PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO OU DA CONTAGEM 1) (ESAF) Diante do caixa eletrônico de um banco, Mariana não conseguia lembrar-se de sua senha de seis dígitos. Lembrava-se apenas dos dois primeiros (mês de seu nascimento) e dos dois últimos (sua idade atual). Supondo que levou cerca de um minuto em cada tentativa de completar a senha e que esgotou todas as alternativas distintas possíveis, somente acertando na última, Mariana retirou os reais desejados após cerca de: a) 1h 40 min b) 1h 30 min c) 1h 21 min d) 1h e) 45 min 2) Um técnico em radiologia utiliza, para a identificação de chapas, 3 vogais distintas seguidas de 3 algarismos distintos. O número total de chapas diferentes que podem ser identificadas através desse sistema corresponde a: a) 38600 12500 b) 43200 c) 60000 d) 90000 e) 3) (TRT 10a Região) Para a codificação de processos, o protocolo utiliza um sistema com cinco símbolos, sendo duas letras de um alfabeto com 26 letras e três algarismos, escolhidos entre os de 0 a 9. Supondo que as letras ocupem sempre as duas primeiras posições, julgue os itens que se seguem a. O número de processos que podem ser codificados por esse sistema é superior a 650.000 b. O número de processos que podem ser codificados por esse sistema utilizando-se letras iguais nas duas primeiras posições do código é superior a 28.000 c. O número de processos que podem ser codificados por esse sistema de modo que em cada código não haja repetição de letras ou de algarismos é superior a 470.000 4) (CGU – 2008 – ESAF) Ágata é decoradora e precisa atender o pedido de um excêntrico cliente. Ele ─ o cliente ─ exige que uma das paredes do quarto de sua filha seja dividida em uma seqüência de 5 listras horizontais pintadas de cores diferentes, ou seja, uma de cada cor. Sabendo-se que Ágata possui apenas 8 cores disponíveis, então o número de diferentes maneiras que a parede pode ser pintada é igual a: a) 56 b) 5760 c) 6720 d) 3600 e) 4320 5) (MPU – ESAF) Paulo possui três quadros de Gotuzo e três de Portinari e quer expô-los em uma mesma parede, lado a lado. Todos os seis quadros são assinados e datados. Para Paulo, os quadros podem ser dispostos em qualquer ordem, desde que os de Gotuzo apareçam ordenados entre si em ordem cronológica, da esquerda para direita. O número de diferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos é igual a: a) 20 b) 30 c) 24 d) 120 e) 360 6) Roberto e Alice vão sentar-se à mesma fila em um cinema. A fila tem 8 cadeiras, todas vazias. Como não querem sentar-se em cadeiras vizinhas, de quantas maneiras poderão sentar-se? a) 40 b) 42 c) 48 d) 56 e) 64 7) (MPOG) Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 10 cadeiras dispostas em uma fila. O número de diferentes formas feitas pelas quais Pedro e Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos uma cadeira vazia entre eles, é igual a: a) 80 b) 72 c) 90 d) 18 e) 56 8) (PETROBRAS – CESGRANRIO) Mariana foi passar um fim de semana na casa de uma amiga e levou na bagagem cinco camisetas (branca, azul, rosa, vermelha e preta) e três bermudas (marrom, azul e preta). De quantos modos Mariana poderá escolher uma camiseta e uma bermuda para se vestir, se ela deseja que as peças escolhidas sejam sempre de cores diferentes? (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14 (E) 15 9) (PETROBRAS – CESGRANRIO – 2010) Quantos números naturais de 5 algarismos apresentam dígitos repetidos? (A) 27.216 (B) 59.760 (C) 62.784 (D) 69.760 (E) 72.784 10) (CEF – CESGRANRIO) Em uma urna há 5 bolas verdes, numeradas