UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS
MATEMÁTICA - LICENCIATURA
HISTÓRIA DA
MATEMÁTICA
Prof. Dra. Andréa Cardoso
ANNA KARENINA LIMA ANTUNES
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS
MATEMÁTICA - LICENCIATURA
HISTÓRIA DA RESOLUÇÃO
DA EQUAÇÃO QUADRÁTICA
INTRODUÇÃO
INTRODUÇÃO
 Métodos da resolução da equação
quadrática
–
–
–
–
–
–
Egípcios
Babilônios
Gregos
Árabes
Chineses
Hindus
EGÍPCIOS
(4000 a.C – 30 a.C)

Não há registros de resoluções, porém acredita-se que dominavam
algumas técnicas.

Foi encontrado, no Papiro de Kahun, exercícios envolvendo a
equação de 2º grau da forma x²+y²=k, sendo k um inteiro positivo.

Usavam o “método da falsa posição” para resolver equações de 1º
grau – o que pode ter sido utilizado também para as equações de 2º
grau.
BABILÔNIOS
(2000 a.C)

Primeiro registro conhecido da resolução de equação quadrática, feito em
uma tábua de argila e através de palavras.

Tinham uma álgebra bem desenvolvida e resolviam equações do 2º grau por
métodos apresentados como “receita matemática” ou pelo método de
completar quadrados. Como as resoluções dos problemas eram
interpretados geometricamente não fazia sentido falar em raízes negativas.

Como eles não utilizavam coeficientes negativos, precisavam distinguir
diferentes casos possíveis:
– x² + px = q
– x² = px + q
– x² + q = px
EXEMPLO...
Qual é o lado de um quadrado em que a área menos o lado é 870?
(Atualmente: x² - x = 870)
Resolução: Tome a metade de 1 (coeficiente de x) e multiplique por
ela mesma: 0,5 x 0,5 = 0,25. Some o resultado a 870 (termo
independente). Assim, obtém-se um quadrado [870,25 = (29,5)²], cujo
lado mais a metade de 1 vai dar 30, que é o lado do quadrado
procurado.
GREGOS
(350 a.C – 250 a.C)

Utilizavam construções geométricas para estudar determinadas
equações (não havia álgebra simbólica).

Na obra Os Elementos, de Euclides, nota-se que há proposições que
são exemplos de como os gregos resolviam problemas envolvendo
equações quadráticas.

Usavam ainda a ideia de proporções.
EXEMPLO...
Dividir um segmento de reta em duas partes tais que o retângulo contido pelo
segmento dado e uma das partes seja igual ao quadrado da outra parte.
(Atualmente resolve-se: a(a - x) = x², onde a é o segmento dado)
Resolução:
ÁRABES
(825 d.C)

Destaque para Al-Khowarizmi, que escreveu um livro sobre álgebra
chama Al-Jabr.

Em sua obra apresenta a equação polinomial do 2º grau, bem como
sua resolução, de forma retórica, além de uma comprovação
geométrica denominada método de completar quadrados.

Vale destacar que os árabes articulavam a abordagem geométrica
dos gregos e a algébrica dos babilônios – resolveram a equação
quadrática geométrica e algebricamente.
O MÉTODO DE COMPLETAR QUADRADOS
Figura

x² + bx = q
QUADRO
CHINESES
(1300 d.C)

O
matemático
Chu
Shih-Chieh
apresenta, em sua obra Ssu-yüan yúchien uma técnica especial para a
resolução de equações quadráticas:
aproximações sucessivas.

Esse método ficou conhecido como
“método fan-fan” e foi apresentado de
forma retórica, chegando apenas à uma
raíz positiva.
EXEMPLO...
Resolver a equação quadrática x² + 252x +- 5292 = 0
Resolução: Para solucionarem a equação, procediam da seguinte maneira:
x² + 252x - 5292 = 0
x1 = 19 + x (x1 é a solução aproximada obtida testando o valor 19 na equação acima e
vendo que ainda faltava um decimal x para chegar a raiz da equação)
Substituíam x1 na equação original:
(19 + x)² + 252(19 + x) – 5292 = 0
361 + 38x + x² + 4788 + 252x -5292 = 0
x² + 290x = 143
Logo:
143
x1 = 19 +
= 19,49
1+290
EXEMPLO...
Porém, repetiam o cálculo até que aparecesse (fanfan) um número cujo valor não se
modificasse, ou seja, até a equação convergir para um mesmo número, sendo este a
raíz procurada. Então:
x2 = 19,49 + x
(19,49 + x)² + 252(19,49 + x) – 5292 = 0
x² + 290,98x = 0,66
x2 = 19,49 +
0,66
= 19,49
1+290,98
Portanto, x = 19,49.
Valor convergente
HINDUS
(1000 d.C – 1200 d.C)

