Werner Karl Heisenberg (5 de Dezembro de 1901, Würzburg − 1
de Fevereiro de 1976, Munique, Alemanha).
-> foi um físico alemão.
-> Foi laureado com o Nobel de Física e um dos
fundadores da Mecânica Quântica.
-> Doutorou-se pela Universidade de Munique, em 1923
aos 22 anos, e foi o chefe do programa de energia nuclear
da Alemanha Nazista, a natureza do seu trabalho nesta
função foi fortemente debatida.
4) Princípio da Incerteza da Heisenberg
É um dos pilares fundamentais no qual sustenta toda Mecânica
Quântica.
É uma propriedade fundamental da natureza, e não uma imprecisão
dos instrumentos de medida (como sugeria Einstein “Deus não joga
dados ...”).
Para localizarmos o elétron, temos que enviar um fóton sobre ele,
que termina interferindo na sua posição. Ou seja, na Mecânica
Quântica, o ato de “observar” interfere no resultado da medida!
O princípio fica então:
[Cristóvão R M Rincoski] p. 42
h
Δx Δp ≥
2
e
h
h
com h ≡
.
2
2π
ΔE Δt ≥
Estas duas inequações, são chamadas de o Princípio da Incerteza
de Heisenberg. A terceira equação é apenas uma redefinição da
constante de Planck, chamada de “agá cortado”.
A primeira inequação afirma que não podemos medir momento
linear e posição de uma partícula (ao mesmo tempo) com total
precisão.
Ex.: suponha que medimos Δx com grande precisão, Δx = 10-9,
h
então
9
8
Δp ≥
2 × 10
−9
= 0,5 × 10 h ~ 10 h
A segunda inequação afirma que não podemos medir energia e
tempo de uma partícula (ao mesmo tempo) com total precisão.
Ex.: suponha que medimos ΔE com grande precisão ΔE = 10-9,
então
h
9
8
Δt ≥
2 × 10
−9
= 0,5 × 10 h ~ 10 h
[Cristóvão R M Rincoski] p. 43
Por este motivo estas grandezas são chamadas de complementares,
isto é, Δx é complementar de Δp e ΔE é complementar de Δt.
4) O Gato de Schrödinger
Qual é o estado do gato antes de abrirmos a
caixa? Está vivo ou está morto?
-> o gato ou está vivo ou está morto, não
existe um estado morto−vivo na natureza.
-> mas segundo as probabilidades,
podemos ter uma chance do gato estar
morto−vivo, isto é, o gato pode ter uma
chance de ½ = 50% de estar morto e
½ = 50% de estar vivo.
Então a interpretação probabilística está errada?
Niels Bohr nos dá a resposta:
1º) A Teoria Quântica diz respeito sobre o nosso conhecimento
sobre o estado do gato, e não sobre o gato propriamente dito.
[Cristóvão R M Rincoski] p. 44
2º) Antes da caixa ser aberta, não há conhecimento sobre o estado
do gato. Sua “função de onda” está em um estado quântico,
nem vivo nem morto. Ao abrirmos a caixa (para observarmos), a
função de onda se reduz a um estado definido. Ou seja: Não há
realidade fora de nossas observações!
3º) O gato por ser um objeto macroscópico não pode ser tratado
quanticamente, mas na análise que se segue, vamos tratá-lo
como se fosse quântico.
A Teoria é completa. Antes de ser observado, o gato não está
em um estado definido e sim em uma superposição de estados
quânticos (morto e vivo).
Estado quântico: |Ψ>
|ϕv>
|ϕm>
α
β
-> estado do gato vivo.
-> estado do gato morto.
-> probabilidade do gato estar vivo.
-> probabilidade do gato estar morto.
Finalmente podemos escrever o estado quântico na forma:
|Ψ> = α |ϕv> + β |ϕm>
Ex. 1) |Ψ> = 0,3 |ϕv> + 0,7 |ϕm>
[Cristóvão R M Rincoski] p. 45
Ex. 2) |Ψ> = 0,5 |ϕv> + 0,5 |ϕm>
Ex. 3) |Ψ> = 0,64 |ϕv> + 0,36 |ϕm>
Ou seja, um estado quântico é uma superposição (ou “soma” ou
ainda, combinação linear) de estados fisicamente possíveis.
Somos da Sociedade
Protetora dos Animais.
O seu gato está vivo ou
morto, nessa caixa?
Não confunda: a função de onda descreve o estado quântico do
gato, com o “gato (d)escreve a função de onda” ☺.
