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MATRIZES
Jair Silvério dos Santos*
1a Lista de Álgebra Linear Aplicada - MAN
1) Sendo A = (aij )3×2 , com aij = 2i − j e B = (bij )2×3 , com bij = i2 + 3j, calcule:
a) 2A − 3B t
b) (B t − 2A)t
2) Dadas as matrizes A = (aij ), de ordem 2 com aij = 2i2 − j e B = (bij )2×2 , com bij = ij , calcule a matriz
X tal que 2X − A + B t = 0.
3) Seja A =
4 2
, encontre: (a) A2 + 3A;
1 3
(b) 2A3 + 3A2 + 4A + 5I2 .


3 0 −4
4) Seja A = 0 3 5 . a) Encontre A−λI3 . b) Encontre todos os valores λ ∈ R tais que det(A−λI3 ) = 0.
0 0 −1
c) Seja λ∗ um valor tal que det(A − λ∗ I3 ) = 0. Encontre todos os elementos u = (x, y, z) ∈ R × R × R tais
que (A − λ∗ I3 )3×3 u3×1 = 03×1 .
5) A afirmação (−A)t = −(At ) verdadeira? Justifique.
6) Uma matriz quadrada A simétricas se A = At , e A é anti-simétrica se se A = −At Mostre que:
(a) se A é uma matriz quadrada então A + At é uma matriz simétrica.
(b) Para toda matriz A, AAt e At A são matrizes simétricas.
(c) Se A é uma matriz quadrada, ento A − At anti-simétrica.
(d) Se A e B são matrizes n × n anti-simétricas, então A + B anti-simétrica. O que podemos dizer sobre o
produto, AB?
(e) Prove que toda matriz quadrada pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica com uma matriz
anti-simétrica.


1 2 3
(f) Aplique o item (d) usando a matriz A = 4 5 6
7 8 9
7) Prove que, para matrizes quadradas A e B de ordem n, AB = BA se, e somente se, (A − B)(A + B) =
A2 − B 2 .
8) Se A = (aij )n×n , o traço de A a soma dos elementos da sua diagonal principal e é denotado por tr(A),
é dado por tr(A) = a11 + a22 + .... + ann . Se A e B são matrizes quadradas de ordem n, prove as seguintes
propriedades do traço:
(a) tr(A + B) = tr(A) + tr(B); (b) tr(αA) = αtr(A), onde α ∈ R; (c) tr(AB) = tr(BA)
* http://dfm.ffclrp.usp.br/∼jair
MATEMÁTICA & NEGÓCIOS
DFM-FFCLRP-USP.