Pesquisa Operacional
na Tomada de Decisões
Resolvendo Programação Linear
Em um Microcomputador
2ª Edição
Capítulo 3.1
© Gerson Lachtermacher,2005
Conteúdos do Capítulo
 Resolvendo Problemas Usando Solver do Excel


Definindo o Modelo no Solver
Obtendo a Solução
Capítulo 3.1
Problemas em Forma Padrão
 São 4 características de um problema na forma padrão
Maximizar
Z = c1 x1 + c 2 x 2 + ... + c n x n
Sujeito a :
a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1 n x n  b1
a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n  b 2
:
a m 1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n  b m
x1 , x 2 , x 3 ,... x n  0
Capítulo 3.1
positivos
Problemas em
Forma não Padrão
 Portanto, se qualquer uma das 4 características não
puder ser observada, o problema não está na sua forma
padrão.
Max 5 x1 + 5 x2 + 3x3
Min 5 x1 + 5 x2 + 3x3
s.r.
x1 + 3x2 + x3  3
- x1
+ 3x3  2
s.r.
x1 + 3x2 + x3  3
- x1
+ 3x3  -2
x1 , x2 , x3  0
x1 , x2 , x3  0
Capítulo 3.1
Resolvendo Problemas
em Forma não Padrão
 Existem técnicas de reduzir problemas em formas
genéricas para a forma padrão.
 Usaremos softwares genéricos e específicos para
resolver problemas de Programação Linear

Solver do Excel ®
Capítulo 3.1
Resolvendo Problemas
Usando Solver do Excel
 Considere o Problema
Max z = 3 x1 + 2 x 2
st
x1 + 2 x 2  6
2 x1 + x 2  8
- x1 + x 2  1
x2  2
x1 ; x 2  0
Capítulo 3.1
Usando Solver do Excel
Entrando os Parâmetros do Modelo
Max z = 3 x1 + 2 x 2
st
x1 + 2 x 2  6
2 x1 + x 2  8
- x1 + x 2  1
x2  2
x1 ; x 2  0
Capítulo 3.1
Usando Solver do Excel
Definindo a Célula do Valor Ótimo
Capítulo 3.1
Usando Solver do Excel
Definindo as variáveis de Folga ou Excesso
Capítulo 3.1
Usando Solver do Excel
Iniciando o Solver
Capítulo 3.1
Usando Solver do Excel
Definindo a Célula Ótima (Z)
Capítulo 3.1
Usando Solver do Excel
Definindo as Células Variáveis
Capítulo 3.1
Usando Solver do Excel
Definindo as Restrições
Capítulo 3.1
Usando Solver do Excel
Definindo Condições de Não Negatividade
Capítulo 3.1
Usando Solver do Excel
Condições de Não Negatividade
Capítulo 3.1
Usando Solver do Excel
Definindo o Problema de Programação Linear
Capítulo 3.1
Usando Solver do Excel
Obtendo a Solução
Capítulo 3.1
Usando Solver do Excel
Verificando a Resposta
Capítulo 3.1
Solver do Excel
Relatório de Resposta
Capítulo 3.1
Solver do Excel
Relatório de Sensibilidade
Capítulo 3.1
Solver do Excel
Relatório de Limites
Capítulo 3.1
Aplicações Reais
 Caso do vendedor de FRUTAS
 Caso LCL Motores Ltda.
Capítulo 3.1
O Caso do Vendedor de Frutas
 Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de
frutas para sua região de vendas. Ele necessita
transportar pelo menos 200 caixas de laranja e pelo
menos 100 caixas de pêssegos e no máximo 200 caixas
de tangerinas O vendedor obtêm um lucro por caixa de
20, 10 e 30 reais para laranjas, pêssegos e tangerina,
respectivamente. De que forma ele deverá carregar o
caminhão para obter o lucro máximo?
Capítulo 3.1
O Caso do Vendedor de Frutas
 Hipóteses
 Tudo o que o vendedor levar será vendido.
 Nada estragará no caminho
 Função-objetivo
 Maximizar o lucro
 Max 20x1 + 10x2 + 30x3
Capítulo 3.1
O Caso do Vendedor de Frutas
 Restrições de venda
 Laranjas: x1 > 200
 Pêssegos: x2 > 100
 Tangerinas: x3 < 200
 Restrição de Transporte
 x1 + x2 + x3 < 800
Capítulo 3.1
O Caso do Vendedor de Frutas
Max 20 x1 + 10 x 2 + 30 x 3
s.r.
x1 + x 2 + x 3  800
x1  200
x 2  100
x 3  200
x1 , x 2 , x 3  0
Capítulo 3.1
O Caso do Vendedor de Frutas
Capítulo 3.1
Caso LCL Motores Ltda.
 A LCL Motores Ltda recebeu recentemente R$90.000,00 em pedidos
de seus três tipos de motores. Cada motor necessita de um determinado
número de horas de trabalho no setor de montagem e de acabamento. A
LCL pode terceirizar parte da sua produção. A tabela a seguir resume
essas informações. Modele o Problema para descobrir como distribuir a
produção.
Modelo
Demanda (unid)
Montagem(h/unid)
Acabamento (h/unid)
Produção (R$ )
Terceirizado (R$ )
Capítulo 3.1
1
3000
1
2,5
50
65
2
2500
2
1
90
92
3
500
0,5
4
120
140
Capacidade
6000 h
10000 h
Caso LCL Motores Ltda
 Variáveis de Decisão

