Capítulo 2: Movimento retilíneo
Tradicionalmente, no primeiro ano do Ensino Médio
de Física, tratamos do estudo da Mecânica. Como já dissemos
anteriormente, a Mecânica se preocupa sobretudo com as
idéias de movimento, forças e equilíbrio. Em especial, neste
e no próximo capítulo, vamos estudar o sub-ramo da Mecânica
que trata dos movimentos, sem se preocupar com as suas causas, denominado Cinemática (do grego kinema, que significa
―movimento‖).
Intimamente relacionado ao estudo dos movimentos,
temos o conceito de velocidade. A noção qualitativa de velocidade está relacionada com a rapidez com que o movimento se
processa, e existe desde o tempo de Aristóteles. No entanto, até
a época de Galileu não se conhecia uma maneira de quantificar (medir) a velocidade de um objeto. A grande sacada de
Galileu foi perceber que a velocidade pode ser calculada dividindo-se a distância percorrida pelo objeto pelo tempo gasto
no percurso.
Um outro conceito que também está ligado à idéia de
movimento é a aceleração. De fato, uma das dificuldades dos
alunos que começam a estudar física é perceber qual é a diferença
entre o conceito de velocidade e o de aceleração. Do ponto de
vista qualitativo (sem usar fórmulas), podemos dizer que, assim
como a velocidade mede a rapidez com que o movimento se processa, a aceleração mede a rapidez com que a velocidade varia,
ou seja, um objeto está em movimento acelerado quando podemos dizer que ele se move cada vez mais rápido. Portanto, para
que você memorize mais facilmente essa diferença, lembre-se:
velocidade: rapidez com que o corpo se movimenta
aceleração: rapidez com que a velocidade muda
Do ponto de vista quantitativo, a aceleração é uma grandeza física relacionada com a variação de velocidade, da seguinte forma:
aceleração

Velocidade e aceleração

variação
de velocidade
tempo
Matematicamente, temos:
Como já antecipamos acima, a velocidade é definida
Δv
a 
matematicamente como o quociente entre a distância percorrit
da pelo móvel (corpo em movimento), e o intervalo de tempo
Na
fórmula
acima,
para
determinar
a aceleração (símbolo a),
gasto no percurso, isto é:
devemos colocar a medida da variação de velocidade no lugar do
distância
símbolo v, e a medida do tempo gasto no lugar da letra t.
velocidade

tempo
Na Física o símbolo  não significa nada sozinho; mas
quando vem acompanhado de outra letra é usado para representar
Isto é o mesmo que escrever a fórmuvariação. Na maioria dos problemas com aceleração temos duas
la:
velocidades: a velocidade inicial (símbolo v1) e a velocidade final
d
(símbolo v2). Neste caso, a variação de velocidade v é calculada
v 
t
como sendo igual a diferença (subtração) entre essas duas velocidades, isto é:
Na fórmula acima, para determinarmos o valor da velocidade
v = v2 — v1
(símbolo v) do móvel, colocamos a medida da distância perNote que, quando a velocidade está aumentando (o móvel
corrida no lugar da letra d, e o valor do tempo gasto no lugar está ―cada vez mais rápido‖) temos v > v , e consequentemente
2
1
da letra t.
a aceleração será positiva (v > 0  a > 0); por outro lado,
Como já comentamos na introdução, as medidas de quando a velocidade está diminuindo (o móvel está “cada vez
velocidades misturam distâncias e tempos, e portanto suas mais lento‖) temos v < v , e portanto a aceleração será negativa
2
1
unidades devem combinar unidades de distância com unidades
(v < 0  a < 0).
de tempo. Por isso, a unidade de medida da velocidade no S.I. é
o metro por segundo (m/s). Outras unidades de velocidade
Unidade de aceleração: Considere o exemplo de um automóvel
bastante usadas, especialmente nos automóveis, são o quilômeque acelera de 0 a 100 km/h, no intervalo de 10 segundos. Calcutro por hora (km/h), e a unidade equivalente nos países de línlando a aceleração pela fórmula acima, temos:
gua inglesa, a milha por hora (mi/h).
Muitas vezes, no entanto, é necessário mudar de unidaΔv
100 km/h
km/h
a 

 10
des. Isso é fundamental para compararmos velocidades que
t
10 s
s
estão medidas em unidades diferentes. Na prática usa-se um
―macete‖ (dica) para efetuar a conversão de km/h para m/s:
O resultado acima indica que o carro varia a sua velocidade em
basta dividir por 3,6. Para entender de onde vem isso, veja a
10 km/h, a cada segundo. No entanto, a notação acima não é muiquestão abaixo:
to conveniente porque mistura as unidades de tempo (hora e segundo). Para unificar as unidades de tempo, devemos sempre
Qual carro está correndo mais, um que está a 25 m/s
expressar as velocidades em unidades S.I (metros por segundo),
ou outro que corre a 60 km/h?
como já mencionamos anteriormente. A unidade de aceleração no
Fazendo as contas:
S.I. é o quociente da unidade de velocidade (m/s) pela unidade de
1 km = 1000 metros
tempo (s), e lê-se metro por segundo quadrado (m/s2).
1 h = 3600 segundos
60 km/h

60 km
1 h

60.000
3600
m
s

60
3,6
 16,7
m/s
Exercícios de Fixação
1. Determine a velocidade de um trem que percorre 80 km em 30 minutos:
A) dê o resultado em km/h; B) dê o resultado em m/s
2. Um esquiador das olimpíadas de inverno, saltou a distância de 105 metros,
em 4 segundos. Qual era sua velocidade (em km/h) no momento do salto?
Temos então:
Portanto, ao invés de transformar separadamente de quilômetros para metros e de horas para segundos, basta dividir direta- 3. Em 10 segundos a velocidade de um carro aumentou de 20 km/h
para 120 km/h. Determine a aceleração do carro.
mente a medida em km/h (no nosso exemplo é o 60) por 3,6
4. Um avião parte do repouso, e após 50 segundos atinge a velocidapara achar o valor da velocidade em metros por segundo.
de de 180 km/h. Qual é a aceleração do avião?
LEMBRE-SE:
5 Um carro está a 90 km/h, quando o motorista pisa no freio, e o carro
km/h  m/s: dividir por 3,6;
para após 5 segundos. Determine a desaceleração (aceleração
30
m/s  km/h: multiplicar por 3,6.
negativa) sofrida pelo carro, durante a freada.
Capítulo 2: Movimento retilíneo

