Universidade Guarulhos – Guarulhos - 10/02/2011
AULA 2
Sistemas de numeração
Números Decimais
Os números que utilizamos procedem dos fenícios e posteriormente aperfeiçoados
pelos árabes. Os números arábicos obedecem a escala decimal, ou seja, de 0 à 9.
Depois da invenção do Zero, os números agregados ao Zero poderiam crescer
indefinidamente.
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21...
Assim o número 1967deve ser lido:
+ 1000
+ 900
+ 60
+7
1967
ou 1 x 10³ + 9 x 10² + 6 x 10¹ + 7 x 10º = 1967
1 x 1000 +
9 x 100 +
6 x 10 +
7x
1
1967
Sistema binário
Para representar os números no sistema binário devemos seguir a mesma lógica dos
logs de base binária, ou seja, base 2.
Logo a tabela abaixo demonstra a evolução dos números.
Decimal Binário
0
00
1
01
2
10
3
11
Como a base é 2, o máximo de combinações será 4, por que 2² = 4. 0,1,2,3. Para o
numeral 4, 2² não basta, é preciso um número maior, então, 2³ = 8, de 0 à 7.
Decimal Binário
0
00
1
01
2
10
3
11
4
100
5
101
6
110
7
111
Elabore o número 8, 16, 32, 33, 34 e 35 em binário.
O número 1968 seria representado desta forma:
111101100000
Por que:
Prof. Erwin Alexander Uhlmann – Instituto Siegen - 20
Universidade Guarulhos – Guarulhos - 10/02/2011
10000000000
1 x 210
1000000000
1 x 29
100000000
1 x 28
10000000
1 x 27
0000000
0 x 26
100000
1 x 25
10000
1 x 24
0000
0 x 23
000
0 x 22
00
0 x 21
0
0 x 20
11110110000
Veja outro exemplo, com o número 1976:
1024
512
256
128
0
32
16
0
0
0
0
1968
10000000000
1000000000
100000000
10000000
0000000
100000
10000
1000
000
00
0
11110111000
Por fim, o número 2010:
1x
1x
1x
1x
0x
1x
1x
1x
0x
0x
0x
210
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
1024
512
256
128
0
32
16
8
0
0
0
1976
10000000000
1000000000
100000000
10000000
1000000
000000
10000
1000
000
10
0
11111011010
1x
1x
1x
1x
1x
0x
1x
1x
0x
0x
1x
210
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
1024
512
256
128
64
32
16
8
4
2
1
2010
Sistema Hexadecimal
Decimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Binário
0000
0001
0010
0011
0100
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
Hexadecimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
Prof. Erwin Alexander Uhlmann – Instituto Siegen - 21
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14
1110
E
15
1111
F
16
10000
10
17...
10001
11
Para se criar combinações possíveis para que se possibilite expressar os números de 0 a
9, são necessários 4 bits, no entanto por meio da análise combinatória, 4 dígitos
combinados entre si, permitem até 16 combinações diferentes. Como existem apenas
10 dígitos unitários, os outros 6 foram expressos pelo sistema hexadecimal como A, B, C,
D, E e F.
Sistema Octal
Decimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Binário
000
001
010
011
100
101
110
111
1000
1001
1010
Octal
0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
Mas que curioso...
Em binário:
Decimal
1
2
4
8
16
32
64
128
Por quê?
Binário
01
10
100
1000
10000
100000
1000000
10000000
Em Octal:
Decimal Octal
1
01
8
10
16
20
32
40
64
100
128
200
Em Hexadecimal:
Decimal Binário
1
01
8
08
16
10
32
20
64
40
128
80
Cálculos com binários
Soma
A soma é simples.
Vamos pensar nos numerais do sistema decimal conhecido.
1+0=0 o inverso também se aplica 0+1=1
Para 1+1=2, o resultado 2, deve ser expresso em binário, tendo em vista que, desculpe,
digitei errado, fiz tudo em binário mesmo... SIM! São Iguais!!!
Binário
1+0=0, 0+1=1, 0+0=0 e 1+1=10
Então...
Prof. Erwin Alexander Uhlmann – Instituto Siegen - 22
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Decimal
1
+1
2
23
+15
38
Binário
0001
0001+
0010
10111
1111+
100110
Decimal
8
+4
12
321
+123
444
Binário
1000
0100+
1100
101000001
+1111011
110111100
Subtração
A subtração já um pouco diferente.
1-1, ou seja, (+1) –(+1) = 0, 1-0 = 1, 0-1, apesar de não ser aplicável é contabilizável
com números de maior quantidade de bits.
Decimal
1
-1
0
23
-15
8
*Como foi feito?
Binário
0001
00010000
10111
11111000
Decimal
8
-4
4
321
-123
198
Binário
1000*
01000100
101000001
-1111011
11000110
Da esquerda para a direita: 0-0=0, 0-0=0, 0-1 – roube o 1 da casa à esquerda e passe à
0, então passa a ficar 1-1 na terceira casa da direita para a esquerda e a quarta casa,
que era 1-0, o 1 foi emprestado para a terceira casa, pois era 0-1 e agora é 1-1, então
a quarta ficou0-0=0.
Multiplicação
Também semelhante ao sistema decimal, porém a somatória segue o sistema binário.
A tabela de multiplicação é: 0 x 0 = 0, 0 x 1 = 0, 1 x 0 = 0 e 1 x 1 = 1.
Decimal
1
x1
1
23
x15
345
*Como assim???
Binário
Decimal
Binário
0001
0001x
0001
10111
1111x
101011001
8
x4
4
321
x123
39483
1000*
0100x
100000
101000001
x1111011
1001101000111011
1000
0100 x
0000
0000+
1000 ++
0000+++
0100000
Divisão
Semelhante ao sistema decimal, mudando somente que as multiplicações e
subtrações internas à divisão sejam em binário.
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Decimal
Binário
1
0001
÷1
0001÷
1
0001
23
10111
÷15
1111÷
1
0001
*Vai explicar ou não???
Decimal
8
÷4
4
321
÷123
2
Binário
1000*
0100÷
0010
101000001
÷1111011
0010
1000|0100, ou seja, 1000|0100
0010
Ok, mas eu não entendi!
34÷6→100010|110
110 101
1010
110
100
Então vamos exercitar, vista seu colant, coloque uma faixa felpuda na cabeça e mãos
à obra!
Arme e efetue!
Some todos os dígitos do seu R.A.
Multiplique pelo dia de hoje.
Subtraia pelo R.A. do seu colega do lado esquerdo.
Divida pelo número de alunos da sala, presentes.
Mas professor, e se for um número com vírgula?
Para os números fracionários é bem simples, multiplique por 2 e anote a parte inteira,
sendo 0 ou 1, veja:
Converta o número fracionário 0,549843 para binário.
0, 549843 x 2 = 1,099686 → Armazene o 1 e substitua-o por 0 → 1;
0,099686 x 2 = 0,199372 → 0;
0,199372 x 2 = 0,398744 → 0;
0,398744 x 2 = 0,797488 → 0;
0,797488 x 2 = 1,594976 → 1;
0,594976 x 2 = 1,189952 → 1;
0,189952 x 2 = 0,379904 → 0;
...
A representação deve adicionar o 0. antes do número, assim: 0.
10000110001111010011
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