MODELAGEM MATEMÁTICA E A PEDAGOGIA HISTÓRICO CRÍTICA:
É POSSÍVEL APROXIMÁ-LAS?
BISCONSINI, Vilma Rinaldi
[email protected]
LAVAQUI, Vanderlei
[email protected]
TAMBARUSSI, Gracikel Deliceus
[email protected]
RESUMO: Neste trabalho, propõe-se discutir a possibilidade de aproximação teóricometodológica entre a Pedagogia Histórico-Crítica e a Modelagem Matemática. Para isso,
parte-se do pressuposto de que ambas defendem que o ensino da Matemática pode ser
realizado a partir da realidade social do estudante. Então, faz-se um percurso pela
Modelagem Matemática e, progressivamente, vai sendo apresentada a Pedagogia
Histórico-Crítica, realizando comparações e análises da proposta didático-metodológica de
cada uma. Conclui-se que há viabilidade para tal aproximação e aponta-se para a
necessidade de que haja, na continuidade da pesquisa, maior aprofundamento teórico das
duas perspectivas, buscando aprofundar as relações entre elas. Por último, relata-se e
reflete-se sobre uma experiência com Modelagem Matemática que despertou o interesse
pela pesquisa na área em questão.
Palavras-chave: Modelagem Matemática; Pedagogia Histórico-Crítica; Ensino e
Aprendizagem de Matemática.
INTRODUÇÃO
Este trabalho apresenta um estudo inicial1 sobre Modelagem Matemática e reflete
sobre uma possível aproximação desta com a Pedagogia Histórico-Crítica, como uma
alternativa de ensino da Matemática, principalmente a partir da 5ª série. Para tanto, centrase na preocupação em entender mais profundamente o ensino e a aprendizagem da
Matemática nas séries finais do Ensino Fundamental, a partir, por exemplo, da 5ª série, ao
indagar se as crianças têm,
até esta série, construídos, por exemplo, os conceitos
1
Estudo apresentado como requisito de projeto de pesquisa para a seleção de ingresso de professores
no Programa de Desenvolvimento Educacional do Paraná – PDE, turma de 2009.
374
geométricos de unidade de medida, de área, de espaço e de forma. Outras indagações
também são pertinentes: Se os conceitos não estão consolidados, o caminho do ensino na
perspectiva da tendência metodológica da Modelagem Matemática pode ampliar e
consolidar tais conhecimentos? Em que medida a Modelagem Matemática, aproximandose da Pedagogia Histórica-Crítica, poderá atender essa expectativa?
Defende-se, neste texto, que a Modelagem Matemática propõe um trabalho, em
sala de aula, a partir de situações-problema apresentadas pelos estudantes. Desse modo,
eles podem sugerir situações passíveis de se tornarem objetos de estudo em Matemática e,
ainda, que esses problemas da realidade sejam entendidos com a instrumentalização da
Matemática, de modo crítico. A partir disso, os estudantes podem construir esses
conhecimentos de modo mais significativo, diferentemente de situações em que simulações
são apenas subterfúgios para a introdução do conteúdo.
Além desses argumentos, considera-se, por exemplo, que a Geometria é um
conhecimento que está muito presente no contexto dos estudantes. Desse modo, é possível
problematizá-lo, ou seja, partir diretamente de questões propostas por eles ou instigadas
pelo professor que, neste caso, assume a postura de mediador, que compreende a realidade
como um complexo de contradições, portanto passível de ser entendida criticamente pelos
estudantes.
Assim, apresenta-se um estudo inicial de fundamentação teórica em Modelagem
Matemática como tendência metodológica, visando a diversificar o trabalho em sala de
aula com o ensino da Matemática, a partir da 5ª série.
Outra discussão busca a aproximação da fundamentação teórica da Pedagogia
Histórico-Crítica, e sua perspectiva de problematização da realidade, com a Modelagem
Matemática como metodologia de ensino. Essa aproximação ocorre na medida em que
ambas as perspectivas de ensino propõem o trabalho pedagógico considerando como ponto
de partida a realidade problematizada pelos estudantes.
MODELAGEM MATEMÁTICA: ORIENTAÇÃO TEÓRICO-METODOLÓGICA
As pesquisas em Educação Matemática têm apontado possibilidades quanto à
utilização da Modelagem Matemática no processo de ensino e de aprendizagem. Dispõese, atualmente, de fundamentação teórica e de relatos de experiências que auxiliam e, em
grande medida, dão suporte em relação à adoção dessa perspectiva em sala de aula.
375
Existem produções teóricas e ações desencadeadas por pesquisadores e programas
de pós-graduação, com uma história de aproximadamente vinte anos de pesquisas na área
de Educação Matemática, envolvendo essa tendência metodológica. Entretanto, boa parte
dos professores atuantes na Educação Básica, mais especificamente nas séries finais do
Ensino Fundamental e Ensino Médio, ainda não dispõem, suficientemente, de uma
fundamentação teórica e conhecimentos didáticos sistematizados sobre a Modelagem
Matemática para desencadeá-la em suas práticas pedagógicas.
Os resultados das pesquisas em Educação Matemática aparecem nas DCE-PR
(Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Paraná para a disciplina de Matemática),
quando estas, explicitamente, apontam tendências metodológicas da Educação Matemática
e, dentre elas, a Modelagem Matemática como uma das possibilidades para enriquecer o
trabalho do professor em sua prática pedagógica.