Tipos de movimentos
Os movimentos normalmente são classificados, de acordo
com o modo como a velocidade varia, e em alguns casos especiais, de acordo com a forma da trajetória (caminho) percorrida
pelo móvel.
Quanto à velocidade, os movimentos podem ser uniformes (MRU), uniformemente variados (MRUV), onde a velocidade varia uniformemente, mas a aceleração é constante, e movimentos com velocidade e aceleração varáveis, como por exemplo,
o movimento harmônico simples (MHS), que consiste no movimento de vai-e-vem, onde os valores da velocidade e da aceleração ―oscilam‖ (ex: movimento de um pêndulo).
Quanto à trajetória, os movimentos podem ser retilíneos
(trajetória reta) ou curvilíneos (trajetória curva). Entre os tipos
especiais de movimentos curvilíneos, destacamos o movimento
circular uniforme (MCU), caracterizado por uma trajetória circular e velocidade constante.
Na tabela abaixo, organizamos alguns tipos de movimento ―puros‖, conforme os critérios acima:
Tipo de
Movimento
Velocidade
Aceleração
Trajetória
MRU
constante
zero
retilínea
MRUV
variável
constante
retilínea
MCU
constante
zero
circular
MHS
variável
variável
vai-e-vem
Em outros casos, temos movimentos que são combinações de movimentos puros. Assim por exemplo, o movimento de
um projétil (trajetória parabólica) resulta da combinação de um
MRU na direção horizontal (eixo x) com um MRUV na direção
vertical (eixo y). Da mesma forma, a trajetória descrita no ar
pelas extremidades das hélices de um avião em movimento
(trajetória helicoidal) resulta da combinação de um MRU
(movimento de translação do avião) com um MCU (movimento
de rotação da hélice).
Na tabela abaixo, apresentamos algumas características
destes movimentos compostos:
Tipo
de
Movimento
Composição
do
movimento
Movimento
de projéteis MRU + MRUV
Movimento
da hélice de
um avião
MRU + MCU
Velocidade
vx = const
vy= variável
Aceleração
Trajetória
ax = 0
parabólica
ay = const.
vTRNSL.= const aTRNSL. = 0
vROT = const.
aROT = 0 helicoidal

Exercícios de Fixação
1.
Um estudante vai de sua casa até a escola em 30 min, com velocidade de 0,8 m/s. Qual é a distância entre a sua casa e a escola?
2.
Um avião supersônico desenvolve uma velocidade de 1200 km/h.
Qual a distância percorrida pelo avião, em 1 minuto de vôo?
3.
A)
B)
Um carro anda 160 km com um velocidade de 80 km/h.
Qual foi o tempo gasto no percurso?
Qual será a distância percorrida pelo carro, em um percurso de 5
horas?
4.
Um automóvel percorre o trecho Garopaba-Florianópólis (80 km)
com velocidade de 100 km/h. Quanto tempo ele gasta para chegar
na metade do percurso?

Movimento retilíneo uniformemente variado
Outro tipo de movimento relativamente simples, é o caso do
movimento retilíneo onde a velocidade é variável, porém varia de
maneira uniforme, isto é, a velocidade aumenta (ou diminui) sempre na mesma taxa. Em outras palavras, neste tipo de movimento a
aceleração é constante (seu valor nunca muda), como acontece
com o movimento de queda dos corpos sem resistência do ar. Este
tipo de movimento é denominado movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), e é caracterizado pelo fato de que a
velocidade do móvel é diretamente proporcional ao tempo, enquanto a distância percorrida é proporcional ao quadrado do
tempo gasto no percurso.
Como a velocidade varia como tempo no MRUV, então a
cada instante temos uma velocidade diferente. Para calcular a
velocidade do móvel em um dado instante, usamos a fórmula conhecida como função horária da velocidade:
v = v0 + a.t
Na fórmula acima, devemos colocar o valor da velocidade (em
metros por segundo) no lugar da letra v, o valor da velocidade
inicial do móvel no lugar do símbolo v0, o valor da aceleração no
lugar da letra a, e o tempo gasto (em segundos) no lugar da letra t.
Exemplo: Um carro acelera de 0 a 90 km/h, no intervalo de tempo de 10 segundos.
A) Qual a velocidade do carro após 5 segundos?
B)
Quanto tempo o carro leva para aumentar a velocidade de 0
a 72 km/h?
Resolução: Inicialmente precisamos calcular a aceleração do carro.
Para isso, expressamos a variação de velocidade em m/s:
v = 90 km/h = 90 : 3,6 = 25 m/s
e então, usamos a fórmula de definição da aceleração:
a 

Movimento retilíneo uniforme
Δv
t

25
10
 2,5 m/s
2
A) Para determinarmos a velocidade após 5 segundos, usamos a função horária da velocidade:
v = v0 + a.t = 0 + 2,5 . 5 = 12,5 m/s
B) Neste caso, fazendo a transformação de velocidades:
v = 72 km/h = 72 : 3,6 = 20 m/s
e substituindo na função horária da velocidade, temos:
20 = 0 + 2,5 . t
20  0 = 2,5 . t
Certamente o tipo de movimento mais simples consiste
no caso em que a velocidade é constante e a trajetória é uma reta;
este tipo de movimento é denominado movimento retilíneo uniforme (MRU), e é caracterizado pelo fato de que a distância
percorrida pelo móvel é diretamente proporcional ao tempo gasto
no percurso. Assim sendo, uma vez conhecendo a velocidade do
20
móvel, podemos determinar a distância percorrida ou o tempo
 t
 t  8 segundos
gasto, por simples regra de três. Alternativamente, podemos usar
2,5
a fórmula:
d = v.t
Note que antes de substituir nas fórmulas, é necessário transforNa fórmula acima, a letra d representa a distância percorrida, a
mar as velocidades de km/h para m/s. Portanto, lembre-se que nas
letra v representa a velocidade do móvel, e a letra t é o tempo
fórmulas do MRUV não se pode usar velocidades em km/h!31
gasto no percurso.
Capítulo 2: Movimento retilíneo

Calculando a distância no MRUV
Quando o movimento se processa sempre com a mesma
velocidade (MRU), a distância percorrida pelo móvel, é dada
pelo produto da velocidade pelo tempo gasto no percurso, como
já discutimos na página anterior.
No caso dos movimentos com velocidade variável e aceleração constante (MRUV), também podemos usar uma fórmula
similar:
d  vt
No entanto, na fórmula acima devemos lembrar que a velocidade que entra na fórmula é a média aritmética:
v 
2) MRUV com acelerações diferentes:
interessados em calcular a distância
total percorrida pelo móvel. Neste
tipo de gráfico, a inclinação representa a aceleração, e portanto temos
acelerações diferentes em cada trecho do percurso. No entanto, para
calcular a distância total percorrida
não é necessário conhecer as acelerações; ao invés disso, basta calcular
o valor da área sob a curva
(triângulo sombreado).
v0  v
2

onde v0 é a velocidade inicial (velocidade no instante t=0) e v é a
velocidade final (velocidade no fim do percurso), que pode ser 1.
calculada através função da horária da velocidade.
Alternativamente, se quisermos evidenciar a dependência
da distância com o quadrado do tempo, basta substituir a expres- 2.
são da função horária da velocidade no lugar de v, o que resulta
na expressão conhecida como função horária da distância:
3.
d  v0 t 

at
2
4.
2
Estudo gráfico dos movimentos
5.
Na maioria dos livros de Física (e nos testes de vestibular
ou do ENEM) é muito comum aparecerem problemas de Cinemática na forma de gráficos ou tabelas, especialmente da velocidade como função do tempo. Neste tipo de gráfico, segmentos 6.
horizontais indicam MRU (a velocidade correspondente pode ser
lida no eixo vertical), segmentos inclinados representam MRUV,
e curvas propriamente ditas indicam movimento com velocidade
e aceleração variáveis. É importante observar que em qualquer 7.
um desses gráficos, o valor da distância percorrida pelo móvel é
igual à área sob a curva, para um determinado intervalo de tem8.
po.
Para entendermos melhor, vamos analisar em detalhes
dois casos particulares:
1) MRU com velocidades diferentes: No gráfico da figura ao
lado queremos descobrir a velocidade média desenvolvida no
percurso total. Para isso, inicialmente separamos o problema em dois
trechos distintos; em cada um dos
trechos o móvel se desloca em MRU
com uma velocidade diferente. Usando os dados da figura ao lado temos:
Trecho 1: A velocidade no trecho é
20 km/h, e o intervalo de tempo é de 3
horas (veja o gráfico). Assim, a distância percorrida será:
d1 = 20 . 3 = 60 km
Trecho 2: Neste trecho a velocidade é de 10 km/h, e o intervalo
de tempo é 5-3=2 horas. Temos então:
d2 = 10 . 2 = 20 km
A distância total é igual à soma d1+d2 = 80 km, e o tempo total
gasto pode ser lido diretamente do gráfico (t=5 horas). A velocidade média (vM) no percurso todo é calculada como:
vM 
distância
tempo
Nesse caso, estamos
total
total

