PROF. DR. JORGE L. P. FELIX
UNIPAMPA - BAGÉ
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS (RPM)
TEMA: DESIGUALDADES E INTERVALOS
1) Resolver:
( x  3)( x  4)
0.
( x  1)( x  3)
( x  3)( x  4)
e chama-se sentido positivo  0 , então, EA  0 seria
( x  1)( x  3)
expressão algébrica positiva. Chama-se ( x  3) e os outros termos ou fatores. A seguir o algoritmo de solução.
Sol. Chama-se EA = expressão algébrica=
a) Quando EA  0 , analisamos os sinais de cada termo e que cada termo tenha coeficiente positivo em x .
b) Calcule as raízes de cada termo: ( x  3)  0  x  3 ; ( x  4)  0  x  4 ; ( x  1)  0  x  1 ;
( x  3)  0  x  3 .
c) Colocar as raízes numa reta real. Marcar as raízes do numerador com bolinha fechada se EA  0 e com bolinha
aberta das raízes do denominador:
d) Colocar os sinais alternados de esquerda a direita iniciando com o sinal +:
e) Marcar os intervalos que tem sinais + porque EA  0 :
f) A solução da desigualdade da questão seria a união dos intervalos marcados: x  (, 4]  (3,1)  [3, )
g) Verifique sua resposta, escolhendo um numero de cada intervalo da solução e colocar na desigualdade da
questão:
x  5  (, 4]:
2) Resolver
(5  3)(5  4) 8
(0  3)(0  4) 12
  0 (V); x  0  (3,1) :

 4  0 (V), etc.
(5  1)(5  3) 12
(0  1)(0  3)
3
x4
0
(2  x)( x  5)
Sol. Seguindo o algoritmo, vemos o termo (2  x) tem coeficiente negativo para x , multiplicando por (-1) em
ambos os membros da desigualdade e mude o sentido da desigualdade (porque?):
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(1) 
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x4
x4
 (1)  0 
 0 . Usando a reta real e regra dos sinais, a solução seria
(2  x)( x  5)
( x  2)( x  5)
x  (, 5)  (2, 4) . Verifique.
3) Resolver
8
0
x 4
2
Sol. Lembrando as regras de sinais de quocientes,




 0 ,  0 ,  0 ,  0 . Como a desigualdade é negativa,





 0 , devido a que o numero 8, já é positivo no numerador, então necessariamente o denominador

seria negativo estritamente, ou seja, x 2  4  0 , agora só resolver esta desigualdade.
escolhemos
 2  x  2 (Solução)
x2  4  0  ( x  2)( x  2)  0 
Verifique.
4) Resolver x 2  10 x  21
Sol. x2  10 x  21  x2  10 x  21  0 . Trata-se de uma quadrática positiva, então procurando as raízes.
Separadamente resolvemos x2  10 x  21  0 , por Baskhara, temos x  3 e x  7 . Na reta real, marcamos os
intervalos de sinais positivos e as raízes com bolinhas fechadas,
solução é x  (,3]  [7, ) .
. A
5) Resolver x3  3x2  10 x  24  0
Sol. Trata-se de EA cúbica completa. Temos que calcular as raízes mediante o método de Ruffini. Determine os
divisores de 24=  1,  2,  4,  3. Escolha uma delas. Escolha +2 e colocar na primeira coluna. Desce o coeficiente
1. O divisor 2 multiplica a 1, dá 2, colocar na segunda linha debaixo de -3, logo somar 2+(-3)=-1 e o colocar debaixo.
Seguindo: 2  (-1) colocar debaixo de -10, logo somar -2+(-10)=-12 debaixo, 2  (-12)=-24 somar com 24 dá 0, deu
resto zero. Nesse caso x =2 é uma raiz. No mesmo procedimento com os novos coeficientes na situação de analise,
ver tabela abaixo. Até terminar com uma linha de 1 e 0.
Raízes
1
2
1
-3
1
4
1
Coeficientes
-3
2
-1
-3
-4
4
0
-10
-2
-12
12
0
24
-24
0
Situação
Cúbica
Quadrática
Linear
Pare
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As raízes são x  2 , x  3 e x  4 . Usando a reta real e marcamos bolinhas abertas e os intervalos com sinais
negativos de acordo EA <0.
.
A solução seria: x  (, 3)  (2, 4) . Verifique.
6) Resolver
2x  3
 3 x
x 1
Sol. Transforme a desigualdade da forma EA  0 ou 0  EA. EA = Expressão Algébrica. Ou seja,
2 x  3  (3x  3  x 2  x)
2x  3
2x  3
2 x  3  (3  x)( x  1)
0
 3 x 
 (3  x)  0 
0 
x 1
x 1
x 1
x 1
2 x  3  3x  3  x 2  x
x2  2x
x( x  2)
0
0
 0 . Desta ultima desigualdade temos três raízes e são

