Ca
r
Capı́tulo 2
Vetores — uma introdução
FS
geométrica
Atividades com GeoGebra
Palavras-chave:
-U
Mais Octave
ponto, vetor, escalar, coordenada, segmento, segmentos equipo-
lentes, soma de vetores, multiplicação de vetor por escalar, soma de ponto com vetor,
DM
módulo de vetor, vetores colineares, vetores coplanares, dependência linear de vetores,
equação vetorial de reta, equação vetorial de plano, GeoGebra
Vamos introduzir o conceito de vetor, as operações básicas de vetores, e um pouco
sobre dependência linear, com as primeiras aplicações no equacionamento de retas e
planos. Introduziremos também, junto com o texto, a utilização do programa GeoGebra,
além do Octave, como uma ferramenta para fixação dos conceitos geométricos em estudo,
no caso plano.
54
55
2.1
Grandezas escalares e grandezas vetoriais
2.1.1
Grandezas escalares e sistema referencial em uma reta
As grandezas escalares são conceitos que podem ser representados por números reais
e que podem ser obtidos, ou não, por um processo de medição, com uma unidade fixada.
r
Exemplos simples de grandezas escalares que podem ser encontradas na vida cotidiana
temperatura, densidade, e assim por diante.
Ca
são: distância entre dois pontos, comprimentos de segmentos e curvas, áreas, volumes,
Então, quando se trata de grandezas escalares, trabalha-se que com números reais que
as representam. Isto não significa que um número real sempre representa uma grandeza
FS
escalar, porém, um número real é chamado de escalar.
Veja uma planilha do GeoGebra, com a distância entre os pontos A e B e a área do
DM
-U
triângulo CDE calculados. Veja que são representados por números (escalares).
Os números reais possuem uma representação geométrica por meio de uma reta, de
56
maneira que haja uma correspondência entre os números reais e os pontos da reta. Isto
se faz da seguinte maneira:
Seja r uma reta qualquer. Sobre a reta, determine um ponto, chamado O. Este ponto
determina duas semirretas. A escolha de uma das semirretas determina uma orientação
da reta, isto é, chamando a semirreta escolhida de semieixo positivo, a semirreta oposta
r
será chamada de semieixo negativo. A nomenclatura fica clara a partir da correspondência
Ca
que se estabelece com os números reais como veremos a seguir.
O
r
x
Na figura acima, temos a representação de um sistema referencial para a reta r,
FS
formado por um ponto O sobre r e a escolha do semieixo positivo. Numa representação
“horizontal” de uma reta, costuma-se escolher como semieixo positivo a semirreta à direita
de O. O sistema referencial é denotado por S = {O, x}, ou simplesmente, Ox.
Suponhamos escolhida uma unidade de medida para o comprimento de segmentos por
-U
meio de um segmento fixado. Então, dado um ponto geométrico qualquer P sobre a reta,
podemos medir a distância de P a O, como o comprimento do segmento OP , usando a
unidade fixada. Ao ponto P associamos o número real xP , de modo que:
DM
• xP é a distância de P a O, se P estiver no semieixo positivo, sendo xP > 0
• xP é 0 se P = O.
• xP é oposto da distância de P a O, se P estiver no semieixo negativo, sendo xP < 0.
Estamos estabelecendo uma correspondência entre os pontos da reta r e o conjunto
dos números reais.
Reciprocamente, dado um número real x ∈ R, podemos associar um ponto geométrico
Px sobre a reta r, de modo que:
• Px está à distância x de O, à direita de O, se x > 0.
57
• Px é o ponto O se x = 0.
• Px está à distância |x| de O, à esquerda de O, se x < 0.
Temos então uma correspondência biunı́voca entre os pontos de uma reta e o conjunto
O
1
2
3
4
unidade
5
6
P
x
Px = 10.28
Ca
−3 −2 −1
r
dos números reais.
Na ilustração acima, lê-se a representação de alguns números inteiros, obtidos a partir
FS
do segmento-unidade fixado previamente. O ponto P na figura está associado ao número
real Px = 10.28, numa representação decimal com precisão de 2 casas decimais. Este
número associado ao ponto P é chamado coordenada de P no sistema S = {O, x} da
reta r. A coordenada x de um ponto pode ser um número inteiro, racional ou irracional.
-U
Está estabelecida uma correspondência biunı́voca entre o conjunto dos pontos da reta
r e o conjunto de números reais R.
Observamos que, com esta representação geométrica, o módulo de um número real x
é interpretado como o comprimento do segmento OP , onde P é o ponto geométrico que
DM
possui x como sua coordenada.
Assim, |x| = x, se x ≥ 0 e |x| = −x, se x < 0.
Exercı́cio 1: Represente num sistema referencial de uma reta, pontos A e B que
correspondem às coordenadas Ax = 3/7 e Bx = −8. Encontre a distância entre os
pontos A e B, usando propriedades do módulo.
Exercı́cio 2: No desenho sistema referencial anterior, como poderia construir uma re√
presentação geométrica do ponto C = 2, podendo utilizar régua e compasso? (Obs:
√
2 é um número irracional, isto é, não podemos escrevê-lo na forma m
, com m e n
n
58
inteiros, n 6= 0. Este número aparece naturalmente na diagonal de um quadrado de lado
1.)
2.1.2
Introdução às grandezas vetoriais
r
Intuitivamente, usando exemplos da vida cotidiana, diz-se que as grandezas vetoriais
são conceitos que precisam não apenas de um escalar para representá-los, mas também
Ca
de direção e sentido.
Um exemplo simples pode ser dado pelo conceito de velocidade de uma partı́cula que
se desloca ao longo de uma curva.
Supondo o caso simples da curva ser retilı́nea, considere um ponto A que se desloca
FS
em linha reta com velocidade de 4 km/h dirigindo-se a um ponto B situado sobre a reta.
4 km/h
A
B
Ao conceito de velocidade no ponto A está associado não apenas o número real 4
-U
(unidade = km/h), mas a direção da reta r(A, B) onde ocorre o deslocamento e o
sentido de percurso. Considere outro ponto X se deslocando sobre a mesma reta, no
mesmo sentido de percurso de A e com mesma taxa de variação do espaço percorrido em
DM
relação à unidade de tempo, 4 km/h no caso.
4 km/h
A
4 km/h
X
B
Podemos dizer que A e X se deslocam à mesma velocidade.
Se o ponto X estiver se deslocando sobre a mesma reta, mas no sentido de B para
A, a 4 km/h, não temos mais a mesma velocidade, mas sim, vetores velocidades com
sentidos opostos, apesar de terem a mesma direção e a mesma intensidade.
59
4 km/h
4 km/h
A
X
B
Agora, ainda considerando que A se desloca como descrito acima, se o ponto X
estiver se deslocando a 4 km/h sobre uma reta r(C, D) paralela à reta r(A, B), temos
r
que as velocidades têm a mesma intensidade e mesma direção (dizemos que retas paralelas
Ca
definem a mesma direção), mas podem ter sentidos opostos ou iguais. Considere a reta
passando por A e C: esta divide o plano contendo as duas retas paralelas em dois
semiplanos. Suponha que o ponto D esteja no mesmo semiplano que B em relação à
reta r(A, C). Então o sentido de A para B é o mesmo que de C para D e a velocidade
FS
de X será a mesma que a de A se o sentido for a mesma de C para D, e em sentidos
opostos caso contrário.
4 km/h
C
X
A
-U
4 km/h
D
B
O conceito de velocidade de deslocamento de uma partı́cula como uma grandeza
DM
vetorial, fica ainda mais claro, se considerarmos uma trajetória curvilı́nea.
A
b
X
b
4 km/h
B
b
4 km/h
Vamos considerar, sobre uma trajetória curvilı́nea, os pontos A e X, ambos se deslocando a 4 km/h dirigindo-se para B, como na figura. Neste caso, o vetor velocidade em
A e o vetor velocidade em X possuem em comum apenas o escalar 4 (km/h) que repre-
60
senta o seu valor numérico da sua intensidade mas não possuem a mesma direção. Sem
direção em comum, nem se compara o sentido. A taxa de variação do vetor velocidade
por unidade de tempo é sentida, neste caso, como o vetor aceleração normal, na direção
normal à trajetória, que se estuda na Fı́sica.
são: força, peso, campo elétrico, campo magnético, etc.
r
Outros exemplos de grandezas vetoriais que podem ser encontradas na vida cotidiana
Ca
Mas um exemplo mais natural de vetor aparece nas chamadas translações, quando
deslocamos objetos de lugar. Quando levamos um objeto na posição A para uma posição
B, estamos definindo um vetor deslocamento. Podemos aplicar o mesmo deslocamento
num outro objeto, em outra posição, com o mesmo vetor deslocamento. Como exercı́cio,
FS
desenhe dois pontos A e B num plano, e considere a translação (deslocamento) que
leva A em B. Depois desenhe outro ponto X e imagine efetuando a mesma translação
anterior, agora no ponto X. Onde deve ficar o ponto Y que representa X depois do
-U
deslocamento?
Atividades com GeoGebra (1):
• Desenhe 3 pontos A, B e C: selecione
(novo ponto) na Barra de Ferramentas,
e clique com o mouse nos locais de sua escolha, dentro da Área de Trabalho. Prova-
DM
velmente os pontos serão nomeados automaticamente, mas podemos renomeá-los
(observação: o GeoGebra se recusará em nomear um ponto de X, como no exercı́cio
anterior).
• Volte à Barra de Ferramentas e selecione
(vetor definido por dois pontos).
−→
Determine o vetor AB, clicando primeiro no ponto A e depois, no ponto B.
• Agora, selecione
(Transladar por um vetor ), clique no ponto C e no vetor
−→
AB. Aparecerá um novo ponto, C ′ .
61
−−→
• Defina o vetor CC ′ utilizando novamente a ferramenta vetor definido por dois pon−→ −−→
tos. É verdade que AB = CC ′ ?
Selecione
(relação entre dois elementos), clique sobre os dois vetores e veja
a resposta!
(Mover ) e movimente os pontos A, B e C. Suas conclusões ante-
Ca
• Selecione
r
• Analise a posição do ponto C ′ com as ferramentas à sua disposição.
riores dependem dos pontos?
Representação de vetores por segmentos orientados
FS
2.1.3
Para representar geometricamente as grandezas vetoriais que ocorrem na vida real,
os conceitos da geometria euclidiana no plano e no espaço fornecem os elementos ideais
para estudar os vetores nestes ambientes. As propriedades matemáticas de vetores que
são estudadas com as representações geométricas permitem estender o conceito de vetor,
-U
posteriormente, para ambientes mais abstratos, chamados espaços vetoriais, que constituem uma ferramenta essencial para o entendimento da Matemática e suas aplicações em
outros ramos da Ciência.
Neste primeiro momento, os ambientes dos vetores serão o plano e o espaço. O modelo
DM
geométrico para representar um vetor é dado pelo conceito de segmento orientado, como
segue.
Dados dois pontos quaisquer A e B, distintos, eles determinam a reta r(A, B), na qual
distinguimos o segmento de reta AB. Estabelecendo um dos pontos, digamos A, como a
origem do segmento, o outro ponto B é a extremidade final, e tem-se determinado um
sentido de percurso no segmento AB: de A para B.
−→
Diz-se que o segmento AB é orientado e denota-se por AB.
62
,B
r (A
B = extremidade final
r
o
ent
m
g
se
−→B
A
o
d
a
t
n
orie
)
Ca
A = origem
Este segmento possui um comprimento associado (um escalar), a direção da reta
FS
suporte r(A, B) e o sentido determinado pela escolha de A como origem e B como final.
−→
Dizemos então que o segmento orientado AB representa um vetor ~v e denotamos
−→
~v = AB.
r(A, B)
B
r(P, Q)
Q
−→
~v = P Q
DM
A
-U
−→
~v = AB
P
Se P é um outro ponto, podemos considerar a reta que passa por P e é paralela à reta
r(A, B). Sobre esta reta, podemos considerar Q, ponto tal que o segmento orientado
−→
−→
P Q tenha o mesmo comprimento de AB, a mesma direção (retas paralelas) e o mesmo
−→
sentido. Então P Q representa o mesmo vetor ~v .
Observação: Se P é um ponto da reta r(A, B), podemos tomar Q na própria reta, de
−→
modo que o segmento orientado P Q tenha o mesmo comprimento, direção e sentido de
−→
AB.
63
Portanto, um vetor ~v é representado geometricamente por uma coleção de segmentos orientados que possuem em comum comprimento, direção e sentido. Os segmentos
orientados que representam um determinado vetor são chamados equipolentes.
Temos o conceito de vetor livre, no sentido que um vetor ~v não depende de um ponto
Ca
r
inicial de um segmento orientado que o representa.
−→
Por outro lado, se ~v = AB e um ponto P é dado, existe um único ponto Q tal que
−→
~v = P Q.
−→
~v = AB
A
FS
−→
B = A + AB = A + ~v
−→
Q = P + ~v = P + P Q
P
-U
−→
~v = P Q
−→
Denotamos então Q = P + ~v . Com esta notação, temos claramente que se ~v = AB,
−−→
então B = A + ~v . Cada segmento orientado CD que representa um vetor ~v tem origem
DM
fixada em C e extremidade D. Além disso, ABDC são vértices consecutivos de um
paralelogramo (que pode ser degenerada em casos especiais, como quando A, B, C, D
são alinhados).
−→
Outra notação muito utilizada, para o vetor ~v = AB é ~v = B − A, já que B = A + ~v .
Nesses termos, se Q = P + ~v temos que Q − P = B − A = ~v . Veremos mais adiante
que esta notação será muito útil operacionalmente.
Atividades com GeoGebra (2):
−→
• Determine 2 pontos A e B e defina o vetor ~u = AB usando a ferramenta vetor
64
definido por dois pontos, como na atividade anterior, ou entrando com o comando
“u = Vetor(A,B)”no Campo de Entrada (que se localiza abaixo da Janela de
Álgebra e da Área de Trabalho).
• Trace a reta por A e B, com a ferramenta
r
(reta definida por 2 pontos).
• Escolha mais um ponto e nomeie-o P . Para renomear um ponto, clique com o
Ca
botão direito do mouse sobre o ponto e selecione Renomear.
• Trace a reta paralela a r(A, B) por P , com a ferramenta
