1400200 - FÍSICA DA TERRA E DO UNIVERSO PARA
LICENCITURA EM GEOCIÊNCIAS
A FORMA E O CAMPO DE GRAVIDADE DA TERRA
Professor Manoel Souza D’Agrella Filho
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A FORMA E O CAMPO DE GRAVIDADE DA TERRA
Os filósofos e sábios antigos só conseguiam especular sobre a natureza e forma da Terra em
que viviam. As viagens eram limitadas e só existiam instrumentos simples.
As observações mostravam que a superfície era convexa
1- Os raios solares continuam a iluminar o céu e as montanhas, mesmo após o
desaparecimento do Sol
2- Os navios pareciam afundar devagar no horizonte
3- Durante um eclipse parcial da Lua, a sombra da Terra aparecia curvada
Para a Mitologia Grega, a Terra era uma região em forma de disco. No século 6 A.C., o
filósofo grego Anaximander visualizava o céu como uma esfera celestial que circundava
uma Terra plana no seu centro.
Pitágoras (582-507 A.C.) e seus seguidores foram os primeiros a especularem que a Terra
era uma esfera.
Esta idéia foi também proposta pelo influente filósofo Aristóteles (384-322 A.C.).
A primeira estimativa do tamanho da Terra foi feita por Eratóstenes (275-195 A.C.), que
morava em Alexandria, uma colônia Grega situada no Egito. Eratóstenes sabia que na
antiga cidade de Siena os raios de sol de meio dia incidiam verticalmente, pois iluminavam
os fundos dos poços, enquanto que em Alexandria observava-se uma sombra no mesmo
horário. Usando um relógio de sol, ele observou que, no solstício de verão, os raios de sol
faziam um ângulo de 7,2° com a vertical em Alexandria.
Eratóstenes também acreditava que Siena e Alexandria se encontravam no mesmo
meridiano. Ele também sabia que a distância entre Siena e Alexandria era de 5000 estadias.
Com isto, Eratóstenes estimou que a circunferência da Terra era de aproximadamente
250.000 estadias. Uma estadia Grega representava o percurso (~185 m) de corrida em
forma de U, onde corridas e outros eventos de atletismo ocorriam. A estimativa de
Eratóstenes é equivalente então a 46.250 km, a qual representa cerca de 15% maior do que
o valor atualmente conhecido de 40.030 km.
Estimativas de um grau de meridiano foram feitas no século 8 durante a dinastia Tang na
China e por astrônomos árabes no século 9, na Mesopotâmia. Entretanto, pouco progresso
foi feito na Europa até o início do século 17. A invenção do telescópio neste século
possibilitou pesquisas geodéticas mais precisas. Em 1671, o astrônomo Francês, Jean
Picard (1620-1682), fez um levantamento por triangulação do comprimento de um grau de
arco do meridiano. Deste resultado, calculou-se o raio da Terra como sendo de 6.372 km,
impressionantemente próximo do valor atualmente conhecido de 6.371 km.
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Figura 1
A FORMA DA TERRA
Em 1672, outro astrônomo Francês, Jean Richer, foi enviado por Louis XIV para realizar
algumas observações astronômicas na Ilha Equatorial de Cayene. Ele observou que um
relógio de pêndulo ajustado para bater em Paris a cada segundo, atrasava cerca de dois
minutos e meio por dia. Isto é, seu período era mais longo. O erro era muito grande para ser
atribuído àquele instrumento preciso. Aquela observação gerou muito interesse e
especulação, mas foi somente explicado cerca de 15 anos mais tarde, por Newton, através
das leis de gravitação universal e de movimento. Newton sugeriu que a forma de uma Terra
em rotação deveria ser a de um elipsóide oblato: ela deveria ser achatada nos pólos,
formando um bojo no equador.
Para visualizar isto, imagine buracos até o centro da Terra e que eles sejam preenchidos
com um líquido (água, por exemplo). O movimento de rotação da Terra produz uma força
centrífuga que é máxima no equador (oposta à atração gravitacional) e se anula nos pólos.
Isto faz com que diminua a pressão hidrostática no centro da Terra, a qual não pode mais
sustentar o peso da coluna ao longo eixo polar. A força centrífuga, assim, faz com que a
água seja puxada para fora no equador. Se considerarmos a Terra como uma esfera
hidrostática, a forma de uma terra em rotação seria a de um elipsóide (oblato) de revolução.
Newton assumiu uma densidade constante ao longo da Terra e chegou a conclusão que o
achatamento seria de 1:230 (f=(a-c)/a, a é o eixo maior do elipsóide). Este valor é maior do
que o que se conhece hoje, que é de 1/298 (~0,3%).
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O aumento no período do pêndulo de Richer pode ser agora explicado: Cayenne fica
próximo do equador, onde o raio é maior e a atração gravitacional é menor. Além disso, a
força centrífuga oposta é maior (próximo do equador). Estes dois efeitos juntos resultam em
um valor menor da gravidade em Cayenne do que em Paris.