80 km
5 h
Um carro parte do repouso (v0=0), e adquire no fim de 8 segundos,
a velocidade de 40 m/s. Qual a distância percorrida nesse intervalo
de tempo?
Um veículo parte do repouso, com aceleração de 2 m/s2. Qual a
velocidade e a distância percorrida após 5 segundos?
Um carro parte do repouso, e atinge a velocidade de 36 km/h em
5 segundos. Determine a aceleração, a velocidade e a distância
percorrida nos 5 segundos.
Durante uma de suas caçadas, a velocidade de um leão varia de
36 km/h para 90 km/h em 5 segundos. Calcule a aceleração e a
distância percorrida no intervalo de tempo de 5 segundos.
(Unimar-SP) Um automóvel, com velocidade inicial de 10 m/s,
acelera sua marcha a uma taxa de 1,0 m/s2. A distância percorrida
após 6 segundos é igual a:
A) 18 m; B) 42 m; C) 60 m; ) 63 m; e) 78 m;
(Fuvest-SP) Um veículo acelera, a partir do repouso, com aceleração de 2 m/s2. A velocidade após 3,0 segundos será:
A) 6 m/s; B) 3 m/s; C) 12 m/s; D) 2,0 m/s;
No problema anterior, a distância percorrida será:
A) 9 m; B) 18 m; C) 12 m; D) 36 m;
(DESAFIO) Uma partícula parte do repouso, e com aceleração
constante (MRUV) percorre 18 metros nos primeiros 3 segundos.
Aos 4 segundos sua velocidade será:
A) 16 m/s; B) 12 m/s; C) 10 m/s; D) 8 m/s; E) 6 m/s;
Com base no gráfico mostrado ao lado,
e no exemplo mostrado no texto, responda as questões abaixo:
9.
(UFES) Um automóvel percorre
metade de sua trajetória com velocidade v1=20 km/h, e a outra metade
com com velocidade v2=30 km/h.
A velocidade média (em km/h) no
percurso total é:
A) 28; B) 26; C) 24; D) 22; E) 20;
10.
(U. Católica de Salvador-BA) Um carro viaja entre duas cidades
com velocidade constante. Na viagem de ida a velocidade é v 1=60
km/h, e na volta a velocidade é v2=90 km/h. A velocidade média
(em km/h) no percurso total é:
A) 76; B) 74; C) 72; D) 70; E) 68;
11.
Quanto mede a distância entre as duas cidades, para o caso do
problema 10?
12.
Usando a relação área = (base x altura)/2, descubra o valor da
distância total percorrida, para o problema representado pelo
gráfico (triângulo sombreado) mostrado no alto da página.
 16 km/h
Observe que neste caso, ao contrário do MRUV, a velocidade
média é diferente da média das velocidades!
Exercícios de Fixação
32
Capítulo 2: Movimento retilíneo

Saiba mais
Nesta seção vamos discutir alguns problemas de Cinemática, que costumam aparecer em testes de vestibulares e ENEM,
mas que devem ter um tratamento diferenciado, em relação aos
casos tratados até agora. Vamos analisar um exemplo de cada
caso, e discutir o procedimento de resolução em forma de ―receita
de cozinha‖.
1. Perseguição em MRU: Imagine que um carro em MRU,
passa por um dado ponto com velocidade de 90 km/h. Após algum
tempo depois (15 minutos), um segundo automóvel parte deste
mesmo ponto com velocidade uniforme de 120 km/h, tentando
alcançar o primeiro carro. Qual será a distância percorrida e o
tempo gasto pelo segundo carro, até alcançar o primeiro?
Resolução (Receita 1): Inicialmente vamos chamar o primeiro
carro de carro A, e o segundo de carro B. Como os dois carros
estão em MRU, seus movimentos serão descritos pela fórmula do
MRU: d = v.t, onde v é a velocidade de cada carro, e t é o intervalo de tempo que cada carro fica na estrada (lembrando que o
carro A fica 15 minutos a mais na estrada). No entanto, não conhecemos este tempo, e portanto não podemos fazer o cálculo
direto da distância. O segredo da resolução deste tipo de problema é o fato de que quando o carro B alcança o carro A, a distância percorrida é a mesma para os dois veículos. Façamos então:
2. Perseguição em MRUV: Vamos considerar a mesma situação
discutida na coluna ao lado, exceto que agora o segundo veículo
parte do repouso, e acelera em MRUV, até alcançar o primeiro.
Vamos considerar que o veículo A tenha partido há 5 minutos.
Qual deve ser a velocidade média desenvolvida pelo veículo B, para
que ele alcance o carro A em 10 minutos?
Resolução (Receita 2): O método de resolução segue os mesmos
passos da Receita 1, exceto por algumas modificações. Primeiramente precisamos transformar as velocidades para m/s, e o tempo
de vantagem (5 minutos) para segundos (lembre-se que no MRUV
não podemos trabalhar com km/h!).
Passo 1: Como o segundo veículo está em MRUV, usamos a igualdade:
v A  (t  300)
Na expressão acima, acrescentamos 300 ao tempo de percurso do
carro A (que corresponde aos 5 minutos de vantagem, convertidos
em segundos) e no lado direito usamos a média das velocidades
do veículo B (lembre-se que no MRUV as velocidades variam, e
por isso quem entra na fórmula é a média das velocidades).
Passo 2: Substituímos os valores que temos: a velocidade do
carro A (vA=25 m/s), o intervalo de tempo fornecido (t=10 min =
600 segundos), e colocamos ―x‖ no lugar da média das velocidades (ou velocidade média) do veículo B :
Passo 1: Escrever a expressão:
vA.(t + 0,25) = vB.t
Note que no tempo do primeiro carro acrescentamos 0,25 (que
corresponde aos 15 minutos transformados em hora).
Passo 2: Substituir os valores das velocidades de cada carro, e
no lugar do tempo (nossa incógnita) colocar ―x‖:
90.(x+0,25) = 120.x
90.x + 90•0,25 = 120.x
90•0,25 = 120.x - 90.x
22,5 = 30.x
x = 22,5÷30 = 0,75 h
Passo 3: Uma vez conhecido o tempo, podemos determinar a
distância percorrida, usando qualquer uma das duas fórmulas:
d= vA.(t+0,25) = 90.(0,75+0,25) = 90 km
ou
d=vB.t = 120•0,75 = 90 km
Observe que o tempo está expresso em horas e a distância em
quilômetros, por que as velocidades estavam em km/h (se estivessem em m/s, o tempo seria em segundos e a distância em metros).
 vB  t
25  (600  300)
 x  600
25  900
 x  600
22500
 x  600
22500
600
x

x  37,5 m/s
Passo 3: A distância pode ser determinada, tanto pela fórmula
do MRU (veículo A) quanto pela fórmula do MRUV (veículo B),
mas vamos usar a primeira por ser mais “fácil” (envolve somente
operações de adição e multiplicação):
d = vA•(t + 300) = 25•(600 + 300) = 25•900 = 22500 m
Note que neste caso, os carros percorrem pouco mais de 20 km.
Exercício 1: Considere agora que, ao invés de perguntar qual é a
velocidade média, o problema fornece a velocidade máxima que o veículo B pode atingir (digamos, 216 km/h), e pergunta quanto tempo ele vai
levar para alcançar o carro A, acelerando a uma taxa uniforme.
Dicas de resolução: Use o procedimento acima:
Exercício 1: Descubra qual a velocidade necessária para o segundo Passo 1: Montar a igualdade:
carro alcançar o primeiro, dentro do intervalo de tempo de meia hora?
v A  (t  600)  v B  t
Dicas de resolução: Neste caso, também podemos resolver o pro- Passo 2: Efetuar a média das velocidades do veículo B (em m/s):
216  0
blema usando o procedimento acima:
 3,6
vB 
2
 108 km/h

