Universidade Federal de Campina Grande UFCG
Centro de Ciências e Tecnologia CCT
Pós Graduação em Física
José Felix da Silva(1)
Fábio Leal de Melo Dahia(1)
Patricio
Apoio Financeiro: Capes
Palavra Chave: Relatividade Especial, observadores acelerados, linhas de simultaneidade.
(1)Departamento de Física/CCT/Universidade Federal de Campina Grande, C. Grande-PB, Brasil.
Contato: [email protected]
Resumo

Sistema de Coordenadas de Minkowski.

Linha de Universo de um Observador Uniformemente
Acelerado.

Sistema de Coordenadas de Rindler.

Formulação Geral de Sistemas de Coordenadas
Adaptados a Observadores Uniformemente Acelerados.
Sistema de Coordenadas de
Minkowski
Linhas de universo
t
Linhas de
simultaneidade
E
x
Fig. 1 - Representação geométrica da família de observadores de Minkowski.
As retas vermelhas representam as linhas de universo dos observadores de
Minkowski. As retas azuis representam linhas de tempo próprio constante.
Forma Métrica:
ds2  dt2  dx2
Linha de Universo de Observadores
Uniformemente Acelerados
Considere um observador que experimenta a ação de uma
aceleração própria uniforme “g” na direção x. Sendo:

 du  
dx 
com


(d
x
)  (dt, dx, 0,0) e   0,1,2,3

a 
u 
d
 d 


a  .a  g 2
a  .u  0
Deste modo: u  .u   1
Resolvendo as equações acima, descobrimos que as
coordenadas temporais e espaciais deste observador
variam com relação a um sistema inercial K, através das
equações:
1
t  sinh g
g
e
1
1
x  cosh g    onde
g
g
x(0)  
Linha De Universo De Um Observador Uniformemente
Acelerado que partiu da posição ρ=1/g.
Fig.2 – Representação
Gráfica da linha de
universo
de
um
observador de Rindler.
Sendo x(0)  1 , logo:
g
x 2  t 2  g 2
Família de Observadores de Rindler
Considere
um
conjunto
de
observadores uniformemente acelerados,
distribuídos continuamente sobre todo
eixo espacial, os quais possuem
acelerações próprias que caem com o
inverso de suas distâncias iniciais (t=0) a
origem.
1
a

Note que individualmente, cada
observador executa um movimento
uniformemente acelerado, tendo suas
linhas
de
universo
descrevendo
hipérboles com diferentes concavidades.
Fig.3
Sistema de Coordenadas de Rindler e
o Princípio da Localidade
x'
t'
t
K’
K
x
Fig. 4 – O Sistema de coordenadas
de Rindler está baseado no
princípio da localidade, segundo
qual, um observador acelerado e
um observador inercial comóvel
são instantaneamente equivalentes,
inclusive quanto a determinação de
simultaneidade.
Relacionando as coordenadas dos
referenciais K e K’ através da
transformação
de
Poincaré,
obtemos
como
linha
de
simultaneidade para aquele instante
a reta:
t  Vx
Sistema de Coordenadas de Rindler
Fig.5 – Todos os observadores de Rindler
concordam quanto ao que é simultâneo.
No entanto suas medidas são realizadas a
partir do observador que no instante t=0,
encontrava-se na posição ρ = 1/g. Seja τR
o tempo próprio medido por este
observador e ξ = ρ-(1/g), as equações que
definem a lei de transformação entre as
coordenadas de Rindler é o sistema
inercial são:
1
t  (   ) sinh(g R )
g
1
x  (   ) cosh(g R )
g
Já a métrica bidimensional pode ser
escrita como:
ds2  d 2  (1  g )d R
2
Formulação Geral de Sistema de Coordenadas
Adaptados a Observadores Uniformemente
Acelerados
Considere um conjunto de observadores uniformemente acelerados,
distribuídos continuamente sobre todo eixo espacial, os quais possuem
acelerações próprias que varia arbitrariamente com sua distância inicial
(t=0) a origem.
a  a  
As equações que descrevem a linha de universo destes observadores
serão:
t
1
a  
sinha  
x
1
a  
cosha   
Note que:
2


1
1
 x 
    t 2 
2
a  
a  


1
a  

Construção dos Sistemas de
Coordenadas
Dado um evento E, nossos sistemas de coordenadas
registrarão este evento da seguinte maneira:

A coordenada espacial será igual a posição inicial (t = 0) do
observador acelerado que cruza o evento E.

