1 MÓDULO7 DE FÍSICA ELECTRICIDADE E MAGNETISMO 1 Preparado por: Dr. Sam Kinyera Obwoya Traduzido por: Amós Veremachi Universidade Virtual Africana Universidade Virtual Africana
NOTICIA
Este documento é publicado sob condições da criative commons
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Atribuições
http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/
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i
TABELA DE CONTEÚDOS
i
I. Electricidade e magnestismo_____________________________________3
II. Pré-requisitos da disciplina____________________________________ 3
III. Fundo de tempo______________________________________________3
IV.Materiais____________________________________________________3
V. Racionalidade do módulo______________________________________ 4
VI. Visão geral__________________________________________________ 4
6.1.Pontos principais___________________________________________5
6.2. Organizador gráfico________________________________________6
VII. Objectivos gerais____________________________________________ 7
VIII. Objectivos específicos da aprendizagem_________________________7
IX. Teste diagnóstico 1__________________________________________10
9.1.Pontos principais___________________________________________ 10
9.2. Chave de respostas__________________________________________11
9.3. Comentário pedagógico para os estudantes______________________14
X. Conceitos chaves (glossário) _____________________________________15
XI. Leituras obrigatórias__________________________________________18
XII. Páginas de Internet úteis______________________________________21
XIII. Actividades para ensino e aprendizagem________________________21
XIV. Síntese de Módulo___________________________________________74
XV. Avaliação sumativa___________________________________________81
XVI. Referências Bibliográficas_____________________________________86
XVII. O autor principal do Módulo__________________________________87
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I.Electricidade e Magnetismo
Por Dr. Sam Kinyera Obwoya (Kyambogo University Uganda)
II. Pré-requisitos do Módulo
I. Pré-requisitos do Módulo
Como pré-requisito para o estudo do Módulo, você precisa de ter conhecimento
geral da Física do 2º Ciclo do Ensino Secundário, conceitos básicos do cálculo
diferencial e integral e métodos de cálculo vectorial.
Pode ser boa ideia refrescar o seu conhecimento, se sentir que o mesmo sobre
cálculos e métodos de cálculo vectorial não é adequado, então você pode consultar
qualquer livro de Matemática sobre cálculos e análise vectorial. Contudo, não
precisa de ficar desesperado pois a maior parte dos conteúdos será tratada de forma
muito simples de tal modo que você não tenha problemas em acompanhar.
II. Fundo de tempo
O tempo recomendado para você completar este Módulo é de 120 horas.
III. Materiais

Ligação à Internet
 Leituras obrigatórias e recursos obrigatórios (como está listado nas secções 11
& 12)

Software relacionado para este Módulo
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V. O Racional do Módulo
Esta unidade foi concebida para fornecer ao estudante uma experiência que o orientará
para a compreensão das semelhanças e diferenças entre os campos eléctrico, magnético e
gravitacional. Os projectos de pesquisa aqui utilizados irão apoiar a instrução de circuitos
eléctricos, dinâmica gravitacional e fenómenos electromagnéticos de todos os tipos.
A Electricidade e o Magnetismo formam a parte principal da Física de que o estudante
precisa para compreender as outras componentes da Física, tais como Física Atómica,
Física do Estado Sólido, onde estas ideias podem ajudar na compreensão de tal fenómeno
eléctrico fundamental como condutividade eléctrica nos metais e nos semicondutores.
Espera-se que este Módulo forneça uma percepção clara sobre o que realmente a Física
trata que é tão necessária no mundo actual, especialmente no ensino de Física escolar.
VI.Visão Geral
Este curso de electricidade e Magnetismo é destinado aos estudantes matriculados para a
obtenção do grau de Licenciatura em Ensino. O módulo consiste de cinco unidades:
Conceito de carga eléctrica, potencial eléctrico, capacitância, corrente contínua e
magnetismo. O estudo da carga eléctrica envolve o estabelecimento da diferença entre
condutores e isoladores e usá-los para demonstrar a existência de cargas. Além disso, será
enunciada a lei de Colombo, deduzida a sua expressão e usada nos cálculos. Ser\ao, ainda,
definidos o campo eléctrico, momentos de dipolo, energia potencial e torque sobre o
dipolo eléctrico e fluxo do campo eléctrico. As suas expressões serão deduzidas e também
usadas na resolução de problemas.
Sob os potenciais eléctricos, serão tratados os sub-tópicos e expressões relevantes
deduzidas e usadas para os cálculos. Na terceira secção do Módulo, serão estudados a
capacitância, propriedades dos capacitores, incluindo capacitores com dieléctrico. Para a
secção de corrente contínua e circuitos, a dedução da forma microscópica da lei de Ohm
estará dentre as expressões a serem deduzidas. Além disso, lidar-se-á com análises de
malhas de circuitos equivalentes. Finalmente, Magnetismo formará a última parte do
Módulo onde fará parte a lei de Ampere para os circuitos.
Três fases
6.1. Pontos Principais
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Unidade 1: Carga eléctrica
( 20 Horas)
Condutores & Isoladores
Lei de Coulomb
Campo eléctrico (E):

Campo eléctrico criado por uma carga pontual

Campo eléctrico dum dipólo eléctrico, linha de carga, disco carregado

Dipolo num campo eléctrico;

Energia potencial e torque dum dipolo eléctrico

Condutor electrizado e isolado
Unidade 2: Fluxo dum campo eléctrico

Lei de Gauss:

Lei de Gauss e lei de Coulomb

Condutor electrizado e isolado

Simetria cilíndrica

Simetria planar

Simetria esférica
Unidade 3; Potencial eléctrico (V)

Superfícies equipotenciais, V = V(E)

Potencial eléctrico devido:

À carga pontual

Dipolo eléctrico
(10 Horas)
(15 Horas)
 Distribuição contínua.
 
E  E (V ) devido a um condutor isolado
Acelerador de Van de Graaff
Unidade 4. Capacitância (C)
(15 Horas)
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
Determinação da capacitância de:

Capacitor de pratos paralelos

Capacitor cilíndrico

Capacitor esférico

Capacitores em paralelo e em série

Armazenando energia num campo eléctrico

Capacitores com dieléctrico
Unidade 5: Corrente contínua
(30 Horas)
 Resistência: Lei de Ohm. Circuitos em série e em paralelo. Densidade de
corrente.

Conceitos básicos. Diagrama esquemático da lei de Kirchooff.

Resistividade. Equações com múltiplas incógnitas
 Análises de malha de transferência de máxima potência nos circuitos
equivalentes

Eficiência de transferência de potência
Unidade. 6: Magnetismo
(30 Horas)

Campo magnético, fluxo magnético, fluxo e densidade.

A força magnética sobre um fio percorrido pela corrente eléctrica

Carga em movimento num campo magnético

O osciloscópio. Lei de Faraday e indução electromagnética

Torque sobre uma espira com corrente eléctrica

O dipolo magnético
 Lei de Ampere, Corrente da espira dum solenóide e dum toróide como um
dipolo magnético

Gerador de corrente alternada.
6.2. Organizador gráfico:
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VII. General Objectives:
Permitir que os estudantes:
 Compreendam a origem de ambas correntes, contínua e alternada; a função e o
papel dos diversos dispositivos e componentes tais como resistores, capacitores,
transformadores, etc. nos circuito eléctricos
 Compreendam, analisem e concebam diagramas de vários circuitos
VIII. Objectivos específicos de aprendizagem
(objectivos instrucionais)
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Conteúdos
Unidade 1: Carga
eléctrica (20 Horas)
 Condutores e
isoladores
 Lei de Coulomb
 Campo eléctrico
 Momento de dipólo
 Fluxo e campo
eléctrico
 Lei de Gauss e lei
de Coulomb
 Simetria cilíndrica
 Simetria planar
 Simetria esférica
 Condutor
electrizado e isolado
Unidade 2: Fluxo e
campo eléctrico (10
Horas)
 Condutores e
isoladores
 Lei de Coulomb
 Campo eléctrico
 Momento de dipolo
 Fluxo e campo
eléctrico

Objectivos de
aprendizagem
Depois de completar
esta secção você será
capaz de:
 Distinguir
condutores dos
isoladores
 Explicar processos
de electrização
 Enunciar a lei de
Coulomb e com base
nela resolver problemas
 Definir campo
eléctrico e calcular
momento de dipolo,
energia potencial e
torque dum dipolo
eléctrico
 Realizar
experiências simples de
interacção entre objectos
electrizados
 Enunciar, deduzir e
usar a lei de Coulomb
para resolver problemas
sobre campo eléctrico e
potencial eléctrico
 Enunciar e deduzir a
lei de Gauss
 Escrever a forma
diferencial da lei de
fluxo de Gauss
 Usar a lei de Gauss
à diferentes tipos de
distribuição de cargas no
espaço com alta simetria
(esférica, cilíndrica e
distribuição planar
uniforme)
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Unidade 3: Potencial
eléctrico (15 Horas)
 Superfícies
equipotenciais
V  V (E )
 V devido à:
 Carga pontual
 Dipolo eléctrico
 Distribuição
contínua de cargas
 E  E V  devido a
um condutor isolado
 Acelerador de Van
de Graaff
 Definir potencial
eléctrico e desenhar
superfícies
equipotenciais;
 Deduzir a expressão
para o potencial e
calcular o potencial
duma carga pontual e
duma distribuição de
cargas pontuais
 Escrever a relação
entre potencial e campo
eléctrico
 Explicar os
princípios do gerador de
Van de Graaff e suas
aplicações.
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Unidade 4:
Capacitância ( C ) (15
Horas)
 Calcular a
capacitância de:
 Capacitor de pratos
paralelos
 Capacitor cilíndrico
 Capacitor esférico
 Capacitores em
série e em paralelo
 Armazenando
energia num campo
eléctrico
 Capacitores com
dieléctrico
 Deduzir a expressão
para o cálculo de
capacitância
 Explicar como um
capacitor armazena
energia num campo
eléctrico;
 Explicar o efeito do
dieléctrico na
capacitância
 Deduzir a expressão
da capacitância para
uma combinação de
capacitores, e usar as
expressões para
cálculos;
 Deduzir diferentes
formas da expressão
para a energia
electrostática
armazenada nos
capacitores
 Aplicar ideias sobre
dieléctricos à problemas
de capacitores de pratos
paralelos simples,
preenchido com material
dieléctrico entre os
pratos; e relacionar
susceptibilidade à
constante dieléctrica
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Unidade 5: Corrente
contínua (20 Horas)
 Resistência: Lei de
Ohm. Circuitos em série
e paralelo. Densidade de
corrente.
 Conceitos básicos.
O diagrama esquemático
da lei de Kirchoff
 Resistividade.
Equações com múltiplas
incógnitas
 Análise de malha
sobre transferência de
máxima potência em
circuitos equivalentes
 Eficiência de
transferência de potência
 Deduzir a equação
para a densidade de
corrente
 Explicar as bases
físicas da lei de Ohm e
usá-la na resolução de
vários problemas de
resistores ligados em
série e em paralelo;
 Enunciar e usar a lei
de Kirchoff nas análises
de circuitos
 Realizar análises de
malha de circuitos
equivalentes
 Dar a definição de
resistividade
 Escrever a
expressão geral para
resistência, a qual inclui
explicitamente o efeito
do comprimento e da
secção transversal
 Definir, deduzir e
usar expressões para
transferência de máxima
potência e eficiência de
transferência de máxima
potência
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Unidade 6:
Magnetismo (20
Horas)
 Campo magnético,
fluxo magnético, fluxo e
densidade
 Força magnética
sobre um fio percorrido
pela corrente
 Carga em
movimento num campo
magnético
 O osciloscópio. Lei
de Faraday e indução
electromagnética
 Torque sobre uma
espira com corrente
 O dipolo magnético
 Lei de Ampere.
Espiras de solenoides &
toróides com corrente
como dipolo magnético
 Gerador de corrente
contínua
 Definir os termos:
campo magnético, fluxo
magnético e densidade
de fluxo
 Explicar e desenhar
linhas de campo
magnético associados
aos condutores
percorridos pela
corrente, e explicar os
princípios dos
instrumentos baseados
nele
 Explicar os
princípios do
osciloscópio
 Enunciar, explicar e
usar a lei de Faraday de
indução
electromagnética
 Deduzir a expressão
para a força sobre um
fio, percorrido por uma
corrente, situado num
campo magnético
 Relacionar a força
(F) à velocidade (v),
carga (q) e ao campo
magnético (B)
 Demonstrar campo
magnético e interacção
usando magnetes, e fios
condutores percorridos
pela corrente, mostrar a
influência do campo
magnético sobre uma
carga em movimento
usando o osciloscópio, e
demonstrar a indução
electromagnética/ lei de
Faraday usando material
simples
 Deduzir a expressão
para o torque sobre uma
espira circular com
corrente e aplicar a
expressão para resolver
problemas com ela
relacionados
 Definir dipolo
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IX. Teste diagnóstico
9.1. O racional
Oferecer, ao aprendiz, uma oportunidade para reflectir sobre o que foi feito
enquanto na escola e, portanto, irá oferecer um ponto inicial sobre a aprendizagem
esperada neste módulo para os estudantes. Oferece, também, algum material
fundamental para leituras sobre alguns conceitos básicos necessários para
aprendizagem deste módulo.
Um corpo está electrizado positivamente quando tem
A. Excesso de electrões
B. Excesso de protões
C. Excesso de neutrões
D. Igual número de protões e electrões
É difícil electrizar um isolador, por fricção, quando o ambiente está húmido
porque
A. Humidade é um mau condutor
B. O isolador, somente, pode ser electrizado por indução
C. Cargas escapam para longe durante as condições de humidade
D. Electrões são firmemente mantidos ao átomo
O que acontece quando dois magnetes com pólos semelhantes são trazidos
perto um do outro?
A. Eles irão se atrair
B. Eles irão se manter em posições fixas
C. Eles irão se repelir
D. Eles irão perder as suas polaridades
A unidade de potencial é
A. joules
B. volts
C. ohms
D. ohm-metre
Um ponto neutro num campo magnético é onde
A. O fluxo magnético resultante é máximo
B. As linhas de força magnética cruzam-se
C. O fluxo magnético total é nulo
D. Um pedaço de ferro experimenta uma força
A capacitância dum capacitor pode ser aumentada por
A. Diminuição da quantidade de carga armazenada
B. Incremento da área de superfície do prato
C. Aumento da voltagem ao longo do prato
D. Preenchendo o espaço entre os pratos por um vácuo
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A diferença de potencial (d.d.p) ao dum prato do capacitor de pratos paralelos
é 12,0 V. Se a capacitância do capacitor é 470 μF, calcule a energia
armazenada
A. 3.84 x 10-2 J
B. 2.82 x 10-3 J
C. 1.0368 x 10-2 J
D. 3.819 x 10-5 J
O valor da f.e.m (força electromotriz) induzida num fio pode ser aumentada
por
A. Diminuindo o número de espiras
B. Aumentando a taxa de variação do fluxo magnético
C. Enrolando a espira ao longo dum pedaço de cobre
D. Movendo ambos espira e magnete na mesma direcção e com a mesma
velocidade
Um condutor de 60 cm de comprimento é colocado num campo magnético de
0,2 T. calcule a força que o condutor experimenta se a intensidade de corrente
que o atravessa é de 3,0 A.
A. 36 N
B. 0.36 J
C. 1.0 N
D. 9.0 J
Calcule o campo eléctrico, a uma distância de 3,0 cm, sobre uma carga de
prova positiva devido a uma carga de 2,0 x 10-6 C.
1
N .m 2
 9.0 109
Considere
4 o
C2
A. 2.0 x 107 N.C-1
B. 6.0 x 107 N.C-1
C. 5.4 x 10 N.C-1
D. 4.05 x 1011 N.C-1
Duas cargas pontuais de 4.0 x 10-6 C e -3.0 x 10-6 C, estão a 2.0 cm uma da
outra. Calcule a força entre elas.
A. -2.7 x 102 N
B. -5,4 x 102 N
C. 2.7 x 10-3 N
D. 5.4 x 10-1
Um protão move-se, com uma velocidade de 4.0 x 106 m/s, ao longo do eixo x.
Ele entra numa região onde existe um campo magnético de 5.0 T, estendendose no plano xy e numa direcção que forma um ângulo de 60º com o eixo x.
Calcule a força magnética inicial e a aceleração do protão.
A. 2.77 x 10-12 N
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B. 3.2 x 10-12 N
C. 1.6 x 10-12 N
D. 6.4 x 10-13 N
Um aquecedor eléctrico é construído aplicando-se uma diferença de potencial
de 110 V a um fio de NIcrómio de resistência total igual a 5.0 Ω. Encontre a
corrente transportada pelo fio.
A. 0.6 A
B. 13.8 A
C. 3.4 A
D. 1.52 A
Uma bateria de f.e.m igual a 18.0 V é ligada ao longo de três resistores de 3 Ω., 6
Ω. E 9 Ω. Calcule a potência dissipada no resistor de 6 Ω.
A. 36 W
B. 108 W
C. 54 W
D. 72 W
Um capacitor não carregado de capacitância igual a 5 μF, e um resistor de de
resistência igual a 8 x 105 Ω, são ligados em série à uma bateria cuja f.e.m
igual a 12 V. Encontre a constante de tempo do circuito.
A. 12 s
B. 6 s
C. 4 s
D. 2 s
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
A. A força magnética é proporcional à carga da partícula em movimento
B. Quando uma partícula electrizada se move na direcção paralela a do vector
campo magnético, a força magnética na carga é máxima
C. A força magnética sobre uma carga positiva está na mesma direcção que a
força sobre uma carga negativa movendo-se na mesma direcção.
D. As linhas de força magnética nascem no pólo Sul e terminam no pólo Norte.
Qual das seguintes não está correcto?
A. A força entre cargas varia como o inverso da sua distância.
B. Carga é conservada
C. Carga é quantizada
D. Condutores são materiais onde as cargas eléctricas movem-se quase
livremente.
Identifique a afirmação que não está correcta.
A. As linhas de força eléctrica começam nas cargas positivas e terminam nas
cargas negativas
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B. O número de linhas traçadas a partir da carga positiva e que se
aproximam da carga negativa é proporcional ao valor da carga
C. Duas linhas de força do campo não podem se cruzar. A força entre dois
corpos electrizados é inversamente proporcional ao seu produto.
9.2. Chave de respostas:
B
C
C
B
B
A
B
A
B
A
C
B
C
C
A
B
A
D
9.3. Comentário pedagógico para os aprendizes
O módulo está estruturado de tal forma que uma actividade segue a outra. É
recomendado que você se adira a essa ordem, isto é, conceito de carga eléctrica;
fluxo e campo eléctrico; potencial eléctrico; capacitância; corrente eléctrica ; e
magnetismo.
O módulo põe à sua disposição um conjunto de instruções, tarefas incluindo
questões que irão orientá-lo ao longo do módulo. Um conjunto de recursos e
referências que você pode usar durante o estudo são disponibilizados. Você é
aconselhado a tomar suas notas (fazer resumos) a medida que você vai encontrando
as tarefas e instruções. Para uma boa e efectiva aprendizagem, você precisa
executar primeiro as instruções antes de reparar nas possíveis soluções
disponibilizadas, Os seus recursos incluem Internet, textos recomendados,
trabalhando com os colegas.
As actividades de aprendizagem, estão estruturadas de tal modo que são dados
primeiro, os elementos teóricos. As actividades de aprendizagem dos estudantes
são dadas mais tarde, portanto, para cada parte, você é aconselhado a estudar a
parte teórica e as actividades do estudante concorrentemente, para máximo
resultado.
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X. Conceitos-chave (Glossário)
Lei de Coulomb da força
Afirma que a força entre duas cargas pontuais, em repouso, é directamente
proporcional ao produto dos valores das cargas, isto é, e inversamente
1
proporcional ao quadrado da distância entre elas, isto é, 2 . Assim, a lei de
r
Coulomb na forma vectorial se torna:
qq
F  k 1 2 2 .rˆ
r
Campo eléctrico
Quando uma carga eléctrica é colocada em algum ponto no espaço, esta estabelece
em qualquer sítio o estado de stress eléctrico, o qual é chamado campo eléctrico. O
espaço onde a influência da carga pode ser sentida, chama-se sítio do campo
eléctrico. A intensidade do campo eléctrico num ponto é, operacionalmente,