Duas expedições organizadas pela Académie Royale des Sciences, uma para Lapônia,
próximo do Círculo Ártico e outra para o Peru, próximo ao equador, com o intuito de se
medir o comprimento de um grau de arco de meridiano, confirmaram a predição de Newton
de que a forma da Terra é a mesma de um elipsóide oblato.
Figura 2. Argumento de Newton para a Terra em rotação.
GRAVITAÇÃO
A lei da gravitação universal.
Um corpo de massa m em movimento possui um momento de inércia. Para mudarmos este
movimento é necessário aplicarmos uma força F a este corpo. A segunda lei de movimento
de Newton estabelece que a razão de mudança do momento de uma massa é proporcional a
força que atua sobre ela e acontece na direção da força.
Se aplicarmos uma força F a uma massa m, ela adquire uma aceleração a, dada por:
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F = ma
A unidade de força no sistema SI é o Newton (N). Ela é definida como sendo a força que dá
a uma massa de um quilograma, uma aceleração de 1 m/s 2.
Nós conhecemos a célebre observação de Newton da maçã em queda, a qual ele relacionou
com a atração gravitacional que a Terra exercia sobre a maçã. Entretanto, a genialidade de
Newton foi reconhecer que o campo gravitacional que faz com que a maçã caia é a mesma
que mantém a Lua em órbita em torno da Terra e que mantém os planetas girando em redor
do Sol.
Newton deduziu que a atração gravitacional F entre duas partículas de massas m e M,
separadas pela distância r, é proporcional ao produto destas massas e inversamente
proporcional ao quadrado da distância entre elas:
F = - G mM/r 2 r,
Onde r é o vetor unitário na direção da coordenada r, direcionada para fora do centro de
referência da massa M. O sinal negativo indica que a força F age na direção oposta, em
direção da massa M. A constante G é denominada de Constante da Gravitação Universal.
Na época de Newton não havia como determinar a constante G. O método a ser seguido,
seria determinar a força exercida entre duas massas no laboratório. A determinação
experimental de G, extremamente difícil, foi conseguida somente depois de mais de um
século após a formulação de Newton, por Lord Charles Cavendish, em 1798. Depois de
uma série de medidas apuradas da força de atração entre duas esferas, Cavendish
-11
-11
determinou o valor de G = 6,754 x 10 m3 kg-1 s -2. Um valor atual é 6,6725985 x 10 m3
-1 -2
kg s .
ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE
Na física, o campo de uma força é mais importante do que a magnitude da força. O campo é
definido como sendo a força exercida em uma unidade de material. Por exemplo, o campo
elétrico que um corpo carregado cria em uma certa posição é a força que ele exerce sobre
uma carga elétrica unitária situada naquele local.
O campo gravitacional na vizinhança de uma massa é a força que ela exerce em uma massa
unitária. Como:
F = ma,
Podemos dizer que o campo gravitacional é equivalente ao vetor aceleração (ag).
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Tendo em vista que:
F = -GMm/r2 r,
Decorre que:
ag = -GM / r2 r.
No sistema SI, aceleração é dado em m/s 2. No sistema c.g.s., a aceleração é em cm/s2, o
qual é chamado de gal em reconhecimento às contribuições de Galileo.
Teorema da casca
Uma casca esférica uniforme de matéria atrai uma partícula que está fora
da casca como se toda a massa da esfera estivesse concentrada em seu
centro
A terra pode ser considerada como um conjunto de cascas esféricas, uma dentro da outra e
cada casca atraindo uma partícula fora da superfície terrestre como se a massa de cada
casca estivesse no centro da casca. Portanto, a Terra pode ser considerada como uma
partícula localizada no centro da Terra com massa igual a da Terra.
Suponhamos o caso da maçã e da Terra. A Terra atrai a maçã com uma força de 0,8 N. A
maçã deve atrair a Terra com a mesma intensidade de 0,8 N.
Aceleração produzida na maçã pela atração gravitacional da Terra é de 9,8 m/s2,
Aceleração produzida na Terra pela atração gravitacional da maçã é de 1x10 -25 m/s2.
Exercício 1. Uma partícula deve ser colocada, da cada vez, do lado de fora de quatro
objetos, cada um com massa m: (1) uma grande esfera sólida uniforme, (2) uma grande
casca esférica uniforme, (3) uma pequena esfera sólida uniforme e (4) uma pequena casca
esférica uniforme. Em cada situação, a distância entre a partícula e o centro do objeto é d.
Classifique os objetos de acordo com a intensidade da força gravitacional que eles exercem
sobre a partícula, da maior para a menor.
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Princípio da superposição
Dado um grupo de partículas, a força gravitacional resultante sobre
qualquer uma delas, exercida pelas demais, é a soma dos efeitos
individuais.
F1,res = F 1,2 + F1,3 +F1,4 + .... + F 1,n
Onde, F1,res é a força resultante sobre a partícula 1 e, por exemplo, F1,3 é a força que a
partícula 3 exerce sobre a partícula 1.