[Cristóvão R M Rincoski] p. 46
Estado do servidor NT: |Ψ> = α |ϕup> + β |ϕdown> + γ |ϕtravado> + ...
[Cristóvão R M Rincoski] p. 47
2.3.5. A Mecânica Quântica, conclusão
Após tanta discussão, o que podemos concluir sobre as partículas,
ondas, e sobre a mecânica quântica?
1) Na Mecânica Ondulatória, toda partícula tem a sua evolução
temporal descrita pela sua função de onda, Ψ(x, y, z, t) → |Ψ>.
-> a dualidade partícula−onda e a complementaridade de Bohr
são conceitos que continuam valendo o “mundo quântico”.
2) A equação que descreve o movimento, e nos permite calcular as
energias, destas ondas: é a famosa Equação de Schrödinger.
H Ψ =EΨ
-> como esta é uma equação de muita complexidade, não
vamos trabalhar com ela, mas devemos saber que ela é uma
equação dita “equação de autovalores” e seguindo esta
nomenclatura, E é um autovalor e |Ψ> é um autovetor.
3) Como conseqüência do Princípio da Incerteza e das soluções da
Equação de Schrödinger, a antiga idéia de elétrons em órbitas
fechadas foi substituída pela idéia dos orbitais.
-> o elétron não é mais localizado, como se fosse um planeta
em órbita do núcleo, mas temos agora uma nuvem eletrônica
com a probabilidade de encontrar o elétron.
[Cristóvão R M Rincoski] p. 48
-> então, orbitais (nuvens eletrônicas) são as regiões do espaço
que onde se tem uma certa probabilidade de encontrar um
elétron em um átomo e cada orbital tem um “endereço” para os
elétrons: os Números Quânticos!
Ex. 1) 1s1, 2p2, etc., os “números quânticos principais” são
1(K), 2(L), etc., e os “números quânticos secundários (de
orbitais)” são s(0), p(1), etc., os “números quânticos de spin”
são +1/2
e −1/2 (a combinação destes números
representam o estado do elétron).
Ex. 2) Então em 1s1, temos um elétron no nível 1, sub-nível
s (0) e spin +1/2 (por exemplo) e este é o “endereço” do
elétron.
4) Um fenômeno que pode ser explicado pela função de onda é o
“tunelamento”, isto é, o surgimento do elétron que estava em um
nível de energia em outro nível de energia (ex.: K → L).
-> o elétron não “sai voando” de um nível para o outro, ele
simplesmente surge no outro nível. Isto só pode ser explicado
pela função de onda do elétron:
[Cristóvão R M Rincoski] p. 49
barreira de energia,
região “não permitida”
para o elétron
nível de energia
anterior
do
elétron
nível de energia
para o qual o
elétron mudou
I
II
III
Região I) região onde o elétron
estava no início, antes de
“tunelar”, a probabilidade de
encontrarmos o elétron aqui é
|ΨI|2.
Região II) esta é a região onde
o elétron não pode ser
encontrado, pois é uma região
entre os níveis de energia.
Região proibida classicamente.
Região III) região onde o elétron “apareceu”, a probabilidade de
encontrarmos o elétron aqui é |ΨIII|2 que é diferente de zero.
Portanto temos uma probabilidade de encontrarmos o elétron
nesta região.
Aplicações deste “tunelamento”:
a) Diodo Túnel: a corrente elétrica neste diodo se deve
sobretudo ao tunelamento.
b) Junção Josephson: esta junção é constituída por dois
supercondutores separados por uma camada de isolante, de
aproximadamente 1 a 2 nm de espessura. Os elétrons
supercondutores (pares de Cooper) deslocam-se de um
supercondutor para o outro, “tunelando” o isolante. [Cristóvão R M Rincoski]
p. 50
2.3.6. Spin
Para entendermos melhor o spin de uma partícula, vamos voltar um
pouco para a física clássica:
Imagine uma carga q movendo-se em uma circunferência de raio R
(um exemplo disto pode ser o elétron − Modelo de Bohr) e que esta
partícula leva um tempo τ para dar uma volta completa.
ωq
Δq q
2π
i=
= como o período é τ =
, então i =
.
ω
Δt τ
2π
Esta “corrente elétrica” gera o que chamamos de momento de
dipolo magnético μ
μ=NiA
onde N seria o número de espiras percorridas pela corrente
elétrica i que geram o momento de dipolo magnético e A a
área da espira.
