Física Qûantica da Matéria
Questões para as aulas das terças-feiras
1- Se a distância média percorrida entre 2 colisões sucessivas entre electrões livres num fio
de cobre é 4 x 10-8 m, quantas colisões por segundo sofre um electrão, se a sua velocidade
média no cobre é 1.21x 106 m/s?
2- Sabendo que embora nem todos os átomos tenham a mesma densidade (e.g. chumbo
versus alumínio), todos os seus núcleos têm a mesma densidade,
a) que relação há entre o raio nuclear e o número A de nucleões num núcleo?
Relembre que o núcleo do átomo é o core central onde se acumulam as cargas positivas e
uma estrutura compacta de A protões e neutrões, partículas com massas da ordem de 1.6 x
10-27 kg e um raio de um fermi, 1Fm=10-15m. Então,
b) calcule o número de nucleões por unidade de volume no núcleo.
c) compare a densidade dos núcleos com a da água e a densidade média da Terra.
De facto, o valor experimental que deveria ser usado de b) a c) para a constante de
proporcionalidade entre o raio nuclear e A1/3 é 1.07 fm, enquanto o raio do protão é 0.77 fm,
o que mostra que a densidade varia com A para os núcleos muito leves.
d) considerando o núcleo dividido em "caixas" cúbicas com volume V/A, e comparando o
comprimento de cada lado dessa caixa com o raio do protão, estime a distância entre 2
nucleões no núcleo atómico.
3- Um cubo de cobre com 2.5 cm de lado, tem uma massa de 1.46 x 10-1 kg. Sabendo que a
massa de um átomo de cobre é 1.06 x10-25 kg, determine o número de átomos presente na
amostra e estime o raio do átomo de cobre, supondo uma estrutura cúbica.
4- Suponha que na estrutura do diamante, os átomos de Carbono, com um raio de 2.5x10-8
cm, são como esferas justapostas, inscritas em cubos.
a) se essa fosse a estrutura do diamante quantos átomos de carbono existiriam por cm3
de diamante?
b) nas mesmas condições, que fracção de volume poderia ser ocupado por impurezas?
c) A densidade do diamante varia entre 3.15 e 3.53. Comparando este número com o que
resultaria da estrutura considerada em a) e b), que conclui sobre a estrutura do diamante, o
tipo de ligação química ou a sobreposição de átomos de carbono no diamante?
5a) Use o resultado da alínea d) do exercício 2 para determinar a energia e a temperatura de
Fermi dos nucleões num núcleo.
b) Diga porque é que num núcleo os nucleões se comportam de acordo com a estatística
quântica, constituindo um gás degenerado.
c) Diga se (e quando?) os núcleos se poderiam comportar como um sistema clássico de
muitas partículas.
6- Apesar das altas temperaturas no seu inetrior, os electrões numa anã branca, onde o todo
o hidrogénio foi gasto e formada por um gás de núcleos de hélio, estão numa fase
degenerada ( obedecendo a uma estatística quântica) devido ao elevado valor da
temperatura de Fermi.
Calcule ( sem correcções relativistas) o raio de uma estrela anã branca .
7- Partículas coloidais apresentam um volume não desprezável quando dispersas num
líquido. Considere a dispersão em água de uma substância coloidal de densidade 1.23g/cm3.
Sabendo que à temperatura de 0º no fundo do recipiente da preparação existem duas vezes
mais partículas que à altura de h=0.003 cm, determine o diâmetro das partículas dispersas
na água.
8- Uma partícula alfa incide numa folha de 19779Au.
a) Calcule o parâmetro de impacto que produz uma deflexão de 10º, em função da energia
da partícula.
b) Considere agora um feixe de partículas alfa de 5.3 MeV a incidir à taxa de 104 partículas/s
numa folha de ouro com uma espessura de 2.10 x 10-7 m. A densidade do ouro é 19.3 x103
kg/m3 e a sua massa molar é 197g/mole. Determine o número de contagens obtidas
correspondentes à retrodispersão, isto é, a ângulos de dispersão π/2<q<π .
