Exercícios de Aprofundamento – Física – Movimento Circular
1. (G1 - cps 2015) Em um antigo projetor de cinema, o filme a ser projetado deixa o carretel F,
seguindo um caminho que o leva ao carretel R, onde será rebobinado. Os carretéis são
idênticos e se diferenciam apenas pelas funções que realizam.
Pouco depois do início da projeção, os carretéis apresentam-se como mostrado na figura, na
qual observamos o sentido de rotação que o aparelho imprime ao carretel R.
Nesse momento, considerando as quantidades de filme que os carretéis contêm e o tempo
necessário para que o carretel R dê uma volta completa, é correto concluir que o carretel F
gira em sentido
a) anti-horário e dá mais voltas que o carretel R.
b) anti-horário e dá menos voltas que o carretel R.
c) horário e dá mais voltas que o carretel R.
d) horαrio e dα menos voltas que o carretel R.
e) horário e dá o mesmo número de voltas que o carretel R.
2. (Unicamp 2015) Considere um computador que armazena informações em um disco rígido
que gira a uma frequência de 120 Hz. Cada unidade de informação ocupa um comprimento
físico de 0,2 μm na direção do movimento de rotação do disco. Quantas informações
magnéticas passam, por segundo, pela cabeça de leitura, se ela estiver posicionada a 3 cm do
centro de seu eixo, como mostra o esquema simplificado apresentado abaixo?
(Considere π  3.)
a) 1,62  106.
b) 1,8  106.
c) 64,8  108.
d) 1,08  108.
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Exercícios de Aprofundamento – Física – Movimento Circular
3. (Unesp 2015) O assento horizontal de uma banqueta tem sua altura ajustada pelo giro de
um parafuso que o liga à base da banqueta. Se girar em determinado sentido, o assento sobe
3 cm na vertical a cada volta completa e, no sentido oposto, desce 3 cm. Uma pessoa apoia
sobre o assento uma lata de refrigerante de 360 g a uma distância de 15 cm de seu eixo de
rotação e o fará girar com velocidade angular constante de 2 rad s.
Se a pessoa girar o assento da banqueta por 12s, sempre no mesmo sentido, e adotando
g  10m s2 e π  3, calcule o módulo da força de atrito, em newtons, que atua sobre a lata
enquanto o assento gira com velocidade angular constante, e o módulo da variação de energia
potencial gravitacional da lata, em joules.
4. (Unesp 2015) A figura representa, de forma simplificada, parte de um sistema de
engrenagens que tem a função de fazer girar duas hélices, H1 e H2 . Um eixo ligado a um
motor gira com velocidade angular constante e nele estão presas duas engrenagens, A e B.
Esse eixo pode se movimentar horizontalmente assumindo a posição 1 ou 2. Na posição 1, a
engrenagem B acopla-se à engrenagem C e, na posição 2, a engrenagem A acopla-se à
engrenagem D. Com as engrenagens B e C acopladas, a hélice H1 gira com velocidade
angular constante ω1 e, com as engrenagens A e D acopladas, a hélice H2 gira com
velocidade angular constante ω2 .
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Exercícios de Aprofundamento – Física – Movimento Circular
Considere rA , rB , rC , e rD , os raios das engrenagens A, B, C e D, respectivamente.
ω
Sabendo que rB  2  rA e que rC  rD , é correto afirmar que a relação 1 é igual a
ω2
a)
b)
c)
d)
e)
1,0.
0,2.
0,5.
2,0.
2,2.
5. (Fuvest 2015) Uma criança com uma bola nas mãos está sentada em um “gira‐gira” que
roda com velocidade angular constante e frequência f  0,25 Hz.
a) Considerando que a distância da bola ao centro do “gira‐gira” é 2 m, determine os módulos
da velocidade V T e da aceleração a da bola, em relação ao chão.
Num certo instante, a criança arremessa a bola horizontalmente em direção ao centro do
“gira‐gira”, com velocidade VR de módulo 4 m / s, em relação a si.
Determine, para um instante imediatamente após o lançamento,
b) o módulo da velocidade U da bola em relação ao chão;
c) o ângulo θ entre as direções das velocidades U e VR da bola.
Note e adote:
π3
6. (G1 - cps 2015) A apresentação de motociclistas dentro do globo da morte é sempre um
momento empolgante de uma sessão de circo, pois ao atingir o ponto mais alto do globo, eles
ficam de ponta cabeça. Para que, nesse momento, o motociclista não caia, é necessário que
ele esteja a uma velocidade mínima (v) que se relaciona com o raio do globo (R) e a
aceleração da gravidade (g) pela expressão: v  R  g, com R dado em metros.
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Exercícios de Aprofundamento – Física – Movimento Circular
Considere que no ponto mais alto de um globo da morte, um motociclista não caiu, pois estava
com a velocidade mínima de 27km h.
Assim sendo, o raio do globo é, aproximadamente, em metros,
Adote g  10m / s2
a) 5,6.
b) 6,3.
c) 7,5.
d) 8,2.
e) 9,8.
7. (Unifesp 2015) Uma pista de esqui para treinamento de principiantes foi projetada de modo
que, durante o trajeto, os esquiadores não ficassem sujeitos a grandes acelerações nem
perdessem contato com nenhum ponto da pista. A figura representa o perfil de um trecho
dessa pista, no qual o ponto C é o ponto mais alto de um pequeno trecho circular de raio de
curvatura igual a 10 m.
Os esquiadores partem do repouso no ponto A e percorrem a pista sem receber nenhum
empurrão, nem usam os bastões para alterar sua velocidade. Adote g  10 m / s2 e despreze o
atrito e a resistência do ar.
a) Se um esquiador passar pelo ponto B da pista com velocidade 10 2 m s, com que
velocidade ele passará pelo ponto C?
b) Qual a maior altura hA do ponto A, indicada na figura, para que um esquiador não perca
contato com a pista em nenhum ponto de seu percurso?
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Se precisar, utilize os valores das constantes aqui relacionadas.
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Exercícios de Aprofundamento – Física – Movimento Circular
Constante dos gases: R  8J (mol  K).
Pressão atmosférica ao nível do mar: P0  100 kPa.
Massa molecular do CO2  44 u.
