Instituto Superior Técnico
Departamento de Matemática
Secção de Álgebra e Análise
Exercı́cios Resolvidos
Integral de Linha de um Campo Escalar
Exercı́cio 1 Considere o caminho g : [0, 1] → R2 definido por
g(t) = (et cos(2πt), et sen(2πt)).
a) Calcule o comprimento L(g) do caminho g.
b) Calcule a coordenada x̄ do centróide da curva representada por g.
Resolução: Na Figura 1 encontra-se representada a linha descrita pelo caminho g.
y
x
PSfrag replacements
Figura 1:
a) Dado que g é de classe C 1 , o comprimento é dado pelo integral
Z 1
L(g) =
||g 0 (t)||dt.
0
Sendo
e
g 0 (t) = (et cos(2πt) − 2πet sen(2πt), et sen(2πt) + 2πet cos(2πt))
||g 0 (t)|| =
então,
L(g) =
Z
1
0
||g 0 (t)||dt =
Z
1
0
p
1 + 4π 2 et
p
p
1 + 4π 2 et dt = 1 + 4π 2 (e − 1).
b) Por definição, a coordenada x̄ do centróide é dada pelo integral
Z 1
Z 1
1
1
x̄ =
x(g(t))||g 0 (t)||dt =
e2t cos(2πt)dt.
L(g) 0
(e − 1) 0
Integrando por partes duas vezes obtemos
x̄ =
e2 − 1
.
2(e − 1)(1 + π 2 )
1
Exercı́cio 2 Um aro circular de raio 1 rola sem deslizar ao longo de uma linha recta. Calcule o
comprimento da trajectória descrita por um ponto do aro entre dois contactos consecutivos com o
solo.
Resolução: Podemos colocar o aro no plano Oxy a rolar ao longo do eixo Ox de tal forma que, no
inı́cio do movimento, o centro se encontra no ponto (0, 1) e o ponto do aro em questão se encontra
na origem.
O facto de o aro rolar sem deslizar significa que quando o centro se desloca uma distância s ao
longo do eixo Ox, o ponto no aro descreve, em relação ao centro do aro, um arco de circunferência
de comprimento s. Por exemplo, num quarto de volta do aro, o centro sofrerá um deslocamento
de comprimento π2 . A curva assim descrita por um ponto do aro chama-se ciclóide.
y
PSfrag replacements
1
0
s
2π
s
x
Figura 2: Esboço da ciclóide
O movimento do ponto do aro pode ser decomposto em dois: o movimento do centro do aro e
o movimento do ponto em relação ao centro.
Se usarmos a distância percorrida pelo aro como parâmetro, a trajectória do centro é descrita
pelo caminho g1 : [0, 2π] −→ R2 definido por
g1 (s) = (s, 1).
Por outro lado, a trajectória do ponto no aro em relação ao centro é descrita pelo caminho
g2 : [0, 2π] −→ R2 definido por
π
π
− s), sen(− − s))
2
2
= (− sen s, − cos s),
g2 (s) = (cos(−
já que o vector que une o centro ao ponto do aro começa por fazer um ângulo de − π2 com o eixo
Ox e roda no sentido dos ponteiros do relógio.
Portanto, a trajectória do ponto no aro é descrita pela soma destes dois caminhos
g(s) = g1 (s) + g2 (s)
= (s − sen s, 1 − cos s).
O comprimento deste caminho é dado pela expressão
Z
Z 2π
1=
||g 0 (s)||ds
C
0
onde C = g([0, 2π]).
Como
g 0 (s) = (1 − cos s, sen s)
2
temos
||g 0 (s)|| =
=
e, portanto,
Z
p
p
1 = 4
1 − 2 cos s + cos2 s + sen2 s
2(1 − cos s)
Z
2π
0
C
Z
1
p
2(1 − cos s)ds
p
du
2(1 − u) √
1 − u2
0
Z
1
√
du
√
= 4 2
1+u
0
√ √
= 8 2( 2 − 1)
= 4
onde na passagem da primeira para a segunda linha se usou a mudança de variável u = cos s.
Exercı́cio 3 Um avião a hélice desloca-se em linha recta a uma velocidade constante igual a 1.
A hélice do avião tem raio r e roda a velocidade constante, efectuando ω voltas por unidade de
tempo. Determine o comprimento da trajectória descrita por um extremo da hélice quando o avião
se desloca L unidades de comprimento.