  30
m/s
Passo 1: Escrevemos a igualdade:
Passo 3: Substituir os dados (a velocidade do carro A e a velocivA.(t + 0,25) = vB.t
Passo 2: Substituímos os valores que temos: a velocidade do dade média do veículo B), e colocar ―x‖ no lugar do tempo.
carro A (vA=90 km/h) e o intervalo de tempo fornecido (t=0,5 h),
Exercício 2: Qual foi a aceleração ―impressa‖ pelo veículo B, e qual a
e no lugar da velocidade do carro B (vB) colocamos ―x‖:
distância que ele percorreu no exercício 1?
Exercício 2: Determine tempo que um carro em MRU, com velocidade de 150 km/h, leva para alcançar um outro carro, que partiu 20 minu- Dicas de resolução: Conhecendo a velocidade inicial (repouso),
a velocidade final do veículo B e o tempo calculado, pode-se detos antes, com velocidade de 120 km/h.
terminar a aceleração, com a fórmula:
vB = a.t
Dicas de resolução: Inicialmente, transforme a medida de tempo
Cuidado! A velocidade que entra na fórmula acima, não é a
para horas (20 minutos corresponde a ⅓ da hora), e no passo 2
velocidade média usada no exercício anterior! Para calcular a
do procedimento acima: substitua os dados (velocidades dos
distância, pode se usar tanto a fórmula do MRU (carro A) quanto
carros) e no lugar do tempo (a incógnita) coloque ―x‖ .
33
a fórmula do MRUV (veículo B).
Capítulo 3: Queda livre e lançamento de projéteis
Desde a Grécia antiga até os dias de hoje, o homem se
pergunta a respeito de como se dá o movimento de queda dos
corpos perto da superfície da Terra. Uma teoria satisfatória
começou a ser construída pelo sábio italiano Galileu Galilei
(1564-1642). Observando que a rapidez de um corpo em queda
livre aumenta conforme o corpo vai se aproximando do solo,
Galileu quis saber que lei da matemática governa esse movimento. No entanto, a queda livre dos corpos se dá com demasiada rapidez para que pudesse ser estudada sem o auxílio de
equipamentos modernos, como na época de Galileu.
Apesar disso, o sábio italiano, pai do chamado método
experimental, criou uma experiência em que se pudesse verificar se um corpo mais “pesado” caía mais rápido do que um
corpo mais “leve”, e chegou a conclusão de que, quando a
resistência do ar pouco influi: “Corpos diferentes soltos da
mesma altura, atingem o chão ao mesmo tempo”.

Queda livre
Nos dias de hoje, com auxílio de uma lâmpada especial, chamada ―estroboscópica‖, que pisca em intervalos de tempo bem definidos (30 vezes por segundo), pode-se verificar por
meio de experimentos, que os corpos em queda nas proximidades da superfície da Terra, aumentam sua velocidade em aproximadamente 10 m/s, a cada segundo, ou seja, são acelerados
numa taxa de aproximadamente 10 m/s2, devido ao efeito da
força da gravidade que a Terra exerce sobre eles. Esta aceleração é denominada aceleração da gravidade (símbolo g), e seu
valor obtido experimentalmente é g=9,8 m/s2.
O movimento de um corpo largado de uma certa altura
é denominado queda livre, quando desprezamos os efeitos da
resistência do ar. Este tipo de movimento constitui um caso
especial de MRUV, onde o movimento se processa na direção
vertical, com aceleração de aproximadamente 10 m/s2. No
problema de queda livre, consideramos que o objeto é largado
a partir do repouso (velocidade inicial nula). Adaptando a função horária da velocidade do MRUV para este caso, temos:
v = g.t
Exemplos
1. Uma pedra cai de um certa altura, e leva 2 segundos para
atingir o solo. Calcule a velocidade com que a pedra atinge o solo, e a altura de onde ela caiu.
Resolução: Para achar a velocidade basta substituir t=2 s, e g=10 m/s2
na fórmula:
v = g . t = 10 . 2 = 20 m/s
Para determinar a altura de queda, usamos o resultado acima na equação de Torricelli ( v2=2.g.h):
20
30
2
 2  10  h 
30  10  t  t 
h 
400
20
 20 m
h 
900
20
 45 m
30
10
 3 segundos

Exercícios de fixação
1.
Um corpo é abandonado de uma altura de 78,4 metros em relação
ao solo. Desprezando a resistência do ar, calcule:
o tempo de queda do corpo;
a velocidade no instante em que o corpo atinge o solo.
A)
B)
2.
Uma pedra cai de uma certa altura, e atinge o solo em 3 segundos. Determine a velocidade com que a pedra atinge o solo, e a
altura de onde ela caiu.
3.
Uma gota de chuva cai de uma altura de 245 metros. Desprezando a resistência do ar, determine a velocidade com que a gota
chega ao solo, e o tempo que ela leva para cair.
v = 2.g.h
Um outro tipo de movimento que se passa na direção
vertical é o caso em que um corpo é disparado verticalmente 6.
para cima , o que chamamos de lançamento vertical. Este tipo
de movimento pode ser descrito pelas mesmas fórmulas da
queda livre, exceto que agora a letra v representa a velocidade
de lançamento (velocidade com que o objeto é disparado), a
letra h representa a altura máxima que o objeto alcança, e a
letra t é o tempo de subida (tempo que o objeto gasta para atin- 7.
gir o ponto de altura máxima).
porcional ao quadrado do tempo de queda.

