Matemática 2
Pedro Paulo
GEOMETRIA PLAN A VI
1 – CLASSIFICAÇÃO QUANTO AOS
LADOS
Triângulo retângulo: Triângulo que possui um ângulo
de
.
Triângulo escaleno: Possui os três lados diferentes
Figura 5 – triângulo retângulo
Figura 1 – triângulo escaleno
Triângulo Isósceles: Possui pelo menos dois lados
iguais
Triângulo obtusângulo: Triângulo que possui um
ângulo obtuso (maior do que
).
Figura 6 – triângulo obtusângulo
Figura 2 – triângulo isósceles
3 – DESIGUALDADE TRIANGULAR
Chamamos o lado diferente do triângulo
isósceles de base.
Muito importante: os ângulos da base de todo
triângulo isósceles possuem mesma medida.
Triângulo equilátero: Possui os três lados iguais
Uma importante desigualdade vale para todos os
triângulos, a desigualdade triangular. Ela relaciona as
medidas dos lados do triângulo.
Na prática, ela diz o seguinte: nenhum lado do
triângulo pode ser maior que a soma dos outros dois.
Você consegue ver o porquê disso?
Imagine que você está no ponto do triângulo
abaixo e quer ir até o ponto . Você tem duas opções
de caminho: ou vai caminhando pelo lado
ou
caminha por e . Qual a opção você desejaria?!
Figura 3 – triângulo isósceles
Muito importante:Todo triângulo eqüilátero possui os
três ângulos iguais a
.
Figura 7 – caminhos do ponto
2 – CLASSIFICAÇÃO QUANTO AOS
ÂNGULOS
Triângulo acutângulo: Triângulo que possui os três
ângulos agudos (menores que
).
ao ponto
Naturalmente a primeira! O menor caminho
entre dois pontos é sempre uma reta. Você andaria
mais tomando o segundo caminho. Matematicamente,
podemos descrever as relações abaixo em qualquer
triângulo de lados , e .
Figura 4 – triângulo acutângulo
Figura 8 – triângulo de lados ,
|
CASD Vestibulares
Geometria
e
|
1
Nível II
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
9. Na figura,
Nível I
1. Determine
nos casos abaixo:
a)
. Então:
a)
b)
c)
d)
e)
b)
10. Na figura, sendo
congruente a
,
congruente a
, calcule a medida do ângulo ̂ ,
dado ̂
.
2.
e
triângulo isósceles
.
são dois lados de um
. Determinar a medida do lado
3. Determinar a medida do maior lado de um triângulo,
sabendo que é expressa por um número inteiro de
centímetros e que os outros dois lados medem
e
.
4. Dois lados de um triângulo medem
e
.
Quanto poderá medir o outro lado sabendo que é
múltiplo de , em
?
11. Na figura abaixo, o triângulo
é isósceles e
é a bissetriz do ângulo de vértice . A medida de é:
5. Dois lados de um triângulo medem
e
.
Determine os possíveis valores para a medida do
terceiro lado, sabendo que é expressa por um número
inteiro par de centímetros.
6. Na figura, o triângulo
é equilátero e triângulo
é isósceles. Calcule o valor de
.
a)
b)
c)
d)
e)
12. (UFES - 01) Na figura, , , e são pontos de
uma circunferência, a corda
é bissetriz do ângulo
̂ e as cordas
e
têm o mesmo comprimento.
Se o ângulo ̂ mede
, a medida do ângulo
̂ é
7. Na figura
a)
. O ângulo
b)
c)
d)
̂
mede:
e)
8. Num triângulo equilátero
, de
de lado,
traça-se
paralelo ao lado
, de modo que ele se
decomponha num quadrilátero e num novo triângulo. O
valor de
para o qual o perímetro do quadrilátero
seja igual ao do triângulo
é:
a)
2
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
e)
e)
Geometria
CASD Vestibulares
13. Na figura,
é um quadrado e
triângulo equilátero. A medida do ângulo
graus, é:
é um
̂ , em
19. (FUVEST – 01) Na figura abaixo, tem-se que
,
e
. Se o ângulo ̂ mede
̂
, então o ângulo
mede:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
14. Sabendo que
é um quadrado e que o
triângulo
é equilátero, calcule a medida do ângulo
.
15. Na figura,
é um quadrado,
e
são
triângulos equiláteros e
é um segmento de reta. A
medida de do ângulo assinalado é:
20. (FUVEST - 09) Na figura, ,
e
são pontos
distintos da circunferência de centro , e o ponto é
exterior a ela. Além disso,
, , , e , , , são colineares;
;
mede radianos.
Nessas condições, a medida de
igual a:
a)
d)
b)
e)
21. No triângulo
pontos dos lados
,
a)
b)
c)
d)
e)
16. Atividade Proposta nº 4, Geometria Plana VI
17. Atividade Proposta nº 4, Geometria Plana V
c)
e
e
̂ , em radianos, é
da figura, em que
e
, respectivamente,
̂
. Então,
são
,
.