Exercício 2. A figura abaixo mostra quatro arranjos de três partículas de massas iguais. (a)
Classifique em ordem decrescente os arranjos de acordo com a intensidade da força
gravitacional resultante sobre a partícula identificada por m. (b) No arranjo 2, a direção da
força resultante está mais próxima da linha de comprimento d ou da linha de comprimento
D?
Exercício 3. Na figura abaixo, qual a direção da força gravitacional resultante sobre a
partícula de massa m devida às outras partículas, cada uma com massa m, que se encontram
dispostas simetricamente em relação ao eixo y?
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Gravitação Próxima à superfície da Terra
A força gravitacional da Terra sobre uma partícula de massa m, localizada fora da Terra, a
uma distância r do centro da Terra, é dada por:
F = G M m / r2 ,
onde M é a massa da Terra.
Se uma partícula for solta, ela cairá em direção ao centro da Terra, em conseqüência da
força gravitacional, com uma aceleração (chamada aceleração gravitacional) ag. Da segunda
lei de Newton:
F = m ag
e
ag = G M / r 2
Exercício 4. Supondo que a aceleração gravitacional da Terra é de aproximadamente 9,8
m/s 2, o raio da Terra (R) é de 6371 km, a constante gravitacional vale 6,673x10-11 m3kg-1s-2
e o volume (V) da Terra é dado por (4/3)πR3, calcule a densidade média (ρ = M/V)
aproximada da Terra. Comparando com os valores de densidade das rochas encontradas na
superfície da Terra (2.800 a 3.000 kg/m-3), o que você poderia deduzir sobre a distribuição
de densidade no interior da Terra?
Em vários exercícios, é comum considerarmos a aceleração que um corpo em queda livre
apresenta (denominado g), como sendo a aceleração gravitacional que agora chamamos de
ag. Normalmente, também consideramos que g possui um valor constante sobre a superfície
da Terra.
Entretanto, o valor de g que mediríamos, difere de ag que calcularíamos pela equação
acima. Por exemplo, medidas recentes de g no pólo (gp) e no equador (ge) forneceram
valores de:
gp = 9,832177 m/s2 e ge = 9,780318 m/s2 , o que nos fornece uma diferença de 5.186 mgal.
Existem três razões para que isto ocorra:
1- A Terra não é uniforme;
2- Ela não é uma esfera perfeita (elipsóide com raio equatorial ~21 km maior que
o raio polar). A distância ao centro de massa da Terra é menor nos pólos do
que no equador, o que produz um aumento da gravidade em direção aos pólos.
Cálculos mostram que este efeito seria responsável por uma diferença de 6.600
mgal, entre a gravidade no pólo e a gravidade no equador
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3- Ela está em rotação. A aceleração centrífuga (Figura 3) se opõe à aceleração da
gravidade que é zero nos pólos e tem seu valor máximo no equador. Portanto,
este efeito produz um aumento de g em direção ao pólo. Cálculos mostram que
este aumento é de 3.375 mgal.
Para um corpo em rotação, a aceleração centrífuga é igual a:
ac = ω2 R,
onde ω é a velocidade angular da Terra e R é a distância ao eixo de rotação. ω = 2π / T (T é
o período de rotação, 24 horas).
A soma vetorial da aceleração gravitacional e da aceleração centrífuga é denominada
aceleração da gravidade, ou simplesmente gravidade.
g = ag + ac
Figura 3. A aceleração da gravidade (g) varia de ponto para ponto na superfície
da Terra. A aceleração da gravidade em um determinado local resulta da soma
vetorial das acelerações gravitacional (ag) e da centrífuga (a c). A Aceleração da
gravidade g não é radial e sua intensidade atinge valores máximos nos pólos e
mínimos na região equatorial.
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Os efeitos dois e três descritos acima se somam, produzindo uma diferença entre os valores
de g no pólo e no equador de:
6.000 mgal + 3.375 mgal = 9.975 mgal
Entretanto, como mostrado acima, medidas de g nos pólos e no equador indicam uma
diferença menor, de 5.186 mgal. Isto decorre do fato que a Terra, tendo um raio equatorial
maior do que o raio polar contém também uma massa maior no equador, o que faz
aumentar a atração gravitacional nesta região. Entretanto, este efeito não supera os efeitos
produzidos pelo achatamento da Terra e pela aceleração centrífuga.
Observação 1. Até recentemente, os instrumentos de campo apresentavam uma precisão de
dezenas de miligal. Instrumentos mais modernos são capazes de medir diferenças de
gravidade de até um milionésimo de gal (1 µgal, o qual tem se tornado uma unidade prática
nas investigações gravimétricas). Para se ter uma idéia, o valor da gravidade na superfície
da Terra é de cerca de 9.8 m/s2, e a sensibilidade dos aparelhos atuais chega a ser de 1 parte
em 109.
