matA12
trigonometria
Exercícios de exames e provas oficiais
1.
  
Considere, para um certo número real k, a função f, contínua em  ,  , definida por
4 2
 cos x


x
f  x  
2

k  3

se
se

4
x
x

2

2
Qual é o valor de k?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 4
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2014
2.
Na figura, estão representados uma circunferência de
centro O e raio 2 e os pontos P, Q, R e S.
Sabe-se que:
 os pontos P, Q, R e S pertencem à circunferência;
 [PR] é um diâmetro da circunferência;

PQ  PS
  é a amplitude, em radianos, do ângulo QPR;
 
    0,  ;
 2

A   é a área do quadrilátero [PQRS], em função de  .
 
Para um certo número real  , com    0,  , tem-se que tg  2 2 .
 2
Determine o valor exato de A   , recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a
calculadora.
Comece por mostrar que A    16sin  cos  .
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3.
Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy, uma circunferência de centro O e raio
1.
Sabe-se que:
 os pontos A e B pertencem à circunferência;
 o ponto A tem coordenadas 1,0  ;
 os pontos B e C têm a mesma abcissa;
 o ponto C tem ordenada zero;
 o ponto D tem coordenadas  3,0  ;
 
  é amplitude, em radianos, do ângulo AOB, com    ,   .
2 
Qual das expressões seguintes representa, um função de  , a área do triângulo  BCD  ?
(A)
1
 3  sin   cos 
2
(B)
1
 3  sin   cos 
2
(C)
1
 3  cos   sin 
2
(D)
1
 3  cos   sin 
2
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4.
4.1.
Seja f uma função cuja derivada f ' , de domínio
, é dada por f '  x   x  sin  2 x  .
 
f  x  f  
2.
Determine o valor de lim

2x  
x
2
4.2.
Estude o gráfico da função f, quanto ao sentido das concavidades e quanto à existência de
  
pontos de inflexão em   ,  , recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a
 2 4
calculadora.
Na sua resposta, deve indicar o(s) intervalo(s) onde o gráfico da função f tem concavidade
voltada para cima, o(s) intervalo(s) onde o gráfico da função f tem concavidade voltada
para baixo e, caso existam, as abcissas dos pontos de inflexão do gráfico da função f.
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2014
5.
Considere a função f, de domínio 0,   , definida por f  x   ln x  cos x  1 .
Sabe-se que:
 A é um ponto do gráfico de f.
 a reta tangente ao gráfico de f, no ponto A, tem inclinação

4
radianos.
Determine a abcissa do ponto A, recorrendo à calculadora gráfica.
Na sua resposta de:
 equacionar o problema;
 reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de
visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
 indicar a abcissa do ponto A com arredondamento às centésimas.
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6.
Na figura, estão representados a circunferência de centro no ponto C e de raio 1, a semirreta
CB , a reta AD e o triângulo [ACE].
Sabe-se que:
 os pontos A e B pertencem à circunferência;
 os pontos D e E pertencem à semirreta CB ;
 a reta AD é perpendicular à semirreta CB ;
 o ponto A desloca-se sobre a circunferência, e os pontos D e E acompanham esse
movimento de modo que DE  6 ;
 x é a amplitude, em radianos, do ângulo ACB;

 
x   0,  .
 2
6.1.
Mostre que
a área do
1
f  x   3sin x  sin  2 x  .
4
triângulo
[ACE] é dada,
em
função
de
x,
por
6.2.
  
Mostre, sem resolver a equação, que f  x   2 tem, pelo menos, uma solução em  ,  .
6 4
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2013
7.
Considere a função f, de domínio
, definida por
 xe3 x  2 x

f  x   1  x  sin  x  1

1 x

se
x 1
se
x 1
Recorrendo a métodos analíticos e sem utilizar a calculadora, averigue se a função f é
continua em x  1 .
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8.
Na figura, estão representados, num referencial o.n. xOy, o triângulo [OAB] e a reta r.
Sabe-se que:




a reta r é definida por x  3 ;
o ponto A pertence à reta r e tem ordenada positiva;
o ponto B é simétrico do ponto A em relação ao eixo Ox;
 é a amplitude, em radianos, do ângulo cujo lado origem é o semieixo positivo Ox e
cujo lado extremidade é a semirreta OA ;
 
    ;  ;
2 
6
 
 a função P, de domínio  ;   , é definida por P  x   6 tan x 
.
cos x
2 
8.1. Mostre que o perímetro do triângulo [OAB] é dado, em função de  , por P   .
8.2. Determine o declive da reta tangente ao gráfico da função P no ponto de abcissa
5
, sem
6
utilizar a calculadora.
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9.
Seja f a função, de domínio
\ 0 , definida por f  x  
Considere a sucessão de números reais  xn  tal que xn 
sin   x 
x
.
1
.
n
Qual é o valor de lim f  xn  ?
(A) 1
(B) 0
(D) 
(C) 1
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2013
  
10. Considere a função g, de domínio   , 0  , definida por g  x   sin  2 x   cos x .
 2 
Seja a um número real do domínio de g.
A reta tangente ao gráfico da função g no ponto de abcissa a é paralela à reta de equação
x
y  1 .
2
Determine o valor de a, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2013
11. Considere a função f, de domínio
, definida por
 sin x

1  1  x3


f  x    1  e k 1

4x
 1 e

x

se
x0
se
x  0 com k 
se
x0
Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, estude a função f quanto à
existência de assíntotas verticais do seu gráfico.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2012
12. Na figura, está representado o quadrado [ABCD].
Sabe-se que:


AB  4 ;
AB  AH  BE  BF  CF 
 CG  DG  DH ;
 x é amplitude, em radianos, do ângulo EAB;

 
x   0,  .
 4
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12.1. Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de x, por a  x   16 1  tan x  .
12.2. Mostre que existe um valor de x compreendido entre


e
para o qual a área da região
12
5
sombreada é 5.
Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a
arredondamentos, use duas casas decimais.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2012
13. Na figura, está representado um trapézio retângulo [ABCD].
Sabe-se que:

BC  1 ;
 CD  1
  é a amplitude, em radianos, do ângulo
ADC;
 
    ,  .
2 
Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
13.1. Mostre que o perímetro do trapézio [ABCD] é dado, em função de  , por
1  cos 
.
P    3 
sin 
13.2. Para um certo número real  , tem-se que tan    8 , com

2
  .
Determine o valor exato de P '   .
Comece por mostrar que P '   
1  cos 
.
sin 2 
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2012
14. Relativamente à figura ao lado, sabe-se que:

o segmento de reta [AC] tem comprimento
4;

o ponto B é o ponto médio de [AC];

o segmento de reta [BD] é perpendicular a
[AC];

o arco de circunferência CD tem centro
em B.
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Admita que o ponto P se desloca ao longo do arco CD, nunca coincidindo com C nem com
D, e que o ponto Q se desloca ao longo do segmento de reta [AB] de tal forma que [PQ] é
sempre perpendicular a [BC].
Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo CBP e seja A  x 
a área do triângulo [APQ].
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

  
14.1. Mostre que A  x   2sin x  sin  2 x  ,  x   0,   .
 2 

14.2. Mostre que existe um valor de x para o qual a área do triângulo [APQ] é máxima.
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 24-05-2012
15. Na figura, estão representados, num referencial o.n. xOy, uma circunferência e o triângulo
[OAB].
Sabe-se que:
 O é a origem do referencial;
 a circunferência tem centro no ponto O e raio 1;
 A é o ponto de coordenadas  1,0  ;
 B pertence à circunferência e tem ordenada negativa;
 O ângulo AOB tem amplitude igual a
2
radianos.
3
Qual é a área do triângulo [OAB]?
(A)
3
4
(B)
1
2
(C)
1
4
(D)
3
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2011
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16. De duas funções f e g sabe-se que:
e é definida por f  x     4sin  5 x  ;
 f tem domínio
 2  
 g tem domínio  
,   e g ' , primeira derivada de g, tem domínio
3
 3
 