9- Considere a fórmula semi-empírica de Weizsacker para as massas atómicas ( função de
A, número de nucleões e de Z, número de protões no núcleo).
a) determine e represente graficamente as curvas para a massa em função de Z, no intervalo
38<Z<46 dos núcleos com A=98, A=99 e A=100.
b) determine analíticamente o valor de Z que corresponde, para cada valor de A considerado,
à minimização da massa.
c) identifique para cada valor de A considerado os núcleos estáveis.
d) identifique nas curvas obtidas os isótopos de tecnecio. Algum destes é estável?
10- Considere o termo na fórmula semi-empírica de Weizsacker para as massas atómicas-dando estas como função de A, número de nucleões, e de Z, número de protões no núcleo -que corresponde à energia de repulsão coulombiana entre os protões.
A partir da constante ac = 0.7105 MeV que afecta esse termo, calcule o parâmetro r0, que
relaciona o raio R com A, R=ro A1/3 ( este processo é o inverso do ajuste experimental
usada para determinar a constante ac ).
11- Os núcleos espelho (contendo igual número de nucleões A, mas sendo o número de
protões Z de um igual ao número de neutrões N do outro) 157N8 e 1587O têm respectivamente
as massas atómicas 15.000109 u e 15.0003065 u.
a) calcule a diferença entre as energias de ligação dos dois núcleos.
b) identificando o resultado de a) com a diferença de energia de Coulomb, determine a
constante r0, que relaciona o raio R com A, R=ro A1/3 .
12- Calcule a probabilidade de um electrão de 2eV atravessar uma barreira de potencial de
10eV com a largura a de 0.1nm,
a) usando a aproximação ka>> 1, correspondente à barreira ser estreita.
b) usando a expressão exacta para o factor de transmissão da barreira.
13- Calcule a expressão para a energia potencial de interacção entre um átomo de momento
dipolar p1 e um outro átomo com um dipolo induzido pelo primeiro, p2= αE1, em que E1 é o
campo eléctrico originado por p1. (a constante α designa-se por polarizabilidade). Estas
interacções designam-se por forças de van der Waals. Sendo de muito longo alcance,
embora fracas são responsáveis, a temperaturas suficientemente pequenas pela liquefação.
14- Considere um modelo simples para o potencial entre protão e neutrão no deuterão: um
poço de potencial de profundidade -Vo e largura ao, no caso de momento angular relativo l=0
(estado s).
a) determine graficamente a energia de ligação Eb do deuterão e a relação alcanceprofundidade que existe entre a profundidade -Vo e largura ao no limite Eb ô 0 . Calcule
nesse limite Vo, tomando o valor (razoável) ao=1.6 fm.
b) sendo Eb= -2.226 MeV (não muito afastado do limite considerado anteriormente, dada a
ordem de grandeza das massas dos nucleões), determine como os valores para -Vo e ao
estão constangidos. Diga se a energia de ligação do deuterão permite conhecer em detalhe o
potencial nuclear.
c) represente graficamente a função de onda do deuterão e a respectiva densidade de
probabilidade, para o estado s.
15- O decaímento alfa de um núcleo resulta do efeito de túnel.
energias de uma partícula alfa que se forme no interior do núcleo,
Atendendo às baixas
a) estime o factor de transmissão da barreira de Coulomb sentida pela partícula alfa no
núcleo.
b) calcule a velocidade de partículas alfa de poucos MeV que se formem no núcleo.
c) a partir dos resultados de a) e b) dê uma estimativa para a vida média  da partícula alfa
dentro do núcleo, e diga se os períodos de semidesintegração alfa são grandes ou pequenos
para emissores alfa com Z elevado.
d) determine a equação da recta que log(1/ )(Z) satisfaz aproximadamente.
16- A secção eficaz de uma reacção de captura de um núcleo por outro é muito atenuada a
baixas energias, e é tanto mais atenuada quanto maior for o produto Z1Z2, dos números
atómicos dos núcleos.
a) Explique quantitativamente este resultado.
b) porque é que nos reactores termonucleares se usa hidrogénio?
c) porque é que não se usam protões, mas sim neutrões, na fissão de elementos pesados?
17- A energia máxima de raios-X característicos de uma dada amostra corresponde a um
comprimento de onda de 2.16Angstrom.
a) explique a emissão de radiação de raios-X característica de um dado elemento.
b) que elemento constitui a amostra?
18Se um núcleo tem o momento quadupolar Q= 8.0 e barn, em que e é a carga do electrão,
estime a razão do eixo maior pelo eixo menor desse núcleo elipsóide.