(reta paralela).
FS
(vetor a partir de um ponto) e clique sobre o ponto
• Selecione a ferramenta
−−→
−→
P e o vetor AB. Isto cria um ponto P ′ e um vetor P P ′. Observe que P ′ está na
−→ −−→
reta paralela a r(A, B) passando por P . Verifique que os vetores AB e P P ′ são
iguais.
-U
• Vá ao Campo de Entrada (abaixo da Janela de Álgebra e da Área de Trabalho) e
digite “Q = P + Vetor(A,B)”.
Observe que Q coincide com P ′ (veja na Janela de Álgebra e na Área de Trabalho).
• Ainda no Campo de Entrada, digite “w = B - A”. Isto desenhará o vetor w
~ = B−A
DM
a partir da origem (ponto (0, 0) da Área de Trabalho).
Compare w
~ com os vetores anteriormente criados.
O que acontece se digitar simplesmente “ B - A” ou ainda, “C = B - A”? Ex-
perimente! (As notações do GeoGebra são semelhantes às notações utilizadas no
cotidiano da Geometria, onde letras maiúsculas denotam pontos, e as minúsculas,
retas, segmentos, vetores — ainda sem flecha)
• Mova os pontos A, B e P com o mouse e observe a dinâmica do movimento.
65
2.2
Sistema de coordenadas e operações com vetores
2.2.1
Sistema de coordenadas cartesianas no plano
r
Um par de retas perpendiculares no plano com ponto de intersecção O constitui um
+
Ca
referencial cartesiano do plano denotado por
y
S = {O, x, y}
quando cada uma das retas se constitui
FS
um referencial (de reta) com origem em
O, em que um sentido é estabelecido com
x
b
+
O
a escolha do semieixo positivo a partir do
ponto O.
-U
O ponto O de intersecção das retas é chamado origem do sistema. Denotamos por
Ox e Oy as retas perpendiculares em O que serão chamados de eixos cartesianos.
Dado um sistema cartesiano
y
P
rencial fixada e então, dado um vetor ~v
(livre) teremos um único ponto P do plano
−→
tal que OP = ~v.
DM
b
S = {O, x, y} temos uma origem prefe-
~v
Q
b
w
~
Reciprocamente, dado um ponto Q do
x
plano, ele determina o segmento orientado
−→
OQ que representa um vetor w,
~ com ori-
b
O
gem em O.
Temos uma correspondência biunı́voca bem definida
~v
←→
P
←→
−→
OP
vetor livre ←→ ponto do plano ←→ segmento orientado com origem O
66
y
Seja P um ponto no plano com um reP
P ′′ b
aos eixos Ox e Oy respectivamente, determinando pontos de intersecção P ′ e P ′′ , res-
~v
b
b
O
a
b
P
x
′
FS
pectivamente.
r
Por P tracemos retas perpendiculares
b
Ca
ferencial cartesiano.
A escolha de um referencial no eixo Ox, determinada pela escolha de uma das se-
-U
mirretas, localiza o ponto P ′ , projeção ortogonal de P sobre Ox, de modo que podemos
associar a este ponto um número real a. Este número a representa essencialmente o
comprimento do segmento OP ′, medido na unidade fixada no referencial, com sinal positivo ou negativo, conforme a posição de P ′ no eixo Ox esteja na semirreta positiva ou
DM
negativa.
Analogamente, associamos ao ponto P ′′, projeção de P sobre Oy, um número real b,
que representa o comprimento do segmento OP ′′, segundo a unidade fixada no eixo Oy,
e com sinal positivo ou negativo, conforme P ′′ esteja localizado na semirreta positiva ou
negativa do eixo Oy.
Para identificar a ordem com que associamos os números a essas projeções, denotamos
por (a, 0) e (0, b) as respectivas coordenadas dos pontos P ′ e P ′′ sobre os eixos cartesianos.
67
y
Ao ponto P associamos então o par
b
P ′′ = (0, b)
de ordenada de P , sendo (a, 0) e (0, b)
)
,b
(a
→
←
~v a
b
x
b
P ′ = (a, 0)
O
FS
as coordenadas das projeções P ′ e P ′′ .
b
Ca
é chamado abscissa de P e b é chamado
P = (a, b)
r
ordenado de números reais (a, b), onde a
b
Assim, temos uma correspondência entre os pontos do plano e o conjunto de pares
-U
ordenados de números reais (P ←→ (a, b)). Voltando à correspondência entre vetores do
plano e pontos do plano, temos:
−→
~v ←→ OP ←→ P ←→ (x, y)
DM
É claro que O ↔ (0, 0).
y
b
Vamos observar agora que os pontos P ′ e
−−→
P ′′ também determinam vetores: OP ′ e
−−→′′
OP .
P ′′
P
b
−−→′′ ~v
OP
b
O
−−→′
OP
x
b
P′
68
−−→ −−→ −−→ −−→
Também observamos as igualdades P ′ P = OP ′′ e P ′′ P = OP ′.
y
b
P ′′
y
P
b
b
P ′′
−−′′→
P P
−−→
P ′P
~v
r
−−→′′ ~v
OP
P
b
b
O
−−→′
OP
Ca
x
b
b
P′
O
x
b
P′
−−→
−−→
Assim, o ponto P = O + ~v é extremidade também como P ′′ + OP ′ e P ′ + OP ′′.
FS
Isto sugere a regra do paralelogramo para a adição de vetores. De fato, podemos ver
−→
−→ −−→ −−→
a decomposição do vetor ~v = OP como soma de vetores ~v = OP = OP ′ + P ′ P onde o
segmento OP é a diagonal do paralelogramo (no caso, um retângulo) OP ′P P ′′ .
Em coordenadas, esta situação geométrica corresponde a
-U
~v = (a, b) = (a, 0) + (0, b)
−−→
−−→
−→
= OP = OP ′ + OP ′′
DM
Atividade com GeoGebra (3):
• No Campo de Entrada, digite “O = (0,0)”. Isto criará o ponto O = (0, 0).
Para que ninguém altere o ponto O de lugar, vamos fixar o ponto (clique com o
botão direito do mouse sobre o ponto O, selecione Propriedades e depois, Fixar
objeto.
• Escolha um ponto P . Por exemplo, P = (3, 4). Vá ao Campo de Entrada e digite
“P = (3,4)”. Isto cria o ponto P = (3, 4) na Área de Trabalho e Janela de
Álgebra, mostrando a correspondência P ←→ (3, 4).
69
−→
• No Campo de Entrada, digite “v = Vetor[O,P]”. Será desenhado o vetor ~v = OP
na Área de Trabalho ao mesmo tempo que na Janela de Álgebra aparece escrito “v
−→
= (3,4)”, mostrando a correspondência OP ←→ (3, 4).
• Agora vamos criar os pontos P ′ e P ′′ no eixos Ox e Oy. Podemos fazer isso por
r
coordenadas (1), ou usando o perpendicularismo dos eixos de coordenadas (2).
Ca
1. No Campo de Entrada, digite “P’ = (x(P),0)” e “P’’ = (0, y(P))”.
No Geogebra, x(P ) e y(P ) são as coordenadas do ponto P .
2. Selecione a ferramenta
(reta perpendicular ), e trace a reta por P ,
(Ponto de intersecção) e encontre
FS
perpendicular ao eixo Ox. Selecione
a intersecção dessa reta com o eixo Ox. Renomeie o ponto por P ′ . Repita a
operação para obter P ′′ no eixo Oy.
−−→ −−→ −−→ −−→
• Crie os vetores OP ′, OP ′′, P ′ P e P ′′ P usando ferramentas ou comandos.
-U
Quais são iguais? Quando iguais, quais as propriedades geométricas entre os segmentos orientados?
−−→ −−→
• Obtenha w
~ = OP ′ + OP ′′, digitando no Campo de Entrada, “w = Vetor(O,P’)
−→
+ Vetor(O,P’’)”. Compare com OP .
DM
−→
A correspondência entre P = (x, y) e o vetor OP = (x, y) é clara no Octave, onde
não há distinção para entrada de ponto ou vetor. Veja o exemplo acima no Octave:
Comandos no Octave
O = [0 0]
% definindo a origem O=(0,0)
P = [3 4]
% definindo o ponto P=(3,4)
u = P - O
% u = vetor(O,P) = (3,4)
P1 = [P(1) 0]
% Obs: n~
ao usamos a notaç~
ao P’ pois no Octave,
% transpomos matrizes com a apóstrofe ’
70
P2 = [0 P(2)]
%
P(1) e P(2) s~
ao as coordenadas de P
u1 = P1 - O
% = vetor(O,P1)
u2 = P2 - O
% = vetor(O,P2)
u1 + u2
% = u = vetor(O,P)
P1 + P2
% o resultado é
P - P1
% P2, identificado com vetor(O,P2)
P - P2
% P1, identificado com vetor(O,P1)
entender
r
melhor
a
corres-
pondência entre representação geométrica
mos a seguinte situação:
−→
Seja ~v = OP um vetor dado.
y
B
FS
de vetores e suas coordenadas, considere-
Ca
...
Para
P identificado com vetor(O,P)
P
Sejam P = (a, b) as coordenadas do
~v
P ′′
~v
C
A
-U
ponto P e portanto, do vetor ~v , e um
ponto A = (x, y) qualquer.
P′
x
O
−→
Então teremos um único ponto B tal que AB = ~v , isto é, o segmento orientado com
DM
origem A e extremidade B, de modo que B = A + ~v.
−→ −→ −−→
−→ −−→ −−→ −−→
Vemos claramente na ilustração que AB = AC + CB, onde AC = OP ′ e CB = OP ′′
Logo, as coordenadas de B são dadas por: B = A + ~v = (x, y) + (a, b), onde se torna
natural efetuar a adição coordenada a coordenada, isto é, B = (x + a, y + b).
−→
Em geral, se ~v = AB, temos B = A + ~v e, se B = (Bx , By ) e A = (Ax , Ay ) são as
coordenadas dos pontos B e A, então as coordenadas de ~v são dadas por
~v = B − A = (Bx , By ) − (Ax , Ay ) = (Bx − Ax , By − Ay ).
−→
Daı́, a notação ~v = B − A para o vetor ~v = AB.
71
FS
Atividades com GeoGebra (4):
Ca
r
Exemplo: ~v = (−1, 3) e A = (2, 1) encontrar as coordenadas do ponto B tal que
−→
AB = ~v .
y
O ponto P = (−1, 3) é a extremidade do
B
−→
segmento orientado OP que representa o veP
3
tor ~v = (−1, 3) no sistema.
~v
B = A + ~v implica que as coordenadas de
~v
B(x, y), satisfazem
1
A
(x, y) = (2, 1) + (−1, 3) = (2 − 1, 1 + 3) =
x
(1, 4).
−1
2
O
• Escolha um ponto A, por exemplo, P = (2, 1), e crie no GeoGebra, digitando “ A
= (2,1)” no Campo de Entrada.
• Escolha um vetor ~v, por exemplo, ~v = (2, 1). No Campo de Entrada, digite “v =
-U
(-1,3)”. Observe que a diferença com a entrada anterior é a letra minúscula no
nome. Isto leva o GeoGebra a interpretar que (−1, 3) é um vetor, e desenha-o com
origem em (0, 0) e final em P = (−1, 3). Tente desenhar o ponto P utilizando
DM
somente o Campo de Entrada.
• Obtenha B = A + ~v . No Campo de Entrada, basta digitar “B = A+v”. Com
a Barra de Ferramentas, basta utilizar
(vetor a partir de um ponto) ou
(transladar por um vetor) e clicar no ponto A e no vetor v. Neste último
caso, o ponto criado será nomeado A′ em vez de B.
• Qual o resultado de digitar “w = B-A”? E “u = Vetor[A,B]”? E “B - A”?
• Selecione a ferramenta Mover e movimente tudo que for possı́vel. Veja a diferença
entre os chamados Objetos livres (A e v, neste exemplo) e Objetos dependentes.
72
No Octave, podemos efetuar também estes cálculos em coordenadas. Neste caso,
não há distinção no tratamento de vetor e ponto. Vamos também obter alguns desenhos
iniciais, obtendo os pontos e ligando, utilizando o comando plot(X,Y).
Comandos no Octave
r
%
% O = (0,0)
P = [-1 3]
% P = (-1,3)
A =[2 1]
% A = (2,1)
v = P - O
% v = vetor(O,P)
B = A + v
% B é tal que B -A = v
B - A
% = v
FS
Ca
O = [0 0]
% Vamos desenhar o segmento AB
plot([A(1) B(1)], [A(2),B(2)])
w = [2 4]
-U
% Agora vamos definir outro vetor, em outra direç~
ao,
% e encontrar mais um ponto no plano
C = B + w
% Vamos desenhar o tri^
angulo ABC (poligonal fechada ABCA)
DM
plot([A(1) B(1) C(1) A(1)], [A(2),B(2) C(2) A(2)])
% Agora vamos definir mais um ponto.
D = A + w
% e desenhar o quadrilátero ABCD
plot([A(1) B(1) C(1) D(1) A(1)], [A(2),B(2) C(2) D(2) A(2)])
% O mesmo desenho, utilizando matrizes
M = [A;B;C;D;A]
% M = matriz cujas linhas s~
ao as coordenadas dos pontos
X = M(:,1)
% lista das primeiras coordenadas dos pontos
73
Y = M(:,2)
% lista das segundas coordenadas dos pontos
plot(X,Y)
...
2.2.2
Sistema de coordenadas cartesianas no espaço
x
Ca
y
FS
O
r
z
Ainda utilizando o conceito geométrico de segmentos orientados, podemos representar
-U
os vetores do espaço por meio de um referencial contituı́do de 3 retas perpendiculares
entre si com um ponto em comum O, com um sentido escolhido em cada um dos eixos.
Notação: S = {O, x, y, z}.
Os eixos Ox, Oy e Oz são chamados eixos coordenados. Os planos: Oxy (contendo
DM
os eixos Ox e Oy), Oxz (contendo os eixos Ox e Oz) e Oyz (contendo Oy e Oz), são
chamados planos coordenados.
De maneira análoga a que foi feita no plano, os vetores livres serão representados
através de segmentos orientados com origem natural O, determinando de maneira única
pontos no espaço. Temos uma correspondência biunı́voca
−→
~v ←→ OP ←→ P
−→
Dado um ponto P ( e portanto o vetor ~v = OP ), a projeção ortogonal de P sobre o
plano Oxy determina de maneira única um ponto P̄ .
74
P ′′′ •
z
•P
~v
P ′•
•
P̄
y
Ca
x
•
P ′′
r
O
O ponto P̄ está a uma distância do ponto P , que medida em uma unidade fixada,
fornece uma coordenada z na direção do eixo Oz, em que o sinal é tomado como positivo
FS
ou negativo, conforme P esteja no semiespaço (determinado pelo plano Oxy) que contém
o semieixo positivo ou negativo do eixo Oz.
O ponto P̄ pertence ao plano Oxy em que já existe um sistema cartesiano, de modo
que podemos associar a P̄ as coordenadas das projeções ortogonais de P̄ sobre os eixos
-U
Ox e Oy, respectivamente, dados pelos pontos P ′ e P ′′ como na figura.
Observemos que geometricamente temos um paralelepı́pedo com três arestas contidas
nos eixos Ox, Oy e Oz, com vértices em O e os pontos P ′ , P ′′ e P ′′′ , respectivamente.
Associando as coordenadas naturais destes pontos sobre os eixos temos: P ′ = (x, 0, 0),
DM
P ′′ = (0, y, 0) e P ′′′ = (0, 0, z).
−→ −→
−→
−−→ −−→ −→
−−−→
−→
−→
Temos OP = O P̄ + P̄ P , em que O P̄ = OP ′ + OP ′′ e P̄ P = OP ′′′, isto é, OP
é representado que é a diagonal do paralelepı́pedo como na figura. Temos então as
−→
coordenadas do ponto P (e portanto do vetor ~v = OP ) no espaço como
P = (x, y, z) = (x, 0, 0) + (0, y, 0) + (0, 0, z),
onde novamente verificamos a operação natural de soma de coordenadas.
Assim temos a correspondência ~v ←→ P ←→ (x, y, z) entre vetores no espaço e
ternas ordenadas de números reais.
75
Exercı́cios
1. Represente geometricamente o vetor ~v = (2, 3, −3) num sistema cartesiano. Dado
A = (1, −1, 0) encontre B tal que B = A + ~v.
r
2. Sejam os pontos A = (1, 2, −3) e B = (2, 3, 0). Represente geometricamente o
−→
vetor ~v = AB num sistema cartesiano, a partir da origem. Dado P = (5, −1, 0)
Ca
encontre Q tal que Q = P + ~v .
3. Sejam o A = (1, 2, −3) e os vetores ~v1 = (3, 4, 1), ~v2 = (−2, 1, 0). Obtenha os
pontos B = A + ~v1 , C = B + ~v2 e D = A + ~v2 . Observe que ABCD é um
FS
paralelogramo.
Observação: Todas as considerações feitas para vetores no plano são válidas para vetores
no espaço, e não vamos repetir aqui.
