EEL7011 – Eletricidade Básica – Aula 3 EEL/CTC/UFSC Introdução Teórica Aula 3: Leis de Kirchhoff Gustav Kirchhoff Gustav Kirchhoff (1824-­‐1887) foi um físico alemão que juntamente com o químico alemão Robert Wilhelm Bunsen, desenvolveu o espectroscópio moderno para análise química. Em 1860, eles descobriram o césio e rubídio por espectroscopia. Ele liderou a pesquisa importante na transferência de calor e fez duas regras, atualmente conhecidas como leis de Kirchhoff (1845) no que diz respeito à distribuição de corrente em circuitos elétricos. 1ª Lei de Kirchhoff Conhecida como a Lei das correntes de Kirchhoff ou Kirchhoff Current Law (KCL): • Em um nó, a soma das correntes elétricas que entram é igual à soma das correntes que saem (não há acumulação de carga). Por exemplo: Nó 1
i1
R1
KCL1
i4
R4
i1 + i2 + i3 = i4 + i5
i2
R2
i1 + i2 + i3 − i4 − i5 = 0
i5
R5
i3
R3
N
!
Para um nó com N ramos: ij = 0
j=0
2ª Lei de Kirchhoff Conhecida como a Lei das tensões de Kirchhoff ou Kirchhoff Voltage Law (KVL): • A soma algébrica das diferenças de potencial elétrico em um percurso fechado ou malha é nula. 1/8 EEL7011 – Eletricidade Básica – Aula 3 EEL/CTC/UFSC Por exemplo: +
M
!
Vj = 0
Para uma malha com M diferenças de potencial: j=0
Exemplo de resolução de circuitos resistivos aplicando as leis de Kirchhoff e de Ohm: i1
R1
2
Vf = 5.5V
R1 = 1kΩ
R2
R2 = 2kΩ
A
R3 = 3kΩ
i2
R3
i3
1
R4 = 4kΩ
3
if
R4
Vf
B
_
C
i4
4
Para calcular todas as intensidades e tensões do circuito apresentado o primeiro passo é calcular a resistência equivalente do circuito e a intensidade if aplicando a lei de Ohm: if
+
REq = (R1 + R2 )!R3 + R4 ⇒ REq =
REq
Vf
if =
3
+ 4 = 5.5kΩ
2
5.5
= 1mA
5.5
_
O seguinte passo é o calculo de i4 aplicando a lei de Kirchhoff das correntes no nó 4 (KCL4): KCL4 ⇒ i4 = if = 1mA
2/8 EEL7011 – Eletricidade Básica – Aula 3 EEL/CTC/UFSC Podemos então calcular a tensão V13 aplicando a lei de Kirchhoff na malha B (KVLB): Podemos então calcular a intensidade i3 se aplico a lei de Ohm: KV LB ⇒ Vf = V13 + V34 = V13 + i4 R4 ⇒ V13 = 1.5V
V13 = i3 R3 ⇒ i3 = 0.5mA A partir de KVLB calculo V34 Vf − V13 = V34 5.5V − 1.5V = V34 ⇒ V34 = 4V Vf − V13 = V34 5.5V − 1.5V = V34 ⇒ V34 = 4V Aplico agora KCL no nó 3: KCL3 ⇒ i2 + i3 = i4 i2 = 1mA − 0.5mA = 0.5mA Para o cálculo de i1 aplico KCL no nó 2: KCL2 ⇒ i1 = i2 i1 = 0.5mA Por último para calcular as tensões V23 e V12 aplico KVL na malha 1: KV LA ⇒ V12 + V23 = V13 ⇒ i1 R1 + V23 = 1.5V ⇒ V23 = 0.5V V12 = 1V Divisor de tensão A regra do divisor de tensão é uma técnica de projeto utilizada para criar uma tensão elétrica que seja proporcional à outra tensão. Exemplo para um circuito com duas resistências: V12
+
_
2
1
+
R1
+
V12 = iR1
R2
Vf
_
V23 = iR2
V23
A
_
3
Igualo as intensidades e isolo V12: V12
V13
R1
=
⇒ V12 =
V23
R2
R2
R1
Aplico a lei de Kirchhoff na malha A: V13 = V12 + V23 e substituo na equação anterior para obter V23: 3/8 EEL7011 – Eletricidade Básica – Aula 3 Vf = (
EEL/CTC/UFSC R1
R2
+ 1)V23 ⇒ V23 =
Vf
R2
R1 + R2 Se quiser obter V13 igualo as intensidades, mas isolando desta vez V23: V12
V13
R2
=
⇒ V23 =
V12
R1
R2
R1
Vf = (
R2
R1
+ 1)V12 ⇒ V12 =
Vf
R1
R1 + R2 Se levamos esta regra para um circuito com N resistências: +
V12
_
V(N-1)N
_
+
1
+
+
R1
RN
Vf
_
N
VN(N+1)
A
_
N+1
A tensão entre os nós N e N+1 e igual a: RN
VN (N +1) = !N
i=1 Ri
Vf
4/8 EEL7011 – Eletricidade Básica – Aula 3 EEL/CTC/UFSC Roteiro laboratório Aula 3: Leis de Kirchhoff Objetivos •
•
•
•
Introdução à análise de circuitos resistivos Praticar medidas de tensões e correntes em circuitos resistivos Verificar experimentalmente as Leis de Kirchhoff Projetar um circuito usando a regra do divisor de tensão Lista de material •
•
Resistores R1 = 1,5kΩ, R2 = 30kΩ, R3 = 7,5kΩ e R4 = 9,1kΩ Fonte de tensão DC, protoboard, multímetro, cabos e fios diversos Roteiro do experimento 1) Considere o circuito abaixo. Assuma Vf = 5V. a) Identifique no diagrama acima todos os nós do circuito (A, B, C, D) e enuncie a Lei de Kirchhoff das Correntes para cada nó: b) Identifique no diagrama acima todas as malhas do circuito (1, 2, 3) e enuncie a Lei de Kirchhoff das Tensões para cada malha: c) Enuncie a Lei de Ohm para todos os resistores do circuito: De agora em diante, sempre que for registrar grandezas elétricas, utilize os prefixos apropriados para escrever os valores em termos de