Observação 2. Vale a pena salientar que as diferenças de g sobre a superfície da Terra são
muito pequenas e são usadas, como veremos mais adiante, para investigar estruturas de
sub-superfície. Entretanto, para uma primeira aproximação, podemos usar um valor
constante de g (9,8 m/s2) nos exercícios de física.
Gravitação no interior da Terra
Newton também mostrou que:
Uma casca uniforme de matéria não exerce nenhuma força gravitacional
sobre uma partícula localizada dentro dela.
Portanto, temos dois fatores que influenciam a aceleração da gravidade no interior da Terra
(Figura 4): (1) a diminuição da distância ao centro da Terra (r), o que tenderia a aumentar o
valor de g em direção ao centro e (2) as camadas mais externas, de acordo com a afirmação
acima, teriam influência nula, o que acarretaria em uma diminuição no valor de g.
Como a densidade do núcleo é muito mais alta que a do Manto, a gravidade se mantém
aproximadamente constante (em torno de 10 m/s2, vide fig. 4) até a profundidade de 2.900
km (interface Manto-Núcleo), decaindo, então, progressivamente até zero, no centro da
Terra.
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Figura 4. Variação da gravidade e da pressão com a profundidade.
ENERGIA POTENCIAL
Energia potencial é a energia que um objeto tem em virtude de sua
posição em relação à origem de uma força.
Podemos considerar a energia potencial de uma maçã em uma árvore que decorre da força
de gravidade produzida pela Terra. Quando a maçã cai, ela perde energia potencial, a qual é
transformada em energia cinética. Para computar a energia potencial, nós precisamos
realizar um trabalho, o qual corresponde a exercer uma força igual e oposta a força
gravitacional (F). Supondo uma força F constante, e uma altura h, o trabalho realizado será
(-F)h. Esta é a energia potencial quando a maçã está na árvore.
Se a força constante mover um objeto de uma distância dr (na direção da força), o trabalho
realizado será dW=Fdr e a mudança de energia potencial dEp será dado por:
dEp = -dW = -Fdr
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POTENCIAL GRAVITACIONAL
O potencial gravitacional (Ug) é a energia potencial (Ep) de uma unidade
de massa em um campo de atração gravitacional.
Portanto, a energia potencial de uma massa m situada em um campo gravitacional será:
mUg
e a mudança de energia potencial (dEp) é igual a (mdUg).
Sabendo agora que dEp = -Fdr, podemos escrever que:
mdUg = -Fdr e que:
mdUg = -magdr.
Rearranjando esta equação, vetorialmente, teremos:
ag = dUg/dr r
(r é um vetor unitário)
Sabendo que:
a g = -GM / r2 r,
podemos escrever que:
dUg/dr = GM / r2,
cuja solução é:
Ug = -GM / r.
Não é difícil mostrar que o potencial gravitacional fora de uma esfera de massa E, a uma
distância r de seu centro é o mesmo que se considerarmos toda a massa concentrada em seu
centro, o qual é dado por:
Ug = -GE / r
e a aceleração gravitacional será:
ag = -GE / r2 r
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SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAS
Uma superfície equipotencial é aquela em que o potencial é constante.
Figura 5. Superfícies equipotencias para uma massa M esférica formam um conjunto de
esferas concêntricas (U g = -GM / r).
A superfície equipotencial que coincide com a superfície da massa esférica é dita descrever
a figura da massa esférica.
Pela própria definição, nenhuma mudança de potencial (e, portanto, nenhum trabalho)
acontece ao se mover de um ponto a outro de uma superfície equipotencial. dW = Fdr. No
caso da esfera, a força é radial e o deslocamento é horizontal (Figura 5). Como o trabalho é
Fdrcos(θ) e θ vale 90°, cos(90) = 0 e o trabalho para se movimentar sobre a superfície
equipotencial será nula.
A força e a aceleração do campo gravitacional devem agir perpendicularmente a esta
superfície. A normal a uma superfície equipotencial define a direção (da linha de
plumo) vertical. O plano tangencial a um equipotencial define a horizontal naquele
ponto.
A FIGURA DA TERRA
A superfície verdadeira da Terra é irregular, formada em parte por continentes e
oceanos. Para propósitos geofísicos, entretanto, a Terra é representada por uma
superfície plana e fechada, a qual é chamada de figura da Terra.
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A forma da Terra e a gravidade estão intimamente ligadas, de modo que
a figura da Terra é considerada como tendo a forma de uma superfície
equipotencial de gravidade, em particular a que coincide com o nível
médio dos mares.
A melhor aproximação matemática para esta figura é a de um elipsóide oblato, ou
esferóide. A determinação precisa das dimensões da Terra (isto é, seus raios equatorial e
polar) é o principal objetivo da geodésia. Análises atuais da forma da Terra têm como base
observações precisas de órbitas de satélites artificiais da Terra. Estes dados são ajustados
para definir o melhor elipsóide oblato, o qual é denominado Elipsóide Internacional de
Referência. Em 1980, especialistas em Geodésia e Geofísica definiram um elipsóide cujo
raio equatorial mede 6378,136 km e o raio polar mede 6356,751 km. O raio da esfera
equivalente [R=(a2c)1/3], mede 6371,000 km. Comparado com a esfera de melhor ajuste, o
esferóide é achatado de 14,2 km em cada pólo e no equador, ele difere de 7,1 km. O
achatamento polar f é definido como:
f = (a – c) / a, o qual, com os dados acima, mostra que f = 1/298,257.
