OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA DE RIO PRETO
2005
2ª Fase – Nível 1
2005
01. Um grão de arroz tem massa média de 20 mg. Quantos grãos de arroz uma saca de 70 kg tem em média?
9
a) 1,4.10 .
8
8
b) 7.10 .
7
c) 3,5.10 .
6
d) 3,5.10 .
e) 3,5.10 .
02. Numa prova de F1, um piloto brasileiro completava uma volta no circuito a cada 84 s enquanto que o piloto
alemão completava a mesma volta em 66 s. Como largaram juntos, quanto tempo, depois da largada eles
passaram juntos novamente no ponto de partida?
a) 924 s.
b) 842 s.
c) 742 s.
d) 624 s.
e) 442 s.
03. Para trocar a água de um tanque de peixes cuja base é um losango e cujas diagonais medem 8 m e 6 m,
respectivamente, com 1,2 m de profundidade, o gasto mínimo, segundo a tabela abaixo será de:
Consumo
3
Até 20 m
Ao excedente de 20 m3
a) R$ 1,44.
3
Preço de 1 m (em R$)
0,50
0,80
b) R$ 15,44.
c) R$ 17,04.
d) R$ 23,24.
e) R$ 232,40.
04. Considere os números x = 2 700 , y = 11200 e z = 5 300 . A alternativa correta é:
a) x < z < y.
b) y < x < z.
c) y < z < x.
d) z < x < y.
e) z < y < x.
05. No retângulo, da figura abaixo, de dimensões a e b são consideradas as áreas das regiões (I), (II) e (III).
3 a
1 a
Podemos afirmar que:
4
a) área (I) = a.b.
b) área (II) + área (III) = área (I).
c) área (II) + área (III) > área (I).
d) área (II) + área (III) = a.b.
e) área (II) + área (III) < área (I).
4
(III)
(II)
b
(I)
1

06. O valor numérico da expressão y = 3 + 10 :  − 1 +  é:
5

−1
a) –38.
b) −
65
.
4
c) −
52
.
5
d) −
37
.
5
e) –5.
07. Daqui a quantos dias depois de amanhã será ontem?
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
08. Sendo a, b e c três números reais, sabemos que a.b = a.c se, e somente se, a = 0 ou b = c. Utilizando esse
fato, determine o intervalo que contém todas as soluções da equação x . (x - 1) = x . (2x - 3).
a) 0 < x < 2.
b) 0 < x < 3.
c) –1 < x < 3.
d) –1 < x < 2.
e) 2 < x < 4.
09. Diofanto de Alexandria (séc. III d.C.) é conhecido como o pai da Álgebra. Pouco se sabe sobre sua vida,
exceto o que é dito no seguinte enigma:
Aqui jaz Diofanto. “Maravilhosa habilidade –
Pela arte da Álgebra a lápide nos diz sua idade:
“Deus lhe deu um sexto da vida como infante,
Um duodécimo mais como jovem, de barba abundante;
E mais uma sétima parte antes do casamento;
Em cinco anos nasce-lhe vigoroso rebento
Lástima! O filho do mestre e sábio do mundo se vai
Morreu quando da metade da idade final do pai
Quatro anos mais de estudos consolam-no do pesar;
Para então, deixando a terra, também ele alívio encontrar.
Responda: Quantos anos Diofanto viveu?
a) 49.
b) 63.
c) 74.
d) 84.
e) 53.
10. Um velho almanaque na seção Astúcias de Matemática, mostrou, certa vez, como calcular a “persistência de
um número”, usando, para isso, o seguinte esquema:
647 →
168 → 48 → 32 → 6
(6x4x7)
(1x6x8)
(4x8)
(3x2)
Como foram necessárias 4 etapas até a obtenção de um número inteiro de um único algarismo, diz-se que a
“persistência” de 647 é 4. Nessas condições, a persistência de 2482 é:
a) 2.
b) 3.
11. Se
a) −
c) 4.
d) 5.
e) 6.
m 4
r
9
3mr − ns
= e =
, então o valor de
é:
n 3
s 14
4ns − 7mr
11
.
