Seja T o período de revolução do
planeta em torno do Sol, intervalo
de tempo também chamado, eventualmente, de ano do planeta.
A 3.a Lei ensina que:
Para qualquer planeta do Sistema
Solar, o quociente entre o cubo do
raio médio da órbita e o quadrado
do período de revolução em torno do Sol é constante. Matematicamente:
r3
––––
= kp
T2
A constante kp é denominada constante de Kepler e depende apenas da
massa do Sol.
A energia mecânica (Em) do
corpo na posição considerada do
campo gravitacional é dada pela
soma das energias cinética (Ec) e
potencial gravitacional (Ep).
Em = Ec + Ep
mv2
GMm
mv2
GMm
Mas: Ec = ––––– e Ep = – ––––––– ⇒ Em = ––––– + (– –––––)
2
d
2
d
É importante notar que Em pode ser positiva, nula ou negativa. Estudemos
conceitualmente cada um dos casos, raciocinando em termos de um foguete lançado da superfície da Terra.
1.° caso: Em > 0
Significa que há predominância do módulo da energia cinética sobre o módulo da energia potencial gravitacional. Neste caso, o foguete consegue sair
do campo gravitacional terrestre e ainda lhe sobra energia (cinética) que
garante o seu movimento retilíneo e uniforme pelo espaço exterior.
2.° caso: Em = 0
Significa que o módulo da energia cinética é igual ao módulo da energia
potencial gravitacional. Neste caso, o foguete chega ao limite do campo
gravitacional terrestre, permanecendo “parado” naquela região, pois não lhe
sobra energia para prosseguir.
3.° caso: Em < 0
Significa que há predominância do módulo da energia potencial gravitacional
sobre o módulo da energia cinética. Neste caso, o foguete não consegue
escapar do campo gravitacional terrestre. Depois de lançado, atinge certa
altura e, a seguir, retorna à superfície da Terra.
Satélites
Consideremos a figura seguinte, em que um satélite gravita em órbita circular
em torno da Terra, descrevendo movimento uniforme.
Sejam:
r = raio da órbita do satélite;
M = massa da Terra;
m = massa do satélite;
G = constante da gravitação universal.
Nossa intenção é calcular para o movimento do
satélite:
• O módulo da velocidade orbital (v).
• O período de revolução em torno da Terra (T).
• A velocidade areolar (va).
A força de atração gravitacional que o satélite recebe da Terra é a resultante
centrípeta em seu movimento circular e uniforme.
F=Fcp
Mm
mv2
G –––– = –––– ⇒ v=
r
r2
AS LEIS DE KEPLER
As três leis que apresentaremos a seguir regem os movimentos dos planetas
de qualquer sistema solar.
Observe que v independe da massa do satélite, sendo inversamente
proporcional à raiz quadrada de r. Quanto maior for r, menor será v.
Como o satélite realiza movimento circular e uniforme, tem-se que:
1.a Lei (Lei das Órbitas)
Tomando o Sol como referencial, todos os planetas se movem em órbitas
elípticas, localizando-se o Sol em um dos focos da elipse descrita.
Sendo
Observe que Kepler não excluiu a
possibilidade de existirem órbitas
circulares. A circunferência é um caso
particular de elipse, isto é, trata-se de
uma elipse de focos coincidentes.
, segue que:
O período de revolução do satélite em torno da Terra é proporcional à raiz
quadrada do cubo do raio da órbita, sendo independente da massa do satélite.
2.a Lei (Lei das Áreas)
APLICAÇÃO
Consideremos um determinado planeta do Sistema Solar, descrevendo sua
órbita elíptica em torno do Sol. Consideremos também um segmento de reta
unindo o centro de massa do planeta ao centro de massa do Sol.
À medida que o planeta percorre sua
órbita, o referido segmento de reta
varre no espaço uma certa área. A 2.a
Lei ensina que:
O segmento de reta traçado do centro
de massa do Sol ao centro de massa
de um planeta do Sistema Solar varre
áreas iguais em tempos iguais.
Δt1 = t2 – t1
Δt2 = t4 – t3
Se Δt1 = Δt2, então: A1 = A2
O ponto da órbita com proximidade
máxima em relação ao Sol chama-se
periélio; e aquele com afastamento
máximo em relação ao Sol, afélio.
Pode-se verificar que:
• No periélio, a velocidade escalar de um planeta tem módulo máximo; no
afélio, tem módulo mínimo.
• Do periélio para o afélio, um planeta descreve movimento retardado; do
afélio para o periélio, movimento acelerado.
Considere um planeta hipotético gravitando em órbita circular em
torno do Sol. O raio da órbita do planeta é suposto 4 vezes maior que
o raio da órbita da Terra, também suposta circular. Qual o período de
translação do referido planeta, medido em anos terrestres?
Solução: Considere:
rH = raio da órbita do planeta hipotético.
rT = raio da órbita da Terra.
TH = período de translação do planeta hipotético (ano do planeta).
TT = período de translação da Terra (ano da Terra).
Conforme a 3.ª Lei de Kepler, para os dois planetas, tem-se:
r3
––––
= kp (constante de Kepler)
T2
Assim, para o planeta hipotético:
r3H
–––––
= kp (I)
T2H
Para a Terra:
r3T
–––––
= kp (II)
T2T
Comparando (I) e (II), segue que:
Sabe-se que rH = 4R e rT = R. Logo:
3.a Lei (Lei dos Períodos)
Consideremos a figura seguinte, que representa a órbita elíptica de um
planeta em torno do Sol. Na figura, destacam-se o afélio e o periélio, cujas
respectivas distâncias ao centro de massa do Sol são a e p.
O ano do planeta hipotético é oito vezes maior que o terrestre.
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