Os conteúdos propostos devem ser abordados por meio de tendências
metodológicas da Educação Matemática que fundamentam a prática docente, das
quais destacamos: resolução de problemas; modelagem matemática; uso de
mídias tecnológicas; etnomatemática; história da Matemática; investigações
matemáticas. (PARANÁ, 2008, p. 35, grifo nosso)
É possível perceber que as discussões teóricas avançam na reflexão sobre o ensino
da Matemática e indicam a Modelagem Matemática como possibilidade de interferir no
processo de ensino e de aprendizagem da Matemática.
A Modelagem Matemática tem como pressuposto a problematização de
situações do cotidiano. Ao mesmo tempo em que propõe a valorização do aluno
no contexto social, procura levantar problemas que sugerem questionamentos
sobre situações de vida. [...] O trabalho pedagógico com a Modelagem
Matemática possibilita a intervenção do estudante nos problemas reais do meio
social e cultural em que vive, por isso, contribui para sua formação crítica.
(PARANÁ, 2008, p. 64-65)
A Modelagem Matemática, nessa perspectiva, representa um avanço, interferindo
na formação de sujeitos, em condições de refletirem-se e instrumentalizarem-se, ao
participarem ativamente do processo de construção de conhecimentos matemáticos. As
DCE-PR, embasadas nas pesquisas em Educação Matemática, apontam a Modelagem
Matemática como um dos possíveis encaminhamentos metodológicos em sala de aula.
Nesse sentido, Bassanezi (2006, p. 7) afirma que:
[a] Modelagem Matemática utilizada como estratégia de ensino-aprendizagem é
um dos caminhos a ser seguido por tornar um curso de matemática, em qualquer
nível, mais atraente e agradável. Tal processo, que consiste na arte de
transformar problemas da realidade em problemas matemáticos, resolvê-los e,
então, interpretar suas soluções na linguagem do mundo real, é um processo
dinâmico e atraente. Um modelo eficiente permite fazer previsão, tomar
decisões, explicar e entender, enfim, participar do mundo real com capacidade
de influenciar em suas mudanças.
376
A Modelagem Matemática, como tendência metodológica para o ensino da
Matemática, é defendida como possibilidade de romper com o paradigma do ensino
tradicional, como propõe D’Ambrósio (1989, p.17):
A Modelagem Matemática tem sido utilizada como uma forma de quebrar a forte
dicotomia existente entre a matemática escolar formal e a sua utilidade na vida
real. Os modelos matemáticos são formas de estudar e formalizar os fenômenos
do dia a dia. Através da Modelagem Matemática o aluno se torna mais
consciente da utilidade da matemática para resolver e analisar problemas do dia
a dia. Esse é um momento de utilização de conceitos já aprendidos. É uma fase
de fundamental importância para que os conceitos trabalhados tenham um maior
significado para os estudantes, inclusive com o poder de torná-los mais críticos
na análise e compreensão de fenômenos diários.
A Modelagem Matemática representa uma tendência metodológica para a
condução do processo de ensino e de aprendizagem. Nesse movimento, parece ainda não
haver um consenso bem estabelecido quanto a seu entendimento, se como metodologia ou
estratégia de ensino da Matemática, como mostra Bean (2002 citado por SILVEIRA, 2005,
p. 3):
Uma questão que ainda não se tem consenso e que aparece na literatura é se a
Modelagem Matemática é uma metodologia (FIORENTINI, 1996); um método
de ensino-aprendizagem (BIEMBENGUT, 2000); um ambiente de aprendizagem
(BARBOSA, 2001) ou uma estratégia de ensino e aprendizagem (BASSANEZI,
2002). Por outro lado, existem autores que afirmam que o conceito de
Modelagem Matemática não está bem definido nos trabalhos acadêmicos no
âmbito da Educação Matemática e assinalam que essa falta de clareza reside, em
parte, na complexidade de transferir ou adaptar a atividade do modelador ao
campo de ensino de matemática onde atua o professor de matemática.
Apesar dos diferentes entendimentos acerca dessa questão, assume-se que a
Modelagem Matemática apresenta-se como uma alternativa de encaminhamento
metodológico para o processo de ensino e de aprendizagem. Para uma concepção
progressista de educação, essa forma de encaminhamento permite considerar a prática
social do estudante como um ponto de partida para o trabalho do docente. Possibilita,
ainda, que, durante o processo, o estudante participe, reflita, generalize, construa conceitos
matemáticos e perceba, com uma visão crítica, a presença da Matemática em diferentes
contextos.
PERCURSOS DA MODELAGEM MATEMÁTICA
Historicamente, a modelagem está presente no processo de construção do
conhecimento humano desde os primórdios. Os seres humanos primitivos, observando o
377
ambiente, buscavam formas de reconhecer regularidades e dar explicações a fenômenos
físicos e a problemas de ordem prática. No entanto, é na civilização grega que a
Matemática passou a ser sistematizada de forma mais racional, com a busca de modelos
que permitissem explicar os fenômenos sem recorrer tão somente à intuição e observações
empíricas, mas utilizando o pensamento dedutivo.
De acordo com as necessidades, em cada época a humanidade construiu um
ferramental matemático para resolver problemas de ordem empírica, tecnológica e
científica, com destaque, nas últimas décadas do século XX e nesse início de século, aos
subsídios
para
a
resolução
de
situações-problema
resultantes
das
atividades
socioeconômicas, nas ciências humanas e biológicas.
