PROVA DE MATEMÁTICA DA FUVEST
VESTIBULAR– 2011– 1a Fase
RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.
QUESTÃO 20.
Uma geladeira é vendida em n parcelas iguais, sem juros. Caso se queira adquirir o
produto, pagando-se 3 ou 5 parcelas a menos, ainda sem juros, o valor de cada parcela
deve ser acrescido de R$ 60,00 ou de R$ 125,00, respectivamente. Com base nessas
informações, conclui-se que o valor de n é igual a
a) 13
b) 14
c) 15
d) 16
e) 17
RESOLUÇÃO:
n é o número de parcelas com valor x reais.
Valor do produto: nx reais
Caso se queira adquirir o produto, pagando-se 3 parcelas a menos, ainda sem juros, com
o valor de cada parcela acrescido de R$ 60,00, o valor do produto ser:
nx = (n – 3)(x + 60). (I)
Caso se queira adquirir o produto, pagando-se 5 parcelas a menos, ainda sem juros, com
o valor de cada parcela acrescido de R$ 125,00, o valor do produto ser:
nx = (n – 5)(x + 125). (II)
Da comparação entre as expressões (I) e (II), tem-se:
(n – 3)(x + 60) = (n – 5)(x + 125) ⇒ 60n – 3x – 180 =125n – 5x – 625 ⇒
65n – 2x = 445 (III)
De (I) e (III) tem-se o sistema:
65n − 2 x = 445
195n − 6x = 1335
75n = 975
(3L1 ;2L 2 ) ⇒ 
(L1 − L 2 ) ⇒ 

60n − 3x = 180
120n − 6x = 360
n = 13
RESPOSTA: O valor de n é 13. (Alternativa a)
QUESTÃO 21.
Sejam f(x) = 2x – 9 e g(x) = x² + 5x + 3. A soma dos valores absolutos das raízes da
equação f(g(x)) = g(x) é igual a
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
RESOLUÇÃO:
f(g(x)) = 2(x² + 5x + 3) – 9 = 2x² + 10x – 3.
Sendo f(g(x)) = g(x) ⇒ 2x² + 10x – 3 = x² + 5x + 3 ⇒ x² + 5x – 6 = 0 ⇒
− 5 ± 25 + 24
⇒ x ' = −6 e x' ' = 1 .
2
Então a soma x ' + x ' ' = 6 + 1 = 7 .
x=
RESPOSTA: Alternativa d.
QUESTÃO 22.
No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que M é o ponto médio de
AB , N é o ponto médio de BC e MN = 14 / 4 . Então, DM é igual a
a)
b)
2
4
2
2
c) 2
d)
e)
3 2
2
5 2
2
RESOLUÇÃO:
Aplicando a Lei dos Cossenos ao triângulo MBN:
2
2
2
 14 

 =  1  +  1  − 2 ×  1  ×  1  × cosα ⇒
 4 
2 2
2 2


7 1 1 cosα
3
= + −
⇒ 4 cosα = 2 + 2 − 7 ⇒ cosα = − ⇒
8 4 4
2
4
cos(180° − α ) =
3
.
4
Aplicando agora a Lei dos Cossenos ao triângulo AMD:
(MD )2 = 1 +  1 
2
2
1 3
2
1
− 2 ×   × 1 × cos(180° − α ) ⇒ (MD )2 = 1 + − ⇒ 4(MD )2 = 2 ⇒ MD =
.
4 4
2
2
RESPOSTA: Alternativa b.
QUESTÃO 23.
Seja x > 0 tal que a sequência a1 = log 2 x , a 2 = log 4 (4x ) , a 3 = log8 (8x ) forme, nessa
ordem, uma progressão aritmética. Então, a1 + a 2 + a 3 é igual a
a)
13
2
b)
15
2
c)
17
2
d)
19
2
e)
21
2
RESOLUÇÃO:
log 2 x
2
log 2 x
a 3 = log8 (8x ) = log8 8 + log8 x = 1 +
3
Se a1 , a 2e a 3 devem formar, nessa ordem, um progressão aritmética:
a 2 = log 4 (4x ) = log 4 4 + log 4 x = 1 +
log 2 x 
log 2 x 


