ANÁLISE COMBINATÓRIA: ASPECTOS HISTÓRICOS
Durante muito tempo a Análise Combinatória ou Cálculo Combinatório foi considerado
completamente desligado do cálculo aritmético, segundo Rey Pastor (1939) “o conceito moderno do
número é, porém uma das provas do papel preponderante que a noção de ordem desempenha nas diversas
teorias matemáticas”.
Segundo Wieleitner o problema mais antigo que se relaciona com a teoria dos números e com a Análise
Combinatória, é o da formação dos quadrados mágicos. Chamamos de quadrados mágicos (de ordem n)
2
um arranjo de números 1,2,3...n em um quadrado nn de forma que cada linha, coluna e diagonal deste
quadrado possua a mesma soma. Como vemos abaixo:
4
9
2
3
5
7
8
1
6
O primeiro quadrado mágico conhecido é o Lo Shu, que segundo Needham (1959) data do século
I d.C., mas que pode ser tão antigo a ponto de ter sido escrito por volta de 2000 a.C. (Berge, 1971):
Na análise combinatória estuda-se formação, contagem e propriedades dos agrupamentos que
podem constituir-se, segundo determinados critérios, com os objetos de uma coleção. Esses agrupamentos
distinguem-se, fundamentalmente, em três espécies: arranjos, permutações e combinações, e podem ser
formados de objetos distintos ou repetidos.
Ainda no princípio do século XIX não havia significado preciso para o emprego dos termos
arranjo e permutação. Leibniz designava as permutações por variações, que é a palavra hoje utilizada por
alguns autores para indicar arranjos.
A Análise Combinatória serve hoje de base a várias teorias da Análise Matemática:
probabilidades, determinantes, teoria dos números, teoria dos grupos, topologia, etc. Tal assunto é foco de
muita atenção, pois na literatura não existe uma definição satisfatória desta ciência e de suas ramificações.
Estudando a Análise Combinatória
Em diversas situações, somos submetidos a códigos, senhas e contra-senhas. Tratando-se de
segurança na internet, nossos e-mails e contas em redes sociais nos pedem uma senha de segurança para
que se tenha acesso à conta. Esta senha, espera-se, ser tão segura quanto precisar, a ponto de ninguém
conseguir decifrá-la. Mas, e se alguém tentar decifrar esta senha?
É importante pensar, que criar uma senha somente com números, facilitaria muito a vida de um
mal-intencionado, pois o número de tentativas para quebrar esta senha seria relativamente pequeno. Por
isso, misturar números, letras minúsculas, maiúsculas e caracteres especiais potencializam a segurança de
suas senhas.
O que vamos estudar neste bimestre é o caminho do mal-intencionado. Quantas tentativas, e
quanto tempo deve ser desperdiçado para se quebrar uma senha, ou fazer uma contagem precisa, ou
acertar a possibilidade de um determinado time de futebol ser rebaixado em um campeonato...
1. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC)
Para entender o PFC, vamos analisar o seguinte exemplo: Você está em uma lanchonete onde você
mesmo monta o seu sanduíche. Você pode escolher entre dois tipos de pães e quatro tipos de recheio.
Supondo que os pães sejam integral ou de centeio, e os recheios sejam de queijo, frango, salada e
presunto.
Obviamente, existe um número máximo de escolhas diferentes que você poderá fazer nesta
lanchonete. Para o pão de integral, podemos escolher 4 recheios; assim como se tivéssemos escolhido o
pão de centeio: 4 recheios. Isso totaliza 8 diferentes sanduíches para ser montados.
Então, são 2 pães, 4 recheios e o total é 8. Qual é a operação matemática que opera o 2 com o 4 e
resulta em 8? A multiplicação! Assim, o PFC nada mais é do que a multiplicação dos eventos separados.
Em matemática:
Quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal forma que as
possibilidades da primeira etapa é m e as possibilidades da segunda etapa é n, consideramos então que
o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m.n.
Exemplo 1
Ao lançarmos uma moeda e um dado temos as seguintes possibilidades:
Moeda: cara ou coroa (duas possibilidades)
Dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (seis possibilidades)
Observando o ocorrido, vemos que o evento tem duas etapas com 2 possibilidades em uma e 6 em outra,
