sequência, a soma dos termos de
todas as ternas será igual a 0 0 2 b 1 c 1 b 2 c 5 0.
Logo, a soma dos três termos da terna que ocupará
a 2 006a posição nesta sequência é igual a 0 (zero).
2 Resposta:
B
I
Q
H
C
M
Como o triângulo é isósceles, concluímos que:
CBM 5 ABM e ACB 5 90o 2 a
Com isso, CAQ 5 a, pois AQ é uma altura. Como AI
é bissetriz, então CAI 5 IAB 5 2a.
Finalmente, no AMB:
a 1 a 1 2a 1 a 5 90o a 5 18o
A
SEGUNDA FASE – parte B
••••••
3 Resposta:
a) Subtraindo as duas equações dadas, temos:
a2 2b2 5 6(b 2 a), ou seja, (a 2b)(a 1b 1 6) 5 0.
Como a  b , temos a 1b 526 .
b)Da parte a, elevando ao quadrado, a2 1b2 1 2ab 5 36
2
a 1b2 1 2ab 5 36 . Mas, somando as equações dadas,
temos: a2 1b2 5 6(a1b) 110ab 5236 110ab.
Portanto: 236 1 2ab 110ab 5 36 , o que dá ab56.
1 Resposta:
Vamos usar a notação:
S par 5 soma de todas as casas de numeração par;
S ímpar 5 soma de todas as casas de numeração
ímpar.
a) Para este caso, temos: S par 5 56 (2 1 4 1 6 1 8 1 1 10 1 12 1 14 5 56) e S ímpar 5 64 (1 1 3 1 5 1 1 7 1 9 1 11 1 13 1 15 5 64). Como a diferença entre as somas é par, e S ímpar . S par, há a
necessidade de retirar pelo menos duas casas do
lado ímpar como, por exemplo, as casas de numeração 7 e 1. Aí, teremos S par 5 S ímpar 5 56.
Assim, o prefeito deve derrubar pelo menos
2 casas.
b)Para este caso, temos: S par 5 72 (2 1 4 1 6 1 1 8 1 10 1 12 1 14 116 5 72) e S ímpar 5 64
(1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13 115 5 64). Como a
diferença entre as somas é par, e S par . S ímpar,
pode-se retirar apenas uma casa do lado par: a
casa de numeração 8.
Então, teremos S par 5 S ímpar 5 64. Assim, o
prefeito deve derrubar 1 casa.
c) Para este caso, temos: S par 5 2 1 4 1 6 1 8 1 1 10 1 ... 1 2 006 e S ímpar 5 1 1 3 1 5 1 ... 1 1 2005. Assim, temos S par 2 S ímpar 5 1 003
(2 2 1) 1 (4 2 3) 1 ... 1 (2 006 2 2 005) 5 5 1 003. Como 1 003 é ímpar, uma única casa
não é suficiente, mas retirar as casas de numeração 1 006 e 3 basta para que S par 5 S ímpar.
Assim, o número mínimo de casas que o prefeito
deve derrubar é 2 casas.
4 Resposta:
Quando trocamos um inteiro positivo pela soma
de seus algarismos, não alteramos o resto da divisão por 9. Isso é explicado pela decomposição do
inteiro na forma:
abcd 5 1 000a 1 100b 1 10c 1 d 5 999a 1 99b 1 1 9c 1 a 1 b 1 c 1 d
Daí, temos:
abcd 2 ( a 1 b 1 c 1 d ) 5 999a 1 99b 1 9c 5 5 9(111a 1 11b 1 c)
Logo, abcd e a 1 b 1 c 1 d deixam o mesmo resto na divisão por 9.
Como todos os números que restaram no quadro estão entre 0 e 9, inclusive, todos os números
1 restantes no quadro são originados a partir de
números que deixam resto 1 na divisão por 9 (1,
10, 19, 28, 37, ..., 1 999). Da mesma forma, todos os
números 2 restantes no quadro são originados a
partir de números que deixam resto 2 na divisão
por 9 (2, 11, 20, 29, 38, ..., 2 000). Comparando, vemos que cada um dos números 1 e 2 aparece 223
vezes no quadro. Portanto, ambos os números (1 e
2) aparecem o mesmo número de vezes.
95
XXVII OLIMPÍADA
BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2005
RESOLUÇÕES
6 Resposta: (B)
O voo 7 000 000 de quilômetros de 1 abelha é equivalente ao voo de 1 000 quilômetros de 7 000 abelhas iguais a ela. Multiplicando por 10 o número de
galões, podemos multiplicar por 10 o número de
abelhas, ou seja, 70 000 abelhas.
Nível 1 (5o. e 6o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
Esta prova também corresponde à prova da
Primeira Fase da Olimpíada Regional nos
Estados de:
AM – AL – BA – PA – PB – PI – PR – RS – RN – SC
1
2
3
7 Resposta: (E)
Seja p a população de Tucupira há três anos. Atualmente, Tucupira tem p 1 50% de p 5p 1 0, 5p 51, 5p,
população igual à atual de Pirajussaraí. Temos:
Resposta: (A)
1, 5p 11, 5p 5 9 000 ⇔ 3p 5 9 000 ⇔ p 5 3 000
Como 119 268 916 é divisível por 13, já que
Há três anos, a soma das populações das duas ci9 174 532 313 5119 268 916 , podemos concluir
dades era de 7 500 pessoas: 1, 5p 1 p 51, 5 3 3 000 1 3 000 5 4 500
que os números da forma 119 268 9161, 51p 1
x ,ppara
51, 5 3 3 000 1 3 000 5 4 500 1 3 000 57 500.
x inteiro, são divisíveis por 13 se, e somente se, x é
divisível por 13.
8 Resposta: (A)
Dentre os números apresentados, o número
1
100 000
1
10
Como de 100 000 5
5 20 000 e de 100 000 5
119 268 916 1 (213) 5 119 268 903 é o único di5
5
4
visível por 13. 1 de 100 000 5 100 000 5 20 000 e 1 de 100 000 5 100 000 5 25 000, concluímos que a
5
5
4
4
perda da safra está avaliada entre R$ 20 000,00 e
Resposta: (E)
R$ 25 000,00. Logo, um possível valor para a perda
Quando são retiradas três meias, uma das seguintes
é R$ 21 987,53.
situações irá ocorrer: (i) as três meias são vermelhas,
ou (ii) duas são vermelhas e uma é branca, ou (iii)
9 Resposta: (D)
uma é vermelha e duas são brancas, já que não haEm 600 números inteiros consecutivos positivos,
via meias pretas entre as retiradas. Portanto, pelo
600
há 200 múltiplos de 3
5 200 e 150 múltiplos
menos uma meia é vermelha.
3
600
de 4
5150 ; entretanto, alguns desses núme4
Resposta: (A)
ros aparecem duas vezes nessa contagem, pois são
A mistura final tem 0,2 litro de polpa e 31 0,8 5 3,8
múltiplos dos dois números, ou seja, são múltiplos
litros de água. A porcentagem de polpa em relação
600
5 50 ,
de 12. Como há 50 desses múltiplos
0, 2
2
12
ao volume da mistura é 5%
5 5 0, 05 5 5% .
concluímos que o número de páginas com defeito
4
40
é 300 (200 1 150 2 50 5 300).
Resposta: (E)
Arnaldo:
10 Resposta: (E)
1 bilhão 5 1000 000 31000 000 51000 000 000 000 .
A partir da figura, vemos que o comprimento a dos
retângulos menores é o dobro da sua largura b. TeProfessor Piraldo:
mos, então:
1 bilhão 5 1 000 × 1 000 000 51 000 000 000 .
a 1b 5b 1 2b 5 3b 5 21, ou seja, b 5 7 cm e a 514 cm.
A diferença é 999 000 000 000
Portanto, o comprimento do retângulo maior é
1 000 000 000 000 21 000 000 000 5999 000 000 000.
4b 5 28 e sua área é 588 cm2 (213 28 5 588 ).
(
(
4
)
(
)
(
)
11 Resposta: (A)
5 Resposta: (B)
Olhando o relógio do profesSeja x o primeiro termo. Como o segundo termo é 1,
sor diretamente, vemos que
o terceiro termo é x11, o quarto é 11 (x11) 5 x 1 2 .
2h23min,
acorComo o quinto termo é 2 005: (x 11) 1 (x 1 2) 5 2x 1 3 5 2 005ele
⇔ 2marca
x 5 2 002
⇔ x 51de
001
do
com
a
figura
(1).
Com
a
x 11) 1 (x 1 2) 5 2x 1 3 5 2 005 ⇔ 2x 5 2 002 ⇔ x 51 001 .
reflexão
no
espelho,
o
relógio
Logo, o sexto termo é 3 008
?1 0011 5 5 3 008
(x 1 2) 1 (2x 1 3) 53x 1 553aparecerá
como na figura (2).
.
x
1
2
1
2
x
1
3
5
3
x
1
5
5
3
?
1
001
1
5
5
3
008
( ) (
)
96
(1)
)
(2)
12 Resposta: (C)
Traçando paralelas aos lados, podemos dividir a
placa em quadrados de 1 metro de lado, conforme
indicado na figura. Então, a área pintada é igual a
12 metades desses quadrados, ou seja, ela equivale a 6 desses quadrados. Como a placa total tem 16
desses quadrados, concluímos que a fração da área
6 3
pintada em relação à área da placa é:
5 .
16 8
17 Resposta: (D)
Na primeira balança, temos 3 triângulos 1 1 círculo 5 6 quadrados. Na segunda, vemos 2 triângulos 1 4 cír­culos 5 8 quadrados, ou seja, 1 triângulo 1 2 círculos 5 4 quadrados.
Logo, 4 triângulos 1 3 círculos 5 (3 triângulos 1
1 1 círculo) 1 (1 triângulo 1 2 círculos) 5 6 quadrados 1 4 quadrados 5 10 quadrados.
14 Resposta: (B)
Como ABC e DEF são triângulos equiláteros, seus
ângulos internos medem 60º. No triângulo AGD:
m(GÂD) 5180° 2 75° 2 60° 5 45° e
ˆ ) 5180° 2 65° 2 60° 55
m(GDA
55°
ˆ 5180° 2 45° 2 55° 5 80° e no triPortanto, m(AGD)
ângulo CGH: x 1 80° 1 60° 5180° ⇔ x 5 40°
19 Resposta: (C)
Como 365 dividido por 7 dá quociente 52 e resto 1,
e 366 dividido por 7 dá o mesmo quociente e resto
2, em um ano, bissexto ou não, há no máximo 53 domingos. Um mês tem entre 28 5 4 ? 7 e 315 4 ? 7 1 3
dias, então todo mês tem 4 ou 5 domingos. Como
53 dividido por 12 dá quociente 4 e resto 5, há no
máximo 5 meses com 5 domingos.
Um exemplo de ano com cinco meses com cinco
domingos é um ano iniciado no domingo.
18 Resposta: (D)
Os inteiros de dois algarismos formam a sequência: 10, ..., 15, (16), 17, ..., 24, (25), ..., (36) ..., ( 49), . .. (64), ... (81), 82, ..., 9
10, ..., 15, (16), 17, ..., 24, (25), ..., (36) ..., ( 49), . .. (64), ... (81), 82, ..., 99 em que os números entre parênteses são quadrados perfeitos. O espaçamento entre
esses quadrados é crescente: de 16 a 25 há 10 números, de 25 a 36 há 12 números, de 36 a 49 há
14 números etc. Portanto, o único conjunto de
10 números dessa sequência contendo dois quadrados perfeitos é 16, 17, ..., 25. Note que, se começarmos antes de 16, a sequência de dez números
terminará antes do 25, e se começarmos depois do
13 Resposta: (B)
16, a sequência de dez números conterá somente
A transparência é igual a 0,7 3 0,9 5 0,63. Logo, a reum quadrado perfeito. A soma dos extremos desse
dução da radiação é 37% (1 2 0,63 5 0,37 5 37%).
conjunto é 41 (16 1 25 5 41).
20 Resposta: (C)
Observe que as cinco casas marcadas com * devem
ter cores diferentes:
*
*
*
*
15 Resposta: (B)
Para fazer uma peça, são necessários 45 centímetros
(3 310 1 3 3 5 5 45) de arame. Como 20 metros 5
5 2 000 centímetros, e 2 000 dividido por 45 dá quociente 44 e resto 20, o serralheiro irá fazer 44 peças
completas, ficando com uma sobra de 20 centímetros, o que lhe possibilitará fazer as duas primeiras
partes de uma peça, na forma
*
Sendo 1, 2, 3, 4 e 5 cores distintas, uma possível coloração é:
2
4
5
4
1
2
3
2
4
.
SEGUNDA FASE 2 parte A
••••••
16 Resposta: (B)
Nas condições dadas, a distribuição dos números
pelos círculos é a representada a seguir. A soma dos
números escritos é 46.
1 Resposta:
O tanque contém uma mistura de 30 litros, sendo
6 litros (0, 2 3 30 5 6) de álcool e 24 litros (30 2 6 5
5 24) de gasolina. Portanto, para que as quantidades
de gasolina e álcool fiquem iguais, devem ser colocados no tanque 18 litros (24 2 6 5 18) de álcool.
97
2 Resposta:
Como 2 é a média aritmética de 1 e a, podemos
11 a
5 2, logo 1 1 a 5 4 ⇔ a 5 3 ; por2
11 3 1 2 1 2
11 2 1 3
tanto, b 5
5 2;
5 2; c 5
4
3
11 3 1 2 1 2 1 2
d5
5 2. Esses exemplos suge5
rem que todos os termos, a partir do terceiro, são
iguais a 2. De fato, quando introduzimos em uma
sequência um termo igual à média de todos os termos da sequência, a média da nova sequência é a
mesma que a da sequência anterior. Assim, o último
termo da sequência dada é 2.
escrever
a
c
b
(ab) ? (ac) ? (bc) 5 600 ? 1 200 ? 800 ⇔
⇔ a2 ? b2 ? c2 5 2 ? 3 ? 102 ? 22 ? 3 ? 102 ? 23 ? 102 ⇔
⇔ (abc) 5 26 ? 32 ? 106 ⇔ abc5 26 ? 32 ? 106 ⇔
2
⇔ abc 523 ? 3 ? 103 5 24 ? 1 000 cm3
Como 1 litro é igual a 1 000 cm3, concluímos que o
volume da caixa é 24 litros.
3 Resposta:
Natasha pulou os números 13, 31, 113, 130, 131, 132,
..., 139, num total de 13 números. Portanto, na última
página do seu diário escreveu o número 214 (200 1
1 13 1 1 5 214).
SEGUNDA FASE 2 parte B
••••••
1 Resposta:
4 Resposta:
1a maneira: O quadrado IJKL e o quadrado MNOP
Olhando para o último número da fila n, vemos
têm como lados as hipotenusas dos triângulos reque ele é a soma de todos os números de 1 a n. Por
tângulos dados, logo, têm a mesma área s. Fazendo
exemplo, na fila 4, o último número da fila é 10 (1 1
os dois quadrados coincidirem, concluímos que o
1 2 1 3 1 4 5 10). Note que, para obter a quantidobro da soma t das áreas dos quatro triângulos redade de números até certa fila, basta somar o nútângulos é a diferença entre as áreas dos quadrados
mero da fila ao total de números que havia antes
IJKL e EFGH, ou seja, 2t 5 92 2 32 ⇔ 2t 572 ⇔ t 5 36.
dessa fila. Assim, temos, fila 5: 15, fila 6: 21, fila 7: 28,
Assim, s 5 45 cm2 (9 1 36 5 81 2 36 5 45).
fila 8: 36, fila 9: 45, fila 10: 55, fila 11: 66, fila 12: 78, fila
2a maneira: No quadrado IJKL, seja JC 5 x. Então
13: 91, fila 14: 105.
IC 5 ID 1 DC 5 JC 1 DC 5 x 1 3. Então, no
O número de fitas adesivas horizontais entre uma
quadrado EFGH, temos HN 1 NG 5 x 1 3 1 x 5 9 ⇔ 2x 5 6 ⇔ x 5 3
fila n 2 1 e uma fila n é igual a n 2 1, e o número de
HN 1 NG 5 x 1 3 1 x 5 9 ⇔ 2x 5 6 ⇔ x 5 3. Portanto, a área do quadrado IJKL,
fitas adesivas verticais numa fila n é igual n 2 1. Porigual à soma das áreas dos quatro triângulos retanto, até a fila número 14, o número de fitas é 182:
tângulos com a área do quadrado ABCD, vale 45:
13 ? 14
(11 2 1 ... 113) 1 (11 2 1 ... 113) 5 2 ? 2 5 182
3 ? (3 1 3)
4?
1 32 5 36 1 9 5 45, e a área do quadra2
5 Resposta:
do MNOP, igual à diferença entre a área do quadraTodas as faces azuis: uma maneira.
do EFGH e a soma das áreas dos quatro triângulos
Cinco faces azuis e uma amarela: uma maneira.
retângulos, vale 45 cm2:
Quatro faces azuis e duas amarelas: duas maneiras
3 ? (3 1 3)
92 2 4 ?
5 812 36 5 45.
(duas faces amarelas opostas ou duas faces amare2
las adjacentes).
2 Resposta:
Três faces azuis e três faces amarelas: duas maneiras
Seja n 5 abc múltiplo de 11; então n 2 1 deve ser
(três azuis com um vértice comum 2 uma maneira
múltiplo de 9 e n 2 2 deve ser múltiplo de 7.
ou três azuis com uma aresta comum duas a duas
Seja c  0:
2 uma maneira).
Como
abc é múltiplo de 11, podemos ter
Duas faces azuis e quatro amarelas: duas maneiras.
a
2
b
1
c 5 0 ou a 2 b 1 c 5 11. Como abc 2 1
Uma face azul e cinco amarelas: uma maneira.
é
múlti
plo
de 9, podemos ter a 1b 1 c 215 9 ou a1b 1 c 2151
Todas as faces amarelas: uma maneira.
a
1
b
1
c
2
1
5
9
ou
a
1
b
1
c
2
1
5
18. No caso de a 1 b 1 c 215 0, teríaPortanto, o número de maneiras diferentes de pinmos
n
2
1
5
99
⇔ n 5100, que não é múltiplo de 11.
tar o cubo é 10.
Assim, simultaneamente, somente podemos ter:
6 Resposta:
a 1b 1 c 510
2b 510
b 55
Sejam a, b e c as medidas da caixa, conforme indica(i)
⇔
⇔
a
1
c
5
b
a
1
c
5
b
a1 c 55
do no desenho a seguir.
Segundo o enunciado, podemos escrever ab 5 600,
ou
ac 5 1 200 e bc 5 800. Sabemos que o volume da
a 1b 1 c 519
2b 111519
b54
caixa é abc. Utilizando as propriedades das igualda(ii)
⇔
⇔
a
1
c
5
b
1
11
a
1
c
5
b
1
11
a 1 c 515
des e de potências, podemos escrever:
98
{
{
{
{
{
{
No caso (i), existem as seguintes possibilidades para
n: 154, 253, 352, 451, que são múltiplos de 11; para
n 2 1, temos os números 153, 252, 351, 450 e 549,
que são múltiplos de 9. Para os números n 2 2, temos 152, 251, 350, 449 e 548, dos quais apenas 350
é múltiplo de 7.
No caso (ii) existem as seguintes possibilidades para
n: 649, 748, 847 e 946, que são múltiplos de 11; para
n 2 1, temos os números 648, 747, 846 e 945, que
são múltiplos de 9. Para os números n 2 2, temos
647, 746, 845 e 944, dos quais nenhum é múltiplo
de 7.
Seja c 5 0:
Neste caso, n 2 1 tem os algarismos a, b, 21 e 9.
Assim, a 1b 211 9 5 9 ou a 1b 211 9 518, ou seja:
a 1b 51 ou a 1b 510.
Como a2b 1 c 5 a2b 5 0 ou a 2b 1 c 5 a 2b 5 11,
concluímos que a 5 b. Assim, a 5 b 5 5, o que fornece os números n 5 550, n 21 5 549 e n 2 2 5 548,
que não é divisível por 7.
Portanto, a única sequência de três números inteiros consecutivos nas condições dadas é 350, 351 e
352.
ao lado. O número de vezes
em que aparece
o número 1 é
ímpar, logo, a sequência deveria começar com 1
e terminar com outro número ou começar com
outro número e terminar com 1. Nesse caso, os
outros dois números deveriam aparecer um número par de vezes, pois não estariam na ponta,
mas isso não ocorre: todos os quatro números
aparecem um número ímpar de vezes.
Nível 2 (7o. e 8o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
Esta prova também corresponde à prova da
Primeira Fase da Olimpíada Regional nos
Estados de:
AM 2 AL 2 BA 2 PA 2 PB 2 PI 2 PR2 RS 2 RN 2 SC
1 Resposta: (D)
Pela promoção, quem levar 2 unidades paga pelo
preço de 1,5 unidade, logo, quem levar 4 unidades
paga pelo preço de 3 unidades, ou seja, leva quatro
e paga três.
3 Respostas:
1a maneira:
a) Podemos representar uma sequência válida
como uma sequência de pares ordenados. O
primeiro exemplo é a sequência [(1, 1),(1, 2),
(2, 2),(2, 3),(3, 3),(3, 1)] e, a partir dela, podemos
criar outras sequências válidas movendo o par
da esquerda para a direita (ou da direita para a
esquerda). Assim, são válidas as sequências [(1, 2),
(2, 2),(2, 3),(3, 3),(3, 1),(1, 1)], [(2, 2),(2, 3),(3, 3),
(3, 1),(1, 1), (1, 2)] etc., num total de 6 sequências
diferentes. Mudando a posição dos números
dos pares ordenados, podemos criar outras 6
sequên­cias: [(2, 1), (1, 1), (1, 3), (3, 3),(3, 2),(2, 2)],
[(1, 1), (1, 3), (3, 3),(3, 2),(2, 2), (2, 1)] etc. Portanto,
de acordo com as regras dadas, há 12 modos de
colocar as peças em sequência.
2a maneira:
b)As pontas devem ter o mesmo número, pois eles
aparecem um número par de vezes (se aparecer
um número numa ponta e outro na outra, então
há pelo menos dois números que aparecem um
número ímpar de vezes, o que não ocorre). Alguma peça com dois números iguais deve aparecer
em uma das pontas, pois do contrário teríamos
três das quatro peças centrais com duas iguais,
vizinhas, o que é impossível). Sendo assim, a sequência pode ser representada por XX-XY-YY-YZ-ZZ-ZX, em que temos três possibilidades para
X, duas possibilidades para Y, e uma possibilidade
para Z, num total de 6 possibilidades (3 ? 2 ? 1 5 6)
para a sequência que começa com uma dupla. Se
a sequência terminar com uma dupla, teremos
novamente 6 possibilidades. Portanto, há 12 modos de colocar as seis peças em sequência.
c) Para cada número, existem 4 peças. Por exemplo, as peças com o número 1 estão desenhadas
2 Resposta: (B) A transparência é igual a 0,63 (0,7 3 0,9 5 0,63). Logo,
a redução da radiação é 37% (1 2 0,63 5 0,37 5
5 37%).
3 Resposta: (E)
A partir da figura, vemos que o comprimento a dos
retângulos menores é o dobro da sua largura b.
Temos, então, que a 1b 5b 1 2b 5 3b 5 21, ou seja,
b 57 cm e a 514 cm .
Portanto, o comprimento do retângulo maior é
4b5 28 e sua área é 588 cm2 (213 28 5 588).
4 Resposta: (E)
Arnaldo:1 bilhão
(1 000 000 31 000 000 51 000 000 000 000)
Professor Piraldo: 1 bilhão
(1 000 31 000 000 51 000 000 000 )
A diferença é 999 000 000 000
(1 000 000 000 000 21 000 000 000 5999 000 000 000 )
5 Resposta: (D)
Em 600 números inteiros consecutivos positivos,
600
há 200 múltiplos de 3
5 200 e 150 múltiplos
3
600
de 4
5150 ; entretanto, alguns desses núme4
ros aparecem duas vezes nessa contagem, pois são
múltiplos dos dois números, ou seja, são múltiplos
600
de 12. Como há 50
5 50 desses múltiplos,
12
concluímos que o número de páginas com defeito
é 300 (200 1150 2 50 5 300 ).
(
(
)
(
99
)
)
6 Resposta: (B)
12 Resposta: (A)
O volume de platina produzido na história é:
Se P é a fração de Paulistas, entre os Paulistas e Baia1 0,1(1 2 P) 5 0,2. Logo, 0,8 P 5 0,1,
110 toneladas 1 000 000 g 1 cm3
1 m3 nos temos: 0,9P
50 anos ?
?
?
?
 256 m3
3
seja, P 5 0,125 5 12,5%.
1 ano
1 tonelada 21,45 g 1 000 000 cmou
00 000 g 1 cm3
1 m3
?
?
 256 m3 , volume próximo ao de
oneladaa 21,45 g 1 000 000 cm3
13 Resposta: (B)
uma piscina, por exemplo, de 1,6 m de profundidaComo ABC e DEF são triângulos equiláteros, seus
de, com 16 metros de largura e 10 metros de comângulos internos medem 60o. No triângulo AGD:
primento.
m(GÂD) 5180° 275° 2 60° 5 45° e
ˆ ) 5180° 2 65° 2 60° 5 55°
m(GDA
7 Resposta: (B)
ˆ )5180° 2 45° 2 55° 5 80°
Portanto: m(AGD
Seja x o primeiro termo. Como o segundo termo é 1,
Triângulo CGH: x 1 80° 1 60° 5180° ⇔ x 5 40°
o terceiro termo é x11, o quarto é 11(x 11) 5 x 1 2 .
Como o quinto termo é 2005:
( x 11)1( x 12) 5 2x 13 5 2 005 ⇔ 2x 5 2 002 ⇔ x 51001
Logo, o sexto termo é:
( x 1 2) 1 (2x 1 3) 5 3x 1 5 5 3 ?1 0011 5 5 3 008
8 Resposta: (D)
Na primeira balança temos 3 triângulos 1 1 círculo 5
5 6 quadrados. Na segunda, vemos 2 triângulos 1
1 4 círculos 5 8 quadrados, ou seja, 1 triângulo 1
1 2 círculos 5 4 quadrados.
Logo, 4 triângulos 1 3 círculos 5 (3 triângulos 1
1 1 círculo) 1 (1 triângulo 1 2 círculos) 5 6 quadrados 1 4 quadrados 5 10 quadrados.
14 Resposta: (B)
Sabendo que:
20 cm
40 cm
10 cm
240
240
O 3 B 3 M 5 240 ⇔ O 3 B 5
⇔ B 3M 5
9 Resposta: (A)
M
O
240
2
Sejam x e 13 2 x a quantidade de números negati⇔ O 3 B 1 M 5 46 ⇔
1 M5 46 ⇔ M 2 46M 1 240 5 0 ⇔ M 5 6
M
vos e positivos, respectivamente.
240
Assim, há x(13 2 x) pares⇔deOnúmeros
com
produto1 M5 46 ⇔ M2 2 46M 1 240 5 0 ⇔ M 5 6 ou M 5 40
3B 1M 5
46 ⇔
M
negativo.
240
2
Logo, x(13 2 x) 5 22 ⇔ x 213x 1 22 5 0 ⇔ x 5 2 ou x 511O 1 B 3 M 5 64 ⇔ O 1 O 5 64 ⇔ O2 2 64O 1 240 5 0 ⇔ O 5 4
1 22 5 0 ⇔ x 5 2 ou x 511.
240
O 1 B 3 M 5 64 ⇔ O 1
5 64 ⇔ O2 2 64O 1 240 5 0 ⇔ O 5 4 ou O 5 60
Como há mais positivos que negativos, há 2 núme- O
ros negativos.
Sendo O, B e M inteiros, a única possibilidade é:
240
510
O 5 4, M 5 6 e B 5
10 Resposta: (B)
436
A caixa terá dimensões 20 cm 3 15 cm 3 10 cm.
Assim: O 1 B 1 M 5 4 1 10 1 6 5 20.
Logo, seu volume será igual a 3 000 cm2 (20 3 15 3
3 10 5 3 000).
15 Resposta: (B)
Para fazer uma peça, são necessários 45 centímetros
15 cm
(3 310 1 3 3 5 5 45 ) de arame. Como 20 metros 5
5 2 000 centímetros, e 2 000 dividido por 45 dá quociente 44 e resto 20, o serralheiro irá fazer 44 peças
completas, ficando com uma sobra de 20 centímetros, que lhe possibilitarão fazer as duas primeiras
partes de uma peça, na forma
11 Resposta: (D)
Temos:
a 1 (b 3 c) 5(a 1 b) 3 (a 1 c) ⇔
⇔ a 1 bc 5 a2 1 ab 1 ac 1 bc ⇔
⇔ a(a 1 b 1 c 21)5 0 ⇔
⇔ a 5 0 ou a 1 b 1 c 51
Tomando a 5 1 e b 5 c 5 0, vemos que as demais
alternativas estão incorretas.
.
16 Resposta: (C)
Como 365 dividido por 7 dá quociente 52 e resto 1,
e 366 dividido por 7 dá o mesmo quociente e resto
2, em um ano, bissexto ou não, há no máximo 53 domingos. Um mês tem entre 28 5 4 ? 7 e 315 4 ? 7 1 3
dias, então todo mês tem 4 ou 5 domingos. Como
53 dividido por 12 dá quociente 4 e resto 5, há no
máximo 5 meses com 5 domingos.
Um exemplo de ano com cinco meses com cinco
domingos é um iniciado no domingo.
100
17 Resposta: (D)
Os números em questão são 12, 23, 34, 45, …, 89
(8 números), 123, 234, 345, …, 789 (7 números),
1 234, 2 345, …, 6 789 (6 números) e, por fim, 12 345,
num total de 22 números (8 1 7 1 6 1 1 5 22).
18 Alternativa anulada.
Resposta: (C) e (D)
O tempo de percurso é minimizado quando se
trafega o maior trecho a velocidades maiores e o
menor trecho a velocidades menores, e maximizado quando se trafega o maior trecho a velocidades
menores e o menor trecho a velocidades maiores.
Assim, o tempo total gasto pelo piloto nos três tre240 300 400
1
1
515
chos é no mínimo 15 horas
40
75
80
240 300 400
e no máximo 17 horas
1
1
517 . As80
75
40
sim, as respostas C e D estão corretas.
(
(
19 Resposta: (C)
A área a é igual à área de
um círculo de raio r, ou seja,
2r
a5r2. A área b é igual à
r
área de um quarto de círa
culo de raio 3r subtraída de
duas vezes a área de um semicírculo de raio r e da área
de um quarto de círculo de
raio r. Logo:
1
1
1
b 5 ? (3r)2 2 2 ? ? r2 2 ? r2 5r2.
4
2
4
a  r2
Portanto: 5 2 51
b r
)
)
das horas, ele está parado e o ponteiro dos minutos
roda com velocidade angular 11w [*]. Como os dois
começam juntos, e um ponteiro rodando a w completa uma volta no período, o ponteiro dos minutos
completa 11 voltas nas 12 horas do problema. Logo
há 11 plins gerados por encontros deste tipo.
Segundos/Horas: A velocidade relativa é 720w 2 w 5
5 719w, logo há 719 plins.
Segundos/Minutos: A velocidade relativa é 720w 2
2 12w 5 708w, logo há 708 plins.
Logo, no total, há 1 438 plins (11 1 719 1 708 5 1 438).
Descontando os três plins ocorridos às 0h, há, no total, 1 435 plins no período de 12h1s a 23h59min59s.
22 Alternativa anulada.
Solução:
(Esmeralda confundiu-se, digitando   60o onde deveria ser   60o. )
LL
o
180o–2
2α2
180
b
M
α
α
P
P
α
R
R
N
N
Q
Q
Como a reta PQ é tangente à circunferência, os ângulos LNP e LMN são congruentes, ou seja, m(LMN) 5
5 a. Sendo o triângulo LMN isósceles com LM 5 LN,
os ângulos LNM e LMN são congruentes, e, portanto,
m(MLN) 5 180o 2 m(LNM) 2 m(LMN) 5 180o 2 2a.
O ângulo LNP é externo do triângulo LNR, logo,
m(LNP) 5 m(NLR) 1 m(LRN), ou seja, a 5 180o 2 2a 1
1 m(LRP) m(LRP) 5 3a 2 180o.
20 Resposta: (C)
Suponha que haja alunos de 4 ou mais nacionalidades entre os 9 alunos da classe. Se escolhermos um
aluno de cada nacionalidade, não haverá dois alunos de mesma nacionalidade, o que é um absurdo.
Logo, há alunos de, no máximo, 3 nacionalidades.
Da mesma forma, entre os 9 alunos não há 4 de
mesma nacionalidade, pois, se houvesse, poderíamos formar um grupo de 5 alunos com mais de
3 alunos de mesma nacionalidade. Logo, há no máximo 3 alunos de cada nacionalidade.
Como há 9 alunos, no máximo 3 nacionalidades e no
máximo 3 alunos por nacionalidade, há exatamente
3 nacionalidades e 3 alunos de cada nacionalidade.
Em particular, há 3 alunos brasileiros.
21 Alternativa anulada.
Resposta:
Vamos calcular o número de plins no intervalo (12h,
0h), e descontar os plins que ocorreram no último
segundo depois.
Seja w a velocidade angular do ponteiro das horas.
Então as velocidades angulares dos ponteiros dos
minutos e dos segundos são 12w e 720w. Vamos
contar o número de plins entre cada par de ponteiros: Minutos/Horas: Do referencial do ponteiro
23 Resposta: (C)
1
1
y  x2
y e x é inteiro positivo,
2
2
1
1
x 1 y 2 x 2 y 51⇔
2
2
Como x 1
2