F1 – Nº motores do modelo 1 fabricados pela LCL

F2 – Nº motores do modelo 2 fabricados pela LCL

F3 – Nº motores do modelo 3 fabricados pela LCL

T1 – Nº motores do modelo 1 terceirizados pela LCL

T2 – Nº motores do modelo 2 terceirizados pela LCL

T3 – Nº motores do modelo 3 terceirizados pela LCL
Capítulo 3.1
Caso LCL Motores Ltda
 Função-objetivo
Min 50F1 + 90F2 + 120F3 + 65T1 + 92T2 + 140T3
 Restrições de Produção
1F1 + 2 F2 + 0,5F3  6000 (montagem)
2,5F1 + 1F2 + 4 F3  10000 (acabament o)
Capítulo 3.1
Caso LCL Motores Ltda
 Restrições de Demanda
F1 + T1 = 3000 (motor do tipo 1)
F2 + T2 = 2500 (motor do tipo 2)
F3 + T3 = 500
Capítulo 3.1
(motor do tipo 3)
Caso LCL Motores Ltda
O Modelo
Min 50 F1 + 90 F2 + 120 F3 + 65T1 + 92T2 + 140T3
st
1F1 + 2 F2 + 0,5F3  6000 (montagem)
2,5 F1 + 1F2 + 4 F3  10000 (acabament o)
F1 + T1 = 3000 (motor do tipo 1)
F2 + T2 = 2500 (motor do tipo 2)
F3 + T3 = 500
(motor do tipo 3)
F1 ; F2 ; F3 ; T1 ; T2 ; T3  0
Capítulo 3.1
Caso LCL Motores Ltda
Variáveis de Decisão
Função-objetivo
Capítulo 3.1
Caso LCL Motores Ltda
Função-Objetivo
Capítulo 3.1
Caso LCL Motores Ltda
Função-Objetivo (alternativa)
Capítulo 3.1
Caso LCL Motores Ltda
LHS
=B3+B4
=C3+C4
=D3+D4
Capítulo 3.1
Caso LCL Motores Ltda
LHS
=(B13*$B$3)+(C13*$C$3)+(D13*$D$3)
=(B14*$B$3)+(C14*$C$3)+(D14*$D$3)
=SOMARPRODUTO(B13:D13;$B$3:$D$3)
=SOMARPRODUTO (B14:D14;$B$3:$D$3)
Capítulo 3.1
Caso LCL Motores Ltda
Definindo o Modelo
Capítulo 3.1
Caso LCL Motores Ltda
Definindo o Modelo
Capítulo 3.1
Caso LCL Motores Ltda
Resposta
Capítulo 3.1