SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL: RECONSTRUÇÃO DE CONCEITOS
Sonia Maria dos Santos Melo1
Izolete Maria Aparecida Nieradka2
Kelly Roberta Mazzutti Lübeck2
RESUMO: O presente trabalho é o relato de uma investigação realizada em
uma experiência de formação continuada do Programa de Desenvolvimento
Educacional (PDE) ocorrida nos anos de 2008 e 2009. A pesquisa ocorreu
numa 5ª série do município de Brasilândia do Sul, no Paraná, turma escolhida
devido ao alto índice de alunos da região que chegam para a 5ª série com
defasagem nos conteúdos do sistema de numeração decimal e nas quatro
operações. O objetivo da pesquisa foi promover uma reconstrução desses
conceitos. Tal estudo traz um resgate histórico desses conteúdos, resgate
baseado na produção didática apresentada como parte do programa,
acreditando-se que as dificuldades que os alunos apresentam com as
operações e com outros procedimentos matemáticos se originam da falta de
compreensão de como se deve organizar e de como funciona nosso sistema
de numeração. Apresenta-se o uso do chamado material dourado como uma
possibilidade concreta de resgatar a aprendizagem, assim como o material
lúdico, que pode ser utilizado como recurso pedagógico na reconstrução do
conhecimento matemático.
Palavras-chave: Sistema de numeração decimal. Reconstrução de conceitos.
História da matemática. Quatro operações.
1
2
Professora da Rede Pública Estadual/Núcleo Regional de Educação de Assis Chateaubriand-PR.
Professora do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE).
Professora Orientadora do PDE e Docente do Curso de Matemática da Universidade Estadual do Oeste
do Paraná (UNIOESTE) / Campus de Foz do Iguaçu.
ABSTRACT: The present work is the report of an investigation accomplished in
an experience of continuous formation of the Programa de Desenvolvimento
Educacional (PDE), happened in the years of 2008 and 2009. The research
happened in a fifth-series of the municipal district of Brasilândia do Sul for the
high index of students that arrive for the fifth-series with discrepancy in the
subject of the system of decimal numbering and in the four operations, aiming
at a reconstruction of these concepts. This study shows a historical rescue of
this subject based on the didactic production presented as part of the program,
believed that the difficulties that this students with the operations and other
mathematical procedures originate from the lack understanding about how is
the organization and how works our numbering system . I present the use of the
gold material as a concrete possibility of rescuing the learning, as well as the
games can be used as pedagogic resource in the reconstruction of the
mathematical knowledge.
Keywords: System of decimal numbering. Reconstruction of concepts. History
of the mathematics. Four operations.
INTRODUÇÃO
A matemática está presente no noticiário econômico do jornal e da TV,
na música, na pintura, nas receitas culinárias e na natureza. De uma forma
geral, a matemática está em nosso cotidiano e tem sido usada para a
interpretação do mundo em seus diversos contextos.
A matemática desenvolve o raciocínio lógico dos alunos, estando o
respectivo conhecimento articulado com a formação do educando enquanto
cidadão.
Se for verdade que a matemática permeia as atividades humanas, o que
há de errado em seu ensino? De onde surgem tantas dificuldades na disciplina
de matemática?
A crise advém, segundo alguns professores, de uma falha na
aprendizagem inicial dos alunos e que vai crescendo à medida que a vida
escolar deles se desenvolve, com a ocorrência de seguidas situações de
desmotivação perante as dificuldades crescentes. Para alguns dos professores,
são os alunos que não querem saber de nada, dentro do contexto de que eles
não frequentam a escola livremente, mas obrigados a isso. Do ponto de vista
desta pesquisa, trata-se de um ensino fora da realidade, desinteressante , onde
cálculos e mais cálculos são realizados sem se saber o porquê, pois não se
cria, nas salas de aula de matemática, uma situação clara e concreta que
justifique, esses muitos cálculos, o que ocasiona essa apatia. Conforme Lerner
(1995):
[...] é necessário fazer um esforço para que as crianças
descubram desde o princípio que a utilidade da matemática
ultrapassa os muros da escola. As crianças têm múltiplas
experiências relacionadas com o conhecimento matemático e
estas experiências tinham que constituir-se em objetivo de
análise no marco escolar. (LERNER, 1995, p. 7).
A matemática tem sido vista, por pais e alunos, como algo abstrato, algo
que
se
aprende
pela
repetição
de
mecanismos
muitas vezes
não
compreendidos. Os alunos, quando colocados diante de uma situaçãoproblema, conseguem encontrar soluções e, muitas vezes, percorrendo
caminhos diferentes uns dos outros, construindo assim seus próprios
conhecimentos. Dessa forma, não podemos achar que o aprendizado só se
efetiva com a aquisição de mecanismos e de regras muitas vezes arbitrárias e
até incompreensíveis para a resolução de situações-problema.
As dificuldades são percebidas no momento de demonstrar esses
resultados através das operações e daí se percebe a necessidade da
reconstrução dos conceitos que não foram ainda assimilados pelos alunos
antes de chegarem à 5ª série, principalmente em situações que envolvem
regras do valor posicional do número, dificuldades essas que foram se
acumulando e que o professor precisa sanar, uma vez que os alunos já
possuem até mais maturidade para a compreensão dos conceitos.
Temos recebido alunos na 5ª série com alguns déficits de aprendizagem
principalmente nas questões que envolvem o sistema de numeração decimal
(SND) e as quatro operações, levando-nos a refletir e a utilizar metodologias
que venham a preencher essa lacuna no processo de ensino-aprendizagem
desses educandos.
A
experiência
de
magistério
aguça
nossa
percepção
docente,
fornecendo subsídios para melhorar nossa prática pedagógica, evitando, desta
forma, apresentar, aos alunos, a matemática de uma forma que traga
conseqüências
negativas
que,
sejam
elas
cognitivas
ou
afetivas,
acompanharão os alunos para sempre.