de 1 a 5, e 6 bolas brancas, numeradas de 1 a 6. Dessa urna retiram-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas. Quantas são as extrações nas quais a primeira bola sacada é verde e a segunda contém um número par? (A) 15 (B) 20 (C) 23 (D) 25 (E) 27 PERMUTAÇÕES SIMPLES 11) De quantas maneiras 6 pessoas podem ficar em uma fila? a) 24 b) 60 c) 80 d) 120 e) 720 12) Quantos anagramas possui a palavra CAPÍTULO ? a) 24 b) 60 c) 80 d) 120 e) 40320 13) (AUDITOR JUNIOR - PETROBRAS - CESGRANRIO) A vitrine de uma determinada loja possui 5 lugares para colocação de manequins. Considerando que a loja possui 5 manequins, em quantas formas diferentes eles podem ser arrumados? (A) 120 (B) 100 (C) 50 (D) 25 (E) 15 14) De quantas maneiras 5 pessoas podem ficar em uma fila sendo que duas pessoas insistem em ficar juntas ? a) 24 b) 48 c) 56 d) 72 e) 144 15) (ANEEL-ESAF) Dez amigos, entre eles Mário e José, devem formar uma fila para comprar as entradas para um jogo de futebol. O número de diferentes formas que esta fila de amigos pode ser formada, de modo que Mário e José fiquem sempre juntos é igual a: a) 2! 8! b) 0! 18! c) 2! 9! d) 1! 9! e) 1! 8! Supondo que André, Bruna, Cláudio, Leila e Roberto sejam, não necessariamente nesta ordem, os cinco primeiros classificados em um concurso, julgue os itens seguintes: 16) Com Bruna, Leila e Roberto classificados em posições consecutivas, existem 36 possibilidades distintas para classificação. 17) O número de possibilidades distintas para a classificação com um homem em último lugar é 144 18) Dois casais devem posar, em fila, para uma fotografia. De quantos modos podem fazê-lo, se cada casal deve permanecer junto ? a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 19) De quantas maneiras podemos colocar 5 livros de Matemática, 3 livros de Língua Portuguesa e 4 livros de Geografia em uma estante de tal maneira que os livros da mesma matéria fiquem juntos? a) 5!3!4! b) 10080 c) 5!3!4!3! d) 8280 e) 10200 20) (ANEEL - ESAF) Um grupo de amigos formado por três meninos – entre eles Caio e Beto – e seis meninas – entre elas Ana e Beatriz -, compram ingressos para nove lugares localizados lado a lado, em uma mesma fila no cinema. Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem compartilhar do mesmo pacote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos porque querem compartilhar do mesmo pacote de salgadinhos. Além disso, todas as meninas querem sentar-se juntas, e todos os meninos querem sentar-se juntos. Com essas informações, o número de diferentes maneiras em que esses meninos podem sentar-se é igual a: a) 1920 b) 1152 c) 960 d) 540 e) 860 21) (MPU- ESAF) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila de teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo que: a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas são respectivamente: a) 1.112 e 1.152 b) 1.152 e 1.100 c) 1.152 e 1.152 d) 384 e 1.112 e) 112 e 384 22) (PETROBRAS – CESGRANRIO – 2010) Uma vez formados e dispostos em ordem crescente todos os números, de cinco algarismos, que se obtêm permutando os algarismos 1, 2 ,3, 6, 9, qual lugar ocupará o número 69.321? (A) 72o (B) 90o (C) 94o (D) 96o (E) 101o 23) (PETROBRAS – CESGRANRIO) Se todos os números naturais formados por três algarismos distintos fossem dispostos em ordem crescente, o número 742 ocuparia que posição? (A) 433a (B) 448a (C) 462a (D) 467a (E) 493ª (Polícia Federal/Cespe) Conta-se na mitologia que Hércules, em um acesso de loucura, matou sua família. Para expiar seu crime, foi enviado à presença do