8/Maio/2013 – Aula 22
Átomo de hidrogénio (conclusão)
Modelo quântico.
Números quânticos.
Spin.
Experiência de Stern-Gerlach; princípio de
exclusão de Pauli
13/Maio/2013 – Aula 23
Introdução à Física Nuclear
Estrutura e propriedades do núcleo
1
Aula anterior
Modelo quântico do átomo de hidrogénio
O electrão está confinado a um poço de potencial U(r) = - e2/ (4o r)
Estado fundamental,
n = 1 , com distribuição
de densidade electrónica
dada por P(r) = | |2.
Consideremos agora :
1.
A densidade de probabilidade pode ser relacionada com a
densidade de carga do átomo:
carga (r) = - e |(r)|2 Coulomb/m3
2.
A partícula confinada tem 1 número quântico para cada dimensão
espacial  são necessários 3 números quânticos para descrever
cada estado (no modelo de Bohr só existe 1 número quântico, n ).
2
Aula anterior
Equação de
Schrödinger a
3 dimensões:
  2  2  2

 2  2  2
2m  x
y
z
2

  U( x, y,z )   E 

U( x, y,z )  -
e2
4 o x 2  y 2  z 2
Forma do poço de
potencial que mantém
o electrão confinado.
3
Aula anterior
Elemento de volume com simetria esférica :
• superfície de uma esfera: 4  r 2
• volume dV de uma coroa
esférica com espessura dr
r
dV  4 r 2 dr
Densidade de probabilidade radial:
P( r )  4 r 2 | |2
Para o estado com n = 1
A probabilidade de encontrar
o electrão em r dentro da
coroa esférica de espessura
dr é igual a
P(r)dr
r / ao
Localização mais provável do electrão  r = ao (raio de Bohr).
4
Aula anterior
Em resumo: - dois modelos para o átomo de
hidrogénio
1. Modelo de Bohr, de órbitas planetárias com
2 rn = n  , rn = n ao ,
• consegue prever os níveis de energia
correctamente
En = -13,6 eV/ n2.
2. Modelo quântico, em que o electrão está
confinado a um poço de potencial da forma
U(r) = - e2/ (4o r)
• consegue obter os níveis de energia
correctamente
En = -13,6 eV/ n2
• consegue obter a maior probabilidade de
encontrar o electrão para r = ao a partir
da densidade de probabilidade radial da
função de onda.
Modelos do átomo de
hidrogénio
simulação
No modelo quântico, o
átomo é representado por
uma nuvem definida pela
densidade de
probabilidade electrónica.
5
Aula anterior
Números quânticos do átomo de hidrogénio
Números quânticos para o hidrogénio e coordenadas associadas:
1.
2.
3.
Coordenada radial r
número quântico principal
n = 1, 2, 3 .... ( n do modelo de Bohr)
Ângulo polar 
número quântico do momento angular
l = 0, 1, 2 ... (n-1)
Ângulo azimutal 
número quântico magnético m l  m = -l, -l +1, 0, 1 ... l (2l+1) valores
O conjunto dos números quânticos (n, l, m)
tem origem nas condições de confinamento
da função de onda (que seja solução da
equação de Schrödinger) a 3 dimensões :
todos os 3 números são necessários para
especificar essa função de onda.
z

r
y

x
6
Aula anterior
Número quântico principal ( n )
13,6
No entanto, a energia total E só depende
do número quântico principal (n ):
En  
As funções de onda são indicadas pelo
conjunto dos 3 números quânticos (n, l, m ),
que só podem tomar certos valores:
 n,l ,m ( r, , )
n
2
eV
Os estados são indicados de acordo com o valor de l
l = 0  s ; l = 1  p ; l = 2  d ; l = 3  f ; ....
Energia
n
l
m
estado
nº de estados
- 13,6 eV
- 3,4 eV
- 3,4 eV
-1,5 eV
-1,5 eV
-1.5 eV
...
1
2
2
3
3
3
...
0
0
1
0
1
2
...
0
0
1,0,-1
0
1,0,-1
2,1,0,-1,-2
...
1s
2s
2p
3s
3p
3d
...
1
1
3
1
3
5
...
Por exemplo, o estado
fundamental, de simetria
esférica, é indicado por:
 100 ( r, , ) 
1
 ao3
e
r / ao
7
Aula anterior
Estados excitados, com E = - 3,4 eV , n = 2
Estado fundamental,
de simetria esférica
 100 ( r, , ) 
1
 ao3
e
r / ao
r / 2ao
 2,0,0  A  2  ar  e