Assim sendo, precisamos considerar os pré-requisitos cognitivos
matemáticos referentes ao assunto a ser aprendido pelo aluno, não
esquecendo as diferenças individuais.
Como
nos aponta
o
documento
oficial denominado
“Diretrizes
Curriculares do Estado do Paraná”, no processo pedagógico é importante que
o professor possibilite ao aluno o entendimento de que as sociedades nem
sempre adotam o mesmo sistema de numeração, como também houve
mudanças significativas nas técnicas de cálculo e que estas foram elaboradas,
ao longo das eras históricas, de acordo com as necessidades da humanidade
(SEED, 2006).
Os professores apontam que os alunos não compreendem o sistema de
numeração decimal e por isso não realizam com domínio as quatro operações.
Embora se reconheça que esses conhecimentos devam ser dominados até o
final do Ensino Fundamental, entende-se que, já na 5ª série, os alunos
deveriam ter construído, em sua vida escolar, conhecimentos básicos nesse
campo e úteis para toda a sua vida.
Assim, questiona-se: – Onde residem os problemas e as dificuldades em
efetuar as operações: na interpretação, na memorização, nos conceitos do
sistema de numeração decimal? – Que conhecimentos os alunos trazem a
respeito de situações-problema envolvendo as quatro operações?
Segundo Lerner (1995, p. 189), “È necessário criar condições que
permitam às crianças apropriar-se dos princípios que regem nosso sistema de
numeração e compreender que os procedimentos utilizados para resolver as
operações estão inseridos no contexto deste sistema”. É imprescindível – para
alcançar este objetivo – tomar como ponto de partida a natureza do sistema
posicional, assim como as idéias que as crianças têm construído a respeito
dele através de sua interação cotidiana com os números e com sua notação.
A reconstrução dos conceitos das quatro operações faz-se necessária
privilegiando a compreensão e evidenciando o significado, pois, quando o
aluno faz as descobertas, surge o gosto pela aprendizagem e, na matemática,
é preciso fazer com que os alunos gostem dela, desfazendo-se de um ensino
com predomínio de aprendizagem de técnicas algorítmicas, recaindo numa
aprendizagem em que os alunos recorram à memorização, trazendo graves
conseqüências de defasagem de raciocínio.
As Diretrizes Curriculares de Matemática do Paraná (DCEs) enfatizam a
necessidade de se tornar o ensino de matemática mais dinâmico,
contextualizado, interdisciplinar, fazendo a transposição do objeto matemático
construído historicamente para a prática docente, possibilitando ao estudante
não só conhecer esse objeto, mas dele se utilizar apropriadamente.
Dessa forma, a utilização da história da matemática nas aulas a torna
mais compreensível, pois mostra que a matemática surgiu aos poucos e que
seus detalhes se deram por necessidades do homem, respondendo a vários
questionamentos dos alunos, inclusive aqueles que se referem ao surgimento
do zero.
Os alunos gostam de histórias, e a história da matemática, quando
contada para os alunos, torna a aula mais significativa, pois responde a várias
indagações.
Sabemos que, na maioria das vezes, os professores não se utilizam
dessa metodologia, pois não tiveram o respectivo preparo em seus cursos de
formação docente. Devem, porem, assumir uma postura profissional e buscar
aquilo que foi falho em sua formação, pois essa complementação de
conhecimento poderá influir no modo de seus alunos verem o mundo em que
viverão.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Embora não exista unidade nos diversos países, segundo Machado
(1991), sobre o significado e sobre as funções da disciplina de matemática no
currículo da escola básica, uma eliminação da obrigatoriedade dessa disciplina,
ao que parece, nunca foi sequer pensada em parte alguma. Há uma confiança
tão generalizada na importância da matemática na formação geral dos
indivíduos que, mesmo sem uma clara consciência a respeito, seu ensino
jamais foi contestado.
A criança, na escola, tem um determinado objetivo, que é o de aprender
determinados conhecimentos e, para tanto, dominar instrumentos específicos
que lhe possibilitem essa aprendizagem. E, para que ocorra essa aquisição de
conhecimentos, é necessário que haja o indivíduo que ensina, o indivíduo que
aprende e
que transmite
o
conhecimento,
sendo que as múltiplas
possibilidades de interação entre os que ensinam e as crianças serão sempre
mediadas pelas normas institucionais, o que dá especificidade à ação
pedagógica.
Em seu papel formativo, a matemática contribui para o desenvolvimento
de processos de pensamento e para a aquisição de linguagens e de atitudes
cuja utilidade ultrapassam o âmbito da própria matemática, podendo formar no
aluno a capacidade de resolver problemas de vida e de elaborar
representações da realidade, gerando, para o resto da vida, hábitos de
investigação metódica. A aquisição de tais processos de pensamento e de
procedimento habitual na vida favorece a confiança e o desprendimento para
analisar e para enfrentar situações novas, propiciando a formação de uma
visão ampla e cientifica da realidade, a percepção da beleza e da harmonia,
além do desenvolvimento da criatividade e de outras capacidades pessoais.
No que diz respeito ao caráter instrumental, a matemática deve ser vista
pelo aluno como um conjunto de técnicas e de estratégias para serem
aplicadas a outras áreas do conhecimento quanto para a atividade profissional.
Em razão disso, são as relações que se estabelecem entre professormatemática-alunos em seu contexto social que fundamentam uma educação
matemática no contexto escolar.
No decorrer da história , vemos que a matemática sempre foi ensinada
sem levar em consideração quem pretendia aprender: os alunos. Nunca houve
uma preocupação em conhecer os alunos, se estavam entendendo o
conhecimento matemático que lhes era transmitido e quais seriam suas
necessidades, sendo todos tratados igualmente, sem observar as diferenças no
momento avaliativo.
Segundo Bicudo (2005):
Assim os conteúdos matemáticos eram expostos e, se não
ficavam logo claros para os alunos, era-lhes sugerido, e por
vezes atribuído, o estigma de incapazes para a Matemática,
sem que fosse tentado situar as origens dessas dificuldades.