rei Euristeu, que lhe apresentou uma série de provas a serem cumpridas por ele, conhecidas como Os Doze Trabalhos de Hércules. Entre esses trabalhos, encontram-se: matar o leão de Neméia, capturar a corça de Cerinéia e capturar o javali de Erimanto. Considere que a Hércules seja dada a escolha de preparar a lista colocando em ordem os doze trabalhos a serem executados, e que a escolha dessa ordem seja totalmente aleatória. Além disso, considere que somente um trabalho seja executado de cada vez. Com relação ao número de possíveis listas que Hércules poderia preparar, julgue os itens subseqüentes. 24) o número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é superior a 12 x 10! 25)O número máximo de possíveis listas contendo o trabalho “matar o leão de Neméia” na primeira posição é inferior a 240 x 990 x 56 x 30 26)O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” na primeira posição e “capturar o javali de Erimanto” na terceira posição é inferior a 72 x 42 x 20 x 6 27)O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” e “capturar o javali de Erimanto” nas últimas duas posições, em qualquer ordem, é inferior a 6! x 8! PERMUTAÇÕES COM REPETIÇÃO 28) (PETROBRAS – CESGRANRIO – 2010) Quantos são os anagramas da palavra PETROBRAS que começam com as letras PE, nesta ordem? (A) 720 (B) 2.520 (C) 5.040 (D) 362.880 (E) 3.628.800 29) (TRT – 16a Região) Julgue os itens que se seguem O número de cadeias binárias (que só contém 0 e 1) de 8 dígitos, e que tenham exatamente 3 zeros, é superior a 50 30) (TRE – BA – 2010) Sabendo que um anagrama é qualquer ordenação formada com as letras de uma palavra, tendo ou não significado, então, com a palavra CORREGEDOR será possível formar 151.200 anagramas distintos. 31) Um sistema de sinalização visual é composto por dez bandeiras, sendo quatro vermelhas, três pretas e três brancas, as quais são hasteadas numa determinada ordem para gerar as mensagens desejadas. Sabe-se que apenas um centésimo das mensagens que podem ser geradas por este sistema é utilizado na prática. Deseja-se desenvolver um novo sistema de sinalização visual, composto apenas de bandeiras de cores distintas e que seja capaz de gerar, pelo menos, a quantidade de mensagens empregadas na prática. O número mínimo de bandeiras que se deve adotar no novo sistema é A) 4. B) 6. C) 3. D) 7. E) 5. 32) A figura abaixo representa o mapa de uma cidade, na qual há 7 avenidas na direção norte-sul e 6 avenidas na direção leste-oeste. a) Quantos são os trajetos de comprimento mínimo ligando o ponto A ao ponto B? b) Quantos desses trajetos passam por C? COMBINAÇÕES SIMPLES 33) (ESAF) Em um congresso há 30 professores de Matemática e 12 de Física. Quantas comissões, poderíamos organizar, compostas de 3 professores de Matemática e 2 de Física? a) 5359200 b) 60 c) 267960 d) 129600 e) 4060 34) A diretoria de uma firma é constituída por 7 diretores brasileiros e 4 diretores japoneses. Quantas comissões de 3 brasileiros e 3 japoneses podem ser formados? a) 35 b) 39 c) 50 d) 7! 4! e) 140 35) (TERMOAÇU-CESGRANRIO) Quantas equipes de 3 pessoas podem ser formadas em um departamento que contém 7 funcionários? (A) 2 (B) 3 (C) 35 (D) 210 (E) 840 36) (Auditor – Sefaz – PI- ESAF) Em um grupo de dança participam dez meninos e dez meninas. O número de diferentes grupos de cinco crianças, que podem ser formados de modo que em cada um dos grupos participem três meninos e duas meninas é dado por: a) 5.400 b) 6.200 c) 6.800 d) 7.200 e) 7.800 37) (AFRF – ESAF) Uma empresa possui vinte funcionários, dos quais dez são