é definida por g '  x   log 2    x 
6


 2  
 3 ,  3  e


Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
16.1. Calcule o valor de lim
x 0
sin x
.
f  x  
16.2. Estude a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência
 2  
de pontos de inflexão no intervalo  
,  .
3
 3
Resolva o item seguinte recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora.
 2  
16.3. Seja h a função, de domínio  
,   , definida por h  x   f  x   g  x  .
3
 3
O ponto A pertence ao gráfico da função h.
Sabe-se que a reta tangente ao gráfico da função h no ponto A é paralela ao eixo Ox.
Determine a abcissa do ponto A.
Na sua resposta, deve:
 equacionar o problema;
 reproduzir o gráfico da função, ou os gráficos das funções, que tiver necessidade de
visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
 indicar a abcissa do ponto com arredondamento às décimas.
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2011
17. Para um certo número real positivo, k, a função g definida em
 sin x
se

g  x    3x
ln  k  x  se

x0
por
é continua.
x0
Qual é o valor de k?
(A)
3
e
(B) e3
(C)
e
3
(D) 3e
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 1
 x 
18. Qual é o valor de lim  2 sin 2    ?
x 0 x
 2 

(A) 4
(B) 0
(C)
1
4
(D)
1
2
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2011
19. Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico da função f, de
domínio , definida por f  x   4cos  2 x  .
Sabe-se que:
 os vértices A e D do trapézio [ABC] pertencem ao eixo Ox;
 o vértice B do trapézio [ABCD] pertence ao eixo Oy;

 o vértice D do trapézio [ABCD] tem abcissa  ;
6
 os pontos A e C pertencem ao gráfico de f;
 a reta CD é paralela ao eixo Oy.
Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
19.1. Determine o valor exato da área do trapézio [ABCD].
19.2. Seja f ' a primeira derivada da função f, e seja f '' a segunda derivada da função f.
Mostre que f  x   f '  x   f ''  x   4  3cos  2 x   2sin  2 x   , para qualquer número real
x.
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2011
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20. Seja f a função, de domínio

, definida por

sin  x  1
2 
f  x  
ex  e
 xe  x  2 x

se 0  x  1
se
x 1
Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, averigue se a função f é contínua em x  1.
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 26-05-2011
21. Na figura abaixo, está representada uma circunferência de centro no ponto O e raio 1.
Sabe-se que:
 o ponto A pertence à circunferência;
 os pontos O, A e B são colineares;
 o ponto A está entre o ponto O e o ponto B;
 o ponto P desloca-se ao longo da semirreta AB , nunca coincidindo com o ponto A;
 d é a distância do ponto A ao ponto P;
 para cada posição do ponto P, o ponto Q é um ponto da circunferência tal que a reta PQ
é tangente à circunferência;

  
 x é a amplitude, em radianos, do ângulo OPQ  x   0,   .
 2 

1  sin x
 
Seja f a função, de domínio  0,  , definida por f  x  
.
sin x
 2
Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora.
21.1. Mostre que d  f  x  .
21.2. Considere a seguinte afirmação: “Quanto maior é o valor de x, menor é o valor de d.”
Averigue a veracidade desta afirmação, começando por estudar a função f quanto à
monotonia.
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 26-05-2011
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22. Seja f a função, de domínio 0,3 , definida por f  x   x ln x  sin  2 x  .
O ponto A pertence ao gráfico da função f.
Sabe-se que a reta tangente ao gráfico da função f no ponto A tem declive 3.
Determine a abcissa do ponto A.
Na resolução deste item deve:
 traduzir o problema por uma equação;
 resolver graficamente essa equação, recorrendo à calculadora;
 indicar o valor pedido arredondado às centésimas.
Deve reproduzir e identificar o gráfico, ou os gráficos, que tiver necessidade de visualizar na
calculadora, incluindo o referencial, e deve assinalar, no(s) gráfico(s), o(s) ponto(s)
relevante(s).
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 26-05-2011
23. Um depósito de combustível tem a forma de uma esfera.
As figuras representam dois cortes do mesmo depósito, com alturas de combustível distintas.
Os cortes são feitos por um plano vertical que passa pelo centro da esfera.
Sabe-se que:
 o ponto O é o centro da esfera;
 a esfera tem 6 metros de diâmetro;
 a amplitude  , em radianos, do arco AB é igual à amplitude do ângulo ao centro AOB
correspondente.
A altura AC , em metros, do combustível existente no depósito é dada, em função de  , por
h, de domínio  0,   .
Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
23.1. Mostre que h    3  3cos   , para qualquer   0,   .
23.2. Resolva a condição h    3,   0,   .
Interprete o resultado obtido no contexto da situação apresentada.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2010
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24. Considere a função f, de domínio ,1 , definida por
ax  b  e x

f  x    x  sin  2 x 

x

se
x0
se 0  x  2
com a, b 
Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, determine o valor de b, de modo que f seja
contínua em x  0 .
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2010
25. Na figura, estão representados, num referencial o.n. xOy, uma circunferência e o triângulo
[OAB].
Sabe-se que:
 a circunferência tem diâmetro [OA];
 o ponto A tem coordenadas  2, 0  ;
 o vértice O do triângulo [OAB] coincide com a origem do referencial;
 o ponto B desloca-se ao longo da semicircunferência superior.
 
Para cada posição do ponto B, seja  a amplitude do ângulo AOB, com    0,  .
 2
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
25.1. Mostre que o perímetro do triângulo [OAB] é dado, em função de  , por
h    2 1  cos   sin  
25.2. Determine o valor de  para o qual o perímetro do triângulo [OAB] é máximo.
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2010
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26. Na figura, está representado um triângulo retângulo
[ABC], cujos catetos, [AB] e [BC], medem 5 unidades.
Considere que um ponto P se desloca sobre o cateto [BC],
nunca coincidindo com B nem com C.
Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude, em

  
radianos, do ângulo BAP  x   0,   .
 4 

Seja f a função que, a cada valor de x, faz corresponder o
perímetro do triângulo [APC].
Resolva os dois primeiros itens, usando exclusivamente métodos analíticos.
26.1. Mostre que f  x  
5
 5 tan x  50  5 .
cos x
26.2. Seja r a reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa

.
6
Determine o declive da reta r.
26.3. Existe um valor de x para o qual o perímetro do triângulo [APC] é igual a 16.
Determine esse valor, arredondado às centésimas, recorrendo às capacidades gráficas da
calculadora.
Apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora e assinale o ponto relevante para a
resolução do problema.
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 19-05-2010
 
27. Seja f a função, de domínio  0,  , definida por f  x   sin  2 x  cos x .
 2
27.1. Determine, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, a equação reduzida da reta
tangente ao gráfico de f, no ponto de abcissa 0.
27.2. No domínio indicado, determine, recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora,
um valor, aproximado às décimas, da área do triângulo [ABC], em que:
 A é o ponto do gráfico da função f cuja ordenada é máxima;
 B e C são os pontos de interseção do gráfico da função f com a reta de equação y  0,3.
Reproduza, na folha de respostas, o gráfico, ou gráficos, visualizado(s) na calculadora,
devidamente identificado(s), incluindo o referencial.
Desenhe o triângulo [ABC], assinalando os pontos que representam os seus vértices.
Nota: Nas coordenadas dos vértices em que é necessário fazer arredondamentos, utilize duas casa
decimais.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2009
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28. Para um certo número real positivo k, é continua a função f, de domínio
log 2  k  x  se

f  x    sin  2 x 
se

x

, definida por
x0
x0
Qual é o valor de k?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2009
29. Na figura, está representado um triângulo inscrito numa circunferência de centro O e raio
igual a 1.
Um dos lados do triângulo é um diâmetro da circunferência.
Qual das expressões seguintes representa, em função de x, a área da parte sombreada?
(A)   sin  2x 
(B)