Figura 6. Elipsóide Internacional de referência (1980) – superfície equipotencial. O
achatamento polar f é definido como: f = (a – c) / a. Com os dados acima, f = 1/298,257.
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GEÓIDE
O Elipsóide Internacional de Referência é uma boa aproximação da superfície
equipotencial de gravidade, mas é, na realidade, uma conveniência matemática.
A superfície equipotencial física da gravidade é chamada de Geóide e
reflete a verdadeira distribuição de massa dentro da Terra. Ele difere
pouca coisa do Elipsóide teórico.
Longe dos continentes, o geóide coincide com a superfície livre dos oceanos, excluindo as
perturbações temporárias das marés e ventos. Sobre os continentes, o geóide é afetado pela
massa da Terra localizada sobre o nível médio dos mares. Uma montanha faz com que haja
uma elevação local do geóide acima do elipsóide. O deslocamento entre o Geóide e o
elipsóide é chamado de ondulação do Geóide.
A combinação entre dados de satélites e medidas de gravidade na superfície da Terra foi
usada para definir um modelo de superfície do geóide (Goddard Earth Model (GEM) 10).
Uma comparação global entre o elipsóide de referência e o modelo GEM 10 mostra
ondulações do geóide com comprimentos de ondas longos. Estas feições de larga escala não
podem ser associadas a anomalias de crosta rasa ou mesmo da litosfera. Elas devem ser
decorrentes de heterogeneidades que se estendem a profundidades do manto inferior, mas
sua origem não é ainda bem entendida.
MEDIDAS ABSOLUTAS DE GRAVIDADE
Método da queda livre
Os métodos atuais de medidas de gravidade são baseados em observações de objetos em
queda livre.
Para um objeto em queda livre, começando em uma posição Zo, com velocidade inicial u, a
equação de movimento para a posição z em um instante t é dada por:
Z = Zo + ut + ½ gt2
Um sistema sofisticado, onde a passagem do objeto é detectada por um feixe de luz
monocromática, é usado para determinar o tempo de queda livre do corpo.
Embora este aparato seja compacto, ele não é suficientemente adequado para as pesquisas
gravimétricas. Neste sentido, foram desenvolvidos aparelhos que fazem medidas relativas
de gravidade, chamados gravímetros.
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MEDIDAS RELATIVAS DE GRAVIDADE: O GRAVÍMETRO
Os primeiros gravímetros são baseados na lei de Hook. Uma massa m suspensa por uma
mola de comprimento So causa uma extensão da mola levando-a para um novo
comprimento S. A lei de Hook diz que a mudança de comprimento da mola é proporcional
à força restauradora da mola e, assim, ao valor da gravidade g:
F = mg = -k(S-So),
Onde k é a constante elástica da mola. O gravímetro é calibrado em um local conhecido. Se
a gravidade é diferente em outro local, a extensão da mola muda e a variação de gravidade
pode ser computada. Este tipo de gravímetro é dito do tipo estável. Ele foi substituído por
gravímetros mais sensíveis (do tipo instável ou astático).
Estes aparelhos usam uma mola de comprimento zero (tão pequena quanto possível). Ela é
construída com uma fibra helicoidal. Quando a mola é esticada, a fibra da mola é torcida; o
giro total ao longo do comprimento é igual à extensão da mola como um todo.
A operação do gravímetro é mostrada na figura 7:
Figura 7. GRAVÍMETRO – MEDIDAS RELATIVAS DE g.
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Uma massa (m) é sustentada por uma barra na qual é preso um espelho A posição da barra
é detectada por um feixe de luz refletida no espelho (detectado por um microscópio). Se a
gravidade muda, a mola é esticada ou encolhida e a posição da barra é alterada, a qual é
detectada pelo feixe de luz. Um parafuso situado na parte superior do gravímetro (Fig. 7),
quando girado, altera a tensão da mola e restaura a posição horizontal da barra. O
movimento do parafuso está calibrado para fornecer a mudança da gravidade, geralmente,
na unidade mgal.
O gravímetro é leve, robusto e portátil. Depois de nivelado, ele pode fazer medidas precisas
de diferenças de gravidade em poucos minutos, com precisão de 0.01 mgal.
Correções a serem efetuadas:
Deriva do instrumento.