homens e dez são mulheres. Desse modo, o número de comissões de cinco pessoas que se pode formar com três homens e duas mulheres é: a) 1.650 b) 165 c) 5.830 d) 5.400 e) 5.600 38) (TFC – CGU – 2008) Uma turma de 20 formandos é formada por 10 rapazes e 10 moças. A turma reúne-se para formar uma comissão de formatura composta por 5 formandos. O número de diferentes comissões que podem ser formadas, de modo que em cada comissão deve haver 3 rapazes e 2 moças, é igual a: a) 2500 b) 5400 c) 5200 d) 5000 e) 5440 39) (TFC – CGU – 2008) Ana precisa fazer uma prova de matemática composta de 15 questões. Contudo, para ser aprovada, Ana só precisa resolver 10 questões das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as questões? a) 3003 b) 2980 c) 2800 d) 3006 e) 3005 40) (TRT – SC - FCC) Em um edifício residencial, os moradores foram convocados para uma reunião, com a finalidade de escolher um síndico e quatro membros do conselho fiscal, sendo proibida a acumulação de cargos. A escolha deverá ser feita entre dez moradores. De quantas maneiras diferentes será possível fazer estas escolhas? a) 64 b) 126 c) 252 d) 640 e) 1.260 41) (AFC – ESAF) Quer-se formar um grupo de dança com 9 bailarinas, de modo que 5 delas tenham menos de 23 anos, que uma delas tenha exatamente 23 anos, e que as demais tenham idade superior a 23 anos, Apresentaram-se, para a seleção, quinze candidatas, com idades de 15 a 29 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O número de diferentes grupos de dança que podem ser selecionados a partir deste conjunto de candidatas é igual a: a) 120 b) 1220 c) 870 d) 760 e) 1120 42) (FISCAL DO TRABALH0 – ESAF) Quer-se formar um grupo de danças com 6 bailarinas, de modo que três delas tenham menos de 18 anos, que uma delas tenha exatamente 18 anos, e que as demais tenham idade superior a 18 anos. Apresentaram-se, para a seleção, doze candidatas, com idades de 11 a 22 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O número de diferentes grupos de dança que podem ser selecionados a partir deste conjunto de candidatas é igual a: a) 85 b) 220 c) 210 d) 120 e) 150 43) (ESAF) Numa recepção, há 50 homens e 30 mulheres. O número de apertos de mãos possíveis, sabendo-se que 70% das mulheres não se cumprimentam entre si, é: a) 3.160 b) 1.435 c) 2.950 d) 1.261 e) 2.725 44) (MPOG) Um grupo de estudantes encontra-se reunido em uma sala para escolher, aleatoriamente, por sorteio, quem entre eles irá ao Simpósio de Matemática do próximo ano. O grupo é composto de 15 rapazes e de um certo número de moças. Os rapazes cumprimentam-se, todos e apenas entre si, uma única vez, as moças cumprimentam-se, todas e apenas entre si, uma única vez. Há um total de 150 cumprimentos. O número de moças é, portanto, igual a: a) 10 b) 14 c) 20 d) 25 e) 45 45) (POLÍCIA FEDERAL) Para uma investigação a ser feita pela Polícia Federal, será necessária uma equipe com 5 agentes. Para formar essa equipe, a coordenação da operação dispõe de 29 agentes, sendo 9 da superintendência regional de Minas Gerais, 8 da regional de São Paulo e 12 da regional do Rio de Janeiro. Em uma equipe, todos os agentes terão atribuições semelhantes, de modo que a ordem de escolha dos agentes não será relevante. Com base nessa situação hipotética, julgue os itens seguintes. a) Poderão ser formadas, no máximo, 19 x 14 x 13 x 7 x 5 x 3 equipes distintas b) Se a equipe deve conter exatamente 2 agentes da regional do Rio de Janeiro, o número máximo de equipes distintas que a coordenação dessa operação poderá formar é inferior a 19 x 17 x 