Calor latente do gelo: 80cal g.
Calor específico do gelo: 0,5cal (g  K).
1cal  4  107 erg.
Aceleração da gravidade: g  10,0m s2 .
8. (Ita 2015) Uma massa puntiforme é abandonada com impulso inicial desprezível do topo de
um hemisfério maciço em repouso sobre uma superfície horizontal. Ao descolar-se da
superfície do hemisfério, a massa terá percorrido um ângulo θ em relação à vertical. Este
experimento é realizado nas três condições seguintes, I, II e III, quando são medidos os
respectivos ângulos θI, θII e θIII :
I. O hemisfério é mantido preso à superfície horizontal e não há atrito entre a massa e o
hemisfério.
II. O hemisfério é mantido preso à superfície horizontal, mas há atrito entre a massa e o
hemisfério.
III. O hemisfério e a massa podem deslisar livremente pelas respectivas superfícies.
Nestas condições, pode-se afirmar que
a) θII  θI e θIII  θI.
b) θII  θI e θIII  θI.
c) θII  θI e θIII  θI.
d) θII  θI e θIII  θI.
e) θI  θIII.
9. (Unicamp 2014) As máquinas cortadeiras e colheitadeiras de cana-de-açúcar podem
substituir dezenas de trabalhadores rurais, o que pode alterar de forma significativa a relação
de trabalho nas lavouras de cana-de-açúcar. A pá cortadeira da máquina ilustrada na figura
abaixo gira em movimento circular uniforme a uma frequência de 300 rpm. A velocidade de um
ponto extremo P da pá vale
(Considere π  3. )
a) 9 m/s.
b) 15 m/s.
c) 18 m/s.
d) 60 m/s.
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Exercícios de Aprofundamento – Física – Movimento Circular
10. (Enem 2014) Um professor utiliza essa história em quadrinhos para discutir com os
estudantes o movimento de satélites. Nesse sentido, pede a eles que analisem o movimento do
coelhinho, considerando o módulo da velocidade constante.
Desprezando a existência de forças dissipativas, o vetor aceleração tangencial do coelhinho,
no terceiro quadrinho, é
a) nulo.
b) paralelo à sua velocidade linear e no mesmo sentido.
c) paralelo à sua velocidade linear e no sentido oposto.
d) perpendicular à sua velocidade linear e dirigido para o centro da Terra.
e) perpendicular à sua velocidade linear e dirigido para fora da superfície da Terra.
11. (Fuvest 2014) Uma estação espacial foi projetada com formato cilíndrico, de raio R igual a
100 m, como ilustra a figura abaixo.
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Exercícios de Aprofundamento – Física – Movimento Circular
Para simular o efeito gravitacional e permitir que as pessoas caminhem na parte interna da
casca cilíndrica, a estação gira em torno de seu eixo, com velocidade angular constante ω. As
pessoas terão sensação de peso, como se estivessem na Terra, se a velocidade ω for de,
aproximadamente,
Note e adote:
A aceleração gravitacional na superfície da Terra é g = 10 m/s2.
a) 0,1 rad/s
b) 0,3 rad/s
c) 1 rad/s
d) 3 rad/s
e) 10 rad/s
12. (Fuvest 2014) Duas pequenas esferas, cada uma com massa de 0,2 kg, estão presas nas
extremidades de uma haste rígida, de 10 cm de comprimento, cujo ponto médio está fixo no
eixo de um motor que fornece 4 W de potência mecânica. A figura abaixo ilustra o sistema.
No instante t = 0, o motor é ligado e o sistema, inicialmente em repouso, passa a girar em torno
do eixo. Determine
a) a energia cinética total E das esferas em t = 5 s;
b) a velocidade angular ω de cada esfera em t = 5 s;
c) a intensidade F da força entre cada esfera e a haste, em t = 5 s;
d) a aceleração angular média α de cada esfera, entre t = 0 e t = 5 s.
Note e adote:
As massas da haste e do eixo do motor devem ser ignoradas.
Não atuam forças dissipativas no sistema.
13. (Unesp 2014) Em um show de patinação no gelo, duas garotas de massas iguais giram em
movimento circular uniforme em torno de uma haste vertical fixa, perpendicular ao plano
horizontal. Duas fitas, F1 e F2, inextensíveis, de massas desprezíveis e mantidas na horizontal,
ligam uma garota à outra, e uma delas à haste. Enquanto as garotas patinam, as fitas, a haste
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Exercícios de Aprofundamento – Física – Movimento Circular
e os centros de massa das garotas mantêm-se num mesmo plano perpendicular ao piso plano
e horizontal
Considerando as informações indicadas na figura, que o módulo da força de tração na fita F 1 é
igual a 120 N e desprezando o atrito e a resistência do ar, é correto afirmar que o módulo da
força de tração, em newtons, na fita F 2 é igual a
a) 120.
b) 240.
c) 60.
d) 210.
e) 180.
14. (Fuvest 2014) Há um ponto no segmento de reta unindo o Sol à Terra, denominado “Ponto
de Lagrange L1”. Um satélite artificial colocado nesse ponto, em órbita ao redor do Sol,
permanecerá sempre na mesma posição relativa entre o Sol e a Terra.
Nessa situação, ilustrada na figura acima, a velocidade angular orbital ωA do satélite em torno
do Sol será igual à da Terra, ωT .
a) ωT
G, da massa MS do Sol e da distância R entre a
Terra e o Sol;
ωA em rad/s;
c) a expressão do módulo Fr da força gravitacional resultante que age sobre o satélite, em
função de G, MS ,MT, m, R e d, sendo MT e m, respectivamente, as massas da Terra e do
satélite e d a distância entre a Terra e o satélite.
Note e adote:
1ano  3,14  107 s.
O módulo da força gravitacional F entre dois corpos de massas M1 e M2, sendo r a distância
entre eles, é dado por F = G M1 M2/r2.
Considere as órbitas circulares.
15. (Ita 2014) Um cilindro de altura h e raio a, com água até uma certa altura, gira com
velocidade angular ω constante. Qual o valor máximo de ω para que a água năo transborde,
sabendo que neste limite a altura z (ver figura) é igual a h / 3  ω2a2 /  4g ?
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Exercícios de Aprofundamento – Física – Movimento Circular
Dado: num referencial que gira com o cilindro, e, portanto, considerando a força centrífuga,
todos os pontos da superfície da água tęm mesma energia potencial.
 