Nível III
18. Na figura,
ângulo ̂ mede
a)
b)
CASD Vestibulares
,
e
. Se o
, então o ângulo ̂ mede:
c)
d)
22. Determine a medida do ângulo do vértice
do
triângulo isósceles
, sabendo que os segmentos
,
,
,
e
são congruentes.
e)
Geometria
3
8. A figura do problema é a seguinte:
DICAS E FATOS QUE AJUDAM
1. a) Como a base é
,
, logo
b) Os ângulos da base de um triângulo isósceles
possuem a mesma medida, logo
2. Como o triângulo
é isósceles,
. Use a desigualdade triangular
3. Chame o lado que falta de
triangular:
ou
e use a desigualdade
4. Chame o lado que falta de e use a desigualdade
triangular para achar os possíveis valores para :
Dentre esses valores, quais são múltiplos de ?
5. Chame o lado que falta de e use a desigualdade
triangular para achar os possíveis valores para :
é um triângulo equilátero de lado , logo todos os
seus ângulos são iguais a
. Como
é paralelo ao
̂
̂
̂
̂
lado
,
e
.
Como todos os ângulos do triângulo
são iguais a
,
é um triângulo equilátero.
Seja
. Logo
. Então:
Dentre esses valores, quais são inteiros pares?
6.
é um triângulo isósceles, logo ̂
̂
é um triângulo isósceles, logo ̂
̂
̂
Perímetro do triângulo
̂
̂
̂
̂
7.
.
. Então:
Perímetro do quadrilátero
̂
̂
:
̂
Como os dois perímetros são iguais:
̂
é um ângulo externo ao triângulo
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
9.
̂
̂
̂
é um ângulo externo ao triângulo
̂
̂
̂
ATENÇÂO:
!
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
NÃO é um ângulo externo ao triângulo
̂
̂
Geometria
̂
, logo
, logo
4
:
̂
̂
̂
CASD Vestibulares
̂ .
̂
10. Seja
Além disso,
̂
, logo ̂
. Seja
̂
̂
̂
é um ângulo externo ao triângulo
̂
̂
̂
, logo
̂
̂
̂
̂
̂
Seja
.
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
11. Calcule o arco ̂ , lembrando que
inscrito:
̂
Note que
̂
̂
̂
̂
.
̂
̂
Então
. Seja
̂
̂
̂
Seja
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
. Então, tem-se:
̂
̂
̂
̂
̂
é ângulo
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂ . Seja
e
Seja
,
̂
. Então
. Então:
̂
Note que
é ângulo inscrito e enxerga o arco ̂ :
̂
̂
̂
̂
̂
, logo
̂
̂
CASD Vestibulares
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂ . Então:
é bissetriz do ângulo
̂
15. Como
é um quadrado, ̂
. Como
é um triângulo equilátero, ̂
. Como
é um triângulo equilátero, ̂
.Então:
̂
12. Calcule o arco ̂ , lembrando que
inscrito:
corta
̂
̂
̂
̂
, logo
o ponto em que
̂
̂ . Então:
é bissetriz do ângulo
̂
e
̂ . Então:
é ângulo
̂
. Como
. Então:
é ângulo inscrito e enxerga o arco ̂ :
̂
̂
̂
Seja
̂
̂
14. Como
é um quadrado,
é um triângulo equilátero, ̂
̂ é um ângulo externo ao triângulo
e
̂ . Então:
̂
̂
. Como
. Então:
̂
Então
. Seja
̂
̂
̂
13. Como
é um quadrado,
é um triângulo equilátero, ̂
̂
Seja
o ponto em que
̂
̂
̂
corta
̂
. Então, tem-se:
̂
̂
é um ângulo externo ao triângulo
̂
̂
Geometria
̂
5
̂ .
16. Seja
̂
̂
̂
̂
̂ . Então:
18. Seja
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
17.
̂
̂
̂
̂ . Então:
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
19. Seja
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂ . Então:
Seja
̂
̂ .
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂ . Então:
Seja
̂
̂
Seja
̂
̂
̂
̂
̂ . Além disso,
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂ .
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂ . Então:
Seja
Logo o triângulo
̂
é equilátero. Então:
̂
̂
̂
̂
̂
̂
Além disso, tem-se que
é um diâmetro
̂
̂ é uma semicircunferência
̂
̂ é ângulo inscrito e enxerga o arco ̂ :
Note que
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
6
Geometria
CASD Vestibulares
̂ . Então:
20. Seja
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
ou
̂
:
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
GABARITO
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
A soma dos ângulos de um triângulo é
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂ é um ângulo externo ao triângulo
é um ângulo externo ao triângulo
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂ é um ângulo externo ao triângulo
̂ é um ângulo externo ao triângulo
̂
̂
1. a)
̂
b)
2.
21.
̂
̂
̂
̂
3. O maior lado do triângulo é
̂
̂
̂
̂
5. O terceiro lado poderá medir
̂ . Então:
Seja
̂
̂
̂
̂
̂
̂
ou
7. B
̂ é um ângulo externo ao triângulo
̂
ou
6.
̂
̂
4. O outro lado poderá medir
8. E
̂
9. A
10.
̂
̂
11. D
̂
12. C
̂
̂
13. D
̂
14.
15.
16. E
̂ . Então:
22. Seja
̂
̂
17. E
̂
18. D
é um ângulo externo ao triângulo
̂
̂
̂
̂
̂
CASD Vestibulares
̂
̂
19. A
20. C
22. O ângulo do vértice
Geometria
21. C
é
7