totalizando 2.6 = 12 possibilidades.
Exemplo 2
Quantos números de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 4 e 6? E de algarismos
distintos?
Podemos escrever 3 . 3 . 3 = 27 números de 3 algarismos.
Três algarismos distintos: 3 . 2 . 1 = 6 números de 3 algarismos distintos.
EXERCÍCIOS:
01. Thiago possui 3 blusas diferentes e 2 calças diferentes. De quantas maneiras ele poderá escolher uma
blusa e uma calça para se vestir?
02. Quantos números de dois algarismos podem ser formados utilizando elementos do conjunto {1, 2, 3}?
03. Quantos números de dois algarismos diferentes (distintos) podem ser formados utilizando elementos
do conjunto {1, 2, 3}?
04. Quantos números de três algarismos podem ser formados utilizando elementos do conjunto {1, 2, 3}?
05. Quantos números de três algarismos diferentes (distintos) podem ser formados utilizando elementos
do conjunto {1, 2, 3}?
06. Um estádio possui 4 portões. De quantas maneiras diferentes um torcedor pode entrar e sair desse
estádio?
07. Um estádio possui 4 portões. De quantas maneiras diferentes um torcedor pode entrar e sair desse
estádio utilizando, para sair, um portão diferente do que entrou?
08. Mariana desenhou uma bandeira retangular de 3 listras e deseja pintá-la, de modo que duas listras
consecutivas não sejam pintadas da mesma cor. Se ela possui 4 lápis de cores diferentes, de quantas
maneiras poderá pintar sua bandeira?
09. Numa prova havia 4 itens para que os alunos respondessem V (verdadeiro) ou F (falso). De quantas
maneiras diferentes um aluno que vai “chutar” todas as repostas poderá responder esses itens?
10. Um painel luminoso retangular é composto por 5 lâmpadas. De quantas maneiras diferentes esse
painel pode estar iluminado? (considera-se o painel iluminado se, pelo menos, uma de suas lâmpadas
estiver acesa).
2. FATORIAL
Considerando n um número natural maior que 1 (um), podemos definir como fatorial desse
número n (n!) o número:
n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3) . .... 3 . 2 . 1
Lê-se n! como n fatorial ou fatorial de n.
Veja alguns exemplos:
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
8! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40320
6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3.628.800
Definição: 0! = 1
Exemplo:
1. Simplifique e resolva as operações com fatorial:
5! 5.4.3.2.1
=
3!
3 .2 .1
Simplificamos a multiplicação 3.2.1, que está no numerador e denominador, então:
5!
= 5.4 = 20
3!
Parando para pensar um pouco, não precisaríamos escrever duas vezes 3.2.1, este é exatamente o
significado de 3!
Então, na hora de simplificarmos a expressão, faremos da seguinte forma:
5! 5.4.3!
=
= 5.4 = 20 (Cortamos os 3!)
3!
3!
EXERCÍCIOS:
01. Simplifique as expressões:
20!
48!+49!
a)
b)
18!
50!
c)
n!
(n + 1)!
02. Encontre o valor de n na equação (n − 2)!= 720
03. Calcule ou simplifique:
7!
3!5!
a) 6!
b)
c)
4!
4!6!
d)
12!
10!+9!
e)
n!
(n − 2)!
3. ARRANJO SIMPLES
Para a escolha do presidente e vice de uma determinada turma, candidataram-se 3 alunos: Ana,
Daniel e Marta. Os dois candidatos mais votados serão escolhidos, respectivamente, presidente e vice.
Quantas são as possibilidades de resultados desta eleição?
Primeiramente, consideremos todas as possibilidades, construindo um diagrama de árvore:
Assim, se Ana for presidente, Daniel ou Marta podem ser vice
Se Daniel for presidente, Ana ou Marta podem ser vice
E, se Marta for presidente, Ana ou Daniel podem ser vice
De acordo com o diagrama, são 6 as possibilidades. Note que a ordem dos eleitos importa, ou
interfere, no resultado da eleição. Por exemplo, com Ana e Daniel, é diferente se Ana for presidente e
Daniel vice do que se Daniel for presidente e Ana vice.
Este tipo de agrupamento é denominado arranjo simples. Neste caso, temos um arranjo de 3
elementos tomados 2 a 2, e o número total de arranjos é indicado por A3, 2 = 3.2 = 6
Um arranjo é chamado simples quando não ocorre repetição de elementos em um agrupamento. Em
arranjos simples, os agrupamentos diferem-se pela ordem dos elementos.