2
 sin  2 x 
(C)   2sin  2x 
(D)  
sin  2 x 
4
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2009
30. Sejam a, b, c e d as funções reais de variável real definidas por:
a  x   3  ln x
b  x  ex
c  x   10sin x
d  x   2  tan x
Considere qua o domínio de cada uma das quatro funções é o conjunto dos números reais
para os quais tem significado a expressão que a define.
Qual é a função cujo gráfico tem mais do que uma assíntota?
(A) A função a
(B) A função b
(C) a função c
(D) A função d
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31. Na figura ao lado estão representados:
 uma circunferência de centro O e raio 1;
 dois pontos, A e B, sobre a circunferência, tais
que [AB] é um diâmetro;
 uma semirreta OA ;
 um segmento de reta [PQ]
Considere que:
 o ponto P, partindo de A, se desloca sobre a circunferência, dando uma volta completa,
no sentido indicado pelas setas da figura.
 o ponto Q se desloca sobre a semirreta OA , acompanhando o movimento do ponto P,
de tal forma que se tem sempre PQ  3 .
Para cada posição do ponto P, seja x a
amplitude, em radianos, do ângulo
orientado que tem por lado origem a
semirreta OA e por lado extremidade a
semirreta OP (ver figura ao lado).
Seja d a função que, a cada valor de x
pertence a  0, 2  , associa a distância,
d  x  , do ponto Q ao ponto O.
31.1. Considere as seguintes afirmações sobre a função d e sobre a sua derivada g ' (a função d
tem derivada finita em todos os pontos do seu domínio).
I.
II.
d  0   2d  
x   0, 2  , d '  x   0
Elabore uma pequena composição na qual indique, justificando, se cada uma das
afirmações e verdadeira, ou falsa.
Nota: neste item, não defina analiticamente a função d; a sua composição deve apoiar-se na forma
como esta função foi apresentada (para cada valor de x, tem-se que d  x  é a distância do ponto Q
ao ponto O).
 
31.2. Defina analiticamente a função d no intervalo  0,  (isto é, determine uma expressa que
 2
dê o valor de d  x  , para cada x pertencente a este intervalo).
Sugestão: trace a altura do triângulo [OPQ] relativa ao vértice P, designe por R o ponto de
interseção desta altura com a semirreta OA , e tenha em conta que OQ  OR  RQ .
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32. Considera a função g, de domínio
, definida por g  x   2  sin  4 x  .
Resolva, usando métodos analíticos, os dois itens seguintes.
Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos intermédios; sempre que proceder a
arredondamentos, use duas casas decimais.
32.1. Determine g '  0  , recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto.
 
32.2. Estude a monotonia da função g, no intervalo  0,  , indicando o valor dos extremos
 2
relativos, caso existam, e os intervalos de monotonia.
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33. Seja f a função de domínio   ,  , definida por
e 4 x 1

f  x    3sin  x 

 x2
se x  0
se   x  0
Estude a função f quanto à existência de assíntotas do seu gráfico, paralelas aos eixos
coordenados, escrevendo as suas equações, caso existam.
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2008
34. Na figura está
trigonométrico.
representado
o
círculo
Tal como a figura sugere, O é a origem do
referencial, Q pertence à circunferência, P é o ponto
de coordenadas 1,0  e R é o ponto de coordenadas
 1,0  .
A amplitude, em radianos, do ângulo POQ é
5
.
7
Qual é o valor, arredondado às centésimas, da área
do triângulo [OQR]?
(A) 0,39
(B) 0,42
(C) 0,46
(D) 0,49
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 27-05-2009
35. Seja f :  0, 2  
a função definida por f  x   3  2cos x .
Indique o valor de x o qual f  x  é máximo.
(A) 0
(B)

2
(C) 
(D)
3
2
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36. Considere a função g, definida no intervalo 1, 7 por g  x  
sin x  ln x
x
(ln designa logaritmo na base e)
Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, visualize o gráfico da função g e
reproduza-o na sua folha de prova.
Com base nesse gráfico e utilizando as ferramentas adequadas da sua calculadora, resolva o
seguinte problema:
“Seja g ' a função derivada de g. O conjunto da inequação g '  x   0 é um intervalo aberto
 a , b .
Determine os valores de a e de b. Apresente os resultados arredondados às
centésimas.”
Justifique a sua resposta.
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37. Na figura seguinte está representada uma artéria principal do corpo humano, cuja seção é um
círculo com raio R, e uma sua ramificação, mais estreita, cuja secção é um círculo com raio
r.
A seção da artéria principal tem área A e a ramificação tem área a.
 
Seja    0,  a amplitude, em radianos, do ângulo que a artéria principal faz com a sua
 2
ramificação (medida relativamente a duas geratrizes complanares dos dois cilindros).
Sabe-se que a  A cos
Admitindo que o modelo descrito se adequa com exatidão à situação real, determine  no
caso em que os raios referidos verificam a relação R  4 2 r .
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38. Considere as funções f e g, definidas em
por
f  x   e x 1 e g  x   sin x
Considere ainda a função h, definida em
por h  x   f '  x   g '  x  .
Sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos, resolva os
dois itens seguintes.
 
38.1. Mostre que a função h tem, pelo menos, um zero no intervalo  0,  .
 2
 
38.2. Tendo em conta a prova que fez anteriormente, justifique que existe a   0,  tal que as
 2
retas tangentes aos gráficos de f e g, nos pontos de abcissa a, são paralelas.
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39. Na figura está representado, em referencial o.n. xOy, um arco
AB, que está contido na circunferência de equação
x2  y 2  1 .
O ponto C pertence ao eixo Ox e o segmento de reta [AC] é
perpendicular a este eixo.
 é a amplitude, em radianos, do ângulo AOB.
Qual é a expressão que dá o perímetro da região sombreada,
em função de  ?
(A)     sin   cos 
(B)     sin   1  cos 
(C) 1    sin   cos 
(D) 1    sin   cos 
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2006
40. Como sabe, a Terra descreve uma órbita
elíptica em torno do Sol.
Na figura está representado um esquema
dessa órbita. Está assinalado o periélio, o
ponto da órbita da Terra mais próximo do Sol.
Na figura está assinalado um ângulo de
amplitude x radianos  x  0, 2   .
Este ângulo tem o seu vértice no Sol, o seu lado origem passa no periélio e o seu lado
extremidade passa na Terra.
A distância d, em milhões de quilómetros, da Terra ao Sol, é (aproximadamente) dada, em
função de x, por d  149,6 1  0,0167 cos x  .
40.1. Sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos, determine
a distância máxima e a distância mínima da Terra ao Sol.
Apresente os valores pedidos em milhões de quilómetros, arredondados às décimas.
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40.2. Sabe-se que x verifica a relação
2 t
 x  0,0167sin x , em que
T
 t é o tempo, em dias, que decorre desde a passagem da Terra pelo periélio até ao
instante em que atinge a posição correspondente ao ângulo x;
 T é o tempo que a Terra demora a descrever uma órbita completa (365,24 dias).
40.2.1.
Mostre, para x   , se tem t 
T
.
2
Interprete este resultado no contexto da situação descrita.
40.2.2.
Sabe-se que a última passagem da Terra pelo periélio ocorreu a uma certa hora
do dia 4 de Janeiro. Determine a distância a que a Terra se encontrava do Sol, à
mesma hora do dia 14 de Fevereiro. Apresente o resultado em milhões de
quilómetros, arredondando às décimas. Nos valores intermédios, utilize, no
mínimo, quatro casas decimais.
Nota: a resolução desta questão envolve uma equação que deve ser resolvida
graficamente, com recurso à calculadora; apresente todos os elementos recolhidos na
utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como
coordenadas relevantes de algum, ou de alguns, ponto(s).
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2006
41. Seja g a função definida em
por g  x  
Considere a sucessão de termo geral un 
ex  5
.
2  cos x
n 1
.
n2
Indique o valor de lim g  un  .
n 
(A) 4
(B) 3
(C) 2
(D) 1
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42. Na figura está representada uma esfera suspensa de um fio com 1 metro de comprimento,
fixo no ponto O.
O centro da esfera oscila entre os pontos A e B, que são simétricos relativamente à reta
vertical r. A reta r passa pelo centro O e é perpendicular à reta OS.
No instante inicial, o centro da esfera coincide com o ponto A.
Admita que, t segundos após esse instante inicial, o centro da esfera está num ponto P tal que
a amplitude, em radianos, do ângulo SOP é dada (aproximadamente) por
 t  