(p.14).
Afirma a autora que, ao adotar certa prática pedagógica, o professor de
matemática assume, ainda que não lhe seja clara, uma concepção psicológica,
uma posição acerca do que é o homem, encarando o aluno como um produtor
ou, contrariamente, como um mero consumidor do conhecimento.
Para que haja um diálogo científico sobre a matemática, visando à
compreensão, é preciso uma atitude quanto ao ouvir e ao falar, atitude na qual
é tão importante o que pensa ou fala o aluno quanto o que pensa ou fala o
professor. É preciso que o aluno também expresse sua palavra. Isso só é
possível se ambas as partes estiverem disponíveis ao diálogo. Isso só é
possível se o aluno quiser compreender e se o professor possuir um
conhecimento do que ensina e deseja que o aluno compreenda.
Isto só acontecerá se houver a participação do aluno em nossas salas
de aula, através do diálogo, pois geralmente aquilo que o aluno está
entendendo, do que lhe está sendo ensinado, não é aquilo que o professor
espera que estivesse entendendo.
A matemática é importante para quem aprende, por reconhecermos seu
valor na utilização da resolução de problemas da natureza, por estar
entranhada na sociedade tecnológica em que vivemos, por necessitarmos dela
para decodificar, inclusive, a nossa realidade social.
A educação matemática, enquanto ato político, diz respeito a uma
postura adotada pelos que pensam e ou pelos fazem o ensino da matemática,
quanto a uma postura política dos adultos e das crianças na sociedade em que
vivem, pois, numa sociedade desejada como ideal, todos deveriam ter acesso
suficiente a esse conhecimento para poderem garantir sua participação cidadã
plena. Sem dúvida, essa postura já se mostra logo a partir da atuação do
professor na sala de aula, em seu relacionamento com o aluno, em sua forma
de ensino.
As Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná nos apontam que os
conteúdos específicos do Ensino Fundamental estão permeados pelos
chamados conjuntos numéricos, que podem ser abordados por meio de noções
preliminares de classificação e de seriação, que permitem ao aluno estabelecer
relações entre agrupamentos, perceber a inclusão de classes, compreenderem
as bases das contagens, a sucessão de números, a conservação de
quantidade e, ao mesmo tempo, que o aluno possa registrar esse saber por
meio da linguagem matemática.
Segundo Lerner (1995, p. 189):
É necessário criar condições que permitam às crianças
apropriar-se dos princípios que regem nosso sistema de
numeração e compreender que os procedimentos utilizados
para resolver as operações estão inseridos no contexto deste
sistema. É imprescindível – para alcançar este objetivo – tomar
como ponto de partida a natureza do sistema posicional, assim
como as idéias que as crianças têm construído a respeito dele
através de sua interação cotidiana com os números e com sua
notação. (LERNER, 1995, p. 189).
O trabalho com as operações da adição, da subtração, da multiplicação
e da divisão devem dar-se, principalmente, por meio de situações-problema e o
professor fazer correlações com o cotidiano dos alunos, como também
estimular os cálculos por estimativas. Ressalta-se, ainda, a importância de
compreender as várias idéias envolvidas numa mesma operação e as relações
existentes entre as operações.
METODOLOGIA DO PROGRAMA
O Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) é uma parte do
programa de formação continuada em Educação, ofertado pela Secretaria de
Estado da Educação do Paraná, com o apoio da Secretaria de Estado da
Ciência, Tecnologia e Ensino Superior, estabelecendo, dessa forma, o diálogo
entre os professores da Educação Superior e os da Educação Básica, através
de atividades teórico-práticas orientadas.
Seu objetivo é proporcionar aos professores da rede pública estadual
subsídios
teórico-metodológicos
para
o
desenvolvimento
de
ações
educacionais sistematizadas. O resultado esperado é a produção de
conhecimento e de mudanças qualitativas na prática escolar da escola pública
paranaense.
Esse programa de formação continuada, através de um processo de
construção coletiva, proporciona ao professor do PDE uma articulação com os
professores da rede pública, sendo uma dessas formas o Grupo de Trabalho
em Rede (GTR), uma atividade desenvolvida num ambiente virtual, o
MOODLE, possibilitando aos professores das diferentes regiões do Estado do
Paraná a oportunidade de interagir com colegas, desenvolvendo no professor o
prazer da troca de experiências e também da cooperação, criando uma rede de
relações aberta para, juntos, repensarmos nossas práticas didáticas e
alcançarmos nossos objetivos, que é a apropriação dos conhecimentos de
nossos alunos.
O trabalho foi desenvolvido através de unidades, onde a autora pôde
apresentar seu projeto de pesquisa e demais atividades do Programa, dando
oportunidade,
aos
integrantes
do
grupo,
para
a
socialização
dos
conhecimentos produzidos.
Como parte das atividades do PDE, os professores integrantes
desenvolvem uma produção didático-pedagógica pertinente ao objeto de
estudo durante a realização da pesquisa e que venha a contribuir na
construção e na ressignificação do conhecimento.
Como o presente projeto de pesquisa teve como tema “Sistema de
Numeração Decimal e as quatro operações: reconstrução de conceitos”, fez-se
a opção de elaborar uma unidade temática dirigida aos professores e aos
alunos do curso de magistério com um aprofundamento teórico sobre
numeração e sobre o sistema de numeração, trazendo para o professor, a
importância do conhecimento produzido pela humanidade a nós relatado na
história da matemática, e seu desenvolvimento nos diversos contextos
históricos. Trata-se de um material que visa auxiliar o professor em sua tarefa
de fazer com que o aluno compreenda que o sistema de numeração hoje
utilizado não surgiu por acaso, mas que foi construído ao longo dos tempos e
de acordo com a necessidade da humanidade.
Segundo Lorenzato (2008):
Outro modo de melhorar as aulas de matemática, tornando-as
mais compreensíveis aos alunos, é utilizar a própria história da
matemática; esta mostra que a matemática surgiu aos poucos,
com aproximações, ensaios e erros, não de forma
adivinhatória, nem completa ou inteira. (LORENZATO, 2008, p.
