Desenvolvimento de um gerador de malhas para o estudo do
escoamento transônico em um aerofólio
Leo Moreira Lima.
ITA – Instituto tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos, SP, 12228-900, Brasil.
Bolsista PIBIC-CNPq.
[email protected]
Marcos A. Ortega.
ITA – Instituto tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos, SP, 12228-900, Brasil.
Este trabalho teve seu enfoque no estudo de alguns métodos numéricos para geração de malhas para o
estudo do escoamento sobre um dado aerofólio. Inicialmente foi feito um estudo introdutório sobre as três categorias
de malhas: as estruturadas, as não estruturadas e as malhas híbridas. Identificando as vantagens e desvantagens de
cada uma na resolução final do aerofólio. Posteriormente, escolhemos dois métodos de geração de malhas
estruturadas: o método algébrico e o por equações diferenciais parciais elípticas. Feita a análise de ambos os
métodos, pudemos escolher qual seguir e finalmente gerar a malha para o aerofólio NACA0011, o método escolhido
foi o por equações diferenciais parciais elípticas, descrito no corpo do artigo. Por fim, encontramos no método do
volume finito para problemas hiperbólicos uma oportunidade de dar prosseguimento ao trabalho numa área bastante
explorada atualmente, sendo assim, o trabalho se resumiu ao estudo sobre o fenômeno das ondas de choque,
paralelamente ao do método em si.
1. Introdução:
Ao se realizar a análise numérica de um escoamento sobre um aerofólio, precisamos gerar malhas
que representem o domínio físico no domínio computacional, isto é, precisamos discretizar o domínio
físico para então avaliar os valores de pressão, velocidade, temperatura, massa específica, etc. a partir das
equações diferenciais parciais que representam o problema físico.
A geração da malha, no entanto, não constitui um problema trivial, já que os pontos de controle
devem estar distribuídos de forma a garantir precisão física e otimizar o tempo de processamento. Há vários
critérios a ser satisfeitos para que a malha possa ser considerada ideal, como por exemplo, a concentração
dos pontos de acordo com a distância ao aerofólio e a ortogonalidade da malha, apenas para citar alguns.
Este projeto tem por objetivo a confecção de um programa capaz de gerar malhas satisfatórias para
a análise do escoamento em torno de um aerofólio dado.
2. Geração de malhas a partir da resolução de um sistema de equações diferenciais parciais
elípticas:
O método por equações diferenciais parciais elípticas é uma boa opção quando se quer soluções
suaves e bom controle dos pontos no interior do grid, porém, com eles não podemos garantir
ortogonalidade ou conformidade.
A estratégia utilizada para gerar a malha é resolver numericamente um sistema de EDPs elípticas
com funções de controle P e Q. A escolha do método para resolver o sistema é livre, no entanto, Thompson
(1985) sugere que utilizamos o método SOR.
Eis o sistema:
∇ 2ξ xx + ∇2ξ yy = P (ξ ,η )
∇ 2η xx + ∇ 2η yy = Q(ξ ,η )
No domínio computacional, temos:
α xξξ − 2β xξη + γ xηη = − g[ Pxξ + Qxξ ]
(1)
α xy − 2β yξη + γ yηη = − g[ Pyξ + Qyξ ]
Onde:
α = xη2 + yη2
β = xη xξ + yη yξ
γ = xξ2 + y ξ2
xξ2 + yξ2
g=
xη xξ + yη yξ
xη xξ + yη yξ
2
= ( xξ yη − xη yξ )
2
2
xη + yη
Figura 4: Malha no domínio físico.
(2)
Figura 5: Domínio Computacional.
Discretizando as equações (1) e (2), temos:
(1.a):
α ⎡⎣ xi+1, j − 2 xi, j + xi−1, j ⎤⎦ −
β
g
⎡⎣ xi+1, j +1 − xi +1, j −1 − xi −1, j +1 + xi −1, j −1 ⎤⎦ + γ ⎡⎣ xi, j +1 − 2xi, j + xi, j −1 ⎤⎦ + ⎡⎣ P (xi +1, j − xi −1, j ) + Q (xi, j 1+ − xi, j 1− )⎤⎦ = 0
2
2
(1.b):
α ⎡⎣ yi+1, j − 2 yi, j + yi−1, j ⎤⎦ −
β
g
⎡ yi+1, j +1 − yi +1, j −1 − yi −1, j +1 + yi −1, j −1 ⎤⎦ + γ ⎡⎣ yi, j +1 − 2yi, j + yi, j −1 ⎤⎦ + ⎡⎣ P (yi +1, j − yi −1, j ) + Q (yi, j 1+ − yi, j 1− )⎤⎦ = 0
2⎣
2
Onde:
1
4
1
β = ⎡⎣( xi+1, j − xi −1, j )( xi, j +1 − xi, j −1 ) + ( yi +1, j − yi −1, j )( yi, j +1 − yi, j −1 ) ⎤⎦
4
1
γ = ⎡⎣( xi +1, j − xi −1, j ) 2 + ( yi +1, j − yi −1, j ) 2 ⎤⎦
4
2
1
g = ⎡⎣( xi+1, j − xi −1, j )( yi, j +1 − yi, j −1 ) − ( xi, j +1 − xi, j −1 )( yi+1, j − yi −1, j )⎤⎦
16
α = ⎡⎣(xi , j +1 − xi , j −1 )2 + ( yi , j +1 − yi , j −1 )2 ⎤⎦
A partir dessas equações, é possível isolar xi,j e yi,j e resolver o sistema de equações algébricas
utilizando o método iterativo SOR (Gauss-Seidel com parâmetro de relaxamento), porém, para garantir a
convergência, precisamos dar um chute inicial sensato.
