MATEMÁTICA
Prof. Favalessa
1. Na figura, está representada uma torre de quatro andares construída com
cubos congruentes empilhados, sendo sua base formada por dez cubos.
Calcule o número de cubos que formam a base de outra torre, com 100
andares, construída com cubos iguais e procedimento idêntico.
Resposta:
O número de cubos que formam a base de uma torre de 100 andares é dado
por
1 100
1 2 3  100
100
2
101 50
5050.
2. A quantidade de números inteiros entre 50 e 100 que sejam múltiplos dos números 3 e 4 ao mesmo
tempo é:
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 13.
e) 17.
Resposta: [B]
MMC(3,4) = 12
Múltiplos de 12 são múltiplos de 3 e de 4 ao mesmo tempo.
Múltiplos de 12 entre 50 e 100 (60, 72, ..., 84, 96).
Utilizando a fórmula do termo geral da P.A., temos:
96 = 60 + (n–1) 12 (em que n é o número de múltiplos de 12 entre 50 e 100)
36
n 1 12
n 1 3
n 4
3. Um fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada
uma das quais semelhantes ao objeto original. Em muitos casos, um fractal é
gerado pela repetição indefinida de um padrão. A figura abaixo segue esse
princípio. Para construí-la, inicia-se com uma faixa de comprimento m na
primeira linha. Para obter a segunda linha, uma faixa de comprimento m é
dividida em três partes congruentes, suprimindo-se a parte do meio. Procedese de maneira análoga para a obtenção das demais linhas, conforme
indicado na figura.
Se, partindo de uma faixa de comprimento m, esse procedimento for efetuado
infinitas vezes, a soma das medidas dos comprimentos de todas as faixas é
a) 3 m
b) 4 m
c) 5 m
d) 6 m
e) 7 m
Resposta: [A]
Os comprimentos das faixas constituem uma progressão geométrica infinita, sendo a1
q
2
a razão. Portanto, a soma dos comprimentos de todas as faixas é dada por
3
lim Sn
x
m o primeiro termo
m
2
1
3
3m.
4. Um produtor rural teve problema em sua lavoura devido à ação de uma praga. Para tentar resolver esse
problema, consultou um engenheiro agrônomo e foi orientado a pulverizar, uma vez ao dia, um novo
tipo de pesticida, de acordo com as seguintes recomendações:
• No primeiro dia, utilizar 3 litros desse pesticida.
• A partir do segundo dia, acrescentar 2 litros à dosagem anterior e, assim, sucessivamente.
Sabendo-se que, nesse processo, foram utilizados 483 litros de pesticida, conclui-se que esse produto foi
aplicado durante:
1
a) 18 dias
b) 19 dias
c) 20 dias
d) 21 dias
e) 22 dias
Resposta: [D]
Considerando um P.A. de razão 3: (3, 5, 7, ...) , sendo n o número de dias de aplicação.
Termo geral: an = 3+(n-1).2
an 2n 1
(3 2n 1) n
2
Fazendo Sn = 483, temos a equação:
Soma dos n primeiros termos: Sn
2
Sn
n2
2 n
2
n + 2n = 483
n +2n – 483 = 0
n = 21 ou n = - 23 (não convém)
Portanto, o produto foi aplicado durante 21 dias.
5. Num laboratório está sendo realizado um estudo sobre a evolução de uma população de vírus. A
seguinte sequência de figuras representa os
três primeiros minutos da reprodução do vírus
(representado por um triângulo).
Supondo que se mantém constante o ritmo de
desenvolvimento da população de vírus, qual
o número de vírus após uma hora?
a) 140
b) 180 c) 178 d) 240
e) 537
Resposta: [C]
A população de vírus desenvolve-se segundo a progressão aritmética 1, 4, 7, .
Portanto, o número de vírus após uma hora é 1 (60 1) 3 178.