o

2, 0, 0


 r / 2ao
cos 
o
 2,1,0  B  ar  e
2, 1, 0


2, 1,  1
 r / 2ao
sen ei
o
 2,1,1  C  ar  e
Densidades de
probabilidade radiais:
8
9
Introdução à Física Nuclear
Medicina
PET = Positron Emission Tomography
MRI = Magnetic Resonance Image
10
Introdução à Física Nuclear
Raio cósmico
Medicina
PET
MRI
Radioactividade
Arqueologia
Idade da Terra
Detectores
Núcleos atómicos
Carbono-14, radioactivo, está presente
em todos os organismos vivos.
Dióxido de carbono introduz
14C no ciclo
alimentar
11
Introdução à Física Nuclear
Fusão
Fissão
Medicina
PET
MRI
Radioactividade
Arqueologia
Idade da Terra
Detectores
Fusão e Fissão
Energia
Astronomia
12
13
14
Estrutura e propriedades do núcleo
Número atómico
Número de neutrões
Z  número de protões.
N  número de neutrões.
Número de massa
A  número de nucleões (protões + neutrões) no núcleo.
Ex:
56 Fe
(ferro)
A = 56 e Z = 26
A
Z XN
15
Estrutura e propriedades do núcleo
Carga eléctrica
Carga do núcleo = Z | e | = Z x 1,6.10-19 C.
Isótopos
Núcleos com o mesmo valor de Z (mesmo elemento) mas com N e
A diferentes.
Exemplo
Quatro isótopos do carbono ( 11C, 12C, 13C e 14C ) com propriedades
químicas semelhantes mas com características nucleares
diferentes: 12C e 13C são estáveis (abundâncias de 98,9% e 1,1%,
respectivamente); 11C e 14C são instáveis (são o resultado de
reacções nucleares, naturais ou não) .
16
Estrutura e propriedades do núcleo
+ve charge
neutral
mp = 1.67262 × 10 -27 kg
mn = 1.67493 × 10 -27 kg
-27
Δm 0.00231 × 10
kg = 0.14%
17
Estrutura e propriedades do núcleo
Massa
A massa do núcleo é normalmente definida como um múltiplo de
unidades de massa atómica (u) , com 1 u = 1,660559.10-27 kg .
Massa do protão = 1,007276 u
Massa do neutrão = 1,008665 u
Massa do electrão = 0,0005486 u
(cerca de 1836 vezes menor do que a massa do protão)
Massa do átomo de 12C = 12 unidades atómicas de massa = 12 u .
18
Estrutura e propriedades do núcleo
Como a massa em repouso de uma partícula é dada por E = mc2 e
os valores das massas são muito pequenos em Física Nuclear, é
conveniente expressar as massas atómicas e nucleares em termos
da energia equivalente em repouso:
1u  E = mc2 = (1,660559.10-27 kg)(2,99792.108 m/s) 2 = 931,494 MeV
Sendo a massa e a energia equivalentes, utiliza-se normalmente um
sistema de unidades em que
[ massa ]

MeV / c2
[ momento ]

MeV / c
com [ c ] = 1
[ energia ]

MeV
19
Estrutura e propriedades do núcleo
Dimensão do núcleo
A dimensão e a estrutura do núcleo começaram por ser estudadas
por difracção (Rutherford, Prémio Nobel 1908).
Se uma partícula carregada (por exemplo,
um núcleo de hélio – partícula alfa) se
aproximar de um núcleo pesado, a partícula
alfa vai ser repelida devido à força de
Coulomb (repulsão electrostática).
Para colisões frontais, no ponto de maior aproximação (d), a energia
cinética da partícula alfa vai ser completamente transformada em
energia potencial :
20
Estrutura e propriedades do núcleo
1
1
2
mv 
2
4 0
1
 q1 q2 

 
 r  4 0
 2e Ze 


 d 
d
1
4 Ze2
4 0 m v 2
Alvo de ouro  d = 3,2.10-14 m
Alvo de prata  d = 2,0.10-14 m
Experiência de Rutherford
simulação
As cargas positivas no átomo tinham que estar confinadas a uma
região espacial da ordem de 10-14 m (10 fm) -- núcleo atómico .
21
(a) Dimensões relativas dos
núcleos de hélio e urânio.
(b) Dimensões relativas de um
núcleo e de um átomo.
22
Estrutura e propriedades do núcleo
Raio nuclear
Várias experiências de difracção mostram que os núcleos (pelo menos
a maior parte) tem simetria esférica, com um raio médio dado por :
r  r0 A
1
3
em que r0 é uma constante igual a
1,2.10-15 m e A é o número de massa.
Densidade de carga no
interior do núcleo em função
da distância ao centro:
23
Estrutura e propriedades do núcleo
r  r0 A
1
3
Como o volume de uma esfera é proporcional ao
raio elevado ao cubo, então o volume do núcleo
vai ser proporcional ao número de massa A.
Portanto, um núcleo pode ser visualizado como
uma distribuição de esferas (os nucleões).
Para além disso, todos os núcleos terão uma
densidade semelhante (independente da forma,
tal como uma gota de um líquido).
24
Estrutura e propriedades do núcleo
Densidade nuclear
A densidade nuclear N é a razão entre a massa e o volume do
núcleo:
N 
massa
Am
3m


