MODELO MATRICIAL DE INSUMO – PRODUTO: UMA CONTRIBUIÇÃO
AO PROCESSO DE PLANEJAMENTO E DECISÃO EMPRESARIAL
Autoria: Marcelo Henrique Consoli e Alexandra Guaitolli
Resumo
Devido a grande instabilidade vivificada pelas empresas, o processo de planejamento
tornou-se um instrumento importante no auxilio das tomadas de decisão, antecipando as
possíveis restrições, amenizando seus resultados quando não auferindo transformando-os em
benefícios.
Procurou-se nesse trabalho contextualizar a empresa dentro da abordagem sistêmica
demonstrando-se os relacionamentos que essa mantém com o meio ambiente, assim como os
impactos causados por esses. O objetivo final do trabalho é amenizar esses impactos.
As decisões tomadas pelos gestores são responsáveis pelo cumprimento dos objetivos
e da missão empresarial. Dessa forma, quanto mais eficazes forem as decisões tomadas,
menores serão os efeitos dos impactos causados pelo meio ambiente e consequentemente
maiores serão o grau de cumprimento dos objetivos e da missão empresarial.
O modelo proposto tem por objetivo auxiliar o planejamento empresarial,
proporcionando tomadas de decisão mais eficazes. Esse modelo, inspirado na matriz insumo produto de Leontief, foi contruido utilizando uma empresa hipotética composta de três
departamentos, demonstrando suas transações intermediárias e o grau de interdependência
entre os eles, assim como suas alterações decorrente das variações na demanda final de
qualquer um dos departamentos citados.
1 – Abordagem sistêmica da empresa
Encontra-se mencionado na teoria dos sistemas, do biólogo alemão Ludwig Von
Bertalanffy1 , aplicação em diversas ciências por estas possuírem objetos de estudo que
podem ser visualizados como sistemas
Os sistemas são compostos por partes que interagem-se constituindo um todo, desse
modo não podemos compreende-los se considerarmos apenas a figura de seus elementos
agindo de forma isolada. Sua compreensão só se dá de forma global e principalmente quando
estudamos as relações de interdependência existentes entre os subsistemas .
Bio (1985:18), considera o sistema como "um conjunto de elementos
interdependentes, ou um todo organizado, ou partes que interagem formando um todo unitário
e complexo".
Os sistemas são classificados de acordo com sua capacidade de interação com o meio
ambiente em abertos ou fechados e quanto à capacidade de modificar suas características por
meio da realização de atividades, em estáticos, dinâmicos ou homeostáticos.
As empresas podem ser vistas como sistemas abertos e dinâmicos pela interação que
elas mantém com o ambiente externo. Elas reestruturam seu ambiente interno visando a
adequação eficaz de suas características e estruturas a fatos ocorridos no ambiente externo, e
ao mesmo tempo, eventos internos influenciam a modificação do ambiente do com as quais as
empresas se relacionam externamente.
Como sistema, a empresa, pode ser definida de diferentes maneiras, dependendo do
foco de observação adotado. Desse modo, a empresa poderá ser um sistema composto de
vários subsistemas, departamentos, e parte de um supersistema, o mercado. Por outro lado, a
empresa poderá ser o supersistema, composto de vários sistemas, departamentos, que por sua
vez será composto por subsistemas, seções e setores.
1
As condições ambientais como : concorrência, desenvolvimento tecnológico, ações
governamentais, políticas macroeconômicas (inflação, taxa de juros, variação cambial, entre
outras), restringem o alcance dos objetivos almejados e consequentemente o sucesso da
própria empresa. São as relações mantidas entre o sistema empresa e o meio ambiente no
qual ela está inserida as principais causas de restrições impostas a ela..
Dentro do cenário estabelecido pelas condições ambientais, as empresas devem
procurar soluções que amenizem, os efeitos das restrições, maximizando sua eficiência, por
meio de um planejamento eficaz que atue como instrumento capaz de auxiliar as tomadas de
decisões, aumentando a flexibilidade e a rapidez das informações, proporcionando a empresa
adaptar-se as novas variáveis impostas pelo ambiente externo.
