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UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES
PÓS-GRADUAÇÃO "LATO SENSU"
PROJETO A VEZ DO MESTRE
O USO DA INFORMÁTICA NO APRENDIZADO DA
MATEMÁTICA
Conceição Macedo da Silva
Orientador:
Professor Antonio Fernando Vieira Ney
Rio de Janeiro
Março/2005
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UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES
PÓS-GRADUAÇÃO "LATO SENSU"
PROJETO A VEZ DO MESTRE
O USO DA INFORMÁTICA NO APRENDIZADO DA
MATEMÁTICA
Conceição Macedo da Silva
Apresentação de monografia ao Conjunto Universitário
Candido Mendes como condição prévia para a conclusão
do Curso de Pós-Graduação “Lato Sensu” em Docência
do Ensino Superior.
Rio de Janeiro
Março/2005
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AGRADECIMENTOS
A minha mãe - Maria de Souza Macedo, a todos os
colegas de classe e em especial aos integrantes do
grupo - Eliane Furtado, Claudia Thimoteo, Antonio
Carlos, Julio César, Paulo Henrique, Solange e Maria
Olinda e aos Professores Antonio Lourenço, Nilson,
Celso Sanchez, Ana Paula Lettieri, Maria C. Moraes,
Cristie Campeelo, Shirlei e Helena Castro.
Ao maior de todos os mestres, JESUS CRISTO, meu
profundo e sincero agradecimento por todo amor e
compaixão por mim e pelos que me são queridos.
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DEDICATÓRIA
Dedico esta minha realização a Leonardo Macedo da
Silva, Leane Macedo da Silva – meus queridos filhos e a
meu marido Cláudio da Silva, que aprenderam a conviver
com minha ausência, me apoiando e ajudando a alcançar
os objetivos.
E a cada pessoa que de uma forma ou de outra, se
fizeram presentes ao longo dos meus dias, meus sinceros
e eternos agradecimentos.
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RESUMO
Pretendemos demonstrar algumas situações em que
veremos o uso da informática no aprendizado da matemática, criando opções
de ensino. Mostrando alguns softwares interessantes e talvez até,
imprescindíveis ao curso de docência superior na formação do professor de
matemática. As possibilidades de uso do computador como ferramenta
educacional estão crescendo e os limites dessa expansão são desconhecidos.
Cada dia surgem novas maneiras de usar o computador como um recurso para
enriquecer e favorecer o processo de aprendizagem.
Esperamos apresentar uma opção de ensino a ser
implementado aos docentes do ensino superior, mostrando o uso de
programas computacionais adequados, como mais um recurso de apoio ao
ensino/aprendizagem de conteúdos, a fim de enriquecer a formação dos
professores de matemática a luz das novas tecnologias, elevando a qualidade
do ensino.
“A educação é um processo social, é desenvolvimento.
Não é a preparação para a vida, é a própria vida.”
John Dewe
y
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METODOLOGIA
Emprega-se o método de pesquisa bibliográfica no
desenvolvimento desta monografia, recorrendo-se, portanto, apenas a fontes
escritas: livros, periódicos e textos publicados na Internet, destacando citações
pertinentes à discussão do tema, mencionando as fontes consultadas nas
referencias bibliográficas; avaliando diferentes softwares, dando ênfase
àqueles que apresentam recursos para as práticas pedagógicas.
“Nem todos podem tirar um curso superior. Mas todos
podem ter respeito, alta escala de valores e as qualidades
de espirito que são a verdadeira riqueza de qualquer
pessoa.”
Alfred Montaper
t
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO
08
CAPITULO I
1.1 - A elevada dificuldade de aprendizagem da
matemática pela metodologia tradicional
12
1.2 – A interatividade
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CAPÍTULO II
2.1 - Alguns softwares
17
CAPÍTULO III
3.1 - A Formação dos docentes para uso dos softwares
31
CONCLUSÃO
34
BIBLIOGRAFIA
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"Acreditar que não acreditamos em nada,
é crer na crença do descrer".
Millôr Fernandes
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INTRODUÇÃO
O uso da informática no processo de ensino e
aprendizagem da Matemática depende da existência de uma docência superior
em condições de formar professores preparados para lidar com a nova
realidade mundial à luz das novas tecnologias. Não é suficiente ter domínio da
tecnologia. É preciso saber como usar essa tecnologia em favor da
aprendizagem.
Pensar a Informática como um recurso pedagógico que
propicia um aumento na eficiência e na qualidade do ensino é, antes de tudo,
pensá-la vinculada á realidade da educação de seus professores e alunos, é
pensá-la voltada para a busca da superação dos problemas de ensino e. enfim
procurar identificar formas de seu uso que constituam respostas para os
problemas de nossa Educação.
Nesse contexto, cabe a Universidade a formação dos
recursos humanos responsáveis pela condução e resolução dos problemas que
afligem a sociedade. A qualidade desta modalidade de ensino é objeto
constante de preparação por parte de todos aqueles que direta ou
indiretamente estão envolvidos no processo educacional. Assim, a acentuada
perda de qualidade do ensino universitário e sua concomitante massificação
têm levado invariavelmente a um decréscimo qualitativo na formação de
recursos humanos.
A Universidade não está sendo capaz de formar
indivíduos que, no exercício de suas funções na sociedade, possam propor e
implementar as soluções exigidas. Desse modo, a definição da participação da
docência
superior
na
resolução
dos
problemas
nacionais
passa,
obrigatoriamente, pela consideração do papel fundamental que tem o professor
como individuo e o corpo docente como grupo.
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A utilização mais intensa e abrangente de métodos a
técnicas pedagogicamente adequados ao contexto da Universidade deve
abranger a capacitação do docente universitário no sentido de prover-lhe urna
formação didatico-pedagogica suficientemente consistente a ponto de produzir
melhoria na qualidade de seu ensino. Assim sendo, segundo LESOURE
(1988):
“Para que a Informática penetre na escola, uma condição
local essencial deve ser cumprida: a existência de urna
equipe de professores motivados, capazes de dedicar
tempo a um projeto pedagógico preciso, e dispondo de
meios que lhes permitam adquirir ou adaptar os
programas, garantir a manutenção e estocagem do
material e organizar os locais necessários”. (p.21).
