Átomo de Lítio (Z=3)
Joana Sousa Nº 65103
Márcia Santos Nº 65111
Física Quântica da Matéria
Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica
19 de Abril de 2011
I.
Resumo
Resolveu-se o problema quatro da segunda série de problemas disponibilizada que se centra no estudo do
átomo de Lítio, um sistema constituído por três protões e três electrões. Procurou-se representar os números
quânticos que caracterizam o átomo de Lítio em notação espectroscópica, determinar o intervalo entre o qual
varia a carga efectiva vista por um electrão deste átomo e ainda escrever a função de onda antissimétrica, no
estado fundamental, para o sistema em estudo.
II. Introdução
Neste artigo pretende-se desenvolver os
conceitos teóricos subjacentes à exploração de um
exercício típico de análise de um átomo
polielectrónico no âmbito da Física Quântica da
Matéria e proceder à resolução detalhada de um
exemplo particular – o átomo de lítio (Z=3) – e
posterior exploração de pequenas variantes ao
problema inicial.
Partindo da resolução da equação de Scrödinger
na sua forma mais generalizada surge a
necessidade de se introduzirem números quânticos
que caracterizam grandezas conservadas neste tipo
de sistemas, e que se podem generalizar para
situações de N partículas, como átomos
polielectrónicos. O estudo detalhado dos electrões
garante-nos que estes se tratam de fermiões,
regendo-se por uma estatística de Fermi-Dirac e
apresentando uma função de onda antissimétrica.
Além disso, a utilização da aproximação dos
electrões independentes num campo de Coloumb
permite-nos verificar que a carga efectiva média
vista por um electrão varia num dado intervalo que
pode ser determinado intuitivamente.
III. Desenvolvimento do problema
Para um melhor entendimento do sistema em
estudo é necessária uma breve contextualização.
O átomo de Lítio [3]
O Lítio, cujo símbolo químico é
, é um
metal alcalino, que ocupa o grupo 1 da Tabela
Periódica (Fig. 1) e apresenta tendência à formação
de iões.
Números quânticos e Notação espectroscópica
[1],[2]
Da Mecânica Quântica sabemos que a equação
de Schrödinger que descreve o comportamento
estacionário de um electrão no átomo tem a forma
(1):
(1)
onde representa a massa reduzida do sistema e
a energia total do átomo num estado caracterizado
pela função de onda
. Vulgarmente é
escrita na forma simplificada
, onde é
o operador Hamiltoneano dado por (2):
(2)
Se utilizarmos antes um sistema de coordenadas
esféricas
, apesar de obtermos uma equação
mais complexa, conseguimos decompô-la em três
outras, cada uma dependente apenas de uma
coordenada, tomando a forma (3):
(3)
A sua resolução implica a introdução de
constantes que só podem tomar valores discretos e
que conduzem à quantificação da função de onda.
Como consequência da orbital depender de três
variáveis independentes (uma para cada
coordenada espacial), aparecem então 3 números
quânticos, que descrevem os valores das
quantidades conservadas nos sistemas quânticos:
Fig. 1 Tabela Periódica com o elemento Lítio destacado.
1

Número quântico principal,
: que
corresponde ao nível energético ocupado
pelos electrões e especifica o tamanho da
orbital, podendo tomar os valores
;


Número
quântico
de
momento
angular, : que define o
momento
angular
do
electrão
e,
consequentemente, a forma
da orbital tomando os
valores
.
Por exemplo, para
Fig. 2 Orientação
das
temos orbitais do tipo s e espacial
orbitais s e p.
para
orbitais do
tipo p (Fig. 2).
Número quântico magnético,
: que
especifica a orientação permitida para a
nuvem electrónica no espaço e toma os
valores
.
Assim sendo, podemos reescrever a equação
(3) na forma (4):
(4)
onde
é a componente radial e
a
componente angular.
A consideração de efeitos relativistas faz com
que a equação de Schrödinger, dita clássica, passe
a conter uma nova dimensão, o tempo, e da sua
solução generalizada aparece a necessidade de
introdução de um novo número quântico:

Número quântico de spin, : que define a
orientação dos electrões, podendo tomar os
valores
, já que estes seguem a
Estatística de Fermi-Dirac.
No caso de átomos polielectrónicos, com N
electrões, interessa-nos antes definir os valores
totais das grandezas anteriores, que conhecemos da
Mecânica Quântica:

Momento
angular
orbital
total:
;