4ga /  9h2 
4ga /  3h2 
4gh /  3a2 
4gh /  9a2 
a) ω  2gh / 3a2
b) ω 
c) ω 
d) ω 
e) ω 
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Exercícios de Aprofundamento – Física – Movimento Circular
Gabarito:
Resposta da questão 1:
[D]
A análise da situação permite concluir que o carretel F gira no mesmo sentido que o carretel R,
ou seja, horário. Como se trata de uma acoplamento tangencial, ambos têm mesma velocidade
linear, igual à velocidade linear da fita.
f
r
vF  vR  2 π fF rF  2 π fR rR  f F rF  fR rR  F  R .
f R rF
Essa expressão final mostra que a frequência de rotação é inversamente proporcional ao raio.
Como o carretel F tem maior raio ele gira com menor frequência, ou seja dá menos voltas que
o carretel R.
Resposta da questão 2:
[D]
- Espaço ocupado por cada informação:
L  0,2 μm  2  107 m.
- Comprimento de uma volta:
C  2 π r  2  3  3  103  18  103 m.
- Número de informações armazenadas em cada volta:
n
C 18  103

 9  104.
L
2  107
- Como são 120 voltas por segundo, o número de informações armazenadas a cada segundo
é:
N  n f  9  104  120 
N  1,08  108.
Resposta da questão 3:
Dados: m  360 g  0,36 kg; ω  2 rad/s; r  15 cm  0,15 m; g  10 m/s2; π  3.
a) Na situação descrita, a força de atrito age como resultante centrípeta.
Fat  Rcent  m ω2 r  0,36  4  0,15  Fat  0,216 N.
b) O ângulo descrito em 12 s é:
Δθ  ωΔt  2  12  24 rad.
Por proporção direta:
1 volta  2π rad
24 12