Se o gravímetro é colocado em algum lugar e monitorado por algum tempo, veremos que as
medidas variam suavemente com o tempo (as quais podem ser de até centenas de mgals). A
deriva do instrumento pode decorrer de mudanças nas propriedades elásticas da mola do
gravímetro induzidas por variações de temperatura. Este efeito pode ser minimizado
colocando-a em uma câmara evacuada. Em adição, as propriedades elásticas da mola não
são perfeitas. Este efeito pode ser corrigido, embora seja pequeno nos gravímetros atuais. A
correção pode ser obtida repetindo-se a medida realizada em algumas estações durante o
dia e assim construir uma curva de deriva, a qual pode ser utilizada para corrigir as medidas
em outras estações de medidas (Figura 8). Para fazer esta correção, a hora de cada medida
deve ser anotada.
Efeito de marés terrestres.
O gravímetro está sujeito ao efeito da atração das marés. A teoria das marés é bem
conhecida e seu efeito na gravidade pode ser computado precisamente em qualquer local e
horário. Novamente, necessitamos que o horário seja anotado.
Levantamentos gravimétricos
O objetivo dos levantamentos gravimétricos é o de localizar e descrever estruturas de
subsuperfície decorrentes dos efeitos de gravidade causadas por densidades anômalas.
Normalmente, uma rede de estações é utilizada para as medidas, espaçadas de acordo com
os objetivos do levantamento. Em estudos ambientais, uma investigação detalhada requer
distâncias de poucos metros entre as estações de medidas. Em levantamentos regionais, tais
como os utilizados para prospecção de interesse comercial, as distâncias entre as estações
pode ser de vários quilômetros. Se a área não for muito grande, uma estação pode ser
utilizada de base (base de referência) e as diferenças de gravidade entre todas as outras
bases e a base de referência são medidas. O levantamento em escala nacional, as diferenças
de gravidade podem ser determinadas relativas a uma base onde o valor absoluto da
gravidade é conhecido.
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Figura 8. Compensação das leituras de gravidade em decorrência da deriva do instrumento.
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CORREÇÃO DAS MEDIDAS DE GRAVIDADE
Como já vimos anteriormente, devido ao movimento de rotação da Terra e seu achatamento
o valor de g diminui em direção ao equador. Além disso, a atração exercida pela Lua e pelo
Sol, bem como as diferenças de altitude entre os pontos de medidas causam alteração no
valor da gravidade. Como todas estas variações se superpõem, torna-se necessário
quantificá-las e eliminá-las ao máximo para, então, estudar aquelas variações causadas por
diferenças na composição e estrutura da crosta ou do manto da Terra.
A maior variação no valor de g é latitudinal, causada pela rotação e achatamento terrestres.
A referência teórica usada para determinar as anomalias de gravidade é o elipsóide de
referência internacional, o qual representa uma superfície equipotencial passando pelo nível
médio dos mares. Em 1980, especialistas em geofísica e geodésia estabeleceram que o
valor de g ao nível do mar pode ser descrito pela Fórmula Internacional da Gravidade,
dada por:
G(φ) = 978,0318(1 = 0,0053024sen2φ - 0,00000587sen22φ) Gal. (φ - latitude)
Correções de terrenos, de ar-livre e de Bouguer.
Na prática, não é possível medirmos o valor de g sobre a superfície do elipsóide, onde o
valor de referência é conhecido. A estação de medida de g pode estar a centenas de metros
acima ou abaixo do elipsóide. Ainda, a estação pode estar cercada por montanhas e vales
que perturbam a medida (Figura 9).
Correção topográfica
Considerem os pontos P e Q na Figura 9. As medidas realizadas nestes pontos devem ser
corrigidas antes de compararmos com o valor teórico.
A massa acima de P atrai o gravímetro a causa uma aceleração com uma componente
vertical para fora da Terra. A medida de gravidade é então reduzida pela presença da
montanha. Seu efeito deve ser somado a g. A presença do vale também requer uma
correção, a qual deve ser também somada a g, já que o vale representa uma deficiência de
massa. Portanto a correção topográfica em torno da estação gravimétrica requer correções
positivas de terreno, tanto para elevações como para depressões.
Na prática, as correções de terreno são realizadas com a utilização de uma carta de terreno,
a qual consiste de círculos concêntricos e linhas radiais que dividem a área em torno da
estação, em setores que apresentam simetria radial (Figura 10). Através de um mapa
topográfico avalia-se a altitude média para cada setor, fazendo coincidir o centro da carta
com a localização da estação. A correção (mgal/m) para cada setor (fator de correção – os
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valores de gravidade por metro de cada setor são tabelados) é multiplicada pela altitude e a
soma de todos os setores representa a correção topográfica a ser realizada.
Figura 9. modelo mostrando as correções de terreno (a), de Bouguer (b) e de ar-livre (c). P
e Q representam estações de medidas gravimétricas. O ponto R representa a projeção de
cada ponto sobre o elipsóide de referência. Após a realização de todas as correções, o valor
20
de g medido pode ser então comparado com o valor teórico.
Figura 10. Correção de terreno.
