Solução do 1o Exame de Teoria da Relatividade
1. Um pulso de laser é enviado da Terra à Lua. Qual deve ser a velocidade de uma nave
espacial que vai da Terra para a Lua para que o astronauta perceba a saída do pulso da Terra e sua
chegada à Lua como acontecimentos simultâneos? (A resposta deve ser justificada)
No referencial R fixo na Terra os dois eventos, saída do pulso da Terra e sua chegada na Lua
ocorrem nos pontos x1 e x2 nos instantes t1 e t2. No referencial R' do astronauta, que se move com
velocidade u em relação a R, eles ocorrerão nos pontos x1' e x2' , nos instantes t1' e t2' .Podemos
relacionar os tempos pela transformação de Lorentz:
u 

′
t1 = γ  t1 − 2 x1 
c 

u 

′
t2 = γ  t 2 − 2 x2 
c


Subtraindo:
u


∆t ′ = γ  ∆t − 2 ∆x 
c


Mas pretendemos que o astronauta veja os dois eventos simultaneamente. Então,
u
u
∆x u
u2


∆t ′ = γ  ∆t − 2 ∆x  = 0 ⇒ ∆t = 2 ∆x ⇒
⋅ 2 =1 ⇒ 2 =1 ⇒ u = c
c
c
∆t c
c


Ou seja, a velocidade da nave deve ser igual à velocidade da luz, o que é impossível.
2. a) A velocidade de uma partícula no referencial R é v (vx, vy, vz) . Deduza a expressão da
velocidade v' (v''x, v'y, v''z) no referencial R' que se move com velocidade u = u î em relação a R.
b) Uma partícula que se move com velocidade c/2 no referencial do laboratório (R) emite
um fóton na direção perpendicular a sua trajetória no referencial R. Calcule a velocidade do fóton
em módulo e direção no referencial da partícula.
a) Está resolvida no texto.
b) O referencial R' está preso à partícula e se move em relação a R com velocidade u = c/2 î.
O fóton, no referencial R, tem velocidade v = c j , com componentes vx = 0 e vy = c. Precisamos
achar as componentes de v no referencial R'. Para isso usamos as transformações de velocidades
deduzidas no item a . (Faça uma figura para acompanhar a solução)
c
vx −
vx − u
2 = −c
=
v′x =
c
u
2
1 − 2 vx 1 − 2 v x
c
2c
v′y =
vy
c
3
= =
c
u  γ
2

γ 1 − 2 vx 
 c

tg θ =
v′ý
= − 3 ⇒ θ = - 60o ;
v′x
⇐
γ =
1
=
2
3
c2
4c 2
c 2 3c 2
2
2
v'x + v' y =
+
= c 2 , como deveria ser.
4
4
1−
3. Um múon tem 70 MeV de energia cinética. Calcule a energia total, o momento e a
distância percorrida no referencial do laboratório durante a vida média.
massa de repouso do múon: 105,7 MeV
vida média do múon: 2,2 ⋅ 10=6 s
1 eV = 1,60 ⋅ 10- 19 J
Energia total:
E = Ecin + mc2 = 175,7 MeV
Momento:
E2 = p2c2 + m2 c4 ⇒ (175,7 MeV)2 = p2c2 + (105,7 MeV) 2 ⇒
p = 140,34 MeV/ c = 74,8⋅ 10-21 kg.m s-1
Velocidade:
175,7 MeV
1
= 1,662 =
⇒ β = 0,64 ⇒ v = 0,8c
105,7 MeV
1− β 2
Distância percorrida no laboratório durante a vida média. A vida média é dada para a
partícula em repouso, portanto:
E = γ m c2 ⇒ γ =
d = v τ = v γ τo = 0,8 c . 1,66 . 2,2 .10-6 = 860 m