A quantidade total de agrupamentos é indicada por An, p ou Anp , onde n é o número de elementos
do agrupamento e p é o número de elementos escolhidos deste agrupamento, assim:
ARRANJO
SIMPLES
An , p =
n!
(n − p )!
Exemplos:
9!
9! 9.8.7!
= =
= 9.8 = 72
(9 − 2)! 7!
7!
10!
10! 10.9.8.7.6.5!
=
=
=
= 10.9.8.7.6 = 30240
(10 − 5)! 5!
5!
•
A9, 2 =
•
A10,5
EXERCÍCIOS:
01. Calcule:
a) A6, 2
b) A9,3
c) A7, 4
d) A8,6
e) A5, 4 − A9, 2
f) A20,3 + A40,1
02. Para acessar sua conta bancária via internet, uma pessoa precisa cadastrar uma senha composta por 5
caracteres distintos, dentre 32 disponíveis. De quantas maneiras diferentes essa pessoa pode cadastrar a
sua senha?
03. Quantas “palavras” de 4 letras distintas podemos formar com a palavra “NUMEROS”?
04. Um estudante tem 5 lápis de cores diferentes. De quantas formas ele pode pintar um mapa dos estados
da região Sul do Brasil, sem repetir nenhuma cor?
4. PERMUTAÇÃO SIMPLES
Nos casos de arranjos simples, em que n = p , temos uma permutação simples, ou seja, um
arranjo de n elementos tomados n a n . Indicamos a quantidade total de permutações simples de n
elementos por Pn , e obtemos este valor da seguinte maneira:
Pn = An,n =
n!
n! n!
= = = n!
(n − n)! 0! 1
Permutação simples é todo arranjo de n elementos distintos tomados n a n . A quantidade total de
permutações simples é calculada por: Pn = n!
PERMUTAÇÃO
SIMPLES
Pn = n!
Exemplos:
• P6 = 6!= 6.5.4.3.2.1 = 720
• P5 = 5!= 5.4.3.2.1 = 120
EXERCÍCIOS:
01. Calcule:
a) P7
b) P7 − P5
c) P3 .P6
d)
P12
P10
e)
A8,5
P3
P
f) 7
A7 ,3
02. Quantos anagramas tem a palavra:
a) AMOR
b) LUCRO
c) TECLADO
d) TRIÂNGULO
03. Na fila do caixa de uma padaria estão três pessoas. De quantas maneiras elas podem estar
posicionadas nesta fila?
04. De quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana seis homens e seis mulheres em
qualquer ordem?
05. De quantas maneiras diferentes podemos organizar quatro DVDs em uma prateleira?
06. Determine o número de anagramas da palavra SAULO que começam por vogal.
5. COMBINAÇÃO SIMPLES
Para se caracterizar uma Combinação ao se escolher o grupo de p elementos a ordem desses
elementos não forma grupos diferentes como acontecia nos problemas de Arranjos.
Exemplo: Uma equipe será formada por dez pessoas. Três pessoas serão escolhidas para compor uma
representação da equipe num torneio. Qual o número de diferentes representações que podem ser
formadas?
Primeiramente é necessário identificar a natureza dessas escolhas. Vamos supor que dentre essas
10 pessoas estão Bruno, Michele e Paulo. Se trocarmos a ordem dos elementos teremos uma equipe
diferente? Por exemplo, a equipe Bruno, Michele e Paulo é diferente da equipe Paulo, Bruno e Michele?
Claro que não é. Trocando a ordem desses elementos teremos o mesmo grupo. Isso caracteriza
que o problema é de combinação.
Chamaremos combinações simples de n elementos distintos tomados p a p aos grupos formados por
p elementos tomados dos n elementos, de tal forma que apenas a natureza dos elementos determinam
grupos diferentes, com a mesma quantidade de elementos.
COMBINAÇÃO
SIMPLES
Cn , p =
n!
(n − p)! p!
Note: A forma de calcularmos combinações e arranjos é muito parecida. Nas combinações,
dividimos os arranjos por seus agrupamentos considerados iguais, justo por não depender de ordem.
Exemplo: Antes de saírem para uma festa, três amigos decidem por fazer um pedido de tele-entrega em
uma pizzaria. O tamanho da pizza a ser escolhida permite aos amigos que escolham 3 sabores dentre os
20 disponíveis na pizzaria. Quantas são as diferentes possibilidades de pizzas a serem escolhidas?
Resolução: Não muda nada, se eles escolherem os sabores frango, milho e queijo, ou queijo, milho e
frango. Estas duas ordens de pedidos configuram a mesma pizza, assim, este caso não trata-se de um
arranjo. Logo, temos 3 dos 20 sabores para escolher e precisamos excluir os casos repetidos:
C 20,3 =
20!
20.19.18.17!
=
= 1140
(20 − 3)!3!
17!3!
Assim, são 1140 diferentes possibilidades de pedidos de uma pizza com 3 sabores.
EXERCÍCIOS:
01. Calcule:
a) C10,5
b) C18,15
c) C 7, 4 - C 7,3
d) C 6, 2
e) C 21, 4
