M AT E M Á T I C A
1 e
A solução do sistema de equações lineares
x – 2y – 2z = – 1
x
– 2z = 3 é:
y– z= 1
{
a) x = – 5, y = – 2 e z = –1.
b) x = – 5, y = – 2 e z = 1.
c) x = – 5, y = 2 e z = 1.
d) x = 5, y = 2 e z = – 1.
e) x = 5, y = 2 e z = 1.
Resolução
x – 2y – 2z = – 1
x – 2y – 2z = – 1
x
– 2z = 3 ⇔
2y
= 4 ⇔
y– z= 1
y– z= 1
{
⇔
{
{
x – 2y – 2z = – 1
y
= 2 ⇔
z= 1
{
x=5
y=2
z=1
2 e
Em um edifício residencial de São Paulo, os moradores
foram convocados para uma reunião, com a finalidade
de escolher um síndico e quatro membros do conselho
fiscal, sendo proibida a acumulação de cargos. A escolha deverá ser feita entre dez moradores.
De quantas maneiras diferentes será possível fazer
estas escolhas?
a) 64.
b) 126.
c) 252.
d) 640. e) 1260.
Resolução
9!
10 . C9,4 = 10 . ––––– = 1260
4!5!
3 c
Os números complexos 1 + i e 1 – 2i são raízes de um
polinômio com coeficientes reais, de grau 8.
O número de raízes reais deste polinômio, no máximo,
é:
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
Resolução
Um polinômio de grau 8 tem oito raízes.
Se 1 + i e 1 – 2i são raízes e os coeficientes do polinômio são reais, então 1 – i e 1 + 2i também são raízes.
Assim sendo, se o polinômio possui pelo menos 4 raízes complexas, possui no máximo 4 raízes reais.
4 b
No triângulo QPP' do plano cartesiano, temos
Q = (a,0), com a < 0, P = (4,2) e P' o simétrico de P em
OBJETIVO
U NI F ESP (1º dia) Dezembro /2 0 0 1
relação ao eixo x. Sabendo que a área desse triângulo
é 16, o valor de a é:
a) – 5.
b) – 4.
c) – 3.
d) – 2.
e) – 1.
Resolução
PP’ . QM
A área do triângulo QPP’ é ––––––––– . Logo:
2
4 . (4 – a)
––––––––– = 16 ⇔ 4 – a = 8 ⇔ a = – 4
2
5 d
Um número inteiro n, quando dividido por 7, deixa
resto 5. Qual será o resto na divisão de n2 + n por 7?
a) 5.
b) 4.
c) 3.
d) 2.
e) 1.
Resolução
n | 7 ⇒ n = 7q + 5, q ∈ Z ⇒
––––––
5 q
⇒ n2 + n = [7q + 5]2 + [7q + 5] ⇒
⇒ n2 + n = 49q2 + 77q + 30
Como 49q2 + 77q = 7[7q2 + 11q] é múltiplo de 7, conclui-se que o resto da divisão de n2 + n por 7 é o
mesmo resto da divisão de 30 por 7, ou seja, 2.
6 b
A região do plano cartesiano, determinada simul-taneamente pelas três condições
{
x2 + y2 ≤ 16
y ≥ x2
x≥0
OBJETIVO
U NI F ESP (1º dia) Dezembro /2 0 0 1
é aquela, na figura, indicada com a letra
a) A.
b) B.
c) C.
d) D.
e) E.
Resolução
x2 + y2 ≤ 16 ⇔
y ≥ x2 ⇔
x≥0⇔
{
x2 + y2 ≤ 16
y ≥ x2 ⇔
x≥0
OBJETIVO
U NI F ESP (1º dia) Dezembro /2 0 0 1
⇔
7 a
Um ponto do plano cartesiano é representado pelas
coordenadas (x + 3y, – x – y) e também por
(4 + y, 2x + y), em relação a um mesmo sistema de
coordenadas. Nestas condições, xy é igual a
a) – 8.
b) – 6.
c) 1.
d) 8. e) 9.
Resolução
(x + 3y; – x – y) = (4 + y; 2x + y) ⇔
⇔
⇔
{
{
x + 3y = 4 + y
– x – y = 2x + y
x=–2
y=3
⇔
{
x + 2y = 4
3x + 2y = 0
⇔
⇔ xy = (– 2)3 = – 8
8 d
A equação x2 + y2 + 6x + 4y + 12 = 0, em coordenadas cartesianas, representa uma circunferência de raio
1 e centro
a) (– 6,4). b) (6,4). c) (3,2). d) (– 3, – 2). e) (6, – 4).
