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Aula 9.1
REVISÃO E AVALIAÇÃO DA UNIDADE II
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 Movimento uniformemente variado (MUV).
• Movimento com velocidade variável;
• Movimento que possui aceleração constante e
diferente de zero, logo:
aceleração media = aceleração instantânea.
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 A função horária da velocidade no MUV:
É uma expressão que relaciona o valor da
velocidade do móvel com o tempo de movimento.
V0 = velocidade inicial
a
aceleração
V = V0 + a.t , onde
t tempo
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 Exemplo resolvido 1:
Um automóvel está com velocidade de 10 m/s
quando um cronômetro é acionado. A partir daí o
automóvel é acelerado com uma aceleração
2
constante de 5 m/s . Calcule a velocidade do
automóvel no instante em que o cronômetro marca
5 s e classifique o movimento.
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 Solução:
V = V0 + a.t ∴ V = 10 + 5∙5 ∴ V = 10 + 25
V = 35 m/s
O movimento é acelerado, pois a variação da
velocidade é positiva.
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 Exemplo resolvido 2:
Um móvel está com velocidade de 20 m/s quando,
ao ver um obstáculo na estrada, o motorista aciona
os freios do veículo e para após decorridos 10 s.
Calcule o valor da aceleração do móvel e classifique
o movimento.
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 Solução:
V = V0 + a.t ∴ 0 = 20 + a∙10 ∴ 10∙a = −20
−20
a=
∴ a = −2,0 m/s2
10
O movimento é retardado pois a variação da
velocidade é negativa.
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O lançamento horizontal é um movimento composto
por um movimento horizontal e um movimento
vertical.
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• Segundo Galileu, se um móvel apresenta um
movimento composto, cada um dos movimentos
componentes se realiza como se os demais não
existissem e no mesmo intervalo de tempo. Esse é
o princípio da simultaneidade.
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• Quando um corpo é lançado horizontalmente, ele
descreve um movimento parabólico em relação à
Terra. De acordo com o princípio da
simultaneidade, o lançamento horizontal é o
resultado da composição de dois movimentos
simultâneos e independentes: queda livre e
movimento horizontal.
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Animação- vídeo 02
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0
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Vo
g
H
arco de
parábola
solo
y
V
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• Relações matemáticas:
Para o movimento de queda livre:
𝐲=
𝐠. 𝐭 𝟐
−
𝟐
(posição vertical)
𝐯𝐲 = −𝐠. 𝐭 (velocidade vertical)
𝐯
𝟐
𝐲
= −𝟐 . 𝐠. ∆𝐲 (Torricelli)
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• Para o movimento horizontal:
𝐱 = 𝐱 𝟎 + 𝐯𝐱 . 𝐭 (posição horizontal)
𝐯𝐱 =
∆𝐱
∆𝐭
(velocidade constante)
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 Exemplo resolvido 1:
Uma bola é lançada horizontalmente de cima de um
prédio com velocidade constante de 5 m/s.
Sabendo-se que a altura do prédio é de 20 m,
2
determine: (use g = 10 m/s ).
a) Em quanto tempo a bola atinge o solo?
b) A que distância, medida no eixo horizontal, a bola
estará do prédio quando atingir o solo.
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 Solução:
a) 𝐲 =
𝐠 .𝐭 𝟐
−
𝟐
∴ −𝟐𝟎 =
𝟏𝟎 .𝐭 𝟐
−
𝟐
𝟐
∴ −𝟏𝟎 . 𝐭 = −𝟒𝟎
𝟒𝟎
𝟐
𝐭 =
∴𝐭= 𝟒∴𝐭=𝟐𝐬
𝟏𝟎
b) 𝐱 = 𝐱 𝟎 + 𝐯𝐱 . 𝐭 ∴ 𝐱 = 𝟎 + 𝟓 . 𝟐 ∴ 𝐱 = 𝟏𝟎 𝐦.
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Quando um corpo se movimenta sob uma
trajetória circular com velocidade constante
dizemos que ele realiza um movimento circular
uniforme (MCU).
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A velocidade com que o ângulo θ varia é chamada
de velocidade angular (ω) que, analogamente à
velocidade média, vale:
𝛚=
∆𝛉
,
∆𝐭
onde ∆𝐭 é o tempo.
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A unidade de medida da
velocidade angular é o
radiano / segundo:
rad/s.