02. Qual é a chance de um apostador acertar na Mega Sena, apostando em 6 das 60 dezenas a serem
sorteadas?
03. Um time de futebol é composto de 11 jogadores, sendo 1 goleiro, 4 zagueiros, 4 meio campistas e 2
atacantes. Considerando-se que o técnico dispõe de 3 goleiros, 8 zagueiros, 10 meio campistas e 6
atacantes, determine o número de maneiras possíveis que esse time pode ser formado.
6. PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
Quando estudamos as Permutações Simples, vimos que a quantidade de elementos distintos
depende unicamente do número de elementos, assim, Pn = n! . Mas, e se não tivermos todos os elementos
distintos em um agrupamento?
Para responder esta pergunta, vamos calcular a quantidade de agrupamentos da palavra
“PESSOAS”. Se esta palavra não tivesse letras repetidas, teríamos 7! anagramas. Porém, esta palavra
possui 3 letras S repetidas, que ao serem permutadas entre si, dão origem a anagramas iguais. Assim, a
palavra PESSOAS tem menos de 7! anagramas.
Como a palavra PESSOAS possui 3 letras S, cada anagrama se repete 3! vezes. Assim, o número
de anagramas dessa palavra é dado por:
7! 7.6.5.4.3!
=
= 840
3!
3!
A quantidade de permutações de n elementos com repetições, dos quais n1 , n2 , ... n k são as quantidades
dos diferentes elementos e n1 + n 2 + ... + n k = n , é dada por:
PERMUTAÇÃO
COM REPETIÇÃO
Pn( n1 ,n2 ,...,nk ) =
n!
n1!n2!...nk !
Exemplo: Quantos anagramas possui a palavra CARROSSÉIS?
Resolução: Note que a palavra possui 10 letras, mas algumas delas se repetem. Então, de início, n = 10 .
A letra “R” se repete duas vezes e a letra “S” aparece três vezes. Todas as outras letras são singulares e
não se repetem. Assim, n1 = 2 (duas letras R) e n2 = 3 (três letras S). E, portanto, calculamos:
P10( 2,3) =
10! 10.9.8.7.6.5.4.3!
=
= 302400
2!.3!
2.1.3!
EXERCÍCIOS:
01. Determine quantos anagramas tem cada palavra abaixo:
a) MONITOR b) AMERICANA c) LIBERTADOR d) CALCULADORA e) RENASCIMENTO
02. Permutando os algarismos do número 125.612, quantos números:
a) são obtidos?
b) pares são obtidos?
c) menores que 400.000 são obtidos?
03. (FURG-RS) Manoela decidiu escolher uma senha para seu e-mail trocando a ordem das letras de seu
nome. O número de maneiras como ela pode fazer isso, considerando que a senha deve ser diferente do
próprio nome, é:
a) 817
b) 48
c) 5.039
d) 23
e) 2.519
04. (ENEM-MEC) A escrita Braille para cegos é um sistema de símbolos no qual cada caractere
é um conjunto de 6 pontos dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos um se destaca
em relação aos demais. Por exemplo, a letra A é representada pela figura ao lado. O número
total de caracteres que podem ser formados no sistema Braille é:
a) 12
b) 31
c) 36
d) 63
e) 720
MAIS NO SITE: Em http://www.carlosrutz.com/pdf/tabela_braille.pdf existe uma tabela completa com
os caracteres em Braille, incluindo números, acentuações e regras de pontuação. Confira!
7. BINÔMIO DE NEWTON
Enquanto estudantes do Ensino Fundamental, nossos professores de matemática nos cobravam que
soubéssemos desenvolver os produtos notáveis. Este assunto trata-se de uma forma genérica de se
desenvolver binômios elevados a qualquer grau, desde que seja Natural, com a ajuda da Análise
Combinatória.
Um binômio do tipo ( x + y ) n é chamado binômio de Newton.
Atividade: Continue o desenvolvimento dos binômios abaixo:
n = 0 → ( x + y) 0 = 1
n = 1 → ( x + y )1 = x + y
n = 2 → ( x + y ) 2 = ( x + y ).( x + y ) = x 2 + 2 xy + y 2
n =3→
n=4→
Dependendo do valor de n , este processo pode ser muito trabalhoso. Então, estudaremos uma
maneira menos trabalhosa de se obter qualquer dos termos de um binômio do tipo ( x + y ) n sem efetuar
todo o seu desenvolvimento.
7.1 TRIÂNGULO DE PASCAL
Para auxiliar no entendimento, assista aos vídeos que
disponibilizei na página de sua turma no site
http://www.carlosrutz.com
ou utilize seu leitor de QR nas imagens ao lado:
Sabemos que, em uma combinação simples, a ordem dos elementos não importa, e a quantidade
n
n!
total de combinações simples pode ser indicada por C n, p = C np =   =
.
 p  (n − p )! p!
BINÔMIO DE NEWTON:
O TRIÂNGULO DE PASCAL
0
 