107).
As Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica nos
apontam a necessidade de discutir a história da matemática como campo de
estudo que contempla as várias dimensões da matemática. Por meio dessa
história, pode-se compreender a ciência matemática desde suas origens e
como a disciplina de matemática tem se configurado no currículo escolar
brasileiro. A história da matemática revela que foram os povos das antigas
civilizações que conseguiram desenvolver os rudimentos de conhecimentos
matemáticos que vieram a compor a matemática que se conhece hoje.
As diretrizes ainda nos apontam que um dos objetivos da disciplina
matemática é transpor, para a prática docente, o objeto matemático construído
historicamente e possibilitar ao estudante que ele venha a ser um conhecedor
desse objeto.
Sistema de numeração é o conjunto de regras utilizado para escrever
números. Antigas civilizações possuíam formas bastante organizadas para
registras os números e conhecer essas formas se torna imprescindível para a
compreensão do nosso próprio sistema de numeração e suas propriedades.
Apesar de lidarmos com o sistema de numeração decimal em nosso dia
a dia, sabemos que é um sistema muito complexo, onde existem regras que
devem ser obedecidas. Muitas das dificuldades que os alunos das séries
iniciais apresentam, principalmente com as quatro operações básicas, devemse à falta de compreensão desse sistema e faz-se necessária a compreensão
das mesmas regras pelos professores para que possam ajudar os alunos em
suas dificuldades.
Acreditamos ser valioso, na construção do conhecimento, ensinar
matemática
conhecendo
melhor
seu
desenvolvimento
histórico,
compreendendo a matemática produzida por homens e por mulheres ao longo
da humanidade, na busca de soluções para problemas do cotidiano. Assim,
pode-se fazer com que os alunos a reconheçam como parte integrante de
nossas raízes culturais e também como sendo uma ciência em contínuo
progresso e possível de ser praticada pelos indivíduos.
A história nos traz o relato de inúmeras línguas escritas, antigas ou
modernas, que trazem as marcas das limitações primitivas e, com o passar do
tempo, o homem começou a fazer uso de estratégias para conseguir maior
exatidão quantitativa.
É necessário passar aos alunos como se deu a evolução do sistema de
numeração decimal e a comparação entre os vários sistemas de numeração
para que aprendam a respeitar os valores e a produção de outras culturas.
UMA ABORDAGEM HISTÓRICA SOBRE O NÚMERO
Houve um tempo em que o homem não sabia contar. Para fazer as
representações numéricas ele se utilizava de artifícios numéricos como
entalhes no osso, nós em corda, marcas em madeira, lascas de pedra,
pedrinhas, gravetos e várias formas de registrar.
O homem antigo só estabelecia diferença entre a unidade, o par e
muitos. O um e o dois foram os primeiros conceitos numéricos concebidos pelo
homem.
Estudos do comportamento humano nos mostram que, nos estágios de
desenvolvimento de uma criança, ela passa por etapas semelhantes a que
passou a humanidade, pois inicialmente ela só pode perceber apenas o um, o
dois e o muitos.
A contagem é um atributo exclusivo do ser humano, que, além da
capacidade de contar, também possui senso numérico, mas, quando nos
deparamos com uma quantia maior do que quatro objetos, dificilmente
conseguimos perceber essa quantidade num só golpe de vista, porque não
temos, em nossa visão global, a capacidade de identificar números superiores
a quatro ou cinco, havendo então a necessidade de fazer a contagem.
Muitos animais conseguem perceber a ausência de seus filhotes quando
pequena quantidade desaparece e esta percepção de diferenças entre
pequenas quantidades chama-se senso numérico.
Pesquisas comprovam que alguns pássaros também têm senso
numérico, como é o caso do corvo, que demonstra a percepção de até quatro
objetos. Conta-se uma história em que um corvo construiu seu ninho na torre
da residência de um agricultor. Incomodado com aquela situação, o agricultor
decide matá-lo. O corvo, percebendo a presença de alguém, saía da torre.
Então o agricultor usou da seguinte estratégia: duas pessoas entraram na
residência e uma saiu, ficando a outra lá dentro e, mesmo assim, o corvo não
retornou, pois percebeu que havia uma pessoa lá dentro.
O procedimento foi repetido com três pessoas, ficando uma e saindo
duas, depois com quatro, ficando uma e saindo três e o corvo não retornava,
pois percebia que havia uma lá dentro. Quando entraram cinco pessoas e
saíram quatro, então o corvo retornou ao seu ninho e foi morto pelo agricultor.
Assim, o corvo morreu por causa de sua percepção de contar só até quatro .O
povo primitivo, para representar quantidades, utilizava-se de traços verticais,
círculos, pontos e de outros sinais.
Quando houve a influência dos cinco dedos da mão, os agrupamentos
passaram a ser de cinco em cinco. O um era representado por um traço
vertical, dois para os dois, três para os três, quatro para o quatro, e, enfim,
quatro verticais e um horizontal (cortando-os) para indicar cinco unidades,
verificando-se, aí, que a ideia de percepção do homem não vai além do número
quatro.
Para o dez, usavam dois grupos de representação utilizada para o cinco.
A correspondência biunívoca já era empregada pelos povos primitivos quando,
no pastoreio, havia a correspondência uma a uma das pedrinhas para cada
ovelha.
A partir da distinção entre o número cardinal e o número ordinal, o
homem fez a abstração dos números, e as contas, as conchas e as pedrinhas
passam a serem símbolos numéricos, mas, para representar números maiores,
não era possível multiplicar indefinidamente pedras, nós nas cordas, etc.,
chegando-se à conclusão de que era mais fácil contar um grande número de
objetos agrupando-os.
Como temos dez dedos nas mãos, foi natural que as contagens fossem
feitas em grupos de dez, dando origem à contagem de base dez.