2 – Formatação do Planejamento Empresarial
Antes de se efetuar um planejamento, a empresa deve ter claramente definida a missão
empresarial. Esse elemento funciona como direcionador, pois converge todas os esforços
empresariais a um mesmo fim, assegurando o estabelecimento de objetivos não conflitantes
com procedimentos e ações unificadas.
A missão da empresa é única, possuindo caráter permanente e amplo, independente
das condições ambientais. Segundo Santos (1997:2), "missão de uma organização é sua
verdadeira razão de existência e tem por função direcionar seu modo de atuação, agindo como
agente integrador e catalisador dos esforços individuais".
Os objetivos, por sua vez, são mais específicos, menos duradouros que a missão e
podem ser alterados de acordo com as mudanças ambientais. Vale acrescentar que os
objetivos são formulados baseados na missão empresarial e devem ser coerentes, evitando
choques e desvios nas diretrizes traçadas, prejudicando o resultado global da empresa
A missão e os objetivos devem ser traçados visando a formulação e manutenção de
uma cultura organizacional clara e disseminada, que traduza as vontades e anseios dos
proprietários.
As decisões tomadas pelos gestores, sejam elas estratégicas, administrativas ou
operacionais, podem sofrer a influencia de suas crenças e valores, produzindo resultados
discrepantes aos esperados pelos proprietários. Dessa forma, afim de evitar choques entre as
crenças e valores dos gestores e dos proprietários, deve ser estabelecido pelos próprios
proprietários uma cultura organizacional clara e disseminada que traduza suas vontades e
anseios, configurando o modelo de gestão.
Segundo Cruz (1991:39), o modelo de gestão pode ser definido como um "conjunto
de normas, princípios e conceitos que tem por finalidade orientar o processo administrativo de
uma organização, para que esta cumpra a missão para qual foi constituída". Sendo os
proprietários da empresa os principais responsáveis pela formação e "formatação" da cultura
organizacional, podemos concluir, segundo Crozatti que, "cada empresa possui características
particulares inerentes a sua maneira de operar. Tais características, (. . .), são resultantes da
cultura, que por sua vez é derivada principalmente do modelo de gestão. Significa dizer que
os níveis de eficiência e eficácia são diferentes em cada empresa e resultam da forma como as
coisas são tratadas na empresa, ou seja, do seu modelo de gestão. Isto significa que algumas
culturas produzem níveis de eficácia melhor do que outras"(CROZATTI, 1998:46).
O modelo de gestão e de gestão adotado por determinada empresa, não pode ser
classificado com conceitos do tipo certo ou errado, cabe apenas analisar se o modelo adotado
dá ou não condições dessa empresa cumprir o definiu como sendo sua missão.
O processo de gestão, toma como base as definições do modelo de gestão da
organização, definindo sua maneira de atuar, de acordo com a realidade vivificada no
momento. Deve estar estruturado dentro da lógica do processo decisório - identificação,
2
avaliação e escolha de alternativas - contemplando as fases de planejamento, execução e
controle das atividades empresariais, tendo como suporte um sistema de informações que
facilite as tomadas de decisão em cada uma dessas fases.
"Essencialmente, o processo de gestão deve assegurar que a dinâmica das decisões
tomadas na empresa conduzam-na efetivamente ao cumprimento de sua missão, garantindolhe a adaptabilidade e o equilíbrio necessário para sua continuidade". (CATELLI, 1999:58)
3 – Planejamento e Controle Empresarial
Planejar e controlar são funções administrativas extremamente importantes, pois é por
meio dessas que a empresa se mantém em equilíbrio com o meio ambiente, garantindo
tomadas de decisão mais eficazes e eficientes.
Segundo Sanvicente (1983:16), “planejar é estabelecer com antecedência as ações a
serem executadas, estimar os recursos a serem empregados e definir as correspondentes
atribuições de responsabilidade”.
O planejamento deve ser elaborado embasado no objetivo empresarial, antecedendo as
ações , evitando atitudes inadequadas e reduzindo a possibilidade de insucessos. O ato de
planejar pode ser dividido de maneira simplificada em duas etapas : planejamento estratégico
e planejamento operacional.