centenas, dezenas ou unidades. Por exemplo: 0,18 V è 180 mV; 7200 Ω è 7,2 kΩ; 0,042·10-­‐3 A è 42 µA d) Calcule a resistência equivalente do circuito. e) Usando a Lei de Ohm e as Leis de Kirchhoff, calcule todas as tensões e correntes no circuito, preenchendo os valores teóricos da tabela abaixo. Proceda de maneira sequencial, determinando uma nova grandeza a cada nova equação utilizada. Por exemplo, a Lei de Ohm aplicada a Req nos permite determinar If. Em seguida, a Lei de Kirchhoff das Correntes para o nó A nos permite determinar I1, e assim por diante. DICA: Sempre que um valor medido não estiver próximo do valor teórico (assumindo que este foi calculado corretamente), significa que houve erro na medição ou na montagem do circuito. Alguns procedimentos que podem ser usados para verificar se a montagem está correta incluem: 5/8 EEL7011 – Eletricidade Básica – Aula 3 •
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•
EEL/CTC/UFSC Verificar a resistência equivalente do circuito (com a fonte desconectada); Verificar a continuidade do circuito (com a fonte desligada); Verificar se há tensão nos terminais da fonte e nos terminais dos resistores. f) Monte o circuito na protoboard e meça sua resistência equivalente Req (vista pelos terminais da fonte), com a fonte desconectada. Preencha o valor encontrado na tabela 1. Caso o valor esteja discrepante do encontrado teoricamente, significa que houve erro na montagem. g) Continue preenchendo a tabela 1, medindo primeiramente as tensões, e em seguida as correntes. Lembre que o amperímetro deve ser conectado em série. Utilize sempre a escala que proporciona maior precisão para cada medida. Caso algum valor medido se mostre muito discrepante do valor teórico, refaça sua medição. h) Calcule a potência dissipada em cada resistor e preencha a tabela 2. Os valores de resistores comerciais mais comuns (série EIA E24) são listados na tabela a seguir: 10 22 47 11 24 51 12 27 56 13 30 62 15 33 68 16 36 75 18 39 82 20 43 91 Para obter os demais valores, multiplique por potências de 10. Ex: 4,7Ω, 470Ω, 47kΩ, etc. 2) Utilizando uma fonte de tensão Vf = 15V e qualquer quantidade de resistores comerciais (ver tabela acima), deseja-­‐se projetar um circuito em que se observe uma tensão de 3V entre dois pontos quaisquer. O circuito mais simples que permite satisfazer esses requerimentos está mostrado abaixo, o qual é conhecido como divisor de tensão. Calcule V1 e V2 em função de Vf e os resistores R1 e R2. a) Determine matematicamente qual deve ser a relação entre R1 e R2 para que V1 = 3V. b) Utilizando apenas resistores comerciais (possivelmente em associação), dê um exemplo de como obter resistências R1 e R2 satisfazendo a relação da Questão 2.a). c) (OPCIONAL.) Agora, resolva o problema usando apenas 2 dos 4 resistores fornecidos na lista de material. Em seguida, monte o circuito e meça os valores de V1 e V2. 6/8 EEL7011 – Eletricidade Básica – Aula 3 EEL/CTC/UFSC Aluno(a): ______________________________________________________. Turma: _________________________ Matrícula: _______________________ Data: _____/_____/__________ Nota: ___________________________ Questão 1.a)
i)
Nó A: 𝐼! + −𝐼! = 0 ou 𝐼! = 𝐼! ii) Nó B: ______________________________________ ou ___________________________________ iii) Nó C: ______________________________________ ou ___________________________________ iv) Nó D: ______________________________________ ou ___________________________________ ou Questão 1.b)
i)
Malha 1: 𝑉! + 𝑉! + −𝑉! = 0 𝑉! = 𝑉! + 𝑉! ii) Malha 2: ______________________________________ ou ___________________________________ iii) Malha 3: ______________________________________ ou __________________________________ Questão 1.c)
i)
R1: 𝑉! = 𝑅! 𝐼! ii) R2: __________________________ iii) R3: _____________________________ iv) R4: ___________________________ Questão 1.d)
𝑅!" = 𝑅! + (𝑅! //(𝑅! + 𝑅! )) = Tabela 1
Equação Valor teórico Valor medido Escala Req 𝑅!" = 𝑅! + (𝑅! //(𝑅! + 𝑅! )) Vf — 5 V V1 V2 V3 V4 If 𝐼! = 𝑉! /𝑅!" I1 𝐼! = 𝐼! I2 I3 I4 7/8 EEL7011 – Eletricidade Básica – Aula 3 EEL/CTC/UFSC Tabela 2
PR1 PR2 PR3 PR4 Questão 2
V1 = V2 = Questão 2.a)
Questão 2.b)
Questão 2.c)
R1 = _______________ R2 = _______________ V1 = _______________ V2 = _______________ Questão de preparação
Determine o valor da corrente I para os circuitos abaixo. Comente. 8/8