2


6
cos

9,8 t

Nas duas alíneas seguintes, não utilize a calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos
numéricos.
42.1. Determine a distância do centro da esfera à reta OS, no instante inicial.
42.2. Determine o instante em que o centro da esfera passa pela primeira vez na reta r.
Apresente o resultado em segundos, arredondado às décimas.
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2006
43. Considere a função f definida no intervalo 1, 2  por f  x   cos  x  1  ln x (ln designa
logaritmo de base e).
Para um certo valor real positivo a e para um certo valor real b, a função g, definida no
intervalo 1, 2  por g  x   a. f  x   b , tem por contradomínio o intervalo  4,5 .
Utilizando as capacidades gráficas da sua calculadora, determine os valores de a e de b,
arredondados às centésimas.
Explique como procedeu. Na sua explicação, deve incluir o gráfico, ou gráficos, que tenha
visualizado na calculadora, bem como coordenadas relevantes de algum, ou alguns, pontos.
Sempre que, em valores intermédios, proceder a arredondamentos, conserve um mínimo de
três casas decimais.
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44. Na figura junta
trigonométrico.
está
representado
o
círculo
Considere que um ponto P parte de A 1,0  e se
desloca sobre a circunferência, dando uma volta
completa, em sentido contrário ao dos ponteiros do
relógio.
Para cada posição do ponto P, seja x, em radianos, do
ângulo orientado cujo lado origem é a semirreta OA e
cujo lado extremidade é a semirreta OP  x   0, 2  .
Seja g a função que, a cada valor de x, faz corresponder a área da região sombreada (região
limitada pelos segmentos de reta OP  ,  PA e  AO  ).
Qual dos seguintes gráficos pode ser o da função g?
(A)
(B)
(C)
(D)
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2005
45. Seja f a função, de domínio
0, 2  ,
definida por f  x   sin x .
45.1. Na figura junta estão representados:
 o gráfico da função f;
 duas retas, r e s, tangentes ao gráfico
de f, nos pontos de abcissas a e b,
respetivamente.
Prove que, se a  b  2 , então as retas r e s são paralelas.
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trigonometria
45.2. Sem recorrer à calculadora, estude, quanto à existência de assíntotas do seu gráfico, a
x
função g, de domínio 0, 2  \   , definida por g  x  
f  x
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2005
46. Considere a função f, de domínio
, definida por f  x   cos x .
Qual das expressões seguintes dá a derivada de f, no ponto  ?
(A) lim
cos x  1
x 
(B) lim
cos x  
x
(C) lim
cos x
x 
(D) lim
cos x
x 
x 
x 
x 0
x 0
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2005
47. Na figura está representada uma circunferência com efeito com centro no ponto O e raio 3.
Os diâmetros  EF  e GH  são perpendiculares.
Considere que o ponto B se desloca sobre o arco FG.
Os pontos A, C e D acompanham o movimento do ponto B, de tal forma que:
 as cordas  AB  e  CD  permanecem paralelas a  EF  ;

 AD  e  BC  são sempre diâmetros da circunferência.
Os pontos I e J também acompanham o mesmo movimentos, de tal forma que são sempre os
pontos de interseção de GH  com  AB  e  CD  , respetivamente.

  
Para cada posição do ponto B, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo FOB  x  0,   .
 2 

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47.1. Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de x, por
A  x   18  x  sin x.cos x 
Sugestão: use a decomposição sugerida na figura.
47.2. Recorra à calculadora para determinar graficamente a solução da equação que lhe permite
resolver o seguinte problema: Qual é o valor de x para o qual a área da região sombreada
é igual a metade da área do círculo?
Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o
gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes de algum, ou de alguns,
ponto(s). Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às centésimas.
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2005
48. Na figura está representada parte do gráfico de uma função periódica.
Qual dos valores seguintes poderá ser período desta função?
(A)

9
(B)
2
9
(C)
2
3
(D)
4
3
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2004
49. Duas bolas de plástico com o mesmo raio, uma branca e outra preta, flutuam na superfície
de um líquido contido num recipiente.
Por ação de uma força exterior, o líquido perdeu o estado de repouso em que se encontrava,
tendo a distância de cada uma das bolas à base do recipiente deixado de ser constante.
Designando por b  t  e p  t  as distâncias, em cm, dos centros das bolas (branca e preta,
respetivamente) à base do recipiente, t
segundos após o início da perturbação, admita
que se tem:
b  t   10  e 0,1t sin  t  , t  0
p  t   10  1,37e 0,1t sin  t  , t  0
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trigonometria
49.1. Sem recorrer à calculadora, resolva o seguinte problema:
Durante os primeiros cinco segundos após o início da perturbação (instantes 0 e 5
incluídos), houve alguns instantes em que as duas bolas estiveram a igual distância da base
do recipiente. Quantas vezes isso aconteceu?
49.2. Determine a distância que vai do centro da
bola branca ao centro da bola preta, meio
segundo após o início da perturbação, sabendo
que, nesse instante, a distância entre as
respetivas projeções horizontais (na base do
recipiente) é de 2,5 cm. Apresente o resultado
em cm, arredondado às décimas.
Nota: sempre que, nos cálculos intermédio,
proceder a arredondamentos, conserve, no
mínimo, duas casas decimais.
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2004
50. Para um certo valor de k, é contínua em
k  cos x