Podemos generalizar os cálculos e figuras obtidas no caso plano do Octave para o
-U
espaço. A versão espacial do plot(X,Y) é o plot3(X,Y,Z).
Exemplo no Octave
A = [1 2 -3]
v1 = [3,4,1]
%
DM
v2 = [-2,1,2]
B = A + v1
C = B + v2
D = A + v2
% Teste algumas igualdades:
A + (v1+v2)
% = C
D + v1
% = C
B - A
% = v1
% Para desenhar o segmento AB:
76
plot3([A(1) B(1)], [A(2) B(2)], [A(3) B(3)])
% Para desenhar o tri^
angulo ABC (ABCA, para fechar
plot3([A(1) B(1) C(1) A(1)], [A(2) B(2) C(2) A(2)],
[A(3) B(3) C(3) A(3)])
% Para desenhar outra figura junto com a atual:
r
hold on
Ca
% Para desenhar ABCD, usando matrizes para generalizar
M = [A;B;C;D;A]
% M = matriz cujas linhas s~
ao A,B,C,D,A
X = M(:,1)
% X = lista contendo A(1),B(1),C(1),D(1),A(1)
Y = M(:,2)
% Y
Z = M(:,3)
% Z contendo as terceiras coordenadas
plot3(xx,yy,zz)
% desenho de ABCD (um paralelogramo)
FS
contendo as segundas coordenadas
...
Observamos que o software GeoGebra a que referimos trabalha no plano (o GeoGe-
-U
bra3D está em desenvolvimento pelo mesmo autor). Mas podemos construir uma visão
tridimensional, projetando o espaço no plano. Existem muitos tipos de projeções do plano
no espaço, mas vamos trabalhar aqui com um exemplo tecnicamente bastante simples
DM
chamada Perspectiva Cavaleira, que é muito utilizada em sala de aula.
Veja o desenho de um cubo nesta per-
b
b
b
b
pectiva de aresta 3, tendo 3 faces nos planos
k
coordenados:
i
O j
b
b
b
b
b
Nas atividades abaixo, vamos recordar os conceitos da definição do sistema de coor-
77
denadas cartesianas no espaço.
Atividades com GeoGebra (5):Construção de uma representação 3D
r
do ponto P = (px, py, pz)
Ca
• Vamos escolher a origem do espaço O = (0, 0, 0) e desenhá-lo na origem do sistema
plano do Geogebra:
Entre com o comando “O=(0,0)”. Selecione fixar objeto, para aproveitar os eixos.
• Vamos determinar os eixos coordenados Ox, Oy e Oz a partir do ponto O escolhido,
FS
determinando primeiro a posição dos vetores ~ı = (1, 0, 0), ~ = (0, 1, 0) e ~k =
(0, 0, 1) na projeção 2D. Para o desenho ficar próximo da representação do professor
na sala de aula, sugerimos as seguintes entradas no Campo de Entrada:
“j=(1,0)” para desenhar ~ sobre o eixo das abscissas da Área de Trabalho,
-U
“k=(0,1)” para desenhar ~k sobre o eixo das ordenadas da Área de Trabalho,
“i=(-.5,-.5)” para desenhar ~ı (uma sugestão, para a perspectiva).
• Vamos desenhar também o ponto I = (1, 0, 0) nessa representação, digitando
“I=O+i”.
DM
O ponto I será utilizado para desenhar a reta por O e I, simulando o eixo Ox do
espaço, a seguir:
• Selecione
(reta por dois pontos) e clique sobre O e I. Este será o eixo Ox.
• Vamos acrescentar alguns pontos a mais de referência no eixo Ox, escrevendo no
Campo de Entrada: “I 2=O+2*i” para desenhar I2 = (2, 0, 0) sobre o eixo Ox,
“I 3=O+3*i” para desenhar I3 = (3, 0, 0),
“I 4=O+4*i” para desenhar I4 = (4, 0, 0), e assim por diante (aqui, estamos adiantando que n ∗ (1, 0, 0) = (n, 0, 0), da multiplicação de vetor por escalar).
78
Para que estes pontos não chamem muita atenção, diminua o tamanho do cı́rculo,
entrando em suas Propriedades, Estilo e selecionando um Tamanho menor.
• Vamos considerar um ponto P = (px, py, pz) = (2, 3, 4). Entramos no GeoGebra
as coordenadas, separadamente, para construir o ponto. Se não quiser utilizar a
r
geometria dinâmica, para alteração posterior do ponto via mouse, basta digitar no
Ca
Campo de Entrada: “px= 2”, “py= 3” e “pz= 4”.
Para aproveitar a dinâmica, utilize a ferramenta
(Seletor), posicionando o
seletor num local de sua preferência. Renomeie o seletor para px, para escolher com
o mouse a coordenada px. O mesmo para py e pz. Nas propriedades do seletor,
FS
pode-se escolher a variação, o passo da variação, entre outras coisas.
• Agora vamos desenhar as projeções de P nos eixos coordenados, P x = (px, 0, 0),
P y = (0, py, 0), P z = (0, 0, pz), digitando:
“Px= O + px*i”, “Py= O + py*j” e “Pz= O + pz*k”. (aqui também adian-
-U
tamos a multiplicação de vetor por escalar, em casos especiais: px ∗ (1, 0, 0) =
(px, 0, 0), py ∗(0, 1, 0) = (0, py, 0) e pz ∗(0, 0, 1) = (0, 0, pz), para px, py, pz ∈ R).
• Agora, as projeções P xy, P yz e P xz de P nos planos coordenados Oxy, Oyz e
Oxz, respectivamente:
DM
“Pxy= Px + py*j”, “Pyz= Py + pz*k” e “Pxz= Px + pz*k”.
Exercı́cio: Descubra outras maneiras de definir estes mesmos pontos.
• E finalmente, o ponto P : “P= Pxy+pz*k”.
Exercı́cio: Experimente “P= O + (px*i+py*j+pz*k)”, “P= Pyz + px*i”, . . .
• Para melhorar a visualização espacial, vamos desenhar as arestas do paralelepı́pedo
−→
que tem OP na diagonal, com opção de linha tracejada:
Para cada segmento, selecione a ferramenta
(Segmento definido por dois
79
pontos) e clique nas extremidades. Isto criará um segmento em linha cheia, com
rótulo. Altere as propriedades de um dos segmentos, de forma desejada. A alteração
dos outros segmentos pode ser feita em série, utilizando a ferramenta
(Copiar
estilo visual).
-U
FS
Ca
r
Com mais algumas alterações, obtemos:
DM
Este processo de se criar uma “caixa” para cada ponto P = (x, y, z) pode ser transformada numa “macro” ou ferramenta.
Observe que estamos utilizando transformações do espaço no plano, em que retas são
levadas em retas, mantendo-se as proporções entre seus segmentos, isto é, dois segmentos
AB e CD sobre uma reta r são levados em dois segmentos A′ B ′ e C ′ D ′ de uma reta r ′ ,
sendo que a proporção entre AB e CD é a mesma entre A′ B ′ e C ′ D ′ . Eventualmente
uma reta pode se degenerar num ponto. Além disso, esta transformação preserva as
grandezas de figuras paralelas ao plano Oyz, incluindo ângulos.
−→
• Continuando, o vetor ~v = OP definido por P , tem as mesmas coordenadas do
80
ponto P = (2, 3, 4). Para desenhar o vetor ~v, tendo-se O e P podemos escrever
“v=Vetor(O,P)”, ou utilizar a ferramenta Vetor definido por 2 pontos.
• Escolha mais um ponto, A = (3, 4, −2), por exemplo. Desenhe a caixa do ponto
A, como no ponto P .
r
Lembre-se: Ax = O + 3~ı, Ay = O + 4~ e Az = O − 2~k, Axy = Ax + 4~, . . .
espaço?
z
b
b
P
b
FS
b
Ca
−→
• Encontre a caixa do ponto B, tal que AB = ~v . Quais as coordenadas de B no
v
k
b
j
i O
b
x
b
b
B
b
DM
2.2.3
y
b
b
b
b
b
b
b
-U
b
b
v′
b
b
b
A
b
b
Adição de vetores
Na definição de sistemas de coordenadas, tanto no plano como no espaço, já começamos
−→ −−→ −−→
a trabalhar com somas de vetores para alguns casos especiais, como v = OP = OP ′+OP ′′
no caso plano, onde O é a origem do sistema de coordenadas, e P ′ , P ′′ as projeções de P
nos eixos Ox e Oy, respectivamente. Vamos agora à definição geral de adição de vetores.
81
A adição de vetores ~v e w
~ é representada geometricamente da seguinte forma:
B
~v
~v
~v + w
~
A
D
w
~
w
~
r
C
Ca
−→
−→
−−→
se ~v = AB e w
~ = AC então ~v + w
~ = AD, onde AD é a diagonal do paralelogramo
ABDC. É a regra do paralelogramo.
−−→ −→ −→ −→ −−→
Observe que AD = AB + AC = AB + BD e também que D = A + (~v + w).
~
Em coordenadas do plano, suponha que ~v = (a, b), w
~ = (c, d) e A = (x, y). Então
FS
B = (x + a, y + b) e D = B + w
~ = ((x + a) + c, (y + b) + d) = (x + (a + c), y + (b + d)),
donde concluı́mos que ~v + w
~ = D − A = (a + c, b + d).
-U
Assim, ~v + w
~ = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).
~v
w
~
~v +w
~
z }| { z }| { z
}|
{
No espaço, temos analogamente que (a, b, c) + (d, e, f ) = (a + d, b + e, c + f ).
Exemplo no Octave
v = [1 2 3]
w = [-2 3 1]
DM
v + w
z = [3 -4] + [0 1]
% ans = [-1 5 4]
% z = [3 -3]
...
Exercı́cio 1: Dados ~v = (4, 3) e w
~ = (−5, 6) encontre ~v + w
~ e represente-o no sistema
cartesiano. Dado A = (10, 2), encontre os vértices B, C e D do paralelogramo tal que
−→
−→
−−→
AB = ~v , AC = w
~ e AD = ~v + w.
~ Represente graficamente no sistema cartesiano.
Solução: Temos ~v + w
~ = (4, 3) + (−5, 6) = (4 − 5, 3 + 6) = (−1, 9). Agora, dado
−→
A = (1, 1), como AB = ~v , temos que B = A + ~v = (10, 2) + (4, 3) = (14, 5); como
−−→
−→
~
AC = w,
~ temos que C = A + w
~ = (10, 2) + (−5, 6) = (5, 8); e como AD = ~v + w,
82
D = A +~v + w
~ = (10, 2) + (−1, 9) = (9, 11). Veja as representações no plano cartesiano,
dos vetores na origem e do paralelogramo ABCD, obtidas no GeoGebra.
12
C
8
Q
b
b
w′
6
4
w
Ca
10
Rb
P
2
v
−4
−2
2
B
6
8
b
A
10
12
14
16
-U
−2
4
b
v′
FS
b
−6
D
r
b
Vetor nulo e vetor oposto:
Um ponto representa um segmento que possui as extremidades coincidentes. É claro
que tal “segmento”possui comprimento nulo e não possui direção definida. Dizemos que
DM
o ponto representa o vetor nulo e denotamos por ~0.
No plano, quando um sistema cartesiano S = {O, x, y} está fixado, a origem O é o
representante natural do vetor nulo ~0 que possui portanto coordenadas (0, 0). Se P =
−→
(x, y) é um ponto qualquer, o vetor nulo com origem em P é dado por ~0 = P P = P − P ,
pois a extremidade coincide com o próprio P .
Logo ~0 = (0, 0) = (x, y) − (x, y) = (x, y) + (−x, −y).
Analogamente, temos ~0 = (0, 0, 0) no espaço.
O ponto P̄ = (−x, −y) é o simétrico de P = (x, y) em relação a O = (0, 0) no plano
−→
e determina o vetor −~v = O P̄ , que satisfaz ~v + (−~v ) = ~0. Este vetor, −~v , é chamado
83
oposto de ~v = (x, y). Analogamente, se ~v = (x, y, z) no espaço, −~v = −(x, y, z) =
(−x, −y, −z) é o seu oposto.
b
b
b
b
P
k
b
b
b
b
i
O j
b
b
b
P̄
~0 = (0, 0, 0)
~v = (2, 3, 4)
b
−~v = (−2, −3, −4)
b
-U
b
b
FS
−~v
Ca
b
r
~v
O vetor ~v e seu oposto se relacionam da seguinte forma:
−→
→
−→
−→
~0 = −
OP +P O = OP +O P̄
−→
= ~v +P O = ~v +(−~v )
DM
Além disso, dados dois pontos A e B, se ~v = B − A então −~v = A − B. Ou seja,
−(B − A) = A − B. Também utilizamos a notação ~v + (−w)
~ = ~v − w.
Atividades com GeoGebra (6): Adição de vetores, vetor nulo e vetor
oposto, no plano
• Escolha dois pontos A e B quaiquer. Use a Barra de Ferramentas ou a Campo de
Entrada.
• No Campo de Entrada, digite “v = B-A” para obter ~v = B − A, desenhado a partir
84
da origem.
• Obtenha ~u = −~v desenhado a partir da origem, digitando u = −v.
• Selecione a ferramenta Vetor definido por 2 pontos e clique primeiro em B e depois
em A. O que aparece na Janela de Álgebra com o nome do vetor que acaba de
r
definir? Compare com ~u.
Ca
• Escolha mais um ponto P e outro vetor w.
~ Desenhe ~v + w
~ e ~v − w
~ = ~v + (−w)
~ a
partir da origem.
• Obtenha os pontos Q = P + ~v , R = P + w
~ e S = P + (~v + w),
~ digitando no
FS
Campo de Entrada: “Q=P+v”, “R = P+w” e “S=P+v+w”, respectivamente. Quais
são as outras maneiras de obter os mesmos pontos?
• Obtenha ~v − w
~ com os pontos P , Q, R e S.
-U
• Trace as retas r = r(P, Q) e s = r(P, R). Agora, selecione a ferramenta
(reta paralela) e clique em R e r para obter a reta que passa por R e é paralela a
r. Renomeie-a como r ′ . Analogamente, desenhe a reta s′ por Q e paralela a s.
• Comprove que S está na intersecção de r ′ e s′ , donde se conclui que P QSR é um
DM
paralelogramo.
• Altere os objetos independentes com o mouse e veja que as propriedades das construções se mantém, exceto quando ~v e w
~ ficam alinhados e o paralelogramo se
degenera.
Exercı́cios
−−−→
1. Considere uma sequência de pontos, P1 , P2 , . . . , Pn . Sejam ~v1 = P1 , P2 , ~v 2 =
−−−→
−−−→
P2 , P3 , . . . , ~vn = Pn , P1 . Qual o resultado da soma ~v1 + ~v2 + · · · + ~vn ? (Resp: ~0)
85
2. Considere vetores ~v1 , ~v2 , . . . , ~vn . Obtenha w
~ tal que w
~ + ~v1 + ~v2 + · · · + ~vn = ~0.
(Resp: −(~v1 + ~v2 + · · · + ~vn ) = −~v1 − ~v2 − · · · − ~vn )
3. Sejam A = (1, 2, −3), B = (3, −2, 0) e C = (−2, 5, 3). Obtenha o vértice D do
paralelogramo ABDC. Determine os vetores com as direções das diagonais do
Módulo de um vetor
Ca
2.2.4
r
paralelogramo.
Por definição, módulo de um vetor ~v , denotado por |~v | ou ||~v||, é o comprimento
−→
de um segmento orientado AB que o representa. Logo, ||~v|| ≥ 0 e ||~v || = 0 quando e
FS
somente quando ~v = ~0.
Em coordenadas,
-U
√
• Se ~v = (a, b) então ||~v|| = a2 + b2 (no plano) e se ~v = (a, b, c) então ||~v|| =
√
a2 + b2 + c2 (no espaço), pelo Teorema de Pitágoras.
y
z
•P
•P
b
~v
~v
DM
x
O
O√
a2
a
√
−→
||~v|| = ||OP || = a2 + b2
x
||~v|| =
q
c
y
+
b 2 • P̄
p
−→
−→
||O P̄ ||2 + ||P̄ P ||2 = (a2 + b2 ) + c2
−→
• Se ~v = AB, A = (x1 , y1, z1 ) e B = (x2 , y2, z2 ), então temos que ~v = B − A =
(x2 , y2 , z2 ) − (x1 , y1, z1 ) = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ).
p
Logo, ||~v|| = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 .
86
• Um vetor ~v é unitário se sua norma é 1.
• O versor de um vetor ~v é um vetor ~u unitário, na direção e sentido de ~v .
Um pouco de Octave] ...
% definindo o vetor v
norm(v)
% = norm(v,2) norma euclidiana ou módulo de v
norm(v,inf)
% máximo dos valores absolutos da coordenadas
Ca
r
v=[1 2 3]
Exercı́cios:
(−5, −1). O vetor é unitário?
FS
−→
1. Calcule o módulo do vetor determinado por AB quando A = (2, 7) e B =
−→
2. Encontre os valores de a tal que o vetor AB tenha módulo 3, sendo A = (2a, 0, 3)
-U
e B = (1, a, −1).
3. Encontre a projeção ortogonal P̄ do ponto P = (4, −3, 1) no plano Oxy e calcule
−→
o módulo do vetor O P̄ . Resp: (4, −3, 0), 5
Multiplicação de um vetor por um escalar
DM
2.2.5
Dado um vetor ~v e um escalar λ ∈ R, o vetor λ~v é definido como:
• λ~v = ~0 se λ = 0 ou ~v = ~0.
• caso
 contrário, λ~v é um vetor com:


