A Aerodinâmica da
Bola de Futebol
Carlos Eduardo Aguiar
Instituto de Física
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Resumo
• Motivação
• Resistência do ar
• A crise aerodinâmica
• Força de Magnus
• O gol que Pelé não fez
• Futebol no computador
• Comentários finais
• C.E.A. e Gustavo Rubini, “A aerodinâmica da bola de futebol”
Revista Brasileira de Ensino de Física 26, 297 (2004)
• C.E.A. e Gustavo Rubini, “A crise da velocidade terminal”
Anais do XVI Simpósio Nacional de Ensino de Física (2005)
Porque estudar a física da bola de futebol?
• A física dos esportes atrai muitos estudantes
(e professores) e tem um potencial pedagógico
ainda pouco explorado.
• As forças aerodinâmicas que agem sobre a bola
têm origem em fenômenos que são encontrados
em um grande número de situações práticas.
A força de arrasto
arrasto Fa
1
Fa  Ca  A V 2
2
 = densidade do meio
A = área “frontal”
Ca = coeficiente de arrasto
velocidade V
O coeficiente de arrasto
• AV2 tem dimensão de força
Ca = Fa / (½ AV2) é adimensional
Ca só pode depender de
quantidades sem dimensão
• Em um fluido incompressível (V<<Vsom) a única
quantidade adimensional é o número de Reynolds:
DV
Re 

Ca = f (Re)
D = dimensão característica (diâmetro da bola),
 = viscosidade do meio
Coeficiente de arrasto de uma esfera
viscosidade domina
inércia domina
Stokes
crise
Primeiras medidas e idéias sobre o arrasto
medidas de Newton
Principia, livro 2
curva experimental
moderna
água
ar
teoria de Newton
G.E. Smith, Newton’s Study of Fluid Mechanics,
International Journal of Engineering Science 36 (1998) 1377-1390
Coeficiente de arrasto de uma esfera
Re << 1  Ca = 24/Re  Fa = (3D) V
“atrito linear”
Re = 0.16
(cilindro)
Coeficiente de arrasto de uma esfera
103 < Re < 105  Ca  0,4 - 0,5  Fa  0,2 AV2
Coeficiente de arrasto da bola de futebol
Ar
• densidade:   1,2 kg/m3
• viscosidade:   1,810-5 kg m-1 s-1
Bola de futebol
• diâmetro:
D = 0,22 m
Vbola = (6,710-5 m/s) Re
resistência proporcional
à velocidade (Re < 1)
Vbola < 0,1 mm/s
“atrito linear” irrelevante!
Coeficiente de arrasto da bola de futebol
Vbola  0,1 m/s
Vbola  20 m/s
CRISE
Esfera lisa
Na “crise” o coeficiente de arrasto diminui ~80%
A crise do arrasto
4
FA (N)
3
2
bola de
futebol (lisa)
1
0
0
10
20
30
V (m/s)
40
50
Para entender a crise:
• Camada limite
• Separação da camada limite
• Turbulência na camada limite
A camada limite
• O fluido adere à superfície da bola.
• A viscosidade transmite parcialmente esta adesão,
criando uma camada que tende a mover-se com a
superfície.
camada limite laminar
camada limite turbulenta
Separação da camada limite
H. Werlé
Separação da camada limite
S. Taneda
A camada limite e a crise do arrasto
Antes da crise
camada limite laminar
Depois da crise
camada limite turbulenta
Rugosidade da bola
A crise do arrasto ocorre
mais cedo para esferas
de superfície irregular.
A rugosidade precipita a
turbulência na camada
limite.
bola de golfe
bola de futebol “rugosa”
O descolamento da camada limite
e a força de arrasto
Por que não é o lado afiado da asa que corta o ar?
