Estudo do Modelo da força de Van der Waals entre dois átomos
(problema 15 da série III)
Ana Afonso nº 66174 Gonçalo Rodrigues nº 62827
Física Quântica da Matéria
Instituto Superior Técnico
Maio, 2010
Resumo
Considera-se um sistema com dois átomos em que cada electrão i está ligado ao seu
núcleo pesado por um potencial Vi(ri)=1/2 m w2 ri2. A interacção entre os dois electrões é
V12(x1,x2)= bx1 x2 e2/d3, em que xi é a projecção segundo o eixo dos xx do vector ri, e a distância
entre os dois núcleos, que definem o eixo dos xx, é d.
Conclui-se que a distância entre os electrões (d’= d+x1-x2) é aproximadamente igual à
distância entre os nucleos dos átomos, d.
Introdução:
O objectivo do exercício consiste
em fazer a estimativa da distância entre os
dois electrões. Considerando a função de
onda corrigida no estado fundamental,
começou por se calcular o valor médio de
(x1-x2)2 para facilitar os cálculos do valor
esperado da distância d’= d+x1-x2. Sabendo
que:
𝑑2 >>
ħ
𝑚𝜔
estimou-se d’.
os mesmos. A distância considerada neste
problema é a projecção no eixo xx, da
distância dos electrões ao núcleo.
Como hipótese inicial, pode-se
esperar que a distância entre os electrões
seja igual à distância entre os núcleos, se a
perturbação tiver um pequeno efeito
quando comparada com o potencial Vi.
Uma vez que as orbitais dos átomos são
consideradas esféricas, o valor esperado,
no eixo dos xx, para a posição de cada
electrão vai coincidir com a posição do
próprio núcleo.
Desenvolvimento do problema:
Partiu-se da função de
corrigida no estado fundamental:
(0)
Ѱ0 = Ѱ0 +
onda
< 001 < 001 𝐻′ |100 > |100 > (0)
Ѱ1
𝐸0 − 𝐸2
Do exercício anterior obtiveram-se
as seguintes relações:
O interesse deste problema está
em perceber qual o impacto da interacção
de Van der Waals, dada pela potencial V12
entre os dois electrões, na distância entre
(< 001 < 001 𝐻 ′ |100 > |100 >)2
1
𝑏ħ𝑒 2 2
= −
(
)
𝐸0 − 𝐸2
2ħ𝜔 2𝑚𝜔𝑑 3
𝑥1 =
ħ
(𝑎 + 𝑎−1 )
2𝑚𝜔 +1
𝑥2 =
ħ
(𝑎 + 𝑎−2 )
2𝑚𝜔 +2
projecção, no eixo dos xx, da distância dos
electrões tem, aproximadamente, o
mesmo valor esperado que a distância
entre os dois núcleos.
Assim sendo,
2
(0)
Ѱ0 = Ѱ0 −
2
𝑏𝑒
𝑏𝑒
(0)
Ѱ , 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝜆 =
.
4𝑚𝜔𝑑 3 1
4𝑚𝜔𝑑 3
𝑑′ = 𝑑 1 +
(I) Calcular o valor médio de (x1-x2)2:
2
2
Recorrendo ao Teorema de Taylor, é
possível chegar a uma conclusão
semelhante:
𝑑(1 +
2
< (𝑥1 − 𝑥2 ) >=< 𝑥1 − 2𝑥1 𝑥2 + 𝑥2 >= *
Como < 𝑥1 > = < 𝑥2 >, < 𝑥1 2 > = < 𝑥2 2 >,
*2 < 𝑥1 2 > −2 < 𝑥1 𝑥2 >
2
Os cálculos dos valores esperados de < 𝑥1 >
(1) e de < 𝑥1 𝑥2 > (2) encontram-se em anexo.
Com base nos cálculos efectuados em anexo
temos que,
ħ
2
𝑚𝜔𝑑
1+
𝑏𝑒2
2𝑚𝜔𝑑3
≈
1 ħ
𝑏𝑒2
1
+
2 𝑚𝜔𝑑2
2𝑚𝜔𝑑3
11
ħ 2
𝑏𝑒2
+
(
)
1
+
..
2 2 𝑚𝜔𝑑2
2𝑚𝜔𝑑3
Se pensarmos numa aproximação em que não
se considera a perturbação, d’≈ d. Se
quisermos ser mais exactos, têm que se
considerar as contribuições que resultam da
perturbação, e desta forma obter um resultado
mais exacto de d’ em função de d.
< (𝑥1 − 𝑥2 )2 >= 2 < 𝑥1 2 > −2 < 𝑥1 𝑥2 >=
ħ
ħ
ħ
2
− 2 −𝜆
=
(1 + 2𝜆)
2𝑚𝜔
𝑚𝜔
𝑚𝜔
(II) Estimar d’:
< 𝑑 ′ 2 >=
< 𝑑 + 𝑥1 − 𝑥2
2
>=
Conclusões:
Após os cálculos efectuados nas secções
anteriores e da discussão de resultados
realizada estamos em condições de concluir
que o nosso objectivo foi atingido obtendose, assim, uma distância entre os electrões
aproximadamente igual à distância entre os
dois núcleos.