O planejamento estratégico, segundo Peleias (1992:66), "é o processo decisório para
fixação dos macro-objetivos, estratégias e políticas em decorrência da definição da missão,
crenças e valores uma empresa e das expectativas de comportamento das variáveis internas e
externas, com a conseqüente identificação das ameaças e oportunidades (. . .)" que impactam
a organização no meio ambiente em que está inserida.
O planejamento operacional, segundo Sanvicente (1983:18), “é aquele em que as
atividades previstas buscam a utilização de recursos da empresa mais eficiente possível em
dado período”, e é elaborado de acordo com o planejamento estratégico.
Quando se planeja, deve-se estabelecer critérios de avaliação entre os resultados
planejados e o realizado além de estipular as variações que serão consideradas aceitáveis,
evitando esforços desnecessários para investigação e ajustamento de valores pouco
significativos. Esses critérios variam de acordo com o grau de incerteza com que a empresa
estime seu planejamento, o que segundo Sanvicente (1983:27), está relacionado à dois
aspectos:
1. A sofisticação ou refinamento dos procedimentos de estimação;
2. A instabilidade do ambiente externo à empresa.
O controle na execução do planejamento é de suma importância para a empresa e
consiste no acompanhamento e verificação da eficácia dos métodos adotados e desvios
ocorridos na execução dos planos. É com o controle eficaz que torna possível a identificação
de possibilidades de otimização, adequação, reorientação ou correção das falhas do
planejamento . Ele verifica a eficiência do planejamento e seu comprometimento com os
objetivos da empresa e gera informações que possibilitam a comparação entre o desempenho
planejado e o efetivamente alcançado.
O controle é o elo que garante a coerência do planejamento pois assegura que os
resultados obtidos serão o mais próximo possível dos almejados no passado, durante o
planejamento. É importante salientar que o planejamento e controle possuem características
dinâmicas , são processos contínuos, tendo em vista as relações externas e internas que
influenciam nas decisões da empresa.
3
4 – Importância dos Modelos Matemáticos na Auxílio das tomadas de Decisão
O processo decisório é constituído por uma estrutura que compreende a identificação
do problema, formulação de alternativas, avaliação das alternativas inicialmente formuladas e,
por fim, a escolha da melhor alternativa, conforme representado pela figura abaixo.
Figura 2.1 - A tomada de decisão
Situação (S)
Alternativas (A)
A1
A2
S
Consequências (C)
A1C
A alternativa está
fora dos limites
A3
A3C
A4
A4C
An
Decisão (D)
É a alternativa
mais favorável
A3
O responsável pela
decisão não está
consciente dela
Fonte: SANTOS, 1998:47
O processo decisório, juntamente com o ciclo gerencial (planejamento, execução e
controle), é responsável por levar a empresa de uma situação atual a uma situação almejada.
As decisões efetivadas no processo decisório são influenciadas por um conjunto
de expectativas quanto ao futuro de acordo com os estados ambientais vivenciados no
presente; Segundo Almeida, "cinco são os estados ambientais, ou estado natureza, em que
uma decisão pode ocorrer: certeza, incerteza, risco, complexidade e conflito". (ALMEIDA
apud CATELLI,1999:118).
Os modelos matemáticos contribuem para os problemas empresariais no sentido de
proporcionar soluções capazes de amenizar as incertezas das decisões que irão ser tomadas. O
objetivo dos modelos matemáticos é a simulação das situações reais na empresa, voltado
principalmente para a solução de problemas inerentes a tomada de decisão.
Com o auxílio da informática e de programas especiais, os modelos poderão ser
executados facilmente pelos tomadores de decisão, de maneira mais veloz e eficiente.
5 – Modelo Matricial Inspirado na Matriz Insumo – Produto
O modelo matricial proposto, inspirado na matriz insumo - produto de Leontief2,
procura auxiliar na elaboração de um planejamento empresarial mais adequado,
proporcionando tomadas de decisão mais eficazes.
A essência da matriz, assim como seu funcionamento está fundamentado no princípio
da interdependência. Esse princípio teve mérito de mostrar que "quando se modifica o valor
de uma variável qualquer do sistema econômico, seja em sua magnitude real ou monetária, o
valor de muitas outras também deverá modificar-se. Por essa razão, quando se decide
promover o crescimento de um setor, parece necessário ter pelo menos uma idéia de que tipos
4
de problemas e repercussões surgirão, em conseqüência dessa decisão, em cada um dos
demais setores da economia" (AHUMADA apud ROSSETTI, 1992:244).