Para achar o tempo de subida substituímos v=30 m/s na relação v=g.t:
2
Galileu e as leis da queda dos corpos
 2  10  h
2. Uma pedra é lançada verticalmente para cima, com velocidade de 30 m/s. Calcule a altura máxima atingida pela
pedra, e o tempo gasto na subida.
Resolução: Substituindo v=30 m/s e g=10 m/s, na fórmula equação de
Torricelli, temos:
Na fórmula acima, a letra v representa a velocidade com que o
objeto chega ao solo; a letra t representa o tempo de queda
(tempo que o objeto leva para atingir o solo); e a letra g repre4.
senta o valor da aceleração da gravidade (para facilitar os cál2
culos vamos adotar g=10 m/s na superfície da Terra).
Além disso, a altura (símbolo h) de onde o objeto é
largado, está relacionada com a velocidade com que ele chega 5.
ao solo, através da equação de Torricelli:
Observando que a queda dos corpos, o sábio italiano Galileu Galilei quis
saber que lei matemática governa esse movimento. Como a queda livre
dos corpos se dava com demasiada rapidez, Galileu resolveu ―diluir a
força da gravidade‖ fazendo com que uma bola rolasse por um plano
inclinado. Marcando as posições da bola em intervalos de tempo iguais,
e considerando como unidade de medida a distância percorrida pela bola
no primeiro intervalo de tempo, Galileu verificou que as distâncias percorridas em cada intervalo de tempo estavam nas razões 1:3:5:7, etc..
Analisando essa lei das proporções, Galileu concluiu que a distância
percorrida (de cima para baixo) por um corpo em queda livre é pro-
2
Suponha que a maior velocidade com que um gato pode atingir o
solo, sem se machucar, seja de 8 m/s. Qual deve ser altura máxima de onde o gato pode saltar, sem se machucar?
Um projétil é lançado verticalmente para cima, com velocidade de 20 m/s.
Determine a altura máxima que o projétil atinge; o tempo que ele gasta na
subida, e o tempo total para subir e descer.
(Supra-SC) Um caçador dispara um projétil de seu revólver calibre
38, verticalmente para cima, atingindo a altura de 4500 metros
acima do ponto de disparo. Desprezando a resistência do ar, determine a velocidade com que a bala saiu do cano do revólver. Quanto vale essa velocidade em km/h?
(DESAFIO) Considerando a velocidade do som igual a 320 m/s,
deixa-se cair uma pedra em um poço, ouvindo-se o som do choque
contra o fundo 4,25 segundos após ter-se soltado a pedra. Qual é
a profundidade do poço?
A) 40 m; b) 80 m; c) 120 m; d) n.d.a
Dica: o tempo total é igual ao tempo de queda da pedra mais o
tempo que o som leva para alcançar o ouvido do observador!
8.
(DESAFIO) Um corpo, partindo do repouso, percorre em queda
livre (sem resistência do ar) 3/4 da altura total durante o último
segundo da queda. O tempo total de queda (em segundos) e a
altura de onde o objeto caiu (em metros) são, respectivamente:
A) 3 e 45; B) 4 e 80; C) 2 e 20; D) 2 e 40; E) 3 e 60;
Dica: De acordo com a lei das proporções de Galileu, se o corpo
percorreu 3/4 da altura no último segundo, deve ter percorrido
34
um 1/4 no segundo anterior. Com isso você acha o tempo total.
Capítulo 3: Queda livre e lançamento de projéteis

Lançamento de projéteis
Exemplos
1.
Um projétil é lançado horizontalmente, do alto de um
edifício de 45 metros, com velocidade de 40 m/s. Qual a
distância horizontal que o projétil alcança?
Resolução: Inicialmente vamos calcular a velocidade vertical do objeto,
no momento que ele atinge o solo. Temos:
Na seção anterior analisamos o movimento de corpos em
queda livre, largados de uma certa altura, ou inversamente, lançados verticalmente para cima a partir do solo. Em ambos os casos,
o movimento se processa totalmente na direção vertical. Vamos
agora analisar o movimento de corpos lançados com um certa
2
v y  2  g  h  2  10  45  v y  900  30 m/s
velocidade que não é vertical, de modo que o móvel descreve
uma trajetória parabólica, como é o caso do movimento de uma O alcance horizontal (lembrando que vx=40 m/s) é obtido pela fórmula:
bomba lançada por uma avião, ou de uma bola chutada por um
vx  v y
40  30
d 