6. A figura abaixo mostra uma série de painéis formados por uma faixa de ladrilhos claros envoltos em
uma moldura de ladrilhos escuros. Num desses painéis, o número de ladrilhos escuros excede o
número de ladrilhos claros em 50 unidades.
A quantidade total de ladrilhos desse painel é igual a:
a) 126
b) 172
c) 156
d) 224
e) 138
Resposta: [E]
As diferenças entre os números de ladrilhos escuros e claros formam uma P.A de razão 1.
(7, 8, 9, ..., 50)
a
50 = 7 + (n-1).1
n = 44, logo, a 44 figura terá 44 ladrilhos claros e 50 + 44 ladrilhos escuros, portanto,
um total de 44 + 50 + 44 = 138 ladrilhos.
7. A figura a seguir representa um modelo plano do
desenvolvimento vertical da raiz de uma planta do
mangue. A partir do caule, surgem duas
ramificações da raiz e em cada uma delas surgem
mais duas ramificações e, assim, sucessivamente.
O comprimento vertical de uma ramificação, dado
pela distância vertical reta do início ao fim da
mesma, é sempre a metade do comprimento da
ramificação anterior.
Sabendo que o comprimento vertical da primeira
ramificação é de h1 1 m , qual o comprimento
vertical total da raiz, em metros, até h10 ?
1
1
1
10
2
2
1
c) 2 1
10
2
1
e) 2 1
29
a)
1
1
1
2
29
1
d) 2 1
1010
b)
2
Resposta: [C]
Os comprimentos das ramificações, em metros, constituem a progressão geométrica
1 1
1
1, , 2 ,  , cujo primeiro termo é 1 e a razão vale .
2 2
2
Queremos calcular a soma dos dez primeiros termos dessa sequência, ou seja,
1
10
S10
a1
1 q
1 q
1
1
2
1
1
2
10
1
1
210
1
2
1
.
210
2 1
8. Para construir uma curva “floco de neve”, divide-se um segmento de reta (Figura 1) em três partes
iguais. Em seguida, o segmento central sofre uma rotação de
60º, e acrescenta-se um novo segmento de mesmo comprimento
dos demais, como o que aparece tracejado na Figura 2. Nas
etapas seguintes, o mesmo procedimento é aplicado a cada
segmento da linha poligonal, como está ilustrado nas Figuras 3 e
4.
Se o segmento inicial mede 1 cm, o comprimento da curva obtida na
sexta figura é igual a
a)
6!
cm
4!3!
b)
5!
cm
4!3!
c)
4
3
5
cm
d)
4
3
6
cm
Resposta:[C]
Os comprimentos das figuras formam uma P.G. de razão 4/3. Logo, o
comprimento da sexta figura será dado por: a6
4
1.
3
5
4
3
5
.
9.
Considere a sucessão de figuras apresentada a seguir, em que cada
figura é formada por um conjunto de palitos de fósforo.
Suponha que essas figuras representam os três primeiros termos de uma sucessão de figuras que seguem
a mesma lei de formação. Nesse caso, o número de fósforos necessários para que seja possível exibir
todas as primeiras 50 figuras ao mesmo tempo é igual a
a) 200.
b) 1000.
c) 2000.
d) 10000.
Resposta: [D]
A quantidade de palitos em cada figura varia de acordo com uma P.A de razão r = 8
P.A.( 4, 12, 30, 28, ...)
Na figura 50 temos a50 q palitos: a50 = 4 + 49.8 = 396.
Calculando a soma de todos os palitos.
S50=
(4 396 ).50
2
10.000
3
10. No centro de um mosaico formado apenas por pequenos ladrilhos, um artista colocou 4 ladrilhos cinza.
Em torno dos ladrilhos centrais, o artista colocou uma camada de ladrilhos brancos, seguida por uma
camada de ladrilhos cinza, e assim sucessivamente, alternando camadas de ladrilhos brancos e cinza,
como ilustra a figura a seguir, que mostra apenas
a parte central do mosaico. Observando a figura,
podemos concluir que a 10ª camada de ladrilhos
cinza contém
a) 76 ladrilhos.
b) 156 ladrilhos.
c) 112 ladrilhos.
d) 148 ladrilhos.