Baseado nesse princípio, estaremos propondo um modelo matemático que demonstre
os efeitos diretos e indiretos sofridos em todo o sistema empresa quando se altera qualquer
variável que o compõe.
Os efeitos diretos são facilmente perceptíveis pois, quando ocorre qualquer variação
na demanda final de um determinado departamento ou setor da empresa, os demais
departamentos deverão absorver maiores quantidades de insumos dos outros departamentos
fornecedores de bens e serviços intermediários. Sendo assim, serão observados imediatamente
os efeitos diretos decorrentes da variação inicialmente ocorrida.
Além dos efeitos diretos, uma série de efeitos indiretos serão desencadeados por todo
o sistema, uma vez que, para suprir a nova demanda intermediária do departamento tratado
anteriormente, os demais departamentos deverão ampliar ou reduzir sua demanda
intermediária, adequando-se as necessidades do departamento comprador.
5.1 - Estrutura Matricial
O modelo completo da matriz insumo - produto de Leontief é composta por três
submatrizes de desagregação, que são:
1. Submatriz de desagregação da demanda final;
2. Submatriz de desagregação do valor agregado bruto;
3. Submatriz de desagregação das transações intermediárias.
A submatriz de desagregação da demanda final é constituída pelo consumo das
unidades familiares e do governo, pelos investimentos das empresas e do governo e pelas
exportações de bens e serviço. Essa matriz é a base para determinação dos novos consumos
intermediários, conforme demonstraremos posteriormente.
A submatriz de desagregação do valor agregado bruto é constituída pela remuneração
dos fatores de produção (salários, juros, aluguéis e lucros) mobilizados pela empresa no
processo de transformação dos insumos em bens e serviços.
Por ultimo, a submatriz de desagregação das transações intermediárias, também
chamada de "matriz dos coeficientes técnicos", consiste na matriz mais importante para a
elaboração do modelo proposto, pois ela demonstra as relações intersetoriais dadas pelas
aquisições e remessas de insumos que cada departamento transaciona com os demais
departamentos, determinando assim os regimes de dependência de cada um.
A matriz é formada por vetores linha e coluna, como em sua forma usual. As linhas
são identificadas pela letra “i”, e as colunas pela letra “j”, onde o intercruzamento dessas
linhas e colunas identificamos como o termo “aij”.
Nos vetores linha, são registrados para todos as divisões que compõem o processo
produtivo, os valores levados a crédito pela produção, ou seja, são registradas as vendas de
bens e/ou serviços intermediários e a demanda final.
Nos vetores coluna, ao contrário, são registrados para todos as divisões que compõem
o processo produtivo, os valores levados a débito pela produção, ou seja, são registradas as
compras de bens e/ou serviços intermediários e o valor agregado bruto - VAB.
Por meio dos vetores linha ou coluna, chegaremos ao conceito de valor bruto da
produção – VBP, que consiste no valor total dos bens e serviços produzidos pelos
departamentos. Utilizando o vetor linha, basta somar o consumo intermediário ao consumo
final para que obtenhamos o VBP, e utilizando vetor coluna, basta somar o consumo
intermediário ao valor agregado para obter o VBP.
5
A utilização tanto dos vetores linha, quanto dos vetores coluna é possível pois, nesse
modelo não há formação de estoque, sendo assim, todos os insumos produzidos internamente,
serão consumidos internamente e externamente nos mesmo período.
5.2 - Elaboração do Modelo Proposto, Utilizando a Álgebra Matricial
A empresa MC S/A, é composta por três (03) departamentos, onde são mantidas
constantes trocas de bens/serviços entre eles, sendo uma parte destinada para o consumo final.
No final do período xx/99, a empresa MC S/A apresentou as seguintes desagregações de sua
Demanda Intermediária, Demanda Final e Valor Agregado Bruto, conforme demonstrado na
tabela abaixo:
Tabela 4 - Modelo simplificado de insumo-produto para a empresa MC S/A
constituída por três Centros de Resultados.