A coordenada temporal será atribuída utilizando o princípio
físico da localidade.
Este método é semelhante ao método utilizado para
construir o sistema de coordenadas de Rindler.
Linha de Simultaneidade
Fig.6 -A linha de simultaneidade definida para o observador que parte ρ0
intercepta a linha de universo do observador que parte de ρ1, num instante em
que V1≠V2 (exceto para observadores de Rindler). Fazendo a “ligação” no limite
do contínuo, construímos nossa linha de simultaneidade que denotaremos pela
função t = Q(x).
Determinação da linha de
Simultaneidade
Considere um observador acelerado que partiu da posição ρ.
Seja V a sua velocidade no instante τρ e t = Q(x) a linha de
simultaneidade correspondente aquele instante. Assim temos:
V  tanh[a  ] 
a Qx 
1  a 2  Q 2 x 
Como o observador inercial encontra-se instantaneamente na
mesma velocidade do observador acelerado, temos:
Vinst .obser .inercial  V
dQ( x)
a Qx 

dx
1  a 2  Q 2 x 
Sistema de Coordenadas de Observadores
com a Mesma Aceleração (a=g=const.)
Fig. 7 - Para este caso as equações
relacionam as medidas realizadas
pelo referencial inercial K e as
medidas realizadas pelo novo
referencial são:
t
1
g sinh 
onde:
x


1
]
  [ g (    0 )  arctanh
 cosh(g  ) 
0


A forma métrica bidimensional é dada por:
ds2  coth2 ()d 2 
1
[1  g  coth()]
g
1
d  0
sinh2 () sinh2 ( g 0 )
Sistema de Coordenadas de Observadores
com a Aceleração a =1/ρ (Rindler)
Nossa
generalização
reproduz
o
sistema
de
coordenadas de Rindler quando
a(ρ) =1/ρ . No entanto para
outras dependências particulares,
como aceleração caindo com
inverso do quadrado da distância
ou em proporções maiores, não é
trivial a identificação da linha de
simultaneidade.
(Casos Particulares)

Quando a=g=const. Temos:

Quando a=(1/ρ). Temos:
dQ( x)
Qx 

dx
 2  Q 2 x 

dQ( x)
gQx 

dx
1  g 2Q 2  x 
No entanto x 2   2  Q2 ( x)
Quando a=(1/ρ2). Neste caso temos:
dQ( x)
Qx 
Porém ( x   2   )2  Q2 ( x)   4
dx

 4  Q 2 x 
Conclusões e Perspectivas

Nossa Generalização permite que o sistema de coordenadas de
Rindler aparece naturalmente como uma particularidade.

Para alguns valores de acelerações, as secções espaciais podem
apresentar curvatura, por esta razão, os referências adaptados a
estes observadores podem ser usados para ilustrar a conexão
entre geometria não-Euclidiana e aceleração, como sugerido
inicialmente por Einstein.

Nossa perspectiva é encontrar a linha de simultaneidade para
qualquer aceleração, e desenvolver a forma métrica
generalizada tanto bidimensional (1+1), quanto tridimensional
(1+2).
Referências Bibliográficas







MISNER, C., THORNE, K. and WHEELER, J.A., Gravitation (W.H.
Freeman d Company, New York, 1973), pp. 163-176.
MARZLIN, K. What is the reference frame of an accelerated observer?,
Phys. Lett. A, p.215, 1-6 (1996).
RINDLER, W. kruskal space and the uniformly accelerated frame, Am.
J. Phys. 34, p.1174-1178 (1975)
CARMO, M. Do, Differencial Geometry of Curves and Surfaces
(Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1976), pp. 246-265.
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PAURI. M. and VALLINERI. M., Marzke-Wheeler coordinates for
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