O momento angular da partícula é dado por
L = r p senθ = r mv senθ
como o movimento é circular, o ângulo θ entre r e v é de 900,
logo,
2π r
L = r mv como v =
para uma volta completa.
τ
[Cristóvão R M Rincoski] p. 51
π r2
L=2m
τ
⎛q⎞
m
m
× ⎜⎜ ⎟⎟ = 2 i A = 2 μ
q
q
⎝q⎠
como q/2 m é uma constante, vamos chamá-la de g
μ = g L ou μ = g L .
Descobriu-se que por analogia a este resultado, que deveríamos
ter uma relação entre o momento de dipolo magnético
intrínseco (MS) do elétron em movimento circular, com o
momento angular intrínseco do elétron (S):
M S = gS S
o “momento angular intrínseco do elétron” foi posteriormente
chamado de spin e foi dado como:
h
S = nS
= nS h
2π
Onde ns ficou conhecido como número quântico de spin ou
também chamado de autovalor de spin:
Ex.: suponha que uma partícula (qualquer) tenha spin
3
3 1 1 3
S = h então nS = − ,− ,+ ,+ .
2
2 2 2 2
[Cristóvão R M Rincoski] p. 52
2.3.6. Princípio da Exclusão de Pauli
Wolfgang Ernst Pauli (25 de Abril de 1900, Viena,
Áustria−Hungria − 15 de Dezembro de 1958, Zurique, Áustria).
-> foi um físico austríaco.
-> conhecido por seu trabalho na teoria do spin do
elétron.
“Alguns dias depois, ao chegar no ‘hall’ onde Sommerfeld dava suas
palestras, notei a presença de um estudante com cabelos negros e de
expressão ligeiramente fechada sentado na primeira fila. Sommerfeld havia
nos apresentado um ao outro durante a minha primeira visita e tinha dito que
ele o considerava aquele garoto um dos estudantes mais talentosos do grupo,
alguém com quem eu poderia aprender muita coisa. Seu nome era Wolfgang
Pauli, e para o resto de nossas vidas seríamos grandes amigos, embora
muitas vezes ele viesse a se tornar um crítico demasiado severo.”
Werner Heisenberg, Physics and Beyond, Harper 1972.
O princípio da exclusão de Pauli se aplica a sistemas onde existe
mais de um elétron, ou de maneira geral, mais de um férmion. A
palavra férmion é uma denominação para partículas que possuem
número quântico de spin semi-inteiro: ns = 1/2, 1/3, 5/2, etc. o elétron
possui “spin” 1/2, portanto ele é um férmion.
[Cristóvão R M Rincoski] p. 53
Existem partículas que possuem “spin” inteiro, então estas partículas
são chamadas de bósons. (ex.: fóton, núcleo do átomo de hélio
também chamado de partícula α, etc.).
Os férmions foram assim chamados em homenagem a Enrico Fermi
e os bósons foram assim chamados em homenagem a Satyendra
Bose.
Enrico Fermi (Roma, 29 de setembro de 1901 − Chicago, 28 de
novembro de 1954).
-> foi um físico italiano.
-> se destacou pelo seu trabalho sobre o
desenvolvimento do primeiro reator nuclear, e por sua
contribuição ao desenvolvimento da teoria quântica, física
nuclear e de partículas, e mecânica estatística.
Satyendra Nath Bose (1 de Janeiro de 1894, Calcutá - 4 de
Fevereiro de 1974, Calcutá, Índia).
-> foi um físico indiano, de etnia bengalesa, especializado
em física matemática.
-> Ficou conhecido sobretudo devido aos seus trabalhos
sobre mecânica quântica no início da década de 1920,
fundamentais para a estatística de Bose-Einstein e na
teoria do condensação de Bose-Einstein.
[Cristóvão R M Rincoski]
p. 54
O princípio da exclusão de Pauli estabelece:
Não podemos ter a probabilidade de encontrarmos dois férmions
com o mesmo conjunto de números quânticos que os
caracterizam, probabilidade 0% (chamado de Estatística de
Férmions ou Estatística de Fermi-Dirac).
Para o caso de bósons isto fica mudado:
A probabilidade de termos dois bósons com os mesmos
números quânticos é de 100% (chamado de Estatística de
Bósons ou Estatística de Bose-Einstein).
3a Lista de Exercícios (Ex.: 15 a 21) − Introdução à Mecânica Quântica
[Cristóvão R M Rincoski] p. 55