Pesquisadores na área de Educação Matemática têm apresentado diferentes
definições para a Modelagem Matemática. Para Bassanezi (2002, p. 16), um dos pioneiros
em estudos nesse tema no Brasil, “[...] a modelagem pode ser tomada tanto como método
científico de pesquisa quanto como uma estratégia de ensino-aprendizagem”. Por sua vez,
na busca por uma definição, o mesmo autor declara que (p. 16): “A modelagem
matemática consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas
matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real”.
Segundo Burak (1992, p. 62), “[...] a Modelagem Matemática constitui-se em um
conjunto de procedimentos cujo objetivo é construir um paralelo para tentar explicar,
matematicamente, os fenômenos presentes no cotidiano do ser humano, ajudando-o a fazer
predições e a tomar decisões”.
De acordo com Chaves (2005, p. 11), a Modelagem Matemática é:
[...] um método que transforma uma situação/questão escrita na linguagem
corrente e proposta pela realidade em linguagem simbólica da matemática,
fazendo aparecer um modelo matemático, que por ser uma representação
significativa do real, se analisado e interpretado segundo as teorias matemáticas,
devolve informações interessantes para a realidade que se está questionando.
Para Biembengut e Hein (2005, p. 12)
Modelagem Matemática é o processo que envolve a obtenção de um modelo.
Este, sob certa óptica, pode ser considerado um processo artístico, visto que,
para se elaborar um modelo, além do conhecimento de matemática, o modelador
precisa ter uma dose significativa de intuição e criatividade para interpretar o
contexto, saber discernir que conteúdo matemático melhor se adapta e também
ter senso lúdico para jogar com as variáveis envolvidas.
378
No âmbito educacional, as definições apresentadas para a modelagem implicam
em um significado diferenciado para o processo de ensino e de aprendizagem, na medida
em que deslocam o eixo de um ensino com características tradicionais para uma
abordagem em que o cotidiano, o real e a problemática social passam a oferecer elementos
para implementar novas alternativas metodológicas de ensino da Matemática.
Essa concepção apresenta ao professor a possibilidade de desenvolver de forma
significativa os conceitos/conteúdos matemáticos, partindo de situações da realidade do
estudante, passando por um processo de sistematização e generalização, permitindo a eles
vislumbrarem outras possibilidades de analisar problemas, tendo a Matemática como um
ferramental para uma interpretação dessa realidade.
Percebe-se, ainda, a Modelagem Matemática como um processo que visa traduzir
as linguagens do mundo real para a linguagem da Matemática. Isso implica admitir que a
Modelagem Matemática possibilita estabelecer um elo entre a Matemática e a realidade,
permitindo ao estudante interagir no processo de elaboração de um modelo matemático.
Entretanto, para que se possa colocar em prática o processo de obtenção de um
modelo matemático, há a necessidade de uma sequência de etapas/procedimentos que
orientem o trabalho do professor junto aos estudantes, a fim de garantir que toda a ação
seja significativa, do ponto de vista da apropriação de conhecimentos matemáticos.
Nessa direção, adotar-se-á o encaminhamento das ações elaboradas por
Biembengut (1997), que agrupa e identifica os procedimentos em três etapas: interação
com o assunto; matematização e modelo matemático. De acordo com a autora, a etapa
denominada interação com o assunto pode ser subdividida em duas sub-etapas:
reconhecimento da situação-problema e familiarização com o assunto a ser modelopesquisa.
Nessa etapa, a situação-problema a ser abordada e estudada será delineada e, para
que ela possa ser melhor compreendida pelos estudantes, podem ser encaminhadas
pesquisas bibliográficas acerca da temática, em livros e revistas especializadas. Pode-se
ainda, buscar, junto a especialistas da área, informações e dados relevantes sobre a situação
objeto de estudo.
A segunda etapa do processo é denominada matematização, que, por sua vez, é
constituída de duas sub-etapas: formulação do problema-hipótese e resolução do problema
em termos do modelo. Para Biembengut (1997), esta é a fase mais complexa e desafiadora,
pois é nela que se dará a tradução da situação-problema para a linguagem matemática.
Assim, intuição e criatividade são elementos indispensáveis aos envolvidos nesse processo.
Para formular e validar as hipóteses é necessário:
a) classificar as informações (relevantes e não relevantes) identificando fatos envolvidos;
379
b) decidir quais os fatores a serem perseguidos, levantando hipóteses;
c) identificar constantes envolvidas;
d) generalizar e selecionar variáveis relevantes;
e) selecionar símbolos apropriados para as variáveis;
f) descrever estas relações em termos matemáticos.
Ao final dessa etapa, deve-se obter um conjunto de expressões e fórmulas, ou
equações algébricas, ou gráficos, ou representações, ou programa computacional, que
levem a solução ou permitam a dedução de uma solução. Dessa forma, o problema passa a
ser resolvido com o ferramental matemático de que se dispõe. Isto, de um lado, requererá
um conhecimento razoável por parte do professor e dos estudantes, sobre as entidades
matemáticas envolvidas na formulação do modelo e, de outro, abre espaço para a pesquisa
e a reflexão.
Por fim, a terceira etapa do processo, que é chamada pela autora de modelo
matemático, corresponde à interpretação da solução e validação do modelo. Nesta etapa do
processo, torna-se necessário avaliar – antes de partir para as conclusões e utilização do
modelo matemático obtido – em que nível o modelo se aproxima da problemática abordada
inicialmente. A interpretação do modelo deve tomar como referência a situação-problema,
por meio de uma análise das implicações da solução, oriunda do modelo que está sendo
investigado; assim, ter-se-á elementos para averiguar a adequabilidade do modelo em face
à problemática.