A docência superior é o principal agente de inovação
educacional sem ela nenhuma mudança persiste, nenhuma transformação é
possível.
A
educação
brasileira
passa
por
um
momento
especialmente critico e caótico. Diante dessa realidade duas posições básicas
podem ser assumidas, segundo CANDAU (l992):
- A primeira analisa a crise como uma disfunção do
sistema. Este não é colocado em questão. Trata-se de melhorar, aperfeiçoar o
sistema e perguntar-se sobre o papel da Informática nesta perspectiva.
- A segunda posição parte da necessidade de uma
mudança estrutural da sociedade e, conseqüentemente, da educação. O
Sistema de Ensino tem de ser repensado a partir da ênfase no seu
compromisso com a socialização do conhecimento e a formação para uma
cidadania consciente, ativa e critica.
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Não tem sentido reforçar uma perspectiva em que a
aprendizagem seja concebida quase que exclusivamente como processo de
assimilação, adestramento intelectual, profissional e social. Necessitamos
favorecer o potencial reflexivo, não somente o pensamento convergente e
analítico, mas também divergente e intuitivo.
Este suporte é a possibilidade do “fazer matemática”,
experimentar, visualizar múltiplas facetas, generalizar, conjeturar e enfim
demonstrar exemplos de alguns ambientes que ilustram tal processo. É o aluno
agindo, diferentemente de seu papel passivo frente a uma apresentação formal
do conhecimento, baseada essencialmente na transmissão ordenada de ‘fatos’,
geralmente na forma de definições e propriedades. Numa tal apresentação
formal e discursiva, os alunos não se engajam em ações que desafiem suas
capacidades cognitivas, sendo-lhes exigido no máximo memorização e
repetição, e conseqüentemente não são autores das construções que dão
sentido ao conhecimento matemático.
O processo de pesquisa vivenciado pelo matemático
profissional evidencia a inadequabilidade de tal abordagem. Na pesquisa
matemática, o conhecimento é construído a partir de muita investigação e
exploração, e a formalização é simplesmente o coroamento deste trabalho, que
culmina na escrita formal e organizada dos resultados obtidos.
O
professor
tem
como
objetivo
desenvolver
o
conhecimento do aluno levando em consideração seu conhecimento anterior e
seu ambiente social. Também é preciso fazer um trabalho coletivo com os
outros professores, já que a Matemática também é utilizada em outras
disciplinas, principalmente na Física, e esta interdisciplinaridade é muito
importante para se obter um ensino de qualidade. Desta forma, é preciso
modernizar o ensino e utilizar o computador como mais uma ferramenta a se
utilizar em sala de aula, além do material convencional. Neste trabalho iremos
mostrar uma maneira de utilizar a informática como ferramenta de ensino.
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“É aconselhável que a figura ilustrativa de um teorema
seja desenhada em todos os casos e formas possíveis,
então as demonstrações abstratas devem ser uma
pequena parte da instrução e devem ser dados quando,
por familiaridade com as ilustrações concretas, elas
venham a se incorporar de forma natural no fato visível”.
Bertrand Russel
12
CAPÍTULO I
1.1 - A elevada dificuldade de aprendizagem
da matemática pela metodologia tradicional
As razões pelas quais se ensina matemática na escola
não são diferentes das razões pelas quais se propõe o uso do computador na
escola. Os alunos devem aprender por si próprios as idéias matemáticas,
Devem ser capazes de identificar padrões, fazer generalizações e usar
experiências e observações para formular os conhecimentos. Devem aprender
a usar contra-exemplos para mostrar que uma conjectura é falsa ou não, fatos
conhecidos e argumentos lógicos para a validar. Devem ser capazes de
distinguir argumentos válidos de argumentos não válidos.
Criar e explorar o modelo de um fenômeno é uma
experiência importante no processo de aprendizagem. Segundo Ogborn
(1997):
“Quando se constroem modelos começa-se a pensar
matematicamente. A analise de um modelo novo
matemático, pode levar a compreensão de conceitos
profundos, como por exemplo, a noção fundamental de
taxa de variação... A criação de modelos é o inicio do
pensamento puramente teórico sobre o funcionamento
das coisas”.
O fato de um número mínimo de axiomas dar origem a um
tipo de geometria ou de teoria dos números é impressionante como estrutura
lógica. Essa beleza e o poder mental que a construção dessa estrutura exige
que deveria ser transmitida aos alunos.
Em artigo
no “Mathematical Intelligencer, Chandller
&¨Edwards”, fazem a seguinte referencia:
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“Para os matemáticos, um perene problema é explicar ao
grande público que a importância da matemática vai além
de sua aplicabilidade. E como explicar a alguém que
nunca ouviu musica a beleza de uma melodia... Que se
aprenda a Matemática que resolve problemas práticos da
vida, mas que não se pense que esta é a sua qualidade
essencial. Existe uma grande tradição cultural a ser
preservada e enriquecida, em cada geração. Que se
tenha cuidado, ao educar, para que nenhuma geração
torne-se surda às melodias que são a subsistência de
nossa grande cultura matemática...”
A mesma satisfação que o matemático encontra em
raciocinar e organizar o seu pensamento, segundo estas estruturas
matemáticas, o aluno deveria encontrar em resolver um problema.
A matemática auxilia o homem a entender e dominar o
mundo físico e até certo ponto o mundo econômico e social. Propicia o
desenvolvimento disciplinado do raciocínio lógico-dedutivo. A própria origem da
palavra “matemática” significa a técnica de entender ou compreender. Portanto,
fazer matemática exige, necessariamente, o desenvolvimento de habilidades
ou técnicas de pensamento ou raciocínio. O processo de fazer matemática,
pensar, raciocinar, é fruto da imaginação, intuição e erro. A organização da
confusão significa que o matemático desenvolveu uma seqüência lógica,
passível de ser comunicada ou colocada no papel.