g  x    ln 1  x 

x

se
x0
se
x0
a função g, definida por
(ln designa logaritmo de base e)
Qual é o valor de k?
(A) 1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2004
51. A figura representa um depósito de forma cilíndrica, que contém um certo volume de
combustível.
Admita que a função V, de domínio  0, 2  , definida por
f  x   80  x  sin x  ,
dá o volume, em metros cúbicos, de combustível existente no depósito, em função da
amplitude x, em radianos, do arco ABC (que, como se sabe, é igual à amplitude do ângulo ao
centro correspondente, assinalado na figura acima).
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trigonometria
51.1. Qual é a capacidade total do depósito, em metros cúbicos?
Apresente o resultado arredondado às unidades.
Nota: se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas
decimais.
51.2. Recorra à calculadora para determinar graficamente a solução da equação que lhe permite
resolver o seguinte problema: Qual terá de ser a amplitude, em radianos, do arco ABC,
para que existam 300 m3 de combustível no depósito?
Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o
gráfico, ou gráficos, obtido(s). Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às
décimas.
51.3. Determine, em metros cúbicos, o volume do combustível existente
1
no depósito, no momento em que a sua altura é da altura máxima.
4
Apresente o resultado arredondado às unidades.
Nota: se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve,
no mínimo, três casas decimais.
51.4. Admita agora que o depósito está vazio e
que, num certo instante, se começa a
introduzir combustível a uma taxa
constante, até ficar cheio, o que acontece ao
fim de cinco horas.
Seja h  t  a altura do combustível no
depósito, t horas após o instante em que
começa a ser introduzido.
Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função h?
Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, indique as razões que o levam a
rejeitar os restantes gráficos (indique três razões, uma por cada gráfico rejeitado).
(A)
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(B)
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trigonometria
(C)
(D)
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2004
52. Na figura está representado um trapézio retângulo [ABCD], cujas bases têm 10 e 30 unidades
de comprimento e a altura tem 10 unidades de comprimento.
Considere que um ponto P se desloca sobre o lado [AB].
Para cada posição do ponto P, seja x amplitude, em radianos, do ângulo PDA.
Pretende-se determinar o valor de x para o qual o segmento [PD] divide o trapézio em duas
figuras com a mesma área.
Qual das equações seguintes traduz este problema?
(A)
30 2 sin x
 100
2
(B)
302 tan x
 100
2
(C)
30  10sin x
 150
4
(D)
30  10 tan x
 150
4
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2003
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trigonometria
  3 
53. Considere a função f, de domínio   ,  , definida por
 2 2 
f  x   x  sin x
Sem recorrer à calculadora, resolva as três alíneas seguintes.
53.1. Utilizando a definição de derivada de uma função num ponto, calcule f '  0  .
53.2. Estude a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência
de pontos de inflexão.
  3 
53.3. Determine os valores de x, pertencentes ao intervalo   ,  , tais que f  x   x  cos x.
 2 2 
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2003
54. A Rita está a participar num concurso de lançamentos de papagaios de papel.
No regulamento do concurso, estão as condições de
apuramento para a final, que se reproduzem a seguir.
Após um certo instante, indicado pelo júri:
 o papagaio não pode permanecer no ar
mais do que um minuto;
 o papagaio tem de permanecer, pelo
menos durante doze segundos
seguidos, a uma altura superior a dez
metros;
 o papagaio tem de ultrapassar os vinte
metros de altura.
Admita que a distância, em metros, do papagaio da Rita ao solo, t segundos após o instante
indicado pelo júri, é dada por
 t2 
t
d  t   9,5  7sin 
  5cos  
4
 200 
(os argumentos das funções seno e cosseno estão expressos em radianos).
Note-se que, a partir do instante em que o papagaio atinge o solo, a distância do papagaio ao
solo deixa de ser dada por esta expressão, uma vez que passa a ser (naturalmente) igual a
zero.
Deverá a Rita ser apurada para a final?
Utilize a calculadora para investigar esta questão. Numa pequena composição, com cerca de
dez linhas, explicite as conclusões a que chegou, justificando-as devidamente. Inclua, na sua
resposta, os elementos recolhidos na utilização da calculadora: gráficos e coordenadas de
alguns pontos (coordenadas arredondadas às décimas).
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2003
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trigonometria
55. Na figura está representado, em referencial o.n. xOy, um
arco de circunferência AB, de centro na origem do
referencial.
O ponto Q move-se ao longo desse arco.
Os pontos P e R, situados sobre os eixos Ox e Oy,
respetivamente, acompanham o movimento do ponto Q,
de tal forma que o segmento de reta [PQ] é sempre
paralelo ao eixo Oy e o segmento de reta [QR] é sempre
paralelo ao eixo Ox.
Para cada posição do ponto Q, seja x a amplitude do
ângulo AOQ e seja h  x  a área da região sombreada.
Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função h?
(A)
(B)
(C)
(D)
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2ª chamada, 2003
56. Considere a expressão f  x   a  b sin 2 x .
Sempre que se atribui um valor real a a e um valor real a b, obtemos uma função de domínio
.
56.1. Nesta alínea, considere a  2 e b  5 .
Sabe-se que tan  
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1
. Sem recorrer à calculadora, calcule f   .
2
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trigonometria
56.2. Para um certo valor de a e um certo valor de b, a função
f tem o seu gráfico parcialmente representado na figura
junta. Conforme essa figura sugere, tem.se:
 o contradomínio de f é  3,1 ;
 0 e  são maximizantes;



2
e

2
são minimizantes.
Determine a e b.
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2ª chamada, 2003
57. Na figura está representado a sombreado
um polígono [ABEG].
Tem-se que:
 [ABFG] é um quadrado de lado 2;
 FD é um arco de circunferência de
centro em B; o ponto E move-se ao
longo desse arco; e consequência, o
ponto C desloca-se sobre o segmento
[BD], de tal forma que se tem sempre
 EC    BD  ;

  
 x designa a amplitude, em radianos, do ângulo CBE  x  0,   .
 2 

57.1. Mostre que a área do polígono [ABEG] é dada, em função de x, por
A  x   2 1  sin x  cos x  .
Sugestão: pode ser-lhe útil considerar o trapézio [ACEG].
 
57.2. Determine A  0  e A   .
2
Interprete geometricamente cada um dos valores obtidos.
57.3. Recorra à calculadora para determinar graficamente as soluções da equação que lhe permite
resolver o seguinte problema:
Quais são os valores de x para os quais a área do polígono [ABEG] é 4,3?
Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o
gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes de alguns pontos.
Apresente os valores pedidos na forma de dízima, arredondados às décimas.
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 1ª chamada, 2003
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58. Considere uma circunferência de centro C e raio 1, tangente a uma reta r.
Um ponto P começa a deslocar-se sobre a circunferência, no sentido indicado na figura.
Inicialmente, o ponto P encontra-se à distância de 2 unidade da reta r.
Seja d   a distância de P a r, após uma rotação de amplitude  .
Qual das igualdades seguintes é verdadeira para qualquer número real positivo  ?
(A) d    1  cos x
(B) d    2  sin x
(C) d    1  cos x
(D) d    2  sin x
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59. Considere as funções f e g, de domínio
f  x 
, definidas por
1
 2e1 x
3
g  x   2sin x  cos x
59.1. Utilizando métodos exclusivamente analíticos, resolva a equação
f  x   g   ,
apresentando a solução na forma ln  ke  , onde k representa um número real positivo.
(ln designa logaritmo de base e)
59.2. Recorrendo à calculadora, determine as soluções inteiras da inequação f  x   g  x  , no
intervalo  0, 2  . Explique como procedeu.
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trigonometria
60. Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy, o
círculo trigonométrico e um triângulo [OAB].
Os pontos A e B pertencem à circunferência.
O segmento [AB] é perpendicular ao semieixo positivo Ox.
O ponto C é o ponto de interseção da circunferência com
o semieixo positivo Ox.

  
Seja  a amplitude do ângulo COA.     0,   .
 2 

Qual das expressões seguintes dá a área do triângulo [OAB], em função de  ?
(A) sin  .cos 
(B)
tan  .cos 
2
(C) tan  .sin 
(D)
tan  .sin 
2
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2ª chamada, 2002
61. De uma função f, de domínio
  ,   ,
sabe-se que a sua derivada f ' está definida
igualmente no intervalo   ,   e é dada por
f '  x   x  2cos x
61.1. Utilizando métodos exclusivamente analíticos, resolva as duas alíneas seguintes:
f  x   f  0
61.1.1.
Determine o valor de lim
61.1.2.
Estude a função f quanto às concavidades do seu gráfico e determine as abcissas
dos pontos de inflexão.
x 0
x
61.2. O gráfico de f contém um único ponto onde a reta tangente é paralela ao eixo Ox.
Recorrendo à sua calculadora, determine um valor arredondado às centésimas para a
abcissa desse ponto.
Explique como procedeu.
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trigonometria
62. Na figura está representado um quadrado [ABCD], de lado 1.
O ponto E desloca-se sobre o lado [AB], e o ponto F desloca-se sobre o lado [AD], de tal
forma que se tem sempre AE  AF .