Retornando à situação-problema investigada, pode-se avaliar o quão significativa
é a solução obtida. Por sua vez, caso o modelo não atenda às necessidades que o gerou, o
processo deve ser retomado na segunda etapa, alterando-se, por exemplo, hipóteses e
variáveis com vistas a permitir que o modelo encontrado possa representar, da melhor
forma possível, a realidade que o originou.
A incorporação da Modelagem Matemática na Educação Básica – séries finais do
Ensino Fundamental e Ensino Médio – objeto deste estudo – e suas orientações teóricometodológicas estão sujeitas a alterações, levando em consideração o grau de escolaridade
dos estudantes, o tempo disponível que terão para o trabalho em sala, o programa a ser
cumprido e a abertura, por parte da comunidade escolar, para implantar mudanças. O
professor precisa ter conhecimento sobre modelagem e, para tanto, ter oportunidade de
realizar estudos sobre essa tendência.
POSSÍVEIS APROXIMAÇÕES ENTRE A PEDAGOGIA HISTÓRICO-CRÍTICA E A
MODELAGEM MATEMÁTICA
380
Nesse estudo, parte-se do pressuposto de que é possível aproximar a tendência
metodológica da Modelagem Matemática dos fundamentos teóricos da Pedagogia
Histórico-Crítica. A coerência dessa aproximação está no que ambas propõem como ponto
de partida para o trabalho em sala de aula – a realidade do estudante.
O entendimento desse ponto de partida é que essa realidade é o princípio didáticometodológico, a partir da concepção que fundamenta a educação na perspectiva de Saviani
(2003, p. 80), quando afirma que:
A cultura popular, do ponto de vista escolar, é da maior importância enquanto
ponto de partida. Não é, porém, a cultura popular que vai definir o ponto de
chegada do trabalho pedagógico nas escolas. [...] O povo precisa da escola para
ter acesso ao saber erudito, ao saber sistematizado [...].
As questões que emergem da realidade podem ser problematizadas e transpostas
como objeto de ensino, ao mesmo tempo em que precisam ser compreendidas criticamente
por meio dos conhecimentos historicamente produzidos e sistematizados.
Na Pedagogia Histórico-Crítica, segundo os estudos de Gasparin (2002, p. 3-4) em
Uma didática para a pedagogia histórico-crítica, têm-se que:
O ponto de partida do novo método não será a escola, nem a sala de aula, mas a
realidade social mais ampla. A leitura crítica dessa realidade torna possível
apontar um novo pensar e agir pedagógicos. Deste enfoque, defende-se o
caminhar da realidade social, como um todo, para a especificidade teórica da
sala de aula e desta para a totalidade social novamente, tornando possível um
rico processo dialético de trabalho pedagógico.
Na Modelagem Matemática, o momento denominado de interação do assunto, em
que prevê o reconhecimento da situação-problema e sua familiarização por parte do
estudante, aproxima-se, na perspectiva da Pedagogia Histórico-Crítica, da proposição que
toma como ponto de partida a prática social inicial, quando propõe como
encaminhamentos o anúncio do conteúdo e a vivência cotidiana desse conteúdo.
As demais fases descritas nesse estudo de Gasparin (2002) compõem-se de:
problematização; instrumentalização; catarse e prática social final. Estas fases podem
fornecer elementos teóricos e práticos que venham subsidiar o desenvolvimento da
Modelagem Matemática, enquanto encaminhamentos metodológicos para o ensino da
Matemática. No estudo desenvolvido por Biembengut e Hein (2005, p. 13) são mostradas
as etapas da Modelagem Matemática, sendo: interação (reconhecimento da situaçãoproblema e familiarização com o assunto a ser modelado – referencial teórico);
matematização (formulação do problema – hipótese e resolução do problema em termos
do modelo); modelo matemático (interpretação da solução e validação do modelo –
avaliação), quando formula o problema e resolve-o, e o modelo matemático com a
interpretação e validação do modelo.
381
Nessa proposta de trabalho, têm-se a consciência de ser este um estudo incipiente
e, portanto, de necessário aprofundamento teórico, para não se cometer a leviandade de
tentar aproximar questões teóricas contraditórias. A hipótese é que a Modelagem
Matemática, enquanto tendência metodológica, reafirme sua contribuição para a formação
de estudantes, conforme prevê as DCE:
Pela Educação Matemática, almeja-se um ensino que possibilite aos estudantes
análises, discussões, conjecturas, apropriação de conceitos e formulação de
idéias. Aprende-se Matemática não somente por sua beleza ou pela consistência
de suas teorias, mas, para que, a partir dela, o homem amplie seu conhecimento
e, por conseguinte, contribua para o desenvolvimento da sociedade. (PARANÁ,
2008, p. 48)
Visando explicitar essa possível aproximação, apresenta-se um quadro-resumo
com algumas características importantes de ambas as propostas.