Diferentemente dos pastores primitivos, os pastores da África Ocidental
contavam o rebanho utilizando-se de conchas e de três fios de lã nas cores
branca, azul e vermelha, e faziam o seguinte procedimento: colocavam uma
concha num fio de lã branca, uma concha para cada animal, até o décimo
animal do rebanho. Quando completava dez animais, o colar de conchas era
esvaziado e se colocava uma concha num fio de lã azul.
Dava-se, então, a idéia de dezena. Novamente colocavam no colar de lã
branca uma concha para cada animal até completar o vigésimo animal. Então o
colar era esvaziado e colocavam a segunda concha no fio de lã azul, repetindo
o procedimento até completar dez conchas no fio de lã azul, E então o colar era
esvaziado e colocavam uma concha no fio de lã vermelha, dando assim a idéia
de centena.
A idéia de raciocinar destes pastores está na utilização de agrupamentos
por dezenas e por centenas, técnica hoje chamada de emprego da base dez,
pois cada concha no fio de lã branca representava uma unidade, cada concha
colocada no fio de lã azul representava dez unidades, cada concha colocada
no fio de lã vermelha representava cem unidades, o que equivale a dez
dezenas, ou a uma centena.
Atualmente, utilizamos o sistema de numeração indo-arábico de base
dez, que surgiu na Índia por volta do século V.
O Sistema de Numeração Indo-Arábico
A denominação indo-arábico para esse sistema de numeração deve-se
ao fato de que os símbolos e as regras que regem esse sistema terem sido
inventados pelos antigos hindus, habitantes do vale do rio Indo, e de ter sido
um sistema aperfeiçoado e divulgado pelos árabes aos europeus, por ser um
sistema prático, pois facilitava os cálculos.
Mohammed Ibn Mussa AL-Khowarizmi, matemático, astrônomo e
geógrafo árabe do século IX (viveu de 780 a 850, aproximadamente), foi um
dos responsáveis pela divulgação do sistema de numeração indo-arábico na
Europa.
Autor do primeiro livro árabe conhecido com explicações detalhadas dos
cálculos hindus, ganhou tanta reputação nos países da Europa ocidental que
seu nome passou a ser sinônimo do sistema de numeração inventado pelos
hindus. Assim, a palavra algarismo, que denomina os símbolos desse sistema
de numeração, origina-se de AL-khowarizmi.
Os símbolos empregados por esse sistema são 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e
0. Os nove primeiros símbolos representam as unidades e o último, a idéia de
ausência, de vazio.
O zero foi o último algarismo a ser inventado, trazendo grandes
revoluções para os povos, porque ajudou na facilitação de representação de
números e de expressão de quantidades.
Seu símbolo foi criado pelos hindus no século VI e era, inicialmente,
representado por um ponto ou um pequeno círculo.
O sistema de numeração indo-arábico não tinha os símbolos iguais aos
que temos hoje e passou por várias modificações pelo fato de que os copistas,
ao transcreverem um texto de um lugar para o outro, cometiam muitos erros e,
devido a esses erros cometidos, utilizavam uma escrita por extenso. Com o
passar do tempo, esses símbolos foram sendo uniformemente utilizados e
chegou-se ao sistema de numeração que utilizamos hoje.
O
sistema
de
numeração
indo-arábico
possui
as
seguintes
características: possui dez símbolos chamados de dígitos ou de algarismos;
são agrupados de dez em dez para facilitar a contagem, por isso dizemos que
o nosso sistema de numeração é decimal; a posição de cada algarismo define
seu valor, que é conhecido por valor posicional; todo algarismo tem valor
posicional dez vezes maior do que teria se estivesse ocupando uma posição
imediatamente à direita.
Historiadores nos dizem que algumas civilizações tiveram sistemas de
numeração fundados em outras bases, como é o caso do sistema sexagesimal
dos babilônios, da base vintesimal dos ioruba (da Nigéria), de alguns povos da
África Central e outros, da contagem duodecimal dos sumérios. Relatam ainda
que, desses povos, ainda restam em nossos dias vestígios de seus sistemas
de numeração, como comprar ovos e algumas frutas por dúzia, e como na
contagem do tempo, onde a hora tem 60 minutos e o minuto tem 60 segundos.
Em todas as bases, suas descobertas tiveram grande importância na
história das civilizações, favorecendo inúmeras criações, invenções e
revoluções em diversos campos.
A humanidade passou por diferentes experiências na tentativa de
representar e de manipular os números antes de chegar aos algarismos
arábicos.
Algumas civilizações utilizaram-se do sistema de numeração nãoposicional, não importando a posição dos símbolos para representar um
número, como é o caso da civilização egípcia.
O Sistema de Numeração Egípcio
O sistema de numeração usado no Egito Antigo foi um dos primeiros
sistemas de numeração de que a história tem registro.
Para representar os números, os egípcios usavam sete símbolos, os
quais lembravam objetos e criaram o seu sistema baseado em agrupamentos.
No sistema egípcio, as marcas só podem ser repetidas até nove vezes e então
dez marcas são trocadas por outra de agrupamento superior.
Era um sistema aditivo e dispunha de símbolos só para representar as
potências de 10. Para saber o valor do número escrito era preciso somar o
valor dos símbolos utilizados.
A quantidade de símbolos de um número não informava a respeito do
seu valor, pois para representar 9.999 utilizam-se 36 símbolos, enquanto que
10.000 representam-se com um símbolo só.
Cada símbolo representava sempre o mesmo valor, independentemente
da posição que ocupasse, sem importar a ordem em que os símbolos eram
escritos, daí ser um sistema não posicional.
A numeração egípcia não possuía um símbolo para o zero e é um
sistema de numeração com base dez, pois as trocas são efetuadas a cada
grupo de dez símbolos.
O Sistema de Numeração Romano
Por volta dos séculos IX-VIII a.C., os romanos desenvolveram seus
sistemas de numeração bem mais evoluídos, mas ainda complicados quando
se pretendia operar com tais representações.