||λ~v|| = |λ| ||~v||






mesma direção de ~v



mesmo sentido de ~v se λ > 0





sentido oposto de ~v se λ < 0
~v
λ~v
(λ
>
0)
λ~v
(λ
<
0)
87
−→
−→
Geometricamente, se ~v = AB e λ é não nulo, então λ~v é representado por AC tal
−→
−→
que ||AC|| = |λ|||AB||. Os pontos A, B e C são colineares e o sentido do novo vetor
depende do sinal de λ.
É claro que 1 · ~v = ~v e (−1) · ~v = −~v .
B
−−→
−→
AD = µAB com µ < 0
Ca
•
A
−→
−→
AC = λAB com λ > 0
C
r
~v
D
y λb
FS
Em coordenadas:
λ~v
λ>0
•
~v •
se ~v = (a, b) então
-U
• No plano com S = {O, x, y},
λa
b
µa
x
a
λ~v = λ(a, b) = (λa, λb),
DM
para λ ∈ R.
µb
• µ~v , µ < 0
• No espaço com S = {O, x, y, z}, se ~v = (a, b, c) então λ~v = λ(a, b, c) =
(λa, λb, λc), λ ∈ R.
88
z
−→
~u = OP = (a, b, c)
b
b
λc
Qb
b
b
b
c
Pb
b
ℓa
b
ℓb
b
~u
b
b
O
b
R
y
b
b
b
x
λb
b
b
b
b
b
r
a
λa
b
ℓc
−→
~v = OQ = λ~u, λ > 0
−→
w
~ = OR = ℓ~u, ℓ < 0
Ca
w
~
b
~v
e sentido de ~v .
1
~v. De fato, ||~u|| = || ||~1v|| ~v|| = | ||~v1|| | · ||~v|| = 1 e,
||~v||
> 0, a direção e sentido de ~u e ~v são iguais.
Logo o versor de vetor ~v é ~u =
como ~u = λ~v com λ =
1
||~
v||
FS
Definimos o versor de um vetor não nulo ~v como sendo um vetor ~u unitário, na direção
-U
Assim, para se obter um vetor w
~ de norma X na direção e sentido de ~v , basta fazer
w
~ = X versor(~v). Por exemplo, seja ~v = (1, 3, −2) e X = 100. Então versor(~v) =
1
||(1,3,−2)||
√ ).
) e portanto, o vetor procurado é w
~ = ( √100
, √300
, −200
(1, 3, −2) = ( √114 , √314 , √−2
14
14
14
14
DM
Exercı́cios:
1. Dado ~v = (2, 3, 1) encontre −3~v e represente os vetores no sistema cartesiano.
2. Dados ~v = (−1, 5) e o ponto A = (3, 1), encontre o ponto B = A + 2~v e
−→
represente o vetor AB = 2~v no sistema cartesiano.
3. Obtenha um vetor w
~ de norma 1375 na direção e sentido do vetor ~v = (1, −4, 3).
Obtenha também o vetor ~a de mesma norma que w,
~ paralela a ~v, mas no sentido
contrário.
89
4. Considere dois pontos A e B, distintos. Faça uma figura representando A, B,
C, D e E, onde C = A + 21 (B − A), D = A + 13 (B − A) e E =
A+B
.
3
Aqui,
A + B representa O + (A − O) + (B − O) (com abuso de linguagem, como se
usa em GeoGebra e Octave, mas que a correspondência P = (x, y) ←→ P − O
r
permite).
Ca
5. Divida o segmento AB em 10 partes iguais (AB = AP1 ∪ P1 P2 ∪ . . . P9 B).
−→
Escreva os pontos Pi definidos por essa divisão, em termos de A e AB. Por
exemplo, o primeiro ponto mais próximo de A é P1 = A + 1/10 ∗ (B − A).
6. Ainda com dois pontos A e B distintos, o que representa geometricamente o
Resp: o segmento AB
FS
conjunto dos pontos { P = A + λ(B − A) | 0 ≤ λ ≤ 1 }?
7. Encontre uma definição como a do ı́tem anterior (usando A e B − A) que
descreva a semirreta definida na reta r(A, B), com origem em A e contendo B.
Defina também a semirreta oposta, com origem em A e não contendo B. (No
-U
GeoGebra, esta semirreta pode ser construı́da utilizando a ferramenta
(semirreta definida por 2 pontos)).
8. Considere agora um ponto A = (1, 1, 1) e dois vetores ~v = (0, −1, 3) e w
~ =
DM
(5, −1, 3). Obtenha os vértices do paralelogramo ABCD, com B − A = ~v e
D − A = w.
~ Depois, encontre o ponto médio da diagonal AC e o ponto médio
da diagonal BD. Coincidem!
9. Considere no plano R2 os vetores ~u da forma (cos θ, sen θ), onde θ é um número
real representando o ângulo entre ~u e o eixo Ox. Mostre que os vetores são
unitários. Dado um vetor qualquer ~v = (a, b), escreva ~v como múltiplo de
(cos θ, sen θ) (qual o ângulo θ? qual o fator de multiplicação?). Explicite as
contas para ~v = (3, 4).
90
Um pouco de Octave
v = [1 2 3]
w = [5 -1 3]
pi*v
% ans = 3.1416
6.2832
9.4248
-5*w
% ans = 3.1416
6.2832
9.4248
% a = -21.8584
b = 10*u
% u = versor de a
-5.57
Ca
u = 1/norm(a)*a
11.2832
r
a = pi*v - 5*w
% vetor de norma 10 na direç~
ao e sentido de a
% Agora vamos construir o segmento AB,
%
utilizando 11 pontos igualmente espaçados
t = linspace(0,1,11)
FS
A = [2 -3 4]; B = [2,3,-1];
% t = 0 .1 .2 ... .9 1
% lista das coordenadas x
y = A(2)+t*(B(2)-A(2));
% lista das coordenadas y
z = A(3)+t*(B(3)-A(3));
% lista das coordenadas z
-U
x = A(1)+t*(B(1)-A(1));
plot3(x,y,z)
% curva poligonal ligando os 11 pontos
% = segmento AB
% que é o mesmo que ...
DM
A = [2 -3 4]; B = [2,3,-1];
t = linspace(0,1,11)
% t = 0 .1 .2 ... .9 1
M = ones(size(t))’ * A + t’ * (B-A)
% Que matriz é essa?
x = M(:,1); y = M(:,2); z=M(:,3);
plot3(x,y,z)
% ???
...
91
2.2.6
Propriedades da adição e da multiplicação por escalar
As operações de adição de vetores e multiplicação de vetor por escalar de um determinado conjunto de vetores (vetores no plano ou vetores no espaço) satisfazem as seguintes
propriedades:
r
1. ~v + w
~ =w
~ + ~v , para quaisquer vetores ~v e w.
~ (propriedade comutativa).
C
w
~
FS
w
~
Ca
−→
−→
Visualização geométrica: Considere ~v = AB e w
~ = AC.
B
B
w
~
~v
~v
D
~
~ + ~v
w
~v + w
A
A
D
~v
C
−−→ −→
−−→ −→ −−→
Pela regra do paralelogramo, como BD = AC = w,
~ segue que AD = AB + BD =
~v + w.
~
-U
−−→
−→
−→ −−→ −−→
~ e CD = ~v.
Por outro lado, temos também que AC + CD = AD, onde AC = w
−−→
Logo, AD = ~v + w
~ =w
~ + ~v .
Em coordenadas: Se ~v = (x1 , y1) e w
~ = (x2 , y2 ) são dois vetores no plano, então
(⋆)
DM
~v + w
~ = (x1 , y1 ) + (x2 , y2) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) = (x2 + x1 , y2 + y1 ) = w
~ + w,
~
onde em (⋆) utilizamos a propriedade comutativa da soma de números reais. Para
dois vetores no espaço, é análogo e fica como exercı́cio.
2. (~v + w)
~ + ~t = ~v + (w
~ + ~t ), para quaisquer vetores ~v , w
~ e ~t (propriedade associativa).
Geometricamente, podemos interpretar esta propriedade na seguinte figura:
92
~
~v + w
~v
w
~ + ~t
~v
~t
(~v + w)
~ + ~t
= ~v + (w
~ + ~t )
w
~
w
~ + ~t
~t
~t
~
~v + w
r
Use a regra do paralelogramo para a adição de vetores e verifique a propriedade
Ca
associativa.
Em coordenadas, faça como exercı́cio, lembrando que o argumento essencial é a
propriedade associativa da adição dos números reais.
neutro)
•
A = A + ~0
−→
Considere ~v = AB. Como A = A + ~0 e B = B + ~0,
temos que B = A+~v = (A+~0)+~v donde ~v = ~0+~v.
Analogamente, A + ~v = B = B + ~0 = A + ~v + ~0 e
portanto, ~v + ~0 = ~v .
-U
~v
•B
FS
3. Para todo vetor ~v vale ~0 + ~v = ~v + ~0 = ~v (propriedade da existência do elemento
4. Para todo vetor ~v , existe o elemento oposto denotado por −~v que satisfaz ~v + (−~v ) = ~0.
DM
−→
−→
Se ~v = AB, o vetor representado por BA é o elemento oposto.
5. Para quaisquer números reais a, b e qualquer vetor ~v vale a(b~v ) = b(a~v ) = (ab)~v .
−→
Veja a ilustração geométrica quando a = −2 e b = 3, com ~v = AB.
•
E
•
D
•
A
~v
•
B
−→
AE = −2(3~v) = 3(−2~v) = (3 × (−2))~v .
•
→
−−→
C −
AC = 3~v, AD = −2~v
Prove esta propriedade usando coordenadas, como exercı́cio.
6. Para quaisquer números reais a e b e qualquer vetor ~v , vale a propriedade distributiva
93
em relação à soma de números reais: (a + b)~v = a~v + b~v .
Justifique esta propriedade usando coordenadas.
~ vale a propriedade distributiva
7. Para qualquer número real a e quaisquer vetores ~v e w,
em relação à adição de vetores: a(~v + w)
~ = a~v + aw.
~
~v
~v +
~
w
A
w
~
D
C
G
Ca
B
r
F
E
−−→
AD = ~v + w
~
= 2~v + 2w.
~
-U
−→
−→ −→
AG = 2(~v + w)
~ = AF + AE
FS
−→
−→
Ilustração geométrica para a = 2, dados ~v = AB e w
~ = AC.
Em coordenadas, fica como exercı́cio.
DM
8. Dado qualquer vetor ~v e o número real 1 vale que 1~v = ~v .
O conjunto de vetores do plano (e do espaço) representados por segmentos orientados equipolentes possui, portanto, as operações de adição e multiplicaçao por escalar,
satisfazendo as 8 propriedades acima.
Quando fixamos um sistema de referencial cartesiano S = {O, x, y} no plano, temos
a correspondência ~v ←→ (x, y) entre vetores e pares ordenados de números reais, tal que
R2 = { (x, y) | x, y ∈ R } fica munido de operações de adição e multiplicação por escalar
com as 8 propriedades acima.
94
Analogamente, quando fixamos um referencial cartesiano S = {O, x, y, z} no espaço,
temos a correspondência ~v ←→ (x, y, z) tal que R3 = { (x, y, z) | x, y, z ∈ R } fica
munido de operações de adição e multiplicação por escalar com as 8 propriedades acima.
As propriedades das operações com vetores podem ser aplicadas para demonstrar
outras propriedades algébricas e muitos resultados geométricos clássicos através de vetores.
r
Vejamos alguns exemplos:
Ca
Exemplos e exercı́cios:
1. Mostre, sem usar coordenadas, que o vetor nulo é único..
−
→
−
→
Seja U tal que ~v + U = ~v , para qualquer ~v (propriedade que caracteriza o vetor
nulo).
FS
−
→ −
→
−
→
Então, U = U + ~0 = ~0 + U = ~0.
A primeira igualdade é da propriedade de ~0, a segunda, da comutatividade, e a
−
→
terceira, da propriedade exigida de U .
2. Mostre, sem coordenadas, a lei do concelamento: ~u + ~v = ~u + w
~ ⇒ ~v = w.
~
-U
De fato, ~v = ~v + ~0 = ~v + (~u − ~u) = (~u + ~v) − ~u = · · · = w.
~
Complete a demonstração e indique quais propriedades foram utilizadas.
3. Seja ABC um triângulo. Sejam M e N os pontos médios dos lados AC e BC,
DM
respectivamente.
Então MN é um segmento paralelo a AB, cujo comprimento é a sua metade.
C
b
M
A
b
b
Observe que a tese é equivalente a
−−→
−→
MN = 12 AB em linguagem veto-
N
b
−−→ 1 −→
MN = 2 AB
rial.
b
B
95
−−→
−→ −−→
−−→
−−→ −−→
Temos que AM = 12 AC = MC e que CN = 12 CB = NB.
−−→ −−→
−−→
−→
−−→ (∗7) −→ −−→
−→
Logo, MN = MC + CN = 12 AC + 12 CB = 12 (AC + CB) = 12 AB. ((∗7) se
refere à propriedade (7))
4. Dado um triângulo ABC, seja o triângulo XY C com X no lado AC, Y no lado
r
BC, de forma que XC e Y C estão para AC e BC, respectivamente, como 1
está para n. Então, o lado XY mantém a mesma proporção para o lado AB.
Ca
Exercı́cio: Faça um esboço da situação e demostrar o resultado.
FS
5. A diagonais de um paralelogramo se interceptam no ponto médio de cada um.
−→
−−→
Seja um paralelogramo ABCD. Sejam ~u = AB e ~v = AD. Então as diagonais
−→
−−→
são AC e BD, que determinam vetores AC = ~u + ~v e BD = ~v − ~u. O ponto
−→
médio M de AC é dado por M = A + 21 AC = A + 12 (~u + ~v ) , e o ponto médio
−−→
N de BD é N = B + 21 BD = B + 12 (~v − ~u). Como B = A + ~u, temos que
N = (A+~u)+ 12 (~v −~u) = A+(~u + 12 (~v −~u)) = A+(~u + 21 ~v − 12 ~u) = A+ 21 ~u + 21 ~v =
faça um esboço.
-U
A + 12 (~u + ~v ) = M. Como exercı́cio, aponte as propriedades utilizadas. E claro,
6. As medianas de um triângulo se encontram num ponto que divide cada mediana
em dois segmentos com proporção 1:2.
DM
Seja um triângulo ABC e sejam Ma , Mb e Mc os pontos médios dos lados opostos
a A, B e C, respectivamente, determinando as medianas AMa , BMb e CMc .
Seja Oa = A + 23 (Ma − A) que divide a mediana AMa nos segmentos AOa e Oa Ma
na proporção de 2 para 1. Vamos mostrar que Oa coincide com Ob = B+ 32 (Mb −B)
definido sobre a mediana BMb . De forma análoga, Oa = Oc (exercı́cio).
De fato, Ob = B+ 23 (Mb −B) = B+ 23 ((Mb −A)−(B−A)) = B+ 23 (Mb −A)− 32 (B−
A) = B + 23 ( 21 (C − A)) − 23 (B − A) = (A + (B − A)) + 32 ( 21 (C − A)) − 23 (B − A) =
A + 13 (B − A) + 31 (C − A) = 31 (B − A) + 31 ((C − B) + (B − A)) = A + 32 (B −
A) + 31 (C − B) = A + 23 (B − A) + 31 (2(Ma − B)) = A + 32 ((B − A) + (Ma − B)) =
96
A + 23 (Ma − A) = Oa . Quais foram as propriedades utilizadas? Experimente outras
formas!
7. O ponto G de encontro das medianas é o baricentro do triângulo ABC. Mostre
2.3
Ca
r
que G = 31 (A + B + C) (identificando ponto com vetor).
Dependência e independência linear, equações
vetoriais da reta e do plano
FS
−→
Consideremos agora um vetor não nulo ~v e um segmento orientado ~v = AB. Os
−→
múltiplos w
~ = λ~v possuem a mesma direção de ~v , se λ 6= 0. Portanto, se w
~ = λ~v = AC,
os pontos A, B e C estarão situados sobre a mesma reta r(A, B) que passa por A e B.
Lembramos que o ponto A estará entre B e C ou não, conforme λ < 0 ou λ > 0.
-U
D
•
A
−−→
−→
AD = µAB, µ < 0
B
r(A, B)
C
−→
−→
AC = λAB, λ > 0
DM
~ são paralelos (por
Dizemos que A, B e C são colineares e que os vetores ~v e w
possuirem a mesma direção ou que são linearmente dependentes (abreviadamente, l.d.)
Variando o valor de λ podemos percorrer todos os pontos da reta r(A, B).
Observamos agora que se X é um ponto qualquer da reta r(A, B), o segmento orien−−→
−→
−−→
−→
tado AX representa o vetor w
~ que possui a mesma direção de ~v = AB. Logo, AX = λAB
para algum número real λ. Isto quer dizer que o ponto X da reta r(A, B) fica determinado
de maneira única por um parâmetro real λ.
Assim, temos a equação vetorial da reta que passa por A e tem a direção do vetor
97
−→
~v = AB:
r : X = A + λ~v, λ ∈ R, ~v 6= ~0
Em coordenadas no plano: se A = (x0 , y0) e ~v = (a, b) 6= (0, 0), então temos a
equação
r
r : (x, y) = (x0 , y0 ) + λ(a, b), λ ∈ R,