definida como a força ( F ) agindo numa carga unitária de teste (qo) naquele ponto:

 F
E
qo
Potencial eléctrico
O potencial electrostático num ponto é o trabalho realizado contra as forças do
campo eléctrico ao trazer uma carga unitária, positiva, de teste desde um ponto com
potencial nulo até ao ponto considerado.
Momento de dipolo eléctrico
O produto do valor de qualquer carga do dipolo e a distância separando as duas
cargas pontuais.
Superfícies equipotenciais
Descreve pontos no campo eléctrico que se encontram a um mesmo potencial
electrostático.
Todos os pontos equipotenciais num campo, quando ligados, formam uma linha
equipotencial ou superfície.
Corrente contínua
Um fluxo constante de portadores de carga eléctrica numa única direcção.
Corrente alternada
Corrente que flui num circuito, a qual inverte o seu sentido muitas vezes num
segundo, é causada por uma f.e.m alternada agindo no circuito e invertendo muitas
vezes por segundo.
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Lei Ohm
Afirma que a voltagem ao longo dum segmento arbitrário dum circuito eléctrico é
igual ao produto da resistência pela corrente.
Densidade de corrente
É a quantidade de corrente que flui por cada unidade de área. Simbolizado
por J , tem o valor dado por i/A e é medida por amperes por metro quadrado. Fios
de materiais diferentes possuem densidade de correntes diferentes para um dado
valor do campo eléctrico

( E ); para muitos materiais, a densidade de corrente é directamente
proporcional ao campo eléctrico.
Lei de Gauss
Afirma que o fluxo eléctrico ao longo duma superfície fechada qualquer é
proporcional à quantidade total de carga eléctrica contida nessa superfície. Esta lei
implica que cargas eléctricas isoladas existem e que cargas do mesmo sinal
repelem-se e cargas de sinais contrários atraem-se.
A lei de Gauss para o magnetismo, afirma que o fluxo magnético ao longo duma
superfície fechada qualquer é nulo; esta lei é consistente com a observação de que
pólos magnéticos isolados (monopolos) não existem.
Capacitância
A capacitância mútua de dois condutores é a grandeza numericamente igual a carga
q que é necessária transferir a partir dum condutor para o outro para variar, em uma
unidade, a diferença de potencial entre eles.
q
C
V
Campo Magnético
O campo magnético é um dos constituintes do campo electromagnético. É
produzido por condutores percorridos pela corrente eléctrica, por partículas e
corpos electrizados em movimento, por corpos magnetizados ou por campo
eléctrico variável. O aspecto que o distingue é que ele só actua sobre partículas e
corpos electrizados em movimento.
Fluxo Magnético
O fluxo (φ) do campo magnético através duma pequena superfície plana é o
produto da área da superfície e a componente da densidade de fluxo (B) normal à
superfície. Se o plano for inclinado num ângulo (  ) em relação a orientação do
campo magnético, e possui uma área (A), então   B. A.sen
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
Momento de dipolo magnético (  ):
Para uma bobina percorrida por uma corrente o momento de dipolo magnético é o
produto da corrente, a área e o número de voltas da bobina. É medido em amperes


por metro quadrado. i.é,   NiA

A orientação de (  ) situa-se ao longo do eixo da bobina, de forma que é
determinada pela regra da mão direita.
Leis de Kirchhoff
Leis de Kirchhoff são duas leis gerais para o cálculo de correntes e resistências
numa rede nas junções. Estas leis são obtidas a partir das leis de conservação de
energia e da lei de conservação de carga eléctrica.
a. Primeira lei de Kirchhoff:- é aplica-se aos nódos (junções) do circuito e
afirma que em qualquer rede, a soma algébrica das correntes em qualquer nódo no
circuito é nula.
b. Segunda lei de kirchhoff:- aplica-se à circuitos fechados (malhas) e afirma
que em qualquer circuito fechado, a soma algébrica dos produtos das correntes e
resistências de qualquer parte do circuito é igual a f.e.m total no circuito.
Lei de Ampere para o circuito
A lei generalizada, como foi corrigida por Maxwell, assume a seguinte forma
integral:
 
  d
 
C H .dl  S J .dA  dt S D.dA


Onde num meio linear D   .E é a densidade de corrente de deslocamento (em
amperes por metro quadrado).
Esta lei de Ampere-Maxwell
pode, também, ser enunciada na forma diferencial:

   D
onde o segundo termo surge da corrente de deslocamento.
 H  J 
t
http://en.wikipedia.org/wiki/Ampere%27s_law
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XI. Leituras obrigatórias
Leitura # 1 MIT Open Courseware
Referência completa: http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Physics/8-022Fall-2004/
CourseHome/index.htm. Agosto, 2006
Resumo: Tópicos cobertos neste material para leitura inclui: campos eléctrico e
magnético, potencial; introdução à relatividade especial; Equações de Maxwell, em
ambas formas diferencial e integral; e propriedades dos dieléctricos e matérias
magnéticos.
O racional (a lógica): esse é um dos vários cursos de Física para (Homens frescos)
do segundo período oferecidos no Instituto de Tecnologia de Massachusetts. É
dirigido à estudantes que procuram por uma introdução completa e desafiadora à
electricidade e Magnetismo.
Leitura # 2 Projecto de Física na Internet (Physnet Project)
Referência completa: http://stacks.iop.org/0031-9120/16/46/pev16i1p46.pdf
Resumo: Este curso de Física online para o 1º ano de Licenciatura focaliza sobre
carga eléctrica; campo eléctrico; potencial eléctrico; capacitância; circuitos RC;
campo magnético; Leis de Ampere, Bio-Savart e Lenz; indução electromagnética; e
ondas electromagnéticas.
O Racional (a lógica): Consultas interactivas, experiências laboratoriais, resumos
de conferências bem ilustradas e explicadas, sugestões pedagógicas, pistas para
resolução de problemas são todas incluídas neste curso. O curso é baseado no livro
Fundamentos de Física (5ª edição) por Halliday, Resnick, e Walker. TG Copyright
2005 Eisenhower National clearinghouse.
Leitura # 3 Electrodynamics
Referência completa: Physics- Electrodynamics: Electromagnetic Field Theory.
Resumo: Este é um livro electrónico gratuito sobre electrodinâmica
O racional (a lógica): Este livro é recomendado para as duas últimas
actividades deste módulo.
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Lista de Recursos relevantes
Referência : http://video.google.com/videoplay?docid=4559185597114887235&q=electric+charge&hl=en, 25/10/2006
Resumo: Este recurso é um vídeo de demonstração sobre cargas eléctricas.
O racional (lógica) : Oferece ao estudante uma fonte adicional de informação.
Referência: http://web.mit.edu/smcs/8.02/, 24/12/2006
Resumo: Uma excelente página de Internet oferecendo conferências em todos os
tópicos de Electricidade e Magnetismo que se encontram no módulo está
disponibilizada.
Racional: A página oferece, essencialmente, todas as conferências básicas sobre
Electricidade e Magnetismo.
Referência: http://qemp.deas.harvard.edu:8182/students/lectures/
specificlecture/?lectureID=4764#video, 24/12/2006
Resumo: Uma página da Internet que solícita para os estudantes enquanto lêem por
eles mesmos.
Referência: http://www.pha.jhu.edu/dept/lecdemo/videodiscs.html, 24/12/2006
Resumo: Video clip mostrando conferências em diversos tópicos de Electricidade
e Magnetismo.
Racional: Uma boa oportunidade para escutar alguém dando conferências em
tópicos a aprender.
Referência: http://www.physics.montana.edu/demonstrations/video/
5_electricityandmagnetism/electrostatics.html 24/12/2006
Resumo: A ilustração e apresentação da electrostática são bem guiadas.
Racional: A fonte suplementa muito bem o que o estudante precisa.
Referência: http://www.physics.montana.edu/demonstrations/video/
5_electricityandmagnetism/capacitance.html, 24/12/2006.
Resumo: Um tratamento muito bom de capacitância.
Racional: Conceitos essenciais sobre capacitors foram sabiamente demonstrados
para ajudar na compreensão dos conceitos.
Referência: http://www.wfu.edu/~matthews/courses/phy114/video/loc/
LineOfCharge/LineOfCharge.html. 24/12/2006
Resumo: Boa ilustração do comportamento de carga.
Racional: Disponibiliza bons exemplos do tratamento da lei de Gauss.
Referência: http://www.physics.montana.edu/demonstrations/video/
5_electricityandmagnetism/magneticfieldsandforces.html 24/12/2006
Resumo: disponibiliza demonstrações valiosas de forças entre cargas.
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Racional: A página de Internet oferece um recurso rico para aprendizagem de
electricidade e magnetismo.
Referência: http://www.pha.jhu.edu/dept/lecdemo/videodiscs.html
Resumo: Video clip mostrando conferências em diversos tópicos da electricidade e
magnetismo.
Racional: Útil para preencher o papel da conferência de Física enquanto aprende.
Referência: http://www.practticalphysics.org/go/apparatus_659.html;sessional,
29/08/2006.
Resumo: Disponibiliza um exemplo dum electroscópio à folhas de ouro para
estudantes ver e usar.
Racional: Um recurso útil para estudantes usar para aprendizagem da
electrostática.
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XII. Hiperligações valiosas
Lista de hiperligações valiosas relevantes
Título: Cargas eléctricas
URL : http://en.wikipedia.org/wiki/electric charge, 19/10/2006.
Resumo: Bom artigo sobre cargas eléctricas está disponível
Título: Electrostática
URL : http://en.wikipedia.org/wiki/electrostatics , 19/10/2006
Resumo: Mais informação relevante sobre electrostática está disponibilizada.
Título: Campo eléctrico
URL : http://wikipedia.org/wiki/electric field, 20/10/2006
Resumo: Uma boa hiperligação adicional para obter mais informação sobre campo
eléctrico.
.
Título: Conferências sobre Electricidade e magnetismo.
URL : http://web.mit.edu/smcs/8.02/
Resumo: Uma excelente página de Internet oferecendo conferências sobre todos os
tópicos de electricidade está disponibilizada.
Título : Conferências sobre electricidade e magnetismo.
URL : http://qemp.deas.harvard.edu:8182/students/lectures/specificlecture/
?lectureID=4764#video, 24/12/206
Resumo: Página de Internet efectiva para os estudantes usar enquanto fazem suas
leituras de estudo independente.
Título : Lei de Gauss
URL : http://www.physics.ncsu.edu/pira/eandm.html , 24/12/2006
Resumo: Simplificada discussão e apresentação da lei de Gauss é tratada.
Título: Electricidade e magnetismo
URL : http://webcast.berkeley.edu/courses/archive.php?seriesid=1906978358,
24/12/2006
Resumo: Bom recurso para electricidade e magnetismo.
Título : Electricidade e magnetismo
URL : http://www.physics.ncsu.edu/pira/eandm.html , 24/12/2006
Resumo: Simplificada discussão e apresentação da lei de Gauss é tratada.
Título : Electricidade e magnetismo
URL : http://www.ocw.cn/OcwWeb/Physics/8-02Electricity-andMagnetismSpring2002/CourseHome/index.htm, 24/12/2006
Resumo: Os diferentes aspectos, especialmente campo magnético, foram bem
tratados.
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XIII. Actividades de Ensino e de Aprendizagem
Conceito de carga eléctrica
Você precisará de 30 horas para completar essa actividade. Apenas algumas
orientações básicas são disponibilizadas para você de modo a ajudá-lo a fazer o
resto do curriculum na actividade.
Leitura pessoal e trabalho, é muito recomendado.
Objectivos Específicos de Ensino e Aprendizagem
 Distinguir condutores dos isoladores
 Explicar processos de electrização
 Enunciar a lei de Coulomb e resolver problemas baseados nela
 Definir campo eléctrico e calcular momento de dipolo, energia potencial e
torque dum dipolo eléctrico
 Realizar experiências simples de interacção entre objectos electrizados
Resumo das Actividades de Aprendizagem
Uma clara distinção entre condutores e isoladores em termos de como eles
adquirem carga eléctrica será completada até ao fim do estudo. Isto irá orientá-lo à
enunciar e deduzir a lei de Coulomb, enunciar a relação entre ambos tipos de
cargas. Essas relações serão usadas nos cálculos. Expressões para densidade
volumétrica e densidade superficial serão também deduzidas. Lei de Coulomb e lei
de Gauss serão deduzidas e aplicadas à diferentes situações.
Conceitos-chave
Carga eléctrica
A carga eléctrica é um atributo da matéria que produz força, da mesma forma que a
massa causa a força gravitacional, mas diferentemente da massa, carga eléctrica
tanto pode ser positiva como negativa.
Campo eléctrico E