1
1 
⇔  x 1 y 2 x 2 y  51⇔
2
2 

⇔x1
1
1
1
1
y 2 2 x 1 y x 2 y 1 x 2 y 51⇔
2
2
2
2
1
⇔ 2x 215 2 x2 2 y ⇔ 4 x2 2 4 x 115 4 x2 2 y ⇔ y 5 4 x21
4
A única alternativa que contém um número da forma 4x 2 1 é a alternativa C.
24 Resposta: (B)
Nas condições dadas, a distribuição dos números
pelos círculos é a representada a seguir. A soma dos
números escritos é 46.
101
8
6
25 Resposta: (B)
Note que giramos o bloco 5 vezes. Indicaremos
os quadradinhos em contato com o bloco após o
i-ésimo giro com o número i. Os quadradinhos em
contato com o bloco na sua posição inicial estão
indicados com o número zero.
0
4
4 0/4 3
3
5
5 1/5 2
2
5
5 1/5 2
2
1
2
2
Contando, observamos que o bloco esteve em contato com 19 quadradinhos do tabuleiro.
SEGUNDA FASE – parte A
••••••
1 Resposta:
Natasha pulou os números 13, 31, 113, 130, 131, 132,
..., 139, num total de 13 números. Portanto, na última
página do seu diário escreveu o número 214 (200 1
1 13 1 1 5 214).
dade de números até certa fila, basta somar o número da fila ao total de números que havia antes
dessa fila. Assim, temos, fila 5: 15, fila 6: 21, fila 7: 28,
fila 8: 36, fila 9: 45, fila 10: 55, fila 11: 66, fila 12: 78,
fila 13: 91, fila 14: 105.
O número de fitas adesivas horizontais entre uma
fila n 2 1 e uma fila n é igual a n 2 1 e o número de
fitas adesivas verticais numa fila n é igual n 2 1. Portanto, até a fila número 14, o número de fitas é 182:
13 ? 14
(11 2 1 ... 113) 1 (11 2 1 ... 113) 5 2 ? 2 5182
4 Respostas:
Primeira solução: Unindo os pontos médios de
lados consecutivos do quadrilátero, obtemos segmentos paralelos às suas diagonais e iguais à metade delas. Portanto, o quadrilátero assim obtido é
um paralelogramo. Os segmentos traçados dividem
cada um dos quatro lotes em duas partes. Todas as
1
partes internas têm a mesma área s, igual a
da
4
área do paralelogramo. Cada uma das partes exter1
nas tem área igual a
do triângulo determinado
4
pela diagonal correspondente. Assim, a 1 c é igual à
metade da área do quadrilátero, o mesmo ocorrendo com b 1 c. Daí, a 1 s 1 c 1 s 5 b 1 s 1 d 1 s.
Portanto, a área S desconhecida satisfaz S 1 210 5
5 200 1 250, ou seja, S 5 240.
2 Resposta:
Sejam x e y o maior e o menor catetos, respectivamente, do triângulo retângulo. Como o lado do
quadrado ABCD mede 3 cm, temos x 2 y 5 3. Por
outro lado, como o lado de EFGH mede 9 cm, temos
x 1 y 5 9. Resolvendo o sistema, encontramos
x 5 6 e y 5 3. Logo, o lado do quadrado IJKL, que
é a hipotenusa do triângulo retângulo, mede
62 1 32 5 45 5 3 5 cm.
Outra solução:
O quadrado IJKL e o quadrado MNOP têm como
lados as hipotenusas dos triângulos retângulos
dados, logo têm a mesma área s. Fazendo os dois
quadrados coincidirem, concluímos que o dobro da
soma t das áreas dos quatro triângulos retângulos
é a diferença entre as áreas dos quadrados IJKL e
EFGH, ou seja, 2t 5 92 2 32 , o que fornece t 5 36.
Assim, s 5 9 1 36 5 81 2 36 5 45 cm2 e o lado do
quadrado IJKL é 45 5 3 5 cm.
[A resposta não é um número inteiro. Todos os
alunos devem receber 4 pontos].
3 Resposta:
Olhando para o último número da fila n, vemos
que ele é a soma de todos os números de 1 a n:
por exemplo, na fila 4, o último número da fila é
1 1 2 1 3 1 4 5 10. Note que para obter a quanti-
102
b
a
s
s
200
d
s
s
250
210
c
Segunda solução: Ligando o ponto de interseção
das retas que representam as duas cercas aos vértices, obtemos:
BB
M
M
AA
O
O
O
Q
Q
D
D
P
P
N
N
CC
Observemos que, como AQ 5 QD e as alturas de
OAQ e OQD que passam por O são iguais, as áreas
de OAQ e OQD são iguais.
Analogamente, as áreas de OAM e OMB; OBN e ONC;
OCP e OPD são iguais. Logo, área OAQ 1 área OAM 1
1 área OCP 1 área ONC 5 área OQD 1 área OMB 1
área AMOQ 1
1 área OPD 1 área OBN
1 área CNOP 5 área DPOQ 1 área BMON
área AMOQ 5 200 1 250 2 210 5 240.
5 Resposta:
3 Resposta:
Como a 1 3 é múltiplo de 11,a 1 3 5 11b,b  .Sendo
a) x2 2 9xy 1 8y2 5 x2 2 xy 2 8xy 1 8y2 5 x(x 2 y) 2
a múltiplo de 5, a 210b 5b 2 3 também é, de modo
2 8y (x 2 y) 5 (x 2 8y)(x ­2 y).
Alternativamente,
as raízes da equação do 2o grau
que b 2 3 5 5c ⇔ b 5 5c 1 3 ⇔ a 511(5c 1 3) 2 3 5 55c 1 30, c ∈
 +2
2
2
x 2 9xy 1 8y , de incógnita x, são y e 8y. Logo,
⇔ a 511(5c 1 3) 2 3 5 55c 1 30, c ∈ +2 . O número a 1 2 é múltiplo de 9,
x2 2 9xy 1 8y2 fatora em (x 2 8y)(x ­2 y).
assim como a 1 2 2 54c 2 36 5 c 2 4. Portanto,
c 2 4 5 9d ⇔ c 5 9d 1 4 ⇔ a 5 55(9d 1 4) 1 30 5 495d 1 250
∈.
b)A, dequação
a ser resolvida é (x 2 y)(8y 2 x) 5
a 5 55(9d 1 4) 1 30 5 495d 1 250, d ∈. Por fim, sendo a 1 1 múltiplo
5 2005 (*)
de 7, então a 1 1 2 497d 2 245 5 a 1 1 2 7 (71d 1
Observemos que a fatoração em primos de 2005
1 35) 5 22d 1 6 5 22(d 2 3) também é, ou seja,
é 5 ? 401.
d 2 3 5 7k ⇔ d 57k 1 3, k ∈ e a 5 495(7k 1 3) 1 250 5 3 465Além
t 11 735
disso, a soma dos fatores x 2 y e 8y 2 x é
a 5 495(7k 1 3) 1 250 5 3 465t 11 735. Logo, o menor valor de a é
7y, que é múltiplo de 7. A soma dos fatores é
1 735.
406, sendo que somente 406 é múltiplo de 7.
Assim:
 x 2 y 5 5 e 8y 2 x 5 401
 x 5 63 e y 5 58
SEGUNDA FASE – parte B


ou
ou


••••••
x
2
y
5
401
e
8
y
2
x
5
5
x
5
459
e y 5 58


(*)
ou
⇔
ou
 x 2 y 5 25 e 8y 2 x 52 401  x 5 263 e y 5258
1 Resposta:


Vamos representar por A, G e L a quantidade de
ou
ou


questões de Álgebra, Geometria e Lógica da prova,
 x 2 y 52401 e 8y 2 x 525
 x 52459 e y 5258
e por a, g e l as questões respondidas acertadamenAs soluções são, portanto: (63; 58), (459; 58), (263;
te em cada uma dessas áreas. As condições do pro258) e (2459; 258).
blema fornecem as seguintes equações:
Outra solução:
a
g

a1 
g1
5 0,5; 5 0,7; 5 0,8;
5 0,62;
5 0,74
Observando a equação dada como uma equação
A
G
L
A 1L
G1 L
do segundo grau em x, obtemos:
Substituindo as relações expressas pelas três prix2 2 9yx 1 8y2 1 2 005 5 0 (*), cujo discriminante é:
meiras equações nas outras duas, obtemos:
D 5 (9y)2 2 4(8y2 1 2 005) 5 49y2 2 8 020
0, 5A 1 0, 8L
3L
Para que (*) admita soluções inteiras, seu discrimi5 0,62 ⇒ 0,12A 5 0,18L ⇒ A 5
A 1L
2
nante deve ser um quadrado perfeito. Portanto:
49y2 2 8 020 5 m2 (7y 2 m)(7y 1 m) 5 8 020 5
5 22 ? 5 ? 401 (**)
0, 7G 1 0, 8L
3L
5 0, 74 ⇒ 0, 04G 5 0, 06L ⇒ G 5
G1L
2
A porcentagem de questões acertadas é 65%:
a 1 g 1  0, 5A 1 0, 7G 1 0, 8L
5
5
A1G1L
A1G1L
3
3
0, 5 ? L 1 0, 7 ? L 1 0, 8L
2, 6
2
2
5
5
5 0, 65 5 65%
4
3
3
L 1 L 1L
2
2
2 Resposta:
Vamos denotar por A, B, C e D os vértices do quadrado e por MN o corte efetuado. Como CM 1 CN 5
5 BC 5 CD, resulta que BM 5 CN e DN 5 MC. Em consequência, os triângulos ADN e DCM são congruentes, o mesmo ocorrendo com ABM e BCN (em cada
caso, os triângulos são retângulos e possuem catetos iguais). Logo, DÂN 5 CDM 5 a e BÂM 5 CBN 5
5 . Assim, a 1  1 27o 5 90o e a 1  5 63o.
A
B
x
27
o