 120 m
jogador de futebol.
g
10
1) Lançamento horizontal: Imagine o movimento de uma bom- 2. Uma bola de golfe é arremessada com velocidade de 30
m/s, formando um ângulo de 60 graus com a direção hoba, lançada por um avião em movimento. Ao mesmo tempo que
rizontal. Determine a altura máxima que ela atinge, e a
cai, a bomba se desloca horizontalmente acompanhando o movidistância horizontal que ela percorre.
mento do avião, descrevendo uma semi-parábola no ar. Como já
observamos anteriormente, trata-se de um movimento composto, Resolução: Inicialmente calculamos as velocidades vx e vy:
vx = v0cos = 30cos60 = 300,5 = 15 m/s
que combina um MRU na direção horizontal (eixo x), com um
movimento de queda livre (MRUV) na direção vertical (eixo y).
vy = v0sen =30sen60 = 300,866 = 26 m/s
A altura máxima que a bola atinge é obtida da equação de Torricelli:
Lançamento horizontal = MRU + queda livre
2
676
26  2  10  h  h 
 34 m
Na direção horizontal, o movimento é uniforme, sempre
20
com a mesma velocidade, isto é, vx = v0, onde v0 é a velocidade
de lançamento do projétil. (no caso da bomba v0 é a própria velo- e a distância horizontal que ela alcança será:
cidade do avião). A distância horizontal percorrida pelo projétil
vx  v y
15  26
d  2
 2
 78 m
(bomba) pode ser obtida pela fórmula d = vxt, onde t é o tempo
g
10
que o projétil leva para atingir o solo.
Por outro lado, na direção vertical, temos um movimento
de queda livre, de modo que o tempo de queda (tempo que a
 Exercícios
bomba leva para atingir o solo) pode ser expresso como t=vy/g,
onde vy é a velocidade vertical no momento em que a bomba
atinge o solo. Assim sendo, a distância percorrida horizontalmen- 1. Um avião em pleno vôo, a 980 km/h, solta uma bomba. A trajetória
da bomba é, para um observador no solo é:
te pelo projétil até atingir o solo (alcance horizontal), é dada
A) (semi)-parabólica; B) retilínea; C) circular; D) helicoidal;
pela fórmula:
v
x
 v
y
2. Um avião está a 8 km de altura e voa horizontalmente a 700 km/h,
patrulhando as costas brasileiras. Em dado instante, ele observa um
submarino inimigo parado na superfície. Desprezando a resistência
Na fórmula acima, para determinar o alcance d devemos colocar:
do ar, pode-se afirmar que o tempo que dispõe o submarino para
a velocidade horizontal (velocidade de lançamento) no lugar do
deslocar-se após o avião ter largado a bomba, é de:
símbolo vx; a velocidade vertical (com que a bomba chega ao
A) 108 s; B) 20 s; C) 30 s; D) 40 s.
chão) no lugar do símbolo vy; e o valor da aceleração da gravidade no lugar da letra g.
Note que a velocidade vertical no momento que o projétil 3. Uma bomba é largada de um avião que voa horizontalmente a uma
altura de 2000 metros. Sabendo que a bomba percorre uma distân(bomba) atinge o solo pode ser determinada através das fórmulas
cia horizontal de 1000 metros, então a velocidade do avião era:
da queda livre. Assim, conhecendo a altura h, de onde a bomba
A) 50 m/s; B) 150 m/s; C) 250 m/s; D) 2000 m/s;
foi lançada, podemos usar a equação de Torricelli:
d 
vy
g
2
 2gh
4.
(PUC-MG) Um atirador dispara horizontalmente um rifle, a 200
metros do alvo. Sabendo que a bala sai do cano com velocidade de
200 m/s, o desvio vertical (para baixo) sofrido pela bala, devido a
ação da gravidade, será:
A) 2 m; B) 3 m; C) 4 m; D) 5 m; E) 6 m;
Dica: a altura que a bala cai (desvio vertical) pode ser calculada
com a equação de Torricelli, mas antes você precisa determinar a
velocidade vertical com que a bala atinge o alvo!
2) Lançamento oblíquo: Imagine agora, um jogador de futebol
cobrando uma falta com barreira. Neste caso, observamos que a
bola descreve uma parábola no ar (trajetória parabólica). Note
que a direção inicial do lançamento (chute), não é nem horizontal
nem vertical, é oblíqua. Como no caso do lançamento horizontal,
aqui também temos um movimento composto, que combina um
MRU na direção horizontal com MRUV na direção vertical
5.
(lançamento vertical).
Lançamento oblíquo = MRU + lançamento vertical
(Faap-SP) Numa competição nos jogos de Winnipeg (Canadá), um
atleta arremessa um disco com velocidade de 20 m/s, formando um
ângulo de 30º com a horizontal. Desprezando a resistência do ar, a
altura máxima atingida pelo disco foi:
A) 5 m; B) 10 m; C) 15 m; D) 25 m; E) 64 m;
A altura máxima atingida pelo projétil é determinada pela
equação de Torricelli acima, e o alcance horizontal do projétil é
determinado pela mesma fórmula do lançamento horizontal, exceto por um fator 2 (lembre-se que uma parábola inteira corres- 6. (DESAFIO) Um projétil é disparado com velocidade de 200 m/s.
ponde a duas semi-parábolas!), onde as velocidades são determi- A) Qual deve ser a ângulo de lançamento, para que o projétil atinja
uma altura de 1000 metros?
nadas pelas relações:
B) Qual será o alcance horizontal do projétil?
vx = v0 cosÂ
vy = v0senÂ
Nas relações acima, v0 é o módulo (valor) da velocidade com que 7.
o objeto é lançado obliquamente, e o símbolo  representa o
ângulo (inclinação) de lançamento. Verifica-se que o alcance
máximo no lançamento oblíquo ocorre para um ângulo de 45o.
(Para pensar) Um projétil é disparado na Terra, e outro na Lua,
ambos com a mesma velocidade e ângulo de lançamento. Qual
35
deles tem o maior alcance horizontal? E qual atinge a maior altura?
Tópico Especial: Exercícios, dicas e desafios
 Dicas e desafios no estudo dos movimentos
Nesta seção vamos apresentar uma série de problemas
complementares ao estudo dos movimentos, a maioria deles
extraídos de questões de vestibular e outros concursos similares. Apresentamos também dicas com o passo a passo,
para resolver o problema da maneira mais simples possível,
usando as fórmula apresentadas no texto. É importante
lembrar no entanto, que não existe uma maneira única de
resolver estes problemas.
1) (UFRGS) Um projétil com velocidade de 300 m/s, é disparado em
direção a um navio que se move com velocidade constante de 10
m/s, em direção perpendicular à trajetória do projétil. Se o impacto
ocorrer a 20 metros do centro do navio, a que distância foi feito o
disparo?
A) 150 m; B) 300 m; C) 600 m; D) 3000 m; E) 6000 m
Dica: O tempo que a bala leva até atingir o navio é igual ao
tempo que o navio leva para percorrer os 20 metros que provocam o desvio. Como tanto o navio quanto a bala estão em MRU,
você pode calcular esse tempo com a fórmula: d = v.t, usando a
velocidade do navio, e em seguida calcular a distância usando a
velocidade da bala.
2) (Aman-RJ) Um automóvel percorre a primeira metade de um trecho
retilíneo de 400 km, com velocidade de 120 km/h. Para que a velocidade média do percurso todo seja de 80 km/h, qual dever ser a
velocidade (em km/h) na segunda metade do trecho?
A) 20; B) 48; C) 56; D) 60; E) 80;
Dica: Para descobrir a velocidade na segunda metade do trecho,
você precisa saber os tempos gastos pelo automóvel em cada
metade do trecho. Siga os passos:
I) Na primeira metade do trecho, você determina o tempo (t1)
diretamente da fórmula do MRU: d=v1.t1, lembrando que d é
a distância correspondente à metade do trecho.
II) Use a definição de velocidade média para este tipo de problema (veja a discussão apresentada no capítulo 2, página 8),
para descobrir o tempo total (tTOTAL) gasto no percurso inteiro. O tempo gasto na segunda metade do trecho é obtido da
relação: tTOTAL = t1 + t2.
III) Finalmente conhecendo o valor de t2 , você consegue determinar a velocidade na segunda metade do trecho, com a fórmula: d=v2.t2.
3) (Fund. Carlos Chagas-SP) Uma partícula parte do repouso, e com
aceleração uniforme (MRUV) percorre 18 metros nos primeiros 3
segundos. Aos quatro segundos, a velocidade da partícula será (em
m/s):
A) 16; B) 12; C) 10; D) 8; E) 6;
Dica: Para resolver o problema, é preciso saber a aceleração da
partícula. Isto é obtido usando a função horária da distância,
que para o caso de velocidade inicial nula (repouso) simplifica
para: d=a.t2/2. Para achar a velocidade você usa a função horária da velocidade (com v0=0), que simplifica para: v=a.t.
4) (Acafe-SC) A velocidade inicial de um móvel é 20 m/s, e após 10
segundos, seu valor muda para –30 m/s. Admitindo que o móvel
descreve MRUV, podemos concluir que o móvel inverteu o sentido
de movimento após:
A) 4 s; B) 2 s; C) 1 s; D) 10 s; E) 20 s;
Dica: Inicialmente precisamos determinar a aceleração, que
pode ser obtida usando a função horária da velocidade:
v=v0+a.t. O instante em que ocorre a inversão de movimento é o
momento em que a velocidade do móvel se anula (v=0). Para
determinar este instante de tempo, usamos novamente a função
horária da velocidade,colocando ―0‖ no lugar de “v” (e usando
o valor encontrado para a aceleração).
5. (Osec-SP) Um corpo lançado verticalmente para cima, retorna ao
solo após 12 segundos do seu lançamento. Desprezando a resistência do ar, qual será sua velocidade inicial?
A) 60 m/s; B) 45 m/s; C) 30 m/s; D) 15 m/s;
Dica: O tempo de subida é igual ao tempo de descida, e conhecendo o tempo você pode calcular a velocidade de lançamento,
com a fórmula: v=g.t. (veja capítulo 3, pag. 10).
6. (UFCE) Um chuveiro, situado a uma altura de 1,8 metros do solo,
indevidamente fechado, deixa cair pingos de água a uma taxa de 4
pingos por segundo. No instante de tempo em que um dado pingo
toca o solo, o número de pingos que já estão a caminho é de:
A) 0; B) 1; C) 2; D) 3; E) 4;
Dica: Inicialmente descubra o tempo que cada pingo gasta na
queda até o solo. Para isso, use a fórmula que relaciona altura e
tempo no MRUV (função horária da distância) adaptada para o
problema de queda livre (h=g.t2/2=5.t2). Conhecendo este tempo, basta fazer uma regra de três, para achar a resposta.
7. (Efoa-MG) Um corpo em queda livre, percorre no último segundo de
queda, a metade da altura de onde caiu. Qual é a altura (em metros) de onde o objeto caiu?
A) 14,0 B) 28,0 C) 57,8 D) 14,8 E) 56,0
Dica (Receita do problema do ―último segundo‖) Neste tipo de
problema, não dá para calcular a altura diretamente das fórmulas, porque não sabemos o tempo nem as velocidades. O segredo é você separar a queda do corpo em duas etapas: queda
antes do último segundo (etapa 1), e queda durante o último
segundo (etapa 2), e então relacionar a distância (altura) percorrida na etapa 1 (h1) com a altura total de onde o corpo caiu
(h). No problema da questão 7, o corpo cai metade da altura no
último segundo (etapa 2), e portanto percorre a outra metade da
altura na etapa 1. Temos então h1=h/2, e usando a função horária da distância para relacionar as alturas com o tempo, obtemos a igualdade:
5  (t
2
- 1) 
5 t
2
2
Observe que ao invés de ―t‖, usamos “t-1” no lado esquerdo da
fórmula acima, porque o tempo de queda na primeira etapa é
igual ao tempo total de queda (t) menos 1 (o último segundo).
Resolvendo a equação de 2º grau acima (escolha a raiz que for
maior do que 1), você descobre o tempo de queda, que permite
finalmente determinar a altura de onde o corpo caiu.
8) Resolva o problema acima, considerando que no último segundo o
corpo percorre 1/4 da altura de queda. O tempo de queda será:
A) 3,7 s; B) 0,53 s; C) 7,45 s; D) 11,2 s; E) 3,15 s;
Dica: Neste caso na primeira etapa, o corpo cai 3/4 da altura, de
modo que a igualdade fica:
2
5  (t - 1) 
3
4
2
 (5  t )
9) Um rifle é apontado horizontalmente para um alvo a 200 m de distância, e a bala é disparada com velocidade de 500 m/s. Qual é o
desvio vertical (para baixo) sofrido pela bala?
A) 0,4 m B) 0,6 m C) 0,8 m D) 1,0 m E) 1,2 m
Dica: Use a fórmula do alcance no lançamento horizontal,
para descobrir a velocidade vertical da bala (vy) quando atinge
o alvo. Conhecendo vy, você acha o desvio vertical da bala (h),
usando a equação de Torricelli: vy2 = 2.g.h.
10) No problema anterior, com que ângulo o rifle deve ser apontado
para que a bala atinja o centro do alvo?
A) 0,004° B) 0,23° C) 0,46° D) 2,3° E) 4,6°
Dica: Use a fórmula do alcance para lançamento oblíquo
(lembrando que vx=v0.cos e vy=v0.senÂ), e verifique qual dos
36
ângulos acima dá o alcance mais próximo de 200 m.
Capítulo 3:Capítulo
Leis de Newton
8: Movimento
de rotação (voltas e giros)
Quando fazemos um levantamento dos tipos de movimentos estudados na Mecânica, vemos que grande parte deles
são rotações, i.e, movimentos onde os corpos descrevem voltas
ou giros em torno de um eixo. Eles aparecem no funcionamento
de engrenagens, rodas ou discos presentes nas máquinas, motores, veículos e muitos outros tipos de brinquedos.
Observe que quando falamos do movimento de rotação
propriamente dito, estamos tratando de um corpo (geralmente
grande) que gira em torno de si mesmo, como um pião, uma
bailarina, ou a própria Terra.
Alternativamente, podemos aplicar os conceitos básicos
do movimento de rotação, para estudar o movimento de corpos
(ou pontos) que descrevem voltas em torno de um ponto ou eixo
de rotação. Quando essas voltas constituem trajetórias circulares, o movimento é denominado movimento circular.

