Estatística
Probabilidades
Probabilidades
Eventos: A, B são EXCLUDENTES ?
• NÃO:
• SIM:
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
P( A  B)  P( A)  P( B)
P( A  B)  0
Eventos: A, B são INDEPENDENTES ?
• NÃO: P( A  B)  P( B / A)  P( A)  P( A / B)  P( B)
• SIM: P( A  B)  P( B)  P( A)
P( B / A)  P( B) P( A / B)  P( A)
Uma pesquisa realizada entre 1000 consumidores, registrou que 650 deles trabalham com
cartões de crédito da bandeira MasterCard, que 550 trabalham com cartões de crédito da
bandeira VISA e que 200 trabalham com cartões de crédito de ambas as bandeiras. Qual a
probabilidade de ao escolhermos deste grupo uma pessoa que utiliza a bandeira VISA, ser
também um dos consumidores que utilizam cartões de crédito da bandeira MasterCard?
Evento A
Pr[A  B] 200 4
Pr[A | B] 


Pr[B]
550 11
Um meteorologista acerta 80% dos dias em que chove e 90% dos dias em
que faz bom tempo. Chove 10% dos dias. Tendo havido previsão de chuva,
qual a probabilidade de chover?
PC: meteorologista previu chuva
S: dia de sol
Pr[PC/C]=0,8
PS: meteorologista previu sol
C: dia de chuva
Pr[PS/S]=0,9
Pr[C/PC]=?
Pr[C]=0,1
Pr[C | PC] 
Pr[S]=0,9
0,8 * 0,1
Pr[PC  C ] Pr[PC | C ] Pr[C ] 0,8 * 0,1



 0,4705
Pr[PC]
0,17
P r[PC]
Pr[PC]
Pr[PC]  Pr[PC  C ]  Pr[PC  S ]  Pr[PC | C ] Pr[C ]  Pr[PC | S ] Pr[S ]
 Pr[PC | C ] Pr[C ]  {1  Pr[PS | S ]}Pr[S ] =0,8*0,1+(1-0,9)*0,9=0,17
Dois por cento dos Tablets recebidos pelo Wal-Mart são defeituosos. Um teste realizado
no Wal-Mart fornece 2% de falso bom e 5% de falso defeituoso. As unidades reprovadas
no teste são vendidas para uma empresa de recuperação, que recupera 90% das
unidades defeituosas e não estraga as unidades boas. Um comprador adquire um Tablet
da empresa de recuperação. Ele não tem defeito. Qual a probabilidade da unidade
adquirida ter sido uma unidade defeituosa que foi recuperada?
0,02
D
0,02
0,98
0,98
B
0,05
A
R
UFB
Dois por cento dos Tablets recebidos pelo Wal-Mart são defeituosos. Um teste realizado
no Wal-Mart fornece 2% de falso bom e 5% de falso defeituoso. As unidades reprovadas
no teste são vendidas para uma empresa de recuperação, que recupera 90% das
unidades defeituosas e não estraga as unidades boas. Um comprador adquire um Tablet
da empresa de recuperação. Ele não tem defeito. Qual a probabilidade da unidade
adquirida ter sido uma unidade defeituosa que foi recuperada?
0,02
D
0,02
0,98
0,98
B
0,05
A
R
P[ D |UFB]
UFB
0,02
D
0,02
0,98
B
0,98
A
R
P[ D |UFB]
UFB
0,05
P[ D | UFB]  P[UFB  D] / P[UFB]
UFB  (UFB  D)U (UFB  B)
P(UFB  D)  P(UFB | D) P( D  R) 
 P(UFB | D) P( R | D) P( D)  0,90* 0,98* 0,02
P(UFB  B)  P(UFB | B) P( B  R) 
 P(UFB | B) P( R | B) P( B)  1,0 * 0,05* 0,98
Teorema de Bayes
Considere a partição B1, B2 , ... , Bk :
P(Bi /A) = ?
B2
A
Bi
P(Bi /A) =

P(Bi  A)
P(Bi  A)

P(A)
P(A  B1) + ... + P(A  Bk )
P(A/Bi )  P(Bi )
P(A/B1)  P(B1) + ... + P(A/Bk )  P(Bk )
BK
ExeMPLO: Peças são produzidas por 3 fábricas (1,2,3) e armazenadas
num único depósito
P( B ) 
1
2
1
P ( B3 ) 
4
1
Fábrica 1 produz o dobro da Fábrica 2
P ( B2 ) 
Fábrica 2 produz igual a Fábrica 3
1
4
Bi={peça Fábrica i} , i =1, 2
Fábricas 1 e 2 produzem 2%de peças defeituosas
Fábrica 3 produz 4% de peças defeituosas
A={peça defeituosa}
P ( A / B1 )  0,02
P ( A / B3 )  0,04
P ( A / B2 )  0,02
Uma peça é retirada do depósito , ao acaso. Sabendo-se que a peça é defeituosa , qual a
probabilidade que seja da Fábrica 1?
P( B / A)  ?
1
P( B1 / A) 
P( A / B1 )  P( B1 )
P( A / B1 )  P( B1 )  P( A / B2 )  P( B2 )  P( A / B3 )  P( B3 )
P( B1 / A) 
(0,02)  (1/ 2)
 0,4
(0,02)  (1/ 2)  (0,02)  (1/ 4)  (0,04)  (1 / 4)