Pedagogia Histórico Crítica2
Modelagem Matemática3
Prática social inicial: é uma primeira
Escolha do tema: é o início do estudo.
leitura da realidade a partir de um tema a
Parte-se de um tema de interesse dos
ser estudado. Este momento é o ponto de
estudantes, seguido de pesquisa para
partida que considera a vivência do aluno:
interação do tema, sendo este o momento
o que os estudantes sabem e o que
de delimitação da situação-problema que
precisam saber a respeito do conteúdo a
precisa
ser estudado.
ferramental matemático a ser construído,
Problematização: questões que levam o
para responder o problema. Os passos são:
estudante a perceber a necessidade de
interação (reconhecimento da situação-
conhecer o conteúdo matemático para
problema e familiarização com o assunto
entender esse problema.
a ser modelado – referencial teórico)
Instrumentalização:
resolvida
a
partir
do
ao
Matematização: seleciona-se uma questão
momento em que o conteúdo deve ser
que constitui o problema a ser resolvido.
trabalhado
ser
Os estudantes fazem pesquisas orientadas
disponibilizado ao estudante, para que
para delimitar o conteúdo matemático.
assimile-o, recrie-o e, ao incorporá-lo,
Neste momento, trabalha-se esse conteúdo,
transforme-o em instrumento de construção
aplica-o a modelos similares e retorna-se à
pessoal e profissional.
questão
como
corresponde
ser
instrumento
a
principal.
Matematização
(formulação do problema – hipótese e
resolução do problema em termos do
2
Quadro dos passos da Pedagogia Histórico-Crítica organizados no trabalho de Gasparin (2002).
Quadro dos procedimentos para o trabalho com Modelagem Matemática organizados no Trabalho
de Biembengut e Hein (2005).
3
382
modelo)
Catarse: é o momento da verdadeira
Modelo matemático: é validado por meio
apropriação do conhecimento matemático
de sua aplicação ao problema inicial e a
por parte dos estudantes – é a síntese do
outras situações. Se o modelo não atender
conhecimento do cotidiano e do científico,
as necessidades que o geraram, este deve
do teórico e do prático.
ser retomado. Modelo matemático
Prática social final: é o momento em que
(interpretação da solução e validação do
o estudante percebe que a teoria pode ser
modelo – avaliação).
traduzida em prática, tendo maior clareza
científica dessa realidade na sua totalidade.
A discussão que se deseja encaminhar, a partir desse quadro comparativo, não
pode ser restrita, apenas, a uma análise superficial dos passos e/ou etapas empíricas de um
encaminhamento em sala de aula.
A Pedagogia Histórico-Crítica, por sua consistência teórica, fornece a
fundamentação para a formação de sujeitos críticos capazes de, a partir da aquisição do
conhecimento historicamente produzido, agir no sentido de participar das transformações
necessárias à sociedade moderna. Assim, a educação e, em especial, a Educação
Matemática, ao defender essa perspectiva para a formação escolar dos estudantes, pode
buscar na Pedagogia Histórico-Crítica os fundamentos que dão sustentação a essas ações.
Por sua vez, a Modelagem Matemática fornece um encaminhamento
metodológico em condições de articular os objetivos da Pedagogia Histórico-Crítica com a
prática do professor de Matemática em sala de aula.
Outro aspecto importante a ser considerado é que a Modelagem Matemática trata
diretamente da especificidade do ensino da Matemática, atendendo, de forma mais
específica, o trabalho com os assuntos/conteúdos dessa disciplina nas séries finais do
Ensino Fundamental e Ensino Médio. Em contraposição às sugestões didáticas do trabalho
de Gasparin (2002), em Uma didática para a pedagogia histórico-crítica aparece uma
proposta mais abrangente direcionada a todas as disciplinas/áreas do conhecimento escolar.
Adicionalmente, parece ser importante ressaltar que as pesquisas em Modelagem
Matemática possuem uma base de experiências interessantes e significativas para o ensino
da Matemática no Brasil e no mundo, pois há mais de vinte anos concentra pesquisas em
Educação Matemática.
383
A defesa desse encontro centra-se, então, na dialética teoria e prática, porque os
fundamentos teóricos da Pedagogia Histórico-Crítica são relevantes para a educação
quando embasam o fazer em sala de aula realizado na perspectiva da Modelagem
Matemática.
Nas duas perspectivas denotam-se problemas comuns, como a dificuldade de
trabalhar a partir de temas problematizados pelos estudantes, que nem sempre coincidem
com o currículo escolar instituído.
Levando-se em conta que as escolas trabalham com disciplinas definidas pelo
currículo, e que o conteúdo de cada uma dela é sempre previamente estabelecido
e aprovado pelo corpo docente e pelos órgãos competentes, antes do início das
aulas, torna-se difícil, para não dizer impraticável, estabelecer primeiramente
quais questões sociais serão estudadas e, em função delas, quais os conteúdos
mais significativos como resposta (GASPARIN, 2002, p. 37-38)
Com relação à Modelagem Matemática, Biembengut e Hein (2005, p. 18) também
apontam a dificuldade de trabalhar a partir de temas problematizados pelos estudantes,
porque:
Em cursos regulares, nos quais há um programa a ser cumprido – currículo – e
uma estrutura espacial e organizacional nos moldes ‘tradicionais’ (como é a
maioria das instituições de ensino), o processo da modelagem precisa sofrer
algumas alterações, levando em consideração principalmente o grau de
escolaridade dos estudantes, o tempo disponível que terão para o trabalho
extraclasse, o programa a ser cumprido e o estágio em que professor se encontra,
seja em relação ao conhecimento da modelagem, seja no apoio por parte da
comunidade escolar para implantar mudanças.
A esse processo de adaptação ao currículo e à organização do trabalho escolar,
esses autores (2005, p. 18) denominam de Modelação Matemática, a qual “[...] norteia-se
por desenvolver o conteúdo programático a partir de um tema ou modelo matemático”.
Essa possibilidade permite ao professor fazer ajustes didáticos de modo a realizar seu
trabalho segundo os princípios da Modelagem Matemática e, ao mesmo tempo, não se
afastar do planejamento dos conteúdos a serem trabalhados no decorrer do ano.