O fato matemático é passado ao aluno como algo
consumado, pronto, que ele deve memorizar e ser capaz de aplicar em outras
situações que encontrar na vida.
Como ele não entende o uso pratico imediato do que está
aprendendo, não se “empolga” e por isso muitas vezes encontra dificuldade em
14
aprender. Nesse sentido, George Polya (Universidade Stanford, 01/08/1944)
diz:
“Uma grande descoberta resolve um grande problema,
mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução
de qualquer problema. O Problema pode ser modesto,
mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as
faculdades inventivas, quem o resolver por seus meios,
experimenta a tensão e gozará o triunfo da descoberta.
Experiências tais, numa idade suscetível, poderão gerar o
gosto pelo trabalho mental e deixar, por toda a vida, a sua
marca na mente e no caráter”.
1.2 - A interatividade
Segundo Maria Alice Gravina Lucila Maria Santarosa em
seu trabalho “A APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA EM AMBIENTES
INFORMATIZADOS”, como interatividade entende-se aqui a dinâmica entre
ações do aluno e reações do ambiente, e no sentido muito além daquele em
que a reação do sistema é simplesmente informar sobre “acerto” ou “erro”
frente à ação do aluno, não fornecendo nenhuma contribuição ao processo de
aprendizagem. Na interatividade que se está pensando, o sistema oferece
suporte as concretizações e ações mentais do aluno: isto se materializa na
representação dos objetos matemáticos na tela do computador e na
possibilidade de manipular estes objetos via sua representação.
A ‘reação’ do ambiente, correspondente à ação do aluno,
funciona como ‘sensor’ no ajuste entre o conceito matemático e sua
concretização mental. Um meio que pretenda ser interativo, na medida do
possível, não deve frustrar o aluno nos procedimentos exploratórios associados
as suas ações mentais. Isto vai depender dos recursos que coloca a disposição
e do nível de automação nos procedimentos. Alguns dos recursos já
disponíveis em certos ambientes: ferramentas para construção de objetos
matemáticos, múltiplas representações, procedimentos dos alunos podem ser
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registrados ou automatizados (captura de procedimentos), auto-escala
automática, zoom-in e zoom-out, dados que se atualizam com a dinâmica da
situação, traçado de lugares geométricos, cálculos automáticos.
Quanto ao potencial das múltiplas representações,
considerando que um mesmo objeto matemático pode receber diferentes
representações e que estas registram diferentes facetas do mesmo, uma
exploração que transita em diferentes sistemas torna-se significativa no
processo de construção do conceito. Por exemplo, a uma função pode-se
associar uma representação gráfica que evidencia variações qualitativas, ou
uma representação matricial numérica que evidencia variações quantitativas,
ou ainda um fenômeno cujo comportamento é dado pela função. Ou ainda,
pode-se estudar família de funções sob o ponto de vista de operações
algébricas
e
correspondentes
movimentos
geométricos
nos
gráficos
associados.
Os programas que fazem ‘traduções’ entre diferentes
sistemas
de
representação
apresentam-se
como
potentes
recursos
pedagógicos, principalmente porque o aluno pode concentrar-se em interpretar
o efeito de suas ações frente as diferentes representações, até de forma
simultânea, e não em aspectos relativos a transição de um sistema a outro,
atividade que geralmente demanda tempo.
Captura
de
procedimentos
é
recurso
encontrado
particularmente, em programas para Geometria. Automaticamente são
gravados os procedimentos do aluno em seu trabalho de construção, e
mediante solicitação o aluno pode repassar a ‘história’ do desenvolvimento de
sua construção. Isto permite ao aluno refletir sobre suas ações e identificar
possíveis razões para seus conflitos cognitivos. Este recurso também permite
que o aluno explore construções feitas por outrem, o que sempre se apresenta
como fonte de riqueza em idéias matemáticas.
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Ainda através da captura de procedimentos, construções
particulares podem ser automaticamente generalizadas, gravadas e testadas
em outras situações (são as macro construções). A captura é feita na
semântica da Geometria, não dependendo de sintaxe
particular
de
programação. Por exemplo, um procedimento de construção das mediatrizes é
generalizado e pode ser aplicado a qualquer outro triângulo, evidenciando-se
no suporte concreto que a interseção das mediatrizes em único ponto não
depende de particularidades do triângulo. Vê-se assim o ambiente favorecendo
a construção de conjeturas, o que exige raciocínios mediados pelo constante
processo de ‘assimilação versus acomodação’. É claro que a construção do
conhecimento vai além e não se realiza enquanto a argumentação matemática
explícita não torna evidente o ‘por que desta propriedade’. Nesta fase final de
construção,
a
demonstração
da
propriedade,
o
ambiente
continua
desempenhando seu papel através da possibilidade de acrescentar novos
elementos à representação que está sendo manipulada, no caso os segmentos
que determinam os triângulos cujas congruências são a base para a
argumentação.
“A ciência é uma árvore de raízes amargas, mas seus
frutos são doces”.
Aristóteles
17
CAPÍTULO II
2.1 - Alguns softwares
Ao longo da
pesquisa foram
encontrados
alguns
programas interessantes para o ensino e aprendizagem de matemática. Todos
são facilmente encontrados na Internet. Muitos em versões gratuitas outros em
versões pagas.
a) Cabri-Geometre: (Windows) software de construção
em geometria desenvolvido por Jean-Marie Laborde e Frank Bellemain no
Institut d’Informatique et de Mathematiques Appliquees em Grenoble (IMAG),
na França, em cooperação com o “Centre National de la Recherche
Scientifique (CNRS)” e a ”Texas Instruments “. Com
esta ferramenta, os
desenhos dos objetos geométricos são feitos a partir das propriedades
geométricas que os definem. Mas não é só isto que o software oferece, e é
aqui que está o seu grande potencial — registrado no seu próprio nome ”Cahier
de Brouillon Interactive“ (Caderno Interativo de Rascunho) - através de
deslocamentos aplicados aos elementos que compõem o desenho, este se
transforma, mantendo as relações geométricas que caracterizam a situação.