O campo eléctrico E é uma grandeza vectorial a qual dá, em qualquer ponto do
espaço, a força que iria actuar sobre uma carga positiva unitária colocada naquele


ponto. Assim, E está relacionado à força ( F ), a qual actua sobre qualquer carga q
em qualquer ponto através da equação:

 F
E
qo

Esta é uma definição básica do campo eléctrico. A unidade de E é o newton por

coulomb a qual é denotada por (NC-1). O módulo de E é chamado intensidade de
campo eléctrico.
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Linhas de Campo eléctrico
As linhas de campo eléctrico descrevem o (vector) campo eléctrico em qualquer
região do espaço de acordo com as seguintes regras:
 A direcção das linhas eléctricas traçadas no espaço é a mesma que a direcção
do campo em cada ponto
 A densidade das linhas numa dada região é proporcional ao módulo do campo
naquela região. A densidade de linhas significa o número de linhas por unidade de
área, atravessando a superfície perpendicular à direcção das linhas num dado ponto.
 É uma consequência directa da lei do quadrado inverso de Coulomb que todas
as possíveis configurações estáticas do campo podem ser descritas por linhas na
moda à cima, onde todas as linhas nascem na carga eléctrica positiva e terminam na
carga eléctrica negativa. Linhas são, assim, contínuas excepto nas suas fontes e
absorvedouros na carga positiva e negativa respectivamente
 O número de linhas partindo ou terminando nas cargas é proporcional ao valor
de cada carga.
O dipolo eléctrico
É um par de cargas iguais e opostas, q e  q , separadas por uma distância 2a .
Torque sobre dipolo num campo externo

Se o campo externo, E é uniforme e o dipolo faz um ângulo θ com o campo, o
torque resultante em relação ao centro do dipolo é:   2aqEsen  p.E.sen
Onde p é o momento do dipolo eléctrico.
Palavras-chave
 Carga
 Força
 Campo eléctrico
 Dipolo
 Momento de dipolo
 Dipolo eléctrico
 Fluxo
 Lei do quadrado inverso
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Introdução para a actividade
O conhecimento sobre a existência de carga electrostática remota desde os tempos
da Grécia antiga, cerca de 600 anos A.C. Podemos repetir a observação dos Gregos
esfregando uma barra de âmbar ou borracha rija com um pedaço de pele. Depois
disso verificar-se-á que pequenos pedaços de papel ou quaisquer outros materiais
leves são atraídos para a barra. Não foram feitos avanços particulares na
compreensão desse fenómeno até perto de 1600, quando William Gilbert, fez um
estudo detalhado dos tipos de materiais que poderiam se comportar com âmbar.
Outros estudos revelaram que matéria é composta de exactamente de misturas
iguais de ambas cargas positiva e negativa. A implicação disto é que muitas vezes
não existe uma força eléctrica resultante, com consequências, entre corpos
separados. A força eléctrica é responsável por manter átomos individuais juntos, e
manter grupos de átomos juntos para formar matéria sólida. Muitas vezes, nós não
estamos cientes da presença da carga eléctrica porque muitos corpos são
electricamente neutros, isto é, eles contém igual número de carga positiva e
negativa.
Por exemplo, o átomo de hidrogénio consiste de um único protão com um único
electrão movendo-se em torno dele. O átomo de hidrogénio é estável porque o
protão e o electrão atraem-se mutuamente. Em contraste, dois electrões repelem-se
e tendem-se a afastar, e de forma semelhante a força entre dois protões é repulsiva.
O módulo e a direcção da força entre duas partículas carregadas estacionárias, é
dada pela lei de Coulomb.
Usando a lei de Coulomb, o campo eléctrico pode ser definido, e a partir daí nós
somos capazes de resolver problemas sobre momentos de dipolo eléctrico, energia
potencial, e torque dum dipolo eléctrico.
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Discrição Detalhada da Actividade
(Elementos teóricos principais)
Tarefa 1: Carga Eléctrica
Tarefa 1.1. Condutores e Isoladores
Materiais são divididos em três categorias:
 Condutores – metais, por exemplo.
 Semi-condutores – silicone é um bom exemplo
 Isoladores – borracha, madeira, plástico por exemplo.
A noção de que carga é quantizada significa que carga vem em múltiplos duma
unidade indivisível da carga, representada pela letra e. Em outras palavras, carga
vem em múltiplos da carga do electrão ou do protão. Ambos, protão e electrão
possuem carga do mesmo valor, mas o sinal é diferente. O protão possui a carga
 e , enquanto o electrão possui a carga  e .
Para exprimir a afirmação ´´carga é quantizada´´ em termos de equação, nós
escrevemos: q  n.e
q é o símbolo usado para representar carga, enquanto n é um número inteiro
positivo ou negativo, e e é a carga electrónica, de módulo 1,6 10 19 coulombs ( C
). A unidade de carga é o coulomb, e o seu símbolo é C.
Tarefa 1.2: Lei de Coulomb
Esta dá a relação entre duas cargas Q1 e Q2 as quais estão separadas por uma
distância r . As experiências mostram que a força entre dois corpos obedece a lei
do quadrado inverso e que a força é proporcional ao produto das cargas.
Simplesmente, a lei de Coulomb enuncia:
A força entre duas cargas à distância r, uma da outra, é directamente proporcional
ao produto das duas cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância
entre elas
qq
qq
(1)
Matematicamente isto é escrito como F  1 2 2  K . 1 2 2
4 o r
r
N .m 2
 uma constante, e  o é a permissividade do vácuo.
4 o
C2
As relações seguintes são úteis para distribuição de cargas. Estude-as e use-as para
os cálculos. Estas relações são encontradas em muitos livros de referência.
dq  C 
Para carga por unidade de volume, a densidade volumétrica é:  
dV  m 3 
dq  C 
Para carga por unidade de área, a densidade superficial é:  
dA  m 2 
dq  C 
Para carga por unidade de comprimento, a densidade linear é:  
dl  m 
Onde, K 
1
 9 109
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Em casos especiais onde a densidade ao longo duma região é uniforme:
Q C
  3
V m 
Tarefa 1.3: Campo Eléctrico
(a) Somos capazes de escrever a expressão para o campo eléctrico usando o que
aprendemos sobre a lei de Coulomb. A partir da definição do campo eléctrico, E
Força electrica
Q
1 Q.q 1
. 2  

nós temos: Campo Eléctrico (E) =
,qé
C arg a Teste
4 o r
q 4 o r 2
a carga teste.
(b) Usando o princípio de sobreposição, o valor de E devido a n cargas discretas

1
q1q2 
q1 , q2 , q3 ...., qi ,....qn em repouso é E 
.r
(2)

4 o i ri 2
(c) Para um corpo de distribuição contínua de carga, o campo a uma distância r da
carga é

1
dq 
E
.r
(3)

4 o r 2
Unidade
A unidade de carga é o coulomb. É denotada pela letra C.
Análise de unidade F  K
q1q2
r2
Grandeza
Força
Carga
Deslocamento/distância
Constante
Símbolo
F
Q
r
K
Unidade no SI
N (Newtons)
C (coulombs)
m (metros)
Nm2/C2
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Tarefa 1.4: Campo do Dipolo Eléctrico
O campo eléctrico dum dipolo eléctrico pode ser construído como a soma vectorial
de campos de cargas pontuais de duas cargas pontuais como ilustrado à baixo.
Figura 1.1. Direcção do dipolo eléctrico
Para o dipolo, o campo do dipolo em pontos no plano equatorial, à distância r, a
partir do centro é dado por:
p
1
E
.
Newtons/Coulomb
3
2
4 o a  r 2  2
Tarefa 1.5: Teorema de Gauss
O teorema de fluxo de Gauss na verdade, corporiza nada mais do que a validade do
ponto de vista das linhas do campo eléctrico, e é portanto, uma consequência
directa da lei do quadrado inverso da lei de Coulomb. O teorema é,
matematicamente, enunciado como se segue:
q
(4)
 E. cos .ds   i
Superfície fechada
i
o
Isto é, a integral de superfície da componente normal de E ao longo duma
superfície fechada, é igual a soma das cargas dentro do volume limitado pela
superfície dividido por εo.
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Pela lei de Gauss, pode ser demonstrado que o campo E devido a um plano infinito
de película é também dado por:
E

2 o
(5)
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Actividades de estudante
Tarefa 1.1.1. Condutores e isoladores
Consulte os livros listados na secção de referências e outras referências bem como
as hiperligações disponibilizadas para poder fazer resumos sobre condutores e
isoladores e faça o seguinte:
 Coleccione materiais isolantes como vidro, lã, pele de animais e ebonite.
 Esfregue vidro (a sua esferográfica) e lã ou vidro no seu cabelo.
 Traz o vidro próximo ao um pedaço de papel. Você notará que: o papel será
atraído para o vidro
Doutro modo
 Liga o seu aparelho de TV
 Traz um pedaço de papel nas proximidades do ecrã. Você notará também que:
o pedaço de papel será atraído para o ecrã.
Estas duas observações servem para mostrar a presença de carga eléctrica.
Quando você aproxima cargas iguais, juntas, você observará que cargas iguais
repelem-se, enquanto cargas diferentes atraem-se.
Experimente isso!
Use literatura relevante e anote a explicação de como os corpos se tornam
electrizados. A teoria é que o corpo é electrizado quando possui excesso de protões
ou excesso de electrões.
Pode não ser fácil nas nossas condições locais ter acesso ao equipamento que podelhe permitir demonstrar a lei de Coulomb. Contudo, você pode fazer isto:
 Electrize um electroscópio à folhas de ouro, positivamente, por indução
 De forma semelhante electrize uma esfera condutora que está fixa numa base
isoladora.
 Traz a esfera electrizada perto da tampa do electroscópio à folhas de ouro. As
folhas irão divergir (afastar-se).
 Mais uma vez, se você trazer outro corpo que está negativamente electrizado,
as folhas irão cair (aproximarem-se).
 Explique o que você vê. Estas duas observações servem para mostrar que
cargas iguais repelem-se e cargas diferentes atraem-se mutuamente.
 Qual é a unidade de carga no SI? Use métodos de dimensão para determinar
isto.
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Tarefa 1.2.1 Lei de Coulomb
Refira ao livro Arthur F. Kip (1969). Pp. 3-21, ou qualquer outro livro relevante
de electricidade e magnetismo
Tome notas curtas sobre lei de Coulomb
1 Q1Q2
A partir da forma matemática da lei de Coulomb: F 
.
4 o r 2
Deduza a unidade de εo no SI
Siga o exemplo dado à baixo para o uso da lei de Coulomb
Exemplo numérico
Quatro cargas q1 , q2 , q3 e q4 de valores
 2,0 10 6 C ,  2,0 10 6 C ,  2,0 10 6 C e  2,0 10 6 C são colocadas nos
vértices de um quadrado ABCD, respectivamente. Os lados do quadrado têm 4,0
cm de comprimento. Qual é a força resultante exercida sobre a carga que está no
ponto B pelas outras três cargas?
Solução
A solução deste problema precisa que seja desenhado um diagrama claro como
mostrado na fig. 1.2. As forças sobre a carga q2 em B são como mostrado.
Fig.1.2
Para calcular a força resultante sobre a carga q2 temos que determinar primeiro as
forças FBA , FBC e FBD entre as cargas q1 e q2 , q3 e q2 e q4 e q2 respectivamente.
Recorde-se que força é um vector, e em qualquer momento que você tiver um sinal
negativo (-) associado a um vector, tudo o que faz é informar-lhe sobre o sentido
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do vector. Se você tem as setas dando-lhe o sentido no seu diagrama, você pode
simplesmente tirar qualquer sinal que aparece da equação para a lei de Coulomb.
Usando a equação para a lei de Coulomb,
2
q1q2
9 Nm
K
,

8
,
99

10
, r  4 10 2 m
r2
C2

 2,0  10 6   2,0  10 6  Nm 2 C 2
E BA  8,99 109 
 C 2 . m 2  N    22.475 N   22.475 N
2 2
4,0  10


no sentido mostrado no diagrama. De forma semelhante,
 2,0  106   2,0  106   Nm 2 . C 2  N    22.475 N   22.475 N
FBC  8,99 109 

 C 2 m2
4,0  102 2


FBA  K .