Entretanto, apesar da modelação ser um caminho importante no sentido de
diversificar a prática pedagógica, neste trabalho busca-se ampliar estas possibilidades,
considerando que a Modelagem Matemática prevê alguns encaminhamentos semelhantes
ao propostos pela Pedagogia Histórico-Crítica.
Esta poderá fornecer subsídios para a formação de um estudante crítico,
consciente do seu papel na sociedade, especialmente no último momento/passo/etapa, em
que, na Modelagem Matemática, objetiva-se validar o modelo matemático construído e, em
384
seu correspondente na Pedagogia Histórico-Crítica, busca-se retornar à prática social ou ao
problema, analisando a realidade social e ampliando as discussões sobre a problemática
abordada, conforme explicita Gasparin (2002, p. 8), ao defender que “o conhecimento
teórico adquirido pelo educando retorna à prática social de onde partiu, visando agir sobre
ela como entendimento mais crítico, elaborado e consistente, intervindo em sua
transformação”.
Outro aspecto que precisa ser analisado comparativamente é o modo de conceber
o que é um problema.
Para Saviani (1991, p. 21) “A essência do problema é a
necessidade”. Esse é, então, o fundamento de problema para a Pedagogia Histórico-Crítica
que é traduzido em problematização, como diz Gasparin (2002, p. 35): “[...] um desafio, ou
seja, é a criação de uma necessidade para que o educando, através de sua ação, busque o
conhecimento”. Em ambas as perspectivas, a problematização parte da realidade do
estudante, sendo necessário olhar para essa realidade de forma questionadora e crítica para
perceber as contradições existentes nela.
REFLETINDO SOBRE UMA EXPERIÊNCIA COM MODELAGEM MATEMÁTICA
Esse estudo não parte apenas de orientações teóricas para a elaboração do préprojeto de pesquisa para a participação no PDE. Vivenciou-se, antes disso, uma
experiência de prática de sala de aula, além de se ter participado ativamente das reflexões e
discussões para a elaboração das DCE de Matemática, no período 2003-2009. Desse modo,
buscou-se articular os subsídios teóricos e práticos que motivaram a continuação e
aprofundamento no assunto.
O trabalho desenvolvido em sala, com Modelagem Matemática, foi norteado pela
participação em inúmeras discussões e reflexões a respeito de estratégias metodológicas
que pudessem contribuir com a melhoria do ensino da Matemática. Essas discussões e
reflexões impuseram desafios, dentre eles o de desenvolver uma experiência com a
Modelagem Matemática em sala de aula, com duas turmas de oitava série do Ensino
Fundamental, de uma escola pública, do município de Assis Chateaubriand, Paraná.
Num determinado momento, ao entrar na sala dessas duas turmas de oitava série,
observando o comportamento dos estudantes — caracterizado pelo desânimo e por relativa
inércia, procurou-se levar esses dois grupos a perceber o porquê de estudar Matemática.
385
A primeira iniciativa foi a de buscar conhecimentos mais consistentes a respeito
da Modelagem Matemática enquanto procedimentos em sala de aula. Estes subsídios foram
encontrados, entre outros, especialmente nos trabalhos de Biembengut e Hein (2005).
Num segundo momento, propôs-se aos estudantes outra forma de trabalho. Eles
foram desafiados a pensar num problema ou situação que os incomodava e que, de certa
forma, não conseguiam resolver, os quais, provavelmente, poderiam ser resolvidos com
ferramentas matemáticas. Inicialmente, os estudantes aceitaram a proposta com um pouco
de resignação, mas, como tinham um tempo para pensar, ou seja, para trazer tal
problemática para a próxima aula, apareceram situações interessantes como:
a)
Quais os custos e a viabilidade para produção de chinelos de borracha, tipo
“havaianas” decorados com miçangas?
b)
A confecção de artesanatos “toalhas” de crochê é viável do ponto de vista
econômico? Justifica o trabalho de uma pessoa?
c)
Será que a quantidade de produto contida em uma embalagem é realmente a que
consta no rótulo? Como comprovar isso?
Feitas as discussões, com certa reserva por parte dos estudantes, decidiu-se
estudar o problema das embalagens, proposta bem aceita pela maioria deles. Essa decisão
comungou com as perspectivas iniciais dos professores, que queriam trabalhar com
embalagens. Porém, decidiu-se adotar os encaminhamentos propostos pela metodologia da
modelagem, ou seja, levantar a problemática a partir do interesse dos alunos. Há que se
ressaltar o modo interessante com que um dos alunos problematizou a situação envolvendo
embalagens, pois parece natural, em se tratando de embalagens, perguntas como: Quanto
de material vai para produzir determinada embalagem? Ou qual é o volume dessa
embalagem? Mas este aluno levantou outro questionamento: Será que a quantidade de
produto contida em uma embalagem é realmente a que consta no rótulo? Como
comprovar isso?
Nesse momento, foi providenciada uma caixa com produtos de diversas
embalagens como: caixa de leite; caixa de sabão em pó; lata de achocolatado no formato
circular; etc.
Na sequência do trabalho, solicitou-se que os estudantes trouxessem para as aulas
embalagens no formato de prisma quadrangular e cilindros, pois já se tinha como meta não
abordar todas as formas convencionais da geometria espacial, isso porque se estava
experimentando um trabalho diferenciado, o que exigia um planejamento cuidadoso. Este
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aspecto é ressaltado por Biembengut e Hein (2005, p. 28) ao assegurarem que: “[...] Há um
inconveniente de não sabermos, inicialmente, por onde o modelo passará, ou seja, nem
sempre o ferramental matemático requerido está ao alcance do educando e mesmo do
professor”.