11 x 7 c) Se a equipe deve conter exatamente 2 agentes da regional do Rio de Janeiro, 1 agente da regional de São Paulo e 2 agentes da regional de Minas Gerais, então a coordenação da operação poderá formar, no máximo, 12 x 11 x 9 x 8 x 4 equipes distintas 46) (SERPRO/CESPE) Em cada um dos itens a seguir, é apresentada uma situação, seguida de uma assertiva a ser julgada. a) Em um centro de pesquisas onde atuam 10 pesquisadores, deverá ser formada uma equipe com 5 desses pesquisadores para desenvolver determinado projeto. Sabe-se que 2 dos 10 pesquisadores só aceitam participar do trabalho se ambos forem escolhidos; caso contrário, não participam. Nessa situação, há menos de 250 maneiras diferentes de se montar a equipe b) Considere que uma rede de computadores foi projetada com 48 nós, indexados de 1 a 48. Em determinado momento, ocorreu uma falha em exatamente dois desses nós mas poderia ter ocorrido em qualquer dos nós. Nessa situação, o número de pares de nós passíveis em que essa falha poderia ter ocorrido é superior a 1.000. 47) (GEFAZ-MG) Marcela e Mário fazem parte de uma turma de quinze formandos, onde dez são rapazes e cinco são moças. A turma reúne-se para formar uma comissão de formatura composta por seis formandos, sendo três rapazes e três moças. O número de diferentes comissões que podem ser formadas de modo que Marcela participe e que Mário não participe é igual a: a) 504 b) 252 c) 284 d) 90 e) 84 48) (PETROBRÁS – ADMINISTRADOR – CESGRANRIO) Um grupo é formado por 7 mulheres, dentre as quais está Maria, e 5 homens, dentre os quais está João. Deseja-se escolher 5 pessoas desse grupo, sendo 3 mulheres e 2 homens. De quantas maneiras essa escolha pode ser feita de modo que Maria seja escolhida e João, não? (A) 60 (B) 90 (C) 126 (D) 150 (E) 210 49) (EPE – CESGRANRIO) Um grupo é formado por 7 pessoas, dentre as quais estão Lúcio e Pedro. De quantas maneiras diferentes é possível escolher 4 pessoas desse grupo de forma que Lúcio e Pedro não façam parte, simultaneamente, dos quatro selecionados? (A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20 (E) 25 50) (FISCAL DO TRABALHO – 2010 – ESAF) O departamento de vendas de uma empresa possui 10 funcionários, sendo 4 homens e 6 mulheres. Quantas opções possíveis existem para se formar uma equipe de vendas de 3 funcionários, havendo na equipe pelo menos um homem e pelo menos uma mulher? a) 192. b) 36. c) 96. d) 48. e) 60. 51) (ISS – RJ – ESAF – 2010) O departamento de vendas de imóveis de uma imobiliária tem 8 corretores, sendo 5 homens e 3 mulheres. Quantas equipes de vendas distintas podem ser formadas com 2 corretores, havendo em cada equipe pelo menos uma mulher? a) 15 b) 45 c) 31 d) 18 e) 25 52) (AFC – ESAF) Um grupo de dança folclórica formado por sete meninos e quatro meninas foi convidado a realizar apresentações de dança no exterior. Contudo, o grupo dispõe de recursos para custear as passagens de apenas seis dessas crianças. Sabendo-se que nas apresentações do programa de danças devem participar pelo menos duas meninas, o número de diferentes maneiras que as seis crianças podem ser escolhidas é igual a: a) 286 b) 756 c) 468 d) 371 e) 752 53) Cinco pessoas devem ser acomodadas em três quartos diferentes. Os quartos 1 e 2 acomodam no máximo duas pessoas; o quarto 3 só pode receber uma pessoa. O número de maneiras distintas de acomodarmos as cinco pessoas é igual a: a) 6 b) 20 c) 30 d) 45 e) 60 54) (MPOG – 2010 – ESAF) Beatriz é fisioterapeuta e iniciou em sua clínica um programa de reabilitação para 10 pacientes. Para