Entrando nos eixos
Para começarmos nosso estudo, seria interessantes tentarmos estabelecer as principais diferenças entre os movimentos
de translação (como os
movimentos estudados no
capítulo 2) e os movimentos de rotação. Se você
observar com mais atenção
cada caso, perceberá que
nas rotações os objetos
sempre giram em torno de
―alguma coisa‖. A hélice de um helicóptero, por exemplo, gira
presa a uma haste metálica que sai do motor (veja figura ao lado). No centro da haste, podemos imaginar um linha reta que
constitui o eixo em torno do qual tanto a haste como as hélices
giram. Da mesma forma, podemos considerar que a pequena
hélice, localizada na cauda do helicóptero, também efetua uma
rotação em torno de um eixo. Este eixo, porém, se encontra na
direção horizontal.
No caso de um bailarina rodopiando, ou da Terra, em
seu movimento de rotação, não
existe nenhum eixo ―real‖, mas
podemos imaginar um eixo em
torno do qual os objetos giram.
Isso mostra que em todo movimento de rotação sempre é possível identificar um eixo, mesmo
que imaginário, em torno do
qual o objeto gira.
Em alguns objetos, como uma
bicicleta, por exemplo, temos várias
partes em rotação simultânea, e portanto, podemos imaginar diversos eixos de
rotação.
DESAFIO! Tente encontrar ao menos 7
eixos em sua bicicleta.

Velocidade das rotações
Um exemplo clássico de objetos que descrevem movimento de rotação, são os ponteiros de um relógio. Nesse caso,
enquanto o ponteiro gira, seus pontos constituintes descrevem
voltas (circunferências) em torno do centro do relógio. Observe
que essas circunferências tem raios diferentes: os pontos mais
distantes de centro percorrem distâncias maiores que os mais
próximos. Assim, um mesmo corpo — o ponteiro do relógio —
tem velocidades diferentes em pontos diferentes. Neste caso, o
conceito de velocidade não é muito adequado para medir a rapidez com que se processa o movimento de rotação.
Por outro lado, sabemos que uma hélice de ventilador
gira mais rápido do que uma roda-gigante, e que esta por sua
vez, gira mais rápido que o ponteiro dos minutos de um relógio. Como fazemos para expressar a rapidez com que uma
coisa gira?
A maneira mais simples é determinar quantas voltas
completas o objeto dá em determinada unidade de tempo, o que
chamamos de freqüência.
Freqüência (símbolo f) é uma grandeza física que mede
o número de voltas (ou giros) por unidade de tempo.
Matematicamente a freqüência é definida como:
f 
número
de voltas
intervalo
de tempo
Por exemplo, o ponteiro dos segundos de um relógio, efetua
uma volta completa por minuto. Dessa forma, expressamos sua
freqüência como 1 rpm = 1 rotação por minuto. Essa é uma
unidade de freqüência bastante usada, principalmente para
expressar a rapidez de giro de motores.
A unidade de freqüência ciclos por segundo ou rotações por
segundo (rps) é a unidade de freqüência, adotada pelo Sistema
Internacional de Unidades (SI). Essa unidade recebe o nome de
hertz (símbolo Hz), em homenagem ao físico alemão Heinrich
Hertz, que estudou as propriedades de um tipo especial de movimento periódico: o movimento ondulatório, o qual também é
caracterizado por uma freqüência de oscilação, que mede o
número de ciclos (oscilações) por segundo.
Conjugado com a freqüência de rotação, define-se uma
outra grandeza chamada período. O período (símbolo T) mede
o intervalo de tempo gasto em uma volta (ou giro). O período
está relacionado com a freqüência, através da fórmula:
1
T 
f
A tabela abaixo, mostra a relação entre as unidades de
período (tempo) e as unidades de freqüência. Note que cada
unidade de freqüência corresponde ao inverso de cada unidade
de período correspondente.
PERÍODO
FREQÜÊNCIA
hora (h)
ciclos por hora (ciclo/h)
minuto (min)
ciclos por minuto (rpm)
segundo (s)
ciclos por segundo (rps)
Por outro lado, como já dissemos a trajetória descrita
pelos pontos da hélice de um ventilador, ou dos ponteiros de
um relógio, são circunferências. Observe que mesmo que a
velocidade de giro seja a mesma para todos os pontos, quanto
mais afastados do centro (eixo) de rotação, maior deve ser a
velocidade com que eles se deslocam, porque estes pontos
descrevem circunferências maiores!
Observe que, para um dado ponto situado a uma distância r em relação ao centro da circunferência, a distância
percorrida por ele em uma volta, é igual ao comprimento da
circunferência (d=2r), e o tempo gasto é igual ao período de
rotação (t=T). Assim, a velocidade com que o ponto se desloca
será:
d
2π  r
v 
t