Em sala, com os alunos, foi feita a relação entre as embalagens e os
conhecimentos sistematizados sobre sólidos geométricos, levando os estudantes a
reconhecer os diferentes formatos das embalagens, classificando-as de acordo com sua
nomenclatura e identificando alguns elementos como face, aresta e vértice. A partir desse
momento, organizou-se a sala em grupos, de modo que cada grupo ficasse com um prisma
quadrangular. Em seguida, eles foram orientados para fazer o esboço dessa embalagem,
colocando as medidas reais das três dimensões.
O segundo passo foi planificar a embalagem e calcular a quantidade de matériaprima usada para a confecção dessa embalagem, revisando as unidades de medida de área.
Por último, foi calculado o seu volume, com a revisão das unidades de volume,
estabelecendo relação com medidas de capacidade e analisando com qual das medidas se
estava trabalhando.
Esse momento foi interessante porque permitiu observar que os estudantes
conseguiram relacionar as discussões sobre embalagens e os conteúdos de geometria do
livro didático, pois quando se trabalha os conteúdos somente a partir do livro didático, a
impressão que se tem é que se está fora de situações reais, ou seja, o estudante nem sempre
consegue perceber a relação entre a teoria e o uso prático dela. Outro fato importante foi os
estudantes compreenderem que estudar os sólidos geométricos exigia recorrer a
conhecimentos adquiridos em séries anteriores.
Na sequência, realizou-se a experimentação que consistiu em medir a quantidade
de leite existente na embalagem. Para isso, os estudantes confeccionaram uma caixa no
formato de um cubo, com 10cm de aresta. Eles tinham conhecimento prévio de que
1000cm3 correspondem a 1000ml, ou seja, um litro. Foi revestido o interior da caixa com
uma embalagem tipo saco plástico, o que permitiu transferir o leite da caixa original para a
caixa cúbica que serviu para comprovar a medida contida no rótulo. Esse era o principal
questionamento que o estudante havia feito no início do trabalho. O mesmo, no momento
da atividade, reagiu de forma entusiástica ao constatar a veracidade contida no rótulo. Ele
havia construído a resposta para sua indagação. Mais do que isso, naquele momento, o
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estudante percebeu ter conquistado/se apropriado dos instrumentos matemáticos capazes
de comprovar as medidas informadas nos rótulos das embalagens.
Outro experimento realizado na mesma aula foi o de comprovar se a quantidade
de sabão em pó constante no rótulo era realmente a de um quilograma. Com o auxílio de
uma balança doméstica, pesaram esse produto e constataram a veracidade do rótulo.
Nesses momentos, estampava-se na expressão dos estudantes a alegria dessa comprovação
por meio de instrumentos matemáticos.
No decorrer do trabalho, realizou-se a modelação da embalagem do achocolatado,
no formato cilíndrico, a partir do seguinte encaminhamento: esboço da embalagem e
registro das medidas reais da altura e do diâmetro. Em seguida, os alunos desenharam
também sua planificação para calcular a quantidade de metal necessário para confecção
dessa embalagem. Após, foi calculado o volume contido nela. É necessário novamente
ressaltar que os estudantes já tinham conhecimento sobre cálculos de circunferência e
círculo.
O interessante foi observar que os estudantes perceberam que para calcular o
volume de um prisma e de um cilindro, a fórmula construída é a mesma, ou seja, o volume
é igual a área da base, multiplicado pela medida da altura. No entanto, o problema que os
estudantes encontraram foi no momento de calcular a área da base. Neste ponto, eles
precisaram recorrer ao estudo das áreas de figuras geométricas planas.
Um outro aspecto a ser destacado é o fato de, após ter concluído os experimentos,
de ter formalizado e validado os conceitos e fórmulas; de terem sido trabalhadas diversas
situações-problema constantes no livro didático envolvendo o mesmo conteúdo; constatouse que os estudantes mostraram ter mais segurança e compreensão das situações
envolvendo os conhecimentos de geometria espacial e plana.
O desafio para o desenvolvimento desse trabalho residiu na preocupação inicial de
planejar as aulas de modo que não se perdesse a perspectiva da problematização inicial e,
na sequência, o desenvolvimento dos conteúdos. Assim, esse planejamento foi cuidadoso,
precaução esta que é ressaltada por Biembengut e Hein (2005, p. 20, grifo do autor) ao
dizer que “a escolha pelos alunos tem vantagens e desvantagens. Uma vantagem é que se
sentem participantes no processo. Em contrapartida, as desvantagens podem surgir se o
tema não for adequado para desenvolver o programa [...]”. Na perspectiva da Pedagogia
Histórico-Crítica, quando esta se refere à instrumentalização, momento em que o professor
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trabalhará os conteúdos matemáticos previstos e necessários para a resolução do problema
inicial, Gasparin (2002, p. 37-38) destaca que:
Levando-se em conta que as escolas trabalham com disciplinas definidas pelo
currículo, e que o conteúdo de cada uma delas é sempre previamente
estabelecido e aprovado pelo corpo docente e pelos órgãos competentes, antes do
início das aulas, torna-se difícil, para não dizer impraticável, estabelecer
primeiramente quais questões sociais serão estudadas e, em função delas, quais
os conteúdos mais significativos que serão tratados como resposta.
