I
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
PROVA DE AVALIAÇÃO – 1ª FREQUÊNCIA – NOVEMBRO / 2014
FLEXÃO PLANA - ESTADO PLANO DE TENSÃO
60kN
60kN
70kN
70kN
10
50
10
8
12
P
32
35
35
SECÇÃO TRANSVERSAL
y
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIO
CONSIDERANDO AS
CONVENÇÕES:
+
Mx
x+
y
yx
xy
G
+
x
xy
y+
yx
y
ISABEL ALVIM TELES
x
x
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
1ª FREQUÊNCIA - NOV/2014 – FLEXÃO PLANA E ESTADO PLANO DE TENSÃO
ISABEL ALVIM TELES
ENUNCIADO
Considere a estrutura abaixo representada, cuja
secção transversal é constituída por um elemento
pré-fabricado e uma secção rectangular.
ELEMENTO PRÉ-FABRICADO
b
10
As características do elemento pré-fabricado
estão indicadas na tabela anexa.
35
20
Área = 1604 cm 2
Notas:
a
G
- O plano de solicitação é baricêntrico.
- O peso próprio da viga é desprezável.
- Considere o factor de segurança de 1,4.
I a = 856 889 cm4
I b = 198 603 cm4
20
35
(medidas: cm)
10
15
60kN
10
25
60kN
10
70kN
70kN
50
10
8
12
P
0.8 m
32
0.6
1.2 m
0.6
1.2 m
1.2 m
1.0 m
1.2 m
Estrutura
35
35
Secção transversal
1- Calcule as tensões resistentes de cálculo à compressão e à tracção (σRd,comp, σRd,trac) compatíveis
com a verificação da segurança do tramo ABC da estrutura.
2- Considere o ponto P da secção S-S (secção a 1,0 m do apoio da direita), tal como representado
na figura acima.
a) Defina o tensor das tensões que caracteriza o estado plano de tensão no ponto P;
b) Recorrendo ao cálculo matricial, calcule a tensão principal máxima e a respectiva direcção,
representando todos os resultados num esquema ilustrativo.
Nota: Se não conseguiu determinar o tensor das tensões na alínea
anterior, considere o seguinte, correspondente a outra secção:
versão 1
1/4
- 780 255
 kPa

 255
0 
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1ª FREQUÊNCIA - NOV/2014 – FLEXÃO PLANA E ESTADO PLANO DE TENSÃO
ISABEL ALVIM TELES
RESOLUÇÃO
1.
Reacções nos apoios
Σ Fx = 0


Σ Fy = 0

Σ MA = 0
⇒
 HA = 0


 VA = 55 kN ↑

 VC = 85 kN ↑
 HA = 0


⇒
 VA + VC = 140

 70 × (1,2 + 3,6) + 60 × 1,2 = VC × 4 ,8
()
()
70kN
70kN
72kNm
O dimensionamento deverá ser
realizado para a secção onde
ocorrem os maiores esforços,
ou seja, para o máximo
momento actuante.
55kN
85kN
M (kNm)
+
48
Momento máximo: M = 120 kNm
66
102
120
10
50
10
Posição do centro de gravidade
8
20.81
yG =
G
1604 × 15 + 50 × 8 × (40 − 4)
= 19,19 cm
1604 + 50 × 8
32
X
19.19
35
Momento de inércia Ix
Ix
Y
3
= 198 603 + 1604 × (19,19 − 15) + 50 × 8 + 50 × 8 × (20,81 − 4) = 341 926,76 cm = 341 927 × 10 m
12
2
G
35
Tensões normais:
σ =
2
Fibra inferior: y = 19,19 cm = 0,1919 m ⇒
versão 1
-8
4
MX
Y
IX
Fibra superior: y = − 20,81 cm = − 0,2081 m ⇒ σ =
Verificação da segurança:
4



σ=
120
341 927 × 10
120
341 927 × 10
σ Rd, comp ≥ 1,4 × 7303
⇒
σ Rd, trac ≥ 1,4 × 6 735
2/4



−8
−8
× ( − 0,2081 ) = − 7 303 kPa (comp.)
× 0,1919 = 6 735 kPa (tracção)
σ Rd, comp ≥ 10 224 kPa
σ Rd, trac ≥ 9 429 kPa
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2. a)
10
ISABEL ALVIM TELES
20
10
20
10
Esforços na secção S-S a 1,00 m de C
8
12
 V = − 85 kN

 MX = 85 × 1,0 = 85 kNm
20.81
P
G
32
X
19.19
Tensão normal no ponto P
σx =
σx =
35
35
Y
MX
Y com Y = − (20,81 − 12) = −8,81 cm
IX
85
341 927 × 10
−8
× (−0,0881) = − 2 190,1 kPa (compressão)
τ= VS
Tensão tangencial no ponto P:
Ib
V = -85 kN
I = 341 927 × 10
-8
m
4
b = 3 × 0,10 = 0,30 m
3
S = 70 × 8 × (20,81 − 4) + 3 × 10 × 4 × (20,81 − 8 − 2) = 10 710,8 cm = 10 710,8 × 10
× 10
τ = V S = − 85 × 10 710,8
-8
Ib
-6
341 927 × 10 × 0,30
= − 887,5 kPa
⇒
Estado de tensão
τ
τ
P
m
3
(momento estático)
τ xy = τ xy = 887,5 kPa
Tensor das tensões
 σx
T= 
τ yx

τ = 888,5 kPa
= - 2190,1 kPa
τ
versão 1
-6
3/4
τxy 
− 2 190,1
 = 
σ y   887,5
887,5 
 kPa
0 
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2. b) Cálculo Matricial
No ponto P:
 σx
T= 
τ yx

τxy 
− 2 190,1
 = 
σ y   887,5
887,5 
 kPa
0 
Tensões principais: det T − I σ = 0
− 2190,1 − σ 887,5
det
887,5
−σ
=0
⇒ (−2190,1 − σ) × (−σ) − 887,5× 887,5 = 0
Direcção da tensão principal máxima:
[ T − I σ1 ]. n1
⇒
σ1 = σmáx = 314,5 kPa

σ2 = σmín = −2504,6 kPa
=0
 − 2190,1 − 314,5 887,5  n1x  0
=
×

887,5
− 314,5 n1y  0

2
2
n1x + n1x = 1
887,5 × n1x − 314,5 × n1Y = 0
 2
2
=1
 n1x + n1x
⇒
 n1x = 0,334
ou

n1y = 0,943
 n1x = − 0,334

n1y = − 0,943
= 314,5 kPa
y
70,5°
P
x
= 314,5 kPa
versão 1
4/4
⇒ α = arctg ( 0,943) = 70,5o
0,334