 n

 n  4 voltas.

2π
3

n voltas  24 rad
Calculando a variação da altura.

1 volta  3 cm
 Δh  12 cm  0,12 m.


4 voltas  Δh
A variação da energia potencial é:
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Exercícios de Aprofundamento – Física – Movimento Circular
ΔEp  m g Δh  0,36  10  0,12 
ΔEp  0,432 J.
Resposta da questão 4:
[D]
Na posição 1:
 rB  2 r A .

 ω ω 
A
 B

 v C  vB 

 ωC  ω1 

vB
vB
 ωA 
 ωA  v B  2 ω A r A .
rB
2 rA
ωC rC  2 ωA rA .
ω1rC  2 ωA rA . (I)
Na posição 2:
 vD  v A  ω D rD  ωA rA .

 ω2  ωD .
 r r .
 C D
 ω2 rC  ωA rA . (II)
Dividindo membro a membro (I) por (II):
ω1 rC
2 ωA rA
ω1


 2.
ω2 rC
ωA rA
ω2
Resposta da questão 5:
Dados: f  0,25 Hz; r  2 m; VR  4 m/s; π  3.
a) Como se trata de movimento circular uniforme, somente há a componente centrípeta da
aceleração.
VT  2 π f r  2  3  0,25  2 
a 
VT
r
2

32

2
VT  3 m/s.
a  4,5 m/s2 .
 
b) A figura mostra a velocidade resultante U da bola num ponto qualquer da trajetória.
U2  VT2  VR2  32  42 
V
4
c) cos θ  R   0,8 
U
5
U  5 m/s.
θ  arccos0,8.
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Exercícios de Aprofundamento – Física – Movimento Circular
Resposta da questão 6:
[A]
Sabendo que 27km h 
15
m s, vem
2
15
 R  10  R  5,6 m.
2
Resposta da questão 7:
a) Usando a conservação da energia mecânica entre os pontos B e C, com referencial em B,
vem:
C
EB
mec  Emec 
vC 
10  2 
2
2
m vC
m v B2
 m ghBC 
2
2
 2  10  10  400 
2
2
 vC
 vB
 2 ghBC 
v C  2 10 m/s.
b) Se o esquiador passar pelo ponto C na iminência de perder o contato com a pista, na
iminência de voar, a normal nesse ponto deve ser nula. Então a resultante centrípeta é seu
próprio peso.
Rcent  P 
2
m vC
 m g  vC  r g  10  10  vC  10 m/s.
r
Usando a conservação da energia mecânica entre A e C, com referencial em C, vem:
A
C
Emec
 Emec
 m g hA  hC  
2
m vC
v2
102
 hA  hC  C  hA 
 30
2
2g
20
hA  35 m.
Resposta da questão 8:
[C]
Condição I - Hemisfério fixo e a descida é sem atrito.
Aplicando a conservação da energia mecânica, considerando o plano de referência mostrado
na Figura 1:
A
Emec
 EB
mec  m g R  h1  
m vB2
 vB2  2 g R  h1 
2
I.
No ponto B, onde ocorre o descolamento, a normal se anula. Assim, a resultante centrípeta é a
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Exercícios de Aprofundamento – Física – Movimento Circular
componente radial do peso (Py ) .
Py  Rcent  m g cos θI 
m vB2
2
 vB
 R g cos θI (II).
R
Mas
h
cos θI  1
R
(III).
Substituindo (III) em (II):
h
2
vB
 R g 1  vB2  g h1
R
(IV).
Igualando (IV) e (II):
g h1  2 g R  h1   h1  2 h1  2 R 
Substituindo (V) em (III):
2 R
2
cos θI  3
 cos θI 
R
3
 