Assim, para um dado objeto temos associada uma coleção de ”desenhos em
movimento“ e os invariantes que aí aparecem correspondem às propriedades
geométricas do objeto.
Se estamos interessados em significativa construção de
conhecimento em geometria. Esta ferramenta pode ajudar muito os alunos. Isto
porque:
• se sob ação de movimento, o desenho não corresponde
ao desejado, duas são as possibilidades: ou o objeto foi mal construído (o que
significa que propriedades que caracterizam o objeto não foram bem utilizadas)
ou é a imagem visual do objeto que não e adequada (isto é, a construção foi
feita corretamente, mas é a imagem mental que não esta adequada ao objeto
18
geométrico em questão). O “feedback” oferecido pelo ambiente propicia aos
alunos o ajuste das propriedades dos objetos com as imagens mentais que são
construídas ao longo do processo de exploração;
• configurações clássicas da Geometria passam a ter
múltiplas representações e com isto se incorporam à imagem mental da
configuração, passando a ser identificadas facilmente em situações diferentes
daquelas prototípicas que se apresentam no desenho estático do livro. É a
possibilidade de diversidade de imagens mentais;
• os desenhos em movimento criam naturalmente um
ambiente de investigação: os invariantes se destacam, o que se toma uma
fonte de conjeturas e de busca de entendimento do problema geométrico em
questão. Desta forma. Os alunos engajam-se em situações que exigem
atitudes
que
caracterizam
o “pensar matematicamente”,
experimentar,
conjeturar, testar hipóteses, desenvolver estratégias, argumentar, deduzir.
De inicio, usamos as palavras de Polya, para registrar o
“espírito” que permeia o desenvolvimento do trabalho:
“O melhor para aprender qualquer coisa é descobrir por si
próprio. Deixe que (os alunos) aprendam adivinhando.
Deixe que aprendam provando. Não desista, porém, do
seu papel secreto - deixe os estudantes adivinharem
antes de você contar – deixe que eles descubram por eles
mesmos tanto quanto for possível”.
A aproximação com o software e suas capacidades
deslumbra pela facilidade de se fazer “desenhos”. Nos primeiros contatos com
o programa, surpreende que mesmo já sabendo que os recursos do programa
dão estabilidade às construções, acabamos por produzir essencialmente
desenhos do tipo “a mão-Iivre”, sem que haja a preocupação de preservar as
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relações geométricas que existem no objeto geométrico. Assim, por exemplo,
na construção de um quadrado fazemos um traçado cuidadoso e usamos o
recurso de medida para conferir se de fato é um quadrado. Ao mover os
vértices do suposto quadrado, este perde suas propriedades porque, de fato,
não foi explicitado ao software as propriedades que caracterizam o quadrado.
É
gradativamente
que vamos
percebendo
que a
ferramenta não faz simplesmente “desenhos”, mas faz “figuras geométricas”:
são desenhos que estão na tela do computador, mas que são produzidos
através da explicitação de relações geométricas. Com este entendimento, os
alunos tomam-se cientes que um “desenho em movimento” guarda
regularidades se construído dentro de princípios geométricos. Isto exige dos
alunos, e de forma natural, um pensar sobre objetos geométricos no contexto
de definições e teoremas. Não são mais simples impressões visuais que são
registradas na tela do computador, mas são objetos concreto-abstratos que
devem estar sob constante controle conceitual. E surgem então as primeiras
figuras geométricas, então estáveis sob ação de movimento.
A dinâmica dos desenhos favorece o desenvolvimento de
habilidades que caracterizam o pensar matemático - estabelecer relações.
Conjeturar, generalizar, buscar explicações. Nos ambientes em Geometria
Dinâmica, os alunos tem a oportunidade de vivenciar, de forma muito natural,
situações similares as do profissional matemático em processo de descoberta e
criação.
Ao
longo
da implementação
do
programa
são
apresentadas atividades que colocam os alunos em situação de investigação.
Os problemas, na medida do possível são apresentados na forma de
perguntas, evitando-se ao máximo enunciados do tipo “mostre que...”. Cabe
aos alunos encontrarem as respostas e explicações.
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Os programas de criação de micro-mundos de Geometria
constituem ferramentas importantes para superar obstáculos de aprendizagem.
Nesses ambientes, os conceitos geométricos são construídos com equilíbrio
conceitual e figural, a habilidade em perceber diferentes representações de
uma mesma situação se desenvolve e o controle das configurações
geométricas levam a “descoberta” de propriedades. E principalmente pelas
atitudes dos alunos frente ao processo de experimentação e argumentação que
acreditamos alcançar progressos no ensino-aprendizagem da Geometria.
Exemplo do uso do Cabri:
Transformações isométricas no plano.
São apresentados aos alunos instrumentos virtuais que
exploram as transformações isométricas no plano: translação, rotação e
reflexão. Os instrumentos são dinâmicos, e manipulando-os os alunos
identificam o tipo de transformação e os princípios de construção dos
instrumentos. Os princípios de construção de um dado instrumento são
invariantes no movimento e, portanto são percebidos e abstraídos. O mesmo
acontece com a transformação que o instrumento realiza: os invariantes
correspondem às propriedades que vão definir a transformação e é através da
manipulação que vão se tornando transparentes. O passo seguinte é
estabelecer a relação entre as propriedades do instrumento e a transformação
que ele realiza, ou seja, é a argumentação matemática. Por exemplo, no
instrumento que faz rotação é a partir do ponto ø e ângulo a fixos no
instrumento, e da congruência entre segmentos que o compõem que se deduz
que os pontos P e seu transformado P são tais que OP é congniente à OP’ e
que o ângulo POP é sempre igual a. propriedades que caracterizam a rotação
de centro O e ângulo a.
b) Sketchpad: (Windows) software de construção em
geometria desenvolvido por N. Jackiw e S.Steketee comercializado por Key
Curriculum Press. E um software de construção que nos oferece “régua e
compasso eletrônicos”, sendo a interface de menus de construção em
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linguagem clássica da Geometria. Os desenhos de objetos geométricos são
feitos a partir das propriedades que os definem e mantêm estabilidade sob o
movimento. E possível converter seus arquivos em linguagem Java, de
maneira que sejam disponibilizados na rede.