β
Se y 5 258, as soluções em x de (*) são:
M
9y 1m 9 ? ( 258) 1 396
5
5263
2
2
9y 2m 9 ? ( 258) 2 396
5
52459
e
2
2
Logo, as soluções são: (63; 58), (459; 58), (263; 258)
e (2459; 258)
α
D
N
Podemos supor, sem perda de generalidade, que
m > 0, pois se (m; y) é solução de (**), então (2m; y)
também é.Observando também que 7y 2 m e 7y 1 m
têm a mesma paridade e y 2 m < 7y 1 m, então
podemos dividir o problema em 4 casos:
• 7y 2 m 5 2 e 7y 1 m 5 4 010 2 006
m 5 2004 e y 5
, impossível;
7
• 7y 2 m 5 10 e 7y 1 m 5 802 m 5 396 e y 5 58;
• 7y 2 m 5 2802 e 7y 1 m 5 210 m 5 396 e y 5 258;
• 7y 2 m 5 24 010 e 7y 1 m 5 22 2 006
m 5 2 004 e y 5 2
, impossível.
7
Se y 5 58, as soluções em x de (*) são:
9y 1m 9 ? 58 1 396
5
5 459 e
2
2
9y 2m 9 ? 58 2 396
5
5 63
2
2
C
103
4 Respostas:
1a maneira:
a) Podemos representar uma sequência válida
como uma sequência de pares ordenados. O
primeiro exemplo é a sequência [(1, 1),(1, 2),
(2, 2),(2, 3),(3, 3),(3, 1)] e, a partir dela, podemos
criar outras sequências válidas movendo o par
da esquerda para a direita (ou da direita para a
esquerda). Assim, são válidas as sequências [(1, 2),
(2, 2),(2, 3),(3, 3),(3, 1),(1, 1)], [(2, 2),(2, 3),(3, 3),
(3, 1),(1, 1), (1, 2)] etc. num total de 6 sequências
diferentes. Mudando a posição dos números dos
pares ordenados, podemos criar outras 6 se­
quências: [(2, 1), (1, 1), (1, 3), (3, 3),(3, 2),(2, 2)], [(1, 1),
(1, 3), (3, 3),(3, 2),(2, 2), (2, 1)] etc. Portanto, de acordo com as regras dadas, há 12 modos de colocar
as peças em sequência.
2a maneira:
a) As pontas devem ter o mesmo número, pois eles
aparecem um número par de vezes (se aparecer
um número numa ponta e outro na outra, então
há pelo menos dois números que aparecem um
número ímpar de vezes, o que não ocorre). Alguma peça com dois números iguais deve aparecer
em uma das pontas, pois do contrário teríamos
três das quatro peças centrais com duas iguais,
104
vizinhas, o que é impossível). Sendo assim, a sequência pode ser representada por XX-XY-YY-YZ-ZZ-ZX, com três possibilidades para X, duas
possibilidades para Y, e uma possibilidade para Z,
num total de 6 possibilidades (3 ? 2 ? 1 5 6) para
a sequência que começa com uma dupla. Se a
sequência terminar com uma dupla, teremos novamente 6 possibilidades. Portanto, há 12 modos
de colocar as seis peças em sequência.
b)Para cada número, existem 4 peças. Por exemplo, as peças com o número 1 estão desenhadas
abaixo. O número de vezes em que aparece o número 1 é ímpar, logo a sequência deveria começar
com 1 e terminar com outro número ou começar
com outro número e terminar com 1. Nesse caso,
os outros dois números deveriam aparecer um
número par de vezes, pois não estariam na ponta, mas isso não ocorre: todos os quatro números
aparecem um número ímpar de vezes.
XXVI OLIMPÍADA
BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2004
RESOLUÇÕES
10 Resposta: (C)
Nas figuras, basta ver se nos
retângulos menores a linha
tracejada é metade do perí­
metro. Isso não ocorre na fi­
gura onde a linha tracejada é
menor que a metade.
Nível 1 (5o. e 6o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
1a. Fase Olimpíada Regional
AL – BA – ES – GO – PI – PA – PE – RN – RS – SC
João Pessoa – PB – S. B. do Campo – SP
1 Resposta: (B)
1 997 1 2 004 1 2 996 1 4 003 5 (1 997 1 4 003) 1
1 (2 004 1 2 996) 5 6 000 1 5 000 5 11 000
11 Resposta: (D)
Os divisores de 108 também são os quocientes da
divisão de 108 por eles: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36,
54 e 108.
Temos:
2 Resposta: (E)
17 3 61 é produto de dois ímpares; logo, é ímpar.
Os demais
108resultados
108são números
108 pares.
108
108
5 54;
5 36;
5 27;
518;
512;
2
3
4
6
9
3 Resposta: (A)
26 1 26 1 26 1 26 2 44 5 4 3 26 2 44 5 4 3 43 2 44 5
5 44 2 44 5 0
5 Resposta: (D)
2 004 1 2 004
2 ? 2 004 2
5
5
2 004 1 2 004 1 2 004 3 ? 2 004 3
O número de estudantes por grupo pode ser, en­
tão, 6, 9, 12 ou 18.
B
6 Resposta: (B)
57 1 31 5 88 alunos; 88 ; 2 5 44 alunos para cada
ônibus. Devem passar do primeiro para o segundo
ônibus 13 alunos (57 2 44 5 13).
7 Resposta: (A)
237 5 31 3 7 1 20. Como o resto é 20, faltam
11 unidades (31 2 20 5 11) para a divisão por 31
ser exata. De fato: 237 1 11 5 248 e 248  31  8.
Logo, ela precisa conseguir 11 balas ou 42 ou 73 etc.
No mínimo, 11.
A
D
E
C
13 Resposta: (D)
O número de braceletes feitos pelo artesão é 72:
6 braceletes
18 braceletes
4 horas 3
5 4 horas 3
5 72
20 minutos
hora
8 braceletes 16 braceletes
5
.
1
hora
hora
2
Então, 72 braceletes 5
braceletes
72
5 16 3
? t ⇔ t 5 h 5 4, 5 horas
16
hora
9 horas 1 4,5 horas 5 13 horas 30 minutos
O auxiliar produz
8 Resposta:
Há 10 metades de quadrados e 3 quadrados intei­
8 4
ros, ou seja, 8 quadrados sombreados:
5 .
18 9
9 Resposta: (C)
10,00 ­2 2,50 5 7,50
75 3 100 5 7 500 metros 5 7,5 km
108
108
108
108
108
5 9;
5 6;
5 4;
5 3;
52
12
18
27
36
54
12 Resposta: (B)
O estado A pode ser pintado de 3 formas: verde,
azul ou amarelo. Para qualquer estado vizinho, por
exemplo, o estado B, temos duas possibilidades, e
os demais estados têm suas cores determinadas
(1 possibilidade). Logo, podemos colorir o mapa de
6 formas (3 3 2 5 6).
4 Resposta: (B)
20% de 40 5 0,2 3 40 5 8
7, 50 750
5
5 75
0,10 10
108
108
108
108
108
108
108
5 9;
5 54;
5 36;
5 27;
518;
512;
18
2
3
4
6
9
12
14 Resposta: (C)
1 3 3 3 5 3 … 3 97 3 99 é múltiplo de 5 e é ím­
par; logo, termina em 5.
105
15 Resposta: (A)
O lado de cada quadrado mede 5 cm.
Temos:
5
5
5
5
5
Colocando dois pesos num prato e um peso no ou­
tro, temos:
10 2 (1 1 3) 5 6; (10 1 1) 2 3 5 8; (10 1 3) 2 1 5 12
Os valores de n são treze: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
12, 13, 14.
5
Ou seja, o perímetro do retângulo formado é 30 cm
(6 3 5 5 30).
16 Resposta: (B)
Temos 252o 5180o 1 72o, sendo o ângulo central
760o
5 72o
do pentágono igual a: 72o
5
A
252°
O
B
B
72°
O
A
180°
17 Resposta: (C)
Do gráfico, a porcentagem de loiros é 30%
100% 2 (30% 1 24% 1 16%) 5 30%.
Temos, então, 360 loiros
1 200 3 30% 5
5 1 200 3 0,3 5 360.
22 Resposta: (E)
O percurso fechado ligando todas as 12 casas tem,
no mínimo, 12 ruelas de ligação: 23 2 12 5 11.
23 Resposta: (B)
Começando com 3 hexágonos para obter a con­
figuração abaixo, verificamos serem necessárias
16 varetas (18 2 2 5 16), pois uma vareta pertence
a dois hexágonos em duas situações. Para formar
uma nova “camada”, são necessárias 11 varetas (li­
nhas cheias no segundo desenho. Com 10 “cama­
das”, temos 30 hexágonos.
Na última delas, devemos anexar 2 hexágonos, sen­
do necessárias mais 8 varetas, conforme desenho
abaixo. Assim, o número total de varetas é 123
16 1 9 3 11 1 8 5 123.
18 Resposta: (E)
Com as peças:
19 Resposta: (A)
Cinco números consecutivos podem ser represen­
tados por a 2 2, a 2 1, a, a 1 1 e a 1 2 e sua soma
é (a 2 2) 1 (a 2 1) 1 a 1 (a 1 1) 1 (a 1 2) 5 5a,
ou seja, um múltiplo de 5, que só pode terminar
em x 5 5, pois x  0.
20 Resposta: (A)
As duas últimas informações podem ser reunidas
no esquema abaixo:
24 Resposta: (C)
Podemos representar esquematicamente a figura
usando três segmentos perpendiculares dois a dois:
Nesse esquema, o segmento
menor (2) é perpendicular
ao plano a contendo os ou­
tros dois segmentos. O ân­
gulo entre o segmento (3) e
o segmento (4) é de 90° no
sentido horário. Neste plano,
esquematicamente, temos:
2
3
4
90°
α
I) III)
2
O grampo, a moeda e a borracha estão dentro de
caixas; logo, a moeda está dentro da caixa ver­
melha.
4
α
α
– 90°
3
21 Resposta: (D)
Usando 1 peso, temos 3 possibilidades: 1, 3 e 10.
Colocando dois pesos num único prato, temos as
seguintes possibilidades:
1 1 3 5 4; 1 1 10 5 11; 3 1 10 5 13
Colocando três pesos num prato, pesamos:
1 1 3 1 10 5 14
Colocando um peso em cada prato, temos:
3 2 1 5 2; 10 2 1 5 9; 10 2 3 5 7
106
2
4
– 90°
II) 3
IV)
90°
2
4
α
3
3
2
α
90°
4
As figuras I e III não representam o objeto, pois o
ângulo entre os segmentos (3) e (4) é de 90o no sen­
tido anti-horário, no plano a.
25 Resposta: (D)
1 real 5 275 3 107 cruzados
640 reais 5 640 3 275 3 107 5 176 3 1010 cruzados 5
5 176 3 1010 notas de 1 cz$
1, 5 cm de altura
x
5
⇔
Mas
100 notas de 1cz$ 176 31010 notas de 1cz$
1, 5 3176 31010 cm
5 264 3108 cm 5
102
5 264 3103 km 5 264 000 km
⇔ x5
SEGUNDA FASE – parte A
••••••
1 Resposta:
O quociente da divisão de 102 por 3 é 34, de 1 002
por 3 é 334, de 10 002 por 3 é 3 334 etc. Assim,
o quociente da divisão de 10...02, com vinte al­
garismos zero, por 3, é igual a 33... 34, com vinte
algarismos três. Logo, a soma dos algarismos do
quociente é 64 20 3 3 1 4 5 64.
1 a 9, na casa das dezenas podemos escrever qual­
quer algarismo de 0 a 9 e na casa das unidades po­
demos escrever um dos quatro algarismos acima).
6 Resposta:
A soma dos divisores é ímpar quando o número de
divisores ímpares é ímpar. Isso acontece quando,
por exemplo, o número tem somente um divisor pri­
mo ímpar de expoente par, na sua decomposição.
Tomando os números menores do que 100, temos:
99 5 32 ? 11, que tem 6 divisores todos ímpares, cuja
soma é par 98 5 2 ? 72 , que tem 6 divisores (1, 7, 49,
2, 14, 98), três pares e três ímpares, portanto de
soma ímpar.
7 Resposta:
De 1 a 100, existem 25 múltiplos de 4; logo, 75 car­
tões não contêm múltiplos de 4. No pior caso pos­
sível, Esmeralda tiraria todos esses cartões antes
de sair algum cartão múltiplo de 4. Assim, para ter
certeza de que o número tirado seja múltiplo de
4, Esmeralda deve retirar todos eles e mais um, ou
seja, 76 cartões.
8 Resposta:
Podemos começar pintando uma casa da primeira
2 Resposta:
linha, depois uma da segunda linha, em seguida
a 1b 5 34 e a 1 c 5 33; logo; b 2 c 51. Como b e c
uma da terceira e, finalmente, uma da quarta. O
são primos, concluímos que b 5 3 e c 5 2. Dessa
número de possibilidades para primeira linha é 4,
forma, a 5 34 2b 5 34 2 3 5 31, de onde vem: a 1b 1 c 5 311 2 1 3 5 36
para a segunda é 3 (pois uma das casas não pode
a1b 1 c 5 311 2 1 3 5 36.
ser pintada, já que a coluna com essa casa só pode
ter essa casa pintada), para a terceira é 2, e para a
3 Resposta:
quarta é 1. O número total de maneiras pelas quais
b multiplicado por 3 dá um número terminado
podemos pintar o tabuleiro é 24 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24.
em 1; logo, b 5 7. Como 7 3 3 5 21, concluímos
que a multiplicado por 3, mais 2, ao somar com 9,
9 Resposta:
deve resultar um número terminado em 0, ou seja,
Da frente para o fundo, a primeira, a terceira e a
quinta camadas verticais têm 18 cubos brancos e
3a1 2 1 9 5 0, ou seja, a 5 3. Dessa forma, temos:
17 cubos cinza, a segunda e a quarta camadas têm
a 5 3, b 5 7 e c 5 0, de onde vem a 1b 1 c 510.
17 cubos brancos e 18 cinza. Logo, o número total
137
de cubos brancos é 88 3 ? 18 1 2 ? 17 5 88, e o nú­
3 73
mero total de cubos cinza é 87 3 ?17 1 2 ?18 5 87.
411
Portanto, a massa total do bloco, em gramas, é
9 5 9 262 1? 88 1 2 ? 87 5 262 .
10001
10 Resposta:
Inicialmente, existiam 980 aves com a cauda verde
4 Resposta:
e 20 das demais. Após a epidemia, essas 20 aves
área retângulo ABCD 5 4 ? área retângulo AFEG
correspondem a 5%, donde o total de aves agora é
área retângulo AFEG 5 4 ? área retângulo AIHJ, logo:
20 3 20 5 400 (sendo 380 da cauda verde). Portan­
área retângulo ABCD 5 16 ? área retângulo AIHJ
to, morreram 600 aves.
Mas:
área retângulo AIHJ 5 2 ? área triângulo AHI
SEGUNDA FASE – parte B
••••••
Portanto:
área retângulo ABCD 5 32 ? área triângulo AHI ⇔
⇔ área retângulo ABCD 5 32
área triângulo AHI
1 Resposta:
O polígono consiste na reunião de dois retân­
gulos: um deles tem largura 10 e altura 2, e o
outro tem largura 5 e altura x12. O triângulo
5 Resposta:
tem catetos de medidas 15 e x12. Como a área
São teimosos apenas os números que terminam
do polígono é igual à área do triângulo, temos:
em 0, 1, 5 e 6. A quantidade de números teimosos
15( x 1 2)
10 ? 2 1 5( x 1 2) 5
⇔ 40 110x 1 20 515x 1 30 ⇔ 5x 5 30
de 3 algarismos é 9 ? 10 ? 4 5 360 (na casa das cen­
2
15( x 1 2)
tenas podemos
10 ? 2 1escrever
5( x 1 2) 5qualquer algarismo
⇔ 40 110xde
1 20 515x 1 30 ⇔ 5x 5 30 ⇔ x 5 6
2
107
2 Resposta:
a) Cada linha apresenta 1 nas colunas cujos núme­
ros são múltiplos do número da linha. Assim, a
linha 5 tem 1 nas colunas 5, 10, 15 etc. Até 100,
existem 20 múltiplos de 5; logo, a soma dos nú­
meros na linha 5 é igual a 20.
b)Cada coluna apresenta 1 no cruzamento com as
linhas cujos números são divisores do número
da coluna. Assim, a soma dos números da coluna
60 é igual ao número de divisores de 60. Como
60 5 22 3 3 3 5 , concluímos que 60 tem 12 divi­
sores 3 ? 2 ? 2 5 12. Logo, a soma dos números
da coluna 60 é 12.
4 Resposta: (B)
Começando com 3 hexágonos para obter a con­
figuração abaixo, verificamos serem necessárias
16 varetas (18 2 2 5 16), pois uma vareta pertence
a dois hexágonos em duas situações. Para formar
uma nova “camada”, são necessárias 11 varetas (li­
nhas cheias no segundo desenho. Com 10 “cama­
das”, temos 30 hexágonos.
Na última delas, devemos anexar 2 hexágonos, sen­
do necessárias mais 8 varetas, conforme desenho
abaixo. Assim, o número total de varetas é 123
16 1 9 3 11 1 8 5 123.
3 Resposta:
a) A soma total dos elementos é:
12 1 22 1 32 1 42 1 52 1 62 172 5
511 4 1 9 116 1 25 1 36 1 49 5140
Logo, cada um dos grupos deve conter elemen­
tos que somem 70.
Examinando as parcelas, vemos que 49 1 1 1
1 4 1 16 5 70.
Assim, podemos escrever, por exemplo:
A 5 {12, 22, 42, 72} e B 5 {32, 52, 62}
b)Como 12 1 22 1 32 1 42 1 52 1 62 1 72 1 82 1 92 5
5 140 1 64 1 81 5 285 é ímpar, é impossível
dividir em dois grupos de mesma soma.
5 Resposta: (C)
1 3 3 3 5 3 … 3 97 3 99 é múltiplo de 5 e é ímpar;
logo, termina em 5.
6 Resposta: (B)
Temos 252o 5180o 1 72o, sendo o ângulo central do
760o
5 72o
pentágono igual a: 72o
5
A
Nível 2 (7 . e 8 . anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
a
1. Fase Olimpíada Regional
o
O
AL – BA – ES – GO – PI – PA – PE – RN – RS – SC
João Pessoa – PB – S. B. do Campo – SP
1 Resposta: (A)
A mistura final tem 0,2 litro de polpa e 3 1 0, 8 5 3,8
litros de água. A porcentagem de polpa em relação
0, 2
2
5 5 0, 05 5 5% .
ao volume da mistura é 5%
4
40
(
)
2 Resposta: (C)
B
B
72°
O
A
180°
7 Resposta: (C)
Há 2 004 escolhas para a primeira bala e 2 003 para
a segunda bala. Assim, podemos retirar duas balas
de 2 004 ? 2 003 maneiras, considerando a ordem
em que são retiradas.
Podemos retirar duas balas de banana de
1002 ? 1001 maneiras e duas balas de maçã de
1002 ? 1001 maneiras. Logo:
p5
22∇26 22 1 23 1 24 1 25 1 26 120
5
5
58
4∇6
41516
15
3 Resposta: (D)
1 real 5 275 3 107 cruzados
640 reais 5 640 3 275 3 107 5 176 3 1010 cruzados 5
5 176 3 1010 notas de 1 cz$
Mas
252°
o
1, 5 cm de altura
x
5
⇔
100 notas de 1cz$ 176 31010 notas de 1cz$
2 ? 1 002 ? 1 001 1 001
5
2 004 ? 2 003
2 003
Podemos retirar uma bala de banana e uma bala
de maçã, nessa ordem, de 1 002 ? 1 002 maneiras,
e uma bala de maçã e uma bala de banana, nessa
ordem, de 1 002 ? 1 002 maneiras.
Logo:
q5
2 ? 1 002 ? 1 002 1 002
5
2 004 ? 2 003
2 003
Logo, a diferença entre p e q é:
1, 5 3176 31010 cm
5 264 3108 cm 5
102
5 264 3103 km 5 264 000 km
⇔ x5
1 002 1 001
1
2
5
2 003 2 003 2 003
108
8 Resposta: (C)
Sejam a e 50 2 a os lados do retângulo. A área pro­
curada é (50 2 a) ? a 5 50a 2 a2.
xx
5x
3x + 4x = 7x
aa
.
50 –
2a
a
50
13 Resposta: (C)
4x
Pelo teorema de Pitágoras:
6x
180° – 7x
Temos: 8x 5180o 27x 1 5x ⇔ 10x 5180o ⇔ x 518o
x2 5(50 2 a)2 1 a2 ⇔ x2 5 2 500 2100a 1 2a2 ⇔
x2
⇔ 50a51250 1 a2 2
2
14 Resposta: (E)
2(22x ) 5 4 x 1 64 ⇔ 2(22x ) 5 22x 1 64 ⇔ 22x 5 64 ⇔
⇔ 2x 5 6 ⇔ x 5 3
Desse modo:
50a2 a2 51250 1 a2 2
6x + 2x = 8x
2x
3x
x2
x2
2 a2 51250 2
2
2
9 Resposta: (A)
Cinco números consecutivos podem ser represen­
tados por a 2 2, a 2 1, a, a 1 1 e a 1 2 e sua soma
é (a 2 2) 1 (a 2 1) 1 a 1 (a 1 1) 1 (a 1 2) 5 5a,
ou seja, um múltiplo de 5, que só pode terminar
em x 5 5, pois x  0.
15 Resposta: (D)
A soma dos algarismos de um número de três alga­
rismos é menor ou igual a 27 e maior ou igual a 1.
Logo, a soma da soma dos algarismos de um núme­
ro de três algarismos é a soma dos algarismos dos
números 1, 2, 3, …, 27, cujo maior valor obtido é 10.
16 Resposta: (C)
Nas figuras, basta ver se nos re­
10 Resposta: (B)
tângulos menores a linha trace­
Inicialmente, m2 2 2 deve ser positivo e divisor de
jada é metade do perímetro. Isso
2 004. Os divisores de 2 004 são: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 167
, 334
, 501
668, 
1 002
ou 2 004
não
ocorre
na, figura
onde
a linha
1, 2, 3, 4, 6, 12, 167, 334, 501, 668, 1 002 ou 2 004 .
tracejada é menor que a metade.
Para m inteiro positivo tal fato ocorre quando m 5 2
ou m 5 13.
17 Resposta: (E)
Os pontos que estão a 6 cm de distância do ponto P
11 Resposta: (D)
formam uma circunferência de centro P e raio 6 cm.
( x 1 y)2 5 82 ⇔ x2 1 2xy 1 y2 5 64
Uma circunferência corta uma reta em, no máximo,
2 pontos. Como o quadrado é formado por 4 seg­
Logo:
mentos de reta, há no máximo 8 pontos da borda
x2 1 6xy 1 y2 5 x2 1 2xy 1 y2 1 4 xy 5 64 1 4 ?15 5124
do quadrado a uma distância de 6 cm do ponto P.
Tomando P como o centro do quadrado, temos um
12 Resposta: (B)
exemplo de circunferência que corta o quadrado
em 8 pontos.
oo
30
A
SS
A
30
18 Resposta: (E)
Com as peças:
o
30o
30
C
C
60 o
60
30o°
60oo 30
60
BB
o
60oo
60
VV
19 Resposta: (C)
O raio de luz percorre o trajeto S-A-B-C-B-A-S.
Temos:
AC
3
5 cos 30o e AB 5
m
SA51 m, AC 5 CV 50, 5 m ,
AB
3
BC
3
5 tg 30o ⇔ BC 5
m
AC
6
Logo, a distância percorrida pelo raio de luz é:
Q

3
3
2 (SA 1 AB 1BC) 5 211
1
52 1 3 m
3
6 

P
13
9
. .
F
5
R
Pelo teorema de Pitágoras: PF2 1 52 5132 e
PQ2 5122 1 92 ⇔ PQ 515
109
20 Resposta: (A)
As duas últimas informações podem ser reunidas
no esquema abaixo:
O grampo, a moeda e a borracha estão dentro de
caixas; logo, a moeda está dentro da caixa vermelha.
21 Resposta: (D)
AE 5 AF 5 AB 53 cm, m(FÂD)5 90° 2 60° 5 30°,
m(FÂE) 5 30° 1 60° 5 90°
Logo, FAE é retângulo em A e tem área:
AE ? AF 3 ? 3
5
5 4, 5 cm2
2
2
a 5 3, b 5 7 e c 5 0, de onde vem a 1b 1 c 510 .
137
3 73
411
9 5 9 10001
2 Resposta:
Podemos começar pintando uma casa da primeira
linha, depois uma da segunda linha, em seguida
uma da terceira e, finalmente, uma da quarta. O nú­
mero de possibilidades para primeira linha é 4, para
a segunda é 3 (pois uma das casas não pode ser pin­
tada, já que a coluna com essa casa só pode ter essa
casa pintada), para a terceira é 2, e para a quarta
é 1. O número total de maneiras pelas quais pode­
mos pintar o tabuleiro é 24 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24.
3 Resposta:
22 Resposta: (C)
2004 3 2002 31998 31996 1 36 5
Inicialmente, sejam x o lado da folha e y o lado qua­
drado menor de lado maior que 1 cm. Como os de­
5 (2000 1 4) 3 (2000 1 2) 3 (2000 2 2) 3 (2000 2 4) 1 36 5
mais 41 quadrados têm lado 1 cm, x e y são inteiros
positivos. Assim: x2 5 y2 1 41 ? 1⇔ ( x 2 y)( x 1 y) 5 41⇔5x 2(2000
y 51 e1x41
41⇔
e y 520.
2x45
1 2) 3 (2000 2 2) 1 36 5
) 3y 5
(2000
) 321(2000
1 ? 1⇔ ( x 2 y)( x 1 y) 5 41⇔ x 2 y 51 e x 1 y 5 41⇔ x 5 21 e y 520.
5 (20002 2 42) 3 (20002 2 22) 1 36 5
Portanto, o lado da folha mede 21 cm.
23 Resposta: (C)
Seja x o lado quadrado. Sua área é x2. Com 10% a me­
nos de cerca, o lado quadrado passará a ser 0,9x e
terá área (0,9x)2 5 0,81x2, que é 0,19 5 19% menor.
5 20002 320002 222 320002 242 320002 142 322 136 5
24 Resposta: (D)
O número de braceletes feitos pelo artesão é 72:
Portanto, a soma dos algarismos é 48
3 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 0 5 48
4 horas 3
6 braceletes
18 braceletes
5 4 horas 3
5 72
20 minutos
hora
5 20004 2 20 3 20002 1100 5
5
(20002 210)
2
5 20002 210 5 3 999 990
4 Resposta:
O polígono consiste na reunião de dois retângulos:
um deles tem largura 10 e altura 2, e o outro tem lar­
gura 5 e altura x12. O triângulo tem catetos de me­
didas 15 e x12. Como a área do polígono é igual à
área do triângulo, temos:
15( x 1 2)
10 ? 2 1 5( x 1 2) 5
⇔
2
⇔ 40 110x 1 20 515x 1 30 ⇔ 5x 5 30 ⇔ x 5 6
8 braceletes 16 braceletes
5
.
1
hora
hora
2
Então, 72 braceletes 5
braceletes
72
5 16 3
? t ⇔ t 5 h 5 4, 5 horas
hora
16
9 horas 1 4,5 horas 5 13 horas 30 minutos
O auxiliar produz
25 Resposta: (D)
Com os dois algarismos 1 juntos, temos os núme­
ros: 112 004, 211 004, 201 104, 200 114 e 200 411. Com
os dois algarismos 1 separados: 121 004, 120 104,
120 014, 120 041, 210 104, 210 014, 210 041, 201 014,
201 041 e 200 141. No total, são 15 números.
SEGUNDA FASE – parte A
••••••
1 Resposta:
b multiplicado por 3 dá um número terminado
em 1; logo, b 5 7. Como 7 3 3 5 21, concluímos
que a multiplicado por 3, mais 2, ao somar com 9,
deve resultar um número terminado em 0, ou seja,
3a1 2 1 9 5 0 , ou seja, a 5 3. Dessa forma, temos:
5 Resposta:
O icoságono regular é ins­
C
critível em uma circunferên­
cia. Sejam A e B dois vértices
diametralmente opostos do
AA
BB
icoságono. Qualquer ponto
C da circunferência, distinto
de A e de B, unido com A e B
formará um triângulo retân­
gulo, conforme a figura.
Para todo diâmetro cujas extremidades são dois
vértices do icoságono, há 18 vértices que não são
extremidades do referido diâmetro, possibilitando
a formação de 18 triângulos retângulos. Como há
20
10 diâmetros
510 distintos, cujas extremida­
2
des são dois vértices do icoságono, há 180 triângu­
los retângulos (18 310 5180 ).
110
(
)
3 Resposta:
a) A partir da dobra da folha, podemos ver que
B’E 5 BE 5 17, e como AE 5 8, aplicando o teore­
ma de Pitágoras, temos:
SEGUNDA FASE – parte B
••••••
1 Resposta:
a) A soma total dos elementos é:
12 1 22 + 32 1 42 1 52 1 62 172 5
5 11 4 1 9 116 1 25 1 36 1 49 5140
Logo, cada um dos grupos deve conter elemen­
tos que somem 70.
Examinando as parcelas, vemos que 49 1 1 1 4 1
116 5 70.
Assim, podemos escrever, por exemplo:
A 5 {12, 22, 42, 72} e B 5 {32, 52, 62}
b) Como 12 1 22 1 32 1 42 1 52 1 62 1 72 1 82 1 92 5
5 140 1 64 1 81 5 285 é ímpar, é impossível
dividir em dois grupos de mesma soma.
2 Resposta:
1
a)1 2
12
1
12
5 12
1
5 12
1
x
12
1
x 21
x
1
5 12
12
x
x 21
AB’ 5 B’ E2 2 AE2 5 172 2 82 515
b)Temos:
AB 5 AE 1 BE 5 8 117 5 25 5 CD e
DF 5 CD 2 CF 5 25 2 3 5 22
Seja G a intersecção de B’C’ e CD.
Como FC’ 5 FC e AB’ E  DGB’  C’GF,
FG FC’ FG 3
51
5
⇔ 5 ⇔ FG 5 . Logo:
B’ E AE 17 8
8
DG 5 CD 2 CF 2FG 5 25 2 3 2
51 125
5
8
8
Temos, também:
5
x 21
1
5 12
5 11 x 2 15 x
x 2 12 x
21
x 21
125
25
DB’ DG DB’
5
⇔
5 8 ⇔ DB’ 5
15
3
AE AB’
8
Finalmente: AD 5 AB’ 1 DB’ 515 1
25 70
5
3
3
4 Resposta:
B→
1
Como ab 1 cd 5 bc ⇔ 10a 1 b 110c 1 d 510b 1 c ⇔ 10a 1 d 5 9(b 2
12
x
ab 1 cd 5 bc ⇔ 10a 1 b 110c 1 d 510b 1 c ⇔ 10a 1 d 5 9(b 2 c), ou seja, 10a 1 d é o número de
1
1
1
B→ 1 2
A→
B→ 1 2
dois algarismos ad e é um múltiplo de 9.
1
1
1
12
12
12
1
x
1
12
12
a) Mantendo a 5 2, temos d 5 7. Além disso,
x
x
10 ? 2 1 7 5 9(b 2 c) ⇔ b 2 c 5 3 . O menor valor
1
5 x, vemos que após aper­
Como 1 2
1
de b que podemos escolher, após 3, é 4, e nesse
12
1
caso, c 5 1. O número procurado é, então, 2 417.
12
x
tar 6 vezes sucessivamente, de forma alterna­
b) Uma vez que escolhemos b 2 c , a e d estão
da, as duas teclas A e B, o número que aparece
determinados: a é o algarismo das dezenas de
no visor da calculadora volta a ser igual ao que
9(b 2 c), e d, o das unidades. Além disso,
aparecia inicialmente no visor. Uma vez que
9(b 2 c)  10 ⇔ b 2 c  2 .
1000 5166 3 6 1 4 , basta analisar apenas as
4 primeiras interações, ou seja:
Se b 2 c 52, (b, c)  {(2, 0) ; (3, 1) ; (4, 2) ; ... ; (9, 0)} ,
1
1
1
1
x A→ B→ 1 2 A→
B→ 1 2
5 2 004
um total de 8 possibilidades. Da mesma for­
x
x
1
1
12
12
x
x
ma, vemos que se b 2 c 53, (b, c)  {(3, 0) ; (4, 1) ; (5, 2) ; ...; (9, 6)}
1
1
1
B→ 1 2 A→
B→ 1 2
5 2 004
(b, c)  {(3, 0) ; (4, 1) ; (5, 2) ; ...; (9, 6)}, há um total de 7 possibilidades.
x
1
1
12
12
x
x
Para b 2 c 5 4, (b, c)  {(4, 0) ; (5, 1) ; (6, 2) ; ...; (9, 5)} ,
Assim, temos:
6 possibilidades; b 2 c 55, (b, c){(5, 0) ; (6, 1) ; (7, 2) ; ...; (9, 4)}
1
1
12
5 2 004 ⇔ 1 2
5 2 004 ⇔(b, c){(5, 0) ; (6, 1) ; (7, 2) ; ...; (9, 4)} , 5 possibilidades; b 2 c 56, (b, c){(6, 0) ; (7, 1) ; (8,
1
x 21
12
(b, c){(6, 0) ; (7, 1) ; (8, 2) ; (9, 3)} , 4 possibilidades; b 2 c 57,
x
x
(b, c){(7, 0) ; (8, 1) ; (9, 2)}, 3 possibilidades; b 2 c 58,
x
x
⇔1 2
5 2 004 ⇔ 1 2
5 2 004 ⇔
(b, c){(8, 0) ; (9, 1)}, 2 possibilidades; e, finalmen­
x 21
x 21
b) x A→
1 B
1
→ 1 2 A→
x
x
1
te, para b 2 c 59, (b, c) 5(9, 0), 1 possibilidade.
x 2 12 x
21
5 2 004 ⇔
5 2 004 ⇔
x 21
x 21
2 003
⇔ 2 004 x 2 2 004 5 21⇔ x 5
2 004
⇔
Há, portanto, um total de 36 números legais
8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 11 5 36
111
XXV OLIMPÍADA
BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2003
RESOLUÇÕES
8 Resposta: (C)
Uma parte da sequência, com 8 algarismos, repete-se: 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2. Dividindo 2 003 por 8, obtemos
3 como resto, e deste modo o 2 003o termo corresponde ao terceiro elemento da parte da sequência
que se repete, isto é, 3.
Nível 1 (6o. e 7o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
1a. Fase Olimpíada Regional
AL – BA – GO – PA – PB – PI – RS – RN – SC
9 Resposta: (B)
1 Resposta: (D)
Maria tem 10 reais. Se João tem x reais, então:
O cubo a ser construído deverá ter aresta 4, totalix
zando 64 cubinhos (4 3 4 3 4 5 64). Portanto, falta
x x2 4
x 3x
3x x
x
agregar 53 cubinhos (64 2 11 5 53).
101 5
⇔ 101 5
⇔
2 510 ⇔ 510 ⇔ x 5 8
4
2
4
8
8
4
8
x
x2
4 ⇔ 101 x 5 3x ⇔ 3x 2 x 510 ⇔ x 510 ⇔ x 5 80
2 Resposta: (C) 101 x 5
8 4
8
O consumo mensal4médio2 é 12,7 m3 4 8
Os dois juntos têm 90 reais (10 1 80 5 90).
12, 5 113, 8 113, 7 111, 4 112,1
512, 7
5
10 Resposta: (E)
3 Resposta: (A)
Devem ser compradas 336 mesas (8 3 14 3 3 5 336)
A quantidade utilizada de palitos é mínima quane 1 344 cadeiras (4 3 336 5 1 344).
do o número de palitos de 7 cm é máximo. Como
200 5 28 3 7 1 4 5 26 3 7 1 3 3 6, o número
11 Resposta: (C)
mínimo de palitos é 29.
Há 6 possibilidades distintas de se colorir o tabuleiro.
4 Resposta: (E)
Igualando a soma dos valores da diagonal e da coluna que se cruzam no quadrado com mesmo número, temos 26 1 14 5 x 1 13, isto é, x 5 27.
12 Resposta: (D)
Seja n o número de pessoas na festa. Então foram
n n n n
usados 1 1 1 pratos, logo:
2 3 4 5
n n n n
30n 1 20n 115n 112n
77n
1 1 1 577 ⇔
577 ⇔
577 ⇔ n
2 3 4 5
60
60
6 Resposta: (C)
n n n obtemos
30n 1inicialmente
20n 115n 112n
77n
A partir de n
qualquer
1 1 círculo,
1 577 ⇔
577 ⇔
577 ⇔ n 5 60
60 1 dos
60
a sequência20, 1,32, 3,44, 5,56, 7, 8, 9; subtraindo
5 Resposta: (A)
Fazendo as operações inversas, temos 220 1 5 5 225;
225  3 5 75; 75 2 1 5 74; 74  2 5 37, que é um
número primo.
ímpares e somando 1 aos pares, a sequência torna-se 1, 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8. A maior soma com 3 números consecutivos é 6 1 9 1 8 5 23.
13 Resposta: (B)
O pentágono pode ser decomposto em triângulos e retângulos, conforme o desenho a seguir. A
3 1 3 1 2 1 3 1
3 3
7 Resposta: (C)
área do pentágono é 22 1
1
1
1
5 4 1 1 111
2
2
2
2
2 2
Completando a figura com quadradinhos
3 1de lado
3 1 1,2 1 3 1
3 3
3 19
2
2
cm
.
2
1
1
1
1
5
4
1
1
1
1
1
5
vemos 3 quadrados de área 1, 1 quadrado
2 de2área 2
2
2 2
2 2
9, 2 quadrados de área 4 e 1 quadrado de área 25.
C
Logo a área do retângulo é 45 3 1 9 1 2 3 4 1
1 25 5 45.
D
B
E
A
112
14 Resposta: (C)
Marcando-se uma linha, uma coluna e uma diagonal
que têm somente uma casinha em comum (como
no desenho a seguir), o número de quadradinhos
retirados é máximo, igual a 13. Restam 12 quadra12
.
dos, correspondendo à área de
25
1
2
1
1
0
2
1
2
2
3
3
1
1
0
2
1
X
X
X
Como a casa do canto superior direito e sua vizinha
à esquerda têm o número 1, as casas do canto superior direito e suas vizinhas à esquerda e abaixo
não foram marcadas. O número na casa da quarta
coluna e segunda linha indica que sua vizinha abaixo foi marcada. Por fim, o número no canto inferior
direito mostra que a casa correspondente não foi
marcada.
15 Resposta: (C)
Juntando-se as partes das faces superiores dos
cubos, obtemos uma face do cubo maior, de aresta
50 cm. A face inferior do cubo também é revestida.
As quatro faces laterais dos cinco cubos deverão ser
revestidas.
A área total é igual a:
2  502 1 4(102 1 202 1 302 1 402 1 502 ) 5
5 27000 cm2 5 2, 7 m2
17 Resposta: (D)
O diagrama de árvore a seguir mostra os resultados
que podem ser obtidos.
11
23
32
5
14
29
41
2
1
1
0
2
1
2
2
3
3
1
1
0
2
1
X
X
X
X
O número de casas marcadas é 4.
16 Resposta: (B)
Ao andar sobre a esteira em movimento, Nelly anda
210 metros em 60 segundos. Portanto, a esteira
anda 150 metros (210 2 60 5 150) a cada minuto.
Para alguém parado na esteira, o tempo necessário
para percorrer 210 metros será:
210
51, 4 minuto 5 1min24s
150
47
1
95
68
65
20 Resposta: (D)
A altura da pilha é 100 000 000 3 0,1 5
5 10 000 000 mm 5 10 000 m. Considerando que
um andar de um prédio tem cerca de 4 metros, a
altura do Petronas Tower é cerca de 356 metros
(4 3 88 5 356). A distância do planeta Terra à Lua
é da ordem de milhares de quilômetros. Tendo isso
em vista, a alternativa mais próxima à altura da pilha
é a alternativa D.
Observação: o Petronas Tower fica em Kuala Lumpur, capital da Malásia, e tem 452 metros de altura.
A baleia azul, além de ser o maior animal do mundo, também é o mais barulhento (!). A distância
da Terra à Lua é, em média, de aproximadamente
380 000 quilômetros.
95
SEGUNDA FASE – parte A
59
••••••
86
1 Resposta:
83
10100 2 2 003 51000
...000 2 2 003 5 9
99...97 997 . Dos