x 1
x 1
x 1
x  0 (com bolinha fechada), x  2 (com bolinha fechada) e x  1 (com bolinha aberta). Na reta real marcamos os
intervalos de sinais negativos, assim:
.
A solução seria: x  (,0]  (1, 2] . Verifique.
7) Resolver (1  x)( x 2  2 x  2)  0
(1  x)( x 2  2 x  2)  0
Sol.
{Raízes}
{Coeficiente negativo}
a) Multiplique por (-1) o termo (1  x) e mude o sentido da desigualdade: ( x  1)( x 2  2 x  2)  0
b) Ache as raízes de x2  2 x  2  0 . Por Baskhara não tem raízes reais ou são complexas. Neste caso, use a técnica
de completar quadrados e resulta: x 2  2 x  2  ( x  1)2  1 .
c) A desigualdade equivalente seria: ( x  1)[( x  1)2  1]  0
{este termo sempre positivo=+}
Portanto o primeiro termo ( x  1) tem que ser positivo pela regra dos sinais do produto   0 , ou seja
( x 1)  0  x  1  x [1, ) (solução).
METODO DE COMPLETAR QUADRADOS:
x 2  2 x  2  ( x   )2  2  

2
{Coeficiente 2 dividido por 2= 1, este número vai entre os colchetes}
x 2  2 x  2  ( x  1)2  2  1  ( x  1)2  1.
2
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Desigualdade com valor absoluto ou módulo
Definição de módulo de x :
Propriedades, sendo a  0 e b  0 :
P1) x  a  a  x  a ou em geral EA  a  a  EA  a
P2) x  b  x  b  x  b ou em geral EA  b  EA  b  EA  b .
P3)
x2  x
Onde o símbolo  significa união ou “ou” enquanto o símbolo  interseção ou “e”.
8) Resolver 5  6 x  3
Sol. 5  6 x  3 , usando P1,  3  5  6 x  3  3  5  6 x  3  5  8  6 x  2 ,
Multiplicando na desigualdade por (-1)e mude o sentido da desigualdade,  8  6 x  2 , dividir por 6 na
desigualdade, 
8
2
2
8
1
4
 x  , ou podemos escrever assim,  x  , simplificando, resulta:  x  .
6
6
6
6
3
3
9) Resolver x  8  2
Sol. x  8  2 , usando P2, x  8  2  x  8  2  x  2  8  x  2  8  x  6  x  10 ou
x  (, 10)  (6, ) .
10) Resolver
x 2  8x  16  2
Sol. Observando que x 2  8x  16  ( x  4)2 .
x 2  8x  16  2  ( x  4)2  2  x  4  2  2  x  4  2  2  4  x  2  4  2  x  6 .
Exercícios: 1)
(2 x  3)( x 2  6 x  7)
x4
 0 Sol.: x  1  1,5  x  7 ; 2)
 1 Sol.: x  1;
2
x  2x  2
x2
2
3) (3  x )(4  2 x )  0 Sol.: x  2  x  2 ; 4) x  5  2 x  6  9 Sol.: x  (, 2 / 3)  (20 / 3, )


5) Determine a interseção dos seguintes conjuntos  x /
7)
x4

 0 e
x2

x / x  3 ; 6)
3
 0;
x2
3
 1 ; 8) x3  13x  12  0 Sol.: x [3, 1]  [4, ) ; 9) 3  x2  1  8 Sol.: x [3, 2)  (2,3] ;
x2
10) ( x 2  1)2  4 Sol.:  2  x  2 .