Univ. de Trás-os-Montes e Alto Douro
Escola de Ciências e Tecnologia
Eng.a Electrotécnica e de Computadores
Álgebra Linear e Geometria Analı́tica
2009–2010 — Primeiro semestre
Prova de avaliação periódica 1 — Tempo: 2 horas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 de Outubro de 2009
Indique todos os cálculos que tiver de efectuar. O cálculo de determinantes deve ser efectuado segundo a definição por
recorrência apresentada em aula; ou usando informação constante nesta prova.
1. Considere as matrizes
·
A=
(a)
(b)
(c)
a
d
b
e
c
f

¸
,
1
P =  −6
1
2
−4
−1
3
−5
3
4
−6
6
5
0
7
6
4
10

7
5 ,
2

10
S= x
−1
3
y
−9
4
z
5
>
−2
t  .
4
5
w
3
Apresente as entradas (1, 4) e (2, 7) da matriz AP .
[10]
Qual é o tipo da matriz SP ? Construa a sua terceira linha.
[10]
Qual é o tipo da matriz AS > ? Construa a sua coluna 4.
·
¸ ·
¸
5 4 9
5 −2 6
(d) [10] Identifique a matriz W tal que −3A + W +
=
.
2 0 15
2
1
0
(e) [10] Construa uma matriz equivalente-por-linhas à matriz P e na forma de escada. Indique a caracterı́stica da
matriz P .
[10]
2. Considere as matrizes


1 0 3
B =  4 7 4 ,
3 7 2
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
[10]
[20]
[10]
[10]
[10]

1
H= 0
0
0
2
0

0
0 ,
−3

0
G= 1
0
1
0
0

0
0 ,
1

1
M = 4
3
0
7
7
3
4
2
1
0
0
0
1
0

0
0 
1
Identifique a inversa da matriz H e verifique que G−1 = G.
Seja B 00 a matriz equivalente-por-linhas à matriz B com a forma de escada reduzida. Construa B 00 .
Se B é invertı́vel, exprima a inversa de B num produto de matrizes elementares.
Construa a matriz equivalente-por-linhas à matriz M e na forma de escada reduzida.
Resolva, matricialmente, a equação HXG = B.
3. Seja A uma matriz quadrada de ordem três. As matrizes elementares






1 0 0
1 0 −3
1 0 0
0  , F3 =  0 1 8  ,
F1 =  0 15 0  , F2 =  0 1
0 0 1
0 0
1
0 0 1

1
F4 =  0
0
0
1
0

0
1 ,
1

1
F5 =  0
0
0
0
1

0
1 
0
são tais que
F1 F2 F3 F4 F5 A = I3 .
(a)
(b)
[10]
[10]
Justifique que A é invertı́vel e explicite a sua inversa.
A partir das matrizes F1 , F2 , F3 , F4 , F5 , construa a matriz A.

4. Considere a matriz complexa,
(a)
(b)
[10]
[10]
9ι̇ι
Q= 1
−2ι̇ι

ιι̇
3 .
2ι̇ι
10
0
5
Calcule o determinante da matriz Q.
Construa a matriz adjunta de Q.
5. O traço de uma matriz quadrada A é a soma das suas entradas diagonais; denota-se por tr(A). Sejam A, B ∈ Mn×n (C).
¡ ¢
(a) [10] Mostre que tr A = tr (A).
¡
¢
(b) [10] Justifique, ou refute, a asserção: tr (B) = tr B > .
6.
[20]
Seja A = [aij ] ∈ Mn×n (K). Mostre que se A é triangular inferior então det(A) é o produto das entradas diagonais
de A, isto é,
det(A) = a11 a22 · · · ann .
7.
[10]
Calcule o determinante da matriz





N =




1
6
0
0
0
0
0
2
0
5
0
0
0
0
3
0
0
4
0
0
0
*******
4
0
0
0
3
0
0
5
0
0
0
0
2
0
6
0
0
0
0
0
1
7
0
0
0
0
0
8





.




