Queda Livre e Movimento
Uniformemente Acelerado
Sergio Scarano Jr
1906/2013
Exercícios Proposto
Um navio equipado com um sonar pretende medir a profundidade de um
oceano. Para isso, o sonar emitiu um Ultra-Som que foi reflectido no fundo
do oceano e regressou ao navio 1,2 segundos após ter sido emitido.
Sabendo que a velocidade do som na água do mar é de 1520 m/s, determina
a profundidade do oceano.
Esquema:
S
vágua  1520m / s Fórmulas:
v
D d
Dados:
Fó
l
t
t  1,2s
S  2  d
Pede se: d  ?
Pede-se:
d
d
S
Resolução:
v
2d
t

d
v  t
2

d
1520  1,2
2

d  912m
Em 1,2 segundos o som propaga-se a uma distância de 1824 metros. Mas
neste intervalo de tempo o som efetuou duas vezes o trajeto que
corresponde à distância até ao fundo do oceano, uma vez que o som
proveniente do sonar desceu até ao fundo do oceano e depois de ser
refletido voltou a subir até ao barco.
Solução: O oceano tem uma profundidade de 912 metros.
Plotando Grandezas – Crescimento Celular vs Tempo
Relação gráfica entre grandezas diferentes,
diferentes que tambem não é um mapa
que relaciona posições num plano ou no espaço, mas informa sobre
grandezas derivadas.
C 13 1 m
C=13,1
C 14 3 m
C=14,3
m
C=14 7 m
C=14,7
D=4,2 m
D=4,5 m
D=4,7 m
C=15,7 m
C=17,6 m
C=15,3 m
D=4 8 m
D=4,8
C=22,9
C=22
9
m
D=7,2 m
D=5,0
D
5,0 m
D 5 6 m
D=5,6
C 26 2 m
C=26,2
D=8,3
D
8,3 m
Jason S Rawlings et al. (2011) - European Molecular Biology Organization
Journal - http://www.readcube.com/articles/10.1038/emboj.2010.314
Plotando Grandezas – Crescimento Celular vs Tempo
Relação gráfica entre grandezas diferentes,
diferentes que tambem não é um mapa
que relaciona posições num plano ou no espaço, mas informa sobre
grandezas derivadas.
C 13 1 m
C=13,1
C 14 3 m
C=14,3
m
C=14 7 m
C=14,7
D=4,2 m
D=4,5 m
D=4,7 m
C=15,7 m
C=17,6 m
C=15,3 m
D=4 8 m
D=4,8
C=22,9
C=22
9
m
D=7,2 m
D=5,0
D
5,0 m
D 5 6 m
D=5,6
C 26 2 m
C=26,2
D=8,3
D
8,3 m
Jason S Rawlings et al. (2011) - European Molecular Biology Organization
Journal - http://www.readcube.com/articles/10.1038/emboj.2010.314
Usando a Calculadora para Fazer Estatística
Esse procedimento é possível com calculadoras CASIO.
CASIO
Plotando Grandezas – Crescimento Celular vs Tempo
Relação gráfica entre grandezas diferentes,
diferentes que tambem não é um mapa
que relaciona posições num plano ou no espaço, mas informa sobre
grandezas derivadas.
C 13 1 m
C=13,1
C 14 3 m
C=14,3
m
C=14 7 m
C=14,7
D=4,2 m
D=4,5 m
D=4,7 m
C=15,7 m
C=17,6 m
C=15,3 m
D=4 8 m
D=4,8
C=22,9
C=22
9
m
D=7,2 m
D=5,0
D
5,0 m
D 5 6 m
D=5,6
C 26 2 m
C=26,2
D=8,3
D
8,3 m
Jason S Rawlings et al. (2011) - European Molecular Biology Organization
Journal - http://www.readcube.com/articles/10.1038/emboj.2010.314
Os Planos Inclinados e a Queda dos Corpos
Em seus estudos com planos inclinados,
inclinados Galileu concluiu que a cada
unidade de tempo os corpos caiam em unidades de distâncias seguindo os
números ímpares.
Plano Inclinado para Experimentos de Galileu
Dos Planos Inclinados à Queda Livre
Generalizando os resultados que obteve para diferentes inclinações de
planos inclinados, Galileu notou que o deslocamento total de queda de um
corpo era proporcional ao quadrado do tempo de queda.
ti
S(ti+1)-S(t
) S(ti) = S