  
Para cada posição do ponto E, seja x a amplitude do ângulo BEC  x   ,   .
 4 2 

Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, resolva as três alíneas seguintes:
62.1. Mostre que o perímetro do quadrado [CEAF] é dado, em função de x, por
2
2
f  x  2 

tan x sin x
62.2. Calcule lim_ f  x  e interprete geometricamente o valor obtido.
x

2
62.3. Mostre que f '  x  
2  2cos x
e estude a função f quanto à monotonia.
sin 2 x
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 1ª chamada, 2002
63. Na figura estão representados, em referencial o.n. Oxy:
 uma circunferência de raio 1, centrada no ponto
 0,1,1 e contida no plano yOz;
 o ponto A  0, 2,1 ;
 o ponto B, pertencente ao semieixo positivo Ox.
Considere que um ponto P, partindo de A, se desloca
sobre essa circunferência, dando uma volta completa, no
sentido indicado na figura.
Para cada posição do ponto P, seja  a amplitude, em radianos, do arco AP   0, 2  e
seja d   a distância de P ao ponto B.
Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função d?
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(A)
(B)
(C)
(D)
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64. Considere a função f, de domínio  ,   , definida por f  x  
cos x
.
1  cos x
Sem recorrer à calculadora, resolva as três alíneas seguintes.
64.1. Estude a função quanto à existência de assíntotas do seu gráfico.
64.2. Mostre que a função f tem um máximo e determine-o.
64.3. Na figura está representada, em referencial o.n. xOy, uma parte do gráfico da função f.
Na mesma figura está também representado um trapézio [OPQR].
O ponto O é a origem do referencial, e os pontos P e R pertencem aos eixos Ox e Oy,
respetivamente.
Os pontos P e Q pertencem ao gráfico de f.
Sabendo que o ponto R tem ordenada
1
, determine a área do trapézio.
3
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trigonometria
65. Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy:
 um quarto de círculo, de centro na origem e raio 1;
 uma semirreta paralela ao eixo Oy, com origem no ponto
1,0  ;
 um ponto A pertencente a esta semirreta;
 um ângulo de amplitude  , cujo lado origem é o semieixo
positivo Ox e cujo lado extremidade é a semirreta OA .
Qual das expressões seguintes dá a área da região sombreada,
em função de  ?

tan 
2
(B)

2
tan 
(C)  
tan 
2
(D)  
2
tan 
(A)

4

4
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66. Na figura está representado o gráfico da função f, de domínio  0, 2  , definida por
f  x   x  2cos x .
A e B são pontos do gráfico cujas ordenadas são extremos relativos de f.
66.1. Sem recorrer à calculadora, resolva as duas alíneas seguintes.
66.1.1.
Mostre que a ordenada do ponto A é
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 6 3
6
e que a do ponto B é
5  6 3
.
6
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trigonometria
66.1.2.
Qual é o contradomínio de f?
66.2. Considere a reta tangente ao gráfico de f no ponto A.
Esta reta interseta o gráfico num outro ponto C.
Recorrendo à calculadora, determine um valor aproximado para a abcissa do ponto C
(apresente o resultado arredondado às décimas).
Explique como procedeu (na sua explicação, deve incluir o gráfico, ou gráficos, que
considerou para resolver esta questão).
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2ª chamada, 2001
67. Na figura está representada uma pirâmide quadrangular regular.
Sabe-se que:
 a base da pirâmide tem centro F e lado 2;
 G é o ponto médio da aresta [BC];
 x designa a amplitude do ângulo FGE.
67.1. Mostre que a área total da pirâmide é dada, em função
de x, por
A x 
4cos x  4
cos x

  
 x   0,  
 2 

67.2. Calcule lim_ A  x  e interprete geometricamente o valor
x

2
obtido.
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68. Indique o valor de lim
x 0
(A) 
ln x
sin x
(B) 0
(C) 1
(D) 
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trigonometria
69. Considere a função h, de domínio
, definida por
 x 1
 x

 1
h x  
 2
 sin x
 2x

se
x0
se
x0
se
x0
69.1. Utilizando métodos exclusivamente analíticos, resolva as duas alíneas seguintes:
69.1.1.
Estude a função h quanto à continuidade no ponto O.
(Deve indicar, justificando, se a função h é continua nesse ponto e, no caso de
não ser, se se verifica a continuidade à esquerda, ou à direita, nesse mesmo
ponto.)
69.1.2.
Considere a função j, de domínio
\ 0 , definida por j  x  
1
.
3x
Mostre que, no intervalo  1,1000  , os gráficos de j e de h se intersetam em
1001 pontos.
69.2. Dos 1001 pontos referidos na alínea anterior, seja A o que tem menor abcissa positiva.
Determine as coordenadas desse ponto (apresente os valores na forma de dízima, com
aproximação às décimas).
matemática A – 12º ano, exame 435, prova modelo, 2001
x
2.
, definida por f  x  
ln  e x  4 
x  3sin
70. Considere a função f, de domínio
70.1. Sabe-se que existe lim f  x  e que o seu valor é um número inteiro.
x 
Recorrendo à sua calculadora, conjeture-o. Explique como procedeu.
70.2. Será conclusivo, para a determinação do valor de lim f  x  , um método que se basei
x 
exclusivamente na utilização da calculadora? Justifique a sua resposta.
matemática A – 12º ano, exame 435, prova modelo, 2001
71. Considere a função h, definida em
por h  x   sin x .
Qual das seguintes equações pode definir uma reta tangente ao gráfico de h?
(A)
y  2x  
(B)
y  2
(C)
y  2 x9
(D)
yx
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trigonometria
72. Considere a função f, definida em
, definida por f  x   2 x  cos x .
72.1. Recorrendo ao Teorema de Bolzano, mostre que a função f tem, pelo menos um zero, no
intervalo 0,   .
72.2. Seja f ' a função derivada de f. Mostre que f '  x   0, x  , e justifique que o zero de
f, cuja existência é garantida pelo enunciado da alínea anterior, é o único zero desta função.
72.3. Na figura abaixo estão representadas:
 parte do gráfico da função f;
 parte de uma reta r, cuja inclinação é de 45º, que contém o ponto A  3,0  e que
interseta o gráfico da função f no ponto B.
Recorrendo à sua calculadora, determine a área do triângulo [AOB], onde O designa a
origem do referencial. Apresente o resultado arredondado às unidades.
Nota: sempre que, nos valores intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, uma
casa decimal.
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2000
73. Um satélite S tem uma órbita elíptica em torno da Terra, tal como se representa na figura.
Tenha em atenção que os elementos nela desenhados não estão na mesma escala.
Na elipse estão assinalados dois pontos:
- o apogeu, que é o ponto da órbita mais afastado do centro da Terra;
- o perigeu, que é o ponto da órbita mais próximo do centro da Terra.
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trigonometria
O ângulo x, assinalado na figura, tem o seu vértice no centro da Terra; o seu lado origem
passa no perigeu, o seu lado extremidade passa no satélite e a sua amplitude estão
compreendida entre 0 e 360 graus.
A distância d, em km, do satélite ao centro da Terra, é dada por d 
7820
.
1  0,07 cos x
Considere que a Terra é uma esfera de raio 6378 km.
73.1. Determine a amplitude do satélite (distância à superfície da Terra) quando este se encontra
no apogeu. Apresente o resultado em km, arredondado às unidades.
73.2. Num certo instante, o satélite está na posição indicada na
figura.
A distância do satélite ao centro da Terra é, então, de
8200 km.
Determine o valor de x, em graus, arredondado às
unidades.
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2ª chamada, 2000
74. Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A)
(C)
lim sin x  0
(B)
lim sin x  1
(D) Não existe lim sin x
x 
x 
lim sin x  
x 
x 
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 1ª chamada, 2000
75. No ano civil de 2000, em Lisboa, o tempo que decorreu entre o nascer e o pôr-do-sol, no dia
de ordem n do ano, foi dado em horas, aproximadamente, por
f  n   12, 2  2,64sin
  n  81
183
fn  1, 2,3,...,366
(o argumento da função seno está expresso em radianos).
Por exemplo: no dia 3 de fevereiro, trigésimo quarto dia do ano, o tempo que decorreu entre
o nascer e o pôr-do-sol foi de f  34   10,3 horas.
75.1. No dia 24 de Março, Dia Nacional do Estudante, o sol nasceu às seis e meia da manhã. Em
que instante ocorreu o pôr-do-sol? Apresente o resultado em horas e minutos (minutos
arredondados às unidades).
Notas:
 Recorde que, no ano 2000, o mês de fevereiro teve 29 dias;
 Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três
casas decimais.
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trigonometria
75.2. Em alguns dias do ano, o tempo que decorre entre o nascer e o pôr-do-sol é superior a 14,7
horas. Recorrendo à sua calculadora, determine em quantos dias do ano é que isso acontece.
Indique como procedeu.
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 1ª chamada, 2000
76.
76.1. Seja [ABC] um triângulo isósceles em que BA  BC .
Seja  a amplitude do ângulo ABC.
Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada por
2
BC
 sin 
2
  0,  
76.2. Considere agora um polígono regular de n lados, inscrito numa circunferência de raio 1.
Utilize o resultado da alínea anterior para mostrar que a área do polígono é dada por
An 
n
 2 
sin 