 h1 
2
R
3
 V .
(VI).
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Exercícios de Aprofundamento – Física – Movimento Circular
Condição II - Hemisfério fixo e a descida é com atrito.
Como o sistema é não conservativo, a energia mecânica dissipada (Ed) entre A e C (ponto de
descolamento) é igual à diferença positiva entre energia mecânica inicial e a final.
Considerando o plano de referência indicado na Figura 2, temos:
2 m g R  h2  2 Ed
m v C2
A
C
Ed  Emec
 Emec
 Ed  m g R  h2  
 v C2 


2
m
m
2 Ed
v C2  2 g R  2 gh2 
 VII.
m
Repetindo o mesmo procedimento da condição anterior, para o novo ponto de descolamento
(C), obtemos:
Py  Rcent  m g cos θII 
m vB2
2
 vB
 R g cos θII (VIII).
R
Mas
h
cos θII  2
R
(IX).
Substituindo (IX) em (VIII):
h
2
vB
 R g 2  vB2  g h2
R
(X).
Igualando (X) e (VII):
g h2  2 gR  2 g h2 
2 Ed
m
2 Ed 
2
R 

3
3 m g
 XI .
h2 
 3 g h2  2 gR 
2 gR 2 Ed
2 Ed
 h2 


m
3g
3mg
 Nota: como era de se esperar, a condição I é um caso particular da condição II, para quando
não há atrito (Ed = 0).
Comparando (V) e (XI)  h2  h1  cos θII  cos θI 
θII  θ I.
Condição III - Hemisfério livre e a descida é sem atrito.
Nessa condição, na direção horizontal, o sistema é mecanicamente isolado. Assim, durante a
descida, nessa direção, o hemisfério ganha velocidade para a esquerda e a massa ganha um
adicional de velocidade para a direita. Então, ao passar por um mesmo ponto do hemisfério,
antes do descolamento, a velocidade na condição III é maior do que na condição I.
De acordo com a equação (IV), a velocidade e a altura no ponto de descolamento seguem a
expressão:
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Exercícios de Aprofundamento – Física – Movimento Circular
v2  gh  h 
v2
 Quanto maior a velocidade, mais alto é o ponto de descolamento.
g
Sendo h3 a altura do ponto de descolamento na condição III, esse raciocínio nos leva a
concluir que: h3  h1  cos θIII  cos θI 
θIII  θI .
Resposta da questão 9:
[C]
Dados: f = 300 rpm = 5 Hz; π = 3; R = 60 cm = 0,6 m.
A velocidade linear do ponto P é:
v  ω R  2 f R  2  3  5  0,6 
v  18 m/s.
Resposta da questão 10:
[A]
Como o módulo da velocidade é constante, o movimento do coelhinho é circular uniforme,
sendo nulo o módulo da componente tangencial da aceleração no terceiro quadrinho.
Resposta da questão 11:
[B]
A normal, que age como resultante centrípeta, no pé de uma pessoa tem a mesma intensidade
de seu peso na Terra.
N  Rcent  P  m ω2 R  m g  ω 
g
10
1


r
100
10

ω  0,3 rad/s.
Resposta da questão 12:
a) Dados: P = 4 W; Δt  5 s.
E  P Δt  4  5 
E  20 J.
b) Dados: m = 0,2 kg; R  5 cm  5  102 m.
A energia cinética das duas esferas é:
E2
ω
m v2
2
 m  ω R   E  m ω2 R2 
2
1 E
1

