10-10-2010
Movimento unidimensional com
aceleração constante
Movimento Uniformemente Variado
Prof. Luís C. Perna
MOVIMENTO VARIADO

Os movimentos que conhecemos
da vida diária não são uniformes.
As velocidades dos móveis
variam com o tempo, não só em
direcção e sentido, mas também
em módulo. Estes movimentos
chamam-se variados.

Num movimento variado os
corpos movem-se com
aceleração.
Jogador de golfe durante a execução de uma tacada,
fotografia estroboscópica
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MOVIMENTOS ACELERADOS E MOVIMENTOS RETARDADOS

Num movimento variado há intervalos de tempo durante os quais
o módulo da velocidade ou aumenta ou diminui.
Quando num intervalo de tempo:

r
o módulo da velocidade, |v | aumenta, diz-se que o movimento
é acelerado;

r
o módulo da velocidade, |v | diminui, diz-se que o movimento
é retardado.
MOVIMENTOS ACELERADOS E MOVIMENTOS RETARDADOS

No caso do movimento ser rectilíneo, o carácter de «acelerado» ou
«retardado» entre duas posições está relacionado com o sentido da
r
variação da velocidade, v do móvel entre essas posições.

r
Se v tem o sentido do movimento, diz-se que o movimento é
acelerado;
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MOVIMENTOS ACELERADOS E MOVIMENTOS RETARDADOS

r
Se v tem sentido contrário ao do movimento, diz-se que o
movimento é retardado;
Nota: nos intervalos de tempo em que o movimento é acelerado ou
retardado, o sentido do movimento é sempre o mesmo.
ACELERAÇÃO MÉDIA

Como vimos num movimento variado ocorre uma variação de
velocidade num dado intervalo de tempo, interessa saber com que
rapidez ela ocorre na unidade de tempo.

À variação da velocidade de um corpo, num dado intervalo de
tempo, chamamos aceleração média.
r
v
r
am 
t
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ACELERAÇÃO MÉDIA NUM MOVIMENTO RECTILÍNEO

r
r
v
am 
t
De acordo com a equação de definição, esta
grandeza é vectorial e, no intervalo de tempo
considerado, mede (em média) a rapidez da
variação da velocidade e tem as seguintes
características:



Direcção e sentido – os de
Intensidade –
r
v
r
v
r
am 
t
ou
am 
v
t
A unidade SI da aceleração é o metro por segundo
quadrado, m s-2 ou m/s2.
ACELERAÇÃO

A aceleração instantânea, ou simplesmente aceleração, tem um
significado idêntico ao de aceleração média, apenas é calculada
num intervalo de tempo muito pequeno. A grandeza assim obtida
é a aceleração,
r
a.
r
v
r
r
a  lim am  lim
t 0
t 0 t
Num movimento rectilíneo, se a aceleração for constante, o módulo
da aceleração é dado por:
r
r v
a 
t
ou
a
v
t
ou
a
v2  v1
t 2  t1
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MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

No movimento uniformemente variado (MUV)
a componente da aceleração é constante.
ak
K - constante
(Lei das acelerações do movimento uniformemente variado)
MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

Seja v0 o valor da velocidade inicial, no instante inicial, t0 e v o
valor da velocidade no instante t.
Na expressão
v
a
t
substituindo
v  v0  at

v  v  v0
e
t  t  t0
(Lei das velocidades do
movimento uniformemente variado)
Esta equação é da forma y = mx + b (equação duma recta), em que t
corresponde à variável independente, x, a velocidade, v, à variável
dependente, y, a velocidade inicial, v0, corresponde à ordenada na origem,
b, e a aceleração, a, corresponde ao declive, m, da recta.
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REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA LEI DAS VELOCIDADES
(MRUV)

A representação gráfica da lei das velocidades v = v0 + at será uma linha
recta que, pode passar ou não pela origem dos eixos e ter diferentes
inclinações em relação ao eixo das abcissas. Vejamos alguns casos.
O móvel parte do repouso.
O móvel possui velocidade
inicial e o movimento é
acelerado.
O movimento do móvel
é primeiro retardado e
depois acelerado.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA LEI DAS ACELERAÇÕES
(MRUV)

Como já sabemos, este tipo de movimento possui um valor de aceleração
constante. Será de esperar, portanto, que o gráfico da variação do valor
da aceleração em função do tempo a = f(t) seja uma recta paralela ao
eixo dos tempos.
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ÁREA NO GRÁFICO a = f(t)

O gráfico seguinte apresenta uma zona a tracejado que é limitada pela
linha do gráfico e pelo intervalo de tempo (t2 – t1).

Se calcularmos a área dessa zona a tracejado, obtemos:
área = a x t ou seja, área = v
O valor numérico de uma área num gráfico a = f(t) é igual ao valor da
variação da velocidade ocorrida durante o correspondente intervalo de
tempo.
ÁREA NO GRÁFICO v = f(t)

Num gráfico v = f(t) o cálculo de uma área limitada pela linha do gráfico e
pelo intervalo de tempo (t) permite-nos determinar o valor da variação
de posição (x) efectuada no referido intervalo de tempo.

Se calcularmos a área dessa zona a tracejado, obtemos:
área = x
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RELAÇÃO ENTRE GRÁFICOS DE VELOCIDADE E GRÁFICOS DE
ACELERAÇÃO PARA MOVIMENTOS RECTILÍNEOS
RELAÇÃO ENTRE GRÁFICOS DE VELOCIDADE E GRÁFICOS DE
ACELERAÇÃO PARA MOVIMENTOS RECTILÍNEOS
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EXPRESSÃO ANALÍTICA DA LEI DO MUV

Recorrendo ao gráfico da velocidade e
atendendo ao significado da área vem:
áreatrapézio 
x 
base maior  base menor
 altura
2
1
v  v0
v  at  v0
 t  x  0
 t  x  v0t  at 2
2
2
2
x  x  x0
1
x  x0  v0t  at 2
2
Lei do movimento
(MRUV)
GRÁFICO CORRESPONDENTE À EQUAÇÃO DA LEI

DO
MRUV
A expressão analítica da lei do MRUV (x = x0 + v0 t + ½ at 2) traduz
graficamente uma parábola em que o sinal de a (coeficiente de t 2) indica
se a concavidade está voltada para baixo (a < 0) ou para cima (a > 0).
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GRÁFICO CORRESPONDENTE À EQUAÇÃO DA LEI DO MUV

A análise do gráfico I permite-nos
inferir que:

durante o intervalo de tempo (0;t )
o corpo movimentou-se no sentido
positivo da trajectória (o valor de x
aumentou  v > 0) até à posição x
e, como:
v  0

e 
a  0
O movimento do corpo foi
uniformemente retardado
GRÁFICO CORRESPONDENTE À EQUAÇÃO DA LEI

DO
MRUV
Continuando a análise do gráfico I:

No instante t, o corpo mudou de
sentido (v = 0).

A partir do instante t, o corpo
movimentou-se no sentido negativo
da trajectória (o valor de x diminuiu
 v < 0) e, como:
v  0

e 
a  0
O movimento do corpo foi
uniformemente acelerado
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GRÁFICO CORRESPONDENTE À EQUAÇÃO DA LEI DO MUV

Sugestão:
Faça a análise do gráfico II.
Simulação
ANÁLISE DO MOVIMENTO E DA ACELERAÇÃO
EM MOVIMENTOS
RECTILÍNEOS
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