Dpto1 Dpto2 Dpto3
Sub total
675
585
990
2.250
Dpto1
Dpto2
Dpto3
Subtotal
90
135
540
765
360
90
180
630
225
360
270
855
Salário
Alugueis
Juros
Lucros
VAB
189
41
14
27
270
216
24
8
22
270
410 815
88 153
29
51
59 107
585 1.125
VBP
1.035
Consumo Investi- Exporta- Demanda
Final
mento
ção
Final
11
306
43
360
284
13
19
315
360
23
68
450
78
950
97
1.125
VBP
1.035
900
1.440
3.375
900 1.440 3.375
Prosseguindo na elaboração do modelo proposto, a Tabela 5 representa os níveis
programados de expansão na demanda final, onde os valores da demanda programada
constitui a matriz que posteriormente determinara a nova demanda intermediária segundo o
princípio da interdependência.
Tabela 5 - Objetivos de expansão da demanda final para um período de cinco anos,
desagregado segundo os setores existentes na empresa
C.R 1
C.R 2
C.R 3
Total
Demanda
Atual
360
315
450
1125
Demanda
Taxa de
Programada Expansão
540
50%
504
60%
810
80%
1854
65%
O primeiro passo para a construção da álgebra matricial do modelo, consiste em
determinarmos a matriz dos coeficientes técnicos de insumo-produto. É essa matriz que
demonstrará o grau de interdependência existente entre os departamentos. O grau de
interdependência é obtido utilizando a seguinte formula, já em linguagem matricial:
6
aij = xij / Xj
onde,
aij - Grau de interdependência;
xij - Valor da transação intermediária;
Xj - Valor bruto da produção.
O coeficiente resultante dessa divisão indica a proporção da transação intermediária
que compõe o valor bruto da produção de um departamento. Sendo assim, se quiser
determinar o grau de interdependência entre os departamentos, basta aplicar a fórmula e
encontrar os seguintes coeficientes:
a11 = 90/1.035 = 0,0870 a21 = 135/900 = 0,1304 a31 = 540/1.440 = 0,5217
a12 = 360/1.035 = 0,4000 a22 = 90/900 = 0,1000 a32 = 180/1.440 = 0,2000
a13 =225/1.035 = 0,1563 a23 = 180/900 = 0,2500 a33 = 270/1.440 = 0,1875
Sendo assim, encontra-se a matriz dos coeficientes técnicos, que será representada
pela letra A:
0,0870 0,4000 0,1563
0,1304 0,1000 0,2500
0,5217 0,2000 0,1875
A=
Partindo dessa matriz de coeficientes técnicos, e conhecendo-se os níveis programados
de demanda final para cada departamento, podemos calcular os novos níveis de demanda
intermediária e do valor bruto da produção aplicando a seguinte equação matricial:
X = [ I - A]-1 . Y
Onde,
X - Valor Bruto da Produção;
[ I - A]-1 - Matriz Inversa do Resultado da Subtração da Matriz Identidade e da Matriz
dos Coeficiente Técnicos3;
Y - Demanda Final.
O resultado da inversão da matriz [I – A] é :
[I - A]-1=
1,5139 0,7917 0,5347
0,5254 1,4674 0,5525
1,1014 0,8696 1,7101
Após conhecer a matriz dos requisitos diretos e indiretos por unidade de demanda
final, poder-se então, calcular os novos valores brutos da produção, desagregados os níveis de
cada setor, resolvendo o seguinte sistema matricial:
X1
X2
X3
=
1,5139
0,7917
0,5347
0,5254
1,4674
0,5525
1,1014
0,8696
1,7101
540
.
504
810
Operando o produto das matrizes, obtemo-se os novos valores brutos da produção de
cada um dos três departamentos da suposta empresa.