Exemplo do uso do Sketchpad:
Um problema de otimização.
No plano são dados dois pontos fixos A e B, e um ponto P
que se desloca em uma reta. Dentre todos os caminhos AP+PB determinar o
de menor comprimento.
Movimento sobre o ponto P permite a exploração inicial.
Se o quadro geométrico não se apresenta suficiente para a resolução do
problema, os alunos podem se valer de outras representações: tabela que
computa distâncias e gráfico da função que representa a situação geométrica.
Ambas as representações se atualizam de acordo com o movimento do ponto
P. Nestas representações os alunos podem localizar aproximadamente o ponto
que resolve o problema, e o passo seguinte é identificar a particularidade
geométrica da solução de caráter experimental. Pode-se ir além, desafiando-se
os alunos a responderem a pergunta ‘por que tal ponto resolve o problema. A
informação visual fornece indícios para a argumentação matemática, que vai se
formalizar através de conceitos e teoremas como reflexão, congruência de
triângulos e desigualdade triangular. (E interessante comparar a exploração em
ambiente informatizado aqui delineada com o trabalho que normalmente se
realiza em sala de aula ‘convencional’)
c) Graphmatica: (Windows) software que permite que
se construa gráficos a partir de funções elementares. Possui ainda a opção de
se trabalhar em coordenadas polares, cartesianas e em escalas logarítmicas. É
uma criação de K. Hertzer. Ferramenta para funções reais e curvas no plano.
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É ambiente para plotagem de equações, funções e
derivada de funções, desigualdades no plano cartesiano: curvas paramétricas e
polares. Trabalha com coordenadas cartesianas, coordenadas polares e
escalas logarítmicas. Tem o recurso de múltiplas representações: expressão
analítica, gráficos, podendo plotar até vinte e cinco gráficos simultaneamente, e
tabelas. Permite a construção de famílias de funções e o recurso de múltiplas
representações
simultaneamente.
viabiliza
explorações
Calcula
derivada
de
algébricas
função
e
geométricas
simbolicamente
e
numericamente e plota a reta tangente à curva num dado ponto; também
calcula numericamente a integral definida, através de diferentes métodos,
desenhando
no
gráfico
as
regiões poligonais correspondentes, com
possibilidade de escolha da partição.
Exemplo do uso do Graphmatica:
Transformações em gráficos.
A partir de uma função básica e de seu gráfico. O aluno
passa a explorar família de funções. O recurso de múltiplas representações, no
caso analítica e geométrica, favorece a construção de relações entre
operações algébricas na expressão da função e movimentos geométricos em
gráficos. Em uma família, a função básica é a que tem a expressão algébrica
mais simples, e as demais funções são obtidas a partir de operações
algébricas sobre a expressão da função básica. Os gráficos dos elementos da
família são identificados a partir de movimentos geométricos aplicados ao
gráfico da função básica: translação vertical ou horizontal; dilatação ou
contração nas direções horizontais e verticais; reflexões. Com a possibilidade
de plotar simultaneamente diversos elementos da família, o aluno explora o tipo
de movimento aplicado ao gráfico da função básica.
Por exemplo, na família dos polinômios de grau dois a
função básica é y = x2 e a família é constituída pelas funções y = a. (x+b)2 + c.
O aluno faz variações nos parâmetros da família e investiga o efeito geométrico
sobre o gráfico da função básica. Já na escolha de estratégia de exploração é
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exigido do aluno trabalho de reflexão. Passo a passo, o aluno vai construindo
as relações que vão permiti-lo concretizar mentalmente e com segurança o
gráfico de qualquer elemento da família, como por exemplo, y
=-
1/3*(x+l/2)A2+5, para isto não dependendo de tabela numérica, mas tão
somente de movimentos geométricos. Este estudo pode prosseguir na direção
de mudanças de sistemas de coordenadas e as decorrentes simplificações de
expressões analíticas.
d) Modellus: (Windows) produzido por V.Teodoro e
F.Clérigo, da Universidade Nova de Lisboa, que possibilita que se trabalhe o
entendimento gráfico de deslocamento e velocidade no tempo. É uma
ferramenta para modelação e simulação que permite aos alunos realizarem
experimentos conceituais, usando para isto modelos matemáticos dados por
funções, derivadas, taxas de variação e equações diferenciais. Múltiplas
representações e dinamismo através de manipulação direta são dois dos
recursos importantes deste ambiente que dão suporte as ações dos alunos.
Estes recursos são viabilizados em janelas distintas: janela de modelação,
janela de animação dinâmica, janela gráfica e janela de tabulação. Pode ser
usado tanto em atividades de expressão (o aluno constroem o modelo, tendo
como objetivo a construção conceitual das relações matemáticas que o
definem), como em atividades de exploração (o aluno explora um modelo já
pronto e isto é interessante e possível num estudo qualitativo de relações
matemáticas, quando o caráter analítico apresenta nível de dificuldade além do
que pode dar conta o aluno).
Exemplo do uso do Modellus:
Taxa de variação e inclinação de reta tangente.