2
 n 
76.3. Determine e interprete o valor de lim An .
n 
matemática A – 12º ano, exame 435, prova modelo, 2000
77. Indique qual das expressões seguintes define uma função injetiva, de domínio
(B) x 2  x
(A) cos x
(C)
x 1
.
(D) x 3
matemática A – 12º ano, exame 135, 2ª fase, 1999
78. Na figura está
triângulo [ABC].
representado
um
Tem-se que:
 x designa a amplitude do ângulo
BAC;
 a amplitude do ângulo BCA é igual
ao dobro da amplitude do ângulo
BAC;
 a altura BD é igual a 10.
Seja g  x  
75  25 tan 2 x
tan x
 
78.1. Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada por g  x  , para qualquer x   0,  .
 4
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trigonometria
78.2. Considere o triângulo [ABC] quando x 

4
.
Classifique-o quanto aos ângulos e quanto aos lados e prove que a sua área ainda é dada
por g  x  .
matemática A – 12º ano, exame 135, 2ª fase, 1999
79. Na figura estão as representações
gráficas de duas funções, f e g, de
domínio  0, 2  , definidas por:

f  x   sin  2 x  ;

5 

g  x   cos  2 x 
;
6 


P1 , P2 , P3 e P4 são pontos de
interseção dos gráficos de f e de g;
 a abcissa de P1 é

.
3
79.1. Mostre que são perpendiculares as retas tangentes aos gráficos de f e de g no ponto P1 .
79.2. Determine as coordenadas de P2 .
79.3. Defina, por meio de uma condição, a região sombreada, incluindo a fronteira.
matemática A – 12º ano, exame 135, 1ª fase, 2ª chamada, 1999
80. Considere a função f :

1  x 2 e x 1

, definida por f  x    x  sin x

x

se
x0
se
x0
80.1. Estude a função f quanto à continuidade.
80.2. Mostre que f admite um único máximo no intervalo ,0 e determine-o.
80.3. Seja r a reta de equação y  1 .
Mostre que existem infinitos pontos de interseção da reta r com o gráfico de f.
matemática A – 12º ano, exame 135, 1ª fase, 1ª chamada, 1999
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trigonometria
e 2 x  k

81. Para um certo número real k, é contínua a função m definida por m  x    sin x

 x
se
x0
se
x0
O valor de k é
(A) 1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
matemática A – 12º ano, exame 135, 2ª fase, 1998
82. Na figura


 o triângulo [ABC] é isósceles AB  BC ;
 [DEFG] é um retângulo: DG  2 e DE  1 ;
 x designa a amplitude do ângulo BAC.
82.1. Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada, em
função de x, por
f  x   2  tan x 
1
tan x

  
 x   0,  
 2 

ˆ .
ˆ  BAC
Nota: pode ser-lhe útil reparar que BEF
82.2. Mostre que f '  x   
cos  2 x 
sin 2 x.cos 2 x
( f ' designa a derivada de f).
82.3. Determine o valor de x para o qual a área do triângulo [ABC] é minha.
matemática A – 12º ano, exame 135, 2ª fase, 1998
83. Considere a função f definida por f  x   sin  x 2  .
Indique qual das expressões seguintes define f ' , função derivada de f.
(A) 2 x.cos  x 2 
(B) cos  x 2 
(C) 2 x.cos  2 x 
(D)  cos  x 2 
matemática A – 12º ano, exame 135, 1ª fase, 2ª chamada, 1998
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trigonometria
84. A figura abaixo representa um canteiro de forma circular
com 5 m de raio.
O canteiro tem uma zona retangular, que se destina à
plantação de flores, e uma zona relvada, assinalada a
sombreado na figura.
Os vértices A, B, C e D do retângulo pertencem à
circunferência que limita o canteiro.
Na figura estão também assinalados:
 dois diâmetros da circunferência, [EG] e [HF], que
contém os pontos médios dos lados do retângulo;
 o centro O da circunferência;

  
 o ângulo BOF, de amplitude x  x   0,   .
 2 

84.1. Mostre que a área (em m2) da zona relvada é dada, em função de x, por
g  x   25  50sin  2 x 
84.2. Recorrendo ao Teorema de Bolzano, mostre que existe um valor de x compreendido entre


e
para o qual a área da zona relvada é 30 m2.
6
4
matemática A – 12º ano, exame 135, 1ª fase, 2ª chamada, 1998
85. Duas povoações, A e B, distanciadas 8 km uma da
outra, estão a igual distância de uma fonte de
abastecimento de água, localizada em F.
Pretende-se construir uma canalização ligando a
fonte às duas povoações, como se indica na figura
abaixo. A canalização é formada por três canos:
um que vai da fonte F até um ponto P e dois que
partem de P, um para A e outro para B. O ponto P
está a igual distância de A e de B.
Tem ainda que:
 o ponto M, ponto médio de [AB], dista 4 km de F;

  
 x é uma amplitude de ângulo PAM  x  0,   .
 4 

85.1. Tomando para unidade o quilómetro, mostre que o comprimento total da canalização é
dado por
g  x  4 
(Sugestão: comece por mostrar que PA 
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8  4sin x
cos x
4
e que FP  4  tan x )
cos x
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trigonometria
85.2. Calcule g  0  e interprete o resultado obtido, referindo a forma da canalização e
consequente comprimento.
85.3. Determine o valor de x para o qual o comprimento total da canalização é mínimo.
matemática A – 12º ano, exame 135, 1ª fase, 1ª chamada, 1998
86. Um navio encontra-se atracado num porto.
A distância h, de um dado ponto do casco do navio ao fundo do mar, varia com a maré.
Admita que h é dada, em função do tempo x, por h  x   10  3cos  2 x  .
A distância desse ponto do casco ao fundo do mar, no momento da maré-alta, é
(A) 4
(B) 10
(C) 13
(D) 16
matemática A – 12º ano, exame 135, 2ª fase, 1997
87. Na figura ao lado pode observar-se parte da
representação gráfica da função f definida por
f  x   cos   .ln  x  1
Os pontos P, Q, R e S são pontos de interseção
do gráfico da função f com o eixo das abcissas.
A abcissa do ponto P é
(A)
1
2
(B) 1
(C)
3
2
(D) 2
matemática A – 12º ano, exame 135, 1ª fase, 2ª chamada, 1997
88. Uma roda gigante de um parque de diversões tem doze cadeiras, numeradas de 1 a 12, com
um lugar cada uma (ver figura abaixo). Seis raparigas e seis rapazes vão andar na roda
gigante e sorteiam entre si os lugares que vão ocupar.
Depois de toda a gente estar sentada nas respetivas cadeiras, a roda gigante começa a girar.
Um dos rapazes, O Manuel, ficou sentado na cadeira número 1. No instante em que a roda
gigante começa a girar, a cadeira está na posição indicada na figura.
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Admita que a distância, em metro, da cadeira 1 ao solo, t segundos a roda gigante ter
começado a girar, é dada por
 
d  t   7  5sin  
 30 
88.1. Determine a distância a que a cadeira número 1 se encontra do solo no instante em que a
roda gigante começa a girar.
88.2. Esboce o gráfico da função d, para t   0,75 .
Assinale as coordenadas dos pontos correspondentes aos extremos da função.
Da análise do gráfico, indique quanto tempo demora o Manuel a dar uma volta completa.
88.3. Resolva a equação d  t   9,5 para t   0,75 .
Indique, justificando, quanto tempo demora o Manuel a encontrar-se pela primeira vez a
uma distância de 9,5 metros do solo, depois da roda gigante ter começado a girar.
88.4. Indique, justificando, qual é o comprimento do raio da roda gigante.
matemática A – 12º ano, exame 135, 1ª fase, 2ª chamada, 1997
89. Uma função real de variável real f é tal que f  0   1 .
Indique qual das seguintes expressões pode definir a função f.
(A)
x2
x 1