x = z0 + λa
donde X = (x, y) é um ponto da reta r(A, ~v) se

y = y0 + λb
Ca
a
12
A ilustração da reta a passando pelo ponto
10
6
(reta paralela) e cli-
-U
DM
= A + λ~v
′
bA
= A + ~v
bA
4
cando sobre o ponto e o vetor, previamente
definidos:
bX
8
~v = (−1, 2) foi obtida no GeoGebra, usando
a ferramenta
y
FS
A = (3, 4) e com direção dada pelo vetor
, λ ∈ R.
2
~v
−2
x
2
4
6
Atividades com GeoGebra (7): Vamos construir uma planilha, onde
dados o ponto A e o vetor ~v , o ponto P = A + t~v percorre a reta definida por A e v,
dinamicamente.
• Defina o ponto A e o vetor ~v , usando as ferramentas ou comandos. Por exemplo,
digitando no Campo de Entrada: “A=(3,1)” e “v=(-2,3)”.
• Desenhe a reta por A e com direção de ~v como na ilustração acima, ou, através do
comando “r = Reta[A,v]”.
98
• Na Barra de Ferramentas, selecione a ferramenta
(seletor) e clique numa
posição da Área de Trabalho para posicionar o seletor. Renomeie o seletor para t.
• Vamos definir um ponto P , usando a parametrização da reta. No Campo de Entrada, digite:
r
“P = (x(A)+t*x(v), y(A)+t*y(v))”, ou simplesmente, “P = A + t*v”.
A e do vetor ~v , respectivamente.
Ca
Lembramos que x(A), y(A) e x(v), y(v) representam as coordenadas do ponto
• Defina o vetor w
~ = P − A, pelas ferramentas ou por comando, desenhando-o pela
FS
origem.
• Agora experimente movimentar o seletor t. O ponto P (t) acompanhará a variação,
movendo-se sobre a reta. O vetor w
~ também acompanha a variação, mas mantendose alinhado com ~v . As coordenadas do ponto P aparecem na Janela de Álgebra.
Entrada:“t=-2”.
-U
• Para obter P para valores especı́ficos, por exemplo, t = −2, digite no Campo de
Obs: Por omissão, o seletor é definido no intervalo [−5, 5]. Ou seja, esse intervalo é
onde t pode variar. Digitando um valor maior, será utilizado t = 5, que é o máximo
DM
possı́vel estabelecido pelo seletor. Você pode alterar esse intervalo, modificando as
propriedades do seletor.
• Experimente trocar o vetor ~v e o ponto A (com o mouse, por exemplo) e repita a
experiência de movimentar o seletor.
Analogamente, para uma reta no espaço que passa por dois pontos distintos A =
(x0 , y0 , z0 ) e B = (x1 , y1, z1 ), temos que o vetor direção é dado pot ~v = B − A =
(x1 − x0 , y1 − y0 , z1 − z0 ) 6= (0, 0, 0). Então, a equação da reta r(A, B) é dada por
r : (x, y, z) = (x0 , y0 , z0 ) + λ(x1 − x0 , y1 − y0 , z1 − z0 ), λ ∈ R,
99




x = x0 + λ(x1 − x0 )



donde y = y0 + λ(y1 − y0 )





z = z0 + λ(z1 − z0 )
, λ ∈ R.
z
b
~v
Ilustração da reta r de-
b
b
b
b
b
b
b
Ca
b
r
b
b
A
terminada por
A = (1, 3, 4)
r
e
b
b
b
~v
y
FS
b
b
b
b
b
b
b
O
b
obtida no GeoGebra,
utilizando perspectiva
cavaleira.
-U
x
~v = (3, −2, 1),
Reta por A e v, no Octave
A = [2 -3 4]; v = [2,3,-1];
% ponto e vetor dados
% lista de 51 t’s de -5 a 5
x = A(1)+t*v(1);
% lista das coordenadas x
DM
t = linspace(-5,5,51)
y = A(2)+t*v(2);
% lista das coordenadas y
z = A(3)+t*v(3);
% lista das coordenadas z
plot3(x,y,z)
% curva poligonal ligando os 51 pontos
% = segmento de P=A-5v até Q=A+5v
...
Dada uma reta de equação vetorial r : X = A + λ~v , λ ∈ R, ~v 6= ~0, se P é um
ponto fora de r podemos considerar a reta s que passa pot P e tem a direção dada por
~v , s : X = P + t~v , t ∈ R.
100
Geometricamente, s é uma reta paralela a r, que passa por P e não possui pontos em
comum com r.
~v
r
A
•
~v
r
s
P
•
Ca
~v
Se duas retas r e s com mesma direção de ~v 6= ~0 possuirem um ponto em comum,
elas serão coincidentes.
~v
•
P
~v
FS
•
A
-U
Exemplos e exercı́cios
r=s
1. Dados A = (−1, 3) e ~v = (3, 7), verificar se P = (68, 164) pertence à reta que
passa por A e tem a direção de ~v .
DM
A equação da reta é r : (x, y) = (−1, 3) + t(3, 7), t ∈ R.
O ponto P pertence à reta se for possı́vel encontrar um parâmetro t de modo que
a equação vetorial (68, 164) = (−1, 3) + t(3, 7) seja satisfeita.
Logo, devemos ter (68, 164) = (−1 + 3t, 3 + 7t), donde


68 = −1 + 3t =⇒ t = 68+1 = 23
3

164 = 3 + 7t =⇒ t =
164−3+1
7
= 23
O número real t = 23 satisfaz o sistema de equações acima, dada pela equação
vetorial. Portanto, P pertence à reta dada.
101
−→
−→
Observamos que AP = 23~v, isto é, AP e ~v são linearmente dependentes. Na
verdade, bastava mostrar esta condição diretamente, para concluir que P está na
reta. É uma questão de interpretação: P ∈ r : X = A + t~v se, e somente se, existe
t tal que P = A + t~v ou, equivalentemente, existe t com P − A = t~v .
Ca
vetorial da reta s que passa por B e é paralela a r.
r
2. Verificar que B = (3, 1) não pertence à reta r do exemplo anterior e obter a equação
Solução 1: Vamos verificar se existe um parâmetro λ que satisfaça a equação:
(3, 1) = (−1, 3) + λ(3, 7).


3 = −1 + 3λ =⇒ λ = 3−(−1) =
3
1−3
7
=
−2
7
Contradição!
FS

1 = 3 + 7λ =⇒ λ =
4
3
Como não existe um parâmetro λ da equação da reta r que corresponda a B, este
ponto não pertence à reta.
A equação s : (x, y) = (3, 1) + λ(3, 7), λ ∈ R é da reta que contém B e é paralela
-U
à reta r, por possuir a mesma direção da reta r.
Solução 2 (para verificação de B ∈
/ r): É óbvio que B − A = (3, 1) − (−1, 3) =
(4, −2) não é paralelo ao vetor (3, 7) da reta, e portanto, B não pertence à reta. Se
pertencesse, B − A e (3, 7) deveriam ser paralelos. (Obs: Demonstrar que (4, −2) e
DM
(3, 7) não são paralelos equivale a mostrar que não existe t tal que (4, −2) = t(3, 7),
que recai nos mesmos cálculos algébricos da solução 1. Mas o argumento geométrico
é igualmente importante.)
3. Verique se o ponto P = (20, 30) pertence à reta r que passa por A = (1, −2) e
B = (4, 7).
Lembramos que a direção da reta que passa por dois pontos A e B é ~v = B − A.
4. Verifique se os pontos A = (1, 0, 2), B = (−3, 4, 0) e C = (−1, 2, 1) são colineares
ou não.
102
−→ −→
Basta verificar se AB e AC são paralelos.
5. Invente outros pontos e retas e repita os exercı́cios acima.
Vimos portanto que a multiplicação de um vetor ~v 6= ~0 por um escalar produz vetores
r
λ~v que com ~v formam um conjunto l.d.
Ca
Dizemos que dois (somente dois!) vetores ~v e w
~ são linearmente independentes (l.i.)
se eles não são l.d., isto é, não é possı́vel encontrar λ ∈ R que satisfaça w
~ = λ~v ou
~v = λw.
~
Como consequência imediata deste conceito, se ~v ou w
~ for o vetor nulo, eles são l.d.
FS
(se ~v = ~0, por exemplo, ~v = 0.w.)
~
Consideremos então dois vetores não nulos ~v e w
~ de modo que ~v e w
~ não sejam l.d.
(logo, linearmente independentes — l.i.)
−→
−→
Sejam ~v = AB e w
~ = AC (representados por segmentos orientados com origem em
C
Os pontos A, B e C não são colineares
pois w
~ 6= λ~v para qualquer λ ∈ R.
w
~
~v
B
DM
A
-U
A).
Então existe um plano π determinado por estes pontos.
X ′′ •
C•
w
~
•
A
~v
π
X
•
B
• ′
X
−−→
Um ponto X deste plano determina o vetor AX. Traçando por X a reta paralela à
reta r(A, B), o ponto de encontro desta com a reta r(A, w)
~ existe e será denotado por
103
X ′′ . Analogamente, traçando por X a reta paralela à reta r(A, C), esta encontra a reta
r(A, ~v ) no ponto X ′ . Confira na figura.
−−→ −−→ −−→
Pela regra do paralelogramo, vemos que AX = AX ′ + AX ′′ . Como X ′ é um ponto
da reta r(A, ~v) e X ′′ é um ponto da reta r(A, w),
~ existem escalares λ e µ que satisfazem
r
a equação vetorial
Ca
π : X = A + λ~v + µw,
~ onde λ e µ são parâmetros reais.
.
−−→
−−→
Quando escrevemos AX = λ~v + µw,
~ estamos dizendo que o vetor AX é uma
FS
combinação linear (abreviadamente, c.l.) de ~v e w,
~ com coeficientes λ e µ. Também
−−→
dizemos, por motivos óbvios, que AX é coplanar com ~v e w.
~
Em coordenadas, temos a seguinte situação: se A = (x0 , y0 , z0 ), ~v = (a, b, c), w
~ =
(d, e, f ) com {~v , w}
~ l.i., então X = (x, y, z) pertence ao plano que passa por A e tem a
−−→
direção dos vetores l.i. {~v, w}
~ quando AX = X − A é uma combinação linear de ~v e w,
~
-U
isto é,
DM
(x, y, z) − (x0 , y0 , z0 ) = λ(a, b, c) + µ(d, e, f ), para λ, µ ∈ R.