A matemática era feita a partir de problemas reais e de forma poética.

Tiveram um papel fundamental na resolução das equações quadráticas:
introduziram os números negativos.

Personagens importantes para a História da Matemática:
– Aryabhata: criou versos envolvendo equações do 2º grau, porém não há regras para a
resolução;
– Brahmagupta: o primeiro a utilizar os números negativos e o zero como elemento de
Cálculo;
– S’ridhara: supostamente o responsável pela determinação da regra hindu que originou a
fórmula atual para a resolução da equação de 2º grau;
– Bhaskara: preencheu lacunas deixadas por seus antecessores, encontrando soluções
gerais para algumas equações, inclusive diofantinas.
HINDUS

(1000 d.C – 1200 d.C)
Bhaskara foi um dos últimos grandes matemáticos hindus até
a atualidade. Em sua obra Siddhanta S’iromani, cita a
resolução da equação quadrática, enunciada por S’ridhara:
"É por unidades iguais a quatro vezes o número de
quadrados que é preciso multiplicar os dois membros; e é a
quantidade igual ao quadrado do número primitivo de
quantidades desconhecidas simples que é preciso adicionar.“

Na linguagem matemática, temos:
Seja a equação ax²+bx=c, então...
QUADRO
ATUALMENTE...
ax²+bx+c=0
QUADRO
FIQUE LIGADO!!!

Antes do século XV, o processo de resolução das
equações quadráticas era registrado de maneira
retórica.

Fórmulas utilizando letras para representar
quantidades, como fazemos hoje em dia,
ocorreu com a publicação de “La Géométrie” de
Descartes, em 1637 – Descartes foi o primeiro a
utilizar letras para representar variáveis e
incógnitas.

O nome “Fórmula de Bhaskara” dado à
resolução da equação de 2º grau se estabeleceu
no Brasil por volta de 1960. Em outros países é
conhecida como “fórmula geral para resolução
da equação quadrática”.
EQUAÇÕES DE 3º GRAU!!!

Omar Khayyam foi o primeiro a trabalhar com
qualquer tipo de equação cúbica que admitisse uma
raiz positiva. Ele acreditava que métodos aritméticos
de solução nesse caso eram impossíveis – o que foi
demonstrado ser possível mais tarde no século XVI.

Nas antigas soluções geométricas gregas das
equações cúbicas, os coeficientes eram segmentos
de reta enquanto que na obra de Omar Khayyam
eram números específicos.

Segundo Omar Khayyam a resolução geométrica da
cúbica
x³ +b²x+a³ = cx², podia ser
interpretada tomando os segmentos de reta com
comprimentos correspondentes às grandezas a, b, c
e x.
REFERÊNCIAS.
AABOE, A. Episódios da história antiga da matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2013.
BECKER, R. L. A. ÁLGEBRA GEOMÉTRICA DE EUCLIDES. 2004. Trabalho de conclusão de curso
– Licenciatura em Matemática, UFSC/Florianópolis.
PEDROSA, H. A. UMA BREVE HISTÓRIA DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU. Revista eletrônica de
matemática. São Paulo. 2010.
TROVON, A. A EQUAÇÃO QUADRÁTICA. 2012. Departamento de Matemática/UFPR.
FRAGOSO, W. C. UMA ABORDAGEM HISTÓRICA DA EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU. Rio de
Janeiro: SBM, 2000.
CASTELO, J. A. M. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES QUADRÁTICAS: Um resgate histórico dos
métodos e uma proposta de aplicação da sequencia Fedathi no seu ensino. 2013. Dissertação de
mestrado. Fortaleza/UFCE.