100 zeros
Nele, vemos que o maior é 95.
100 algarismos
cem algarismos do resultado, dois são o 7; portanto,
o número de algarismos 9 no resultado é 98.
18 Resposta: (D)
A sequência (D) não tem dois 4.
19 Resposta: (B)
As casas vizinhas às casas com o número 0 não podem ser marcadas. Observando a casa da terceira linha e segunda coluna, concluímos que as três casas
que sobraram foram marcadas:
2 Resposta:
2 0032 5 4 012 009 e 2 0042 5 4 016 016. Os múltiplos de 100 são 4 012 100 5 40 121 3 100,
4 012 200 5 40 122 3 100, 4 012 300 5 40 123 3
3 100, ..., 4 016 000 5 40 160 3 100. O número de
múltiplos de 100 é, então, 40 (40 160 2 40 120 5 40).
113
3 Resposta:
Podemos contar o número de triângulos segundo o
diagrama abaixo:
1 triângulo
3 triângulos
2 triângulos
3 triângulos
2 triângulos
3 triângulos
2 triângulos
9 Resposta:
Sejam a, b, c, d e e os cinco números. Temos
a 1b 1 c 1 d 1 e
511⇔ a 1 b 1 c 1 d 1 e 5 55. Um
5
desses números, digamos a, é o maior possível se, e
somente se, a soma dos demais for a menor possível. Isso ocorre para b 1 c 1 d 1 e 511 2 1 3 1 4 510,
de onde vem que a 5 45 (55 2 10 5 45).
1 triângulo
10 Resposta:
Seja x o número de pontos que deve aparecer nas
metades das peças do dominó conforme o desenho
abaixo:
O número total de triângulos é 17 (1 1 2 1 2 1 2 1
1 3 1 3 1 3 1 1 5 17).
x
x x x
4 Resposta:
Quando o numerador das horas mostrar 01, 02, ..., 12,
o marcador dos minutos apresentará o algarismo 7
nas seguintes situações: 07, 17, 27, 37, 47 e 57, totalizando 72 exibições (12 3 6 5 72) no marcador de
minutos. Ocorre que o algarismo 7 também aparece no marcador das horas nas situações 07:00, 07:01
etc., ou seja, devem ser contadas mais 60 exibições
do 7. O número total de vezes em que aparece o 7 é
132 (72 1 60 5 132) e metade desse número é 66.
5 Resposta:
Se as cabines de números 8 e 25 estão em pontos
diametralmente opostos na circunferência, então de cada lado do diâmetro existem 16 cabines
(25 2 8 2 1 5 16). Logo, o número total de cabines
da roda-gigante é 34 (2 3 16 1 2 5 34).
6 Resposta:
Os anos bissextos são 1 892, 1 896, 1 904, ..., 2 000
(note que 1900 não é bissexto, pois é múltiplo de
100, mas não é de 400; por outro lado, 2000 é bissexto, pois é múltiplo de 100 e de 400). De 1904 a 2000
2000 21904
115 24 115 25.
há 25 múltiplos de 4
4
Portanto, o número de anos bissextos desde 1889
até agora é 27 (25 1 2 5 27).
7 Resposta:
As faces laterais em cada dado compõem-se de dois
pares de faces opostas, logo nelas a soma é sempre
14
7 1 7 5 14. Temos liberdade de escolher os
números que vão ficar na face superior e na face
inferior, pois há 4 dados na pilha. Para minimizar a
soma, escolhemos o 1 para figurar nessas duas faces.
Portanto, a soma mínima é 58 (2 1 4 3 14 5 58).
8 Resposta:
No produto 45 3 a3 5 3bcd, é imediato concluir
que d 5 5, isto é, 45 3 a3 5 3bc5. Fazendo uma
estimativa de a, vemos que as possibilidades são
duas: 45 3 73 5 3 285 e 45 3 83 5 3 735, de onde se
conclui que para a 5 7 temos b 5 2 e c 5 8, e para
a 5 8 temos b 5 7 e c 5 3. Portanto, b 1 c 1 d 5 15
(2 1 8 1 5 5 7 1 3 1 5 5 15).
Temos x  0 (pois já foi usada a peça 0:3), x 1 e x  4
(já foi usada a peça 4:1), x 2 (já foi usada a peça
2:1), x 5 (já foi usada a peça 5:1) e x  6 (já foi usada a peça 6:2). Portanto, x 5 3 (verifica-se que esse
caso é possível) e a soma dos pontos é 22 [3 1 4 1
1 1 1 2 1 (4 3 3) 5 22].
SEGUNDA FASE – parte B
••••••
1 Resposta:
Temos 31 5 3, 32 5 9, 33 5 27, 34 5 81, mas 35 5 243
(não serve). Assim, os números obtidos de acordo
com as condições do problema são:
3 1 9 512, 3 1 27 5 30, 3 1 81 5 84,
9 1 27 5 36, 9 1 81 5 90, 27 1 81 5 108,
3 1 9 1 27 5 39, 3 1 9 1 81 5 93,
3 1 27 1 81 5 111, 9 1 27 1 81 5 117
Note que o número 3 1 9 1 27 1 81 5 120 não serve.
2 Respostas:
Primeira solução: Os triângulos ABE e EHF são retângulos em A e H, respectivamente; a medida do
ângulo BÊF é de 90°; se a medida do ângulo HÊF é x,
ˆ e AÊB é 90° 2 x
então a medida dos ângulos EFH
ˆ é
e, consequentemente, a medida do ângulo ABE
x; como BE 5 EF (são lados do mesmo quadrado),
então os triângulos mencionados são congruentes
(pelo caso ALA de congruência de triângulos). Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos escrever
BE2 5 AB2 1 AE2, o que mostra que a área do quadrado BEFG é a soma das áreas dos quadrados ABCD e
FHIJ, ou seja, 64 1 36 5 100 cm2.
114
Segunda solução: Os triângulos ABE e EHF são retângulos em A e H, respectivamente; a medida do
ângulo BÊF é de 90°; se a medida do ângulo HÊF é
ˆ e AÊB é 90° 2 x
x, então a medida dos ângulos EFH
ˆ é
e, consequentemente, a medida do ângulo ABE
x; como BE 5 EF (são lados do mesmo quadrado),
então os triângulos mencionados são congruentes (pelo caso ALA de congruência de triângulos).
Como o quadrado ABCD tem área igual a 64 cm2,
concluímos que seus lados medem 64 5 8 cm; o
quadrado FHIJ tem área igual a 36 cm2, logo seus
lados medem 6 cm. Temos, então, BA 5 EH 5 8 cm
e FH 5 AE 5 6 cm.
Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos escred(N)
)
2 1 , ou 2seja, ad(N
ver BE2 5 AB2 1 AE2 5 82 1 62 5
área
100
N2 2
5N ⇔
2 15 2
2
do quadrado BEFG é 100 cm .
Segunda solução: O produto de todos os divisores
d(N)
positivos de um número inteiro N é igual a N 2 , em
que d(N) é o número de divisores positivos de N.
O produto de todos os divisores positivos exceto 1
d(N)
d(N)
N2
21
eNé
5N 2 .
N
d(N)
d(N)
d(N)
21
Temos, então, N 2
5 N2 ⇔
2 15 2 ⇔
53 ⇔
2
2
d(N)
5 3 ⇔ d(N) 5 6 . Portanto, o produto
⇔
2
dos divisores positivos diferentes de N é o quadrado de N se, e somente se, N tem 6 divisores
positivos. Logo o número é da forma p5 ou p2  q ,
em que p e q são números primos positivos, distintos. Se o número é positivo menor do que 100,
temos as 16 seguintes possibilidades:
Terceira solução (sem usar o teorema de Pitágoras): Os triângulos ABE e EHF são retângulos em A
e H, respectivamente; a medida do ângulo BÊF é de
90°; se a medida do ângulo HÊF é x, então a medida
ˆ e AÊB é 90° 2 x e, consequentedos ângulos EFH
ˆ é x; como BE 5 EF
mente, a medida do ângulo ABE
(são lados do mesmo quadrado), então os triângu25 5 32
los mencionados são congruentes (pelo caso ALA
22  3 512
de congruência de triângulos). Como o quadrado
22  5 5 20
ABCD tem área igual a 64 cm2, concluímos que seus
22  7 5 28
lados medem 64 5 8 cm; o quadrado FHIJ tem
22  115 44
área igual a 36 cm2, logo seus lados medem 6 cm.
22  13 5 52 32  2 518
Portanto, BA 5 EH 5 8 cm e FH 5 AE 5 6 cm.
22  17 5 68 32  5 5 45
AB 1 FH
8 1 6 22  19 5 76
32  7 5 63
52  2 5 50
A área do trapézio ABFH é igual a
 AH5
14 5
98 cm2
2
2
2
2
2
2
2

23
5
92
3

11
5
99
AB 1 FH
816
5  3 5 75 7  2 5 98
 AH5
14 5 98 cm2 . Como o trapézio é compos2
2
to pelos triângulos ABE, EHF e BEF, e a área dos tri6 8
Nível 2 (8o. e 9o. anos)
5 24 cm2 ,
ângulos congruentes ABE e EHF é
2
PRIMEIRA FASE
concluímos que a área do triângulo BEF é 50 cm2
••••••
(98 2 2 3 24 5 50) e, consequentemente, a área do
2
a
quadrado ABFH é o dobro, ou seja, 100 cm .
1. Fase Olimpíada Regional
3 Resposta:
Primeira solução: Os divisores positivos de um
número inteiro N são d1, d2 , d3 , …, dk , tais que
15 d1  d2  d3  …  dk 5N e podemos observar
que 1  N5 d2  dk 21 5 d3  dk 22 etc. Por exemplo, os
divisores positivos de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12, de forma que 1 3 12 5 2 3 6 5 3 3 4. Note que ao excluir
os divisores 1 e 12, restam 2, 3, 4 e 6, cujo produto é
2 3 3 3 4 3 6 5 (2 3 6) 3 (3 3 4) 5 12 3 12 5 122.
Assim, concluímos que o produto dos divisores positivos de um inteiro, excluindo 1 e o próprio número, é igual ao quadrado do número se, e somente se,
o número tem 6 divisores. Portanto, o número é da
forma p5 ou p2  q, onde p e q são números primos
positivos, distintos. Se o número é positivo menor
do que 100, temos as 16 possibilidades seguintes:
25 5 32
22  3 512
22  5 5 20
22  7 5 28
22  115 44
22  13 5 52
22  17 5 68
22  19 5 76
22  23 5 92 AL – BA – GO – PA – PB ­­– PI – RS – RN – SC
1 Resposta: (C)
Completando a figura com quadradinhos de lado 1,
vemos 3 quadrados de área 1, 1 quadrado de área
9, 2 quadrados de área 4 e 1 quadrado de área 25.
Logo a área do retângulo é 45 3 1 9 1 2 3 4 1
1 25 5 45.
2 Resposta: (A)
A quantidade utilizada de palitos é mínima quando o número de palitos de 7 cm é máximo. Como
200 5 28 3 7 1 4 5 26 3 7 1 3 3 6, o número mínimo de palitos é 29.
32  2 518
32  5 5 45
32  7 5 63
52  2 5 50
32  115 99 52  3 5 75 72  2 5 98
3 Resposta: (D)
(x2 37)2 5132 x 2 37 513 ou x 2 37 5 213. Assim, x 5 50 ou x 5 24.
115
4 Resposta: (D)
O diagrama de árvore a seguir mostra os resultados
que podem ser obtidos.
11
23
32
5
14
29
47
68
65
95
59
86
95
12 Resposta: (D)
A sequência (D) não tem dois 4.
13 Resposta: (E)
Existem 9 peças com duplos (0 2 0, 1 2 1, …, 8 2 8)
8
e 9 3 5 36 peças com números diferentes.
2
14 Resposta: (C)
Os seis primeiros termos são:
32 2 4 5 5 (primo) 62 2 7 5 29 (primo)
2
4 2 5 5 11 (primo) 72 2 8 5 41 (primo)
2
5 2 6 5 19 (primo) e 82 2 9 5 55 5 5 3 11.
Outra solução:
O n-ésimo termo da sequência é:
1
1
an 5 (n 1 2)2 2(n 1 3) 5 n2 1 3n 11 5 ( 4n2 112n 1 4) 5 ((2n 1
Nele, vemos que o maior é 95.
4
4
1
1
an 5 (n 1 2)2 2(n 1 3) 5 n2 1 3n 11 5 ( 4n2 112n 1 4) 5 ((2n 1 3)2 2 5)
4
4
5 Resposta: (E)
Seja p um divisor primo de n2 1 3n 11.
Igualando a soma dos valores da diagonal e da coluna que se cruzam no quadrado com mesmo núComo n2 1 3n 115n(n 11) 1 2n 11 é ímpar, p  2.
1
mero, temos 26 1 14 5 x 1 13, isto é, x 5 27.
Assim, p ((2n 1 3)2 2 5) ⇔ (2n 1 3)2  5 (módulo p).
4
Portanto, 5 deve ser resíduo quadrático módulo p.
6 Resposta: (C)
Logo, os menores valores de p são 5 e 11, de modo
O algarismo final de n3 2 n2 é o mesmo algarismo
que se an é composto an > 5 3 11. (Observe que an
final de 73 2 72 5 294.
não é um quadrado perfeito, pois (2n 1 2)2 , 4an , (2n 1 3)2 .
7 Resposta: (E)
(2n 1 2)2 , 4an , (2n 1 3)2 ).. Como (n 1 2)2 2(n 1 3) 5 55 ⇔ n 5 6, o
primeiro termo composto é o sexto.
42
Observação: Na verdade, utilizando a lei da reciprocidade quadrática, temos:
13 1 x 11 1 2x
p2 1 5 2 1
p   5 
 5  p 
p 