Resolução
A partir da equação da circunferência
x2 + y2 + 6x + 4y + 12 = 0, temos:
C
(
)
⇔ C (– 3; – 2)
{
1, se 0 ≤ x ≤ 2
– 2, se – 2 ≤ x < 0
6
4
––––; ––––
–2 –2
9 d
Considere a função f(x) =
OBJETIVO
U NI F ESP (1º dia) Dezembro /2 0 0 1
A função g(x) = | f(x)| – 1terá o seguinte gráfico:
a)
y
b)
y
2
1
x
- 2
2
- 2
2
x
- 1
- 2
c)
d)
y
y
1
1
- 2
x
2
e)
- 2
2
x
y
2
1
- 2
x
2
Resolução
1, se 0 ≤ x ≤ 2
f(x) =
–2, se –2 ≤ x < 0
{
{
|f(x)| =
1, se 0 ≤ x ≤ 2
2, se –2 ≤ x < 0
g(x) = |f(x)| – 1 =
{
0, se 0 ≤ x ≤ 2
1, se –2 ≤ x < 0
então o gráfico da função g(x) será:
OBJETIVO
U NI F ESP (1º dia) Dezembro /2 0 0 1
10 c
O gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c (a, b, c números reais) contém os pontos (– 1, – 1), (0, – 3) e (1, –1).
O valor de b é:
a) – 2.
b) – 1.
c) 0.
d) 1. e) 2.
Resolução
Se os pontos (0; –3), (–1; –1) e (1; –1) pertencem ao
gráfico da função
f(x) = ax2 + bx + c (a, b e c números reais), temos:
1º) f(0) = a . 02 + b . 0 + c = – 3 ⇔ c = –3
2º) f(–1) = a . (– 1)2 + b . (–1) + c = –1 ⇔ a – b + c = –1
3º) f(1) = a . 12 + b . 1 + c = –1 ⇔ a + b + c = –1
Portanto:
a = 2, b = 0 e c = – 3
11 e
Há funções y = f(x) que possuem a seguinte propriedade: "a valores distintos de x correspondem valores
distintos de y". Tais funções são chamadas injetoras.
Qual, dentre as funções cujos gráficos aparecem abaixo, é injetora?
a)
b)
c)
d)
)
OBJETIVO
U NI F ESP (1º dia) Dezembro /2 0 0 1
e)
Resolução
A partir da definição de função injetora, conclui-se que,
ao se traçarem retas paralelas ao eixo x, cada reta deve
encontrar o gráfico da função, no máximo em 1 ponto.
Esse fato só ocorre na alternativa E.
12 b
O valor de x que é solução da equação
log102 + log10(x +1) – log10x = 1 é
a) 0,15. b) 0,25. c) 0,35. d) 0,45. e) 0,55.
Resolução
log 2 + log (x + 1) – log x = 1 ⇔
10
10
⇔ log
10
[
10
]
2 . (x + 1)
–––––––––– = 1 ⇔
x
2 . (x + 1)
⇔ –––––––––– = 10 ⇔
x
1
x = –– = 0,25
4
13 c
Seja a função f : R → R, dada por f(x) = sen x.
Considere as afirmações seguintes.
1. A função f(x) é uma função par, isto é, f(x) = f(–x),
para todo x real.
2. A função f(x) é periódica de período 2π, isto é,
f(x + 2π) = f(x), para todo x real.
3. A função f(x) é sobrejetora.
π
π
Ï··
3
4. f(0) = 0, f ––– = –––– e f ––– = 1.
3
2
2
( )
OBJETIVO
( )
U NI F ESP (1º dia) Dezembro /2 0 0 1
São verdadeiras as afirmações
a) 1 e 3, apenas.
b) 3 e 4, apenas.
c) 2 e 4, apenas.
d) 1, 2 e 3, apenas.
e) 1, 2, 3 e 4.
Resolução
f: R → R | f(x) = sen x
1. f(x) não é par:
sen π/6 = 1/2 e sen (–π/6) = –1/2
2. f(x) é periódica, de período 2π, pois:
sen (x + 2π) = sen x, ∀x
3. f(x) não é sobrejetora, pois:
Dom(f) = R e Im(f) = [–1; 1]
3 /2; sen π/2 = 1
4. sen 0 = 0; sen π/3 = Ï···
São verdadeiras apenas 2 e 4.
14 a
A figura mostra uma circunferência, de raio 4 e centro
C1, que tangencia internamente a circunferência maior,
de raio R e centro C2. Sabe-se que A e B são pontos da
circunferência maior, AB mede 8 e tangencia a circunferência menor em T, sendo perpendicular à reta que
passa por C1 e C2.
A área da região hachurada é:
a) 9π. b) 12π. c) 15π. d) 18π. e) 21π.
Resolução
No triângulo C2TA, retângulo em T, da figura, tem-se
2
2
AC2 = R, TC2 = 8 – R, AT = 4 e AC2 = TC2 + AT2.
Assim sendo, R2 = (8 – R)2 + 42 ⇔ R = 5.
A área da região hachurada é π . 52 – π . 42 = 9π.
OBJETIVO
U NI F ESP (1º dia) Dezembro /2 0 0 1
15 a
Em um paralelogramo, as medidas de dois ângulos
internos consecutivos estão na razão 1 : 3.
O ângulo menor desse paralelogramo mede
a) 45°. b) 50°. c) 55°. d) 60°. e) 65°.
Resolução
Sejam k e 3k as medidas dos dois ângulos internos
consecutivos do paralelogramo abaixo.
Logo: 3k + k = 180° ⇔ k = 45°
OBJETIVO
U NI F ESP (1º dia) Dezembro /2 0 0 1