Através de simulação de movimento linear de uma
partícula os alunos estabelecem inicialmente a relação entre tipo de
crescimento/decrescimento das variáveis e forma do gráfico da função que
registra a posição da partícula no tempo. Na mesma janela de animação têmse múltiplas representações: é a partícula que está sendo movimentada com a
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construção simultânea do gráfico que correspondente à posição da partícula no
tempo. Através de manipulação direta sobre a partícula o aluno pode observar
que se a velocidade da partícula aumenta o gráfico tem concavidade voltada
para cima e se diminui tem concavidade voltada para baixo. O passo seguinte
é construir o conceito matemático que registra a qualidade da variação
registrada na forma do gráfico. O dinamismo de imagens permite representar
retas secantes à curva, com um ponto fixo, cujos coeficientes angulares
correspondem a velocidades médias, em intervalos cada vez menores. O
dinamismo mostra as retas secantes tendendo a posição de reta tangente e
surge então, de forma natural, o conceito de derivada com dupla
representação: é taxa de variação e é inclinação de reta tangente à curva. Na
janela de gráficos pode-se construir o gráfico da Função derivada, e
estabelecerem-se
relações
entre
o
comportamento
da
derivada
e
características da função que rege a simulação (sinal cia derivada informa
sobre crescimento ou decrescimento da função, zeros da derivada são pontos
de máximo ou mínimo ou inflexão, etc...).
e) Graphequation: (Windows) faz gráficos de regiões
e curvas no plano que verifiquem inequações. Permite utilizar coordenadas
cartesianas ou polares. Com o software GrafEq pode-se “desenhar” paisagens,
isso através de representação gráfica de funções e relações. Para construir
uma paisagem pensamos em certas “formas” e a elas devemos associar
relações matemáticas. Tomando como ponto de partida uma função bastante
simples, aplicamos operações algébricas sobre sua expressão, produzindo
diferentes transformações no seu gráfico — translações, reflexões, dilatações,
contrações — de modo a obter a “forma” desejada.
Exemplo do uso do Graphequation:
Podemos fazer uma paisagem com montanhas, praia e
sol, sendo as montanhas criadas através de transformações no gráfico de y =
x2 ; o mar através de transformações em y = sin x; os raios do sol como
resultado de transformação sobre a reta y = x , etc...
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• Ao abrir o programa tem-se a janela:
Graph #1:Relation # (Algebra), surgindo “Please enter
a relation”, devendo-se digitar a desigualdade y < 2x + 1 e dê “enter”.
Feito isto, aparece uma janela GRAPH #1:CREATE
VIEW.
Clique em “Create” e observe a região do plano que é
desenhada.
• Volte para a janela Graph #1: Relation #1, para isto
clicando o “mouse” sobre a janela; posicione o cursor no final da desigualdade
digitada e aperte a tecla “Tab”.
Na segunda linha disponibilizada na janela digite -3 <x < 3
e dê “Enter”.
Observe o que acontece com a região delimitada
anteriormente.
• Volte para a janela Graph #1: Relation #1, posicione o
cursor no final da equação digitada e aperte novamente a tecla “Tab”.
Na terceira linha digite y > -x - 8 e dê “Enter”. Observe o
que acontece com a região.
• Agora vá em “Graph” e “New Relation” e selecione
Na nova janela de relações digite: (x-5)2 + (y-5)2 = 9 e dê
“Enter”.
• Volte para a janela Graph #1: Relation #2, posicione o
cursor no final da equação digitada e aperte novamente a tecla “Tab”.
Na segunda linha digite y > 5 e dê “Enter”. Observe o
que acontece.
26
• Resumindo os procedimentos:
Na janela Graph #...: Relation #1 digita-se a relação
desejada; nesta janela também se podem digitar outras relações, quando se
quer fazer intersecção de regiões, e para isto deve-se usar a tecla “Tab”.
Para acrescentar novas relações, na mesma janela
gráfica, seleciona-se Graph / New Relation.
Na janela Easy Buttons tem-se recursos para digitar as
relações; vamos usar principalmente as opções Álgebra, Arithmetic, Set e
Trig.
Desenhando a paisagem:
• selecione File/ New Graph.
• para desenhar as montanhas use as relações de
desigualdade y <a (x-b)2 + c, escolhendo com cuidado os valores de a, b e c.
Para cada montanha use uma nova janela de New Relation. Construa
montanhas com diferentes tons de verde.
• para desenhar o mar use as relações de desigualdade y
< a. sin (b. x) + c, com díferentes valores para a, b e c e diferentes tons de azul.
O uso do valor absoluto na desigualdade acima também produz um efeito
interessante para as ondas do mar.
Atenção: Para digitar o valor absoluto na desigualdade y <
|a sin ( b. x) + d | use as teclas Shift+( barra vertical)
•
para
desenhar
o “centro”
do
sol,
escolha
convenientemente os parâmetros a. b e r na desigualdade: (x-a) + (y-b) < r.
• para desenhar os raios do sol use recursos do software,
indicados abaixo em situação de retas passando pela origem. Observe que os
“raios do sol” são segmentos contidos em retas que concorrem no centro do
sol.
27
f) Régua e Compasso: (Windows) software de
construção que nos oferece “régua e compasso eletrônicos”, sendo a interface
de menus de construção em linguagem clássica da Geometria. Os desenhos
de objetos geométricos são feitos a partir das propriedades que os definem e
mantêm estabilidade sob o movimento.
g) Cinderella: (Windows) software de construção em
geometria desenvolvido por Jürgen Richter-Gebert & Ulrich Kartenkamp e
comercializado por Sun Microsystems, Inc. E um software de construção que
nos oferece “régua e compasso eletrônicos”, semelhante ao Cabri e Sketchpad.
Um diferencial deste software é que permite que se trabalhe também em
geometria hiperbólica e esférica. E mais: tem a opção de salvar como página
da web automaticamente.
h) Dr Geo: (DOS) software de construção em geometria
desenvolvido por Hilaire Fernandes (Grenoble) e que nos oferece “régua e
compasso eletrônicos”, sendo a interface de menus de construção em
linguagem clássica da Geometria. Os desenhos de objetos geométricos são
feitos a partir das propriedades que os definem e mantêm estabilidade sob o
movimento.
i) Geoplan: (Windows) software de construção em
geometria que trabalha os conceitos analíticos da geometria em um sistema de
coordenadas
cartesianas.