Nesse momento de trabalho com os conteúdos, destaca-se a importância da
aquisição dos conhecimentos científicos pelos estudantes. Percebe-se que tanto a tendência
metodológica da Modelagem Matemática quanto a Pedagogia Histórico-Crítica orientam,
para essa perspectiva de formação de sujeitos, que, ao terem acesso ao conhecimento
matemático, sejam capazes de estabelecer relações com a prática social, ou seja, que o
conhecimento escolar torne-se um instrumento de entendimento crítico da realidade.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este trabalho apresentou, inicialmente, alguns aspectos da Modelagem
Matemática no âmbito da Educação Matemática e sua presença em documentos oficiais
que orientam o ensino de matemática na Educação Básica, indicando as Diretrizes
Curriculares Estaduais do Paraná como exemplificação.
Discutiu-se a utilização da Modelagem Matemática como uma possível
estratégia/metodologia de ensino, destacando algumas características desse processo e
avaliando que esta, embora esteja fortemente presente como uma tendência, tem sua
efetiva presença em sala de aula, no trabalho do professor junto aos estudantes, ainda
tímida. Ressaltou-se que as etapas apresentadas são uma referência para a realização de
uma ação pedagógica, porém não representam um caminho único ou fechado a ser seguido,
mas permitem indicar caminhos para o trabalho dos estudantes e dos docentes.
Foram apresentados os fundamentos teóricos da Pedagogia Histórico-Crítica e
realizou-se uma análise comparativa em relação à Modelagem Matemática, identificando
que ela fornece um encaminhamento metodológico em condições de articular os objetivos
da Pedagogia Histórica-Crítica com a prática do professor de Matemática em sala de aula.
Descreveu-se uma experiência realizada junto a estudantes da oitava série de uma
escola pública, de ensino regular, tomando como elemento norteador do trabalho as etapas
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descritas na fundamentação teórica da Modelagem Matemática, que levou a uma reflexão
em relação a uma aproximação com a Pedagogia Histórico-Crítica.
Destacou-se, ainda, que o importante desse processo foi observar que os
estudantes participaram dos trabalhos espontaneamente, bem como mostraram ter maior
responsabilidade e envolvimentos com as atividades. Isso revelou que o fato de
participarem da sugestão do trabalho propiciou, por parte dos estudantes, maior
comprometimento e, consequentemente, melhor compreensão e aprendizagem do
conteúdo.
Finalmente, o experimento com Modelagem Matemática como uma possível
forma de ensino se mostrou viável, o que dá maior segurança em aplicá-la na abordagem
de outras problemáticas, seguindo suas orientações, especialmente de partir da
problematização proposta pelos estudantes.
REFERÊNCIAS
BASSANEZI, Rodney C. Modelagem Matemática: uma disciplina emergente nos
programas de formação de professores. UNICAMP – IMECC, Depto de Matemática.
Pesquisado em: <http://www.ime.unicamp.br/~biomat/bio9art_1.pdf>. Acesso em: 15 jun. 2009.
_____. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. 3. ed.
São Paulo: Contexto, 2009.
BIEMBENGUT, M. S. Qualidade no ensino de Matemática na engenharia: uma
proposta metodológica e curricular. 1997. 305 f. Tese (Doutorado) – Curso de Engenharia
de Produção e Sistemas, Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 1997.
BIEMBENGUT. Maria Salett; HEIN, Nelson. Modelagem matemática no ensino. 4. ed.
São Paulo: Contexto, 2005.
BURAK, Dionísio. Modelagem matemática: ações e interações no processo de ensino
aprendizagem. 1992. 459 p. Tese (Doutorado em Educação) – Faculdade de Educação,
Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 1992.
D’AMBRÓSIO, Beatriz. Como ensinar matemática hoje? Temas e Debates. Sociedade
Brasileira de Educação Matemática. Ano II, n. 2, p. 15-19, 1989.
CHAVES, Maria Isaura de Albuquerque. Modelando matematicamente questões
ambientais relacionadas com a água a propósito do ensino-aprendizagem de funções
na 1ª série do ensino médio. 2005, 142f. Dissertação (Mestrado) - Programa de PósGraduação em Educação em Ciências e Matemáticas, Núcleo Pedagógico de Apoio ao
Desenvolvimento Científico, Universidade Federal do Pará, 2005.
390
GASPARIN, João Luiz. Uma didática para a pedagogia histórico-crítica. Campinas,
SP: Autores Associados, 2002.
LEAL, Simone. Modelação matemática uma proposta metodológica para o curso de
economia. Dissertação (Mestrado em engenharia) - Programa de Pós-Graduação em
Engenharia de Produção da Universidade Federal de Santa Catarina, 1999. Disponível
em:<http://www.eps.ufsc.br/disserta99/leal/index.html>. Acesso em: 15 jun. 2006.
PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes curriculares da educação
básica:
matemática.
2008,
p.
37-81.
Pesquisado
em:
<http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/diretrizes_2009/mate
matica.pdf >. Acesso em: 07 jun. 2009.
SAVIANI, Demerval. Educação: do senso comum à consciência filosófica. 10. ed. São
Paulo: Autores Associados, 1991.
_____. Pedagogia histórico-crítica. 8. ed. Campinas, SP: Autores Associados, 2003.
SILVEIRA, Everaldo. Modelagem Matemática em educação no Brasil: o que dizem as
dissertações e teses?. In: IX EBRAPEM – Encontro Brasileiro de Pós-Graduação em
Educação Matemática. Pesquisado em:
<http://paje.fe.usp.br/estrutura/eventos/ebrapem/completos/85.doc>. Acesso em: 14 jun. 2006.
391