Os romanos estabeleceram um sistema de numeração com sete
símbolos, os quais lembram letras do alfabeto latino.
São eles:
I
V
X
L
C
D
M
A representação do sistema de numeração estava relacionada a
princípios que adicionavam ou subtraiam, conforme a posição que os símbolos
ocupassem.
Por exemplo: V I = 5 + 1 = 6 ou I V = 5 - 1 = 4
Efetuar cálculos era muito difícil e só alguns estudiosos dominavam as
complexas técnicas de cálculo.
Durante centena de anos, os europeus e uma grande parte do mundo
conhecido fora da Europa usaram o sistema romano de numeração.
No sistema de numeração romano o I pode ser subtraído apenas de V e
de X; X pode ser subtraído apenas de L e de C; C pode ser subtraído apenas
de D e de M; os símbolos V, L e D nunca podem ser subtraídos de outros
símbolos.
O Sistema de Numeração Maia
Os maias já viviam na América muito antes de ser descoberta por
Cristóvão Colombo. Por volta do ano 500 de nossa era, eles usavam um
sistema de numeração de base 20, fazendo os agrupamentos de 20 em 20. Os
números eram representados por uma combinação de pontos e traços.
As unidades de primeira ordem (números até 19) são representadas por
símbolos bem simples: pontos e traços assim representados: de um a quatro
pontos para as quatro primeiras unidades; traço horizontal para o 5; um, dois,
três e quatro pontos acima do traço para os números de 6 a 9; dois traços para
o dez e assim sucessivamente.
Para números superiores a 20, os símbolos são escritos em forma
vertical, com uma fileira para cada ordem de unidades.
Para números compostos de duas ordens, coloca-se o algarismo das
unidades simples na parte de baixo e os algarismos das vintenas na parte de
cima.
Assim, o número 25 = 1. 20 + 5 é escrito do seguinte modo:
Desta forma evidencia-se o princípio multiplicativo e também dizemos
que o sistema maia é posicional, uma vez que o lugar ocupado pelos
algarismos determina seu valor.
O sistema de numeração maia é aditivo, pois é necessário somar para
saber o valor do número e também possuíam um símbolo para o zero.
O Sistema de Numeração Decimal
Muitas das civilizações antigas criaram seus próprios sistemas de
numeração e, ao longo da história da humanidade, o homem organizou e
sistematizou a escrita até formar o que nós chamamos, hoje, de sistema de
numeração.
O sistema de numeração é um conjunto de regras utilizado para
escrever os números. Dependendo da forma como são feitos os agrupamentos,
os sistemas poderão ter bases diferentes. Por base de um sistema de
numeração entende-se que seja a quantidade escolhida no processo de
agrupar e de reagrupar os elementos de um conjunto.
A base 10 é a base de nosso sistema de numeração decimal, porque
nós agrupamos de dez em dez os elementos a serem contados.
Portanto:
10 unidades formam uma dezena
10 dezenas formam uma centena
10 centenas formam uma unidade de milhar
10 unidades de milhar formam uma dezena de milhar
10 dezenas de milhar formam uma centena de milhar
10 centenas de milhar formam uma unidade de milhão, e assim por
diante.
O nosso sistema de numeração decimal é posicional, pois um mesmo
símbolo representa valores diferentes, dependendo da posição que ocupa.
Cada posição, contada da direita para a esquerda, recebe o nome de
ordem:
1ª posição: ordem das unidades
2ª posição: ordem das dezenas
3ª posição: ordem das centenas
4ª posição: ordem das unidades de milhar
5ª posição: ordem das dezenas de milhar
6ª posição: ordem das centenas de milhar
7ª posição: ordem das unidades de milhão
E assim por diante
Por exemplo, tome-se o número: 688. O numeral 8 tem valor posicional
8 na primeira posição e valor posicional 80 na segunda posição.
Possui um símbolo (0, zero) para representar uma posição vazia no
número, que pode ser a ausência de unidades, de dezenas, de centenas, etc.
O nosso sistema é multiplicativo, pois cada algarismo representa o
produto dele mesmo pelo valor da posição que ocupa.
Por exemplo: 684 = 6 x 100 + 8 x 10 + 4 x 1
É também aditivo, pois 684 = 600 + 80 + 4
Nosso sistema de numeração, diferentemente dos demais, evoluiu e
hoje tem a grande vantagem de ser um sistema econômico, pois, com somente
dez símbolos (os algarismos), é possível registrar todos os números, já que
cada símbolo assume valor diferente de acordo com sua posição na escrita do
número.
IMPLEMENTAÇÃO DO PROJETO NA ESCOLA
A implementação pedagógica da presente pesquisa foi realizada no
Colégio Estadual “Rui Barbosa” - Ensino Fundamental e Médio, do município
de Brasilândia do Sul, no Paraná. As intervenções ocorreram numa 5ª série no
início de março.
O primeiro momento aconteceu com aplicação de questionário
investigativo, a fim de verificar a relação que os alunos que chegaram à 5ª
série têm com a matemática, a fim de identificar a causa das dificuldades, a fim
de avaliar a importância que atribuem à disciplina e a fim de analisar como eles
acreditam que a matemática possa ser aplicada em outras disciplinas e em
situações do cotidiano.
QUESTIONÁRIO PARA A 5ª SÉRIE.
1- Você gosta de estudar matemática? Sim ou Não? Por quê?
2- Que matéria você mais gosta de estudar?
3- Você acha que é importante estudar matemática? Por quê?
4- Como eram suas aulas de matemática?
5- Como é aprender matemática?
6- A matemática que se aprende na sala de aula ajuda a resolver algum
problema fora da escola? Se ajuda, diga como?
7- O que você acha mais difícil aprender em matemática?
8- Você erra muito em matemática? Por quê?
9- Você tem medo da matemática? Por quê?
10- Você já recebeu algum castigo na escola ou passou por alguma situação
que a/o deixou com vergonha em sala de aula?