     5 (21) 2 2 ⇔   5   ⇔   51 ⇔ p  0,1 ou 4 (
p
p
5
5








5
8
5 1 x xp1
6
2 1 52 1
p 
p   5 
 5  p 

     5 (21) 2 2 ⇔   5   ⇔   51 ⇔ p  0,1 ou 4 (módulo 5).
x
6
3  5  5p 
5
p   5 
Para saber o que é lei da reciprocidade quadrática e
(13 1 x) 1 (11 1 2x) 5 42 x 5 6
p
o símbolo   (que não é p dividido por q!), veja:
 q
8 Resposta: (A)
www.mat.puc-rio.br/~nicolau/papers/mersenne/
Fazendo as operações inversas, temos 220 1 5 5 225;
node15.html e http://mathworld.wolfram.com/
225 : 3 5 75; 75 2 1 5 74; 74 : 2 5 37, que é um núQuadraticReciprocityTheorem.html
mero primo.
15 Resposta: (D)
9 Resposta: (E)
Se KAB significa sim, a resposta correta à pergunta
a 5 c 22, b 5 c 21
é sim, ou seja, KAB. Se KAB significa não, a resposta
c2 2 ab 5 c2 2 (c 2 2)(c 2 1) 5 c2 2 (c2 23c 1 2) 5
correta à pergunta é não, ou seja, KAB. Assim, a pes5 3c 22 5 2(c 2 1) 1 c 5 2b 1 c
soa diz a verdade nos dois casos, mas não podemos
deduzir o significado verdadeiro da palavra KAB.
10 Resposta: (C)
Uma parte da sequência, com 8 algarismos, repete16 Resposta: (B)
-se: 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2. Dividindo 2 003 por 8, obtemos
O pentágono pode ser decomposto em triângu3 como resto, e deste modo o 2 003o termo correslos e retângulos, conforme o desenho a seguir.
ponde ao terceiro elemento da parte da sequência
3 1 3 1 2 1 3 1
3 3
A área do pentágono é 22 1
1
1
1
5 4 1 1 111
que se repete, isto é, 3.
2
2
2
2
2 2
3 1 3 1 2 1 3 1
3 3
3 19
cm2.
22 1
1
1
1
5 4 1 1 111 5
2
2
2
2
2
2
2
2
11 Resposta: (B)
C
41
83
24
2
2
4 16
1
2
552
552
5 5 2 5 5 2 4, 8 5 0, 2
5
5
1 1
2
1 1
1
1
12
4 6
4 6
2
24
2
552
5 5 2 5 5 2 4, 8 5 0, 2
5
5
12
D
B
E
A
116
17 Resposta: (C)
Há 6 possibilidades distintas de se colorir o tabuleiro.
18 Resposta: (C)
1
2
1
1
0
2
1
2
2
3
3
1
1
0
2
1
X
X
X
X
2002casas
22003  91001 22002  91001 22003  (32 )1001 22002  (32 )1001 22003Onúmero
32002 2de
 32002marcadas
2 1 é 4.
1 1001 2003 5 2 1001 2003 1 2 1001 2003 5 2002 2003 1 2002 2003 5 1 51
1001
2003
4 3
4 3
(2 )  3
(2 )  3
2 3
2 3
3 3
22 Resposta: (C)
 91001 22002  91001 22003  (32 )1001 22002  (32 )1001 22003  32002 22002  32002 2Como
1
5
1
1
5
1
5 1 5A
1 e B são consecutivos e AB 5 2 3 3 3 5 3
 32003 41001  32003 (22 )1001  32003 (22 )1001  32003 22002  32003 22002  32003 33 73 3 11 3 13 3 17 5 (11 3 13) 3 (14 3 15) 3 17
é próximo de 122 3152 3 42 5 7202 , A e B são próxi)1001 22002  (32 )1001 22003  32002 22002  32002 2 1
1
5
1
5
1
5
1
mos de 720.
2003
(22 )1001  32003 22002  32003 22002  32003 3 3
Notando que 720 5 122 3 5 é próximo de 13 3 11 3
3 5, vemos que A 5 13 3 11 3 5 5 715 e B 5 2 3 3 3
19 Resposta: (C)
3 7 3 17 5 714.
2
3
7
2 100
3 100
7 100
11 , 5 , 2
(11 ) , (5 ) , (2 )
A soma dos algarismos de A é 7 1 1 1 5 5 13.
20 Resposta: (B)
Vamos construir a árvore de possibilidades (Cara: c,
Coroa: k)
23 Resposta: (D)
()
k ⇒ Beatriz ganha (1/4)
(41)
(81)
c ⇒ Nicole ganha (1/8)
c
1
k ⇒ Beatriz ganha (1/8)
(
8)
k ⇒ Isabele ganha (1/4)
(41)
k
F
1
⇒ Nicole ganha (1/4)
4
c
c
C
D
()
A
2
1
1
0
2
1
2
()
2
3
3
1
1
0
2
1
X
1
ABG  AMF
21 Resposta: (B)
As casas vizinhas às casas com o número 0 não podem ser marcadas. Observando a casa da terceira linha e segunda coluna, concluímos que as três casas
que sobraram foram marcadas:
1
2
x
Assim, as chances das jogadoras são as seguintes:
3
3
1
Beatriz
, Nicole
, e Isabele
.
8
8
4
()
3
G
X
X
Como a casa do canto superior direito e sua vizinha
à esquerda têm o número 1, as casas do canto superior direito e suas vizinhas à esquerda e abaixo
não foram marcadas. O número na casa da quarta
coluna e segunda linha indica que sua vizinha abaixo foi marcada. Por fim, o número no canto inferior
direito mostra que a casa correspondente não foi
marcada.
B 1/2
1
M
E
2
3
3
x
2
5
⇒x5
. Então, a área do BFG é:
3
3
1
2
3
1
3
3
BG 3 BM
3
2
5
5
2
12
2
24 Resposta: (A)
A estratégia é escolher o ímpar “no meio” de cada
intervalo. Pedrinho pode começar com x 5 51, reduzindo as possibilidades a, no máximo, 25 ímpares (por exemplo, se a resposta for menor, o número
será um ímpar entre 1 e 49, e nesse caso Pedrinho
escolherá x 5 25). Continuando essa estratégia, Pedrinho reduzirá as possibilidades no próximo passo
a, no máximo, 12 ímpares, depois a 6 ímpares, depois a 3 ímpares, e finalmente a 1 ímpar, acertando
o número com, no máximo, 5 perguntas.
25 Resposta: (C)
Os triângulos ABE e ACD são isósceles de bases
AE e AD, respectivamente, pois AB 5 BE 5 20 e
AC 5 CD 5 21. Se 2b e 2 são as medidas dos ângulos internos B e C do triângulo ABC, temos: BÊA 5
ˆ 5 CÂD 5 90° 2 .
5 BÂE 5 90° 2 b e CDA
Logo: DÂE 5 180° 2 (90° 2 b) 2 (90° 2 ) 5 b 1 .
Como 202 1 212 5 292, pela recíproca do teorema
ˆ é reto. Logo, 90° 1 2b 1
de Pitágoras, o ângulo BAC
ˆ
12 5 180° b 1  5 45°. Portanto, o ângulo DAE
mede 45°.
117
(AB 1 FH)
 AH 5
A área do trapézio ABFH é igual a:
2
SEGUNDA FASE
••••••
(
)
2
30 1 20
(AB 1 FH)
 AH 5
5 25 1 20  30
1 Respostas: Primeira solução:
2
2
Os triângulos ABE e EHF são retângulos em A e H,
Como o trapézio é composto pelos triângulos ABE,
ˆ é 90°; se
respectivamente; a medida do ângulo BEF
EHF e BEF, e a área dos triângulos congruentes ABE e
ˆ
a medida do ângulo HEF é x, então a medida dos
ˆ
ˆ
ângulos EFH e AEB é 90° 2 x e, consequentemen20  30
EHF é
, concluímos que a área do triânguˆ é x; como BE 5 EF (são
te, a medida do ângulo ABE
2
lados do mesmo quadrado), então os triângulos
20  30
5 25 cm2
lo BEF é: 50 1 20  30 5 2 
mencionados são congruentes (pelo caso ALA de
2
congruência de triângulos).
2 Primeira solução:
G
Todo número inteiro positivo n pode ser escrito na
forma 2a  b, a  0, b  0 e b ímpar (chamamos b de
C
B
parte ímpar de n). Considere dois números com a
mesma parte ímpar: n1 5 2a1  b e n2 5 2a2  b. SuponF
J
do, sem perda da generalidade, que a1 , a2 , então
temos que n1 é divisor de n2 .
Assim, como de 1 a 26 temos 13 partes ímpares
possíveis, a saber: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,
D
I
H
A
E
23 e 25, cada um dos números deve ter uma parte
ímpar diferente. Considerando que 1 divide todos
os números inteiros, o número com parte ímpar 1 é
Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos escre2
2
2
o que deve ter maior a.
ver BE 5 AB 1 AE , o que mostra que a área do
Porém, 4 5 22  1 está entre os números escolhidos;
quadrado BEFG é a soma das áreas dos quadrados
logo, para os demais números escolhidos, devemos
ABCD e FHIJ, ou seja, 30 1 20 5 50 cm2.
ter a 5 0 ou a 5 1. E podemos determinar todas as
escolhas possíveis:
Segunda solução:
Os triângulos ABE e EHF são retângulos em A e H,
ˆ é 90°;
respectivamente; a medida do ângulo BEF
ˆ
se a medida do ângulo HEF é x, então a medida dos
ˆ e AEB
ˆ é 90° 2 x e, consequentemenângulos EFH
ˆ é x; como BE 5 EF (são
te, a medida do ângulo ABE
lados do mesmo quadrado), então os triângulos
mencionados são congruentes (pelo caso ALA de
congruência de triângulos). Como o quadrado
ABCD tem área igual a 30 cm2, concluímos que seus
lados medem 30 cm ; o quadrado FHIJ tem área
igual a 20 cm2, logo seus lados medem 20 cm. Temos então, BA 5 EH 5 30 cm e FH 5 AE 5 20 cm.
Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos escrever BE2 5 AB2 1 AE2 , ou seja, a área do quadrado
BEFG é 50 cm2.
Terceira solução (sem usar o teorema de Pitágoras): Os triângulos ABE e EHF são retângulos
em A e H, respectivamente; a medida do ânguˆ é 90°; se a medida do ângulo HEF
ˆ é x, enlo BEF
ˆ
ˆ
tão a medida dos ângulos EFH e AEB é 90° 2 x
ˆ
e, consequentemente, a medida do ângulo ABE
é x; como BE 5 EF (são lados do mesmo quadrado), então os triângulos mencionados são congruentes (pelo caso ALA de congruência de triângulos). Como o quadrado ABCD tem área igual a
30 cm2, concluímos que seus lados medem 30 cm;
o quadrado FHIJ tem área igual a 20 cm2, logo
seus lados medem 20 cm. Temos, então: BA 5
5 EH 5 30 cm e FH 5 AE 5 20 cm.
118
• 3 é divisor de 9; 15 e 21. Logo, 2  3 5 6, 9, 15 e 21
devem estar na nossa escolha.
• 5 é divisor de 15 e 25. Logo, 2  5 510 e 25 devem
estar na nossa escolha.
• 7 é divisor de 21. Logo, 2  7 514 deve estar na
nossa escolha.
• Com parte ímpar 11 podemos escolher 11 ou 22, e
com parte ímpar 13, 13 ou 26. As demais escolhas
são 17, 19 e 23.
Portanto, as escolhas possíveis são (ordenadas segundo a parte ímpar):
4; 6; 10; 14; 9; 11 ou 22; 13 ou 26; 15; 17; 19; 21;
23; 25.
Segunda solução:
Se houvesse apenas a condição 2, poderíamos escolher os números 14, 15, 16, …, 26. Porém, temos
de escolher o 4, o que nos impede de escolher os
números 16, 20 e 24.
Olhando os números restantes que não são divisores dos múltiplos de 4 (ou seja, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11),
observamos que o número 10 pode ser adicionado
às nossas escolhas e nenhum mais.
Ficamos, então, com 12 números: 4, 10, 14, 15, 17, 18,
19, 21, 22, 23, 25 e 26. Devemos tirar um deles, pelo
menos, para acrescentar dois.
A retirada do 18 permite que acrescentemos o 6 e o
9, completando nossa solução: 4, 6, 9, 10, 14, 15, 17,
19, 21, 22, 23, 25 e 26 (de fato, podemos colocar 11
no lugar de 22 ou 13 no lugar do 26).
(
)
2
30 1 20
2
3 Primeira solução:
Vamos usar a notação [X] para denotar a área do
polígono X.
A
M
E
4 Resposta:
Primeira solução: Os divisores positivos de um
número inteiro N são d1, d2 , d3 , …, dk , tais que
15 d1  d2  d3  …  dk 5N e podemos observar
que 1  N 5 d2  dk 21 5 d3  dk 22 etc. Por exemplo, os
divisores positivos de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12, de forma que 1 3 12 5 2 3 6 5 3 3 4. Note que ao excluir
os divisores 1 e 12, restam 2, 3, 4 e 6, cujo produto
é 2 3 3 3 4 3 6 5 (2 3 6) 3 (3 3 4) 5 12 3 12 5 122.
Assim, concluímos que o produto dos divisores positivos de um inteiro, excluindo 1 e o próprio número, é igual ao quadrado do número se, e somente se,
o número tem 6 divisores. Portanto, o número é da
forma p5 ou p2  q, onde p e q são números primos
positivos, distintos. Se o número é positivo menor
do que 100, temos as 16 possibilidades seguintes:
B
F
P
D
N
C
Sejam E e F os pontos de interseção como mostrados na figura. Sejam AB 5 2a e BC 5 2b. Então
AM 5 MB 5 DN 5 NC 5 a e ME 5 EN 5 b. Trace
AN e seja P o ponto de interseção dos segmentos
AN e BD. Os segmentos AN e MC são paralelos (pois
AM 5 NC e AM || NC).
Como M é ponto médio de AB e MF || AP, temos que
F é o ponto médio do segmento PB. Analogamente,
P é o ponto médio do segmento DF. Segue então
que DP 5 PF 5 FB.
Por simetria, verificamos que PE 5 EF e então
EF 1
5 . Portanto, podemos escrever:
FB 2
[MEF] 1
5
[MBF] 2
1
Por outro lado, [MBE] 5 , [ABD] 5125,
4
125
250
1
2
[MEF] 5 125 5
cm2 e [MBF] 5 125 5
cm2 .
3
3
3
3
A
P
D
, obtemos:
125
3[MEF] 5125 ⇒ [MEF] 5
3
1
de
2
32  2 518
32  5 5 45
52  2 5 50
32  7 5 63
32  115 99 52  3 5 75 72  2 5 98
Segunda solução: O produto de todos os divisores
d(N)
positivos de um número inteiro N é igual a N 2 , em
que d(N) é o número de divisores positivos de N. O
produto de todos os divisores positivos exceto 1 e
d(N)
d(N)
N2
21
5N 2 .
N
d(N)
M
B
d(N)
d(N)
21
215 2 ⇔
5 3 ⇔ d(N) 5 6
Temos, então, N 2 5N2 ⇔
2
2
d(N)
d(N
d(N
)
)
21
N 2 5N2 ⇔
215 2 ⇔
5 3 ⇔ d(N) 5 6. Portanto, o produto dos divisores
2
2 positivos diferentes de N é o quadrado de N se, e
E
F
so­mente se, N tem 6 divisores positivos. Logo o
número é da forma p5 ou p2  q , em que p e q são
números pri­mos positivos, distintos. Se o número é
positivo menor do que 100, temos as 16 seguintes
N
C
possibilidades:
Segunda solução:
Observe que ME || BC e MB || DC. Assim, temos as
semelhanças de triângulo:
• MEF BCF (na razão de 1 : 2)
• MBF CFD (na razão de 1 : 2)
Lembrando que a razão entre as áreas de duas figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança, temos: [BCF] 5 4[MEF] e [CDF] 5 4[MBF].
Também, [BCD] 5500 (metade da área do retângulo) e área do [MCB] 5250 (metade da área do retângulo MNCB, que é a metade da área do retângulo).
Portanto:
[CFD] 1 [BCF] 5 [BCD] 5 500 ⇒
⇒ 4[MBF] 1 4[MEF] 5 500 ⇒ [MBF] 1 [MEF] 5125 1
e
[MBF] 1 [BCF] 5 [MCB] 5 250 ⇒
2
⇒ [MBF] 1 4[MEF] 5 250
Subtraindo
25 5 32
22  3 512
22  5 5 20
22  7 5 28
22  115 44
22  13 5 52
22  17 5 68
22  19 5 76
22  23 = 92 Né
25 5 32
22  3 512
22  5 5 20
22  7 5 28
22  115 44
22  13 5 52
22  17 5 68
22  19 5 76
22  23 5 92
32  2 518
32  5 5 45
32  7 5 63
32  115 99
52  2 5 50
52  3 5 75
72  2 5 98
5 Resposta:
(a)Fazendo x 5 y 5 1, obtemos [f (1)]2 2 f (1) 5 2. Resolvendo a equação, obtemos f(1) 5 2 ou f(1) 5
5 2 1. Este último valor não serve, pois o contradomínio da função é o conjunto dos números
reais estritamente positivos. Portanto, f(1) 5 2.
(b)Fazendo y 5 1 na identidade do problema ob1
temos f ( x)f (1) 2 f ( x) 5 x 1 .
x
Substituindo o valor de f(1), obtemos a fórmula
1
para f(x): f ( x)5 x 1
x
119
resolver o problema é determinar todas as soluções
6 Resposta:
inteiras (m, n) de m2 1 n2 5 10 001, com m par e
Vamos separar o número de quatro dígitos em
n ímpar. Se dois números podem ser escritos como
duas partes: os dois primeiros dígitos, da esquerda
soma de dois quadrados, então o produto dos mespara a direita, formam o número x e os dois restanmos também pode, pois, escrevendo p 5 r2 1 s2 e
tes formam o número y.
2
2
q 5 t2 1 u2, temos:
Então a propriedade significa que 100x 1 y 5 x 1 y .
Essa igualdade pode ser considerada uma equação
pq 5 (r2 1 s2 )( t2 1 u2 ) 5 (rt 1 ts)2 1 (ru 2 st)2 .
do segundo grau em x:
Observando que 10 001 5 73 3 137 5 (82 1 32 ) 3 (112 1 42 ),
x2 2100x 1 y2 2 y 5 0 . 3
2
2
2
2
2
Resolvendo, encontramos: 10 001 5 73 3 137 5 (82 1 32 ) 3 (112 1 42 ), obtemos: (8 1 3 ) 3 (11 1 4 ) 5 (8 3111 3 3 4) 1
2
2
2
2
2
2
2
2
x 5 50  2 500 2 ( y2 2 y) 4 (8 1 3 ) 3 (11 1 4 ) 5 (8 3111 3 3 4) 1 (8 3 4 2 3 311) 5100 11
Com o exemplo do enunciado, y 5 33 resulta em
(82 1 32 ) 3 ( 42 1112 ) 5 (8 3 4 1113 3)2 1 (8 3112 3 3 4)2 5 652 1 7
x 5 12 com o (sinal
(2)
na
expressão:
82 1 32 ) 3 ( 42 1112 ) 5 (8 3 4 1113 3)2 1 (8 3112 3 3 4)2 5 652 1 762
x 5 50 2 1444 5 50 2 38 512
Naturalmente, outra solução aparece quando colocamos o sinal (1) na mesma expressão:
x1 5 50 1 1444 5 50 1 38 5 88
Então, outro número com a mesma propriedade é
8 833 5 882 1 332.
Comentários:
A equação x2 2100x 1 y2 2 y 5 0 é equivalente a
(2x 2100)2 1 (2y 21)2 510 001. Outra maneira de
120
É possível mostrar que todas as maneiras de escrever 10 001 como soma de dois quadrados são as
do tipo (m, n) 5 (100, 1) ou (m, n) 5 (65, 76)
e suas permutações.
A primeira solução nos dá 2x 2 100 5 100, re­
sultado em x 5 0 ou x 5 100, que não servem para
o problema.
A segunda solução resulta em 2y 2 1 5 65 e
2x 2 100 5 76, de onde obtemos (x, y) 5 (88, 33)
ou (x, y) 5 (12, 33).
XXIV OLIMPÍADA
BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2002
RESOLUÇÕES
8 Resposta: (D)
A linha é composta da repetição da figura ao lado,
cujo comprimento é 9. Cada
figura inicia num ponto representado por um múltiplo de 3 no eixo horizontal:
0, 3, 6, ..., 30. A 11a figura, incompleta, tem comprimento 7. Portanto, o comprimento da linha poligonal é igual a 97 (10 3 9 1 7 5 97 ).
Nível 1 (6o. e 7o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
1a. Fase Olimpíada Regional
BA – ES – MG – PA – PB – RJ – RS – SC
1 Resposta: (C)
(24)8 5 232 5 232 5 232 51
(48)2 416 (22)16 232
2 Resposta: (C)
Examinando o desenho, vemos que há um total
de 14 caixas na pilha. Portanto, a pilha pesa 350 kg
(25 314 5 350 ).
3 Resposta: (B)
Observando a balança, vemos que 3 saquinhos
(diferença do número de saquinhos entre os dois
pratos) pesam o mesmo que 6 bolinhas (diferença
do número de bolinhas entre os dois pratos). Logo,
cada saquinho tem 2 bolinhas.
4 Resposta: (B)
A soma dos números de 1 a 9 é 45. Ao colocar 1 no
meio, podemos escrever numa das “pás” 22 5 9 1
1 6 1 5 1 2 e na outra 22 5 8 1 7 1 4 1 3. Essa
não é a única possibilidade, mas isso não muda o
fato de que a maior soma possível em cada pá é
igual a 22.
5 Resposta: (D)
O total de letras nas cinco respostas é 63, sendo 13
nas respostas das alternativas A e B, 9 na resposta
da alternativa C, 12 na resposta da alternativa D e
16 na resposta da alternativa E. Como 63 2 13 5
5 50, 63 2 9 5 54, 63 2 12 5 51 e 63 2 16 5 47,
a única alternativa correta é a D.
6 Resposta: (D)
1
Para a loja C foi vendido
da produção
10
1
2
9
1