(C) tan  3 x  
2

(B)
ln x
x 1
(D) 2sin x
matemática A – 12º ano, exame 135, 1ª fase, 1ª chamada, 1997
90. Indique qual das seguintes figuras pode ser parte da representação gráfica da função definida
1
por s  x  
.
sin x
(A)
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(B)
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(C)
(D)
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91. Considere, num referencial o.n. Oxyz, um cilindro de revolução
como o representado na figura junta.
A base do cilindro tem centro na origem O do referencial e está
contida no plano xOy.
[BC] é um diâmetro da base inferior, contido no eixo Oy. O ponto
C tem coordenadas  0, 5,0  .
O ponto A pertence à circunferência que limita a base inferior do
cilindro e tem coordenadas  4,3,0  .
A reta r passa no ponto B e é paralela ao eixo Oz.
O ponto D pertence à reta r e à circunferência que limita a base superior do cilindro.
Designando por  a amplitude, em radianos, do ângulo BOD, mostre que o volume do
 
cilindro é dado por V    125 tan  , com    0,  .
 2
Determine lim_ V   e interprete o resultado obtido.


2
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92. Dos quatro ângulos seguintes, um deles tem 1 radiano de amplitude. Identifique-o.
(A)
(B)
(C)
(D)
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93. Seja s a função definida em
sin x
por s  x   
x  
se
x 
se
x 
Indique qual das afirmações seguintes é verdadeira.
(A) s é descontínua em x  
(B) s tem um mínimo relativo para x  
(C) s tem um máximo relativo para x  
(D) s tem derivada em x  
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94. Considere, num referencial o.n. Oxyz, a superfície
esférica de equação x 2  y 2  z 2  25 .
A superfície esférica está representada na figura junta.
 os pontos A, B e C são pontos dessa superfície;
 o ponto A tem coordenadas  0, 4,3  ;
 o ponto B tem coordenadas  0, 4,3 ;
 o ponto C é um ponto de cota negativa do eixo Oz.


ˆ .
Calcule tan ACB
matemática A – 12º ano, exame 135, prova modelo, 1997
Bom trabalho!!
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Principais soluções
1. (C)
18.(C)
19.
32 2
2. A   
9
3. (C)
19.1.
4.
21.
4.1.

7
12
19.2.
20.f é contínua em x  1 .
21.1.
21.2. Afirmação verdadeira.
4
4.2. Concavidade voltada para cima:
      
 2 ;  6    6 ; 4 

 

Concavidade voltada para baixo:
  
 6 ; 6 


Abcissas dos pontos de inflexão:


x e x
6
6
22. x  2, 63
23.
23.1.
23.2.  
25.1.
25.2.  
26.
6.1.
6.2.
7. Não é continua em x  1 .
26.2. 
8.1.
8.2. 12
9. (A)

10. a  
6
11. x  0 quando x  0
12.
12.1.
12.2.
2
24. b  2
25.
5.
6.
8.


4
26.1.
10
3
26.3. x  0, 24
27.
27.1. y  2 x
27.2. A ABC   0, 2
28.(D)
29.(A)
30.(D)
31.
31.1. I é verdadeira e II é falsa.
13.
31.2. d  x   cos x  9  sin 2 x
13.1.
32.
3
13.2. P '   
2
14.
14.1.
14.2. x 

3
15.(A)
16.
1
20
16.2. Concavidade voltada para baixo em todo o
 2  
domínio  
, 
3
 3
16.3.
17.(A)
16.1. 
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32.1. g '  0   4
32.2. Estritamente crescente:
    3  
 0, 8    8 , 2 

 

Estritamente decrescente:
  3 
8 , 8 


Máximo relativo

3 para x 
8
Mínimo relativo
3
1 para x 
8
33.Assíntotas verticais
x0
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Assíntota horizontal
y0
34.(A)
35.(C)
36. a  1, 36 ; b  4,61

37.  
3
38.
Abcissas dos pontos de inflexão:
x0 e x 

5
53.3. x  e x 
4
4
54.Deve ser apurada para a final.
55.(B)
56.
56.1. f    1
38.1.
38.2.
39.(D)
56.2. a  1 e b  4
40.
 
57.2. A  0   4 e A    4
2
57.3. x  0, 2 ou x  1, 4
58.(A)
40.1. Distância máxima: 152,1
Distância mínima: 147,1
40.2.
40.2.1.
40.2.2. 147,1 milhões de quilómetros
41.(C)
42.
3
2
42.2. t  0, 5
42.1.
43. a  3, 37
b  0, 63
44.(A)
45.
45.1.
45.2. Assíntotas verticais:
x   ; x  2
46.(A)
47.
47.1.
47.2. x  0, 42
48.(D)
49.
49.1. 6 vezes
49.2. 3,4 cm
50.(B)
51.
51.1. 503 m3
51.2. 3,4 radianos
51.3. 98 m3
51.4. Gráfico B
52.(B)
53.
53.1. f '  0   2
53.2. Concavidade voltada para cima:
0,  
Concavidade voltada para baixo:
    3 
  2 , 0    , 2 

 

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57.
57.1.
59.
59.1. ln  3e 
59.2. 0, 1, 4, 5 e 6
60.(A)
61.
61.1.
61.1.1.
f '  0  2
61.1.2. Concavidade voltada para cima:
   5 

  , 6    6 ,  

 

Concavidade voltada para baixo:
  5 
6 , 6 


Abcissas dos pontos de inflexão:

5
x e x
6
6
61.2. 1, 03
62.
62.1.
62.2. lim_ f  x   4
x

2
62.3. f '  x   0 , logo f  x  é crescente.
63.(B)
64.
64.1. Assíntotas verticais:
x   ; x  
1
64.2. Máximo f  0   .
2
5
64.3. A 
36
65.(A)
66.
66.1.
66.1.1.
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trigonometria
 5  6 3

, 2  2 
66.1.2. 
6


66.2. 3,8
67.
67.1.
67.2. lim_ A  x   
x
80.3.
81.(B)
82.
82.1.
82.2.
82.3.


4
83.(A)
84.
2
68.(A)
69.
69.1.
69.1.1. A função não é contínua no ponto 0. A
função é contínua à direita de 0
69.1.2.
69.2. A  0, 7;0,5
84.1.
84.2.
85.
85.1.
85.2. g  0   12
85.3. x 
70.
70.1. lim f  x   1
x 
70.2. Não é conclusivo.
71.(D)
72.
72.1.
72.2.
72.3.
73.
73.1. 2031
73.2. 229º
74.(D)
75.1. f  84   12,336
Pôr-do-sol: 18h e 50 m
75.2. 38 dias.
76.
76.1.
76.2.
76.3. lim An   . Área do círculo.
n 
6
86.(C)
87.(C)
88.
88.1. d  0   7
88.2.
88.3. t  5
88.4. 2,5 m
89.(D)
90.(A)
91. lim_ V    

75.


2
92.(C)
93.(B)
94.
95.
95.1.
95.2. x 

3
77.(D)
78.
78.1.
78.2. Triângulo retângulo e isósceles.
79.
79.1.
 5
3
,
79.2. P2  

2 
 6

5 

79.3. 0  x   cos  2 x 
  y  sin  2 x 
3
3 

80.
\ 0
80.1. Continua em
80.2. f  2   1 
4
e
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