21
Correção de Bouguer
Após a correção topográfica, nós podemos dizer que existe uma camada de rochas com
densidade ρ, entre a estação gravimétrica e o elipsóide de referência. A aceleração
gravitacional decorrente desta camada de rochas está incluída na medida de g e, portanto,
deve ser subtraída antes da comparação com o valor teórico. Esta correção é chamada de
correção de Buguer. Considerando uma placa infinita, de altura h, a correção de Bouguer
(∆gBP) será:
∆gBP = 2πGρh
(G – Constante gravitacional)
ou
∆gBP = 0,0419 x 10-3ρ (mgal/m)
Se a estação gravimétrica está situada abaixo do nível do mar, nós devemos preencher o
espaço vazio com rocha de densidade ρ; isto requer um aumento na medida de g,
correspondentemente. Portanto, a correção de Bouguer é negativa (positiva) se a estação
está acima (abaixo) do nível do mar. Quando a estação está sobre o oceano, deve-se
considerar a atração exercida pela água, a qual deve ser substituída por uma camada de
rocha. Na realidade devemos substituir ρ por (ρ - da), onde da é a densidade da água (da =
1030 kg/m3 para a água salgada e da = 1000 kg/ m3 para a água doce)
Correção ar-livre
Finalmente, nós devemos compensar a medida de gravidade em relação à elevação da
estação acima do elipsóide. Como g varia com o inverso do quadrado da distância, a
medida de g nos pontos P e Q são menores do que seriam se as mediadas fossem realizadas
no elipsóide. A correção que considera a elevação da estação, correção ar-livre, deve então
ser somada à g. Esta correção ignora o efeito do material que está entre a estação e o nível
de referência, já que isto já é considerado na correção de Bouguer. A correção ar-livre é
positiva (negativa) se a estação está acima (abaixo) do nível do mar.
A correção ar-livre (∆gBP) pode facilmente ser calculada:
δg/δr = δ (-GE/r2) /δr = 2GE/r3 = -2g/r,
Supondo r como sendo o raio da Terra (6371 km) e g = 981.000 mgals, teremos:
∆gBP = 0.3086 mgal/m.
Outras correções devem ser efetuadas, tais como a correção de maré e de latitude. As
variações de gravidade decorrentes da ação da Lua a do Sol (efeitos de maré) são descritas
por meio de tabelas publicadas periodicamente. Se um determinado levantamento está
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sendo realizado em relação a uma estação base, medidas realizadas para norte ou para sul
desta estação devem ser corrigidas da variação de g em latitude (φ). Esta correção é de:
0.8141 sen 2φ mgal/ quilômetro de deslocamento para norte ou para sul.
Como g aumenta em direção aos pólos, a correção para estações mais próximas do pólo do
que a estação base deve ser subtraída da gravidade medida.
Anomalias gravimétricas
Uma vez que todas as correções foram feitas, o valor obtido é comparado com o valor
teórico. Se a Terra fosse homogênea, estes valores seriam iguais. Entretanto, isto não
acontece. A discrepância entre o valor de g corrigido e o teórico é chamado de anomalia
da gravidade.
Anomalia de Bouguer
A anomalia Bouguer é definida pela aplicação de todas as correções descritas acima:
∆gBP = g m + (∆gFA - ∆gBP + ∆gT + ∆gmaré) – gn
gm é a gravidade medida e g n é a gravidade teórica
Anomalia de Ar-Livre
A anomalia de ar-livre é definida pela aplicação da correção ar-livre, de terreno e de maré:
∆gF = gm + (∆gFA + ∆gT + ∆gmaré)- gn
Anomalias de Bouguer negativas indicam deficiência de massa (densidade mais baixa que a
média) e anomalias positivas indicam excesso de massa (densidade mais alta que a média).
Exemplos de anomalias gravimétricas são mostrados nas figuras 11 12 e 13.
ISOSTASIA
Entre 1735 e 1745 foi realizada uma expedição francesa para o Peru, liderada por P.
Bouguer, com o objetivo de determinar a forma da Terra. Nesta viagem, Bouguer notou que
as montanhas da cordilheira Andina exerciam uma força de atração gravitacional menor do
que a esperada para o respectivo volume. Cerca de um século mais tarde, Everest fez a
mesma observação nos Himalaias, durante uma expedição à Índia. Na época, foi sugerida a
hipótese de que as montanhas teriam menor massa do que as áreas adjacentes; não havia,
entretanto, uma explicação geológica razoável para esse tipo de fenômeno comum.
A explicação viria mais de século depois, quando G. Airy (1855) e J.H. Pratt (1859)
propuseram, independentemente, hipóteses para explicar essas observações. Ambos os
modelos consideram a crosta mais leve como que flutuando em um substrato mais denso
(Manto), como um Iceberg flutua no oceano:
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Modelo de Airy (Figura 14) – Este modelo assume que as densidades da crosta e do Manto
são constantes. A crosta normal é definida como tendo uma espessura de aproximadamente
30-35 km, a partir do nível do mar. Airy considerou que uma elevação teria uma raiz de
mesma densidade como compensação e que estaria em equilíbrio hidrostático com o
Manto. (Figura 14). Pode-se calcular as profundidades através de uma matemática simples.