Spin total:
;
Momento angular total:
;
(5)
(6)
(7)
E a equação de Schrödinger passa a ser (8):
(8)
com
sendo
(9)
o operador permuta que obedece à relação
.Usualmente condensam-se estas
grandezas totais numa notação denominada
espectroscópica:
. Para camadas fechadas, ou
seja, totalmente preenchidas por electrões e para o
estado fundamental toma sempre o aspecto , uma
vez que o spin total é nulo
– os electrões
anulam-se dois a dois – e o momento angular
orbital total também é nulo
, uma vez que
os momentos angulares relativos são iguais a zero
para que ocorra um menor efeito de screening.
Carga efectiva (
[1]
A carga efectiva (Z*) corresponde à carga
sentida por um electrão considerando a atracção
nuclear e as repulsões provocadas pelos restantes
electrões do sistema. Por outras palavras, a carga
efectiva trata-se da carga positiva sentida por um
electrão espectador, sendo, em geral, inferior à
carga nuclear total (Z). Isto porque a carga
negativa dos electrões de camadas interiores
neutraliza parcialmente a carga do núcleo. Este
efeito é designado por efeito de screening e é o
motivo pelo qual os electrões mais afastados do
núcleo têm uma carga efectiva menor que os
electrões interiores, muito próximos do núcleo. O
efeito de screening justifica que orbitais com maior
número quântico de momento angular, l, tenham
maior energia. De facto, um l maior implica que os
electrões dessa orbital estejam mais afastados do
núcleo. Consequentemente, a carga efectiva destes
electrões é inferior, razão pela qual a sua
estabilidade é menor e maior a sua energia. A
carga efectiva sentida por um electrão muito
afastado do núcleo corresponde à carga total do
núcleo subtraída da carga de cada um dos electrões
entre o núcleo e o electrão espectador. Por
conseguinte, para um electrão a uma distância
infinitesimal do núcleo, a sua carga efectiva é
aproximadamente a carga do núcleo.
Sintetizando, num átomo, um electrão
espectador a uma distância r do núcleo tem uma
carga efectiva dada por:
Z* ≈
(10)
Princípio de Exclusão de Pauli e Determinante
de Slater[1],[2]
O Princípio de Exclusão de Pauli foi
formulado pelo físico suíço Wolfgand Pauli em
1925. A sua elevada importância na Física
Quântica valeu a Pauli o Prémio Nobel da Física
em 1945. Segundo este princípio, dois fermiões
não podem encontrar-se simultaneamente no
mesmo estado quântico. Isto corresponde a afirmar
que a função de onda de um sistema constituído
por fermiões tem de ser antissimétrica. Os fermiões
2
são partículas de spin semi-inteiro que obedecem à
Estatística de Fermi-Dirac, como por exemplo os
electrões.
A fim de se perceber como se chega ao
Princípio de Pauli, consideremos um sistema de
apenas duas partículas, por uma questão de
simplificação, uma no estado
e outra no estado
. Escrevemos a função de onda da seguinte
forma:
(11)
Tendo em conta que o átomo de Lítio é
constituído por 3 electrões
, a sua
distribuição electrónica é dada por
.
Considerando as repulsões entre os electrões,
sabemos teoricamente que quanto maior o , mais
energética é a orbital e, portanto, o terceiro electrão
vai ocupar a orbital
e não a
, no estado
fundamental. Assim, o spin total, tendo em conta
(6), é
e o momento angular orbital
A teoria admite que para fermiões a expressão
. Para
dois fermiões no mesmo estado quântico,
, escreve-se:
total, a partir de (5) é
, já que se tratam de
orbitais do tipo . Tendo em conta (7), vem
e,
(12)
Vimos ainda que por aplicação da aproximação
dos electrões independentes num campo de
Coloumb, surgia a noção de carga efectiva cujo
valor variava em função da distância do electrão
espectador ao núcleo de acordo com a expressão
(10). Assim, particularizando para o caso do átomo
de Lítio temos:
(11) se escreve usando o sinal menos
Ficamos sem função de onda, confirmando
assim o Princípio de Exclusão de Pauli. Este não se
trata de um pressuposto válido apenas para
electrões mas antes uma consequência das regras
de construção da função de onda para um sistema
de duas partículas, válido para todos os fermiões.
Para a construção de funções de onda de
sistemas de N fermiões (funções de onda
antissimétricas) recorre-se ao determinante de
Slater, dado por:
(13)
O cálculo algébrico do determinante garante
que a função de onda resultante é antissimétrica. O
determinante de Slater tem também a
particularidade de assegurar que duas partículas
nunca se encontram no mesmo estado, factor
crucial no caso de fermiões.
em notação espectroscópica:
.
Por fim, podemos ainda escrever a função de
onda para este sistema com a simetria adequada.
No estado fundamental, os estados possíveis para
cada electrão são
. Uma
vez que os electrões são fermiões têm uma função
de onda antissimétrica. Para assegurarmos esta
antissimetria na troca de quaisquer dois electrões é
útil construirmos o determinante de Slater, tendo
em conta (13):
IV. Resultados e Discussão
O problema em estudo é dado pelo seguinte
enunciado:
Considere os electrões do átomo de lítio (Z=3) e
utilize a aproximação dos electrões independentes
num campo de Coloumb de uma carga Z* efectiva
média.
a) Quais são os números quânticos no átomo no
estado
fundamental,
em
notação
espectroscópica
. Porquê?
b) Entre que limites se encontra o valor de Z*, a
carga efectiva média vista por um electrão?