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Animação- vídeo 03
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Considerando o deslocamento angular de uma
volta completa (∆θ = 2π rad), temos que:
∆𝛉
𝟐 .𝝅
𝛚=
∴𝝎=
∆𝐭
∆𝒕
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Chamamos o intervalo de tempo Δt de uma volta
completa de período do movimento (T), portanto:
𝟐 .𝛑
𝛚=
𝐓
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 Exemplo resolvido 1:
Um ciclista se movimenta numa pista circular de raio
R = 100 m com velocidade constante de 15 m/s e
realiza uma volta completa em aproximadamente 40
s. Considere o valor de π = 3 e calcule sua velocidade
angular.
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 Solução:
𝟐 .𝛑
𝟐. 𝟑
𝛚=
→𝛚=
→ 𝛚 = 𝟎, 𝟏𝟓 𝐫𝐚𝐝/𝐬
𝐓
𝟒𝟎
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A frequência do movimento circular é o número de
voltas que o móvel realiza na unidade de tempo
(1s). Sua relação com o período é:
𝟏
𝐟=
𝐓
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A unidade da frequência no SI é o Hertz (Hz).
Sendo assim podemos escrever para a velocidade
angular:
𝛚 = 𝟐 .𝛑 .𝐟
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 Exemplo resolvido 2:
Uma roda gigante, em um parque de diversões, gira
realizando 10 voltas em um minuto. Sendo assim
calcule a velocidade angular da roda gigante.
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 Solução:
𝐧ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐝𝐞 𝐯𝐨𝐥𝐭𝐚𝐬
𝟏𝟎
𝐟=
→𝐟=
→
𝐭𝐞𝐦𝐩𝐨
𝟔𝟎
𝟏
𝐟 = 𝐇𝐳
𝟔
𝟏
𝛚 = 𝟐 . 𝛑. 𝐟 → 𝛚 = 𝟐 . 𝟑 . → 𝛚 = 𝟏 𝐫𝐚𝐝/𝐬
𝟔
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 Gráficos: MUV Lançamento Vertical e Oblíquo
 MCU
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 Gráficos: MUV Lançamento
Vertical e Oblíquo
 MCU
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Tirinha
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 Gráficos Movimento Uniformemente Variado (MUV)
a) Características:
O movimento uniformemente variado possui
velocidade escalar média variável, e aceleração
constante (a = cte) e diferente de zero (a ≠ 0)
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 Gráficos Movimento Uniformemente Variado (MUV)
b) Gráfico da aceleração em função do tempo:
Em todo MUV a aceleração é constante e seu gráfico
é uma reta paralela ao eixo t.
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 Gráficos Movimento Uniformemente Variado (MUV)
c) Posição em Função do tempo s = f(t) - Função do
2º grau
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 Gráficos Movimento Uniformemente Variado (MUV)
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 Gráficos Movimento Uniformemente Variado (MUV)
d) Velocidade em função do tempo v = f(t).
Para a > 0, temos a função da velocidade V= Vo + a.t
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 Gráficos Movimento Uniformemente Variado (MUV)
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 Exemplos sobre Gráficos:
Uma canoa é levada pela correnteza de um rio, de
tal forma que sua velocidade aumenta com o tempo
uniformemente, descrevendo assim um MUV, sua
velocidade é representada pelo gráfico a abaixo.
Pede-se:
Determine o valor da aceleração escalar do
movimento e o deslocamento escalar nos 5,0s
desse barco.
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 Resolução:
Com os dados do gráfico, obtemos a aceleração
escalar:
∆𝐬 𝟑𝟓 − 𝟏𝟓
𝟐
𝐚=
=
= 𝟒 𝐦/𝐬
∆𝐭
𝟓−𝟎
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 Resolução:
E o deslocamento escalar pela área do trapézio é:
𝐁 + 𝐛 .𝐡
𝟑𝟓 + 𝟏𝟓 . 𝟓
∆𝐬 =
=
= 𝟏𝟐𝟓 𝐦
𝟐
𝟐
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 Lançamento Vertical.
Aristóteles (385 – 322 a.C.)
Galileu (1564 – 1642)
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Lançamento Vertical.