Univ. de Trás-os-Montes e Alto Douro
Escola de Ciências e Tecnologia
Eng.a Electrotécnica e de Computadores
Álgebra Linear e Geometria Analı́tica
2009–2010 — Primeiro semestre
Prova de avaliação periódica 1 — Tempo: 2 horas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 de Outubro de 2009
Indique todos os cálculos que tiver de efectuar. O cálculo de determinantes deve ser efectuado segundo a definição por
recorrência apresentada em aula; ou usando informação constante nesta prova.
1. Considere as matrizes
·
A=
(a)
(b)
(c)
a
d
b
e
c
f

¸
,
1
B =  −6
1
2
−4
−1
3
−5
3
4
−6
6
5
0
7
6
4
10

7
5 ,
2

10
E= x
−1
3
y
−9
4
z
5
>
−2
t  .
4
5
w
3
Apresente as entradas (2, 4) e (1, 7) da matriz AB.
[10]
Qual é o tipo da matriz EB? Construa a sua linha 4.
[10]
Qual é o tipo da matriz AE > ? Construa a sua segunda coluna.
·
¸
·
¸
5 8 9
5 5 6
(d) [10] Identifique a matriz F tal que 2A + F −
=−
.
2 1 21
2 1 0
(e) [10] Construa uma matriz equivalente-por-linhas à matriz B e na forma de escada. Indique a caracterı́stica da
matriz B.
[10]
2. Considere as matrizes


1 0 3
M =  4 5 4 ,
3 5 2
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
[10]
[20]
[10]
[10]
[10]

1
G= 0
0
0
2
0

0
0 ,
−3

1
H= 0
0

0
1 ,
0
0
0
1

1
N = 4
3
0
5
5
3
4
2
1
0
0
0
1
0

0
0 
1
Identifique a inversa da matriz G e verifique que H −1 = H.
Seja M 00 a matriz equivalente-por-linhas à matriz M com a forma de escada reduzida. Construa M 00 .
Se M é invertı́vel, exprima a inversa de M num produto de matrizes elementares.
Construa a matriz equivalente-por-linhas à matriz N e na forma de escada reduzida.
Resolva, matricialmente, a equação GXH = M .
3. Seja B uma matriz quadrada de ordem três. As matrizes elementares






1 0
0
1 0 3
1 0 0
F1 =  0 17 0  , F2 =  0 1 0  , F3 =  0 1 −8  ,
0 0
1
0 0 1
0 0 1

1
F4 =  0
0
0
1
1

0
0 ,
1

0
F5 =  1
0
1
0
0

0
0 
1
são tais que
F1 F2 F 3 F4 F5 B = I 3 .
(a)
(b)
[10]
[10]
Justifique que B é invertı́vel e explicite a sua inversa.
A partir das matrizes F1 , F2 , F3 , F4 , F5 , construa a matriz B.

4. Considere a matriz complexa,
(a)
(b)
[10]
[10]
9
P = 1
−2ι̇ι
10
−ι̇ι
5

ιι̇
3 .
2
Calcule o determinante da matriz P .
Construa a matriz adjunta de P .
5. O traço de uma matriz quadrada A é a soma das suas entradas diagonais; denota-se por tr(A). Sejam A, B ∈ Mn×n (C).
¡ ¢
(a) [10] Mostre que tr A = tr (A).
¡
¢
(b) [10] Justifique, ou refute, a asserção: tr (B) = tr B > .
6.
[20]
Seja A = [aij ] ∈ Mn×n (K). Mostre que se A é triangular inferior então det(A) é o produto das entradas diagonais
de A, isto é,
det(A) = a11 a22 · · · ann .
7.
[10]
Calcule o determinante da matriz





R=




1
1
0
0
0
0
0
2
0
2
0
0
0
0
3
0
0
3
0
0
0
*******
4
0
0
0
4
0
0
5
0
0
0
0
6
0
6
0
0
0
0
0
8
7
0
0
0
0
0
7





.