obter melhores resultados neste programa, Beatriz precisa distribuir esses 10 pacientes em três salas diferentes, de modo que na sala 1 fiquem 4 pacientes, na sala 2 fiquem 3 pacientes e na sala 3 fi quem, também, 3 pacientes. Assim, o número de diferentes maneiras que Beatriz pode distribuir seus pacientes, nas três diferentes salas, é igual a: a) 2.440 b) 5.600 c) 4.200 d) 24.000 e) 42.000 55) (PETROBRAS) O gerente de um projeto quer dividir sua equipe, que é composta de 12 pessoas, em três grupos de quatro pessoas cada um. Entretanto, duas dessas pessoas, João e Maria, por questões de perfil profissional, serão colocadas em grupos diferentes. O número de maneiras distintas que esse gerente tem para dividir sua equipe segundo a forma descrita é (A) 930 (B) 3.720 (C) 4.200 (D) 8.640 (E) 12.661 PERMUTAÇÕES CIRCULARES 56) De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com 7 crianças ? a) 720 b) 600 c) 840 d) 830 e) 750 57) De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com 7 crianças, de modo que duas determinadas crianças não fiquem juntas ? a) 450 b) 480 c) 500 d) 700 e) 720 58) De quantos modos 5 meninos e 5 meninas podem formar uma roda de ciranda de modo que pessoas de mesmo sexo não fiquem juntas? a) 1440 b) 1720 c) 2000 d) 2400 e) 2880 59) (AFRFB-2009-ESAF) De quantas maneiras podem sentar-se três homens e três mulheres em uma mesa redonda, isto é, sem cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens? a) 72 b) 36 c) 216 d) 720 e) 360 COMBINAÇÕES COMPLETAS 60) De quantos modos é possível comprar 4 sorvetes em uma loja que o oferece em 7 sabores ? a) 200 b) 210 c) 220 d) 230 e) 240 61) Quantas são as soluções inteiras e não negativas de x + y + z = 5 ? a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 62) Quantas são as soluções inteiras e não negativas de x + y + z ≤ 5? a) 48 b) 52 c) 56 d) 60 e) 64 63) De quantos modos podemos comprar 3 refrigerantes em uma loja onde há 5 tipos de refrigerante ? a) 30 b) 32 c) 35 d) 40 e) 44 64) Quantas são as soluções inteiras da equação x + y + z = 20 com x ≥ 2, y ≥ 2, z ≥ 2 ? a) 100 b) 105 c) 110 d) 115 e) 120 65) Quantas são as soluções inteiras não-negativas de a) 20 x + y + z + w = 3? b) 25 c) 30 d) 35 e) 40 66) Quantas são as soluções inteiras não-negativas de a) 120 x + y + z + w < 6? b) 126 c) 134 d) 145 e) 154 67) Quantas são as soluções inteiras positivas de x + y + z = 10? a) 18 b) 20 c) 32 d) 36 e) 40 68) Quantas as soluções inteiras positivas de x + y + z < 10? a) 80 b) 84 c) 96 d) 100 e) 120 69) (PETROBRAS – ADMINISTRADOR – 2010) Um posto de combustível comprou 6 bombas (idênticas) de abastecimento, que serão pintadas, antes de sua instalação, com uma única cor, de acordo com o combustível a ser vendido em cada uma. O posto poderá vender etanol (cor verde), gasolina (cor amarela) e diesel (cor preta). De quantas maneiras as bombas podem ser pintadas, considerando a não obrigatoriedade de venda de qualquer tipo de combustível? (A) 20 (B) 28 (C) 56 (D) 216 (E) 729 70) (PETROBRAS – ADMINISTRADOR – 2010) O número de elementos do conjunto soluções da equação x + y + z = 8 , onde x, y e z são números naturais positivos, é (A) 13 (B) 15 (C) 17 (D) 19 (E) 21 71) (SEFAZ RJ – FGV) Os jogadores A e B se encontram para jogar uma partida de tênis em no máximo cinco sets, na qual será vencedor aquele que primeiro ganhar três sets. Por exemplo, partidas terminadas poderão ter como resultado: AAA, AABA, BABAB, etc. Então, o número de possíveis resultados para uma partida terminada é: (A) 4. (B) 10. (C) 6. (D) 20. (E) 8.