 



no sentido mostrado no diagrama
FBD  8,99109 
 2,0 10   2,0 10   Nm . C
C m
5.6610 

6
6
2 2
2
2
2
2

 N   11.2375N  11.2375N

no sentido mostrado no diagrama
A força resultante sobre q2 é obtida adicionando, vectorialmente, as forças FBA ,
FBC e FBD. Pelo teorema de Pitágoras, o efeito combinada ( Fp ) das forças FBA e
FBC é dado por :
FP 2  FBA 2  FBC 2  22.47522  22.47522  FP  31.78 N orientada ao
longo da diagonal a partir de B em direcção a D.
Note que FP e FBD têm a mesma linha de acção, mas sentidos opostos. A força
resultante Fres sobre a carga q2 é dada por:
Fres  FP  FBD  31,78 N  11,2375 N  20.55 N
Orientada ao longo da diagonal de B para D.
Use o exemplo à cima e faz o seguinte
Duas cargas de 2,0 10 6 C e 4,0 10 6 C são colocadas à 3,0 cm uma da outra no
vácuo. Determine a força de interacção entre elas. (Res: 8.0 N)
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Tarefa 1.3.1 Campo eléctrico
Leia sobre campo eléctrico e faz pequenos resumos.
Verifique que as dimensões na equação à baixo são correctas
1 Q1Q2
F
.
4 0 r 2
Use esta expressão e determine o campo eléctrico devido a carga de 4,0 10 6 C a
uma distância de 3,0 cm. Considere  o a permissividade do vácuo
Nm 2
4 o
C2
O exemplo dum campo eléctrico devido é mostrado na fig.1.3
K
1
 9.0 109
Figura 1.3. Linhas de campo devido à carga positiva e negativa.
Linhas de campo para uma carga pontual positiva e uma carga pontual
negativa.
As linhas de campo saiem desde a carga positiva e entram na carga negativa.
I.
II.
III.
IV.
Esboce as linhas de campo eléctrico seguintes devido à:
A carga pontual
Dipolo eléctrico
Duas cargas similares
Prato (disco) electrizado
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Exemplo: Um campo fora proveniente duma barra longa, uniforme e
electrizada
Aqui nós damos um exemplo sobre como mostrar como campo eléctrico fora,
proveniente duma barra longa, uniforme e electrizada pode ser calculado.
Fig.1.4
Seja μ a distribuição linear de carga eléctrica, e E o campo eléctrico no ponto P, a
uma distância perpendicular ao longo da bissectriz da barra.
Quando a carga total na barra é Q ,  
Q
L
(a) Mostre isto
A componente do campo num ponto P, devido ao elemento de carga  .dx é
1  .dx
dE 
.
Pela lei de Coulomb.
4 o r 2
(b) Porquê a lei de Coulomb está sendo enunciada aqui?
x
a
a
Desde que  tg e  cos  , nós temos dx  a. sec 2  .d e r 
a
r
cos 
 1
.d
Portanto, dE  .
a 4 o
Note que as componentes x, dE no ponto P, têm a soma nula.
(c) Explique esta afirmação
Nós levamos, portanto, a soma das componentes y de cada dE´ para obter a soma
vectorial desejada. Seja dE´ a tal componente
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Assim, dE  
1 
. . cos  .d
4 o a
O campo total E  no ponto P, para uma barra muito longa é então obtida a partir de


2
2
 Newtons 
 Coulomb  (Verifique isto!)
4 o
o
0
1
Isto nos mostra que o campo decresce na razão de à medida que nos afastamos
a
da barra.
E 
2
.
cos  .d 
a
4 a
Tarefa 1.4.1 Momento de dipolo
Resolva os seguintes exercícios depois de ler a cerca de dipolo.
Escreve a expressão para o momento do dipolo.
Calcule o momento de dipolo para duas cargas de 3.0  10 6 C e  3.0  10 6 C
Se a separação entre elas é de 2.0 cm. (Res. 6.0 10 8 m.C )
Explique porque a força resultante sobre o dipolo num campo eléctrico uniforme E
é nulo.
(d) Recorde-se da definição de torque e mostre que
O valor do torque num campo em relação ao centro do dipolo é a soma dos
produtos das forças pelos seus braços,
  2.q. E .a.sen  p . E .sen
( e ) Usando este resultado, explique porquê o torque é dado por
  
  p  E Newton  metro
(MOSTRE OS PASSOS SEGUIDOS PARA DEDUZIR ISTO)
Exemplo: O exemplo que se segue dá-lhe o cálculo sobre dipolos eléctricos.
Siga cada passo cuidadosamente
Figura 1.5
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Considere um ponto P localizado no plano equatorial do dipolo, a uma distância r a
partir do centro do dipolo. O Campo do dipolo eléctrico em pontos situados no
plano equatorial é dado por
q
1
E  2.
. cos 
2
4 ó a  r 2


2
(a) Mostre que a distância a partir de, tanto + q ou – q até P é a 2  r 2 ?
2q
1
.
E
3
2 o
a2  r 2 2
O campo de dipolo em pontos no plano equatorial, à distância r, a partir do centro,
p
1
.
Newton/Coulomb.
é E
3
4 o
a 2  r 2 2
Recorde-se que p  2aq


Tarefa 1.5.1 Fluxo e campo eléctrico
Leia extensivamente sobre a lei de Gauss e execute as seguintes tarefas:
Use as seguintes referências: Grant I S; W. R, Philips ,1990.; Serway, (1986) ;
Dick, G et al , 2000) ou qualquer outro livro relevante e as hiperligações
disponibilizadas.
A forma matemática da lei de Gauss é:
q
 E. cos  .ds   i
sup erfície fechada
i
o
Em palavras, a lei de Gauss afirma que `` o fluxo eléctrico que atravessa qualquer
superfície fechada é proporcional à carga eléctrica total contida pela superfície``. A
lei implica que cargas eléctricas isoladas existem, e que cargas iguais repelem-se
enquanto cargas diferentes atraem-se. Enquanto a lei de Gauss para o magnetismo
afirma que o fluxo magnético ao longo duma superfície fechada é nulo. Esta lei é
consistente com a observação de que pólos magnéticos isolados (monopolos) não
existem.
Como é que o campo eléctrico E aparece na expressão à cima? (Para responder esta
questão faça uma breve nota sobre como esta expressão é deduzida).
O exemplo: Uso da lei de Gauss para uma única carga pontual.
A lei de Gauss aplica-se à qualquer distribuição (contribuição) de carga, mas neste
momento vamos aplicá-la ao simplíssimo caso de uma única carga pontual.
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Nós começamos por construir uma superfície gaussiana esférica de raio r em volta
da carga + q . Isto é seguido levando uma pequena superfície dA sobre a superfície
gaussiana. O vector área dA aponta radialmente para fora, assim como o campo
eléctrico E neste ponto.
 
O fluxo eléctrico através dessa pequena área é d  E.dA  E. dA. cos 0º  E.dA
A partir da simetria esférica, todos os tais elementos de pequena área contribuem
igualmente para o total.
   d E   E.dA  E. dA  E. 4 .r 2


Explique como é que o termo aparece. De acordo com a lei de Gauss
q
q
  E. 4 .r 2  contida 
, porque qcontida  q


o
o
Resolvendo em ordem ao campo eléctrico E nos dá:
q
E
Esta expressão é simplesmente a lei de Coulomb.
4 o r 2
Exemplo: Uso da lei de Gauss aplicada a um plano infinito de carga.
Figura 1.7. campo eléctrico devido a um plano infinito de carga.
Aqui pretendemos mostrar que para uma película infinita que carrega uma
densidade uniforme de carga, o campo é dado por: E 

2 o
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Procedimento
Por simetria o campo resultante E deve ter a direcção normal ao plano e deve ter o
mesmo valor em todos os pontos que se encontram à mesma distância a partir do
plano.
Leve como superfície gaussiana o cilindro de área de secção transversal A e altura
2h.
O fluxo apenas não é nulo através das extremidades do cilindro.
Leia e tome notas sobre este tópico e explique porque razão o fluxo apenas não é
nulo nas extremidades do cilindro (use as seguintes referências: Grant I S; W. R,
Philips, 1990; Serway, (1986); Dick, G et al, 2000) e qualquer outro livro relevante
e hiperligações.
Leia as seguintes afirmações:
Se o campo nas extremidades do cilindro for E, então o fluxo total   2 EA
A carga contida é área x densidade de carga = A

A
E
Então a partir da lei de Gauss 2 EA 
o
2 o
Explique como é que as expressões das três últimas linhas são obtidas.
Dois exemplos foram dados para você. Use a lei de Gauss e use argumentos
similares para deduzir e mostrar que o campo devido a uma carga esférica mas não
pontual é dada por:


E. 4r 2 
Q
o
. Explique todos os passos.
Trabalho experimental:
Você pode trabalhar em grupo com os seus colegas.
Problema: Como é que um corpo pode adquirir carga?
Hipóteses: Dois isoladores atraem-se/ repelem-se quando não são friccionados um
sobre o outro.
Equipamento
Pele
Barra de
vidro
Ebonite
Pedaços de
papel
Polieteno
Procedimento:
(a) Electrização por fricção
Material necessário: barra de vidro, pano de lã, e um pedaço de papel.
Passo I:
Esfregue a barra de vidro com pano de lã. Enquanto os mantém juntos, traga-os
perto dum pedaço de papel. O que observa?
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Passo II:
Separe a barra de vidro do pano de lã. Traga, apenas, um deles, por exemplo a
barra de vidro, perto do pedaço de papel. O que você observa?
Porque é que no passo I nada acontece com o pedaço de papel, mas no passo II o
pedaço de papel é atraído para o vidro?
Resposta
No passo I, quando a barra de vidro e a lã estão juntos, eles saio essencialmente um
corpo neutro. No passo II, o papel é atraído para a barra de vidro porque a barra
tem uma carga total positiva que induz uma carga negativa no papel.
A consequência disto, leva a uma força atractiva que faz com o papel se mova para
o vidro.
Electrização por Indução (influência)
Material necessário:
Use um objecto electrizado negativamente e um condutor inicialmente neutro (por
exemplo, uma bola de metal sobre uma pega de plástico)
Traz o objecto electrizado negativamente próximo de, mas não tocando, o
condutor.
Explique o que acontece nesse momento.
Ligue o condutor ao solo. Qual é a importância de ligar o condutor à Terra?
Remove a ligação ao solo. Isto deixa o condutor com um défice de electrões.
Remove o objecto electrizado. O condutor, agora, está electrizado com carga
positiva. Explique como esta afirmação pode ser verificada.
O electroscópio à folha de ouro está mostrado à baixo
http://www.practticalphysics.org/go/apparatus_659.html;sessional, 29/08/2006.
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Outra tarefa
Use o electroscópio à folhas de ouro, mostrado e explique como alguém pode usálo como um instrumento de ensino para a electrostática na escola.
Actividades de aprendizagem
À você está disponibilizado um exemplo de como pode usar a lei de Coulomb na
resolução de problemas numéricos. Quais são os aspectos importantes da lei de
Coulomb?
Avaliação formativa 1
1. Use o conceito de descarga de corona para explicar como o condutor faísca
funciona
2. Deduza uma expressão para o campo de um dipolo eléctrico ao longo do eixo e
na direcção normal ao eixo.
3. Use os princípios usados para deduzir o campo eléctrico fora a partir de uma
barra longa uniforme e electrizada para deduzir o campo eléctrico para o dipolo
eléctrico em qualquer direcção; e o campo eléctrico devido a uma distribuição
planar de cargas.
Figura 1.8
4. Determine o campo eléctrico a uma distância z acima do ponto médio de um
segmento de recta de comprimento 2L o qual carrega uma carga linear uniforme l.
5. Use o teorema de Gauss para as seguintes situações de alta simetria e deduza:
(i) O campo eléctrico duma casca esférica uniforme e electrizada.
(ii) O Campo duma distribuição esférica de carga
(iii) O campo na região dum condutor cilíndrico electrizado.
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Actidade 2
Título: Potencial Eléctrico
Você precisará de 15 horas para completar esta actividade. Apenas algumas
orientações básicas são disponibilizadas para você de modo a ajudá-lo a fazer o
resto do curriculum na actividade.
Leitura pessoal e trabalho, é muito recomendado.
Objectivos específicos do ensino e aprendizagem
 Definir potencial eléctrico e desenhar superfícies equipotenciais
 Deduzir a expressão para o potencial eléctrico e calcular o potencial eléctrico
duma carga pontual e duma distribuição de cargas pontuais
 Explicar os princípios do gerador de Van Der graaff e suas aplicações
Espectativa nesta secção:
Você definirá termos relacionados e relacionar potencial ao campo eléctrico e
discutir: superfícies equipotenciais, potencial devido a uma carga pontual, dipolo
eléctrico, distribuição contínua, campo eléctrico devido a um condutor electrizado
e isolado e gerador de Van derem graaff.
Resumo da actividade de aprendizagem:
A definição e dedução do campo eléctrico e potencial eléctrico serão estudados e
usados na resolução de problemas relacionados. Além disso, será feita a explicação
e discussão dos princípios de Van der Graaff.
Conceitos chave:
Superfície equipotencial – é a superfície na qual o potencial, ou voltagem, é
constante.
Linhas do campo eléctrico são sempre perpendiculares a estas superfícies, e o
campo eléctrico aponta para o sentido de decrescimento do porencial eléctrico.
Suponha, por exemplo, que um conjunto de superfícies foi escolhido de modo que
os seus potenciais são 5 V, 4 V, 3 V , 2 V, etc. Então, desde que a diferença de
voltagem entre duas películas vizinhas é constante ( V  1V ) nós podemos fazer a
estimativa do campo eléctrico entre superfícies através da fórmula
Energia potencial eléctrica ( EP)  qEd
(0.1)
Onde q é a carga no objecto, E é o campo eléctrico gerado por Q, e
d é a distância entre as duas cargas
Voltagem é também relacionada à força
Fd W
V  Ed 

q
q
( W  Fd força vezes o deslocamento na direcção da força é trabalho (J))
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A voltagem alta significa cada carga individual está sujeita a uma força de grande
intensidade. A voltagem baixa significa que cada partícula individual está sujeita a
uma força de pequena intensidade.
Gerador de Van der Graaff - é um gerador electrostático de alta voltagem que pode
produzir potencial de milhões de volts.
Termos chaves
Trabalho
Potencial eléctrico
Voltagem
Potencial de dipolo eléctrico
Introdução para actividade
O principal ponto desta actividade é estender o conceito de campo eléctrico para
potencial. Já foi demonstrado que um campo electrostático é conservativo, o que
significa que o trabalho para mover uma carga a partir duma posição para outra
contra as forças do campo é independente do caminho seguido. A consequência
imediata é que a circulação, isto é, o integral linear ao longo de qualquer trajectória
fechada, é sempre igual a zero. Portanto podemos escrever:
 E.dl  0
(2.1)
Esta propriedade de circulação zero oferece um método útil para caracterizar a
natureza conservativa do campo estático, e é um instrumento conceptual muito
poderoso para resolver certos tipos de problemas.
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Descrição detalhada da actividade
(Elementos teóricos principais)
Tarefa 2.1 Potencial Eléctrico
(a) A partir do seu trabalho anterior, você sabe que:
 Trabalho deve ser realizado sobre ou para a carga de modo a trazê-las uma
perto da outra
 Desde que o trabalho deve ser realizado sobre a carga ou pela carga, ela possui
energia potencial.
(b) A partir da Mecânica nós sabemos que, a força gravitacional entre duas
massas m1 e m2 separadas uma da outra por uma distância R:
mm
(2.2)
F  G 1 2 2 , G é a constante de gravitacional universal
R
E a energia potencial gravitacional EP é dada por:
EP  mgh
(2.3)
Onde m é a massa, g é aceleração devido à gravidade e h +e a altura.
(c) De forma semelhante, o potencial eléctrico V é dado por
1 q1q2
V
.
4 o r
Onde q1 e q2 são as cargas separadas por uma distância r
(d) Potencial e campo eléctrico, estão relacionados como se segue:
dV
Ex  
dx
Potencial é medido em Joules (J)
(2.4)
(2.5)
Tarefa 2.2 Potencial eléctrico devido a uma carga pontual:
O potencial eléctrico devido à carga Q num ponto a uma distância r da carga é dado
por:
Q
V
(2.6)
4 o r
Tarefa 2.3 Potencial devido à várias cargas pontuais
Figure 2.1.
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A contribuição do potencial, Vo na origem, O de cada carga q1 e q2 é
1  q1 q2 
V
.  
4 o  y1 x2 
(2.7)
Portanto a expressão para o potencial num dado ponto do espaço devido a uma
distribuição de cargas pontuais é
qi
1
(2.8)
V

4 o i ri
Potencial é uma grandeza escalar, e a sua unidade é o volt (V)
Se a distribuição for contínua, a expressão para o potencial em termos de densidade
volumétrica de carga ρ que pode variar de ponto para ponto é
1
dV
(2.9)
V

4 o Vol r
Tarefa 2.4: Potencial do dipolo eléctrico
Potencial devido ao dipolo num ponto P mostrado na figura 2.2. é dado pela
equação (2.10) de forma semelhante o campo eléctrico no ponto P é dado pela
equação (2.11)
Figura 2.2
p cos 
4 o
r2
E o campo eléctrico é dado
1
p
1
E
. 3 . 3 cos 2   1 2
4 o r
V
1
.