Desenvolvido
pelo Centre de Recherche et
d’Expérimentation pour l’Ensígnement des Mathématiques (CREEM).
j) Geospace: (Windows) software de construção e
explorado em geometria que trabalha os conceitos espaciais. Desenvolvido
pelo Centre de Recherche et d’Expérimentation pour l’Ensignement des
Mathématiques (CREEM).
28
k)
Geometria Descritiva: (DOS) software de
construção em geometria descritiva, que trabalha em um sistema projetivo; em
3D. Produzido por V.Teodoro e F. Clérigo, da Universidade Nova de Lisboa.
l)
Euklid:
(Windows)
software
de
construções
geométricas com régua e compasso e geometria dinâmica. Semelhante ao
Cabri e ao Sketchpad.
m)
Wingeom: (Windows) software que permite
construções geométricas bidimensionais e tridimensionais.
n)
S-Logo:
(Windows)
é
uma
linguagem
de
programação de fácil compreensão e que possibilita que o aluno desenvolva o
raciocínio, desenvolvendo seu próprio programa. É muito bom para o ensino de
geometria e pode ser usado em todos os níveis escolares.
o) Poly: (Windows)
é
uma criação Pedagoguery
Software, que permite a investigação de sólidos tridimensionalmente (com
possibilidade de movimento), dimensionalmente (planificação) e de vista
topológica. Possui uma grande coleção de sólidos, platônicos e arquimedianos
entre outros.
p) Shapari: (Windows) é uma criação da Spelunk
Computing para exploração lúdica de fractais. Tem uma interface interessante,
podendo-se produzir figuras de grande apelo estético e artístico.
q) Winplot: (Windows) software que permite que se
construa gráfico a partir de funções elementares. Possibilita que se construa
gráficos em duas e três dimensões e ainda que se trabalhe com operações de
funções.
29
r) MathGV: (Windows) software que permite que se
construa gráficos a partir de funções elementares. Possibilita que se construa
gráficos em duas e três dimensões e em coordenadas polares.
s) Ratos: (DOS) em Movimento é um software
produzido por V.Teodoro e F.Clérigo, da Universidade Nova de Lisboa, que
simula movimentos retilíneos ou em curva, que são registrados graficamente,
como aceleração e velocidade em função do tempo.
t) Vrum-Vrum: (DOS) produzido por V.Teodoro e
F.Clérigo, da Universidade Nova de Lisboa, que possibilita que se trabalhe o
entendimento gráfico de deslocamento e velocidade no tempo.
u) CurveExpert: (Windows) é software que ajusta
curvas em conjunto de pontos no plano (por exemplo, coleta de dados
numéricos), via modelos de regressão-linear
e não-linear e diferentes
interpolações.
v) Winmat: (Windows) permite que se construa motrizes
e opere com elas. Calcula a inversa, transposta, determinante e encontra
inclusive o polinômio característico da matriz.
w) Tangram: (Windows) permite que se construa uma
grande variedade de figuras a partir das sete peças do tangram. As peças
podem ser ratadas, refletidas, giradas, transladadas, etc.
x) Torre de Hanói: (DOS) software de um jogo de
origem asiática, que permite que o jogador desenvolva o raciocínio e crie
estratégias para resolver problemas.
30
y) OOG: (Windows) a partir da manipulação de peças de
tangrans, pentominos, hexágonos e poligominos, permite que se construa uma
grande variedade de figuras. As peças podem ser rotadas, refletidas e
transladadas.
“A mais antiga das teorias é a geometria euclidiana. sobre
a qual aprendemos alguma coisa na escola. Os antigos
podem não tê-la visto como uma teoria física, mas de fato
é isto que ela é: uma sublime e magnificamente acurada
teoria do espaço físico e da geometria dos corpos rígidos
(...) Hoje nós sabemos que a geometria euclidiana não é
inteiramente acurada na descrição do mundo que
habitamos. Mas isto não retira o seu caráter de
MAGNÍFICA. Na escala dos metros (...) erros em tratar a
geometria como euclidiana são menores do que o
diâmetro de um átomo de hidrogênio”.
(Penrose, The lmperor’s New Mmd, 1989, p 152)
31
CAPÍTULO III
3.1 - A Formação dos docentes para uso dos
softwares
Infelizmente, nem todas as instituições brasileiras de
ensino
superior,
tem
programas
realmente
capazes
de
inserir
a
informática/computador na docência dos futuros professores.
Existe a necessidade das instituições de ensino superior
formarem docentes capacitados a inserirem a informática em sua prática de
ensino habitual. Não basta a compra de computadores se não houver
treinamento adequado de pessoal.
A dificuldade que a maioria dos alunos apresentam na
aprendizagem da matemática, poderia diminuir, com a inclusão da informática
na atividade docente, considerando-se que a informática e as tecnologias
digitais possuem uma base essencialmente matemática, conforme observam
as professoras Alba M. L. Weiss e Mara Lúcia R. M. da Cruz, na obra da
informática e os problemas escolares de aprendizagem:
“Na aprendizagem da matemática, é necessário partir da
manipulação do concreto, desenvolver o pensamento lógico, estabelecer
relações, perceber causalidade, hierarquizar, decidir caminhos etc. Se a
criança não fizer as “continhas” no quadro de giz, provavelmente, se estas
forem simplesmente apresentadas no computador, fracassará da mesma
forma, pois nada se acrescentou para facilitar-lhe a aprendizagem”
(Weiss & Cruz, 1999, p. 62).
A informatica deve ser encarada como um “meio” de
viabilizar o processo de ensino e aprendizagem.
32
O MEC, publicou a coleção “Salto para o futuro” a fim de
orientar a formação dos docentes. Em seu terceiro volume intitulado “TV E
INFORMATICA NA EDUCAÇÃO”, traz os seguintes
textos,
bastante
elucidativos:
“Da mesma forma que a alfabetização se constituiu um
processo de introdução a linguagem escrita, como um importante aspecto da
educação, atualmente é também importante que se construam metodologias
visando a introduzir professores e estudantes no universo da linguagem
audiovisual” (Brasil, 1998, p. 15).