Resposta: [D]
O número de ladrilhos em cada “lado” das camadas cinza constitui a progressão aritmética (2, 6,10, ).
Desse modo, o “lado” da 10ª camada terá
a10
a1 (n 1)r
2 (10 1) 4
2 36
38 ladrilhos.
Portanto, a 10ª camada de ladrilhos cinza contém 4 (38 2) 4 148 ladrilhos.
11. A soma dos n primeiros termos de uma sequência e dada pela fórmula Sn
diferença entre o segundo e o primeiro termos dessa sequencia e igual a
a) 5.
b) 18.
c) 23.
d) 33.
Resposta: [B]
a1
3 13
S1
a1 a2
Portanto,
S2
3n3
2n . Desse modo, a
2 1 5
3 23
5 a2
2 2
28
28
a2
23
12. Com o objetivo de criticar os processos infinitos, utilizados em demonstrações matemáticas de sua
época, o filósofo Zenão de Eleia (século V a.C.) propôs o paradoxo de Aquiles e a tartaruga, um dos
paradoxos mais famosos do mundo matemático.
Existem vários enunciados do paradoxo de Zenão. O escritor argentino Jorge Luis Borges o apresenta
da seguinte maneira:
Aquiles, símbolo de rapidez, tem de alcançar a tartaruga, símbolo de morosidade. Aquiles corre dez
vezes mais rápido que a tartaruga e lhe dá dez metros de vantagem. Aquiles corre esses dez metros, a
tartaruga corre um; Aquiles corre esse metro, a tartaruga corre um decímetro; Aquiles corre esse
decímetro, a tartaruga corre um centímetro; Aquiles corre esse centímetro, a tartaruga um milímetro;
Aquiles corre esse milímetro, a tartaruga um décimo de milímetro, e assim infinitamente, de modo que
Aquiles pode correr para sempre, sem alcançá-la.
Fazendo a conversão para metros, a distância percorrida por Aquiles nessa fábula é igual a
d 10 1
1
10
1
10
1
10
... 10
2
n
.
n 0
É correto afirmar que:
a) d = + ∞
b) d = 11,11
c) d =
91
9
d) d = 12
Resposta: [E]
d 10 1
1
10
1
10
2
1
10
... 10
n
.
n 0
PG infinita de razão 1/10
4
e) d =
100
9
d=
10
1
1
10
10
9
10
100
9
13. Considere o padrão de construção representado pelos desenhos a seguir.
Na Etapa 1, há um único quadrado com lado 10. Na Etapa 2, esse quadrado foi dividido em quatro
quadrados congruentes, sendo um deles retirado, como indica a figura. Na etapa 3 e nas seguintes, o
mesmo processo é repetido em cada um dos quadrados da etapa anterior.
Nessas condições, a área restante na Etapa 6 será de
a) 100
1
4
5
.
b) 100
1
3
6
.
c) 100
1
3
5
.
d) 100
Resposta: [E]
Na primeira etapa: 10.10 = 100
Na segunda etapa: (3/4).100
2
Na terceira etapa: (3/4). (3/4).100 = (3/4) .100
Temos, então uma P.G. de razão q = ¾
5
Portanto o sexto termos será (3/4) . 100
14. Uma pessoa resolveu fazer sua caminhada
matinal passando a percorrer, a cada dia, 100
metros mais do que no dia anterior. Ao
0
completar o 21 . dia de caminhada, observou
ter percorrido, nesse dia, 6 000 metros. A
distância total percorrida nos 21 dias foi de:
a) 125 500 m.
b) 105 000 m.
c) 90 000 m.
d) 87 500 m.
e) 80 000 m.
Resposta:
[B]
5
3
4
6
.
e) 100
3
4
5
.