x = x0 + λa + µd



Dizemos que π :
y = y0 + λb + µe , λ, µ ∈ R são as equações paramétricas do





z = z0 + λc + µf
plano π, com parâmetros λ e µ.
Exemplos e exercı́cios
• A equação vetorial do plano coordenado Oyz no espaço cartesiano pode ser dada
por X = (x, y, z) = (0, y, z) = (0, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1), y, z ∈ R,
104
z
•
X
~k
pois o plano coordenado yz
~
y
Ca
~ı
passa pela origem O = (0, 0, 0)
r
O
e é gerado pelos vetores ~ = (0, 1, 0)
x
e ~k = (0, 0, 1).
FS
Observe que as próprias coordenadas y e z são os parâmetros desta equação. Ob-
-U
serve também que podemos escrever as equações paramétricas deste plano como:




x=0



y = 0 + 1y + 0z , y, z ∈ R.





z = 0 + 0y + 1z
Como exercı́cio, descreva os demais planos coordenados de R3 , os planos xy e xz.
• A equação de um plano que passa pelo ponto A = (1, 2, 0) e é paralelo ao plano
DM
yz é portanto dada por:
π : X = A + λ(0, 1, 0) + µ(0, 0, 1), λ, µ ∈ R.
(x, y, z) = (1, 2, 0) + λ(0, 1, 0) + µ(0, 0, 1), λ, µ ∈ R.
105
z
~k
Parametricamente,
O




x=1



y =2+λ





z = µ
y
Ca
~ı
r
2
~
•
A
FS
x
, y, z ∈ R.
• Mais geralmente, vamos apresentar um desenho de plano passando por um ponto
A = (x0 , y0 , z0 ) e direção dada pelos vetores ~v = (a1 , b1 , c1 ) e w
~ = (a2 , b2 , c2 ), e
os comandos para sua obtenção, no Octave.
-U
Veja as miniaturas das ilustrações do paralelogramo (x, y, z) = (3, −3, 4)+t (0, 2, 3)+
s (1, 2, 3), t, s ∈ [0, 1] geradas na sessão abaixo, com os comandos “mesh”, “meshz”
e “surf”, respectivamente.
9
8
7
6
5
41
10
10
9
9
8
8
7
7
6
6
DM
10
5
0.5
41
0
-0.5
4
-1
3.8
-1.5
3.6
-2
3.4
-2.5
-3 3
3.2
5
0.5
41
0
-0.5
4
-1
3.8
-1.5
3.6
-2
3.4
-2.5
-3 3
3.2
0.5
0
-0.5
4
-1
3.8
-1.5
3.6
-2
3.4
-2.5
-3 3
3.2
Sess~
ao de Octave - Plano parametrizado
octave:2> A = [3,-3,4]; % ponto do plano
octave:3> v = [0,2,3]; w = [1,2,3]; % vetores do plano
octave:4> t = s = linspace(0,1,11); % t e s no intervalo [0,1]
106
octave:5> [tt,ss]=meshgrid(t,s);
% help meshgrid para ajuda
octave:6> xx = A(1)+tt*v(1)+ss*w(1);
octave:7> yy = A(2)+tt*v(2)+ss*w(2);
octave:8> zz = A(3)+tt*v(3)+ss*w(3);
octave:9> mesh(xx,yy,zz)
% criando a figura com mesh
r
octave:10> print(’plano-octave-mesh.eps’,’-deps’)
Ca
% salvando a figura no arquivo e formato dados.
% Pode-se utilizar também PNG
octave:11> meshz(xx,yy,zz)
% criando figura com meshz
octave:12> surf(xx,yy,zz)
% criando figura com surf
FS
...
Agora vamos ao GeoGebra, utilizando a parametrização X = A + t~u + s~v do plano,
no caso de pontos e vetores no plano R2 . Isto define um referencial no plano, onde a
origem é o ponto A e os eixos têm a direção e unidades definidas pelos vetores ~u e ~v.
DM
-U
Neste referencial, X = (t, s).
107
Atividades com GeoGebra (8): Plano descrito na forma X = A + t~u + s~v
e sua dinâmica.
• Entre com três pontos A, B e C na Área de Trabalho, através da ferramenta de
Ca
• Construa os vetores ~u = B − A e ~v = CA .
r
criação de ponto, formando um triângulo não degenerado.
• Selecione o seletor na Barra de Ferramentas e crie dois seletores, um para o
parâmetro t e outra para o parâmetro s. Por omissão, serão criados no intervalo
FS
[−5, 5].
• Construa o ponto X = A + t~u + s~v .
Basta digitar no Campo de Entrada: “X = A + t*u + s* v”.
Para melhor visualização do ponto, modifique suas propriedades, aumentando de
-U
tamanho e mudando a cor.
• Para melhor localização dos pontos, construa as retas a = r(A, B), b = r(A, C),
c = r(B, ~v) e d = r(C, ~u). Marque a intersecção D = c ∩ d e construa também
e = r(A, D) e f = r(B, C).
DM
• Com o apontador, modifique os valores de t e s.
1. Onde está X quando se fixa t = 0 e varia s? E para t = 1?
2. E quando se fixa s = 0 e varia t? E para s = 1?
3. E quando 0 ≤ t ≤ 1? E 0 ≤ s ≤ 1?
4. Coloque X sobre a diagonal AD do paralelogramo ABDC. Verifique que
t = s.
5. Coloque X sobre a diagonal BC do paralelogramo. Verifique que t + s = 1.
108
6. Escolha um ponto qualquer P no plano e leve X sobre P .
Lembre-se que o seletor trabalha com um passo que por omissão é 0.1. Por
isso, é possı́vel que não consiga exatamente o ponto P .
r
• Construa a parametrização da reta e = r(A, D) baseado na observação acima,
seletor.
Ca
utilizando o ponto A e os vetores ~u e ~v , e implemente a reta escolhendo outro
Como t = s, vamos utilizar um seletor m para parâmetro. Depois, é só digitar “Y =
A + m*u + m*v”. Movimentando Y através do seletor m, verá que Y percorrerá
FS
os pontos da reta diagonal e = r(A, D).
• Faça o mesmo para a reta f = r(B, C).
• Agora experimente modificar A, B e C.
Em particular, o que ocorre quando A, B e C são colineares? Você consegue t e
-U
s para localizar X fora da reta dos pontos dados? Obtenha pares distintos de t e
s para um mesmo ponto X sobre a reta. (marque um ponto P e movimente t e s
até que X fique sobre P .)
Apresentaremos a seguir algumas definições e resultados que precisamos ter em mente,
DM
quando trabalhamos com vetores, sobre dependência e independência linear, algumas
reescritas. Para cada definição ou resultado, os vetores devem que ser do mesmo tipo
(todos do plano ou todos do espaço).
1. Dois vetores ~v e w
~ são linearmente dependentes (l.d.) se existem escalares x e
y não ambos nulos que satisfazem x~v + y w
~ = ~0.
Observação 1: Esta condição é equivalente à definição utilizada anteriormente,
de que ~v e w
~ são l.d. se um deles é múltiplo do outro.
De fato, se x~v + y w
~ = ~0 com x 6= 0, então ~v = − xy w.
~ Se y 6= 0, podemos escrever
109
w
~ = − xy ~v. Reciprocamente, se ~v = λw,
~ então 1 ~v − λw = ~0 e se w
~ = µ~v,
~ = ~0.
−µ~v + 1 w
−→
−→
Observação 2: Dados ~v = AB e w
~ = AC, então ~v e w
~ são l.d. se, e só se,
A,B e C são colineares (estão sobre uma mesma reta).
De fato:
r
Inicialmente suponha que ~v e w
~ sejam l.d. e, sem perda de generalidade, que
Ca
w
~ = λ~v . Então temos duas possibilidades para B = A + ~v e C = A + λ~v : (1) se
~v 6= ~0, os pontos estão na reta definida por A e ~v, e (2) se ~v = ~0, B = C = A.
Em ambos os casos, A, B e C são colineares.
Reciprocamente, suponha que A, B e C sejam colineares. Se coincidirem, então
FS
~v = w
~ = ~0 e portanto são l.d. Suponha que A 6= B, determinando uma reta
r = r(A, B) = r(A, ~v). Como C ∈ r, C = A + λ~v . Logo w
~ = λ~v e portanto, ~v e
w
~ são l.d.
2. Dois vetores ~v e w
~ são linearmente independentes (l.i.) se uma combinação
-U
linear nula x~v + y w
~ = ~0 só é possı́vel para x = y = 0.
Observação 1: Se ~v ou w
~ for nulo então eles não podem ser l.i.
DM
De fato, se ~v = ~0, temos ~v = 0 w
~ e se w
~ = ~0, w
~ = 0 ~v .
−→
−→
Observação 2: Se ~v = AB e w
~ = AC são l.i., então A, B e C determinam um
plano.
Isto segue do fato que A, B e C não são colineares, como foi demonstrado acima.
Observação 3: Serem l.i. é a negação de serem l.d.
3. Três vetores ~u, ~v e w
~ são linearmente dependentes (l.d.) se existem escalares
não todos nulos x, y e z que satisfazem x~u + y~v + z w
~ = ~0.
Observação 1: Se um dos vetores for nulo, então o conjunto de vetores é l.d.
Por exemplo, se ~u = ~0, temos 1~u + 0~v + 0w
~ = ~0, já que 1~u = 1~0 = ~0.
110
Observação 2: Se {~u, ~v} é l.i. e {~u, ~v , w}
~ é l.d. então w
~ é combinação linear
de ~u e ~v .
Dem: Suponha que x~u + y~v + z w
~ = ~0 com algum dos escalares x, y e z não
nulo. Podemos afirmar com certeza que z 6= 0 pois, caso contrário, terı́amos
x~u +y~v +0w
~ = x~u +y~v = ~0 e como {~u, ~v} é l.i., x = y = 0, ou seja, x = y = z = 0!
r
Então w
~ = − xz ~u − yz ~v .
Ca
Observação 3: Em geral, 3 vetores ~u, ~v e w
~ são l.d. se, e somente se, um deles
(não necessariamente w)
~ é c.l. dos demais. Esta é a versão mais utilizada como
definição, nos diversos textos.
De fato, suponha inicialmente que x~u + y~v + z w
~ = ~0, com um dos coeficientes não
FS
nulo. Suponhamos, sem perda de generalidade, que x 6= 0. Então, ~u = − xy ~v − xz w.
~
A recı́proca fica como exercı́cio.
−→
−→
Observação 4: Já vimos que se ~u = AB e ~v = AC forem l.i. podemos consi−→ −→
~ é
derar o plano que passa por A e é gerado pelos vetores AB e AC. Dizer que w
considerado.
DM
~u
-U
combinação linear de ~u e w
~ significa que o ponto D = A + w
~ pertence ao plano
w
~
~v
vetores livres l.d.
T
T
T
T
T
T
T
•
T
A
T
T
T
T
T
T
T
B
~u •
w
~
~v
π
•C
T
T
T
T
T
T
T
D
•
T
T
T
T
T
T
T
T
Por isso dizemos que três vetores ~u, ~v e w
~ são l.d. quando são coplanares.
4. Três vetores ~u, ~v e w
~ são linearmente independentes (l.i.) se uma combinação
111
linear x~u + y~v + z w
~ = ~0 for possı́vel somente quando x = y = z = 0.
Observação 1: Neste caso, nenhum dos vetores pode ser nulo e os segmentos
orientados que representam os vetores não são coplanares.
Observação 2: Mais geralmente, nenhum dos vetores pode ser c.l. dos demais.
r
Observação 3: É óbvio que no plano cartesiano R2 três vetores são sempre l.d.,
Ca
pois já estão contidos no plano.
Observação 4: Serem l.i. é a negação de serem l.d.
Então existem no máximo dois vetores linearmente independentes no plano.
FS
Por exemplo, sejam ~ı = (1, 0) e ~ = (0, 1) que são respectivamente vetores unitários
nos sentidos positivos dos eixos Ox e Oy.
Temos que qualquer vetor ~v = (a, b) do plano se escreve como ~v = (a, b) = a(1, 0) +
b(0, 1) = a~ı + b~, isto é, como uma combinação linear de ~ı e ~.
Vemos que C = {~ı, ~} é um conjunto l.i. pois x~ı + y~ = ~0 ⇐⇒ x(1, 0) + y(0, 1) =
-U
(0, 0) ⇐⇒ (x, y) = (0, 0) ⇐⇒ x = y = 0
Dizemos que C é a base canônica de R2 .
Em geral B = {~u, ~v } l.i. no plano R2 é uma base de R2 , sendo que qualquer vetor w
~
DM
se escreve de maneira única como combinação linear de ~u e ~v .
Exemplo: Mostrar que ~u = (2, 1) e ~v = (3, 5) são l.i. e escrever w
~ = (1, −1) como
uma combinação linear de ~u e ~v .
Como
x(2, 1) + y(3, 5) = (0, 0) ⇐⇒


2x + 3y = 0

x + 5y = 0
temos que {~u, ~v } é l.i. e é uma base de R2 .
⋆
⇐⇒ x = y = 0
112
Agora, como
w
~ = (1, −1) = α(2, 1) + β(3, 5) ⇐⇒
temos que w
~ =