T
Alternativamente, lembrando que a freqüência é o inverso do
período (f=1/T), podemos escrever:
v = 2•r•f
Assim, se conhecemos o tempo necessário para dar uma volta,
usamos a primeira fórmula, e quando temos o número de voltas
por unidade de tempo (freqüência), usamos a segunda fórmula.
15
Capítulo 8: Movimento de rotação (voltas e giros)

Exemplos
1.
Um disco, de raio igual a 20 cm, executa 50 voltas por
minuto (50 rpm).
Qual é o período de rotação do disco?
8. Um ciclista dá duas pedaladas por segundo em sua bicicleta. Se a mensaDetermine a velocidade com que se deslocam os
geira traseira é três vezes menor que a dianteira, e a roda da bicicleta tem
raio de 30 centímetros:
pontos da periferia do disco.
A)
B)
7. Duas polias A e B, de raios 10 cm e 30 cm, respectivamente, giram interligadas por uma correia. Se a freqüência da polia A é 120 rpm, qual deve ser a
freqüência da polia B?
Resolução:
A) Note da tabela da página anterior, que se a freqüência está em rpm, a
fórmula do inverso determina o período em minutos. Temos então:
T 
1
f

1
50
 60
 0,02
min

1,2
s
A) Quantos metros a bicicleta anda em um segundo?
B) Qual a distância percorrida pela bicicleta em um minuto?
Dicas:
1) O número de pedaladas por segundo é a freqüência de rotação da mensageira dianteira.
2) Quando você não tem os valores dos raios, pode escolher um deles como
sendo igual a 1.
B) A velocidade de um ponto na periferia, é determinada pela fórmula:
v 
2π  r
T

6,28  20
1,2
 104 cm/s  1,04 m/s
2. Regra das polias: As polias
A e B da figura tem raios
rA=20 cm e rB=50 cm, e estão
ligadas por uma correia. Sabendo que a polia A gira com freqüência de 25 rps, determine:
A) o número de voltas por segundo (rps) da polia B.
B) a velocidade com que a correia se desloca sobre as polias.
Resolução: Para as duas polias A e B acima, vale a regra:
fA•rA = fB•rB
onde fA e fB são as freqüências de rotação das polias A e B.
A) Usando a regra acima, temos:
25 •20 = fB•50 ==> fB = 500 ÷ 50 = 10 rps
B) A velocidade com que a correia se desloca sobre a polia é obtida aplicando a fórmula v=2•r•f a qualquer uma das duas polias. Escolhendo a polia A,
temos:
v = 2•r•f = 6,28•20•25 = 125,6•25 = 3140 cm/s = 31,4 m/s

Exercícios
1. Determine a freqüência de rotação da Terra (ciclos/h), e o período de
translação ao redor do Sol (em horas).
2. Um disco em rotação efetua 360 voltas por minuto. Sabendo que o raio
do disco é de 2 metros, determine:
A) O período e a velocidade de rotação do disco.
B) A velocidade dos pontos da periferia do disco.
3. Uma bicicleta daqueles modelos do início do século XX, tem sua roda
dianteira com raio de 50 cm, e a roda traseira com raio de 25 cm. Sabendo que a roda menor gira com freqüência de 4 rps, determine a freqüência da roda maior, e a velocidade com que a bicicleta se desloca (esta
velocidade é igual á velocidade dos pontos da periferia das rodas).
4. Um ciclista dá três pedaladas por segundo em sua bicicleta. Determine a
freqüência e o período (em segundos) da mensageira dianteira da bicicleta. Se a mensageira tem raio de 15 cm, qual será a velocidade de
seus dentes?
5. Um automóvel percorre uma estrada com velocidade de 70 m/s, e seus
pneus tem raio de 35 cm. Determine a freqüência de rotação das rodas
do automóvel.
Sugestão: a velocidade com que se deslocam os pontos da roda é igual
à velocidade desenvolvida pelo automóvel.
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O sentido das rotações
Quando você quer dizer para alguém para que lado uma coisa está
girando, o que você faz? Em geral as pessoas dizem algo como: gire para a
esquerda, ou gire a manivela no sentido horário. Porém, tanto um quanto o
outro jeito traz problemas. Uma roda gigante, gira no sentido horário ou antihorário? Para quem a vê de um lado é uma coisa, para quem vê do outro lado é
o contrário. Faça o teste: ponha uma bicicleta de ponta-cabeça e gire sua roda.
Observe-a a partir dos dois lados da bicicleta. Também não dá para definir claramente!
Mas algum espertinho inventou um jeito de definir o sentido de qualquer
rotação, usando uma regra conhecida como regra da mão direita. Seus quatro
dedos, fora o polegar, devem apontar acompanhando a rotação. O polegar estará paralelo ao eixo, e aponta o
sentido da rotação. No desenho ao
lado, definimos o sentido da rotação do disco como sendo ―para
dentro da vitrola‖. Note que qualquer pessoa pode fazer isso, independente de sua posição em relação à vitrola.
Esta regra é aplicada especialmente, nas operações de apertar e
afrouxar parafusos. Quando os parafusos são fabricados nas industrias metalúrgicas, seu ―enroscamento‖ é desenhado de modo que o sentido de avanço do
parafuso coincida com o sentido apontado pela regra da mão direita. O mesmo
acontece com as tampas de rosca, em garrafas e vidros de conserva. Você pode
testar a regra da mão direita, tentando abrir a tampa de um garrafa térmica.
Observe o enroscamento dos dedos, e o sentido de avanço da tampa.
A conservação das rotações
não deixa ninguém sair do eixo!
Como você sabe da Geografia, o planeta Terra apresenta um movimento de rotação em torno de um eixo imaginário, levemente inclinado em relação à direção norte-sul, o que nos proporciona as estações do ano. Sabe-se que
o movimento de rotação e a direção do eixo permanece praticamente inalterada
por milhões de anos. Isto acontece, porque a Terra não tem para quem transferir
seu movimento de rotação.
Quando um corpo não tem para quem transferir seu movimento de rotação (ou perde esse movimento lentamente), a tendência é manter inalterada a
sua velocidade de giro, e também a direção do eixo de rotação. Isso acontece,
por exemplo, com um pião. Enquanto ele tem quantidade de giro suficiente,
tende a ficar em pé. Á medida que vai perdendo giro, ele começa a ―bambear‖
em torno do eixo vertical, até perder todo o movimento e cair. Também no caso
da de uma bicicleta, enquanto suas rodas tem quantidade de giro suficiente, seu
eixo de rotação tende a se manter na direção horizontal, e conseqüentemente,
a bicicleta se mantém em equilíbrio.
Piões, bicicletas,
e até mesmo o nosso planeta,
“não saem do eixo’, graças a
tendência de conservação da
quantidade de giro.
6. Qual a velocidade de um carro, cuja roda tem 40 cm de raio, e efetua
1200 rotações por minuto?
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