Para estabelecer os pontos iniciais, posicionamos o aerofólio no centro de uma circunferência e
dividimos sua corda em imáx-1 segmentos. Para cada ponto P’ na corda, utilizamos a equação do perfil do
aerofólio (equação (3), dada a seguir) e definimos a ordenada do ponto P de forma que P’ seja a projeção de
P no eixo das abscissas, feito isso, traçamos a reta que liga a origem dos eixos coordenados ao ponto P, sua
interseção com a borda da circunferência será o ponto Q, dividimos então o segmento PQ em jmáx-1
intervalos de diferentes comprimentos.
O comprimento de cada subintervalo será definido por uma “stretching function”, nós ao longo do
segmento PQ serão nós onde o contador i (ou a variável é constante, para nós localizados na superfície do
aerofólio o valor de j será 1 e para nós na fronteira da circunferência o valor de j será jmáx, analogamente os
valores de serão  e
, respectivamente.
Para definir a distância entre os pontos na reta onde a abscissa é zero, utilizamos o seguinte
algoritmo:
• Primeiro definimos a distância entre o ponto P (na borda do aerofólio) e seu ponto
adjacente (abscissa do ponto R) da seguinte forma:
⎛ 1− r ⎞
∆x = P ' Q ' ⎜
jmáx −1 ⎟ , onde r é o fator de espaçamento.
⎝1− r
⎠
•
•
•
Marcamos o ponto x - x (abscissa do ponto R) e projetamos no segmento PQ para
encontrar o ponto R em questão.
Definimos x’ = x.r e achamos o ponto seguinte no eixo das abscissas.
Repetimos o procedimento anterior jmáx-1 vezes.
Vale observar que a linearidade nos permite marcar os pontos no eixo das abscissas utilizando a
“stretching function”’ e então projetá-los no segmento PQ, uma vez que, por semelhança de triângulos, a
razão entre as distâncias será a mesma.
Figura 6: Esquema da distribuição inicial de pontos.
O perfil do aerofólio é dado por:
y = t ( a1 x1/ 2 + a2 x + a3 x 2 + a4 x3 + a5 x 4 )
Onde:
(3)
a1 = 1.4845
a2 = −0.6345
a3 = −1.7585
a4 = 1.4215
a5 = −0.5075
t = espessura do aerofólio.
Para resolver o sistema de equações diferenciais parciais, utilizamos o método SOR (Gauss-Seidel
com parâmetro de relaxamento), como já foi explicado, para um maior aprofundamento neste método,
consulte a referência [2].
Por fim, o programa foi rodado e plotaram-se os resultados que aparecem nas Figs. 7 e 8.
Frame 001 ⏐ 15 Dec 2007 ⏐ foil_grid
20
15
10
y
5
0
-5
-10
-15
-20
-10
0
10
x
Figura 7: Malha final gerada pelo TecPlot.
20
Figura 8: Zoom na malha gerada pelo TecPlot.
3. Agradecimentos:
Agradeço ao CNPq pelo apoio financeiro (Bolsa Pibic), ao orientador Marcos Aurélio Ortega e ao
Instituto Tecnológico de Aeronáutica pela infra-estrutura.
4. Referências:
Anderson, J.D, Jr. 1984, Fundamentals of Aerodynamics, McGraw Hill, New York.
Fletcher, C.A.J., 1988, Computational Techiques for Fluid Dynamics, Vol. I & II, SpringerVerlag, Berlin.
[3]
Ortega, M.A., 1994, Dinâmica dos Gases, Notas de Aula.
[4]
Ortega, M.A. 2001, Código Foil programado em Fortran.
[1]
[2]