2α + 3β = 1

α + 5β = −1
8
3
⇐⇒ α = , β = −
7
7
8
3
u − ~v . Essa combinação é única, pois o sistema acima tem solução
7
7
y
r
única.
Ca
(3, 5)
~v
8
~u
7
~u 7
GeoGebra.
Observe a regra do paralelogramo.
x
-U
~ −1)
w(1,
3
−
~v
FS
Ilustração do exemplo obtido com
A unicidade da c.l. de w
~ numa base {~u, ~v} do plano segue da independência linear
DM
dos vetores da base. De fato, suponha que w
~ = x~u + y~v = x′~u + y ′~v. Então w
~ −w
~ =
~0 = (x − x′ ) ~u + (y − y ′ ) ~v, donde x − x′ = 0 = y − y ′ e, portanto, x = x′ e y = y ′.
Na mesma linha de raciocı́nio, no espaço euclidiano R3 , quatro vetores são sempre
contidos no próprio espaço, onde existem no máximo três vetores l.i. Exemplo: ~ı =
(1, 0, 0), ~ = (0, 1, 0) e ~k = (0, 0, 1) são respectivamente os vetores unitários no sentido
positivo dos eixos cartesianos Ox, Oy e Oz. O conjunto C = {~ı, ~, ~k} é claramente
l.i. e a grande vantagem é que qualquer vetor ~v = (x, y, z) do espaço se escreve como
combinação linear dos vetores de C de forma natural: ~v = (x, y, z) = x~ı + y~ + z~k, onde
os coeficientes da combinação linear são exatamente as coordenadas de ~v .
113
Dizemos que C = {~ı, ~, ~k} é a base canônica de R3 .
~ no espaço R3 é chamado base
Em geral, um conjunto de três vetores B = {~u, ~v, w}
se for um conjunto l.i. e, neste caso, dado um vetor ~t qualquer no espaço, podemos
encontrar escalares a, b e c tais que ~t = a~u + b~v + cw.
~ Além disso, os escalares são únicos
(demonstração análoga ao caso plano — exercı́cio!).
Sejam α o plano determinado por
w
~
P
b
A
b
P
b
~t
Db
′′
b~v
a~u + b~v
FS
ABC e ℓ a reta determinada por P e w.
~
P ′′′
b
Ca
Represente os vetores a partir de um
−→
−→
−−→
ponto A: ~u = AB, ~v = AC, w
~ = AD e
→
~t = −
AP .
r
Geometricamente, podemos obter estes escalares da seguinte forma:
C
b
cw
~
ℓ
~v
b
P̄
α
Encontre P̄ como intersecção de ℓ com α.
a~u
b
−→
P′
b
Temos que P̄ P = cw.
~
~u
B
−→
−→ −→
−→
Aplique o caso plano para obter AP̄ = a~u + b~v . Assim, ~t = AP = AP̄ + P̄ P =
-U
a~u + b~v + cw.
~
Quando os vetores são dados em coordenadas, podemos obter os escalares acima
utilizando sistemas lineares, como podemos ver no exemplo a seguir:
Sejam ~u = (1, 2, 3), ~v = (−2, 3, 4), w
~ = (0, 2, −2). Estes vetores serão l.i. se
3).
DM
x~u + y~v + z~v = ~0 só for possı́vel com x = y = z =0.


x −2y
=0


Isto é equivalente a dizer que o sistema linear (∗) 2x +3y +2z = 0 tem somente



3x +4y −2z = 0
a solução nula x = y = z = 0 (que é equivalente ao posto da matriz dos coeficientes ser
Escrever o vetor ~t = (−3, 4, 10) como c.l. de~u, ~v e w
~ é obter x, y e z com ~t =

 x −2y
= −3


x~u + y~v + z w,
~ ou seja, resolver o sistema (∗∗) 2x +3y +2z = 4 .