0
1
 
0
 2
 
0
 3
 
0
 4
 
0
5
 
0
...
 1
 
 1
 2
 
1
 3
 
1
 4
 
1
 5
 
1
 2
 
 2
 3
 
 2
 4
 
 2
5
 
 2
No estudo do Binômio de Newton, como forma de simplificar
a escrita, utilizaremos a notação:
n
  “binomial de n sobre p ”, ou “binomial de n classe p ”
 p
Podemos organizar os números binomiais em uma estrutura
triangular, conhecida como Triângulo de Pascal. Observando parte
desse triângulo, notamos que os números binomiais que possuem:
• Mesmo numerador, encontram-se na mesma linha
• Mesmo denominador, encontram-se na mesma coluna.
 3
 
 3
 4
 
 3
 5
 
 3
 4
 
 4
 4
 
5
5
 
5
Aplicando as combinações ao triângulo ao lado, escrevemos:
1
Por exemplo:
1 1
 4
4!
1 2 1
  = C 4, 2 =
=6
2
(4 − 2)!2!

1 3 3 1
 5
5!
1 4 6 4 1
  = C 5,3 =
= 10
(5 − 3)!3!
 3
1 5 10 10 5 1
Propriedades do Triângulo de Pascal:
1ª propriedade: Tomando qualquer linha do triângulo, termos eqüidistantes são iguais;
2ª propriedade: A partir da 3ª linha e exceto o primeiro e último elemento de cada linha, cada elemento
do triângulo é a soma do elemento imediatamente superior a ele com o elemento anterior a este.
3ª propriedade: A soma de todos os elementos de qualquer linha n do triângulo é igual a 2 n .
EXERCÍCIOS:
01. Um professor elaborou o seguinte quebra-cabeças para seus alunos, dizendo
que esta tabela é parte de um Triângulo de Pascal. Complete-o:
02. Calcule o valor de:
 7   7 8
a)   +   +  
 4   5   5
10   2   8 
b)   +   +  
 4   0   3
55 165 330 462
66
78
91
15  15  15 
15  15 
c)   +   +   + ... +   +  
0 1 2
14  15 
03. Quantos elementos tem a 8ª linha do Triângulo de Pascal? E qual a soma de seus elementos?
04. De um grupo de 10 pessoas, deseja-se formar uma comissão com no mínimo 1 no máximo 10
integrantes. Quantas comissões diferentes podem ser formadas?
7.2 FÓRMULA DO BINÔMIO DE NEWTON
Existe uma fórmula para rápida para escrevermos o Binômio de Newton. A partir desta fórmula,
destacamos:
• Em qualquer dos termos do desenvolvimento de ( x + y ) n , a soma dos expoentes de x e y é n .
•
•
•
•
O desenvolvimento de ( x + y ) n possui n + 1 termos.
Os expoentes de x decrescem, de 1 em 1, de n até 0.
Os expoentes de y crescem, de 1 em 1, de 0 até n .
Os elementos da linha do Triângulo de Pascal correspondem ao coeficiente do desenvolvimento
de ( x + y ) n .
n
n
n
n
 n  n −( n −1) n −1  n  n − n n
 x
( x + y ) n =   x n y 0 +   x n −1 y 1 +   x n − 2 y 2 + ... +   x n − p y p + ... + 
y +   x y
0
1
2
 p
 n − 1
n
EXERCÍCIOS:
01. Efetue o desenvolvimento de ( x + 2) 5
02. Efetue o desenvolvimento de ( x − 2) 5
7.3 TERMO GERAL DO BINÔMIO DE NEWTON
Para encontrarmos um termo específico do binômio de Newton, sem precisar desenvolver todo o
binômio, utilizamos o termo geral, ou termo genérico do Binômio de Newton:
n
T p +1 =   x n − p y p
 p
6