(2.10)
(2.11)
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Tarefa 2.5. Gerador de Van der Graaff
É um gerador electrostático de alta voltagem, que pode produzir potencial de
milhões de volts.
Actividade para estudantes
Tarefa 2.1.1
(a) Refira ao Arthur F Kip (1969); Serway (1986) and Grant (1990) e as
hiperligações disponibilizadas e tome notas sobre potencial.
1 q1q 2
(b) Mostre que a energia potencial é dada por E P 
4 o r
(Pista: recorde-se que trabalho = força vezes distância
Tarefa 2.2.1
(a) Dado que o potencial devido a uma esfera condutor electrizada é
essencialmente o mesmo que o potencial devido a uma carga pontual Q num ponto
P a uma distância r da carga, mostre os passos necessários que o potencial duma
esfera condutora electrizada é:
Q
onde ro é o raio da esfera.
V
4 o ro
Tarefa 2.3.1.
Refira ao Arthur F Kip (1969); Serway (1986) and Grant (1990) e tome notas sobre
potencial
Identifique os símbolos usados na equação (2.9)
Mostre que a expressão  .dV dá a quantidade de carga
Qual é a diferença entre potencial eléctrico e energia potencial eléctrica?
Tarefa 2.3.2.
Use as equações (2.5) e (2.9) e mostre que o campo eléctrico num ponto P ao longo
do eixo dum anel uniformemente electrizado na fig.2.3 é dado por
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Figura 2.3
Tarefa 2.4.1. Exemplo
Usando a figura 2.2 , o potencial de um dipolo eléctrico encontrado sobrepondo os
potencias de cargas pontuais de duas cargas como segue:
Por definição potencial
1 q
.
V
4 o r
Portanto, o potencial num ponto P devido a um dipolo eléctrico é dado por
1 1 1
V
q  
4 o  r1 r2 
Para os casos onde r >> d, este pode ser aproximado por
1 p cos 2 
.
V
4 o
r2
Onde p  qd é momento do dipolo. A aproximação feita na última expressão é que
quando r >> d então
1 p cos 2 
V
4 o
r2
E o campo eléctrico E é dado pela expressão:
1
p
1
E
. 3 .3. cos 2   12
4 o r
Identifique e escreve as suposições feitas ao escrever a equação (2.10)
Mostre como equação 2.11 é deduzida
Tarefa 2.5.1. Gerador de Van der Graaff
Você poderia trabalhar em grupo para esta actividade
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Propósito
Para ter uma clara identificação e compreensão das diferentes partes do gerador de
Van der Graaff
Aparato
O gerador de Van der Graaff completo
(a) Desmonte o gerador de Van der Graaff e veja se pode identificar as diferentes
partes
(b) Quando estiver satisfeito com a identificação então volte a montar o gerador
(c) Agora use o diagram do gerador de Van der Graaff mostrado na fig. 2.3 e
(i) Atribua números, as diferentes partes marcadas.
(ii) Descreve as funções de cada parte e então
(iii) Explique como o gerador funciona.
(d) Descreve aplicações prácticas do gerador de Van der Graaff
http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Van_de_graaf_generator.svg
Figura 2.3
Foi disponibilizado um exemplo numérico para mostrar como as expressões para
potencial podem ser usadas para cálculos.
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Tarefa 2.1. Cálculo do potencial eléctrico para um sistema de cargas.
Três cargas pontuais, Q1, Q2 e Q3 são colocadas nos vértices de um triângulo
rectângulo, como mostrado à cima. Qual é o potencial absoluto da terceira
carga se Q1   4.0 10 6 C , Q2  3.0 10 6 C , Q3  2.0 10 6 C . Se Q3, que está
inicialmente em repouso, é repelida para o infinito pelo campo combinado de
Q1 e Q2 as quais são mantidas fixas. Determine a energia cinética final de Q3.
Solução: O potencial eléctrico absoluto de Q3 devido de Q1 é:
 4.0 10 6
q 
V1  Ec . 1   9 109.
  7.2 10 3 V
5
5
De forma semelhante, o potencial eléctrico absoluto de Q3 devido à presença de Q2
é:
3  10 6
q 
V2  Ec . 2   9 109
 9  10 3 V
3
3
 
O potencial absoluto resultante de Q3 é simplesmente a soma algébrica dos
potenciais devido às cargas Q1, Q2 tomadas isoladamente. Portanto
V3  V1  V2  1,8 103 V
A variação da energia potencial eléctrica de Q3 a medida que se move desde a
sua posição inicial para o infinito, é o produto de Q3 e a diferença no potencial
eléctrico –V3 entre o infinito e a posição inicial. Portanto,
E P   Q3 .V3   2.0 10 6  1.8  103   3.6 103 J




Este decréscimo na energia potencial eléctrica de Q3 é igual ao aumento da
energia cinética, desde que a energia cinética inicial de Q3 é nula.
Assim, Ec  3.6  103 J
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Avaliação Formativa 2
O dipolo de carga de carga  q e separação l (momento de dipolo p  ql ) é
colocado ao longo do eixo -x como mostrado à baixo
(i) Usando a expressão para o potencial V numa carga pontual, calcule o trabalho
necessário para trazer uma carga +Q a partir dum ponto muito distante para o ponto
S sobre o eixo-x, a uma distância a a partir do centro do dipolo.
(ii) Qual é o potencial Vs do ponto S (na ausência da carga Q)’?
(iii) Escreva uma expressão simples aproximada para VS , boa para a  l .
(iv) Use a expressão para VS para determinar o valor absoluto e a orientação do
campo eléctrico no ponto S. Determine a orientação da superfície equipotencial no
ponto S. (Você pode usar Kip F, 1986) para mais informações.
Actividade 3
Título: Capacitância
Você precisará de 15 horas para completar esta actividade. Apenas algumas
orientações básicas são disponibilizadas para você de modo a ajudá-lo a fazer o
resto do curriculum na actividade.
Leitura pessoal e trabalho, é extremamente recomendado aqui.
Objectivos específicos de ensino e aprendizagem
 Deduzir a expressão para o cálculo de capacitância
 Explicar como é que o capacitor armazena energia no campo eléctrico
 Explicar o efeito do dieléctrico na capacitância
 Deduzir a expressão para a capacitância duma combinação de capacitores e
usá-la nos cálculos
 Deduzir as diferentes formas da expresão para a energia electrostática
armazenada no capacitor
 Aplicar ideias sobre dieléctricos à problemas de simples capacitor de pratos
paralelos, com o espaço entre os pratos preenchido com material dieléctrico; e
relacionar a susceptibilidade à constante dieléctrica.
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Resumo da actividade de aprendizagem
Serão feitas deduções das expressões para a combinação de capacitores, relação
entre capacitância, voltagem e carga; energia electrostática armazenada nos
capacitores. Estas expressões serão usadas para a solução de problemas numéricos.
Conceitos – chave
Capacitores – são armazéns, de cargas, de curto período; um pouco como uma
mola eléctrica. Eles são largamente usados nos circuitos electrónicos. Consiste de
dois pratos metálicos separados por uma camada de material isolante chamada
dieléctrica.
Dois tipos de capacitores – electrolítico e não-electrolítico. Capacitores
electrolíticos armazenam muito mais energia.
Capacitores electrolíticos – devem ser ligados com a poliridade correcta, caso
contrário podem explodir.
Capacitância – é a carga necessária para causar, no condutor, uma diferença de
potencial unitária.
1 Farad – é a capacitância do condutor, que possui uma diferença de potencial de 1
volt quando carrega uma carga de 1 coulomb.
Constante de tempo – é o produto RC (Resistência x capacitância).
Polarização – é o deslocamento relativo de carga positiva e negativa quando
sujeitos a um campo eléctrico externo. É dado por P = np, onde p é o momento de
dipolo atómico induzido, n é o número de dipolos por unidade de volume.
Constante dieléctrica – é o factor que multiplica a capacitância dum capacitor por
um factor K. É independente da forma e tamanho do capacitor, mas o seu valor
varia largamente para os diferentes materiais. É geralmente a medida do quão um
dado material é polarizado pelo campo eléctrico externo.
Susceptibilidade eléctrica – é um parâmetro que relaciona directamente a
polarização do material ao campo aplicado.
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Termos – chave
Capacitância
Permissividade
Capacitor electrolítico
Dieléctrico
Farad
Constante dieléctrica
Polarização
Susceptibilidade eléctrica
Momento de dipolo
induzido
Deslocamento eléctrico
Expectativas da secção
Você fará a dedução da expressão para a capacitância para um sistema de duas
esferas metálicas concêntricas formando um capacitor. Além disso você vai
explicar como é que os capacitores armazenam energia e o efeito do dieléctrico na
capacitância. Ademais, será feita a dedução da expressão da capacitância para
combinação de capacitores e o seu uso nos cálculos.
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Introdução da actividade
Esta actividade lida muito mais com sistemas que consistem de condutores nos
quais pode-se guardar carga. A actividade irá estabelecer, mais além, que o
potencial de cada condutor é linearmente relacionado ao excesso de carga nele e
cada um dos outros condutores.
Descrição detalhada da actividade (elementos teóricos importantes)
Para cada tarefa, você terá que ler e extrair mais informação a partir das referências
e hiperligações disponibilizadas.
3.1. Calculando a capacitância
(a) Considere um capacitor de pratos paralelos, cada um de área A, e separação d.
Q
Seja   a densidade de carga, onde Q é carga de qualquer um dos pratos.
A
Figura.3.1.
Com o prato de baixo ligado ao solo, a densidade de carga no lado mais baixo
desse prato é próxima de zero.
Trabalhando directamente a partir do teorema de Gauss, nós encontramos o campo
eléctrico (o qual é uniforme entre os pratos) como sendo

o
Onde  é a densidade de carga
E
Então a diferença de potencial é
d
Q d
V    E.dx  .
A o
0
Volts 
 m 
V 
(3.1)
(3.2)

Q
Farads
 A. o
V
d
Isto mostra que a capacitância aumenta linearmente com a área dos eléctrodos
(pratos) e inversamente proporcional à separação entre os pratos.
C 
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A carga, Q no condutor é linearmente proporcional ao seu potencial (V). A
constante de proporcionalidade é conhecida como capacitância e é definida como
Q (coulombs)
C ( Farads) 
V volts 
As quantidades entre parêntesis são as suas respectivas unidades. O Farad é uma
unidade muito grande, por isso muitas vezes usamos a unidade chamada
microfarad, onde 1 Farad  106 F
(b) Capacitância entre condutores esféricos concêntricos
A capacitância dum capacitor esférico, consistindo duma camada condutora
esférica de raio b e carga (–Q), que é concêntrica com numa pequena esfera
condutora de raio a e carga (+Q) é dada por:
Q
ab
C 
(3.3)
V k .b  a 
(c) A capacitância entre dois cilindros coaxiais de raio a e b, e comprimento L é
dada por
2 o L
(3.4)
C
b
ln 
a
Onde a e b são raios dos cilíndros interior e exterior, respectivamente.
Tarefa 3.2.Dedução da capacitância de capacitores em série e em paralelo
A capacitância equivalente, C, das capacitâncias C1 , C2 , C3 ... dos capacitores
ligados em paralelo é dada por:
C   Ci
(3.5)
i
Enquanto que a capacitância equivalente, C , das capacitâncias C1 , C2 , C3 ... dos
capacitores ligados em série é dada por:
1
C 
(3.5)
i Ci
Tarefa 3.3. Energia electrostática armazenada
O trabalho realizado durante o processo de electrização vai para energia
armazenada U dentro do sistema.
Assim, a energia potencial do sistema electrizado é dada por:
1
Joules
U  C.V 2
2
Onde C é capacitância e V é a voltagem
Tarefa 3.4 Capacitores com dieléctrico
Quando o espaço entre os pratos do capacitor é completamente preenchido por um
material isolador, chamado dieléctricos, a capacitância é multiplicada por um factor
K maior que 1.
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Este factor é chamado constante dieléctrico. A polarização de carga qp, o elemento
de área de superfície dS, e a densidade superficial de carga  p
são relacionados pela expressão seguinte:
dq
p  p
(3.6)
dS
A capacitância dum capacitor com dieléctrico é dado por
 .1   A
C o
(3.7)
d
Onde  é a susceptibilidade, d é no caso de isotropia dieléctrica, onde a
polarização P é sempre paralela ao campo E, o deslocamento eléctrico, D, é dado
por:

 
D oE  P
(3.7)
Tarefa 3.1.1. Cálculo de capacitância
(a) Leia as seguintes referências: Arthur F Kip (1969); Serway (1986) e
Grant (1990) e tome nota sobre potencial. À medida que você vai lendo responda
às seguintes tarefas:
Q
(b) Use a equação (3.1) e mostre que o campo eléctrico E 
A
(c) Mostre os passos usados na dedução da equação (3.2)
(d) Exemplo: Cálculo da capacitância de dois condutores esféricos concêntricos:
Se nós considerarmos o capacitor esférico consistindo de capa condutora esférica
de raio b e carga (-Q) que é concêntrica com uma pequena esférica condutora de
raio a e carga (+Q). Determine a sua capacitância se a esfera exterior for ligada à
Terra.
Você deve notar que:
O campo fora duma distribuição simétrica esférica de carga é radial e dada por
Q
K 2.
r
Neste exemplo, isto corresponde ao campo entre as esferas (b < r < a). Dado que o
campo é nulo em fora dessa região.
A partir da lei de Gauss, nós vemos que, apenas a esfera interior contribui para o
campo. Assim, a diferença de potencial entre as esferas é dada por
b
dr
1 
1 1
Vb  Va   Er .dr   k .Q. 2  k .Q    k .Q.  
r
 r a
b a
a
a
b
b
O valor da diferença de potencial é dado por V  Va  Vb  k .Q.
Q
ab
Q
Substituindo isto em C  , nós obtemos C  
V k .b  a 
V
b  a 
ab
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SIGA OS PASSOS DADOS E VÊ QUE ELES SÃO CLAROS PARA VOCÊ
(e) Cálculo da capacitância devido à dois cilindros coaxiais
2 o L
b
ln 
a
Siga o exemplo dado e outras literaturas nas hiperligações e referências
disponibilizadas e deduza esta relação
A equação (3.4) dá a capacitância de dois cilindros coaxiais como C 
Use as equações (3.3) e (3.4) para a resolução de diferentes problemas numéricos.
Tarefa 3.2.1. Deduzir a expressão para a energia armazenada
(a) Tome a sua nota e mostre que a equação (3.3) pode ser escrita como
1 Q2
1
1
U  CV 2  .QV  .
2 C
2
2
Tarefa 3.3.1. Energia electrostática armazenada
(a) Use a relação Q  CV e a definição de trabalho para mostrar que a energia
U armazenada no capacitor é dada por:
1
1
1 Q2
U  CV 2  QV 
Joules 
2
2
2 C
Tarefa 3.4.1. Dieléctricos
(a) Leia e tome notas sobre materiais dieléctricos, constante dieléctrica,
polarização, susceptibilidade, e deslocamento eléctrico.
Quando a carga Q é colocada no prato isolado de cima, toda a carga se desloca
para a superfície de baixo do prato, e que uma carga igual e oposta aparece no
prato de baixo. A carga igual e oposta no prato de baixo aparece por causa dos
requisitos de campo nulo dentro do condutor.
(b) Use as referências e hiperligações e deduz as equações (3.7) e (3.8)
(c) Use as equações (3.2) e (3.7) para escrever a relação entre constante
dieléctrica K e susceptibilidade  .
Tarefa 3.5. Experiência sobre representação gráfica e tratamento quantitativo
da descarga do capacitor.
Você poderá trabalhar em grupo para realizar esta experiência
Aparatos
Um milíamperímetro
Um capacitor de 470 F
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Resistores assorted
Cronómetro
Fios para ligações
Interruptor Reed
Figura 3.2
Parte I
Procedimento
(a) Liga o interruptor para o ponto 1 e deixe o capacitar carregar
(b) Desligue o interruptor do ponto 1 e ligue-o ao ponto 2
(c) Note a leitura no voltímetro e no miliamperímetro
(d) Repita isto num intervalo de tempo definido (ex: 5 s)
(e) Registe os seus resultados numa tabela, incluindo valores da carga (Q), e
tempo em segundos
(f) Represente o gráfico de Q versus tempo
O gráfico que você obtém deverá ser semelhante ao gráfico mostrado na fig.3.3
Repita a experiência com valores diferentes de V. O que você observa sobre
(i) A forma do gráfico em relação à voltagem?
(ii) A meia vida do decaimento em relação à voltagem?
O gráfico esperado deverá ser assimptótico. Na teoria o que o gráfico nos diz é que
o capacitor não se descarrega completamente, embora na prãtica, ele se
descarregue.
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O gráfico é descrito pela relação:
Q  Qo .e