3x +4y −2z = 10
114
Resolvendo com Octave ...
octave:1> u=[1 2 3];
octave:2> v= [-2 3 4];
octave:3> w = [0 2 -2];
octave:4> M = [u;v;w]’
% M é a matriz dos coeficientes de (*) e de (**)
-2
0
2
3
2
3
4
-2
Ca
1
r
M =
FS
octave:5> t=[-3 4 10]
t =
4
octave:6> rank(M)
ans =
3
10
% rank(M) = posto(M)
% logo u,v,w é l.i.
-U
-3
octave:7> M\zeros(3,1) % resolvendo (*)
ans =
0
DM
0
0
octave:8> X=M \ t’
% resolvendo (**)
X =
0.41176
1.70588
-0.97059
octave:9> X(1)*u+X(2)*v+X(3)*w
ans =
% escrevendo a c.l.
115
-3.0000
4.0000
10.0000
No próximo capı́tulo detalharemos a aplicação de técnicas matriciais para a resolução
deste e outros problemas com vetores, retas e planos.
Apresentamos a seguir um belo exemplo de aplicação das propriedades de operações
r
vetoriais e dependência linear, para demonstrar um resultado clássico de Geometria Eu-
Ca
clidiana:
OA
OMa
C
b
Teorema: As medianas de um triângulo
OB
OMb
=
OC
OMc
=
2
1
~ = 2 AM
~ a
AO
3
M
a
b
Mb b
se encontram num único ponto, situado a
=
b
2/3 de cada mediana, a partir do vértice.
FS
Ab
O
B
b
b
Mc
Dem: Seja ABC o triângulo. Sejam Ma , Mb e Mc os pontos médios dos lados opostos aos
-U
vértices A, B e C, respectivamente.
−−
→
−→
Para ~u = AB e ~v = AC, temos que Ma = A + 12 (~u + ~v ), Mb = A + 12 ~v e Mc = A + 21 ~u.
DM
Logo, as equações vetoriais das medianas são:
−−−→
AMa : X = A + tAMa = A + 2t (~u + ~v ),
−−−→
BMb : X = B + sBMb = (A + ~u) + s(A + 12 ~v − (A + ~u)) = A + (1 − s)~u + 2s ~v ,
−−−→
CMc : X = C + λCMc = (A + ~v ) + λ(A + 12 ~u − (A + ~v )) = A + λ2 ~u + (1 − λ)~v ,
com t, s, λ ∈ [0, 1]. Devemos mostrar que O = AMa ∩ BMb ∩ CMc com t = s = λ = 23 .
Vamos inicialmente encontrar O = AMa ∩ BMb e mostrar depois que O ∈ CMc .
Como O = A + 2t (~u + ~v ) = A + (1 − s)~u + 2s ~v , temos que ( 2t + s − 1)~u + ( 2t − 2s )~v = ~0.
E como ~u e ~v são l.i. (lados de um triângulo),
(exercı́cio!) que t =
t
2
3
t
2
+s−1 = 0 e
t
2
−
s
2
= 0, donde concluı́mos
= s.
z}|{
2 1
(~u + ~v ) = A + 31 (~u + ~v ).
Logo O = A +
3 2
Para ver que O ∈ M Mc , basta ver se O = A + 13 (~u + ~v ) = A + λ2 ~u + (1 − λ)~v para algum
λ ∈ [0, 1]. Equacionando, devemos ter 13 (~u + ~v ) = λ2 ~u + (1 − λ)~v , e pelo fato de ~u e ~v serem
116
l.i., concluı́mos que
2.4
λ
2
=
1
3
e (1 − λ) = 31 , satisfeito para λ = 23 , como querı́amos.
Uma introdução ao GeoGebra
O GeoGebra é um software de Geometria Dinâmica, criado originalmente por Markus
r
Hohenwarter, para trabalhar com Geometria e Álgebra. É um programa implementado em
Ca
Java, que permite mover com o mouse (ou outro dispositivo correspodente) os objetos
construı́dos, sem perda das propriedades geométricas e algébricas utilizadas.
É apresentado numa planilha contendo uma Janela de Álgebra e uma Área de Trabalho,
DM
-U
FS
entre a Barra de Ferramentas acima e o Campo de Entrada abaixo.
Observe que cada elemento da Área de Trabalho(desenho plano) é descrito algebricamente na Janela de Álgebra ao lado. A Janela de Álgebra pode ser escondida quando
desejar, mas é automaticamente atualizada a cada modificação da Área de Trabalho. Reciprocamente, cada alteração na Janela de Álgebra é repassada para a Área de Trabalho.
As entradas dos objetos (pontos, retas, vetores, cônicas, . . . ), com as propriedades
117
desejadas podem ser na forma de comandos no Campo de Entrada, ou através da Barra
de Ferramentas na Área de Trabalho. Alterações das propriedades das construções podem
ser feitas posteriormente, clicando com o botão direito do mouse sobre o objeto, tanto
na Janela de Álgebra, quanto na Área de Trabalho.
Mais sobre manipulação do GeoGebra pode ser obtido em http://www.geogebra.at.
r
Não deixe de consultar o GeoGebra QuickStart.
Ca
Agora vamos nos concentrar no uso do GeoGebra como uma ferramenta para estudar
Geometria Analı́tica Plana. O GeoGebra trabalha com o plano munido de um sistema de
coordenadas cartesianas.
através de suas coordenadas.
FS
1. Definindo pontos: Podemos entrar com um ponto através do Campo de Entrada,
Por exemplo, para definir P = (2, 3), basta digitar “P = (2,3)” no Campo de
Entrada.
Podemos também selecionar
(ponto) na Barra de Ferramentas e clicar no
-U
lugar desejado da Área de Trabalho. Porém, como o objetivo inicial é trabalhar as
coordenadas, vamos utilizar o Campo de Entrada.
DM
Como exercı́cio, crie também O = (0, 0).
Observação 1: O GeoGebra não aceita qualquer letra como nome de ponto.
Em geral são letras maiúsculas, tipo A, B, C, P , . . . . Pode ter algumas variações
como P1 (escreve-se t 1), P ′ , P ′′ . Problemas com X. Se utilizar letra minúscula,
entenderá que é um vetor.
Observação 2: Um ponto assim criado é um objeto livre (pois não dependeu
de outros objetos para ser criado) e pode ser movimentado com o mouse, com
a ferramenta
(Mover). Mas, se na hora de criar o ponto, tivesse escolhido
um ponto de alguma reta, ou curva, ou segmento, . . . , este ponto deve aparecer
118
na categoria de Objeto dependente, e só pode ser movimentado sobre o objeto
escolhido.
Observação 3: Pode-se esconder o rótulo, renomear, aumentar o tamanho do
cı́rculo que o representa, a cor, etc (suas Propriedades) clicando com o botão
direito do mouse sobre o objeto e seguindo as instruções. Experimente! Obs: Pode-
r
se escolher fixar objeto sobre um ponto que não quer que seja movimentado, como
Ca
O = (0, 0). O objeto, mesmo classificado como livre, ficará fixo.
Observação 4: As coordenadas do ponto P são referidas no GeoGebra como
“x(P)” e “y(P)”.
Por exemplo, para obter as projeções Px e Py de P nos eixos Ox e Oy, respecti-
FS
vamente, digitamos “P x = (x(P), 0)” e “P y = (0, y(P))”. Observe que os
pontos Px e Py são classificados na Janela de Álgebra como objetos dependentes.
Como exercı́cio de dinâmica, experimente mover o ponto P de lugar, com o mouse
(selecione a ferramenta de mover na Barra de Ferramentas, clique no ponto P e
-U
movimente). Os objetos dependentes do ponto P como Px e Py seguem o movimento. Além disso (importante!), se apagar um objeto do qual eles dependem
(no caso, o ponto P ), serão automaticamente apagados.
2. Definindo vetores: Temos formas distintas de definir vetores, dependendo das si-
DM
tuações:
−→
• Vetor ~v = AB, onde A e B já estão definidos e desenhados:
No Campo de Entrada, digite “v=Vetor[A,B]” ou “v=B-A”. No primeiro
−→
caso, o desenho do vetor será como o segmento orientado AB, de A até B.
No segundo caso, a origem do vetor será em (0, 0).
Na Barra de Ferramentas, selecione
(vetor definido por dois pontos) e
clique sobre os pontos A e B. O nome do vetor será escolhido pelo probrama,
mas você pode renomear. Se o nome que você escolher já estiver sendo usado
119
para outro objeto, o programa renomeará o outro objeto, para que sua escolha
atual seja respeitada (nem sempre).
• Vetor ~v = (a, b), com as coordenadas a e b já definidos.
No Campo de Entrada, digite “v=(a,b)”.
r
• Vetor ~v = (a, b), com as coordenadas a e b definidas no momento.
~v = (2, 3).
Ca
No Campo de Entrada, digite “v = (2,3)”, por exemplo, para criar o vetor
Observação 1: Se digitar “B-A” em vez de “v=B-A”, será criado um ponto,
digamos, C, tal que C − O = B − A.
FS
Observação 2: Se digitar “(a,b)” em vez de “v=(a,b)”, será criado o ponto
(a, b).
Observação 3: O vetor criado utilizando “v=(a,b)” com a e b anteriormente
-U
definidos é um objeto dependente de a e b.
3. Operando com pontos e vetores:
No Campo de Entrada, supondo que os objetos relacionados no lado direito de “=”
estejam pré-definidos.
DM
• “B = A+v” (com A e ~v pré-definidos) cria (e desenha) o ponto B = A + ~v.
• “w = u+v” (com ~u e ~v pré-definidos) cria o vetor w
~ = ~u + ~v e desenha-o a
partir de O.
• “z= 5v” ou “z= 5*v” cria o vetor ~z = 5 ~v.
• “m = 3 u - 5v” cria o vetor m
~ = 3~u − 5~v (combinações lineares)
• “u*v” calcula o chamado produto escalar entre ~u e ~v, a ser definido mais
tarde: (a, b) ∗ (c, d) = ac + db.
• “B = Transladar[A,v]” cria o ponto B = A + ~v.
120
Com a Barra de Ferramentas, temos a ferramenta
(vetor a partir de um
ponto) que, clicando sobre um ponto A e um vetor ~v cria o ponto B = A + ~v
−→
e desenha-o junto com o segmento orientado AB, que terá outro nome (não será
~v ). Além disso, existe outra ferramenta com ı́cone semelhante, Transladar por um
r
vetor, que só desenha o ponto B. Obs: O nome B para o ponto é fictı́cio, mas
Ca
pode ser renomeado!
4. Segmentos de retas:
• Para criar um segmento de A até B, basta selecionar
(segmento defi-
FS
nido por 2 pontos) e clicar sobre os pontos. Ou então, digitar “Segmento[A,B]”.
Há várias propriedades que podem ser modificadas, como estilo, cor, espessura,
nome, etc.
• Um segmento CD pode ser obtido de AB, através de uma translação por um
-U
vetor ~v , utilizando a ferramenta
(Transladar por um vetor) e clicando
sobre o segmento AB e o vetor ~v . Ou então, digitando “Transladar[Segmento[A,B],v]”.
• Para segmento parametrizado, veja mais adiante.
DM
5. Retas
• Para criar uma reta por A e B, o mais simples é utilizar a ferramenta
(Reta definida por dois pontos) ou digitar “Reta[A,B]”.
• Retas paralelas ou perpendiculares a uma reta ou vetor e passando por um
ponto, podem ser traçadas com as ferramentas do mesmo nome. Estão no
mesmo grupo de ferramentas, na Barra de Ferramentas. Fica como exercı́cio
explorá-las e procurar os comandos correspondentes.
• Para retas parametrizadas, veja mais adiante.
121
6. Criando novas ferramentas Podemos criar novas ferramentas, popularmente conhecidas como macros, quando trabalhamos num projeto onde alguns procedimentos
se repetem em diversas ocasiões. Por exemplo, se quizermos trabalhar com Geometria Espacial através de Perpectiva Cavaleira, definimos novas ferramentas para
desenhar os elementos do espaço em perspectiva.
3
todos ligados com segmentos tracejados,
para melhor visualização, como aparecem nos
Ca
criação do macro para representar o ponto
com suas projeções nos eixos coordenados,
2
B
b
b
1
−1
b
1
b
2
FS
livros didáticos.
A
b
b
r
Vamos apresentar aqui, no caso plano, a
• Primeiro crie um modelo de ponto com suas projeções e segmentos:
(i) Crie um ponto P .
(ii) Obtenha as projeções P ′ = (x(P ), 0) e P ′′ = (0, y(P )).
-U
(iii) Desenhe os segmentos P ′ P e P ′′ P . Depois modifique o Estilo em Propriedade, para que apareçam tracejados, e mais finos do que o default. Além
disso, esconda os rótulos (nomes) dos segmentos e dos pontos, exceto o P .
DM
• No menu acima da barra de ferramentas, selecione Ferramentas e depois,
Criar uma nova ferramenta. Então,
(i) abrir-se-á uma nova janela, onde, pede-se primeiro para escolher todos os
objetos de saı́da, isto é, que serão criados automaticamente sempre que se
utilizar a ferramenta. No caso, escolha os pontos P ′ , P ′′ e os segmentos P ′ P
e P ′′ P , como é sugerido.
(ii) Depois de concluı́da estas entradas, será pedido para selecionar os objetos
de entrada. No caso, somente o ponto P. (Se houvesse mais que uma entrada,
é muito importante colocá-los numa certa ordem, pois toda vez que for utilizar
122
a ferramenta, será sempre a ordem escolhida.).
(iii) Concluı́da esta etapa anterior, será pedido para nomear a ferramenta e o
comando, e para definir o que aparecerá como ajuda. Entende-se por nome
de comando aquele que será utilizado no Campo de Entrada.
Pronto!
r
• A nova ferramenta aparecerá na Barra de Ferramentas. Teste! Clique na
Ca
Área de Trabalho, onde se quer criar um ponto. Ou, no Campo de Entrada,
digitando o nome do comando com as coordenadas do ponto.
• Se tudo estiver funcionando como desejado, pode salvar a ferramenta com
extensão .ggt, entrando novamente no menu Ferramentas, em Ferramentas
FS
de Controle. Aparecerá a ferramenta criada e a opção para gravar ou apagar. Pode-se também aproveitar para trocar o nome e o ı́cone, mas não dá
para modificar o conteúdo. Se não estiver certo, pode selecionar apagar, ou
simplesmente, sair do programa.
-U
• Uma vez salvado a ferramenta em arquivo .ggt, quando quiser utilizá-la basta
escolher para abrir o arquivo, após abrir o GeoGebra. Ou então, salvar uma
versão com a ferramenta já na Barra de Ferramentas.
DM
7. Reta parametrizada
• Para criar a reta parametrizada X = A+t~v, vamos utilizar a ferramenta
(Lugar Geométrico).
Vamos escolher o parâmetro t como sendo x(T ), onde T = (t, 0) é um ponto
do eixo Ox.
Para começar, escolha um ponto sobre o eixo Ox (espere aparecer o ponteiro
indicando o eixo) e chame-o de T . Confirme que o ponto T só se movimenta
sobre o eixo Ox.
Digite “P = (x(A)+x(T)*x(v), y(A)+x(T)*y(v)” (x(T ) = t, lembre-se).
123
Selecione
(lugar geométrico) na Barra de Ferramentas e clique primeiro
no ponto P e depois no ponto T .
Pronto! Está criada a reta r(A, ~v). Movimente o ponto T sobre o eixo Ox e
veja como varia o ponto P .
r
• Para desenhar o segmento AB com o Lugar Geométrico, no lugar do eixo Ox
Ca
para colocar T , escolha, por exemplo, o segmento de O = (0, 0) a U = (1, 0).
−→
Assim, t = x(T ) ∈ [0, 1] para todo T ∈ OU. Além disso, ~v = AB. Como
exercı́cio, repita a construção do LG para este caso.
• Também é possı́vel utilizar o Seletor para movimentar os pontos sobre a reta,
FS
utilizando a parametrização. A ferramenta
(seletor) cria um número
(escalar) que pode variar num certo intervalo [a, b] a escolher. Por default,
é o intervalo [−5, 5], com passo .1. Utilizando este escalar como parâmetro
da reta, como nos casos anteriores, ao se mover o seletor, o ponto criado
-U
acompanhará o movimento.
Para que um ponto P possa ser movimentado de A − 5~v a A + 5~v , crie um
seletor, digamos, t, com variação em [−5, 5], e digite: “P = (x(A)+t* x(v),
2.5
DM
y(A)+t*y(v))”.
Introdução ao Octave - um pouco de gráficos
O programa Octave possui implementações gráficas 2D e 3D, que permitem traçar
gráficos de funções de duas e três variáveis, curvas e superfı́cies parametrizadas, e curvas
de contorno de funções de 2 variáveis.
Vamos trabalhar aqui com o que existe de mais básico em gráficos para o Octave, utilizando o GNUplot. Mas existem ambientes mais sofisticados, que exigem implementação
extra. Os interessados poderão procurar na rede mundial de computadores, tanto os
124
programas, como os manuais para utilização dos mesmos.
No momento, estamos interessados somente em retas e planos.
1. Para traçar uma reta no plano, gráfico de função y = mx+c no plano, basta escolher
o intervalo [a, b] de variação de x, escolher o passo da variação, por exemplo .1, ou
r
o número de pontos no intervalo a serem utilizados, e utilizar o comando plot.
Reta y=2x+1, em [0,1]
3
Ca
r
2.5
Por exemplo, para obter
2
y
este gráfico de y = 2x + 1
1.5
no intervalo [0, 1], utiliza-
1
0.5
0
0
0.2
0.4
FS
mos os comandos abaixo:
0.6
x
0.8
1
% lista das abscissas dos pontos
y = 2*x + 1
% lista das ordenadas dos pontos
plot(x,y)
-U
x = 0:.2:1
% comando básico para traçar o gráfico
title(’Reta y = 2x+1’)
legend(’r’)
% acrescentando a legenda (útil para mais funç~
oes)
% rótulo para o eixo Ox
DM
xlabel(’x’)
% acrescentando o tı́tulo
ylabel(’y’)
% rótulo para o eixo Oy
hold on
% mantendo o atual desenho, para acrescentar mais
plot(x,y,’ro’)
% traçando novamente, agora com opç~
oes:
% em vermelho(r), estilo ’o’ nos pontos
% veja mais opç~
oes, nos manuais
grid on
% desenhando o grid (quadriculado)
axis([0 1 0 3]) % escolhendo manualmente a variaç~
ao dos eixos
% Ox: [0 1]; Oy: [0 3]
125
% sem o qual o Octave desenha o segmento na diagonal
print(’graf.eps’,’-deps’)
% salvando no arquivo graf.eps (formato eps)
print(’graf.png’,’-dpng’) % para salvar em PNG
r
Todos os gráficos do Octave no GNUplot tem saı́da nesta proporção do exemplo.
A definição dos eixos, com axis altera as escalas dos eixos. Caso não especificado,
Ca
o Octave procura utiliza os eixos otimizados, isto é, de forma que a janela gráfica
seja o menor retângulo contendo o seu gráfico.
2. Reta (segmento) parametrizado: Como se pode ver acima, o comando plot pede
FS
como entradas as listas das abscissas x e das ordenadas y dos pontos (x, y). Se não
especificado em contrário, um ponto é ligado ao próximo da sequência. Logo as
listas têm que ser dadas na ordem certa. As parametrizações ordenam naturalmente
os pontos. Vamos parametrizar o segmento de reta com origem em A = (2, 1),
direção dada por ~v = (−3, −2) e de comprimento 5, como exemplo.
-U
2
1.5
1
DM
0.5
A = [1 2]
v = [-3 -2]
u = 1/norm(v)*v
t = linspace(0,5,6)
x = A(1)+t*u(1)
0
y = A(2)+t*u(2)
-0.5
-3
-2.5
-2
-1.5
plot(x,y, ’ks-’)
-1
-0.5
0
0.5
1
No exemplo acima, ~u é o versor do vetor ~u. Assim, 5~u é um vetor de comprimento
5, donde variamos o parâmetro t de 0 a 5, para obter o segmento de comprimento
5. A opção ’s’ do comando plot(x,y,’ks-’), é para representar os pontos dados
com quadrados (square), ’k’ para desenho na cor preta, e ’-’ para unir os pontos
126
com segmentos.
−→
−→
3. Paralelogramo de arestas dadas pelos vetores ~u = AB = (3, 1) e ~v = AC = (−3, 4),
onde A = (1, 1).
Como o comando plot, com a opção ’-’, traça os segmentos entre os pontos, pode-
r
mos traçar o paralelogramo ABDC utilizando a sequência de pontos A, B, D, C, A
−−→
(AD é a diagonal).
Ca
6
A = [1 1]
5
u = [3 1], v = [-3 4]
B = A+u, C = A+v
4
FS
D = A + (u+v)
3
XY = [A;B;D;C;A]
x =XY(:,1), y =XY(:,2)
2
plot(x,y,’ko-’),grid on
1
-2
-1
0
1
2
3
4
-U
Observe que a XY é a matriz cujas linhas são os pontos A, B, D, C e A, donde a
primeira coluna é a lista das abscissas e a segunda, das ordenadas dos pontos. No
comando plot(x,y,’ko-’), as opção ’k’ é para desenhar na cor preta, ’o’ para
colocar uma circunfer?ncia nos pontos dados, ’-’ para ligar os pontos.
DM
4. Dada uma sequência de pontos P1 , P2 , . . . , Pn no espaço, podemos traçar a
poligonal determinada por esses pontos, através do comando plot3(x,y,z), onde
x, y e z são as listas das coordenadas x, y e z dos pontos. Isto generaliza a
construção do paralelogramo acima.
Exemplo: paralelogramo com vértice A = (1, 2, −1) e arestas dadas pelos vetores
~u = (1, 0, 0), ~v = (0, 1, −1).
127
A = [1 2 -1]
u = [1,0,0], v=[0,1,-1]
-1
-1.2
B = A+u, C=A+v, D=B+v
-1.4
XYZ = [A;B;D;C;A]
-1.6
r
-1.8
x=XYZ(:,1)
-2 3
2.8
y=XYZ(:,2)
2.6
2
1.8
1.6
Ca
2.4
1.4
2.2
z=XYZ(:,3)
2 1
plot3(x,y,z)
1.2
Este paralelogramo está sendo dado somente
grid on
FS
pelas arestas. Por isso é “vazado”.
Se os pontos da poligonal são dadas por uma parametrização, é mais natural obter
as listas x, y e z. Por exemplo, no caso da reta no espaço dada por X = A + t~u,
onde A = (1, 2, −1), ~u = (2, 3, 1), basta fazer
-U
A = [1 2 -1], u = [2,3,1]
t = linspace(0,2,11); % definindo 11 pontos de 0 a 2 (inclusive)
x = A(1) + t*u(1);
y = A(2) + t*u(2);
DM
z = A(3) + t*u(3);
plot3(x,y,z)
5. O paralelogramo ABDC do ı́tem anterior poderia ser desenhado com os pontos
interiores da região plana.
Isto pode ser representado como um “patch” único, que pode ser desenhado com um
dos seguintes comandos: “mesh(xx,yy,zz)”, “meshz(xx,yy,zz)” ou “surf(xx,yy,zz)”,
onde 
xx = 
A(1) B(1)





A(2) B(2)
A(3) B(3)
, yy = 
 e zz = 
.
C(1) D(1)
C(2) D(2)
C(3) D(3)
128
A = [1 2 -1]
u = [1,0,0], v=[0,1,-1]
xx= [ A(1) B(1); C(1) D(1)]
yy= [ A(2) B(2); C(2) D(2)]
zz= [ A(3) B(3); C(3) D(3)]
r
surf(xx,yy,zz)
Ca
Se optarmos por subdividir o paralelogramo, dividindo o lado AB em, digamos, 3
partes, e o lado AC, em 4 partes, as matrizes xx, yy e zz teriam (3 + 1) × (4 + 1)
entradas, correspondentes aos pontos do grid.
Para entender os comandos, poderı́amos renomear os pontos do lado AB de P11 =
FS
A, P12 , P1,3 , P14 = B, e os do lado AC de P11 = A, P21 , P31 , P41 , P51 = C.
Nomeando os pontos de Pi,j conforme a posição no grid, terı́amos uma matriz de
pontos (Pij )5×4 e, as matrizes xx, yy e zz seriam constituı́das das correspondentes
coordenadas.
-U
Para entender esse processo, vamos construir esta matriz de pontos com a parametrização do paralelogramo. Ou seja, usando a parametrização X(t, s) = A+t~u +s~v,
fazendo t1 = 0, t2 , t3 , t4 = 1 e s0 = 0, s1 , s2 , s3 , s4 , s5 = 1 os parâmetros correspondentes às subdivisões, temos Pi,j = A + ti~u + sj ~v .
DM
A primeira linha desta matriz de pontos tem como constante t1 , na segunda linha
t2 , . . .
A primeira coluna da matriz de pontos tem com constante s1 , a segunda, s2 , . . .
Logo, analisando (Pij ) em termos de t’s e s’s, estaremos



t1 t1 t1 t1
s s s

 1 2 3




t2 t2 t2 t2 
s1 s2 s3






tt = t3 t3 t3 t3  e ss = s1 s2 s3






t4 t4 t4 t4 
s1 s2 s3



t5 t5 t5 t5
s1 s2 s3
trabalhando com

s4 s5


s4 s5 


s4 s5  .


s4 s5 

s4 s5
129
Estas matrizes são geradas com o comando “[tt,ss]=meshgrid(t,s)”. Assim, as
matrizes xx, yy e zz procuradas são dadas por xx = A(1) + tt ∗ u(1) + ss ∗ v(1),
yy = A(2) + tt ∗ u(2) + ss ∗ v(2) e zz = A(3) + tt ∗ u(3) + ss ∗ v(3).
Assim, segue o código Octave para a figura ao lado:
r
A = [1 2 -1]
t = linspace(0,1,4);
-1
-1.2
s = linspace(0,1,5);
-1.4
[tt,ss] = meshgrid(t,s);
-1.6
xx = A(1)+tt*u(1)+ss*v(1);
-1.8
-2 3
2.8
FS
yy = A(2)+tt*u(2)+ss*v(2);
Ca
u = [1,0,0], v=[0,1,-1]
2
2.6
1.8
1.6
2.4
zz = A(3)+tt*u(3)+ss*v(3);
DM
-U
surf(xx,yy,zz)
1.4
2.2
2 1
1.2