14
b) −
2
.
3
c)
2
.
3
d)
11
.
4
e) 1.
12. O número
27
é natural. Determine a soma dos possíveis valores de x.
x −3
a) 40.
b) 44.
c) 46.
d) 52.
e) 56.
13. Quantas vezes aparece o algarismo 9 no resultado da operação 10 100 − 2005 ?
a) 99.
b) 98.
c) 97.
d) 96.
e) 95.
14. Na figura, CS é bissetriz do ângulo C, BR é bissetriz do ângulo B e C ˆI B mede 130º. O ângulo do vértice A
mede:
A
a) 50º.
b) 65º.
c) 70º.
d) 80º.
e) 100º.
R
S
I
C
B
15. A área de um trapézio é de 1400 m2 . Sua altura é de 50 m. Calcular a medida das duas bases, sabendo que a
medida de cada uma delas é múltiplo de 8. O número de soluções deste problema é:
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) mais de 3.
)
16. Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo, com B = 90°, AB = BC e BCD um triângulo eqüilátero.
)
Determine med( CAD )
B
A
a) 15º.
b) 30º.
c) 45º.
d) 60º.
e) 75º.
D
C
17. Seja S um conjunto contendo o número zero, e os números inteiros pares, positivos e negativos. Quais das
operações a seguir que, aplicadas a um par de elementos quaisquer do conjunto, produzem apenas elementos do
próprio conjunto S? As operações são:
(1) adição (2) subtração (3) multiplicação (4) divisão (5) média aritmética
a) 1, 3 e 5.
b) 1, 2, 3 e 4.
c) 1, 2, 3 e 5.
d) 1, 2 e 3.
e) todas.
18. Na figura abaixo, sabe-se que r // s. Determine, em graus, a medida de α:
r
a) 80°.
b) 100º.
c) 140º.
d) 148º.
e) 158º.
s
α
2x
3x
100°
19. A figura abaixo mostra uma “estrela de Davi”, formada por dois triângulos eqüiláteros de lado a e cada
a
triângulo das pontas tem lado
. Sabendo que a área de cada triângulo que compõe a estrela é 9, pode-se
3
afirmar que a área da região determinada pela intersecção das duas regiões triangulares é:
a) 3.
b) 6.
c) 9.
81
d)
.
2
e) 81.
20. Uma garrafa e uma rolha custam R$ 11,00, quando vendidas juntas. Se vendidas separadas, a garrafa custa
R$ 10,00 mais que a rolha. Quanto custa a rolha?
a) R$ 0,50.
b) R$ 1,00.
c) R$ 1,20.
d) R$ 1,50.
e) R$ 10,00.
x +1
x +1
1
cada x é substituído por
. A expressão resultante calculada para x =
toma o valor:
x −1
x −1
2
21. Na expressão
a) –3.
b) –1.
c)
1
.
2
d) 1.
e) 3.
22. Numa eleição há 6 candidatos e 200 eleitores, cada um dos quais vota em um só candidato. Durante a
apuração, um candidato soube que já havia atingido 49 votos. A melhor colocação já assegurada a este candidato
é:
a) 6° lugar.
23. O número
a) 5.
b) 5° lugar.
c) 4° lugar.
d) 3° lugar.
e) 2° lugar.
−2005
é negativo. Entre suas soluções naturais, determine o número de primos possíveis:
− 2x + 40
b) 6.
c) 7.
d) 8.
e) 9.
24. Na figura, AB é bissetriz do ângulo do vértice A. A medida de α é:
a) 43°.
b) 86°.
c) 129°.
d) 21,5°.
e) 64,5°.
86°
B
α
43°
A
25. Para aproveitar um canto de uma casa será colocado um suporte de mármore branco. O formato do suporte é
o apresentado abaixo:
.
70 cm
.
20 cm
40 cm
.
50 cm
2
Sabendo que o m do mármore custa R$ 170,00 pode-se afirmar que o mármore utilizado custará:
a) R$ 44,20.
b) R$ 21,60.
c) R$ 442,00.
d) R$ 216,00.
e) R$ 440,00.