R m 5  102
20 100

100 
0,2
5
ω  200 rad/s.
c) A aceleração (a) da esfera tem duas componentes: tangencial (aT ) e centrípeta (aC ).
- Componente tangencial:
v  aT t  ω R  aT t  aT 
ω R 200  5  102

t
5
 aT  0,2 m/s2 .
- Componente centrípeta:

aC  ω2 R  2  102

2
 5  102  4  104  5  102  aC  2  103 m/s2.
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Exercícios de Aprofundamento – Física – Movimento Circular
Comparando os valores obtidos, a componente tangencial tem intensidade desprezível.
Então a intensidade da resultante é igual à da componente centrípeta.
aT  aC  a  aC  2  103 m / s2.
Aplicando o Princípio Fundamental da Dinâmica:
Fres  m a  0,2  2  103  0,4  103 
Fres  400 N.
a
2
d) α  T 
 0,4  102  α  40 rad/s2.
2
R
5  10
Resposta da questão 13:
[E]
A fita F1 impede que a garota da circunferência externa saia pela tangente, enquanto que a fita
F2 impede que as duas garotas saiam pela tangente. Sendo T 1 e T2 as intensidades das
trações nas fitas F1 e F2, respectivamente, sendo T1 = 120 N, temos:
T  m ω2 2 R  T  2 m ω2 R  120
 1
1

2
T2  m ω 2 R  m ω2 R  T2  3 m ω2 R

T1 2

T2 3
 T2 
3
3
T1  120  
2
2
T2  180 N.
Resposta da questão 14:
Nota: o termo órbita em torno do Sol é redundante, pois a órbita já é em torno de algo.
a) a força que o satélite exerce sobre a Terra é desprezível. Então, a resultante centrípeta
sobre a Terra é a força gravitacional que o Sol exerce sobre ela, conforme indica a figura.
Rcent  FST  MT ω2T R 
ωT 
G MS
R3
G MS MT
R2
 ωT2 
G MS
R3

.
b) O período de translação do satélite é igual ao período de translação da Terra:
TA  TT  1ano  3,14  107 s.
2π
2  3,14
ωA 

 ωA  2  107 rad/s.
7
TA
3,14  10
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Exercícios de Aprofundamento – Física – Movimento Circular
c) A força resultante gravitacional sobre o satélite é a soma vetorial das forças gravitacionais
que o satélite recebe do Sol e da Terra, conforme ilustra a figura.
Fres  FS  FT 
G MS m
R  d 
2

G MT m
d2

 M
M 
S
Fres  G m 
 T .
 R  d2 d2 


Resposta da questão 15:
[D]
Quando uma força atua no sentido de levar o corpo para o ponto de referência, dizemos que
ela é uma força restauradora e associamos a ela uma energia potencial positiva e, quando atua
no sentido de afastar o corpo do ponto de referência, uma energia potencial negativa. Por
exemplo, para a força gravitacional, quando o corpo está acima do plano de referência a
energia potencial do sistema é positiva e, se está abaixo desse plano, a energia potencial é
negativa. Já para a força elástica, a energia potencial associada a ela é sempre positiva, pois
ela age sempre no sentido de levar o corpo para o ponto de referência, situação em que a mola
está relaxada.
No caso, como indica a figura, a força centrífuga (Fcf ) age no sentido de afastar o ponto P do
referencial. Devemos, então, associar a ela uma energia potencial negativa.
Sendo essa força diretamente proporcional à elongação:

Fcf  k x

 m ω2 x 2

2
k

m
ω

E

.

p
2

2
E   k x
p


2
A energia potencial total associada a cada ponto é a soma da energia potencial devido à
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Exercícios de Aprofundamento – Física – Movimento Circular
rotação com a energia potencial gravitacional.
Como o enunciado afirma que a energia potencial é constante:
B
EPA  EP
 
2
m ω2 x2A
m ω2 xB
 m g h  z   
 m g h.
2
2
Sendo: xA = 0; xB = a; z 
gh g z  
ω2 
ω
2gh
3 a2
ω2 a2
2

4 gh
3 a2
g h
h ω2 a2

, substituindo valores:
3
4g
 ω2 
2g
a2
z
 ω2 
2 g  h ω2 a2 
 
 
4 g 
a2  3
4 gh
ω2
ω2 2 g h
 ω2 

 ω2 

2
2
2
3a
3 a2
.
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