𝑑 2 + 2𝑑 < 𝑥1 − 𝑥2 > + < (𝑥1 − 𝑥2 )2 > *,
Onde < 𝑥1 − 𝑥2 >= 0 (3),
* 𝑑 2 + 2𝑑 × 0 +
𝑑2 +
𝑑 1+
ħ
𝑚𝜔
1+
ħ
𝑚𝜔
𝑏𝑒 2
2𝑚𝜔 𝑑 3
1 + 2𝜆 =
=
ħ
𝑏𝑒 2
1
+
= 𝑑′
𝑚𝜔𝑑 2
2𝑚𝜔𝑑 3
Resultados e Discussão:
Como foi dito na introdução,
considera-se d2 >> ħ/(mω), logo
𝑑’ ≈ 𝑑 1 + 0 = 𝑑. Isto significa que a
Referências:
[1]Quantum Physics, Stephen Gasiorowicz,
3rd Edition, 2003,editor or John Wiley &
Sons.
[2]Introduction to Quantum Mechanics, 2nd
Edition, David Griffiths, 2005, Pearson
International Edition, Pearson Prentice Hall.
[3]Problems and Solutions of Quantum
Mechanics, 1998, Singapore: World Scientific
Pub. Co., Ed. Yung-Kuo Lim.
Anexos:
(1) < 𝑥1 2 >=< 𝜓0 𝑥1 2 𝜓0 >=< 𝜓0 (0) − 𝜆𝜓1 (0)
ħ
2𝑚𝜔
𝑎+1 + 𝑎−1
2
𝜓0
0
− 𝜆𝜓1
0
>=
Sabendo que 𝑎+1 + 𝑎−1 2 = 𝑎+1 2 + 𝑎+1 𝑎−1 + 𝑎−1 𝑎+1 + 𝑎−1 2 e que o integral só será diferente de 0
quando temos funções pares ou funções ímpares, temos que:
ħ
< ф01 ф02 𝑥 2 ф01 ф02 > −(−𝜆2 ) < ф11 ф12 𝑥 2 ф11 ф12 > =
2𝑚𝜔
Sendo que o primeiro valor do índice de ф se refere ao estado e o segundo valor à partícula em
questão,
ħ
< ф01 𝑥 2 ф01 >< ф02 |ф02 > +𝜆2 < ф11 𝑥 2 ф11 >< ф12 |ф12 > =
2𝑚𝜔
Com < ф02 |ф02 > = 1 e < ф12 |ф12 > = 1,
ħ
< 000 𝑎+1 2 + 𝑎+1 𝑎−1 + 𝑎−1 𝑎+1 + 𝑎−1 2 000 > +𝜆2 < ф11 𝑥 2 ф11 >< ф12 |ф12 > =
2𝑚𝜔
Com 𝑎+1 𝑎−1 = < 000|000 > = 1,
ħ
1 + 𝜆2 < 001|𝑎+1 2 + 𝑎+1 𝑎−1 + 𝑎−1 𝑎+1 + 𝑎−1 2 |100 > =
2𝑚𝜔
Com 𝑎+1 𝑎−1 100 >= 𝑎+1 000 >= |001 >, logo < 001|100 >= 1 e 𝑎−1 𝑎+1 100 >= 𝑎−1 2 200 >=
2 2 100 >= 2 < 001 100 ≥ 2,
ħ
(1 + 3𝜆2 )
2𝑚𝜔
Como a perturbação é muito pequena é desprezada. Deste modo, obtemos o seguinte resultado,
< 𝑥1 2 >=< 𝑥2 2 >≈
ħ
2𝑚𝜔
(2) < 𝑥1 𝑥2 >=< 𝜓0 𝑥1 𝑥2 𝜓0 >=< 𝜓0 (0) − 𝜆𝜓1 (0) 𝑥1 𝑥2 𝜓0
0
− 𝜆𝜓1
0
>=
O integral é ímpar, logo o produto das funções de onda tem que ser ímpar. Neste sentido,
vamos utilizar os termos cruzados,
−𝜆 < 𝜓0 (0) 𝑥1 𝑥2 𝜓1 (0) > +< 𝜓1 (0) 𝑥1 𝑥2 𝜓0 (0) > =
−𝜆 < ф01 ф02 𝑥1 𝑥2 ф11 ф12 > +< ф11 ф12 𝑥1 𝑥2 ф01 ф02 > =
−𝜆 < ф01 𝑥1 ф11 >< ф02 𝑥2 ф12 > +< ф11 𝑥1 ф01 >< ф12 𝑥2 ф02 > =
−𝜆 (< ф01 𝑥1 ф11 >)2 + (< ф11 𝑥1 ф01 >)2 =
−𝜆(
ħ 2
) (< 000 𝑎+1 + 𝑎−1 000 >)2 + (< 001 𝑎+1 + 𝑎−1 000 >)2 =
2𝑚𝜔
−𝜆
ħ
12 + 0 + 12 =
2𝑚𝜔
−𝜆
ħ
=< 𝑥1 𝑥2 >
2𝑚𝜔
3 < 𝑥1 − 𝑥2 >=
< ф01 ф02 𝑥1 ф01 ф02 > −𝜆 < ф11 ф12 𝑥1 ф11 ф12 > −< ф01 ф02 𝑥2 ф01 ф02 > + 𝜆 < ф11 ф12 𝑥2 ф11 ф12 > =
< ф01 𝑥1 ф01 >< ф02 ф02 > −𝜆 < ф11 𝑥1 ф11 >< ф12 ф12 > −< ф01 𝑥2 ф01 >
< ф02 ф02 > +𝜆 < ф11 𝑥2 ф11 >< ф12 ф12 >=
< ф01 𝑥1 ф01 > −𝜆 < ф11 𝑥1 ф11 > −< ф01 𝑥2 ф01 > +𝜆 < ф11 𝑥2 ф11 >= 0