volume 4  r 3 A 4  r03
0
3
Com r0 = 1,2.10-15 m e m = 1,67.10-27 kg tem-se
N = 2,3.1017 kg/m3
(que é  2,3.1014 vezes a densidade da água)
25
Estrutura e propriedades do núcleo
Estabilidade nuclear
Sendo o núcleo composto por protões, confinados a um espaço
pequeno, porque será que não se repelem entre si devido às
forças de Coulomb (forças de repulsão electrostáticas) ?
26
Estrutura e propriedades do núcleo
Força Nuclear ( Interacção forte)
• a força nuclear é mais forte do que a electrostática e é atractiva
entre todos os nucleões, independentemente da sua carga eléctrica ;
• a força nuclear é de curto alcance (1 fm = 10-15m), pelo que um
nucleão só atrai (e é atraído) os seus vizinhos mais próximos ;
• para núcleos grandes, as forças de Coulomb tornam-se maiores (a
força de Coulomb é de longo alcance e os protões vão repelir todos
os outros protões). Para um determinado ponto, a força de Coulomb
vai ser maior do que a força nuclear, e o núcleo vai separar-se (o que
acontece para Z = 83).
27
Tipo de Força
Intensidade
Alcance (m)
Partícula
Gravítica
Electromagnética
Fraca
Forte
28
Estrutura e propriedades do núcleo
29
Estrutura e propriedades do núcleo
Comparação entre a Força Nuclear e a Força de Coulomb :
Átomo de hidrogénio
Força de Coulomb
A energia de ligação (do electrão
ao núcleo) é igual a 13,6eV.
electrão
Núcleo (protão + neutrão)
A energia de ligação (do núcleo)
é igual a 2,2.106 eV ( 2,2 MeV).
protão
Força nuclear
neutrão
protão
30
Estrutura e propriedades do núcleo
Número de neutrões em
função do número atómico
• 92 elementos naturais
• 1440 nuclídeos conhecidos
(340 são naturais)
• alguns elementos só têm 1
isótopo (19F )
• alguns podem ter vários
isótopos estáveis ( 50Sn) .
Estabilidade nuclear
simulação
http://www.pa.msu.edu/~bauer/applets/nuclear/a.htm
31
Estrutura e propriedades do núcleo
32
Estrutura e propriedades do núcleo
Certos valores de Z e A correspondem a núcleos muito estáveis:
Z ou N iguais a 2, 8, 20, 28, 50, 82 ou 126 (números mágicos).
Oito neutrões numa
caixa unidimensional.
Quatro neutrões e
quatro protões numa
caixa unidimensional.
33
Estrutura e propriedades do núcleo
Energia de ligação
A energia total de um sistema ligado (núcleo) é sempre menor
do que a soma das energias individuais dos nucleões que o
constituem.
Essa diferença é a chamada energia de ligação :
E ligação = [ (N mn + Z m p) – M núcleo] c2
sendo mn a massa do neutrão e mp a do protão.
A massa (energia) que falta é numericamente igual à energia
necessária para separar o núcleo nos seus constituintes.
34
Exemplo
O deutério (deuterão) é um isótopo do hidrogénio com 1 neutrão (de
massa mn = 1,008665 u) e 1 protão (massa mp = 1,007276 u) no núcleo.
No entanto, a massa do deutério é igual a 2,013553 u.
O deutério é “mais leve” do que a soma das massas do protão e do
neutrão:
1,008665 u + 1,007276 u – 2,013553 u = 0,002388u
Usando E = mc2  (0,002388 u) (931,494 MeV/u) = 2,224 MeV
35
Estrutura e propriedades do núcleo
238
92 U
Fissão
Energia de ligação em função
do número de massa
A zona de maior estabilidade
corresponde a A=56 (ferro),
com Elig/nucleão = 8,5 MeV.
Os núcleos fora desta zona
têm energias de ligação
menores, sendo, portanto,
menos estáveis.
Consideremos um núcleo de massa grande (por ex, A=240). A
sua energia de ligação é igual a 240 x 7,2 MeV = 1728 MeV.
Se este núcleo se dividir em duas metades iguais, a energia de
ligação de cada uma é igual a 120 x 8,2 MeV = 984 MeV. A
energia total (das duas metades) será 2 x 984 MeV = 1968 MeV.
36
Estrutura e propriedades do núcleo
Os nucleões dos fragmentos estão “mais ligados” do que os
nucleões do núcleo original.
Este aumento na energia por nucleão é convertida em energia
cinética libertada pelos fragmentos aquando da cisão.
Quando um núcleo de massa elevada é cindido (fissão nuclear),
liberta energia.
No exemplo anterior, cada núcleo libertava 1968 - 1728 = 240 MeV.
Do mesmo modo, quando dois núcleos de massa pequena se
“juntam” (fusão nuclear), também se liberta energia.
37
38