Exemplo: O 3º termo do binômio (3 x + y ) 6 é: T2+1 =   x 6−2 y 2 = 15.(3 x) 4 y 2 = 15.81x 4 y 2 = 1215 x 4 y 2
 2
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES E ENEM
01. (FUVEST) Considere todas as trinta e duas seqüências, com cinco elementos cada uma, que podem
ser formadas com os algarismos 0 e 1. Quantas dessas seqüências possuem pelo menos três zeros em
posições consecutivas?
a) 3
b) 5
c) 8
d) 12
e) 16
02. (VUNESP) De uma urna contendo 10 bolas coloridas, sendo 4 brancas, 3 pretas, 2 vermelhas e 1
verde, retiram-se, de uma vez, 4 bolas. Quantos são os casos possíveis em que aparecem exatamente uma
bola de cada cor?
a) 120
b) 72
c) 24
d) 18
e) 12
03. (MACK) Cada um dos círculos da figura ao lado deverá ser pintado com uma única cor, escolhida
dentre quatro disponíveis. Sabendo-se que dois círculos consecutivos nunca serão pintados com a mesma
cor, então o número de formas de se pintar os círculos é:
a) 100
b) 240
c) 729
d) 2916
e) 5040
04. (UEL) Um professor de Matemática comprou dois livros para premiar dois alunos de uma classe de
42 alunos. Como são dois livros diferentes, de quantos modos distintos pode ocorrer a premiação?
a) 861
b) 1722
c) 1764
d) 3444
e) 242
05. (UNIV. EST. DE FEIRA DE SANTANA) O número de equipes de trabalho que poderão ser
formadas num grupo de dez indivíduos, devendo cada equipe ser constituída por um coordenador, um
secretário e um digitador, é:
a) 240
b) 360
c) 480
d) 600
e) 720
06. (MACK) Um juiz dispõe de 10 pessoas, das quais somente 4 são advogados, para formar um único
júri com 7 jurados. O número de formas de compor o júri, com pelo menos 1 advogado, é:
a) 120
b) 108
c) 160
d) 140
e) 128
07. Do cardápio de uma festa constavam dez diferentes tipos de salgadinhos dos quais só quatro seriam
servidos quentes. O garçom encarregado de arrumar a travessa e servi-la foi instruído para que a mesma
contivesse sempre só 2 diferentes tipos de salgadinhos frios, e só 2 diferentes dos quentes. De quantos
modos diferentes, teve o garçom a liberdade de selecionar os salgadinhos para compor a travessa,
respeitando as instruções?
a) 90
b) 21
c) 240
d) 38
e) 80
08. (ITA) O número de soluções inteiras, maiores ou iguais a zero, da equação x + y + z + w = 5 é:
a) 36
b) 48
c) 52
d) 54
e) 56
09. (ENEM-MEC 2010) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura
do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em
seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio,
sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante.
A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do
jogo de abertura podem ser calculadas através de:
a) uma combinação e um arranjo, respectivamente.
b) um arranjo e uma combinação, respectivamente.
c) um arranjo e uma permutação, respectivamente.
d) duas combinações.
e) dois arranjos.