O descolamento da camada limite
e a força de arrasto
O descolamento da camada limite
e a força de arrasto
O descolamento da camada limite
e a força de arrasto
Alguns coeficientes de arrasto
Carro esporte
0.3 – 0.4
Carro de passeio
0.4 – 0.5
Avião subsônico
0.12
Paraquedista
1.0 - 1.4
Homem ereto
1.0 – 1.3
Cabos e fios
1.0 – 1.3
Torre Eiffel
1.8 – 2.0
http://aerodyn.org/Drag/
O efeito Magnus
bola sem rotação
rotação no sentido horário
A rotação muda os pontos de descolamento da camada limite.
A força de Magnus
FM
1
FM  CM  A r w  V
2
• CM = coeficiente de Magnus
• w = velocidade angular
• r = raio da bola
CM ~ 1 (grande incerteza)
ver por ex. K.I. Borg et al. Physics of Fluids 15 (2003) 736
Vórtices e Sustentação
O gol que Pelé não fez
Brasil x Tchecoslováquia, Copa de 70
“E, por um fio, não entra o mais fantástico gol de todas as Copas passadas, presentes e
futuras. Os tchecos parados, os brasileiros parados, os mexicanos parados – viram a bola
tirar o maior fino da trave. Foi um cínico e deslavado milagre não ter se consumado esse
gol tão merecido. Aquele foi, sim, um momento de eternidade do futebol.”
Nelson Rodrigues, À Sombra das Chuteiras Imortais
O gol que Pelé não fez
• Vídeo digitalizado e separado em quadros.
• A posição da bola foi determinada em cada quadro.
Início e final da trajetória
T
[s]
(X Y Z)
[m]
(Vx Vy Vz)
[m/s]
V
[m/s]

[graus]
Início
0,00
(-5,2 -2,9 0,0) (27,8 -0,4 8,8)
29,1
17,6
Final
3,20
(54,3 3,7 0,0) (15, 2 -0,2 -8,9)
17,6
-30,2
O gol que Pelé não fez
10
• Pontos: dados extraídos
do vídeo.
• Linha: cálculo com o
modelo abaixo.
Z (m)
8
6
4
2
0
-10
0
Modelo:
10
20
40
50
60
X (m)
0,5 V  Vcrise
CA  
 0,1 V  Vcrise
C M  1,0
30
Parâmetros ajustados:
• Vcrise = 23,8 m/s
• f = y/2= - 6,84 Hz
Futebol no computador
Simulação do chute de Pelé
(o ponto marca o local da crise)
O que ocorreria sem a
crise do arrasto (Vcrise = )
O que ocorreria sem o
efeito Magnus (f = 0)
Futebol no computador
Sem a resistência do ar e o efeito Magnus
(se o chute de Pelé fosse no vácuo)
Bolas de Efeito
• Trajetórias de bolas chutadas do mesmo ponto e
com a mesma velocidade, mas com diferentes
rotações em torno do eixo vertical.
A Folha Seca
A folha seca (segundo Leroy*): Bola com eixo de
rotação na mesma direção da velocidade inicial.
* B. Leroy, O Efeito Folha Seca, Rev.Bras.Física 7 , 693-709 (1977).
Geometria da bola de futebol
Telstar 1970
32 gomos
Teamgeist 2006
14 gomos
Jabulani 2010
8 gomos
Teamgeist vs. Jabulani
Teamgeist
Jabulani
Comentários Finais
• A crise do arrasto e o efeito Magnus desempenham
um papel importante na dinâmica da bola de futebol.
• Muitos fenômenos curiosos podem ser investigados
com esses efeitos: a folha seca de Didi, por exemplo.
• Outros esportes com bola (vôlei, tênis) podem ser
tratados de forma semelhante.
• Potencial pedagógico:
– Física do cotidiano
– Fenômenos importantes em outros contextos
– Motivação para o estudo de dinâmica de fluidos
Extras:
Deformação da bola e duração do chute
0 ms
4 ms
10 ms
T. Asai
Deformação da bola...
Vórtices e Sustentação