No terceiro volume da série “Parâmetros Curriculares
Nacionais” – PCN, intitulado “Matemática”, o MEC exorta os educadores a
incluir em suas práticas, o uso do computador:
“Quanto aos softwares educacionais é fundamental que o
docente aprenda a escolhê-los em função dos objetivos que pretende atingir e
da sua própria concepção de conhecimento e da aprendizagem, distinguindo
os que se apresentam mais a um trabalho dirigido para testar, conhecimentos
dos que procuram levar o aluno a interagir com o programa de forma a
construir conhecimento” (Brasil, 1997, p. 47)
A informática na educação, representa a perda do
monopólio das instituições de ensino sobre a criação e transmissão de
conhecimentos, que passam a existir nas ”redes” e estão livres de qualquer
sanção do poder discricionário. É, portanto, fundamental transmitir ao aluno a
importância de saber selecionar as informações.
Conforme os PCN, a importância da tecnologia em
relação a matemática resume o pensamento pedagógico da atualidade quanto
a esta disciplina.
“Assim,
as
funções
da
matemática
descritas
anteriormente e a presença da tecnologia nos permitem afirmar que a
33
aquisição do conhecimento matemático deve estar vinculado ao domínio de um
saber fazer matemático e um saber pensar matemático” (Brasil, 1999, p. 252).
“O fato de, neste final de século, estar emergindo um
conhecimento por simulação, típico da cultura informatica, faz com que o
computador seja também visto como um recurso didático cada dia mais
indispensável. Ele é apontado como um instrumento que traz versáteis
possibilidades ao processo de ensino e aprendizagem de matemática, seja
pelas possibilidades de sua aplicação neste processo, tudo indica que seu
caráter lógico-matemático pode ser um grande aliado do desenvolvimento
cognitivo dos alunos, principalmente na medida em que ele permite um
trabalho que obedece a distintos ritmos de aprendizagem” (Brasil, 1997, p. 47).
Desta maneira, o reconhecimento da emergência de
tecnologias voltadas para o saber matemática, em cuja pratica de ensino
deverá constar a mais ampla abordagem dos processos tecnológicos aplicáveis
ao ensino. Daí a importância de se enfatizar esta discussão no nível da
docência superior.
"O princípio do Criador reside na Matemática: sua certeza
é absoluta enquanto se trata da Matemática abstrata, mas diminui na razão
direta de sua concretização".
Albert Einstein
34
CONCLUSÃO
Os
programas
de
criação
de
micro-mundos
na
matemática constituem ferramentas importantes para superar obstáculos de
aprendizagem. Nesses ambientes, os conceitos são construídos com equilíbrio
conceitual e figural, a habilidade em perceber diferentes representações de
uma mesma situação se desenvolve e o controle das configurações, levam a
“descoberta” de propriedades. É principalmente pelas atitudes dos alunos
frente ao processo de experimentação e argumentação que acreditamos
alcançar progressos no ensino-aprendizagem.
Questiona-se, se o papel do professor é ensinar ou se o
objetivo da educação é criar os instrumentos necessários para o aluno
descobrir (sob orientação) com seus próprios meios. O computador é um
instrumento de aprendizagem que pode ser bem ou mal usado. Não esta
restrito a certas áreas de aprendizagem. Como instrumento ele não é a fonte
de aprendizagem, mas um canal de comunicação por onde ela passa. Embora
a simples presença do computador já constitua um ato de aprendizagem, esta
ocorre quando o computador é utilizado pelo aluno, momento em que se
estabelece uma interação entre o aluno e quem elaborou o programa.
É preciso uma tomada de consciência, por parte dos
professores e administradores, do papel que desempenha a informática na
educação e no Ensino Superior. Somos parte da era tecnológica, e isto não
apenas do ponto de vista técnico-pedagógico, mas, sobretudo como uma
questão epistemológica. É imprescindível incentivar pesquisas para fazer
avançar o conhecimento nessa linha para não caminhar às escuras e, também,
analisar a importância na formação de professores, pois se os currículos dos
cursos não contemplam uma formação na linha apontada, estaremos
distanciando a Universidade cada vez mais da sociedade e condenando a
Educação a algo obsoleto e distanciado do mundo do trabalho, onde a
Informática se impõe como mais um instrumento.
35
E necessário equipar adequadamente as Unidades de
Ensino e Pesquisa, prioritariamente as de docência superior, para que possam
a partir da prática, tomar realidade a Informática na Educação. A preparação da
criança, do jovem e do adulto para os complexos processos da Informática
exige uma escola capaz de possibilitar a compreensão teórico-prática dos
fundamentos
científicos-técnicos
e socioeconômicos
das
tecnologias
emergentes e presentes no mundo do trabalho.
A ampliação dos aspectos do Ensino Superior levam a
vários tipos de metodologias. Nunca teremos uma metodologia uniforme para
utilizar em Informática, pelo próprio ritmo dos avanços tecnológicos nessa arca.
A Didática que sirva de suporte a uma proposta de utilizar a Informática na
Educação precisa considerar dois aspectos fundamentais: a socialização do
conhecimento e a formação para o exercício da cidadania Para CANDAU
(1992):
“Conhecer é uma capacidade eminentemente humana. E
do próprio homem construir conhecimento, não somente
transmiti-lo
ou
reproduzi-lo.
Conhecer
é
um
ato
profundamente pessoal e criativo”.(p.16)
Na nossa sociedade a participação no processo de
elaboração do conhecimento sistematizado é privilégio de poucos. O
compromisso da educação é com a socialização do conhecimento, com a
ampliação da participação dos diferentes segmentos da sociedade no processo
de transmissão e construção do saber científico, do saber sistematizado. Não
somente por seu valor instrumental na constituição de uma nova sociedade,
mas, articulado com este, por seu valor profundamente humanizador e por seu
potencial liberador. Toda inovação no âmbito da Educação deve favorecer este
objetivo.
"Aquilo que você mais sabe ensinar, é o que você mais precisa aprender".
Richard Bach
36
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Pitágoras