t
RC
Onde Q - carga (C); Qo – carga no instante inicial; e – numero exponencial
(2,718…); t – tempo (s); C – capacitor (F); R – resistência (Ω).
Parte II
Investigue o efeito de:
I. Aumentar a resistência durante o tempo que leva a descarga do capacitor
II. Aumentar a capacitância durante o tempo necessário para a descarga do
capacitor.
Avaliação Formativa
Tente discutir com um colega algumas destas questões de avaliação. Esta prática é
muito útil.
1. Um capacitor de 5000 μF é carregado até 12,0 V e descarregado através de um
resistor de 2000 Ω.
(a) Qual é a constante do tempo? (Res. = 10 s)
(b) Qual é a voltagem depois de 13 s? (Res. V = 3,3 volts)
(c) Qual é a meia vida do decaimento? (Resp. 6,93 s)
(d) Quanto tempo levaria, o capacitor, a descarregar para 2,0? (Res. 17,9 s)
2. Escreva o que se pretende dizer com os seguintes termos:
(a) Dieléctrico
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(b) Farad
(c) Voltagem de trabalho
3. Um capacitor de 470 F , carregado até 12,0 V é ligado a um resistor de 100
kΩ.
(a) Qual é a constante de tempo?
(b) Qual é a voltagem depois 10 s?
(c) Quanto tempo leva para a voltagem reduzir-se para 2,0 V?
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Actividade 4
Título: Corrente contínua
Você precisará de 30 horas para completar esta actividade. Apenas algumas
orientações básicas são disponibilizadas para você de modo a ajudá-lo a fazer o
resto do curriculum na actividade.
Leitura pessoal e trabalho, é extremamente recomendado aqui.
Objectivos específicos
 Deduzir a equação para a densidade de corrente
 Explicar a base Física da lei de Ohm e usar a lei de Ohm na resolução de
vários problemas de resistores ligados em paralelo e em série.
 Enunciar e usar a lei de Kirchoff em análise de circuitos
 Fazer análise de malha de circuitos equivalentes
 Dar a definição de resistividade
 Escrever a expressão geral para resistência que inclui, explicitamente, o efeito
do comprimento e da secção transversal
 Definir, deduzir e usar as expressões para a eficiência de transferência de
máxima potência
 Definir, deduzir e usar as expressões para a transferência de máxima potência e
a eficiência de transferência de máxima potência
 Deduzir a expressão para torque sobre a corrente numa espira e aplicá-la para a
resolução de problemas relacionados.
 Definir dipolo magnético
 Escrever e aplicar a expressão para momento de dipolo nos cálculos
Expectativas da secção
Serão feitas definições e deduções de expressões. Além disso serão resolvidos
problemas numéricos.
Sumário da actividade de aprendizagem
Serão deduzidas as expressões incluindo, dentre outras coisas, equações para a
densidade de corrente, expressão para resistividade; transferência de máxima
potência e eficiência de transferência de máxima potência. Além disso você fará
análise de malha de circuitos equivalentes.
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Conceitos-chave
Densidade de corrente – é a taxa de transporte de carga por unidade de área da
secção transversal. É definido como sendo um vector j , onde


j  n.e.v
(4.1)

Onde v é a velocidade de deslocamento dos portadores de carga.
Quando a taxa de escoamento de carga varia no condutor, em vez de
 discutir a
intensidade de corrente I, nós discutimos a densidade de corrente j dada por:
 
i   j .dS
(4.2)
dS é um elemento de secção transversal de área A.
Teorema (de transferência) de máxima Potência – afirma que para se obter
máxima potência a partir duma fonte com resistência interna fixa, a resistência da
carga deve ser feita igual à da fonte.
Corrente – é definida como a taxa de escoamento de carga.
Densidade de corrente – é a corrente que se escoa através do condutor por
unidade de área.
Figura 4.1
Referindo-se à figura 4.1, quando a densidade de corrente é uniforme, a equação
(4.2) pode ser integrada para dar
 
i  j.A
Quando a corrente é perpendicular à área, esta equação se torna:
i  j. A
Onde A é a área de secção transversal do condutor.
Resistividade – é a resistência dum volume unitário dum material que possui um
comprimento unitário e uma área de secção transversal unitária. É medida em
Ohms – metro
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Termos chave
Condutividade
Resistividade
Corrente
Densidade de corrente
Resistência
Lista de hiperligações relevantes úteis
http://en.wikipedia.org/wiki/current_(electricity), 06/09/2006
http://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_power_theorem, 30/08/2006
http://online.cctt.org/physicslab/content/phyapb/lessonnotes/DCcircuits/lessonKirc
hoff.asp 29/08/2006.
http://engr.astate.edu/jdg/Circuits/Lab/05Nodal-and-Mesh.html 30/08/2006
http://www.art-sci.udel.edu/ghw/phys245/05S/classpages/mesh-analysis.html
30/08/1006
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Introdução à actividade
Esta actividade muda a nossa atenção desde considerações dos efeitos
electrostáticos para a discussão de correntes eléctricas, e circuitos eléctricos nos
quais a corrente escoa. Além disso, nós consideramos os factos experimentais de
escoamento de corrente e os parâmetros que são úteis na descrição de correntes e
circuitos.
Descrição detalhada de actividade (elementos teóricos principais)
4.1. Lei de Ohm, circuitos em série e em paralelo
A lei de Ohm relaciona três variáveis: Intensidade de corrente (I); diferença de
potencial (V); e a resistência (R). A relação entre estas três grandezas é
(4.1)
V  IR

Na forma microscópica, a lei de Ohm em termos de densidade de corrente j ,



(4.2)
campo eléctrico E na região j   .E
-1
Onde  é a condutividade medida em (ohm-metro)
A resistência combinada (equivalente), R, dos resistores R1 , R2 , R3 …em série e
em paralelo são dados, respectivamente, como:
R   Ri
Para a ligação em série·
(4.3)
i
1
1

R
i Ri
Para ligação em paralelo·
(4.4)
4.2. Leis de Kirchoof
Regra das junções (nódos) de Kirchoff
 I entr   I sai
(4.5)
Isto é, a soma das intensidades de corrente I ent , que entram numa junção (nódo) é
igual à soma das intensidades das correntes I sai , que saiem da junção.
Esta regra é equivalente a afirmação sobre a conservação de carga.
Regra de malha de Kirchoff
para uma malha fechada (4.6)
 V  0
Para ser considerada fechada, uma malha deverá começar numa posição e terminar
na mesma posição. As regras para atribuição de sinais às variações de voltagem ao
longo da bateria numa malha fechada para regra de malha de Kirchoff são:
 V    se a direcção da malha atravessa a bateria a partir do pólo positivo
para negativo (alta para baixa)
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 V    Se a direcção da malha atravessa a bateria a partir do pólo negativo
para o positivo (baixa para alta)
A regra de malha de Kirchoof é usada para determinar a orientação da corrente das
baterias nos circuitos que tem mais de uma bateria — isto é, qual (quais) estão a
carregar e qual (quais) estão a descarregar.
Esta regra é equivalente a afirmação sobre a conservação de energia; recorde-se
que Volt = joule/coulomb
4.3. Maximizando transferência de potência versus maximizando eficiência de
potência
Para alcançar a máxima eficiência, a resistência da fonte deverá ser perto zero.
Figura.4.2
A eficiência para o circuito na figura 4.2. é definida como
RL
1

(4.7)

RL  RS 1  RS
RL
RS é a resistência da fonte e RL é a resistência da carga
Actividade de estudante:
Tarefa 4.1. Lei de Ohm
a. Lei as seguintes referências: Arthur F Kip (1969); Serway (1986), and Grant
(1990) e tome notas sobre corrente eléctrica. Tome notas para lei de Ohm;
conceitos atrás das leis de Kirchoff; resistividade; eficiência de transferência de
potência; dê respostas às tarefas que você será chamado a lidar com elas sob a
secção da actividade de estudantes. Use também as hiperligações disponibilizadas.
b. Use a definição da densidade de corrente e escreva a sua unidade no SI.
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c. (i) Você deverá ser capaz de mostrar que no circuito o resistor externo, R é
ligado à uma célula de f.e.m E e resistência interna r, as três estão relacionadas por
E  IR  Ir
Descreva, claramente, todos os passos.
( i ) Agora mostre que IE  I 2 R  I 2 r
Dica: Use a equação (4.1) e considere I.
d. Se n for o número de portadores de carga por unidade de volume, e a carga

eléctrica, e v a velocidade de deslocamento mostre que a densidade de corrente é


j  nev
Tarefa. 4.2. Exemplo sobre a lei de Ohm
Estude os seguintes passos necessários para a dedução da forma microscópica da
lei de Ohm.

Considere portador de carga se deslocando à velocidade média v através do
condutor de área de secção transversal A e suponha que a densidade dos portadores
por unidade de volume é n.
 Em um segundo os portadores ocupam o volume  A.v
 A carga total neste volume  n.e.v. A , e é a carga de cada portador
 Assim i  carga por segundo
 Portanto i  n.e.v. A
i
A
 Portanto j  n.e.v
Quando nós consideramos os efeitos do comprimento L, da área de secção
transversal A, a expressão geral da resistência é
l
 é a resistividade.
R ,
A
Recorde-se que j 
Se o campo eléctrico que causa a corrente é E e nós caracterizamos a corrente por j,
nós seremos capazes de descrever o comportamento local em qualquer região
microscópica. Assim, a forma microscópica da lei de Ohm é obtida como se segue:
Recorde-se que:
V  iR
l
i
V  EL , R   ; e j 
A
A
Substituindo estas na equação (ii) nós teremos
l
j E

Portanto
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j  E
Verifique e mostre que  
l

, onde  é a condutividade
Tarefa 4.2.1 Lei de Kirchoff
(a) Você precisa consultar as referências e as hiperligações e tome notas.
(b) Aplique as duas leis de kirchoof à fig. 4.2 e escreva ambas regras de Kirchoof,
de malha e de junção (nódo)
Figure 4.2
Dica: A direcção indicada na malha deverá orientá-lo.
Tarefa 4.3.1. Eficiência de máxima potência
a. Defina eficiência
b. Usando a definição de eficiência, deduza a expressão na equação (4.7)
(i) Quando RL  RS , então   0.5
(ii) Se RL   , então   1
(iii) Se RL  0 , então   0
Esses três exemplos mostram que:
A eficiência é apenas 50 % quando a transferência de máxima potência é
alcançada, mas aproxima-se à 100 % à medida que a resistência da carga se
aproxima ao infinito (a pesar do nível da potência total tender à zero). Quando a
resistência da carga é zero, toda a potência é consumida dentro da fonte (a potência
dissipada no curto circuito é zero) assim a eficiência é zero.
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Tarefa 4.4 Análise de Malha
Objectivos:
1. Construir um circuito planar possuindo duas fontes de voltagem e cinco
resistores.
2. Estudar voltagens dos nódos e correntes das malhas
3. Comparar resultados calculados com os resultados medidos usando ambas
análises de nodo e de malha
Equipamento e lista das componentes:
 Fonte de corrente contínua
 Multímetro digital (MMD)
 Resistores, um de cada: 1,5 kΩ, 2,2 kΩ, 4,7 kΩ, 5,6 kΩ, e 6,8 kΩ
 Breadboard
Procedimento:
1. Ligue o circuito mostrado na fig.4.3 VS1 e VS2 são fontes de corrente
contínua, R1  2,2 k , R2  4,7 k , R3  6,8 k , R4  5,6 k , R5 1,5 k
Figura.4.3
2. Coloque VS1 = 12 V e VS2 = -12 V . Note que Nódo 1 é positivo e nodo 4 é
negativo,
3. Meça e registe as leituras correspondentes à V1, V2, V3, e V4. De forma
semelhante, registe também as intensidades de corrente I1, I2, e I3. (não a corrente
do ramo Ia e Ib)
4. Use o multímetro e meça os valores de todos os resistores.
Comparações e Questões:
1- A partir das correntes de malha medidas, calcule as intensidades de correntes
dos ramos Ia e Ib mostrados na figura 4.3.
2- Pela observação, quais são os valores de V1 e V4? Com os valores dados de VS1
e VS2.
3- Equações dos nódos:
(a). Construa a equações do nódo para o circuito, e resolve para V2 e V3, usando
valores nominais dos resistores e as voltagens nominais das fontes.
(b) compare todos os valores medidos das voltagens dos nódos os valores
calculados.
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(c) Repita a e b usando os valores das resistências medidos e os valores medidos
para as voltagens das fontes.
4. Equações de Malhas:
(a) Construa as equações da malha para o circuito, e resolve em ordem as três
intensidades de correntes da malha, usando os valores nominais das resistências e
os valores nominais das voltagens das fontes.
(b). Compare todos os valores das correntes das malhas medidos com os valores
calculados.
(c) Repita a e b usando os valores medidos das resistências e os valores medidos
das voltagens das fontes.
Calcule a potência absorvida pelos resistores R2 e R4. Para cada resistor calcule
V2
a potência usando três métodos diferentes: P  VI , P  I 2 R , P 
R
Use as resistências medidas, as voltagens dos nódos medidas, e as intensidades das
correntes dos ramos calculadas a partir das correntes das malhas medidas. Explique
quaisquer diferenças nas potências obtidas pelos três métodos.
5.
Conclusão:
Baseando-se nas suas observações durante a experimentação, que leis e princípios
foram verificados por essa experiência?
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Avaliação Formativa
Figura 4.4
1. O circuito de malha multipla mostrado na figura 4.4. contém três resitores, três
baterias, e um capacitor sob condições do estado estacionário, determine as
intensidades de corrente desconhecidas.
(a) Mostre que a carga no capacitor é de 66,0 μC.
(b) Porque é que a parte esquerda do capacitor está positivamente carregada?
(c) Mostre que a voltagem ao longo da capacitor pela transversão de qualquer
outra bobina, como a bobina de fora (Resp = 111,0 V)
2. Escreva as regras de Kirchoff das junções para a figura 4.5
Figura 4.5
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Actividade 5
Títle: Magnetismo
Você precisará de 30 horas para completar esta actividade. Apenas algumas
orientações básicas são disponibilizadas para você de modo a ajudá-lo a fazer o
resto do curriculum na actividade.
Leitura pessoal e trabalho, é extremamente recomendado aqui.
Objectivos Específicos:
 Defina os termos: Campo magnético, fluxo magnético e densidade de fluxo
 Explique e desenha linhas de campo magnético associadas com condutores
percorridos pela corrente eléctrica, e explique os princípios dos instrumentos
baseados nisso
 Explique os princípios do osciloscópio
 Enuncie, explique e use a lei de indução electromagnética de Faraday
 Deduza a expressão da força sobre um fio percorrido pela corrente eléctrica,
localizado num campo magnético
 Relaciona a força (F), à velocidade (V), carga (q) e ao campo magnético (B)
 Demonstre campo magnético e interacção usando magnetes, e fios percorridos
pela corrente; mostre a influência do campo magnético sobre uma carga em
movimento usando o osciloscópio, e demonstre a lei de indução electromagnética
de Faraday usando materiais simples.
 Deduza a expressão do torque sobre uma espira percorrida pela corrente e
utilize a expressão para a resolução de problemas com ela relacionados
 Define dipolo magnético
 Escreva e aplique a expressão para o momento de dipolo nos cálculos.
Expectativa da secção:
 Dedução e explicação da lei de indução electromagnética de Faraday, deduzir
a expressão para a força que age sobre um fio percorrido por uma corrente num
campo magnético
 Relacionar força à velocidade, carga e ao campo magnético
 Dedução das expressões para o torque, campo magnético em solenóides e
toróides
 Definindo campo magnético, fluxo magnético, dipolo magnético
 Enunciar e usar a lei de Ampere para os circuitos
Resumo da actividade de aprendizagem
Definição de diversos termos incluindo: campo magnético, fluxo magnético e
densidade de fluxo. Além disso, explicação de diversos conceitos como
Movimento duma partícula electrizada num campo magnético e momento

magnético,  , duma espira. Isto inclui também o enunciado de leis, princípio e
suas aplicações.
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Conceitos-chave