c) Escreva, com a simetria adequada, a função de
onda dos três electrões no estado fundamental,
incluindo o spin.
onde cada linha corresponde aos três estados
possíveis para um dado electrão. Resolvendo o
determinante obtém-se:
Podemos ainda rearranjar os termos anteriores
colocando em evidência o electrão que é
espectador no estado
:
3
Assim, é claramente visível
antissimétrica da função de onda.
Neste modo visualizamos claramente a forma
antissimétrica da função de onda e a sua estrutura,
como um produto do estado do electrão espectador
no estado
por um estado com
.
É ainda interessante considerarmos
pequena variância do problema anterior.
uma
O Lítio não é um elemento estável. A sua
camada de valência ( ) está semi-preenchida
pelo que tem tendência a perder ou ganhar um
electrão de modo a formar-se uma camada fechada.
Neste sentido é pertinente considerarmos os casos
dos iões
e
para os quais o átomo de Lítio
perde e ganha, respectivamente, um electrão.
Resolveu-se então o exercício para estes dois
casos.
Caso Li+
A distribuição electrónica é agora
pelo
que temos uma camada totalmente preenchida. Os
spins individuais dos dois electrões vão anular-se
de forma que vamos ter um spin total nulo,
,
tendo em conta (6). Como os electrões se
distribuem, mais uma vez, por uma orbital do tipo
s,
. Então, pela expressão (7) temos
e daí
vem que a notação espectroscópica que caracteriza
o catião
é
, como se esperava.
Relativamente à carga efectiva, temos que para
um electrão espectador muito próximo do núcleo, a
carga efectiva se vai manter, mas que para grandes
distâncias ao núcleo apenas pode haver um
electrão entre o electrão espectador e o núcleo e,
então, vamos ter agora:
Os estados possíveis para cada electrão podem
ser agora
ou
. Construindo o
determinante de Slater (13), ficamos com:
Resolvendo o determinante,
a
forma
Caso Li Desta
vez, a distribuição electrónica é
formando novamente uma camada
fechada, agora a
. Os spins individuais dos dois
electrões de cada camada vão anular-se pelo que
vamos ter um spin total nulo,
, por (6). Como
os electrões se distribuem, mais uma vez, por uma
orbital do tipo s, vem
. Então,
, tendo em
conta (7), e daí vem que a notação espectroscópica
que caracteriza o anião
é
.
À semelhança do que vimos para o catião, para
uma pequena distância entre o electrão espectador
e o núcleo, este electrão visualiza toda a carga
nuclear. Em contrapartida, para uma grande
distância, o electrão espectador visualiza a carga
do núcleo subtraída da dos restantes três electrões:
Os estados possíveis para cada electrão são
agora
. O determinante
de Slater, (13), escreve-se da seguinte forma:
Seria agora exaustiva a resolução do
determinante, para se verificar, mais uma vez, a
antissimetria esperada.
Por comparação dos casos dos dois iões (
e
) com o átomo de Lítio, verificamos claramente
que os iões são mais estáveis do que o átomo,
como desde logo se esperava. Esta estabilidade é
sobretudo evidenciada pela representação dos
números quânticos de cada um destes sistemas em
notação espectroscópica, em que os iões
apresentam a notação correspondente a uma
camada fechada, associada a menor energia e,
consequentemente, maior estabilidade.
4
Entre
e
,
é um sistema mais
estável. Isto porque existem menos electrões no
sistema, verificando-se um menor efeito de
screening. Os quatro electrões de
desencadeiam repulsões consideráveis entre si
contribuindo para o aumento da energia do
sistema. Este facto é evidenciado pelos intervalos
entre os quais varia a carga efectiva nos dois casos:
o valor mínimo da carga efectiva de
é superior
ao valor mínimo associado à carga efectiva de
(sendo que o valor máximo se mantém constante
em todos os casos).
V.
[3] Química Geral - Teoria, Departamento
Engenharia Química e Biológica-IST, Volume I,
2007/2008.
Conclusões
A exploração deste problema permitiu definir
algumas estratégias a adoptar no estudo de
sistemas de N partículas, que englobam o
relacionamento de conceitos simples e, por vezes,
intuitivos.
Através da utilização de números quânticos
conseguiu-se descrever os valores das quantidades
conservadas no sistema quântico e ainda se
agruparam estas grandezas numa notação
característica, que toma uma forma particular e
constante quando referente a camadas fechadas,
como explicitado.
Verificou-se ainda que devido ao efeito de
screening a carga sentida por um dado electrão é,
na realidade, uma carga efectiva que resulta de um
balanço entre a carga nuclear e a carga das outras
partículas que integram o sistema, em função da
distância ao núcleo.
Tendo em conta não só o Princípio de Pauli,
mas também o facto de os electrões seguirem a
Estatística de Fermi-Dirac, determinou-se a função
de onda característica do sistema, averiguando-se a
justificação para a sua antissimetria e explicitando
o seu significado.
Por fim, tendo em conta a tendência que o
átomo estudado apresenta à formação de iões,
numa tentativa de aumento da sua estabilidade,
estudaram-se os aspectos anteriores para estes dois
novos sistemas.
VI.
Referências
[1] Quantum Physics, 3rd Edition, Stephen
Gasiorowicz, 2003, John Wiley & Sons;
[2] Introduction to Quantum Mechanics, 2nd
Edition, David Griffiths, 2005, Pearson
International Edition, Pearson Prentice Hall;
5