2a 2 = a 1 + a 3 ⇒ 2 ×  1 +
 = log 2 x + 1 +
.
2
3 



a
a
Como a1 = log 2 x , tem-se: 21 + 1  = a1 + 1 + 1  ⇒
2
3


a
3 5
e a3 =1+1= 2 e
2 + a1 = a1 + 1 + 1 ⇒ a1 = 3 ⇒ a 2 = 1 + =
3
2 2
5
15
a1 + a 2 + a 3 = 3 + + 2 =
.
2
2
RESPOSTA: Alternativa b.
QUESTÃO 24.
Na figura, o triângulo ABC é equilátero de lado 1, e ACDE, AFGB e BHIC são
quadrados. A área do polígono DEFGHI vale
a) 1 + 3
b) 2 + 3
c) 3 + 3
d) 3 + 2 3
e) 3 + 3 3
RESOLUÇÃO:
A área S do polígono DEFGHI é igual à soma:
3SACDE + SABC + 3SCDI ⇒
3
1
3 3 3
+ 3 × × 1 × 1 × sen120° = 3 +
+
⇒
4
2
4
4
S = 3+
S = 3+ 3 .
RESPOSTA: Alternativa c.
QUESTÃO 25.
Sejam x e y números reais positivos tais que x + y = π / 2 . Sabendo-se que sen ( y − x ) = 1/ 3 ,
o valor de tg 2 y − tg 2 x é igual a
a)
3
2
b)
5
4
c)
1
2
d)
1
4
e)
1
8
RESOLUÇÃO:
x+y=
π
2
sen (2 y −
⇒x=
π
2
π
2
− y ⇒ sen ( y − x ) = sen ( y −
) = sen (2 y) cos
π
− cos(2 y)sen
π
π
2
+ y) = sen (2 y −
= − cos(2 y) =
π
2
)=
1
3
1
1
⇒ cos(2 y) = − ⇒
3
3
2
2
1
1
2
2
cos y − sen y = − ⇒ cos y − (1 − cos y) = − ⇒ 6 cos 2 y − 3 + 1 = 0 ⇒ 6 cos 2 y = 2 ⇒
3
3
1
1
2
cos 2 y = ⇒ sen 2 y = 1 − = .
3
3 3
2
2
Sendo x =
π
2
− y ⇒ senx = cos y e cosx = seny .
2
1
2
2
sen
y
sen
x
1 3
tg 2 y − tg 2 x =
−
= 3 − 3 = 2− = .
2
2
1
2
2 2
cos y cos x
3
3
RESPOSTA: Alternativa a.
QUESTÃO 26.
A esfera ε, de centro 0 e raio r > O, é tangente ao plano α. O plano β é paralelo a α e
contém O. Nessas condições, o volume da pirâmide que tem como base um hexágono
regular inscrito na intersecção de ε com β e, como vértice, um ponto em α, é igual a
a)
3r 3
4
b)
5 3r 3
16
c)
3 3r 3
8
d)
7 3r 3
16
e)
3r 3
2
RESOLUÇÃO:
A intersecção de ε com β é um círculo
máximo da esfera, portanto com centro no
ponto 0 e raio r. O hexágono regular
inscrito nesse círculo tem lado r. A
pirâmide que tem esse hexágono como
base e como vértice um ponto P qualquer
de α, tem como altura r.
O volume dessa pirâmide é então:
V=
1
1 6 × r2 3
r3 3
× Sbase × h = ×
×r =
3
3
4
2
RESPOSTA: Alternativa e.
QUESTÃO 27.
Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em
cada lançamento, anota-se o número obtido na face superior do dado, formando-se uma
sequência (a, b, c). Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a ou que c seja
sucessor de b?
a)
4
27
b)
11
54
c)
7
27
d)
10
27
e)
23
54
RESOLUÇÃO:
Em cada jogada pode ocorrer qualquer um dos números de 1 a 6.
O espaço amostral E tem então 6³ = 216 elementos.
As ocorrências em que b seja sucessor de a, são: (a, a + 1, c), com 1 ≤ a ≤ 5 e 1 ≤ c ≤ 6.
Total de possibilidades: 5 × 1 × 6 = 30.
As ocorrências em que c seja sucessor de b, são: (a, b, b + 1), com 1 ≤ a ≤ 6 e 1 ≤ b ≤ 5.
Total de possibilidades: 6 × 5 × 1 = 30.
As ocorrências em que b seja sucessor de a, e c seja sucessor de b são: (a, a + 1, a + 2),
com 1 ≤ a ≤ 4. Total de possibilidades: 4 × 1 × 1 = 4.
O total de ocorrências em que b seja sucessor de a ou que c seja sucessor de b é
então: 30 + 30 – 4 = 56.
Logo a probabilidade de que b seja sucessor de a ou que c seja sucessor de b é:
56 : 8
7
=
216 : 8 27
.
RESPOSTA: Alternativa c.
QUESTÃO 28.
No plano cartesiano, os pontos (0, 3) e (−1, 0) pertencem à circunferência C. Uma outra
circunferência, de centro em (−1/2, 4) , é tangente a C no ponto (0, 3).
Então, o raio de C vale
a)
5
8
b)
5
4
c)
5
2
d)
3 5
4
e) 5
RESOLUÇÃO:
•
•
A reta que passa nos pontos A = (0, 3) e B =(−1, 0) é: a(x – 0) = y – 3 ⇒
ax = y – 3.
Nessa equação substituindo x e y pelas ordenadas do ponto (−1, 0): −a = – 3 ⇒ a
= 3 ⇒ 3x = y – 3 ⇒ y = 3x + 3.
O centro da circunferência C pertence à reta perpendicular a reta y = 3x + 3 e
1 3
que passa pelo ponto médio do segmento AB : M =  − ,  .
 2 2
•
A equação dessa reta tem a forma:
1
3
1 1
3 1 4
1 4
y = − x + b ⇒ = −  −  + b ⇒ b = − = ⇒ y= − x+ .
3
2
3 2 
2 6 3
3 3
Sendo tangentes as duas circunferências, os seus centros são alinhados e
portanto pertencem à reta que passa pelos pontos C = (−1/2, 4) e A = (0, 3):
a(x – 0) = y – 3 ⇒ ax = y – 3.
Nessa equação substituindo x e y pelas ordenadas do ponto C = (−1/2,4):
−
1
a = 4 − 3 ⇒ −a = 2 ⇒ a = −2 ⇒ −2 x = y − 3 ⇒ y= −2x+ 3.
2
O centro da circunferência C pertence ao mesmo tempo às retas cujas equações são
1 4
y= − x+ e y = −2x + 3:
3 3
1
4
4