Fluxo magnético através de um elemento de área dA é dado por:

 
B.dA  B.dA. cos  . Onde dA é perpendicular à superfície


Momento magnético duma espira percorrida por uma corrente, I- é   I . A

Onde A é perpendicular ao plano da espira
Movimento duma partícula electrizada num campo magnético – A força magnética
agindo sobre uma partícula electrizada num campo magnético é sempre
perpendicular à velocidade da partícula. Assim, o trabalho realizado pela força
magnética é nulo, dado que o deslocamento da carga é sempre perpendicular à
força magnética.
Portanto, o campo magnético estático muda a direcção da velocidade da partícula
mas não afecta o seu módulo ou a energia cinética da partícula electrizada.


Momento magnético, m , da espira – é a combinação NIA , N é o números de
voltas, I a intensidade de corrente e A é a área

Momento do dipolo magnético,  duma pequena espira de área S percorrida pela
corrente de intensidade I é definido como


  I .S
Onde S é o vector perpendicular ao plano da espira na direcção relacionada com a
corrente através da regra de mão direita
Termos chave
Dipolo magnético
Campo magnético
Força magnética
Fluxo magnético
Momento magnético
Solenóide
Torque
Lista de hiperligações relevantes úteis
http://en.wikipedia.org/wiki/magnetism, 06/09/2006
http://www4.ncsu.edu/~mowat/H&M_WebSite/FaradaysLaw/FaradaysLaw.html
30i08/2006
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Introdução à actividade
Historicamente, o estudo do electromagnetismo começou com as observações de
interacções entre materiais ferromagnéticos; substâncias como ferro, sob condições
apropriadas exibem forças de atracção e repulsão muito intensas, o que reconfigura,
mas são tão diferentes das forças electrostáticas. Em 1819, Oesrted primeiro
mostrou a ligação entre Electricidade e Magnetismo demonstrando o torque sobre a
agulha duma bússola colocada próximo à uma corrente eléctrica. Assim, nesta
actividade primeiro iremos discutir o magnetismo em termos de forças entre cargas
em movimento dos elementos de corrente.
Muito cedo nos anos 1830 Michael Faraday fez a observação de que uma corrente
variável num circuito eléctrico pode causar o surgimento duma corrente (corrente
induzida) num segundo circuito. Indução electromagnética é o princípio que rege o
funcionamento dos motores eléctricos, geradores, transformadores, e alguns tipos
de aceleradores de partículas.
A lei de Faraday é um dos quatro pilares da teoria electromagnética. Sem ela, nós
não poderíamos ter luz.
http://www4.ncsu.edu/~mowat/H&M_WebSite/FaradaysLaw/FaradaysLaw.hml
30/08/2006
Descrição detalhada da actividade
(Elementos teóricos principais)
5.1. Campo magnético, fluxo magnético e densidade de fluxo
(a) Leia as seguintes referências
Arthur F Kip (1969); Serway (1986),and Grant (1990) e tome notas sobre corrente
eléctrica. Tome notas sobre o magnetismo de acordo com os tópicos apresentados
em baixo. Você é aconselhado a trabalhar em uma tarefa de cada vez.
(b) Fluxo magnético, campo B e a área de secção transversal através da qual o
fluxo passa, são relacionados por:
Ni A
(5.1)
L
A unidade de fluxo, no SI, é Weber (Wb), enquanto a unidade do campo magnético
é o Tesla (T).
  B. A   o
1 Wb.m 2  1 T
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5.2. Força magnética sobre um fio percorrido pela corrente eléctrica

(a) O campo magnético total B devido a um fio fino e recto percorrido por uma
corrente eléctrica de intensidade constante I num ponto P à uma distância a do fio é
B
o I
2 .a
(5.2)
(b) Se dois condutores paralelos percorridos por correntes estacionárias I1 e I2
respectivamente e se a separação entre eles é a , então a força F1 sobre o primeiro
condutor por unidade de comprimento é
F1 
 o I1 I 2
2 .a
(5.3)
5.3. Carga em movimento num campo magnético


A relação entre a força F , velocidade v  , e carga q  movendo-se num condutor

colocado num campo B é dada por:
  o I q.v  r
F
. 2
(5.4)
4
r
Ns 2
 o  4  10 7 2 é chamada de permeabilidade do vácuo. A constante εo que se
C
usa nos cálculos de campo eléctrico é chamada permissividade do vácuo.
 

5.4. Lei de indução electromagnética de Faraday
(a) Considere o circuito no qual existem dois circuitos: circuito primário, e
circuito secundário com N enrolamentos. Quando uma corrente variável alimenta o
circuito primário, uma f.e.m E é induzida na segunda bobina. A f.e.m é dada por:
d
(5.5)
    N s B. A
dt
(b) Área efectiva da segunda bobina
Pela lei de Ohm, se a secundária tem resistência Rs, então a corrente induzida
f .e.m
(5.6)
Is 
Rs
Na prática, não é correcto supor que cada enrolamento tem a mesma área A.
Portanto, iremos representar o produto escalar como:
 
N s B. A  N s B. Aefect . cos 
(5.7)


 é o ângulo entre B e o vector área A , a área efectiva
Aefect 
r
3

1
2
2
 r2  r1r2

(5.8)
Onde r1 e r2 são os raios exterior e interior, respectivamente, da segunda bobina.
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5.4. Torque sobre uma espira com corrente
(a) O torque sobre uma bobina com voltas de área A percorrida por uma corrente
de intensidade I é dado por:
Torque sobre a bobina é   NIBA.sen
(5.9)
Onde ϕ é o ângulo entre o campo magnético e a normal ao plano da bobina. A
combinação NIA é muitas vezes chamada momento magnético, m da bobina. É um
vector normal (isto é perpendicular) à espira. Se você dobrar os seus dedos na
direcção da corrente em volta da espira, o seu polegar irá apontar na direcção do
momento magnético. Assim,



 B
(5.10)
Note que este é análogo ao torque agindo sobre um momento de dipolo eléctrico


  
p na presença dum campo eléctrico externo E , onde   p  E . A unidade do
momento magnético, no SI é ampere-metro2 (A-m2).
Actividade de Estudante
Leia as seguintes referências: Arthur F Kip (1969); Serway (1986) and Grant
(1990), mais as hiperligações disponibilizadas, e tome notas sobre campo
magnético, fluxo magnético e densidade de fluxo, Força magnética sobre um
condutor percorrido pela corrente eléctrica, Lei de indução electromagnética de
Faraday, Torque sobre uma espira com corrente, e lei de Ampere dos circuitos.
Tarefa 5.1. Campo magnético, Fluxo magnético e densidade de fluxo
(a) Nas suas notas, trace e descreve as linhas de campo magnético associadas a um
condutor percorrido pela corrente.
Tarefa 5.2. Força magnética sobre um condutor percorrido pela corrente
eléctrica
(a) Tome notas e mostre como é que a equação (5.2) é deduzida
(b) Aplique a equação (5.2) para a resolução de problemas numéricos
Tarefa. 5.3. Carga eléctrica em movimento num campo magnético
(a) Estude criticamente a equação (5.5) e mostre como é que ela é deduzida
(b) Aplique a equação (5.5) para a resolução de problemas numéricos
Tarefa 5.4. Lei de indução electromagnética de Faraday
(a) Enuncia, por palavras, a lei de Faraday dada na equação (5.5)
(b) Qual é o significado do sinal negativo na equação (5.5)?
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(c) Use livros de recomendados (padrões) e as hiperligações para mostrar que o
campo magnético no centro da primeira bobina é aproximado pelo campo no centro
de uma única corrente circular, multiplicada pelo número de enrolamentos N p na
bobina primária: isto é:
 I 
B  N p  o p 
 2r 
(d) Qual é o significado do torque sobre uma espira?
(5.11)
Tarefa 5.5 Lei de Ampere para o Circuito
Use a lei de Ampere para o circuito e deduz expressões para os campos magnéticos
do solenóide e toróide. (Use referências e hiperligações)
Tarefa 5.6. Experiência: Medindo a f.e.m induzida
Propósito
 Verificar a lei de indução electromagnética de Faraday
Aparato
 Uma bobina geradora de campo feita a partir de 200 enrolamentos de fio SW.
G28 de cobre (diâmetro 0,2684 cm)
 Uma bobina de teste feita a partir de 4000 enrolamentos de fio SW. G36 de
cobre (diâmetro 0,134 cm).
 Um osciloscópio de dois canais
 Cabos e fichas
 Uma barra de ferro de comprimento suficiente para atravessar ambas bobinas
 (opcional)
 Cabos e fichas
 Gerador de sinal
Figura 5.1
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Procedimento:
Siga os passos dados em baixo para realizar a experiência
(a) Coloque a bobina geradora de campo sobre um pedaço de papel e marque
sobre o papel a circunferência interior. Encontre o centro desses sinais e marque
com uma cruz. Esta cruz marca o ponto através do qual você irá alinhar a bobina
teste
(b) Meça o raio interior r1 e o raio exterior r2, da bobina teste e determine a sua
área efectiva. Meça o raio interior e exterior da bobina geradora de campo e
determine o seu raio médio, r:
Aef 


2
2

. r1  r2  r1r2
3
(c) Ligue as duas bobinas, o sinal e o osciloscópio como mostrado na figura 5.1.
(d) Coloque a bobina campo sobre o papel de tal modo que o seu diâmetro interior
coincida com a marca.
(e) Coloque a bobina teste de tal forma que o seu centro coincide com a marca no
centro da bobina campo.
(f) Ligue o gerador de sinal e o osciloscópio.
(g) Põe o osciloscópio para mostrar os dois canais 1 e 2.
(h) Põe o gerador de sinal a produzir uma onda triângulo de amplitude 8 Voltas e
frequência 400 Hz. Use os botões do gerador de sinais para ajustar a voltagem e a
frequência. Leia os seus valores a partir da tela do osciloscópio, mas não a partir da
disposição dos botões do gerador do sinal. Põe a escala de tempo do osciloscópio
para que você possa visualizar três períodos da onda triângulo. Põe os ganhos e
posições das duas marcas de modo que a onda triangular preencha metade da tela e
a forma da onda da f.e.m induzida preencha a metade inferior da tela.
(i) Esboce os padrões sobre a tela indicando as verdadeiras disposições na vertical
(V/div) e a taxa de remoção horizontal (ms/div)
(j) Leia a partir do osciloscópio o valor Dv/dt (leia a partir do canal 1) e a f.e.m
induzida medida, E2 (leia a partir do canal 2)
d
Note que a f.e.m induzida f.e.m EI    N s B. A
dt
V
(Porquê isso?)
Ip 
Rp
 I 
E B  N p  o p  , onde o valor médio de r é r1 e r2
 2r 
Use a expressão para escrever a expressão da f.e.m E1 ,
(k) A partir das suas medições avalie o valor de E1 e compare-o ao valor de E2
(l) Repita o procedimento (h) -(j) para diferentes valores de entrada para a
voltagem e frequência
(m) Comente sobre os seus resultados
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Avaliação formativa
1. Uma bobina rectangular cujas dimensões são 5,40 cm x 8,50 cm consiste de 25
enrolamentos de fio. A bobina leva uma corrente cuja intensidade é de 15 mA.
Calcule o valor absoluto do momento magnético da bobina.
(Res. 1,72  10 3 A.m 2 )
Suponha que um campo magnético de intensidade igual a 0,350 T é aplicado ao
plano da espira. Qual é o valor do torque agindo sobre a espira?
(Res. 6,02  10 4 N .m)
2. Um protão move-se com uma velocidade 8,0  106 m / s ao longo do eixo-x.
Ele entra numa região onde existe um campo de valor igual a 2,5 T, orientado num
ângulo de 60º em relação ao eixo-x e estendendo-se no plano xy. Calcule a força
magnética inicial e a aceleração do protão. (Res. 2,77  10 12 N ; 1,66  1013 m / s 2 )
3. Um protão está se movendo por uma órbita circular de raio igual a 14 cm num
campo magnético uniforme de valor igual a 0,35 T numa direcção perpendicular à
da velocidade do protão. Determine a velocidade orbital do protão. (Res. 4,69 m/s)
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XIV. Síntese do Módulo
Electricidade e Magnetismo I
Actividade 1
Na actividade 1, os conceitos chave tratam de interacções entre corpos electrizados
os quais por fim levam à lei de Coulomb, e portanto ao teorema de Gauss. O
domínio da dedução e a aplicação de expressões relacionadas, é de capital
importância.
O primeiro ponto a recordar é que carga eléctrica é um atributo da matéria que
produz uma força, tal como uma massa causa a força gravitacional, mas
diferentemente da massa, carga eléctrica tanto pode ser positiva como negativa.
Que a densidade das linhas eléctricas numa região é proporcional ao módulo do
campo naquela região e que o número de linhas eléctricas que partem ou terminam
sobre as cargas é proporcional ao valor de cada carga.
Além da Física aprendida, diversas expressões que foram deduzidas e usadas
precisam ser estudadas e postas em prática. Estas incluem expressões do torque
resultante sobre o dipolo num campo eléctrico externo, isto é,
  2a.  q.E.sen  pE.sen
Pela lei de Coulomb, a força entre duas cargas Q1 e Q2 as quais estão separadas por
uma distância r uma da outra, é dada por:
F
1
4 o
.
QQ
Q1Q2
k 12 2
2
r
r

A partir da definição do campo eléctrico, o valor de E devido a n cargas discretas
q1 , q2 , q3 ,...., qi ...qn em repouso, pelo princípio de sobreposição é

q 
1
E
. 2i .r
4 o i ri
De forma semelhante, para um corpo de distribuição contínua de cargas, o campo
eléctrico a uma distância r é

1
dq 
.r
E
4 o  r 2
Para o dipolo, o campo eléctrico em pontos no plano equatorial, a uma distância r,
a partir do centro é dado por:
E
p
.