11- O que é necessário para aprender matemática?
12- Já reprovou alguma série? Qual? Por quê?
13- O que você aprende na aula de matemática a/o ajuda em outra
disciplina?
14- Você estuda matemática sozinha/o ou com alguém auxiliando?
15- Quanto tempo você estuda em casa semanalmente?
Os alunos responderam as questões com muita sinceridade e liberdade
de expressão.
Foram questionados 22 alunos. Destes, 3 estavam cursando a 5ª série
pela segunda vez.
No questionamento sobre o gosto pela matemática, 90% deles
afirmaram gostar da matemática e 50% a escolheram como a disciplina de que
mais estão gostando na 5ª série.
Dos que consideraram a matemática importante, consideram-na
importante para descobrir idade, para fazer compras, para digitar senhas no
banco, para passar de ano e, também, para utilização no futuro.
Disseram também que gostaram da matemática que estudaram de 1ª à
4ª série.
Quanto à utilidade prática da matemática, a maioria concordou e deu
exemplos de que a matemática que se estuda na escola ajuda a resolver
problemas fora da escola, comparando uma pessoa que não aprende
matemática a alguém que não sabe ler nem escrever.
Foi possível concluir que a maioria dos alunos questionados considera
que a matemática aprendida na escola é utilizada no cotidiano e que os auxilia
em outra disciplina. Mesmo sem saber explicar, a maioria acha importante
aprender matemática.
No segundo momento aplicou-se um teste de resolução de questões
matemáticas, sendo entregues aos alunos dez situações-problema e seis
operações, com o objetivo de identificar a compreensão dos alunos com o
sistema de numeração decimal e, também, com as operações básicas.
Eis as questões:
1- Qual é o maior número que você pode escrever com os algarismos 5, 8, 9, 1
e 7 sem repeti-los?
[6 acertos]
2- Qual é o valor do algarismo 4 nos números abaixo? 8 acertos
a) No número 2.341 o 4 vale ________________________________________
b) No número 84.036 o 4 vale_______________________________________
c) No número 7.433.182 o 4 vale____________________________________
d) No número 14.325.087 o 4 vale___________________________________
3- No número 10.060, o algarismo 6 ocupa a ordem da __________________
[10 acertos]
4- Um carro custa quarenta e cinco mil, seiscentos e trinta reais. Usando
algarismos, escreva o número que representa o valor desse carro. [14 acertos]
5- Uma escola recebeu a doação de 4 caixas de 1000 livros, mais 6 caixas de
100 livros, mais 5 pacotes de 10 livros, mais 9 livros. Quantos livros recebeu a
escola? [6 acertos]
6- Numa fazenda havia 746 bois. Na feira do gado, o fazendeiro vendeu 195 de
seus bois e comprou 276. Quantos bois há agora na fazenda? [7 acertos]
7- Numa sala foram distribuídas 125 balas entre 25 crianças. Quantas balas
recebeu cada criança? [7 acertos]
8- Numa gincana, as equipes deveriam recolher latinhas de alumínio. Uma
equipe recolheu 5 sacos de 100 latinhas cada e outra equipe recolheu 3 sacos
de 50 latinhas cada. Quantas latinhas foram recolhidas ao todo? [7 acertos]
9- Imagine que você está num jogo de casas numeradas, desenhadas no chão.
Se você está na casa de número 1 010 e precisa ir para casa que vale uma
unidade a menos, em qual número de casa você ficará? [3 acertos]
10- Para enfeitar um salão foi comprada 1 centena e meia de flores que serão
colocadas em 25 vasos, de modo igual. Quantas flores foram colocadas em
cada vaso?
[2 acertos.]
Resolva os cálculos abaixo:
a) 1 250 + 620 + 75 =
[12 acertos]
b) 1 654 - 798 =
[8 acertos]
c) 427 x 7 =
[3 acertos]
d) 294 x 15 =
[2 acertos]
e) 368 ÷ 8 =
[5 acertos]
f) 2 726 ÷ 26 =
[l acerto].
A quantidade de acertos dos alunos permitiu fazer um diagnóstico a
respeito da compreensão do sistema de numeração decimal e a respeito do
conhecimento que possuem com as técnicas algorítmicas.
A quantidade de acertos e de erros permitiu também verificar as
dificuldades com a interpretação de situações-problema e com o significado
das operações para a resolução desses problemas. Ficou percebida a
necessidade que temos (os professores) de proporcionar às crianças situações
de aprendizagem que venham a contribuir para a apropriação dos
conhecimentos, recorrendo a vários tipos de atividades, principalmente com
materiais manipuláveis, conforme o provérbio chinês, que diz que, “se escuto,
esqueço; se vejo, lembro; mas se faço, aprendo”. Aprender fazendo (em vez de
apenas ouvir e ver), portanto, evita a mera memorização de técnicas
algorítmicas, técnicas memorizadas muitas vezes, mas sem a devida
compreensão.
No terceiro momento foi-lhes apresentada a história do surgimento dos
números, mediante a utilização do material didático produzido, atém de outros
materiais.
Pôde-se, então, perceber um interesse muito grande e verificar,
em alguns alunos, “um novo olhar” para a matemática, pois
consideravam que a matemática não tinha uma história tão antiga e
envolvendo tantas civilizações
Apesar de ser muito difícil relacionar a história da matemática com o
contexto histórico, não podemos privar o aluno desses conhecimentos, pois
esses conhecimentos é que o fazem perceber que os sistemas de numeração
foram surgindo conforme as necessidades de resolver vários problemas e que
ele também, através dos conhecimentos adquiridos, poderá resolver seus
próprios problemas.
No quarto momento foi apresentado aos alunos o chamado material
dourado, informando-se-lhes que o material foi criado pela médica e educadora
italiana, Maria Montessori, e que o nome dourado é devido ao fato de sua
versão original ter sido feita com contas douradas. Depois, quando o material
passou a ser industrializado, também passou a ser feito de madeira e de outros
tipos de materiais, mas mantendo o nome original, ou seja, material dourado.