Resolução: Podemos imaginar o avião a deslocar-se ao longo do eixo Ox e de tal forma que,
no instante inicial, o centro da hélice se encontra na origem. Então a trajectória percorrida pelo
centro da hélice é descrita pelo caminho g1 : [0, L] −→ R3 , definido por
g1 (t) = (t, 0, 0).
Por outro lado, a hélice roda a uma velocidade constante em relação ao centro, num plano perpendicular ao eixo Ox.
Na Figura 3 apresenta-se a trajectória do extremo da hélice e a respectiva projecção no plano
x = 0.
z
z
x=0
y
PSfrag replacements
2π x
Figura 3: Trajectória do extremo da hélice
3
y
Em relação ao centro, um extremo da hélice descreve uma circunferência definida pelo caminho
g2 : [0, L] −→ R3
g2 (t) = (0, r cos(2πωt), r sen(2πωt)).
Assim, a trajectória C de um extremo da hélice é descrita pela soma dos dois caminhos em R 3 ,
ou seja, é descrita pelo caminho g : [0, L] −→ R3 , definido por
g(t) = (t, r cos(2πωt), r sen(2πωt)).
O comprimento deste caminho é dado pelo integral
Z
Z L
1=
||g 0 (t)||dt
0
C
onde C = g([0, L]).
Sendo
g 0 (t) = (1, −2πωr sen(2πωt), 2πωr cos(2πωt)),
então
p
||g 0 (t)|| =
p
=
e, portanto,
1 + 4π 2 r2 ω 2 sen2 (2πωt) + 4π 2 r2 ω 2 cos2 (2πωt)
1 + 4π 2 r2 ω 2
Z
C
p
1 = L 1 + 4π 2 r2 ω 2
Exercı́cio 4 Um fio C, com densidade de massa ρ(x, y, z) = |x(y + 1)|, tem a configuração da
intersecção das superfı́cies
S
P
= {(x, y, z) ∈ R3 : z =
p
x2 + y 2 }
√
= {(x, y, z) ∈ R : y + 2z = 1}.
3
Calcule a massa de C.
Resolução: Na Figura 4 encontra-se representada a intersecção do cone S com o plano P que é
paralelo ao eixo Ox.
A massa do fio é dada pelo integral de linha
Z
m=
ρ.
C
Para calcular este integral de linha é conveniente determinar um caminho de classe C 1 que
descreva a curva C. Comecemos por determinar a equação da projecção de C no plano Oxy, que
designamos por C0 :
(
p
2
z = x2 + y 2
⇒ x2 + y 2 = 12 − y + y2
1
z = √2 (1 − y)
x2 +
⇔
(y+1)2
2
= 1.
Portanto,
a projecção C0 é uma elipse centrada no ponto (0, −1, 0) com eixo maior de compri√
mento 2 e eixo menor de comprimento 1 tal como se representa na Figura 4. Assim, a curva C
pode ser descrita pelo caminho
√
√
g(t) = (cos t, 2 sen t − 1, 2 − sen t), t ∈ [0, 2π] ,
4
y
z
PSfrag replacements
PSfrag replacements
1
S
P
C
−1
S
x
C0
z
C
C0
1
−1
x
y
P
Figura 4: Intersecção do cone S com o plano P e respectiva projecção no plano z = 0
onde se usou o facto de que, quando t percorre o intervalo [0, 2π] , a função (cos t,
descreve a projecção C0 , e
√
√
1
1
z = √ (1 − y(g(t))) = √ (1 − ( 2 sen t − 1)) = 2 − sen t.
2
2
Então, temos
√
g 0 (t) = (− sen t, 2 cos t, − cos t)
p
p
||g 0 (t)|| =
sen2 t + 2 cos2 t + cos2 t = 1 + 2 cos2 t
√
1
ρ(g(t)) = | cos t( 2 sen t − 1 + 1)| = √ | sen(2t)|,
2
e, portanto,
m=
Z
2π
ρ(g(t))||g 0 (t)||dt
=
0
=
=
=
Z 2π
p
1
√
| sen(2t)| 1 + 2 cos2 tdt
2 0
Z π2
p
4
√
sen(2t) 1 + 2 cos2 tdt
2 0
i π2
4 h
3
√ −(1 + 2 cos2 t) 2
0
3 2
4
3
√ (3 2 − 1).
3 2
5
√
2 sen t − 1, 0)