2= 
0=
1=
1
3
S(ti)-S(t
) S(t0) = S(t)
1
4
9
5
3=
16

7
4=

S (t )  c  t
2
Velocidade Instantânea e Limite
Qual é a velocidade de queda de um corpo num dado instante t?
S (t )  c  t

t

t+h
2



S
d
S
 v lim 
vmed12 
t
h 0 dt
c  t  h   c  t
v
t  h   t
2
No limite em que h tende a zero:
v(t )  2  c  t
2
Definição de Aceleração e Aceleração Instantânea
Usando o mesmo racíocínio podemos medir a velocidade de quão rápido
o corpo em queda fica mais rápido.
v(t )  2  c  t


amed12 
t
t+h
v
t
 a lim 
h 0
d
dv
dt
2  c  t  h   2  c  t
a
t  h  t
a(t )  2  c

a  2c
Definição de Aceleração da Gravidade e Equação dos
Corpos
p em Q
Queda - MUV
Como essa aceleração não depende nem da massa nem do tempo, damos
o nome de g.

a  2c
g  2c
Dessa forma podemos escrever:
v(t )  2  c  t
 v(t )  g  t
e:
S (t )  c  t
2
1
 S (t )  g  t 2
2
Definição de Aceleração da Gravidade e Equação dos
Corpos
p em Q
Queda - MUV
Como essa aceleração não depende nem da massa nem do tempo, damos
o nome de g.
g  2  c  constante
Contradiz idéia da
dependência com a massa
e o tempo
Dessa forma podemos escrever para um corpo em queda livre:
v(t )  2  c  t
 v(t )  g  t
Contradiz idéia de que a
velocidade é proporcional à
distância
e:
S (t )  c  t
2
1
 S (t )  g  t 2
2
Nem todas as relações são
lineares (não vale a regra de
três). Não poderia respeitar
sequência dos números naturais
(Da Vinci) apenas a sequência
dos números ímpares.
p
Experimento para Determinar a Aceleração da Gravidade
Podemos utilizar o software Tracker para medir o movimento de um corpo
em queda livre (http://www.cabrillo.edu/~dbrown/tracker/).
Usando a Calculadora para Fazer Estatística
Esse procedimento é possível com calculadoras CASIO.
CASIO
Escrevendo de Forma Genérica as Expressões do
Movimento Uniformemente Acelerado MUV
Representação da velocidade e da aceleração em termos de derivadas:
dS
v(t ) 
dt
dv
; a
dt

d 2S
d dS

a
dt
dt dt
Equação de uma reta para velocidade proporcional ao tempo:
v(t )  v0  a  t
e equação de uma parábola para o deslocamento proporcional ao quadrado
do tempo:
1
S (t )  S0  v0  t  a  t 2
2
Relação Gráfica entre Movimento Uniformemente
Variado e a Queda Livre
A queda livre é um caso particular de movimento uniformemente variado.
Variável
Dependente
Variável
Independente
Para queda livre saindo do repouso:
v(t )  a  t  v0
y( x )  m  x  n
Coeficiente
Angular
Variável
Dependente
y
Equações
de Retas
1
2
S (t )  a  t  v0  t  S0
2
y( x )  m  x 2  n  x  p
Parâmetros
m=½g
m=g
Coeficiente
Linear
Variável
Variá
el
Independente
y = m·x + n
n =0
x
Para queda livre saindo do repouso:
y
Equações de
Parábolas
y =m·x2 + n·x + p
m=½g
n = v0 = 0
p = S0 = 0
x
Exemplo de Exercício com Composição de Movimento
Exemplo no Livro de Bonjorno & Clinton (1997):
Exemplo de Exercício com Composição de Movimento
Exemplo no Livro de Bonjorno & Clinton (1997):