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 Tipos de Lançamento:
a) Para cima (MUV retardado), a= -g
𝐠 𝟐
𝐬 = 𝐬𝟎 + 𝐯𝟎 𝐭 − 𝐭 ;
𝟐
𝐯 = 𝐯𝟎 − 𝐠𝐭
a=g
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 Tipos de Lançamento:
b) Para baixo a = + g.
𝐠 𝟐
𝐬 = 𝐬𝟎 + 𝐯𝟎 𝐭 + 𝐭 ;
𝟐
𝐯 = 𝐯𝟎 + 𝐠𝐭
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 A altura máxima h
𝟐
𝟐
Da equação de Torricelli, temos: 𝐯 = 𝐯𝟎 + 𝟐 . 𝐠∆𝐬
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 A altura máxima
𝐯𝟎 𝟐
𝐡=
𝟐 .𝐠
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 Tempo de subida ts:
Da expressão: 𝐯 = 𝐯𝟎 + 𝐠𝐭 obtemos ts e fazendo
v = 0:
𝒗𝟎
𝒕𝒔 =
𝒈
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 Exemplo de Lançamento Vertical:
Um gato consegue sair ileso de muitas quedas.
Suponha que a maior velocidade com a qual ele
possa atingir o solo sem se machucar, seja de 8 m/s.
Então, desprezando a resistência do ar, a altura
máxima de queda, para que o gato nada sofra, deve
ser:
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 Solução:
𝐠. 𝐭
𝐒 = 𝐒𝐨 + 𝐕𝐨 . 𝐭 +
𝟐
𝐕 = 𝐕𝐨 + 𝐠. 𝐭
𝟖 = 𝟎 + 𝟏𝟎. 𝐭
𝐭 = 𝟎, 𝟖s
𝟐
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 Solução:
Substituindo t na equação I temos:
𝟐
𝐒 = 𝟓. (𝟎, 𝟖)
𝐒 = 𝟓 . 𝟎, 𝟔𝟒
𝐒 = 𝟑, 𝟐 𝐦
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 Lançamento Oblíquo – Alcance
Qualquer corpo lançado obliquamente (formando
certo ângulo com a horizontal), fica sujeito à uma
única aceleração que é a aceleração da gravidade (g).
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No lançamento oblíquo o maior alcance do projétil
acontece quando o ângulo de lançamento é 45°.
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 Exemplo 1:
Um móvel se desloca em movimento retilíneo e
uniformemente variado obedecendo a função
V = 10 + 3 .t (SI). Determine:
a) A velocidade do móvel após 5 s de movimento;
b) Classifique o movimento;
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 Solução
a)
𝐕 = 𝟏𝟎 + 𝟑 . 𝟓 → 𝐯 = 𝟏𝟎 + 𝟏𝟓 → 𝐯 = 𝟐𝟓 𝐦/𝐬
b)
O movimento é acelerado, pois a variação da
velocidade é positiva.
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 Exemplo 2:
Uma bola é lançada horizontalmente do alto de um
prédio e demora 3 s para atingir o solo. Determine:
2
(considere g = 10 m/s ).
a) A altura do prédio;
b) O número de andares do prédio, sabendo que
cada andar mede 3m.
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 Solução
a)
𝟐
b)
𝟐
𝒈 .𝒕
𝟏𝟎 . 𝟑
𝒉=
→𝒉=
→ 𝒉 = 𝟒𝟓 𝒎
𝟐
𝟐
𝟒𝟓
𝒏=
→ 𝒏 = 𝟏𝟓 𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓𝒆𝒔
𝟑
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 Exemplo 3:
Um corpo é abandonado de certa altura e atinge o
solo com velocidade de 80m/s. Determine
a) o tempo de subida; e a altura máxima atingida
pelo corpo. Sendo a resistência do ar e g =
10m/s².
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 Solução:
𝟐
𝐠. 𝐭
𝐒 = 𝐒𝐎 + 𝐕𝐨 𝐭 +
𝟐
𝟐
𝐒 = 𝟓 . 𝐭 𝐞𝐪𝐮𝐚çã𝐨 𝐈
𝐕 = 𝐕𝐨 + 𝐠. 𝐭
𝟖𝟎 = 𝟎 + 𝟏𝟎. 𝐭
𝐭 = 𝟖𝐬
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 Solução:
Substituindo t na equação I temos:
𝟐
𝐒 = 𝟓. 𝟖 = 𝟓.64 = 320m.