X1 = (1,5139 . 540) + (0,7917 . 504) + (0,5347 . 810) = 1.650
X2 = (0,5254 . 540) + (1,4674 . 504) + (0,5525 . 810) = 1.471
X3 = (1,1014 . 540) + (0,8696 . 504) + (1,7101 . 810) = 2.418
Conhecidos os novos brutos da produção e recorrendo-se à matriz dos coeficientes
técnicos inicialmente calculados, podem-se então calcular a nova estrutura interindustrial de
insumo-produto. Ela será dada por:
7
xij = aij . Xj
Aplicando essa equação temos os seguintes resultados:
x11= a11 . X1 = 0,0870 . 1.650 = 143
x21= a21 . X1 = 0,1304 . 1.650 = 215
x31= a31 . X1 = 0,5217 . 1.650 = 861
x12= a12 . X2 = 0,4000 . 1.471 = 588
x22= a22 . X2 = 0,1000 . 1.471 = 147
x32= a32 . X2 = 0,2000 . 1.471 = 294
x13= a13 . X3 = 0,1563 . 2.418 = 378
x23= a23 . X3 = 0,2500 . 2.418 = 605
x33= a33 . X13 = 0,1875 . 2.418 = 453
Finalmente, com os novos valores brutos da produção por departamento e com a nova
estrutura interindustrial de insumo-produto, obtém-se , por via de residual, também para cada
setor, os novos valores agregados brutos, definindo a nova matriz de consumo intermediário
decorrência dos objetivos programados da demanda final. A nova matriz apresenta-se da
seguinte forma:
Tabela 4.3 - Projeção do valor bruto da produção, da demanda intermediária e do valor
agregado bruto por centro de resultado, decorrentes dos objetivos programados da demanda
final
Dpto1 Dpto2 Dpto3
Dpto1
Dpto2
Dpto3
Subtotal
VAB
VBP
143
588
378
215
147
605
861
294
453
1.219 1.030 1.436
431
441
Sub total
1.110
967
1.608
3.685
Demanda
Final
540
504
810
1.854
VBP
1.650
1.471
2.418
5.539
982 1.854
1.650 1.471 2.418 5.539
6 – Considerações Finais
Acredita-se que o modelo proposto possa contribuir para as empresas no sentido de
proporcionar melhores condições para que os gestores tomem decisões mais adequadas e
utilizem melhor os recursos disponíveis para alcançar seus objetivos de maneira mais eficaz.
O modelo matricial, por ser um modelo matemático, é facilmente utilizado em
planilhas eletrônicas, proporcionando ao gestor adaptar-se as mudanças ambientais
rapidamente, gerando informações importantes para as tomadas de decisão.
Esse modelo deve ser utilizado como auxílio do planejamento e também do orçamento
empresarial pois, oferece aos gestores informações da quantidade de recursos a serem
utilizados pela empresa, fazendo com que as necessidades ou sobras de recursos sejam
administradas da melhor maneira possível.
Todo o modelo foi construído com base apenas teórica, adaptando o modelo um
modelo de origem macroeconômica para um modelo microeconômico. No modelo proposto
8
não testou-se a validade empírica. Porém os estudos nesse tema estão sendo aprofundados,
buscando aperfeiçoamento e validação.
Notas de final de texto
1 - Ludwig von Bertalanffy, autor da Teoria Geral dos Sistemas.
2 - Wassily Leontief, idealizador da matriz insumo - produto para fins de mensuração
dos agregados econômicos. Seus trabalhos iniciaram-se em Harvard, em 1931.
3 - Para proceder os cálculos necessários para se chegar a matriz [I – A]-1, checar
apêndice do capítulo V – Cálculo da matriz inversa por meio de determinantes, do livro –
Fundamentos da Matemática, citado na bibliografia.
Bibliografia
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CATELLI, Armando (coordenador). Controladoria: uma abordagem da gestão econômica GECON. São Paulo: Atlas, 1999.
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IEZZI, Gerson. Fundamentos da matemática elementar,4: seqüência, matrizes,
determinantes, sistemas. – 6.ed. São Paulo: Atual, 1993.
IUDÍCIBUS, Sérgio de. Análise de custos. – São Paulo: Atlas, 1988.
LUCA, Márcia Martins Mendes De. Demonstração do valor adicionado: do cálculo da
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BERTALANFFY, Lud von. Teoria geral dos sistemas. Petrópolis: Vozes, 1972.
PELEIAS, Ivam R. Avaliação de desempenho: um enfoque de gestão econômica. Dissertação
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SANVICENTE, Antonio Zoratto. Orçamento na administração de empresas: planejamento e
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