 1
y = − x +
− x + = −2x + 3 5x = 5
⇒
⇒
⇒ O centro da circunferência C é o
3
3
3
3


x = 1 e y = 1
 y = −2x + 3
− x + 4 = −6x + 9
ponto O = (1,1).
Cálculo da medida do raio: r = OA = (0 − 1)2 + (3 − 1)2 = 1 + 4 = 5
RESPOSTA: Alternativa e.
QUESTÃO 29.
Seja f ( x ) = a + 2 bx +c , em que a, b e c são números reais. A imagem de f é a semirreta ]−1,
∞[ e o gráfico de f intercepta os eixos coordenados nos pontos (1, 0) e (0, −3/4). Então,
o produto abc vale
a) 4
b) 2
c) 0
d) −2
e) −4
RESOLUÇÃO:
O gráfico de h(x) = 2 bx + c passa no ponto (0,1) e tem como imagem a semireta ]0, ∞[,
e sendo a semireta ]−1, ∞[ a imagem da função f ( x ) = a + 2 bx +c , então a = −1, logo
f ( x ) = −1 + 2 bx +c
Como o gráfico de f intercepta os eixos coordenados nos pontos (1, 0) e (0, −3/4),
− 1 + 2 b +c = 0
2 b +c = 1
b + c = 0
c = −2



⇒ c 1 ⇒
⇒ {a = −1, b = 2, c = −2 ⇒ abc = 4 .

3⇒ c
3
c
b − 2 = 0
− 1 + 2 = −
2 = − + 1 2 = 4
4
4


RESPOSTA: Alternativa a.