12  1  512 5 , no total de 2 500 uni 2 5
10 10
dades. Portanto, a produção total da fábrica foi de
25 000 latas (10 3 2500 5 25000 ).
7 Resposta: (B)
1
Cada retângulo tem comprimento 1 e largura ;
4
portanto, o buraco quadrado tem lado de medida
2
1 3
3
9
igual a 12 5 e sua área é   5 .
 4
4 4
16
9 Resposta: (C)
Dois inteiros consecutivos positivos podem ser representados por n e n11, sendo n 1, e a diferença entre seus quadrados é igual a:
(n 11)2 2n2 5 n2 1 2n 112n2 5 2n 11 5 (n 11) 1n,
resultado igual à soma desses números.
10 Resposta: (B)
O tempo necessário para voltar para casa e depois
fazer todo o percurso até a escola foi de 18 minutos (pois ia chegar 8 minutos adiantado, mas
acabou chegando 10 minutos atrasado), tempo
correspondente à distância a mais que percorreu,
exatamente o dobro da distância entre o ponto
de retorno e sua casa. Portanto, levou 9 minutos
para ir de sua casa até o ponto de retorno, o que
9
corresponde a
da distância de sua casa até a
20
escola.
11 Resposta: (D)
- A alternativa A é falsa, pois analisando o gráfico
fica claro que em nenhum dos meses o faturamento de A é o dobro do faturamento de B.
- A alternativa B é falsa, pois em outubro a diferença
de faturamento entre as duas empresas foi mais
de 80 milhões, maior do que a diferença em julho,
que foi de 60 milhões.
- A alternativa C é falsa, pois foi a empresa A que
teve a maior queda de faturamento entre dois
meses consecutivos (100 milhões entre os meses
de agosto e setembro).
- A alternativa D é correta, pois no semestre o faturamento de B foi de 860 milhões, e o faturamento de A foi maior que 860 milhões e menor que
880 milhões.
- A alternativa E é falsa, pois a diferença de fatu­
ramento no semestre foi menor que 20 milhões.
121
12 Resposta: (C)
(
)
900
O custo de combustível é 120 reais
31, 60 5120 .
12
Com o pedágio, o custo da viagem é 168 reais
(120 1 48 5 168). Cada um dos três viajantes irá
168
pagar 56 reais
5 56 . Nesse caso, Patrícia irá
3
economizar 24 reais (80 2 56 5 24).
(
)
13 Resposta: (B)
Observemos que um ônibus tem a mesma capa48
cidade que
5 8 “vans”. Para colocar crianças
6
que caberiam em k 1 1 ônibus, precisaríamos de
pelo menos 8k “vans”. O gasto com ônibus seria
237 1 120(k 1 1) 5 120k 1 357 e o gasto com “vans”
seria pelo menos 60 ? 8k 5 480k, que é maior que
o preço do ônibus para k maior ou igual a 1, isto é,
quando precisarmos de 2 ou mais ônibus.
Se utilizarmos um ônibus, pagaremos 357 reais
(237 1 120 5 357) para levar até 48 crianças. Co­
mo 357 reais são suficientes para pagar 5 “vans”,
mas não 6, é mais vantajoso utilizar ônibus se
­forem necessárias pelo menos 6 “vans”, o que
acontece quando levamos pelo menos 31 crianças
(5 ? 6 1 1 5 31). Logo, N 5 31.
14 Resposta: (D)
Supondo que haja dois números a e b maiores do
que 1, entre os fatores do produto, podemos sempre
substituir esses fatores por ab e 1, já que ab 1 1 
. a 1 b (ao fazer isso, estamos aumentando o valor
da soma).
Dessa forma, chegamos ao produto 1 ? 1 ? 1 ? ... ?
? 1 ? 1 000 000, com 999 999 fatores iguais a 1 e um
fator igual a 1 000 000, cuja soma é 1 999 999.
15 Resposta: (A)
Ao dividir a mesa em um tabuleiro 5 3 7, temos a
seguinte figura, com a trajetória da bola:
16 Resposta: (C)
A figura é determinada por um conjunto de circunferências concêntricas, com um eixo de simetria vertical (simetria de contornos), passando pelo centro
dessas circunferências. Cada região em negro tem
uma região simétrica, em branco. Logo, a área negra é igual à área branca, ou seja, é igual à metade
da área do círculo maior.
17 Resposta: (D)
Na figura 1, temos 2 palitos brancos; na figura 2,
temos 7 palitos brancos; na figura 3, temos 12 palitos brancos etc. Isso mostra que a sequência de
figuras é formada acrescentando sempre 5 palitos
brancos à quantidade anterior. Assim, na figura de
número 2 002, teremos 10 007 palitos brancos
2 1 (2 001) ? 5 5 10 007.
18 Resposta: (B)
Pela tabela, vemos que, cada vez que são retirados 200 litros de leite, o nível do tanque baixa
40 cm; portanto, o nível baixa 1 cm, quando são
200
enchidas 5 garrafas
5 5 . Assim, o tanque fi40
cará vazio quando forem enchidas 1 050 garrafas
( 210 3 5 51050 ).
(
19 Resposta: (D)
Nas unidades, do 105 ao 995, o algarismo 5 aparece 90 vezes, nas dezenas, do 150 ao 259, do 250
ao 259, …, do 950 ao 959, o algarismo 5 aparece
90 vezes e finalmente, nas centenas, do 500 ao
599, o algarismo 5 aparece 100 vezes, totalizando
assim 280 vezes (90 1 90 1 100 5 280).
20 Resposta: (A)
Seja W 5 2 000 2 V. Assim, após a primeira substituição, há certo volume W de leite e V
de água. Na segunda substituição, retira-se um
W
WV
? V5
volume
de leite. Assim,
W1V
2 000
W2
W2
)
WV
W(2 000 2 V )
W2
5 1125 ⇔
5 1125 ⇔
5 1125
2 000
2 000
2 000
WV
W(2 000 2 V )
W2
5 1125 ⇔
5 1125 ⇔
5 1125 , e desse modo obtemos W 5
2 000
2 000
2 000
5 1 500 litros e V 5 500 litros.
Partida
Observando a figura, nota-se que a bola bate na
tabela 10 vezes antes de bater novamente em um
canto.
Observação: pode-se demonstrar que se a razão entre a largura e o comprimento é a fração irredutível
a , a bola bate na tabela a 1 b 2 2 vezes nas tabeb
las antes de bater novamente em um canto. A ideia
para obter esse resultado é construir um quadrado
de lado ab com retângulos a 3 b e contar o número
de vezes que a diagonal do quadrado corta os lados
dos retângulos.
SEGUNDA FASE
••••••
1 Resposta:
a) Os palíndromos entre 2 000 e 3 000 são da forma
2aa2, em que a é um algarismo. Logo, os próximos quatro serão 2 112, 2 222, 2 332 e 2 442.
b) Como o primeiro algarismo é igual ao último, um
palíndromo ímpar maior que 2 002 deve começar e terminar por um número ímpar maior ou
igual a 3. Logo, o próximo será 3 003.
122
2 Resposta:
Seja S a área do triângulo ABC.
S
BC
Se BD 5 , então (ABD) 5 .
4
4
6 Resposta:
Como a diferença entre o 17 e o 3 é 14, esses números devem estar em posições afastadas de 14
casas, contadas na horizontal ou vertical.
Portanto, 17 e 3 devem ocupar as extremidades de
uma das diagonais do tabuleiro.
A partir disso, o preenchimento das diagonais é
feito de maneira única. E uma maneira de se preencher o tabuleiro é a seguinte:
S 3S
AC
(ADC) S 2 4
S
Se AE 5 , então (AED) 5
5
5 4 5
3 4
3
3
3
DC
(DEC)
Se DF 5 , então: (DEF) 5
5
2
2
(EFC)
Se EG 5 EC, então (GFC) 5
5
2
Como (GFC) 5 40, temos:
 S S
S 2 1 
 4 4 S
5
2
4
17
16
15
14
13
12
11
10
 3S
S 2 
 4 S
5
2
8
S
5 40 ⇔ S 5 320 alqueires
8
3 Resposta:
Uma possível solução é: 2 002, 200, 20, 2, 4, 8, 16, 32,
64, 128, 256, 512, 51, 102, 204, 408, 816, 1 632, 163,
326, 652, 1 304, 130, 13.
4 Resposta:
Como os sapatos de Marisa eram azuis, e nem o vestido nem os sapatos de Júlia eram brancos, conclui-se que os sapatos de Júlia eram pretos; portanto,
os sapatos de Ana eram brancos.
O vestido de Ana era branco, pois era a única que
usava vestido e sapatos da mesma cor; consequentemente, o vestido de Júlia era azul e o de Marisa
era preto.
5 Resposta:
A soma dos pontos é 40. Segundo as regras do jogo,
as possibilidades são:
20
20
20 + 20
(1)
15 – 5
10
10
5–5
20 + 15 + 5
(2)
20 + 10 + 10
(3)
5–5–5–5
20 + 5 + 5 + 5 + 5 (5)
15
15
10
5
15
14
13
12
11
10
9
8
14
13
12
11
10
9
8
7
13
12
11
10
9
8
7
6
12
11
10
9
8
7
6
5
11
10
9
8
7
6
5
4
10
9
8
7
6
5
4
3
A soma dos números escritos nas diagonais é 160
8 3 10 1 (3 1 5 1 ... 1 17) 5 160.
Nível 2 (8o. e 9o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
a
1. Fase Olimpíada Regional
BA – ES – MG – PA – PB – RJ – RS – SC
1 Resposta: (C)
Sejam 27 000 2 x e x os preços de compra do primeiro e do segundo carros, respectivamente. Temos 1,1 (27 000 2 x) 1 0,95x 5 27 000 1 750
0,15x 5 1 950 x 5 13 000 27 000 2 x 5 14 000
2 Resposta: (A)
Ao dividir a mesa em um tabuleiro 5 3 7, temos a
seguinte figura, com a trajetória da bola:
20 + 10 + 5 + 5 (4)
10
5–5
15 + 15 + 10
(6)
15 + 15 + 5 + 5 (7)
10
15 + 10 + 10 + 5 (8)
5
Partida
(9)
15 + 10 + 5 + 5 + 5 (9)
5–5
5–5–5–5–5
15 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 (10)
10
10
16
15
14
13
12
11
10
9
10
5–5–5–5
5–5
10 + 10 + 10 + 10 (11)
10 + 10 + 10 + 5 + 5 (12)
10 + 10 + 5 + 5 + 5 + 5 (13)
Nãodá,dá,
pois
apenas
5 varetas
verdes.
10 – 5 – 5 – 5 – 5 – 5 – 5 não
pois
háhá
apenas
5 varetas
verdes.
123
Observando a figura, nota-se que a bola bate na
tabela 10 vezes antes de bater novamente em um
canto.
Observação: pode-se demonstrar que a razão entre
a
a largura e o comprimento é a fração irredutível ,
b
a bola bate na tabela a 1 b 2 2 vezes nas tabelas
antes de bater novamente em um canto. A ideia
para obter esse resultado é construir um quadrado
de lado ab com retângulos a 3 b e contar o número de vezes que a diagonal do quadrado corta os
lados dos retângulos.
3 Resposta: (A)
As telas são retângulos semelhantes, e a razão de
20 1
semelhança é
5 . Logo, a razão entre as áreas
60 3
2
1
 1
é   5 . Portanto, cabem 9 telas de 20 polega 3
9
das em uma de 60 polegadas.
10 Resposta: (B)
Como os quadrados, trapézios e triângulos são
congruentes entre si, devemos ter o lado do quadrado igual à altura do trapézio, igual a cada cateto do triângulo, igual à terça parte do lado do
quadrado maior. Foram eliminados dois triângulos
e um quadrado, cuja soma das áreas equivale à
área de dois quadrados de lado igual à terça parte
2
1
2
do original, ou seja, 2 3   5 da área do qua 3
9
drado original.
4 Resposta: (A)
Seja W 5 2 000 2 V. Assim, após a primeira substituição, há certo volume W de leite e V
de água. Na segunda substituição, retira-se um
W
WV
? V5
volume
de leite. Assim,
11 Resposta: (D)
W1V
2 000
WV
W(2 000 2 V )
W2
- A alternativa A é falsa, pois analisando o gráfico
W2
5 1125 ⇔
5 1125 ⇔
5 1125
2 000
2 000
2 000
fica claro que em nenhum dos meses o fatura000 2 V )
W2
mento de A é o dobro do faturamento de B.
5 1125 ⇔
5 1125 , e desse modo obtemos
2 000
2 000
- A alternativa B é falsa, pois em outubro a diferença
W 5 1 500 litros e V 5 500 litros.
de faturamento entre as duas empresas foi mais
de 80 milhões, maior do que a diferença em julho,
5 Resposta: (E)
que foi de 60 milhões.
Os 60 passos que João tem de vantagem equiva- A alternativa C é falsa, pois foi a empresa A que
2
lem a 40 passos de Pedro 3 60 5 40 . Quando
teve a maior queda de faturamento entre dois
3
João dá 6 passos, percorre uma distância equivameses consecutivos (100 milhões entre os meses
lente a 4 passos de Pedro. Assim, a cada 5 passos,
de agosto e setembro).
Pedro aproxima-se de João o equivalente a 1 pas- A alternativa D é correta, pois no semestre o fatuso, alcançando-o após 200 passos (40 3 5 5 200).
ramento de B foi de 860 milhões, e o faturamento de A foi maior que 860 milhões e menor que
6 Resposta: (C)
880 milhões.
Dois inteiros consecutivos positivos podem ser re-
A alternativa E é falsa, pois a diferença de fatu­
presentados por n e n11, sendo n 1, e a diferenramento no semestre foi menor que 20 milhões.
ça entre seus quadrados é igual a:
(
)
(n 11)2 2n2 5 n2 1 2n 112n2 5 2n 11 5 (n 11) 1n,
resultado igual à soma desses números.
7 Resposta: (B)
O tempo necessário para voltar para casa e depois
fazer todo o percurso até a escola foi de 18 minutos (pois ia chegar 8 minutos adiantado, mas
acabou chegando 10 minutos atrasado), tempo
correspondente à distância a mais que percorreu,
exatamente o dobro da distância entre o ponto de
retorno e sua casa. Portanto, levou 9 minutos para
ir de sua casa até o ponto de retorno, o que corres9
da distância de sua casa até a escola.
ponde a
20
8 Resposta: (B)
A soma dos números de 1 a 9 é 45. Ao colocar 1 no
meio, podemos escrever numa das “pás” 22 5 9 1
1 6 1 5 1 2 e na outra 22 5 8 1 7 1 4 1 3. Essa não
é a única possibilidade, mas isso não muda o fato de
que a maior soma possível em cada pá é igual a 22.
9 Resposta: (C)
900
O custo de combustível é 120 reais
31, 60 5120 .
12
Com o pedágio, o custo da viagem é 168 reais
(120 1 48 5 168). Cada um dos três viajantes irá pa168
5 56 . Nesse caso, Patrícia irá ecogar 56 reais
3
nomizar 24 reais (80 2 56 5 24).
(
(
)
12 Resposta: (D)
Supondo que haja dois números a e b maiores do
que 1, entre os fatores do produto, podemos sempre
substituir esses fatores por ab e 1, já que ab 1 1 .
. a 1 b (ao fazer isso, estamos aumentando o valor
da soma).
Dessa forma, chegamos ao produto 1 ? 1 ? 1 ? ... ?
? 1 ? 1 000 000, com 999 999 fatores iguais a 1 e um
fator igual a 1 000 000, cuja soma é 1 999 999.
13 Resposta: (C)
Como a lavagem completa é mais cara, o menor
número de clientes ocorre quando o número c de
lavagens completas for máximo. Como 176 5 7 3
3 25 1 1, então c < 25. Além disso, 176 ­2 7c deve
ser múltiplo de 5; portanto, c deve terminar em 3
ou em 8. Logo, o valor máximo de c é 23, em cujo caso
176 2 23 3 7
o número de lavagens simples é 3
53 .
5
O menor número possível de clientes é 26 (23 1
1 3 5 26).
(
)
14 Resposta: (B)
)
124
1
;
4
portanto, o buraco quadrado tem lado de medida
2
1 3
3
9
igual a 12 5 e sua área é   5 .
 4  16
4 4
Cada retângulo tem comprimento 1 e largura
15 Resposta: (D)
Um número inteiro positivo menor que 900 e que
termina em 7 é da forma 10x 1 7, em que x é um
inteiro e 0 < x < 89. Além disso, 10x 1 7 é múltiplo
de 7 se, e somente se, 10x é múltiplo de 7. Como
mdc (10, 7) 5 1, isso equivale a dizer que x é múltiplo de 7. Como há 13 múltiplos de 7 de 0 a 89 (0, 7,
14,…, 12 3 7 5 84), há 13 inteiros positivos menores
que 900, múltiplos de 7 e que terminam em 7.
16 Resposta: ( C)
Bˆ 5180o 2 Aˆ 2 Cˆ 5180o 2 80° 2 40o 5 60o
A
40o
X
30o
B
Seja X o ponto de encontro entre as bissetrizes de
 e B̂ . O ângulo pedido é ângulo externo do triânˆ 1 XBA
ˆ 5 30o 1 40o 570o .
gulo XAB; logo, vale XAB
17 Resposta: (C)
DHC  DEF ⇒
HC DH 1
5 5 ⇒ HC 5 45 cm
EF DE 2
G
21 Resposta: (B)
Observemos que um ônibus tem a mesma capaci48
dade que
5 8 “vans”. Para colocar crianças que
6
caberiam em k 1 1 ônibus, precisaríamos de pelo
menos 8k “vans”. O gasto com ônibus seria 237 1
1 120(k 1 1) 5 120k 1 357 e o gasto com “vans”
seria pelo menos 60 ? 8k 5 480k, que é maior que
o preço do ônibus para k maior ou igual a 1, isto é,
quando precisarmos de 2 ou mais ônibus.
Se utilizarmos um ônibus, pagaremos 357 reais
(237 1 120 5 357) para levar até 48 crianças. Como
357 reais são suficientes para pagar 5 “vans”, mas
não 6, é mais vantajoso utilizar ônibus se forem
necessárias pelo menos 6 “vans”, o que acontece
quando levamos pelo menos 31 crianças (5 ? 6 1 1 5
5 31). Logo, N 5 31.
22 Resposta: (A)
Sendo h a altura inicial de Alice, sua altura final
será 0,99h (1,25 3 0,9 3 1,1 3 0,8h 5 0,99h). Ou
seja, ela ficou 1% mais baixa.
23 Resposta: (C )
Como a  4 e a 5 b, b  4. Logo 4 2 b , 0. Assim, na
passagem 4, o correto seria:
F
BC 5 15 cm
C
A
B
D
H
(a 2 4)2 5 ( 4 2b)2
E
a 2 4 5 4 2b
a 2 4 5b 2 4
24 Resposta: (D)
O total de letras nas cinco respostas é 63, sendo 13
nas respostas das alternativas A e B, 9 na resposta
da alternativa C, 12 na resposta da alternativa D e
16 na resposta da alternativa E. Como 63 2 13 5 50,
63 2 9 5 54, 63 2 12 5 51 e 63 2 16 5 47, a única
alternativa correta é a D.
AB DE 2
25 Resposta: (D)
5 5 ⇒ AB 510 cm
BC EF 3
10
5
1010 2 2 3
1111111111222 222 5 10 212 2 3(10 21) 5
10 3 15
9
9
9
575 cm2
Logo, área ABC5
2
10
5
1010 2 2 3 105 1 1 105 2 1
1111111111222 222 5 10 212 2 3(10 21) 5
5
5 33 333 . Para
9
3
9
9
18 Resposta: (D)
calcular o resto da divisão por 9, basta somar os
A linha é composta da repetição
al­
garismos: 3 1 3 1 3 1 3 1 3 5 15, 1 1 5 5 6.
da figura ao lado, cujo compriO
resto é 6.
mento é 9. Cada figura inicia
num ponto representado por
SEGUNDA FASE
um múltiplo de 3 no eixo horizontal: 0, 3, 6, ..., 30. A 11a figura, incompleta, tem
••••••
comprimento 7. Portanto, o comprimento da linha
1 Resposta:
poligonal é igual a 97 (10 3 9 1 7 5 97 ).
Seja t  0 o tempo, em minutos, decorrido desde
a saída de Geraldinho e Magrão até o instante do
19 Resposta: (D)
encontro.
Nas unidades, do 105 ao 995, o algarismo 5 apaSejam g e m as distâncias entre o ponto de encontro
rece 90 vezes, nas dezenas, do 150 ao 259, do 250
e as casas de Geraldinho e Magrão, respectivamenao 259, ..., do 950 ao 959, o algarismo 5 aparece
te. Como Geraldinho percorre a distância g em t mi90 vezes e, finalmente, nas centenas, do 500 ao
g t
nutos e a distância m em 10 minutos, temos: 5 .
599, o algarismo 5 aparece 100 vezes, totalizando
m 10
assim 280 vezes (90 1 90 1 100 5 280).
t
40
g
40
5
⇔ t2 5 400 ⇔
Analogamente,
. Logo:
5
t
10
m
t
20 Resposta: (B)
t
40
5
⇔ t2 5 400 ⇔ t 5 20 , pois t  0. Logo, Geraldi2
t
10
x 2 y2
x 4 1 y 4 1 2x2 y2 (x2 1 y2) 25
nho andou 30 minutos (10 1 20 5 30), e Magrão
1 12 5
5
5
4
y2 x 2
x 2 y2
( xy)2
andou 60 minutos (40 1 20 5 60).
ABC  DEF ⇒
125
2 Resposta:
4 Resposta:
Observar que o posto do observador coincide com
o centro do círculo circunscrito.
No círculo circunscrito ao quadrilátero ABCD, temos:
ˆ 5 90°.
BCD 5 2 ? BAD
Como BD 516, sendo O o centro do círculo circunsˆ 590° e BO 5 OD 5r , 162 5r2 1 r2
crito, temos BOD
w
z
verde
x
azul
co
an
br
y
pelo teorema de Pitágoras, logo r5 128 5 8 2 .
Assim, a distância do posto (que deve ficar em O)
aos ninhos é de 8 2 metros.
amarelo
Sejam x, y, z e w as áreas das regiões branca, amarela, azul e verde, respectivamente.
π R2
Seja R o raio do semicírculo. Temos: x 1 y 5
2
1
π R2
e y 1 z 5 x 1 w 5 π(2R)2 5
.
8
2
Assim, x 1 y 5 y 1 z 5 x 1 w, logo: x 5 z e y 5 w.
Como x é a área de um segmento circular de
π R2 R2  π 2 2  2
ângulo 90° e raio R, x 5
2 5
R e
4
2  4 
 π 1 2 2
y 5
R .
 4 
Assim: x 5 z  y 5 w.
3 Resposta:
Como a diferença entre o 17 e o 3 é 14, esses números devem estar em posições afastadas de 14
casas, contadas na horizontal ou vertical.
Portanto, 17 e 3 devem ocupar as extremidades de
uma das diagonais do tabuleiro.
A partir disso, o preenchimento das diagonais é
feito de maneira única. E uma maneira de se preencher o tabuleiro é a seguinte:
17
16
15
14
13
12
11
10
16
15
14
13
12
11
10
9
15
14
13
12
11
10
9
8
14
13
12
11
10
9
8
7
13
12
11
10
9
8
7
6
12
11
10
9
8
7
6
5
11
10
9
8
7
6
5
4
10
9
8
7
6
5
4
3
5 Resposta:
Os primeiros números da sequência são (7, 14, 17,
20, 5, 8, 11, 5...) de onde vemos que, exceto pelos 4
primeiros termos, a sequência é periódica com período 3. Como 2 002 deixa resto 1 quando dividido
por 3, o número procurado coincide com aquele
que ocupa o 7o lugar na sequência, a saber, 11.
Observação:
Para qualquer termo inicial, a sequência construída
de acordo com o método descrito no enunciado
do problema será eventualmente periódica, (isto
é teremos an 1 k 5 ak para todo k > m, para certos
valores positivos de m e n).
6 Resposta:
a) Os palíndromos entre 2 000 e 3 000 são da forma
2aa2, em que a é um algarismo. Logo, os próximos quatro serão 2 112, 2 222, 2 332 e 2 442.
b)Como o primeiro algarismo é igual ao último, um
palíndromo ímpar maior que 2 002 deve começar e terminar por um número ímpar maior ou
igual a 3. Logo, o próximo será 3 003.
c) Um palíndromo de quatro algarismos é da forma
abba 5 a 1 10b 1 100b 1 1 000a 5 1 001a 1
1 110b, que é múltiplo de 11, já que 110 e 1 001
são múltiplos de 11. Logo, o próximo ano palíndromo primo tem, no mínimo, 5 algarismos.
Os menores palíndromos de 5 algarismos são
10 001, que é múltiplo de 73 e 10 101, que é múltiplo de 3. O próximo é 10 201 5 1012, divisível por
101. O seguinte, 10 301, é primo, pois não é divisível por qualquer primo menor que 10 301 , 102 .
A soma dos números escritos nas diagonais é 160
8 3 10 1 (3 1 5 1 . . . 1 17) 5 160.
126
XXIII OLIMPÍADA
BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2001
RESOLUÇÕES
Nível 1 (6o. e 7o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
1a. Fase Olimpíada Regional
AM – GO – PA – RJ – RS – SC
1 Resposta: (E)
Para que a diferença entre esses dois números naturais seja a menor possível, os algarismos das centenas desses números devem diferir em uma unidade.
Além disso, os algarismos da dezena e unidade devem ser os menores possíveis, ou seja, 02, para o número formado apenas por algarismos pares; já para
o número formado apenas por algarismos ímpares,
devem ser os maiores possíveis, ou seja, 97. Assim,
o menor valor possível para a diferença entre esses
números ocorre quando os números são 402 e 397
ou 602 e 597, e, portanto, é 5.
2 Resposta: (D)
Basta escolher um ponto de cada circunferência.
Isso pode ser feito de 4 3 3 3 2 3 5 5120 ; 120 maneiras diferentes (no enunciado subentende-se que
dos quatro pontos escolhidos de cada vez, não haja
três alinhados).
3 Resposta: (C)
Os números da sequência, quando divididos por 5,
deixam resto igual a 1. O menor número de três algarismos nessas condições é o 101.
4 Resposta: (B)
Como os números têm de ser compostos e ter
dois algarismos, eles devem ser múltiplos de 7,
mas não múltiplos de 2, de 3 nem de 5. Assim, só
podem ser: 7 37 5 49 , 7 311577 e 7 313 5 91.
