Matriz Identidade
Seja M uma matriz quadrada de ordem n. A matriz M é chamada de Matriz Identidade
de ordem n (indicada por In) quando os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e
os elementos restantes são iguais a zero.
Exemplo
1 0
 . Observando-a, verificamos
Considere a Matriz M 2 x 2 , escrita na forma M  
0 1
que ela é uma matriz quadrada, isto é, tem quantidades de linhas e colunas iguais.
Também observamos que a sua diagonal principal é composta apenas pelo número 1,
enquanto que os demais elementos de M são todos zeros.
Assim, dizemos que M 2 x 2 é uma matriz identidade de ordem dois e indicamos I2, isso
1 0
 é a matriz identidade de ordem 2.
é, I 2  
0 1
Outras matrizes identidades:
1 0 0


1. I 3   0 1 0  é a matriz identidade de ordem 3.
0 0 1


1

0
2. I 4  
0

0

0 0 0

1 0 0
é a matriz identidade de ordem 4.
0 1 0

0 0 1 
1

0
3. I 5   0

0
0

0 0 0 0

1 0 0 0
0 1 0 0  é a matriz identidade de ordem 5.

0 0 1 0
0 0 0 1 
Portanto quando falamos em matrizes identidades, nos referimos às matrizes quadradas,
cujos elementos da diagonal principal é 1 e os demais elementos são todos zeros.
A matriz identidade é o elemento neutro do produto de matrizes, quando este produto
existir. Qualquer que seja a matriz quadrada M, tem-se que: M  I  M e I  M  M , como
mostram os exemplos à seguir:
1 4 1 0 1 4
  
  

 0 3  0 1  0 3
a) 
 1 6
 1 6

 1 0 

   5 2 
b)  5 2   
 8 1 0 1  8 1




 1 0 0  1 4 5  1 4 5

 
 

c)  0 1 0    2  8 3    2  8 3 
 0 0 1  3 0 1  3 0 1

 
 

 1 4 5  1 0 0  1 4 5

 
 

d)  2  8 3    0 1 0    2  8 3 
 3 0 1  0 0 1  3 0 1

 
 

Utilidade das matrizes identidades
As matrizes identidades são úteis na resolução de equações matriciais. Para isso vamos
considerar algumas afirmações sobre equações matriciais.
I.
Indicamos a inversa de uma matriz M por M-1.
II.
O produto de uma matriz pela sua inversa quando ela existir resulta em uma
matriz identidade, isto é, M  M 1  I .
III.
Não se define a divisão entre matrizes.
Assim, vamos resolver o seguinte problema:
Determinar a matriz M em função B na equação M  A  B em que as matrizes M , A
e B são inversíveis.
Como não dividimos matrizes, NÃO podemos fazer M 
B
, pois não estamos
A
trabalhando com uma equação algébrica, mas matricial. Assim, para resolvermos essa equação
precisamos utilizar conceitos matriciais.
Primeiro vamos multiplicar os dois membros da equação pela inversa da Matriz A ,
pois queremos encontrar a matriz M . Assim temos:
M  A  A1  B  A1
Da afirmação II, temos que A  A1  I , então temos:
M  A  A1  B  A1  M  I  B  A1
Como a matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação de matrizes temos:
M  I  B  A1  M  B  A1
E, portanto a solução do problema dado será
M  B  A1
Outra característica utilidade da matriz identidade é sua utilização para a
determinação de uma matriz inversa, que decorre das equações matriciais como vimos no
problema anterior.
Vimos que à partir da afirmação II, temos:
M  M 1  I
 4  5
 e M-1 a matriz
3
1


Seja M a matriz 
a b 

 , então a equação M  M 1  I
c
d


pode ser reescrita como segue:
 4  5  a 5   1 0

  
  

 3 1   c d  0 1
Multiplicando as Matrizes, M e M-1, temos:
 4a  5c 4b  5d   1 0 

  

 3a  c 3b  d   0 1 
Como temos uma igualdade de matrizes, então temos os sistemas de equações
4a  5c  1 4b  5d  0
1
5
3
4
e
cuja solução apresenta a 
,b 
,c
ed 
.

19
19
19
19
 3a  c  0  3b  d  1
5
 1


-1
19
19

.
Concluímos então que a matriz inversa de M é M =
3 4 


 19 19 