Este cenário concorda razoavelmente com as evidências sísmicas.
Figura 11. (a) mostra como seriam as anomalias de Bouguer e de ar-livre se
considerássemos uma montanha sem raiz (as anomalias de Bouguer, neste caso, seriam
zero e as de ar-livre seriam positivas e constantes. (b) anamalias de Bouguer e de ar-livre
considerando o caso verdadeiro, em que a montanha tem uma raiz (neste caso, as
anomalias de Bouguer seriam fortemente negativas indicando a presença de deficiência de
massa. Já as anomalias de ar-livre seriam menores, mas ainda positivas).
Modelo de Pratt (Figura 15) – Este modelo assume uma camada externa da Terra que
repousa sobre um substrato magmático. Ele divide a camada em colunas de acordo com a
elevação e as considera como apresentando densidades distintas. Assim, quanto mais
elevada for a coluna acima de uma base, menor a densidade associada. Podemos determinar
as altitudes assumindo equilíbrio hidrostático.
Os dois modelos representam compensação isostática local, sendo que cada coluna exerce
uma pressão igual no nível de compensação. Os modelos assumem que a camada superior
não oferece resistência a tensões de cisalhamento que decorrem dos ajustes verticais.
Modelo de placa elástica de Vening Meinesz (Figura 16) – Este modelo visualiza, como
nos modelos anteriores, uma camada superior mais leve que flutua sobre um substrato
fluido mais denso. Entretanto, a camada superior age como uma placa elástica sobre um
fluido mole. Isto faz com que a compensação se estenda lateralmente para distâncias
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maiores. A carga topográfica inclina a placa para baixo afundando no substrato, o qual é
deslocado para o lado. A força ascensional do fluido deslocado força a placa para cima,
dando suporte a inclinação da placa em lugares bem distantes da depressão central.
Figura 12. Anomalias negativas (obtidas para o perfil AB) em decorrência de corpos
rochosos de baixa densidade. Domos salinos (evaporação de água de antigos mares rasos)
são ambientes propícios para deposição de matéria orgânica – petróleo).
Figura 13. Anomalias positivas (perfil AA’) em decorrência de corpos de alta densidade.
Na Bacia do Paraná houve a extrusão de uma grande quantidade de magmas basálticos
(basaltos da formação Serra Geral). Corpos metálicos também produzem anomalias
positivas.
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Figura 14. Modelo de Airy para explicar a compensação isostática. Neste modelo, as
montanhas (compostas por rochas de mesma densidade) são associadas a uma raiz que
flutua sobre um substrato do manto mais denso. Como um iceberg flutua sobre a água do
mar.
Figura 15. Modelo de Pratt para explicar a compensação isostática. Neste modelo, as
montanhas são elevadas por serem compostas por rochas de menor densidade do que as
existentes nas regiões vizinhas, havendo neste caso variação lateral na densidade.
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Figura 16. Modelo de compensação isostática de Vening Meinesz. Neste modelo, a camada
superior mais leve (litosfera) flutua sobre um substrato fluido mais denso. Entretanto, a
camada superior age como uma placa elástica sobre um fluido mole. Isto faz com que a
compensação se estenda lateralmente para distâncias maiores.
COMPENSAÇÃO ISOSTÁTICA E MOVIMENTOS VERTICAIS DA
CROSTA
Situação de compensação isostática (compensação completa) – Quando ocorre
compensação isostática (a raiz da montanha é proporcional a elevação), a topografia está
completamente compensada.
Situação de sobre-compensação – quando ocorre um distúrbio da compensação isostática;
por exemplo, a erosão ocasionada em uma montanha. São criadas forças ascendentes que
tendem a encontrar novamente o equilíbrio hidrostático. Derretimento de geleiras
ocasionam o mesmo efeito. Ocorrência de soerguimento.
Situação de sob-compensação – quando também ocorre um distúrbio da compensação
isostática; por exemplo, quando forças de empurrão fazem com que uma rocha cavalgue
sobre outra. Geleiras também ocasionam sobre-carga. Ocorrência de subsidência.
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Figura 17. Modelo mostrando como uma carga pode produzir movimentos verticais da
litosfera. Cargas podem ocasionar subsidências; como exemplos de cargas podemos citar
sedimentação, calotas de gelo relacionadas a eras glaciais, províncias ígneas basálticas,
formação de cadeias de montanhas. Pode também ocorrer soerguimento em decorrência,
por exemplo, do derretimento de gelo com o fim de uma era glacial (exemplo da
Escandinávia que vem sofrendo soerguimento de até 1 cm/ano) ou a erosão de uma cadeia
de montanhas.
Referências Bibliográficas
Decifrando a Terra, 2000, W. Teixeira, M. C. M. Tolledo, T. R. Fairchild, F. Taioli.
Fundamentos de Física, 2001, Sexta edição, Halliday, Resnick, Walker.
Fundamentals of Geophysics, 1997, William Lowrie
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