Portanto, três números respeitam a condição
enunciada.
5 Resposta: (D)
O conjunto dado tem 11 números. Os números
com quantidade par de zeros são divisíveis por 11.
Por exemplo, 1 001 é igual a 91311 (na verdade,
basta aplicar o critério de divisibilidade por 11). Há
5 números nessas condições; além disso, o número
101 é primo; logo, a quantidade de números compostos é maior do que 4 e menor do que 11 (na
verdade, 101 é primo, e os dez outros números são
compostos).
6 Resposta: (C)
Inicialmente, há 90 kg de água e 10 kg de matéria
sólida. As peras devem ser desidratadas até o ponto
em que esses 10 kg representem 100% 2 60% 5 5 40% da massa total, ou seja, até que a massa
10
10
5
5 25; 25 kg. Logo,
total seja igual a
40% 0, 4
90 2 (25 2 10) 5 75; 75 litros de água serão evaporados.
7 Resposta: (A)
Para formar um triângulo de lado 2, são necessários
4 T; para formar um triângulo de lado 3, são necessários 9 T etc. Pode-se provar que, para formar um triângulo de lado n, são necessários n2 triângulos T. Logo,
o triângulo formado por 49 triângulos T tem lado 7.
8 Resposta: (B)
Na sequência, aparecem os números de um algarismo (8,9); os números de dois algarismos (uma vez o
89 e o agrupamento 98,99); os números de três algarismos que terminam com 89 (189, 289, ..., 989, num
total de 9 números); os números que começam com
89, 890, 891, ..., 899 (num total de 10 números); e os
agrupamentos 908, 909; 918, 919; ...; 998,999 (num
total de 10 números). Portanto, o grupo “89” aparece
1 1 2 1 9 1 10 1 10 5 32; 32 vezes.
9 Resposta: (B)
Abrindo uma cadeia de três elos, o serralheiro pode
emendar 4 cadeias de 3 elos e formar um pedaço de
15 elos. Por isso, com 6 elos, ele forma dois pedaços
de 15 elos. Abrindo mais um elo de um desses pedaços, ele emenda 15 com 14, formando a corrente de
30 elos. Levará, portanto, 7 3 5 5 35; 35 minutos para
fazer a corrente. Para verificar que não é possível fazer a corrente em menos tempo, basta observar que,
abrindo 6 elos, restam pelo menos 8 pedaços formados por 1, 2 ou 3 elos fechados e que necessitam de
pelo menos 7 elos abertos para serem ligados.
10 Resposta: (D)
Observando os números nos cantos, percebemos
que aparecem assim:
127
e
od
l
ltip
m ú is 1
ma
e
lo d
ltip
mú is 2
ma
4
4
4
de
lo
ltip
ú
m is 1
ma
4
de
lo
ltip
ú
m is 3
ma
ltip
mú
lo
4
de
Como 2 000 é múltiplo de 4, a resposta correta é:
2001
2000
11 Resposta: (A)
1
Se 6 bananas 5
melancia, então 24 bananas 5 2
5 2 melancias 5 9 laranjas 1 6 bananas. Portanto,
18 bananas 5 9 laranjas; ou seja, 2 bananas 5 1 laranja. Assim, 12 laranjas 1 12 bananas 5 24 bananas 1 12 bananas 5 36 bananas 5 3 melancias.
12 Resposta: (D)
Para cada 10 inteiros consecutivos aparecem todos
os algarismos (0, 1, 2, …, 9) como último algarismo.
Como a soma de todos os algarismos dá 45, que termina em 5, e 7 3 5 5 35, que também termina em
5, a soma de 70 números inteiros positivos consecutivos sempre termina em 5.
13 Resposta: (B)
2 quilogramas de moedas de 20 centavos corres2 000
pondem a
5 250 ; 250 moedas de 20 centavos,
8
que valem o mesmo que 100 moedas de 50 centavos. Assim, 100 moedas de 50 centavos pesam
1 quilograma; logo, cada moeda pesa 10 gramas.
14 Resposta: (A)
1
1
a
a
1
b – 2b
22
1
1
1
a–2
a22
1
1
Trace retas paralelas aos lados a uma distância 1.
O perímetro é igual em valor numérico à soma das
áreas dos quatro retângulos finos junto aos lados.
Como essa soma é igual à área total do retângulo,
vemos que a área do pequeno retângulo central é
igual à soma das áreas dos quatro quadrados nos
cantos. Assim, (a 2 2) (b 2 2) 5 4 .
Como a  b, temos: a 2 2 5 4, b 2 2 5 1 ou a 2 2 5 1,
b 2 2 5 4.
15 Resposta: (C)
453 3 7 5 3 171
16 Resposta: (D)
Se cada linha tiver 5 casas ocupadas, teremos apenas 30 casas ocupadas. Logo, alguma linha tem 6 ou
mais casas ocupadas.
17 Resposta: (E)
O número total de alunos da turma é menor que 30, é
par, maior que 15 e deixa resto 1, quando dividido por
5. Logo, é 26. Portanto, temos 11 meninos na classe.
18 Resposta: (A)
Os números escritos são da forma a11, 1a1 ou 11a,
em que a é um dos nove algarismos restantes. Para
um dado a, a soma dos três números acima é aaa 1 1 222 5 111 3 (a12). Logo, a sua soma para todos os
nove valores possíveis de a é: S 5 111 [(0 1 2 1 3 1 1 … 1 9) 1 (9 3 2)] 5 111 3 (44 1 18) 5 6 882.
19 Resposta: (D)
Se A é cão, B é cão, C é lobo, D é cão, E é lobo, o que
é absurdo, pois E diria que A é um lobo. Assim, A é
lobo, B é lobo, C é cão, D é lobo e E é lobo, e, portanto,
há quatro lobos no grupo de animais.
20 Resposta: (A)
No primeiro mosaico, temos 3 1 3 1 1 1 1 5 8;
8 azulejos pretos; no segundo, temos 4 1 4 1 2 1 1 2 5 12; no terceiro, temos 5 1 5 1 3 1 3 5 16. Não
é difícil perceber (e verificar) que os próximos mosaicos têm 20 e 24 azulejos pretos. Como 8 1 12 1 1 16 1 20 1 24 5 80, é possível construir exatamente 5 mosaicos. Assim, serão necessários 12 1 22 1 1 32 1 42 1 52 5 1 1 4 1 9 1 16 1 25 5 55; 55 azulejos brancos.
SEGUNDA FASE
••••••
1 Resposta:
A quantidade de pontinhos nas peças varia de 0 a
12; há 1 peça com 0 pontinho, 1 peça com 1 pon­
tinho, 2 com 2 pontinhos, 2 com 3 pontinhos, 3 com
4 pontinhos, 3 com 5 pontinhos, 4 com 6 pontinhos,
3 com 7 pontinhos, 3 com 8 pontinhos, 2 com 9 pontinhos, 2 com 10 pontinhos, 1 com 11 pontinhos, 1
com 12 pontinhos. O número total de pontinhos é:
1 ? 0 1 1 ? 1 1 2 ? 2 1 2 ? 3 1 3 ? 4 1 3 ? 5 1 4 ? 6 1 1 3 ? 7 1 3 ? 8 1 2 ? 9 1 2 ? 10 1 1 ? 11 1 1 ? 12 5 168
Outra solução:
Cada tipo de pontuação aparece 8 vezes dentre as
28 peças do dominó. Portanto, o número total de
pontos é:
8 ? (0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6) 5 168
Outra solução:
Listar todas as possibilidades e somar tudo.
2 Resposta:
Traçando a menor diagonal do paralelogramo, observamos que metade dele equivale a um triângulo
1
da área do triretângulo pequeno, cuja área é
4
1
da
ângulo retângulo grande, que, por sua vez, é
4
área do quadrado. Logo, a área do paralelogramo é
1 1
5 .
igual a 2 3
16 8
128
Outra solução:
1
Cada triângulo retângulo grande tem área . Dois
4
triângulos médios formam um triângulo grande;
logo, o triângulo médio tem área
1
. Dois triângulos
8
cia que o ponto 2 001 está de 2 025. Logo, o número
correspondente é:
1 850 1 (2 025 2 2 001) 5 1 850 1 24 5 1 874.
retângulos pequenos formam um triângulo médio;
1
logo, cada um tem área
. O quadrado equivale a
16
1
dois triângulos pequenos; logo, sua área é igual a .
8
Portanto, a soma das áreas de todas as peças, exceto
1
1
1
1
7
o paralelogramo, é 2 3 1 1 1 2 3
5 .
4
8
8
16
8
1
Assim, resta área para o paralelogramo.
8
3 Resposta:
Ao furar após a primeira dobra, Carlinhos faz 2 furos;
após a segunda dobra, faz 4 furos; após a terceira
dobra, faz 8 furos e assim por diante. Dessa maneira,
ao desdobrar a folha, ele irá contar 1 1 2 1 4 1 8 1 1 ... furos. Notando que:
1 1 2 5 22 2 1 (Após a primeira dobra.)
1 1 2 1 4 5 23 2 1 (Após a segunda dobra.)
1 1 2 1 4 1 8 5 24 2 1 (Após a terceira dobra.) etc.
E observando que 26 2 1 , 100 , 27 2 1, concluímos que o número de furos na folha passará a ser
maior do que 100 a partir da sexta dobra.
Outra solução: (por tentativas)
Ao furar após a primeira dobra, Carlinhos faz 2 furos;
após a segunda dobra, faz 4 furos; após a terceira
dobra, faz 8 furos etc. Assim, ao desdobrar a folha,
ele irá contar 1 1 2 1 4 1 8 1 ... furos. Tem-se:
1 1 2 5 3; 3 furos
(Após a primeira dobra.)
1 1 2 1 4 5 7; 7 furos
(Após a segunda dobra.)
1 1 2 1 4 1 8 5 15; 15 furos
(Após a terceira dobra.)
1 1 2 1 4 1 8 1 16 5 31; 31 furos
(Após a quarta dobra.)
1 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 5 63; 63 furos
(Após a quinta dobra.)
1 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 5 127; 127 furos
(Após a sexta dobra.)
4 Resposta:
Os pontos correspondentes aos quadrados perfeitos pares e ímpares estão sobre os lados vertical e
horizontal do quadriculado, respectivamente. Os
quadrados perfeitos mais próximos de 2 001 são
1 936 5 442 e 2 025 5 452. Como 2 001 está mais próximo de 2 025, o ponto correspondente está no segmento vertical descendente, que termina em 2 025.
Logo, o ponto imediatamente abaixo dele corresponde ao número 2 002. Para achar o número do
ponto imediatamente à esquerda, consideramos o
quadrado perfeito ímpar anterior, que é 432 5 1 849.
O ponto desejado está no segmento ascendente
que começa em 1 850 e situado à mesma distân-
1874
24
2001
24
1849 1850 2025
5 Resposta:
Se o número tiver exatamente dois fatores primos
diferentes, ele vai ter 4 divisores positivos: 1, esses
dois primos e o produto deles. Se o número for primo, ele vai ter apenas dois divisores: 1 e ele próprio.
Se o número for uma potência de primo com expoente maior que 2, ele vai ter pelo menos 4 divisores:
1, o tal primo, o quadrado e o cubo desse primo. Assim, a única possibilidade de que o número tenha
exatamente 3 divisores é que ele seja um quadrado
de um número primo.
Logo, os números procurados são: 4, 9, 25, 49, 121,
169, 289, 361, 529, 841 e 961.
Solução mais formal:
Sabemos que todos os números inteiros maiores
do que 1 admitem pelo menos um divisor (ou fator)
primo. Dessa forma:
• se n tem dois divisores primos (p e q), então 1, p, q
e pq são divisores de n; logo, n tem mais que três
divisores;
• se n é primo, então tem somente dois divisores:
1 e n;
• se n é uma potência de um primo p, ou seja, é da
forma ps; então, 1, p, p2, ..., ps são os divisores positivos de n. Assim, para que n tenha três divisores,
s deverá ser igual a 2, isto é, n 5 p2. Portanto, os
inteiros positivos menores que 1 000 com três divisores positivos são: 4, 9, 25, 49, 121, 169, 289, 361,
529, 841 e 961.
6 Resposta:
Os algarismos das unidades dos quadrados dos números de 1 a 10 são, respectivamente, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9,
4, 1 e 0. Ora, a soma dos números formados por esses
algarismos é 45. Portanto, a soma 12 1 22 1 32 1 42 1 1 …1 102 tem como algarismo das unidades o
número 5. De 11 a 20, os algarismos das unidades dos números se repetem na mesma ordem;
portanto, o algarismo das unidades da soma de
seus quadrados também é 5. Consequentemente, a soma dos quadrados dos números de 1 a 20
tem 0 como algarismo das unidades. Logo, a soma
12 1 22 1 32 1 42 1 ... 1 n2 tem zero como algarismo das unidades, se N é múltiplo de 20. Como
N 5 12 1 22 1 32 1 42 1 ... 1 196 8832 5 12 1 22 1 32 1 42 1 1 … 1 196 8802 1 196 8812 1 196 8822 1 196 8832,
concluímos que o algarismo das unidades de N é o
mesmo do número 0 1 1 1 4 1 9 5 14, ou seja, 4.
129
Nível 2 (8o. e 9o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
a
1. Fase Olimpíada Regional
AM – GO – PA – RJ – RS – SC
8 pedaços formados por 1, 2 ou 3 elos fechados e
que necessitam de pelo menos 7 elos abertos para
serem ligados.
1 Resposta: (B)
Como os números têm de ser compostos e ter dois
algarismos, eles devem ser múltiplos de 7, mas não
múltiplos de 2, de 3 nem de 5. Assim, só podem ser:
7 37 5 49 , 7 311577 e 7 313 5 91 . Portanto, três
números respeitam a condição enunciada.
7 Resposta: (A)
1
Se 6 bananas 5
melancia, então 24 bananas 5 2
5 2 melancias 5 9 laranjas 1 6 bananas. Portanto,
18 bananas 5 9 laranjas; ou seja, 2 bananas 5 1 laranja. Assim, 12 laranjas 1 12 bananas 5 24 bananas 1 12 bananas 5 36 bananas 5 3 melancias.
8 Resposta: (D)
Para cada 10 inteiros consecutivos aparecem todos
os algarismos (0, 1, 2, …, 9) como último algarismo.
2 Resposta: (E)
Como a soma de todos os algarismos dá 45, que terˆ
ˆ 5m BDC
ˆ 5mina em 5, e 7 3 5 5 35, que também termina em
BC 5 DC. Como m BCD
5 90°, temos m DBC
5, a soma de 70 números inteiros positivos consecuˆ 5m BDC
ˆ 5 45°. Mas m BCA
ˆ 5m DCE
ˆ 5 80°. Portanm DBC
tivos sempre termina em 5.
to, a 5 180° 2 (45° 1 80°) 5 55°.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 Resposta: (D)
O conjunto dado tem 11 números. Os números com
quantidade par de zeros são divisíveis por 11. Por
exemplo, 1 001 é igual a 91311 (na verdade, basta
aplicar o critério de divisibilidade por 11). Há 5 números nessas condições; além disso, o número 101 é
primo; logo, a quantidade de números compostos é
maior do que 4 e menor do que 11 (na verdade, 101
é primo, e os dez outros números são compostos).
9 Resposta: (A)
1
1
a
a
5 Resposta: (B)
Na sequência, aparecem os números de um algarismo (8,9); os números de dois algarismos (uma vez o
89 e o agrupamento 98,99); os números de três algarismos que terminam com 89 (189, 289, ..., 989, num
total de 9 números); os números que começam com
89, 890, 891, ..., 899 (num total de 10 números); e os
agrupamentos 908, 909; 918, 919; ...; 998,999 (num
total de 10 números). Portanto, o grupo “89” aparece
1 1 2 1 9 1 10 1 10 5 32; 32 vezes.
6 Resposta: (B)
Abrindo uma cadeia de três elos, o serralheiro pode
emendar 4 cadeias de 3 elos e formar um pedaço de
15 elos. Por isso, com 6 elos, ele forma dois pedaços
de 15 elos. Abrindo mais um elo de um desses pedaços, ele emenda 15 com 14, formando a corrente
de 30 elos. Levará, portanto, 7 3 5 5 35; 35 minutos para fazer a corrente. Para verificar que não é
possível fazer a corrente em menos tempo, basta
observar que, abrindo 6 elos, restam pelo menos
b – 2b
22
1
1
1
a–2
a22
1
4 Resposta: (C)
Inicialmente, há 90 kg de água e 10 kg de matéria
sólida. As peras devem ser desidratadas até o ponto
em que esses 10 kg representem 100% 2 60% 5 5 40% da massa total, ou seja, até que a mas10
10
sa total seja igual a
5
5 25; 25 kg. Logo,
40% 0, 4
90 2 (25 2 10) 5 75; 75 litros de água serão evaporados.
1
1
Trace retas paralelas aos lados a uma distância 1.
O perímetro é igual em valor numérico à soma das
áreas dos quatro retângulos finos junto aos lados.
Como essa soma é igual à área total do retângulo,
vemos que a área do pequeno retângulo central é
igual à soma das áreas dos quatro quadrados nos
cantos. Assim, (a 2 2) (b 2 2) 5 4 .
Como a  b, temos: a 2 2 5 4, b 2 2 5 1 ou
a 2 2 5 1, b 2 2 5 4.
10 Resposta: (C)
453 3 7 5 3 171
11 Resposta: (B)
Seja x o número de arcos percorridos e y o número
de voltas dadas.
P1Pr 5 35x 5 360y 7x 5 72y x 5 72
Logo, n 5 73.
12 Resposta: (D)
Se cada linha tiver 5 casas ocupadas, teremos apenas 30 casas ocupadas. Logo, alguma linha tem 6 ou
mais casas ocupadas.
13 Resposta: (C)
130
ˆ 5BCD
ˆ 5 180(5 2 2) 5108°
ABC
5
ˆ 5 60°, FBC
ˆ 5 48°, BCF
ˆ 5 180 2 48 5 66°
ABF
2
ˆ 5 108° 2 66° 5 42°.
Logo: FCD
14 Resposta: (E)
O número total de alunos da turma é menor que
30, é par, maior que 15 e deixa resto 1, quando dividido por 5. Logo, é 26. Portanto, temos 11 meninos
na classe.
2
e, portanto,
2
menor que b. Logo, a largura mínima do corredor
2a , b, esse valor é menor que b
deve ser igual a (2a 1b)
15 Resposta: (D)
Uma reta determina o número máximo de regiões
no círculo quando corta o número máximo de setores (ou seja, o maior número possível de raios).
A figura mostra uma reta que corta n 1 1 raios, ou
seja, n 1 2 setores, determinando assim n 1 2 novas
regiões, para um total de 3n 1 3 regiões. Esse número é máximo, já que as extremidades dos raios
extremos cortados por uma reta estão sempre em
um mesmo semiplano determinado pela paralela à
reta passando pelo centro do círculo.
3
3
aa
b
b2
2
aa
2
2
bb 2
22 2
45°
20 Resposta: (B)
O plano que secciona o cubo no item B é aquele que
contém os segmentos que ligam os pontos médios
de arestas paralelas não coincidentes de duas faces
adjacentes. Pode-se verificar que as demais planificações não contêm representações de interseções
de planos com o cubo.
22
n
11
n+1
n
11
16 Resposta: (B)
Paulo tem x reais e Cezar tem y reais.
1
2
x 2 5 1 (y 1 5) 518,
(y 15)518
3
3
Logo, x 5 14 e y 5 22.
y2x58
17 Resposta: (E)
Tomemos como unidade a quantidade de ração
que 1 vaca come em 1 dia:
10 ? 24 110 ? 30 1n ?10 5 24 ? 60 ⇒ n 5 90
18 Resposta: (A)
Os números escritos são da forma a11, 1a1 ou 11a,
em que a é um dos nove algarismos restantes. Para
um dado a, a soma dos três números acima é aaa 1 1 222 5 111 3 (a12). Logo, a sua soma para todos os
nove valores possíveis de a é: S 5 111 [(0 1 2 1 3 1 1 … 1 9) 1 (9 3 2)] 5 111 3 (44 1 18) 5 6 882.
19 Resposta: (D)
A mesa pode ser empurrada pelo corredor de dois
modos: utilizando apenas movimentos de translação ou girando-a em torno do ponto de encontro
dos dois corredores. No primeiro caso, é preciso um
corredor de largura igual à maior dimensão da mesa
(ou seja b). No segundo caso, a posição crítica ocorre
quando a mesa está igualmente inclinada em relação aos dois corredores (isto é, faz um ângulo de
45° com a horizontal). Neste caso, a largura mínima
deve ser igual a a
2
.
4
2 b 2
2
. Como
1
5(2a 1b)
2
2 2
4
21 Resposta: (B)
Seja n2 o quadrado perfeito. Como ele termina com
2 001, temos n20 5 10 000m 1 2 001
n20 2 1 5 4 3
5 2 000 (5m 1 1) (n 2 1)(n 1 1) 5 2 5 (5m 1 1).
Como mdc(n 2 1; n 1 1) 5 mdc(n 1 1; n 1 1 2 2 (n 2 1)) 5 mdc(n 1 1; 2) 5 2 (pois n é ímpar),
n 2 1 ou n 1 1 é divisível por 53 5 125. Assim,
n 5 125t 1 1 ou n 5 125t 2 1, em que t é inteiro
positivo. Como n é ímpar, t é par; logo, o menor valor
possível para t é 2. Para n 5 125 ? 2 2 1 5 249, temos
n2 5 62 001, que termina em 2 001. Logo, o menor
quadrado perfeito cujos últimos quatro dígitos são
2 001 é 2492 5 62 001, que tem 5 dígitos.
22 Resposta: (D)
Seja S a extensão do circuito, t . 0 o tempo gasto
pelo Papa-Léguas para dar a primeira volta e t´ . 0
o tempo gasto para dar as outras 99 voltas. Temos
S
5200, e a velocidade média do Papa-Léguas na
t
100S 20 000t
5
, 20 000 . Por outro lado,
corrida é
t 1 t´
t 1 t´
como nada sabemos sobre o valor de t’, se t' , 9t ,
100S
teremos
. 2 000. Assim, a opção correta é D.
t 1 t'
23 Resposta: (A)
No primeiro mosaico, temos 3 1 3 1 1 1 1 5 8;
8 azulejos pretos; no segundo, temos 4 1 4 1 2 1 1 2 5 12; no terceiro, temos 5 1 5 1 3 1 3 5 16. Não
é difícil perceber (e verificar) que os próximos mosaicos têm 20 e 24 azulejos pretos. Como 8 1 12 1 1 16 1 20 1 24 5 80, é possível construir exatamente 5 mosaicos. Assim, serão necessários 12 1 22 1 1 32 1 42 1 52 5 1 1 4 1 9 1 16 1 25 5 55;
55 azulejos brancos.
131
24 Resposta: (D)
Se A é cão, B é cão, C é lobo, D é cão, E é lobo, o que
é absurdo, pois E diria que A é um lobo. Assim, A é
lobo, B é lobo, C é cão, D é lobo e E é lobo, e, portanto,
há quatro lobos no grupo de animais.
cendente que começa em 1 850 e situado à mesma
distância que o ponto 2 001 está de 2 025. Logo, o
número correspondente é:
1 850 1 (2 025 2 2 001) 5 1 850 1 24 5 1 874.
25 Resposta: (B)
Sejam M, N, O, P, Q e R os pontos de tangência dos lados AB, BC, CD, DE, EF e FA na circunferência inscrita,
respectivamente, e seja x 5 AM. Temos:
AR 5 AM 5 x, MB 5 1 2 x, BN 5 MB 5 1 2 x,
NC 5 2 2 (1 2 x) 5 1 1 x, CO 5 NC 5 1 1 x,
OD 5 3 2 (1 1 x) 5 2 2 x, DP 5 OD 5 2 2 x,
PE 5 4 2 (2 2 x) 5 2 1 x, EQ 5 PE 5 2 1 x,
QF 5 5 2 (2 1 x) 5 3 2 x e FR 5 QF 5 3 2 x. Logo,
FA 5 FR 1 AR 5 3 2 x 1 x 5 3.
SEGUNDA FASE
••••••
1 Resposta:
Traçando a menor diagonal do paralelogramo, observamos que metade dele equivale a um triângulo
1
retângulo pequeno, cuja área é
da área do tri4
1
ângulo retângulo grande, que, por sua vez, é
da
4
área do quadrado. Logo, a área do paralelogramo é
1 1
5 .
igual a 2 3
16 8
1874
24
2001
24
1849 1850 2025
3 Resposta:
Observando que no ano n é realizada a (n 2 1978)-ésima OBM, temos que o ano n é superolímpico se,
e somente se, n 2 1978 divide n. Assim, n 2 1978
divide n 2 (n 2 1978) 5 1978. Como os divisores
positivos de 1978 são 1, 2, 23, 43, 46, 86, 989 e 1978,
os anos superolímpicos são 1979, 1980, 2001, 2021,
2024, 2064, 2967 e 3956.
4 Resposta:
Os triângulos ACQ e PAC são isósceles. No triângulo
ACQ, temos:
Outra solução:
1
. Dois
4
triângulos médios formam um triângulo grande;
1
logo, o triângulo médio tem área . Dois triângulos
8
retângulos pequenos formam um triângulo médio;
1
logo, cada um tem área
. O quadrado equivale a
16
1
dois triângulos pequenos; logo, sua área é igual a .
8
Portanto, a soma das áreas de todas as peças, exceto
1
1
1
1
7
o paralelogramo, é 2 3 1 1 1 2 3
5 .
4
8
8
16
8
1
Assim, resta área
para o paralelogramo.
8
Cada triângulo retângulo grande tem área
2 Resposta:
Os pontos correspondentes aos quadrados perfeitos pares e ímpares estão sobre os lados vertical e
horizontal do quadriculado, respectivamente. Os
quadrados perfeitos mais próximos de 2 001 são
1 936 5 442 e 2 025 5 452. Como 2 001 está mais
próximo de 2 025, o ponto correspondente está no
segmento vertical descendente, que termina em
2 025. Logo, o ponto imediatamente abaixo dele
corresponde ao número 2 002. Para achar o número
do ponto imediatamente à esquerda, consideramos
o quadrado perfeito ímpar anterior, que é 432 5
5 1 849. O ponto desejado está no segmento as-
132
CÂQ 5 A Q̂C 5 Â
 180°2 Ĉ
Ĉ
AĈQ 5 Ĉ 1 
2  5 90° 1 2