O material dourado é constituído por cubinhos, barras, placas e cubo.
Para a presente pesquisa havia disponibilidade de material dourado
suficiente para uma turma. Assim, os alunos puderam prontamente manuseá-lo
e explorá-lo como quiseram, durante toda uma aula.
Na aula seguinte, os alunos foram divididos em grupos de três alunos
cada e lhes foi apresentado o jogo do “Nunca Dez”.
O jogo consiste em utilizar dois dados.
Cada aluno joga os dados e soma os pontos e vai pegando as peças
correspondentes, mas nunca pegando mais de dez peças iguais.
Atingindo dez cubinhos, troca-os por uma barrinha; atingindo dez
barrinhas, troca-as por uma placa; e atingindo dez placas, troca-as por um
cubo.
Estabelece-se uma regra para chegar ao vencedor, que poderá ser
quando atingir o número 100, por exemplo, ou seja, uma placa.
Foi uma forma lúdica de apresentar as trocas, prática de jogo onde
ocorreu muita participação.
Na aula seguinte, os alunos fizeram representações numéricas com o
material dourado. Foi entregue uma folha de papel sulfite e a página foi traçada
para dividir o espaço em unidade, dezena, centena e milhar.
As representações eram feitas com o material dourado e representadas
através dos desenhos das peças em seus respectivos espaços na página.
A cada início das atividades era retomada a origem do material dourado
até chegar aos nossos dias, sempre fixando o nome de cada peça e cuidando
para que a mesma nomenclatura fosse utilizada por todos os alunos, isso a fim
de que a troca por dez ficasse compreendida nas operações.
O trabalho com as operações foi realizado com a utilização do ábaco de
papel e o sul fite com os alunos.
A cada operação proposta, os alunos repetiam o seguinte procedimento:
– material dourado;
– representação no sulfite;
– numericamente.
Na adição foi trabalhada a idéia de “juntar”, realizando as devidas trocas;
na subtração foi trabalhada, com o material dourado, a idéia de “tirar” – sempre
mostrando aos alunos que não se deve usar o termo “emprestar”,
conscientizando que, se eu empresto, eu tenho que devolver, mas, sim, utilizar
a palavra “troca” na subtração.
Na multiplicação foi representada, com o material dourado, a idéia de
“soma de parcelas iguais”, no ábaco de papel e numericamente; na divisão foi
trabalhada a idéia de “repartir”, presente na divisão.
No desenvolvimento dessas atividades, a maioria dos alunos evidenciou
um alto grau de incompreensão dos mecanismos que utilizavam para fazer as
contas, o que foi se tornando mais claro através da manipulação do material,
do entendimento da necessidade das trocas e da natureza posicional do nosso
sistema de numeração.
Compreendeu-se, com o desenvolvimento da pesquisa,
que a
reconstrução desses conceitos é uma tarefa difícil e que não basta somente
dar às crianças as explicações acerca dos termos, mas, sim, é necessário
proporcionar oportunidades de reconstruir o significado dos mesmos termos
para relacioná-los nas operações.
Os jogos proporcionaram desafios e competição entre os alunos, que
utilizaram de várias técnicas de contagem e não só a memorização da tabuada.
Ainda, para auxiliar nessa proposta, foram confeccionados os seguintes
materiais: dominó da tabuada, dominó da multiplicação, dominó da subtração,
dominó da adição e dominó da divisão. Ao longo do processo, foi usado
material lúdico como estratégia que pudesse incentivar o exercício do pensar,
como, por exemplo, o “Jogo da Memória da Tabuada” e o “Bingo da Divisão e
Multiplicação”, dentre outros.
CONCLUSÃO
As respostas do questionário inicial demonstraram que a maioria dos
alunos da 5ª série considera que a matemática aprendida na escola é utilizada
no cotidiano e que os auxilia em outra disciplina, e que, mesmo sem saber
explicar, acham importante aprender matemática.
A quantidade de acertos nas questões apresentadas envolvendo
conhecimentos com o SND mostrou que as crianças não compreendem os
procedimentos utilizados para resolver as operações, necessitando, dessa
forma, de maior auxílio docente para compreender os princípios que regem o
sistema posicional de nosso sistema de numeração. Faz-se necessário,
portanto, dar-lhes a oportunidade de reconstruir o significado dos princípios
envolvidos no SND.
A manipulação do material dourado é uma estratégia didática que muito
contribui com o esforço das crianças para compreenderem o sistema
posicional, muito embora alguns alunos se recusarem a compreender os
conceitos das operações, preferindo fazer uso de regras algorítmicas (que,
muitas vezes, usam sem saberem o real significado).
Na aplicação dos dominós confeccionados de início, a empolgação foi
grande, mas houve algumas resistências nos dominós da multiplicação, da
divisão e da tabuada, demonstrando ainda não compreenderem o princípio
multiplicativo da tabuada. Essas resistências foram diminuindo no decorrer do
trabalho.
Após a leitura de textos teóricos relacionados com a presente pesquisa e
considerando os resultados obtidos, ficou a percepção de quão grande tem
sido o esforço dos professores de matemática para que os alunos
compreendam o nosso SND e não venham a fazer uso somente da
memorização.
É uma tarefa de alto grau de “complexidade”, onde professores se
utilizam de diferentes recursos para materializar o agrupamento, levando
também em conta o processo de construção do conhecimento.
A história da matemática registra que, para chegar a esse sistema de
numeração atual, que permite escrever qualquer número utilizando-se de
apenas dez símbolos, a humanidade levou muitos séculos, de muitos milênios
– na verdade.
Apesar de reconhecer sua complexidade, também sabemos da nossa
responsabilidade
em
fazer
da
escola
um
espaço
de
produção
do
conhecimento, desenvolvendo atividades que possibilitem que nossas crianças
se apropriem desses conhecimentos, tornando, assim, mais significativa sua
aprendizagem.
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