1
4 o a 2  r 2

3
2
N 
 C 
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O teorema de Gauss sobre fluxo, o qual é uma consequência directa da lei do
quadrado inverso de Coulomb, matematicamente é enunciado como se segue:
qi
 E. cos .dS  
i
sup erf fechada
o
Isto é, o integral de superfície da componente normal de E ao longo da superfície
fechada é igual a soma das cargas que se encontram no volume contido pela
superfície dividido por εo.
Esta lei é aplicada em diferentes situações que você precisa compreender.
Actividade 2
Na actividade dois os conceitos chave incluem campo eléctrico, potencial e
relação entre eles. Expressões diferentes ligados a eles são divididos e
aplicados. Por exemplo:
Energia Potencial Eléctrica (EPE) = qEd, onde q é a carga no objecto, E é o
campo eléctrico produzido pela carga Q, e d é a distância entre as cargas.
Uma analogia entre energia potencial gravitacional e energia potencial eléctrico é
essencial. É importante saber como deduzir e aplicar expressões como Energia
1 q1q2
potencial eléctrica, U 
4 o r
Onde q1 e q2 são as cargas separadas por uma distância r.
Potencial e campo eléctrico são relacionados como se segue:
dV
E 
dx
A expressão geral para o potencial num dado ponto do espaço devido a uma
distribuição discreta de cargas é:
1
.
1

qi
4 o i ri
E se a distribuição for contínua, a expressão de potencial em termos de densidade
volumétrica de carga ρ a qual pode variar de ponto para ponto é:
V
V
 .dV
4 o Vol r
O domínio de como deduzir e aplicar expressões para potencial e campo eléctrico
devido a um dipolo eléctrico no ponto P é essencial. Por exemplo:
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V
1 p. cos 
e o campo eléctrico é dado por:
4 o r 2


1
p
2
2
.
3
.
cos

1

4 o r 3
Isto deverá incluir também expressões para potencial e campo eléctrico num ponto
P ao longo do eixo de um anel uniformemente electrizado.
1
E
.
Actividade 3
O uso do teorema de Gauss é um instrumento importante para a dedução da
expressão do campo eléctrico ao longo dum capacitor de pratos paralelos, isto é:

o
Onde   densidade de c arg a
E
Voltas 
 m 
Subsequentemente, isto nos leva à expressão de diferença de potencial como:
d
V    E.dx 
0
 C
Qd
Voltas
o A
Q A o
Farads

V
d
Para boa prática, alguém precisa ser capaz de mostrar como a capacitância entre
dois condutores esféricos concêntricos consistindo duma película esférica de raio b
e carga (-Q), a qual é concêntrica com uma pequena esfera condutora de raio a e
carga (+Q) é dada por:
Q
ab
C 
V k b  a 
Além disso, alguém precisa ser capaz de deduzir a expressão para a capacitância
entre dois cilindros coaxiais de raios a e b, e comprimento L como:
2 o L
b
ln 
a
Onde a e b são os raios dos cilindros interior e exterior, respectivamente.
C
Quando capacitores de capacitâncias C1 , C2 , C3 ... são ligados em paralelo, a sua
capacitância equivalente é dada por:
C   Ci
i
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Enquanto que, se eles estiverem ligados em série, a capacitãncia equivalente, C das
capacitãncias é dada por:
1
1

C i Ci
Existem outras relações importantes deduzidas nesta secção, com as quais, alguém
precisar se familiarizar. Estas incluem expressão para a capacitância do capacitor
com dieléctrico sendo dada como:
C
 o 1   A
d
Onde  é a susceptibilidade e d é a separação entre os pratos.
Actividade 4
Na actividade quatro diversas relações foram deduzidas. Estas incluem:

(i) A forma microscópica da lei de Ohm em termos da densidade de corrente, j ,

campo eléctrico na região E , onde:


j   .E
Onde  é a condutividade medida em (Ohm-metro)-1
(ii) A resistência equivalente, R, dos resistores R1 , R2 , R3 ..... em série e em
paralelo são dadas, respectivamente, como:
R   Ri Para a ligação em série
i
1
1
Para a ligação em paralelo

R i Ri
Outras relações importantes são leis de Kirchoof para as junções (nódos). Estas
são:
 I entr   I sai
Isto é, a soma das intensidades de corrente que concorrem num nódo é igual à soma
das intensidades das correntes que saem do nódo, e
 V  0 Para uma espira fechada
É também importante aprender como deduzir expressões para a eficiência máxima
para um sistema de resistores ligados à uma fonte de energia.
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Actividade 5
Na actividade cinco existem diversas expressões, com as quais, você precisa se
familiarizar. As expressões importantes incluem:
(a) Fluxo magnético, campo magnético B e a área de secção transversal através da
qual o fluxo passa se relacionam por:
N .A
  BA  o i
L
(b) O campo magnético total B, devido a um fio fino e recto percorrido por uma
corrente de intensidade constante I num ponto P a distância a a partir do fio é:
I
B o
2a
(c) Se dois condutores paralelos são percorridos por correntes constantes I1 e I2
respectivamente e se a separação entre eles é a, então a força, F1 sobre o primeiro
condutor por unidade de comprimento é:
F
 o I1 I 2
2a


(d) A relação entre a força F , velocidade v  e carga, q que se move num

condutor colocado num campo magnético B é dado por:
 
  I qv  r
B o . 2
4
r
Ns 2
é chamada permeabilidade do vácuo. A constante  o que
C2
é usada no cálculo do campo eléctrico é chamada de permissividade do vácuo.
Onde  o  4  10 7
(e) A lei de indução electromagnética de Faraday, na qual nós consideramos dois
circuitos: circuito primário e circuito secundário com Ns enrolamentos. Quando
uma corrente variável é injectada no circuito primário, uma f.e.m E é induzida na
bobina secundária. A força electromotriz induzida (f.e.m) é dada por:
E 
d
N s B. A
dt
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Soluções esperadas para alguns conjuntos de problemas
Solução para 1.5.1

(a) O fluxo do campo eléctrico E que sai através de qualquer superfície fechada é
igual a soma algébrica das cargas contidas pela superfície dividida por  o .
2.2.1
Dado que o campo estático médio é igual a zero dentro do metal, as cargas ficam
na superfície. Um condutor esférico electrizado comporta-se como se toda a carga
estivesse concentrada no seu centro. Isto nos permite usar a expressão do campo
eléctrico gerado por uma carga pontual.
ro
r
 
1 oQ
Q
Assim, Vr    E.dr  
.dr 
2

4 o  r
4 o ro

A suposição é que V= 0 no infinito. A semelhança com a carga pontual é devido a
idêntica distribuição de campos.
2.3.1
Potencial eléctrico, V, e a energia potencial eléctrica, U  q.V , são grandezas
diferentes, com dimensões diferentes e unidades de SI diferentes. Energia de
qualquer tipo (eléctrica qV, gravitacional mgh, etc) representa a mesma grandeza
física. Potencial eléctrico, V, é o equivalente de ´altura´/´nível´/´altitude´, h no caso
de campo gravitacional. Portanto, potencial eléctrico, V , e energia potencial
eléctrica, qV , são tão diferentes quanto altura, h, é diferente da energia potencial
gravitacional,U =mgh.
2.3.2
Aplicação de conceitos, exemplo: Potencial devido a um anel uniformemente
electrizado
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Levemos um ponto P a uma distância x a partir do centro do anel. O elemento de
x 2  a 2 do ponto P.
carga dq está a uma distância
Podemos escrever:
dq
k
kQ
1
dq
, k
dq 
V k k 


2
2
2
2
2
2
4 o
r
x a
x a
x a
Neste caso cada elemento de carga dq está a mesma distância do ponto P.

O campo eléctrico E
A partir da simetria, nós vemos que ao longo do eixo x, o campo eléctrico E pode
ter apenas a componente x.
Portanto, podemos usar a expressão:
dV
(mostre que esta relação é verdadeira), para encontrar o campo eléctrico
dx
no ponto P:
Ex  
Ex  

d 2
dV
  kQ.
x  a2
dx
dx


1
2
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Avaliação somativa
1. Use o diagrama dado em cima e mostre que o potencial, V, e o campo
eléctrico, E, devido ao dipolo no ponto P são dados, respectivamente por:
1 p cos 
e
(i) V 
.
4 o
r2


1
p
2
2
.
3
.
cos


1
4 o r 3
(iii) Duas cargas pontuais (+Q) e (-Q) são colocadas à distância 2a uma da outra.
Mostre que o campo do dipolo em pontos no plano equatorial, a distância r, a partir
do centro é dado por:
p
1
 Newtons 
E
.
3
 Coulomb 
2
2
2
4 o a  r
(ii) E 
1

.

2. (a) Mostre que no circuito onde o resistor externa, R é ligado a célula de f.e.m,
E e resistência interna r, as três são relacionadas por:
E  IR  rI
(b) Então mostre que IE  I 2 R  I 2 r
(c) Se n for o número de portadores de carga eléctrica por unidade de volume, e a
carga eléctrica, v a velocidade de deslocamento, mostre que a densidade de
corrente
é:


j  nev
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3.
O quadrado de lado a acima contém uma carga negativa (Q) fixada no vértice
inferior esquerdo e cargas positivas pontuais  Q  nos outros três vértices do
quadrado. O ponto S situa-se no centro do quadrado.
(a) Represente no diagrama, o vector campo eléctrico resultante no ponto S.
(b) Deduza as expressões para cada uma das grandezas, em termos das grandezas
dadas e das constantes fundamentais.
(i) O módulo do campo eléctrico no ponto S.
(ii) O potencial eléctrico no ponto S.
4.
O circuito acima contém o capacitor de capacitância C, gerador de f.e.m E, dois
resistores de resistências R1 e R2 , e dois interruptores K1 e K2 . Inicialmente, o
capacitor está descarregado e os dois interruptores estão abertos. O interruptor K1 é
fechado no instante t  0 .
(a) Escreva a equação diferencial que pode ser resolvida para obter a carga no
capacitor como função do tempo t.
(b) Resolve a equação diferencial na parte (a) para determinar a carga no capacitor
como função do tempo t, se E  6 V , C  0,03 0 F , R1  R2  5000 
(c) Determine o tempo quando a voltagem no capacitor for de 2,0 V .
(d) Se depois de um longo período de tempo, o interruptor K2 é fechado para um
novo instante inicial t  0 , esboce gráficos da intensidade de corrente I1 em R1
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versus tempo, e a intensidade de corrente I2 em R2 versus tempo, começando
quando K2 é fechado no novo instante inicial t  0 .
5. Mostre que:
(a) O fluxo magnético,  , o campo magnético B e a área de secção transversal
através da qual o fluxo passa são relacionados por:
Ni A
L
(b) O campo magnético total B devido a um fio recto e fino percorrido por uma
corrente eléctrica de intensidade constante I, num ponto P a uma distância a a
partir do fio é
I
B o
2a
(c) Se dois condutores paralelos percorridos por correntes estacionárias I1 e I2
respectivamente e se a separação entre eles é a , mostre que a força, F1 sobre o
primeiro condutor por unidade de comprimento é,
II
F1  o 1 2
2a
  o
6.
Uma espira rectangular de dimensões 3l e 4l situa-se no plano da página como
ilustrado acima. Um fio longo e recto também no plano da página é percorrido por
uma corrente de intensidade I.
(a) Calcule o fluxo magnético através da espira rectangular em termos de I , l , e
quaisquer constantes relevantes.
(b) Começando com o tempo t  0 , a intensidade de corrente no fio longo e recto é
dada como função de tempo t por
I t   I o .e  kt , I o e k são constantes
Se a espira tem resistência R, calcule em termos de R, I o , l , k, e as constantes
fundamentais.
(i) A intensidade de corrente na espira como função de tempo t.
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(ii) A energia total dissipada na espira a partir de t  0 até t   .
7.
Uma nuvem esférica de carga, de raio R contém uma carga total +Q com uma
densidade volumétrica de carga não uniforme, que varia de acordo com a equação
 
r
  o .1   para r  R
 r     R 
0
para r  R

Onde r é a distância a partir do centro da nuvem. Expresse todas as respostas
algébricas em termos de Q, R, e das constantes fundamentais.
(a) Determine o seguinte como função de r para r > R.
(i) O módulo do campo eléctrico E.
(ii) O potencial eléctrico.
(b) Um protão é colocado no ponto P mostrado na figura acima e liberto. Descreva
o movimento para um tempo longo depois da sua libertação.
8.
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Uma espira metálica circular com raio 0,02 m e resistência 150 Ω é suspensa
horizontalmente num campo magnético de módulo B, direccionado para cima num
ângulo de 70º com a vertical como mostrado em cima. O valor do campo é dado
como função de tempo, em segundos, como:
B  8.1  0,1.t 
(a) Determine o fluxo magnético  m através da espira, como função de tempo
(b) Esboce o fluxo magnético  m como função do tempo.
(c) Determine o valor da f.e.m induzida na espira.
(d) Determine o valor da intensidade da corrente induzida na espira.
9. (a) Mostre que a capacitância dum capacitor esférico consistindo de uma
película condutora esférica de raio b e carga (-Q) que é concêntrica com uma
pequena esfera condutora de raio a e carga (+Q) é dado por:
Q
ab
C 
V k .b  a 
(c) Mostre que a capacitância entre dois cilindros coaxiais de raio a e b, e
comprimento L é dado por:
2 o L
C
b
ln 
a
Onde a e b são raios dos cilindros interior e exterior, respectivamente.
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10.
O circuito de espira múltipla mostrado acima contém três resistores, três baterias, e
um capacitor sob condições estacionárias, determine as intensidades de corrente
desconhecidas.
(a) Determine o valor da carga no capacitor.
(b) Calcule a ddp ao longo do resistor de 4Ω.
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XVI. REFERÊNCIAS
Lista de leituras Relevantes PARA TODAS AS ACTIVIDADES
Arthur F. Kip (1969). Fundamental of Electricity, International student edition,
McGraw-Hill International Book Company.
B.I Bleaney & B. Bleaney (1989). Electricity and Magnetism;3rd ed., Oxford
University Press, oxford
Dick, G and Edwards L; Gue D; Brown E and Callout R. (2000). Physics 12,
McGraw-Hill Ryerson, Toronto.
Duffin W.J. (1990). Electricity and Magnetism, 4th Edition, McGraw- Hill
Book Company, London..
Edward R McCliment (1984). Physics, Harcourt Brace Jovanovich, Publishers,
San Diogo.
Gerald Pollack & Daniel Stump (2002). Electromagnetism 1st ed. Addison Wesley
Grant I S; W. R. Philips (1990). Electromagnetism, Second edition, JohnWiley
and Sons, Chichester.
Kathryn Whyman (2003). Electricity and magnetism
Paul Peter Urone (2000). College Physics, Brooks/Cole Pub. Co.
Serway, (1986) Physics for Engineers, 3rd Ed. pp.690, Sounders college
\publisshers, London
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XVII. O AUTOR PRINCIPAL DO MÓDULO
Dr Sam Kinyera Obwoya nasceu aos 05 de Setembro de 1954 no distrito de Gulu em
Uganda. Ele é formador de professores na Universidade de Kyambogo, Uganda. E é
cientista dos materiais. Ele é docente Sénior e director do Centro de ensino à
distância aberto e virtual (ODeL). Ele publicou muitos artigos na ciência dos
materiais e ensino de Física. No presente momento é visitante no Instituto de
Ciências dos Materiais US/África (USAM), Universidade de Princeton, USA onde é
cientista visitante.
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Hiperligações Recomendados (em Português)
http://www.arauto.uminho.pt/pessoas/lanceros/EM-08-09/index.html
http://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_eletricidade
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