Ĉ
Logo, 2Â 1  90°1  5 180°
2

(1)
No triângulo PAC, temos:
 180°2 Â
C ÂP 5 
2 

AĈP 5 AP̂C 5 180° 2 Ĉ
 180°2 Â
Logo, 
1 2(180° 2 Ĉ ) 5 180°
2 

Resolvendo o sistema formado pelas equações
(1) e (2), obtemos  5 12° e Ĉ 5 132°; daí,
B̂ 5 180° 2 12° 2 132° 5 36°.
B
90  +
Â
A
180  − Aˆ
2
180  − Cˆ
P
Cˆ
2
C
(2)
Q
5 Resposta:
Seja A 5 {x; y; t; z} um conjunto intercambiável.
Então podemos supor, sem perda de generalidade,
que:
(10x 1 y)(10t 1 z) 5 (10y 1 x)(10z 1 t)
Para x 5 2, temos 20x 2 1 5 39 e, portanto,
13 divide z 2 x ou t 2 y, absurdo.
Para x 5 3, temos que 20x 2 1 5 59 divide z 2 x
ou t 2 y, absurdo.
xt 5 yz (1)
Para x 5 4, temos que 20x 2 1 5 79 divide z 2 x
ou t 2 y, absurdo.
Por (1), temos que 5 e 7 não podem aparecer em A.
Se o maior dos elementos de A fosse menor ou igual
a 4, teríamos A 5 {1; 2; 3; 4}, que não é intercam­biável.
Logo, A possui pelo menos um dos dígitos 6, 8 ou 9.
Se o maior elemento de A é 9, temos por (1) que 3 e
6 também pertencem a A. Nesse caso temos o conjunto intercambiável A 5 {2; 3; 6; 9}.
Se o maior elemento de A é 8, temos que 4 e
outro algarismo par estão em A. Assim, temos
A 5 {1; 2; 4; 8} ou A 5 {3; 4; 6; 8}.
Se o maior elemento de A é 6, temos que 3 e outro
algarismo par estão em A. Dessa forma, A 5 {1; 2; 3; 6}
ou A 5 {2; 3; 4; 6}.
Assim, temos no total 5 conjuntos intercambiáveis:
{2; 3; 6; 9}, {1; 2; 4; 8}, {3; 4; 6; 8}, {1; 2; 3; 6} e {2; 3; 4; 6}.
Se 5 divide z 2 t, temos z 2 t 5 5 ou z 2 t 5 25.
Se z 2 t 5 5, temos:
(*) 100x 2 y 5 2(t 1 5 2 x)(t 2 y)
Como |(t 1 5 2 x)(t 2 y)| < 8 ? 8 5 64, temos
100x 2 y < 128. Logo, x 5 1. Temos, então, 100 2 2 y 5 2(t 1 4)(t 2 y). Temos também que y é par.
Para y 5 2, temos 98 5 2(t 1 4)(t 2 2), que não
tem solução inteira em t; para y 5 4, temos 96 5 5 2(t 1 4)(t 2 4), que também não tem solução inteira em t; para y 5 6, temos 94 5 2(t 1 4)
(t 2 6); e para y 5 8, temos 92 5 2(t 1 4)(t 2 8).
Em todos os casos, não há soluções inteiras em t.
Solução complementar:
Seja A 5 {x; y; z; t} um conjunto intercambiável.
Podemos supor que um dos pares de números é
10x 1 y e 10z 1 t.
Observemos que, em cada par, podemos construir
um conjunto D com os algarismos correspondentes
às dezenas e outro conjunto U com os algarismos
correspondentes às unidades. No par de números
10x 1 y e 10z 1 t, temos D 5 {x; z} e U 5 {y; t}.
Para o outro par de números, sejam D’ e U’ os conjuntos correspondentes às dezenas e unidades, respectivamente, temos os seguintes casos:
Se z 2 t 5 25, temos:
(*) 100x 2 y 5 22(t 2 5 2 x)(t 2 y)
Usando um argumento análogo ao anterior, temos que x 5 1, e y é par. Substituindo x 5 1 e
y 5 2, 4, 6 e 8 na equação acima, vemos que não
há soluções inteiras em t.
iii)Os casos D’ 5 {x; y} e U’ 5 {z; t}, D’ 5 {z; y} e
U’ 5 {x; t} e D’ 5 {z; t} e U’ 5 {x; y} podem ser analisados de forma análoga aos anteriores.
iv) D’ 5 U 5 {y; t} e U’ 5 D 5 {x; z}. Novamente, há
duas possibilidades:
• 10y 1 z e 10t 1 x. Temos:
(10x 1 y)(10z 1 t) 5 (10y 1 z)(10t 1 x) 99(xz 2 yt) 5 10(z 2 x)(t 2 y)
i) D’ 5 D 5 {x; z} e U ’ 5 U 5 {y; t}. A única possibilidade é 10x 1 t e 10z 1 y. Temos então:
(10x 1 y)(10z 1 t) 5 (10x 1 t)(10z 1 y) (y 2 t)(z 2 x) 5 0 y 5 t ou z 5 x, absurdo.
ii) D’ 5 {x; t} e U’ 5 {z; y}. Temos duas possibilidades:
• 10x 1 y e 10t 1 z. Temos:
(10x 1 y)(10z 1 t) 5 (10x 1 y)(10t 1 z) t 5 z,
absurdo.
• 10x 1 z e 10t 1 y. Temos:
(10x 1 y)(10z 1 t) 5 (10x 1 z)(10t 1 y)
(100x 2 y)(z 2 t) 5 10(z 2 x)(t 2 y)(*)
Sendo o maior valor de |(z 2 x)(t 2 y)| igual a 49,
temos que |(100x 2 y)(z 2 t)| < 490 100x 2 y < < 490 x < 4. Além disso,10 divide (100x 2 y)
(z 2 t) e, portanto, 5 divide 100x 2 y ou z 2 t.
Se 5 divide 100x 2 y, 5 divide y e, portanto, y 5 5.
Assim:
(*) (20x 2 1)(z 2 t) 5 2(z 2 x)(t 2 y)
Observemos também que 1 < |z 2 x| < 8 e 1 < < |t 2 y| < 8.
Para x 5 1, temos que 20x 2 1 5 19 divide z 2 x
ou t 2 y, absurdo.
Assim, 11 divide 10(z 2 x)(t 2 y), ou seja, 11 divide z 2 x ou t 2 y, absurdo.
Dessa forma, só nos resta o caso:
• 10y 1 x e 10t 1 z, que é o caso estudado no
gabarito anterior.
6 Resposta:
Como o padrão deve ser simétrico, basta decidir os
primeiros 5 furos pelos quais o cadarço deve passar. A partir daí, os furos ficam determinados pela
simetria. Por exemplo, o 7o furo deve ser o outro
furo da mesma linha visitada no 4o furo. Note, ainda, que a simetria implica que as linhas visitadas
nos 5 primeiros furos são todas distintas. Além disso, a primeira dessas linhas é obrigatoriamente a
de cima e a 5a é obrigatoriamente a de baixo, já
que os furos da linha de baixo são visitados consecutivamente.
Assim, para obter um padrão para o cadarço, podemos iniciar pelo furo da esquerda da linha superior
e devemos decidir:
133
• em que ordem as 3 linhas intermediárias são visitadas;
• de que lado queremos passar nessas 3 linhas e na
linha de baixo.
Para escolher a ordem das 3 linhas, observamos que
a primeira pode ser escolhida de 3 modos; a seguir,
a segunda pode ser escolhida de 2 modos, ficando
a terceira determinada. Logo, há 6 possibilidades de
escolha para a ordem das linhas.
Para escolher o lado por onde passar nas 4 linhas,
temos duas opções para cada uma delas, para um
134
total de 2 3 2 3 2 3 2 5 16; 16 possibilidades.
Logo, o número total de modos de amarrar o cadarço é: 6 3 16 5 96.
Outra solução:
Começando do lado esquerdo da linha superior, o
segundo furo pode ser escolhido de 6 modos (qualquer uma das linhas intermediárias); o terceiro, de
4 modos (nas duas intermediárias restantes); e o
quarto e quinto, de 2 modos cada (suas linhas estão
determinadas, bastando escolher o lado). Logo, há
um total de 6 3 4 3 2 3 2 5 96; 96 possibilidades.
XXII OLIMPÍADA
BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2000
RESOLUÇÕES
7 Resposta: (B)
Como um desses primos é par, e o outro é ímpar,
temos apenas 25 5 2 1 23 .
Nível 1 (6o. e 7o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
1a. Fase Olimpíada Regional
BA - ES - GO - RJ - RN - SC - SP
8 Resposta: (A)
1 Resposta: (E)
Os exemplos dados mostram que 12 345 679 3 9k 5
5 kkk kkk kkk. Assim, para obter 999 999 999, devemos multiplicar 12 345 679 por 9 3 9 5 81.
2 Resposta: (C)
Salário 1 horas extras 5 250; salário 2 horas extras 5 200. Logo, o dobro do salário é igual a 450,
450
portanto, o salário é
= 225; 225 reais.
2
3 Resposta: (B)
Os algarismos são iguais nos seguintes instantes:
0:00, 1:11, 2:22, 3:33, 4:44, 5:55, 11:11, 22:22.
600 km ?
3L
R$ 0, 75
?
5 R$ 54, 00
25 km
1L
9 Resposta: (D)
Seja N 5 10a 1 b. O número 10b 1 a (obtido invertendo-se os algarismos de N) é ímpar; logo, a é ímpar. Portanto, N 5 16 ou N 5 36. Mas 61 2 16 5 45,
que não é um cubo perfeito, e 63 2 36 5 27 5 33.
Então N 5 36, e 3 1 6 5 9.
10 Resposta: (A)
Considerando que a engrenagem da esquerda gi­
rou um certo ângulo x em um sentido (horário ou
anti-horário), a engrenagem da direita girou o
mesmo ângulo x no sentido oposto, e, portanto, a
bandei­rinha ficou na posição mostrada na alternativa A.
4 Resposta: (D)
Ele separa 40 garrafas vazias e as troca por 10 garrafas de 1 litro cheias de leite. Esvaziadas as 10 garrafas,
ele pode juntá-las com as 3 vazias que restaram e tro11 Resposta: (A)
cá-las por 3 garrafas cheias, sobrando ainda 1 garrafa
60 80 120
?
?
5 72
Em cada caixote de madeira cabem
vazia. Esvaziando as 3 cheias e juntando com a gar20 20 20
80 120
rafa vazia, ele ainda pode obter em troca mais 60
uma
?
?
5 72 ; 72 caixas de papelão cúbicas de 20 cm de
20
20
20
garrafa cheia. Ao todo ele pode obter, por sucessivas
lado. Logo, em cada caixote cabem 72 3 8 5 576 ;
trocas, 10 1 3 1 1 5 14; 14 garrafas cheias de leite,
576 latas de palmito.
todas elas a partir das 43 vazias que ele possuía.
5 Resposta: (E)
As três bolas retiradas são brancas ou vermelhas.
Como há somente duas bolas brancas, haverá pelo
menos uma vermelha dentre as retiradas.
6 Resposta: (D)
Os três triângulos sombreados têm altura igual à altura do retângulo. Como a soma de suas bases é igual
à base do retângulo, a soma de suas áreas é igual à
metade da área do retângulo. Alternativamente, pode-se observar que as partes sombreadas e não sombreadas podem ser subdivididas de tal modo que
a cada parte sombreada corresponda exatamente
uma parte congruente
não sombreada, como
C
C
A
B
mostra a figura ao lado.
Logo, a área sombreada
C
A
C
corresponde à metade
B
da área do retângulo.
12 Resposta: (A)
Sendo x a idade atual do filho, 2x é a idade atual
de Hélio; há 18 anos, as idades de Hélio e do filho,
eram, respectivamente, 2x218 e x218. Assim:
2x 218 5 3( x 218) ⇔ 2x 218 5 3x 2 54 ⇔ x 5 36 ;
logo, 2x572.
13 Resposta: (C)
As colunas reúnem números que deixam mesmo
resto na divisão por 9; como 2 000 dividido por 9
deixa resto 2, está na mesma coluna que o 2, ou seja,
coluna C.
14 Resposta: (C)
Número de gêmeos 5 número de trigêmeos 5
5 número de quadrigêmeos 5 n; logo, n é um
múltiplo positivo de 12. Mas 39 2 2n . 0 ; logo,
n512. Consequentemente, o número de filhos é
12 1 39 5 51.
135
15 Resposta: (B)
Mário e Carlos não podem ter, ambos, dito a verdade, pois somente um entrou sem pagar. Se Mário não falou a verdade, então o que Carlos disse
é verdadeiro, o que Pedro disse é verdadeiro, e o
que Benjamim disse é verdadeiro. Disso se conclui que Pedro entrou sem pagar (Se Mário disse
a verdade, Carlos não disse, e Pedro disse, o que é
contraditório).
2 Resposta:
O quadrado A tem medida de lado 1 cm, enquanto
que o quadrado B tem medida de lado 9 cm. Temos
que as longitudes dos lados dos quadrados restantes são:
C 5 10 cm
G 5 4 cm
F 5 7 cm
E 5 8 cm
D 5 14 cm
I 5 18 cm
16 Resposta: (D)
Uma estratégia que o jogador que começa pode
adotar é tirar 6 2 k palitos, se o outro jogador tirou k palitos na jogada anterior. Como o resto da
divisão de 1 000 por 6 é 4, temos que o jogador
que começa deve tirar no começo 4 palitos para
garantir a vitória (nas outras jogadas, basta seguir
a estratégia anterior).
3 Resposta:
Temos que os segmentos verdes dividem os pontos
da reta em conjuntos de pontos com cores iguais,
sendo que o primeiro conjunto à esquerda contém
pontos vermelhos, o segundo conjunto contém
pontos azuis, o terceiro conjunto contém pontos
vermelhos e assim por diante. Como há 20 segmentos verdes, temos 21 conjuntos de pontos.
Assim, como o 21o conjunto contém pontos vermelhos, o ponto na ponta direita é vermelho.
17 Resposta: (D)
Para que o cubo de um número termine em 1, o número deve terminar em 1 (note que ele não pode
ser par e que 33 5 27, 53 5125, 73 5 343 e 93 5729).
Assim, os números menores que 1 000 000 que têm
1000 000
cubos terminados em 1 são
5100 000 .
10
4 Respostas:
18 Resposta: (C)
Como o aluno que saiu da turma A é o que tinha a
menor nota, a média das notas dessa turma aumentou; como, todavia, esse aluno tem nota maior que
a de qualquer outro aluno da turma B, temos que a
média da turma B aumentou.
19 Resposta: (E)
O mínimo múltiplo comum de 7 e 8 é 56. Entre dois
múltiplos consecutivos de 56, há sete múltiplos de
7 e seis múltiplos de 8. Assim, os múltiplos de 56 são
os elementos de ordem 14, 28, 42, … da sequência.
Portanto, o 98o elemento da sequência é igual a
56 3 7 5 392, e o 100o é 392 1 8 5 400.
20 Resposta: (B)
SEGUNDA FASE
••••••
1 Resposta:
Sejam a < b < c as dimensões do paralelepí 5
pedo. Temos que a, b e c [ IN* e abc 5 24. Como
2
abc > aaa ⇔ a < 24, temos a < 2, ou seja,
a 5 1 ou a 5 2 .
Se a 5 1, bc 5 24. As possibilidades para b e c são
b 5 1 e c 5 24; b 5 2 e c 5 12; b 5 3 e c 5 8; b 5 4 e
b 5 3 e c 5 8; b 5 4 e c 5 6.
Se a 5 2, bc 5 12. As possibilidades para b e c com
b>2 são b 5 2 e c 5 6; b 5 3 e c 5 4.
Assim, há 6 maneiras de construirmos o paralelepípedo.
136
6
1
4
5
7
3
10
1
4
3
8
10
8
6
5
2
7
9
2
9
1) 1 e 2 ocupam pontas vizinhas. É fácil ver que colocando o 2 no meio ou em uma ponta “oposta” a
1 o problema não tem solução.
2) 9 e 10 ocupam pontas vizinhas. Pelo mesmo
raciocínio anterior.
3) Uma vez que 1 e 2 estão colocados, o 3 está no
meio, entre o 1 e o 2. Observe que colocar o 3
em qualquer outra posição leva a um absurdo.
4) Uma vez que 1, 2 e 3 estão colocados, fica claro
que o 4 é vizinho ao 3.
5) Se 1, 2, 3 e 4 já estão colocados, 5 pode estar
no meio ou em uma ponta, e o mesmo ocorre com o 6 (ver figuras). Quando um deles está
numa ponta, o outro está no meio.
6) O 7 está no meio.
a) Ver figuras.
b) 1, 2, 9 e 10 obrigatórios, mais 5 ou 6.
c) 3, 4, 7, 8 obrigatórios, mais 5 ou 6.
Resposta:
Decomponha N em primos 5 2a2 3a3 ...
Dobro de um cubo quer dizer que todos os ai são
múltiplos de 3, exceto a2, que deixa resto 1 na divisão
por
c56
. 3.
Quíntuplo de um quadrado quer dizer que todos
são pares, exceto a5.
Os menores expoentes possíveis são, então, a2 5 4;
a5 5 3 e os outros a3 5 a7 5 ... 5 0.
Logo, N 5 24 ? 53 5 2 000.
6 Resposta:
Dois números deixam o mesmo resto quando divididos por n se, e só se, sua diferença é múltipla de n.
Logo, as diferenças 238 2 154 5 84 e 334 2 238 5
5 96 são ambas múltiplas de n. Como n é o maior
possível, concluímos que n deve ser o maior divisor
comum de 84 e 96, que é 12.
Nível 2 (8o. e 9o. anos)
PRIMEIRA FASE
••••••
1a. Fase Olimpíada Regional
BA - ES - GO - RJ - RN - SC - SP
7 Resposta: (D)
Os três triângulos sombreados têm altura igual à
altura do retângulo. Como a soma de suas bases
é igual à base do retângulo, a soma de suas áreas
é igual à metade da área do retângulo. Por outro
lado, pode-se observar que as partes sombreadas
e não sombreadas podem ser subdivididas de tal
modo que a cada parte sombreada corresponda
exatamente uma parte congruente não sombreada,
como mostra a figura abaixo. Logo, a área sombreada corresponde à metade da área do retângulo.
A
1 Resposta: (D)
Para que o cubo de um número termine em 1, o número deve terminar em 1 (note que ele não pode
ser par e que 33 5 27, 53 5125, 73 5 343 e 93 5729 ).
Assim, os números menores que 1 000 000 que têm
1000 000
5100 000 .
cubos terminados em 1 são
10
C
B
A
B
C
C
C
8 Resposta: (B)
Sejam vA, vB e vC as velocidades de Alberto, Beatriz
e Carlos, respectivamente, e seja d o comprimento
da pista. O tempo necessário para que Alberto ald
2 Resposta: (A)
cance Beatriz é: t 5
. Por outro lado, temos
v A 2 vB
60 80 120
? ?
572
Em cada caixote de madeira cabem
d
d
d
20 20 20
590 e
5105 . Assim, v A 1 v C 5 ,
5 72; caixas de papelão cúbicas de 20 cm de lado.
90
vA 1 vC
vB 1 v C
Logo, em cada caixote cabem 72 3 8 5 576 ; 576 lad
d
d
d
vB 1 v C 5
5
e, portanto, v A 2 vB 5 2
.
tas de palmito.
105
90 105 630
d
3 Resposta: (A)
Logo, o tempo pedido é t 5
5 630;
d
Considerando que a engrenagem da esquerda gi­
630
rou um certo ângulo x em um sentido (horário ou
630 se­gundos.
anti-horário), a engrenagem da direita girou o
mesmo ângulo x no sentido oposto, e, portanto, a
9 Resposta: (A)
G
bandei­rinha ficou na posição mostrada na alternativa A.
4 Resposta: (B)
Mário e Carlos não podem ter, ambos, dito a verdade, pois somente um entrou sem pagar. Se Mário não falou a verdade, então o que Carlos disse
é verdadeiro, o que Pedro disse é verdadeiro, e o
que Benjamim disse é verdadeiro. Disso se conclui que Pedro entrou sem pagar (Se Mário disse
a verdade, Carlos não disse, e Pedro disse, o que é
contraditório).
5 Resposta: (C)
Como o aluno que saiu da turma A é o que tinha a
menor nota, a média das notas dessa turma aumentou; como, todavia, esse aluno tem nota maior que
a de qualquer outro aluno da turma B, temos que a
média da turma B aumentou.
6 Resposta: (D)
B
Temos
ˆ 5HBJ
ˆ 5 90° 270° 5 20°.
ABJ
Logo,
ˆ 180° 2(60° 1 40°) 5 80°.
A5
A
J
I
70°
H
60°
C
F
D
C
E
B
A
Lembrando de que o ângulo interno de um pentá(5 2 2)180o
gono regular é igual a
5 108o, temos
5
que AÊF 5 360o 2 108o 2 90o 5 162o. Como o
triângulo AEF é isósceles, com AE 5 EF, temos
180o 2162o
EÂF 5
5 9o.
2
10 Resposta: (B)
Seja (ab)10 um inteiro de dois algarismos. Devemos ter:
10a 1 b 5 2ab (2a 2 1)(b 25) 5 5
Como a e b são inteiros, com a . 0 e 0 < b < 9,
temos que 2a 2 1 . 0. Assim:
2a 2 1 5 5 e b 2 5 5 1 a 5 3 e b 5 6
Logo, o único inteiro satisfazendo as condições do
enunciado é 36.
137
11 Resposta: (E)
O mínimo múltiplo comum de 7 e 8 é 56. Entre dois
múltiplos consecutivos de 56, há sete múltiplos de
7 e seis múltiplos de 8. Assim, os múltiplos de 56 são
os elementos de ordem 14, 28, 42, … da sequência.
Portanto, o 98o elemento da sequência é igual a
56 3 7 5 392, e o 100o é 392 1 8 5 400.
12 Resposta: (C)
Existem 27 possíveis resultados para a soma dos algarismos (1 a 27). As somas 1 e 27 só podem ser obtidas de um modo cada (100 e 999, respectivamente). Assim, no caso mais desfavorável, retiraríamos
27 cartões 1 25 cartões, e uma das somas aparecerá pela terceira vez no próximo cartão. Portanto,
precisamos de, no mínimo, 53 cartões.
13 Resposta: (C)
x 3 1 y3
. AsTemos ( x 2 y)2 > 0 ⇔ xy < x2 2 xy 1 y2 5
x1y
sim, como xy . 0, temos:
x 3 1 y3
xy <
5 x2 2 xy 1 y2 , x2 1 y2 , x2 1 xy 1 y2 5
x1y
2
5 x2 1 y (x 1 y) , x2 1 2xy 1 y2 5(x 1 y)
14 Resposta: (D)
G
F
C
B
D
Temos que ACE  FGE
A
E
3
AC 1
5 AC 5 .
2
3 2
3
1
215
. Temos também que
2
2
1
1
BD
2
BCD  ACE
BD 5 . Logo, a
5
3
3
1
2
1 1 1
1
área do triângulo BCD é: ? ? 5
. Portanto,
2 2 3
12
1
11
a área desejada é: 1 2
5
.
12
12
Logo, BC 5
15 Resposta: (D)
a
Como a, b > 0, temos ,1 a , b. Portanto, como
b
a 11
a , b a 1 1 , b 1 1 ,1 e a , b a 1
b 11
a a 11
a 11
1 ab < b 1 ab ,
, temos que
é
b b 11
b 11
a
maior que , mas menor que 1.
b
16 Resposta: (D)
Uma estratégia que o jogador que começa pode
adotar é tirar 6 2 k palitos, se o outro jogador tirou
k palitos na jogada anterior. Como o resto da divisão de 1 000 por 6 é 4, temos que o jogador que
começa deve tirar no começo 4 palitos para garantir
a vitória (nas outras jogadas, basta seguir a estratégia anterior).
17 Resposta: (E)
O segmento AB pode ser um dos lados do retângulo. Há 4 retângulos que podem ser construídos com
essa propriedade. Se o segmento AB for uma diagonal do retângulo, podemos construir apenas um
retângulo, totalizando 5 possibilidades.
18 Resposta: (C)
Número de gêmeos 5 número de trigêmeos 5 número de quadrigêmeos 5 n; logo, n é um múltiplo
positivo de 12. Mas 39 2 2n . 0 ; logo, n512. Consequentemente, o número de filhos é 12 1 39 5 51.
19 Resposta: (A)
Seja t o número de horas que devemos sair antes
das 11 h para chegar a Salvador ao meio-dia e T o
tempo passado, em horas, até entrarmos no congestionamento. Assim, antes de chegar ao congestionamento andamos 60(t 1 T) km. Em seguida, devemos passar por um congestionamento de extensão 4T para depois de 15 km chegarmos a Salvador.
Assim: 60(t 1 T) 1 4T 1 15 5 60 60t 1 64T 5 45.
Portanto, passamos t 1 T horas antes do congestio4 T 2T
5
horas no congesnamento, demoramos
6
3
15 1
tionamento e passamos mais
5 de hora até
60 4
chegarmos a Salvador. Devemos ter 1 1 t 5 t 1 T 1
9
2T 1
1 T 5
h.
1
20
3 4
9
Logo, 60t 5 45 2 64 ?
5 0,27; t 5 0,27 h 5 16,2 min.
20
Portanto, devemos sair aproximadamente às
10h43min.
20 Resposta: (D)
Nas n primeiras linhas, temos 1 1 3 1 5 1 … 1
1 (2n 2 1) 5 n2 números, dos quais 1 1 2 1 3 1
n(n 11)
1 … 1 n 5
estão em casas brancas. Como
2
62 ? 63
63 ? 64
, 2 000 <
, temos que o 2 000o núme2
2
62 ? 63
ro está na 63a linha. Como
5 1 953, concluí2
mos que o número procurado é o [2(2 000 2 1953) 2
2 1]o 5 93o número desta linha. Enfim, como o último termo da 62a linha é 622 5 3 844, temos que o
número procurado é 3 844 1 93 5 3 937.
SEGUNDA FASE
••••••
1 Resposta:
Decomponha N em primos 5 2a2 3a3 ...
Dobro de um cubo quer dizer que todos os ai são
múltiplos de 3, exceto a2, que deixa resto 1 na divisão por 3.
Quíntuplo de um quadrado quer dizer que todos
são pares, exceto a5.
Os menores expoentes possíveis são então a2 5 4;
a5 5 3 e os outros, a3 5 a7 5 ... 5 0.
Assim, N 5 24 ? 53 5 2 000.
138
2 Resposta:
Sejam a < b < c as medidas do paralelepípedo.
Temos, então, que a, b e c são inteiros positivos e
abc 5 216.
Como a ? b ? c > a ? a ? a ⇔ a < 6 e a| 216, temos
a 5 1, a 5 2, a 5 3, a 5 4 ou a 5 6.
Se a51, temos b ? c 5216. As possibilidades nesse
caso são: b 5 1 e c 5 216; b 5 2 e c 5 108; b 5 3
e c 5 72; b 5 4 e c 5 54; b 5 6 e c 5 36; b 5 8 e
c 5 27; b 5 9 e c 5 24; b 5 12 e c 5 18.
Se a52, temos b ? c 5108, com b>2. Temos então as possibilidades: b 5 2 e c 5 54; b 5 3 e c 5 36;
b 5 4 e c 5 27; b 5 6 e c 5 18; b 5 9 e c 5 12.
Se a53, temos b ? c 572, com b>3. Temos então
as possibilidades: b 5 3 e c 5 24; b 5 4 e c 5 18;
b 5 6 e c 5 12; b 5 8 e c 5 9.
Se a53, temos b ? c 572, com b>3. Temos então
as possibilidades: b 5 3 e c 5 24; b 5 4 e c 5 18;
b 5 6 e c 5 12; b 5 8 e c 5 9.
Se a54, temos b ? c 554, com b > 4. Nesse caso,
temos uma só solução, que é b 5 6 e c 5 9.
Se a56, a única solução é b 5 c 56.
Temos, assim, 19 maneiras de construir o paralelepípedo.
Observação: Pode-se verificar que o número de so d(n) 
,
luções de b ? c 5 r, com b < c naturais, é 
 2 
em que [x] denota o menor número inteiro maior
ou igual a x e d(n) é o número de divisores de n.
d(216)
Assim, b ? c 5 216 tem 
 5 8 soluções;
 2 
 d(108) 
b ? c 5 108 com b > 2 tem 
215 5 solu 2 
ções (descontamos aqui a solução b 5 1 e c 5108);
 d(72) 
b ? c 5 72 com b > 3 tem 
2 2 5 4 solu 2 
ções (eliminamos b 5 5 e c 5 72 e b 5 2 e c 5 36);
 d(54) 
2 3 51 solução
b ? c 5 54 com b > 4 tem 
 2 
(eliminamos b 5 1, b 5 2 e b 5 3) e b ? c 5 36,
 d(36) 
2 4 51 solução (elimina-se
com b > 6, tem 
 2 
b 5 1, 2 ,3 ou 4).
3 Resposta:
D
y
F
C
G
θ
x
A
20o
y
ˆ 5FBC
ˆ 5x
1) FAD
ˆ
ˆ 5y
2) EAB 5EDC
ˆ 5 90o 2 y 51 x
DEC
90o 2( x 1 y) 5 ⇒ 5 20o E
x 1 y 5 70o
x
B
4 Resposta:
Seja x o lado de B. O lado de C 5 x 2 1, D 5 x 1 5,
E 5 x 2 1, F 5 x 2 2, G 5 4, H 5 2x 2 3, I 5 x 1 9
(5 D 1 G), mas também é 3x 2 9 (5 F 1 H 2 G).
Assim, x 1 9 5 3x 2 9 e x 5 9. Donde, o lado de I é 18.
D
I
G
C
F
B
A
H
E
5 Resposta:
n11
.
A média aritmética dos inteiros de 1 a n é 
 2 
Quando se apaga um desses números, a menor mén
dia possível é a dos números de 1 a (n21), que é ,
2
n
e a maior é a dos números de 2 a n, que é 11.
2
n
2 n
Logo, deve-se ter ,12 , 11, o que fornece
2
11 2
4
4
e, portanto, n é igual a 23 ou 24.
22 < n < 24
11
11
Mas a média dos números restantes é uma fração
de denominador 11. Logo, a quantidade de números que restam no quadro deve ser multiplicada por
11. Portanto, n só pode ser igual a 23.
Finalmente, a soma dos números que restam é
2
22 3 12 ?
5 268.
11
A soma dos números de 1 a 23 é 23 3 12 5 276.
Logo, o número apagado foi m 5 276 2 268 5 8.
6 Resposta:
No pior caso, o 2o colocado do 1o turno faz 24 pontos no 1o turno. Se o Vulcano FC fizer 23 pontos no
2o turno, ele ganhará 7 jogos e empatará 2, e o
2o colocado no 1o turno chegará a um máximo de
25 pontos (pois no máximo empatará com o Vulcano FC) no 2o turno. Assim, o Vulcano FC terá vantagem na decisão, nesse caso.
Note que se o Vulcano FC fizer 24 pontos no 2o turno, perdendo para o 2o colocado do 1o turno, este
pode fazer 27 pontos no 2o turno e ganhar a vantagem para a decisão.
Se o Vulcano FC fizer 22 pontos ou menos, e o Klingon FC tiver feito 24 pontos no 1o turno, poderá
fazer 27 pontos no 2o turno, somando 51 pontos,
mais que os 49 (ou menos) pontos do Vulcano FC.
Assim, a resposta da segunda pergunta é n 5 25,
enquanto a resposta da 1a pergunta é n 5 23.
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