Vetores no R2:
O conjunto R2 = R x R = {(x, y) / x, y
Є
R} é interpretado
geometricamente como sendo o plano cartesiano xOy. Qualquer vetor
AB considerado neste plano tem sempre um representante OP
(segmento orientado) cuja origem é a origem do sistema.
→
→
Em nosso estudo consideraremos geralmente vetores representados
por segmentos orientados com origem na origem do sistema. Nessas
condições, cada vetor do plano é determinado pelo ponto extremo do
segmento. Assim, o ponto P(x, y) individualiza o vetor v = OP e
→
→
→
escreve-se: v = (x, y), identificando-se as coordenadas de P com as
→
componentes de v .
A origem do sistema O(0, 0) representa o vetor nulo.
→
→
O vetor oposto de v = (x, y) é o vetor – v = (–x, –y).
Igualdade e Operações:
Igualdade:
→
→
Dois vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2) são iguais se, e somente se,
x1 = x2 e y1 = y2.
Exemplos:
→
→
1) Os vetores u = (3, 5) e v = (3, 5) são iguais.
→
→
2) Se o vetor u = (x + 1, 4) é igual ao vetor v = (5, 2y – 6), de acordo
com a definição de igualdade de vetores, x + 1 = 5 e 2y – 6 = 4 ou
→
→
x = 4 e y = 5. Assim se u = v ,então x = 4 e y = 5.
Operações:
→
→
Sejam os vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2) e a Є R. Defini-se:
→
→
a) u + v = (x1 + x2, y1 + y2)
→
b) a u = (ax1, ay1)
Portanto, para somar dois vetores, somam-se suas componentes
correspondentes e, para multiplicar um vetor por um número, multiplicase cada componente do vetor por este número.
→
→
Por exemplo, se u = (4, 1) e v = (2, 6), a figura abaixo mostra que:
→
→
a) u + v = (4, 1) + (2, 6) = (4 + 2, 1 + 6) = (6, 7)
→
b) 2 u = 2(4, 1) = (2.4, 2.1) = (8, 2)
Vetor definido por dois pontos:
Ocorre, às vezes, o caso de um vetor ser representado por um
segmento orientado que não parte da origem do sistema. Consideremos
o vetor AB de origem no ponto A(x1, y1) e extremidade em B(x2, y2).
→
De acordo com o que vimos nas propriedades da adição de dois vetores
(observação 2), o vetor AB é a diferença entre os vetores OB e OA :
→
→
AB = OB – OA
→
→
→
e, portanto:
AB = (x2, y2) – (x1, y1)
→
→
ou:
AB = (x2 – x1, y2 – y1)
→
Isto é, as componentes do vetor AB são obtidas pela diferença entre as
coordenadas da extremidade B e as da origem A.
→
Por exemplo, se A(–1, 3) e B(2, –2), o vetor AB será:
→
AB = B – A = (2, –2) – (–1, 3) = (3, –5)
→
É importante lembrar que um vetor tem
infinitos representantes que são os
segmentos orientados de mesmo
comprimento, mesma direção e
mesmo sentido. E, dentre os infinitos
representantes do vetor AB , o que
“melhor o caracteriza” é aquele que
tem origem em O(0, 0) e extremidade
P(x2 – x1, y2 – y1), veja a figura ao lado.
→
em
O
vetor v = OP é também chamado vetor posição ou representante natural
→
→
de AB .
→
Na figura ao lado, os segmentos orientados OP, AB e CD representam
→
o mesmo vetor v = P – O = B – A = D – C = (3, 1).
Esta figura deixa claro que o fato de
os segmentos orientados ocuparem
posições diferentes, é irrelevante. O
que importa, é que eles tenham o
mesmo comprimento, a mesma
direção e o mesmo sentido para
representarem o mesmo vetor.
Ponto Médio:
Seja o segmento de extremos A(x1, y1) e B(x2, y2) da figura abaixo.
Sendo M(x, y) o ponto médio de AB, podemos expressar de forma
vetorial como
AM = MB
→
→
e daí
ou
(x – x1, y – y1) = (x2 – x, y2 – y)
x – x1 = x2 – x
e
y – y1 = y2 – y
Resolvendo em relação a x e y, temos
2x = x1 + x2
e
2y = y1 + y2
ou
x=
x1 + x 2
2
e
y=
y1 + y 2
2
Portanto,
x 1 + x 2 y1 + y 2 
,
2 
 2
M 
Exemplo:
O ponto médio do segmento de extremos A(–2, 3) e B(6, 2) é
5
 −2 +6 3 + 2 

,
ou M  2, 

2 
2

 2
M
Paralelismo de dois Vetores:
→
→
Vimos que, se dois vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2) são paralelos,
→
→
existe um número real α tal que u = α v , ou seja,
(x1, y1) = α(x2, y2) ou (x1, y1) = (αx2, αy2)
que pela condição de igualdade resulta em
x1 = αx2
e
y1 = αy2
∴
x1
x2
=
y1
y2
(= α)
Esta é a condição de paralelismo de dois vetores, isto é, dois vetores
são paralelos quando suas componentes forem proporcionais.
Exemplo:
→
→
Os vetores u = (–2, 3) e v = (–4, 6) são paralelos pois:
−2 3
=
−4 6
Observações:
Considera-se o vetor 0 = (0, 0) paralelo a qualquer vetor
→
Se uma das componentes de um vetor for nula, a correspondente
de um vetor paralelo também é nula.
Módulo de um vetor:
→
Seja o vetor v = (x, y) da figura abaixo. Pelo teorema de Pitágoras, vem
| v |=
→
x2 + y2
O módulo do vetor AB da figura abaixo, é a distância entre os pontos A
e B e é dado por:
→
| AB |= d ( A,B) = ( x
→
− x1 ) + ( y 2 − y 1 )
2
2
2
Ângulo de Dois Vetores:
→
→
O ângulo entre dois vetores não-nulos u e v é o ângulo θ formado por
→
duas semi-retas AO e OB de mesma origem O (figura abaixo), onde u =
OA , v = OB e 0 ≤ θ ≤ π (θ em radianos) ou 0 ≤ θ ≤ 180º.
→
→
→
→
→
→
→
Se u // v e u e v têm o mesmo sentido, então θ = 0. É o que ocorre,
→
→
→
por exemplo, com os vetores u e 2 u que têm o mesmo sentido. Se u //
→
→
→
v e u e v têm o sentidos contrários, então θ =
→
3 u (figura abaixo).
π. É o caso de
→
u e–
Exercícios Propostos:
→
→
→
→
→
1) Dados os vetores u = (2, –3) e v = (–1, 4), determinar 3 u + 2 v e 3 u
→
– 2v .
2) Determinar o vetor x na igualdade 3 x + 2u =
→
→
→
1→ →
v + x , sendo
2
→
u =
→
(3, –1) e v = (–2, 4).
3) Dados os vetores u = (2, –3); v = (1, –1) e w = ( –2, 1), determinar:
→
→
→
→
→
a) 2 u – v
b) v – u + 2 w
→
→
→
c) 0,5 u – 2 v – w
→
→
→
d) 3 u – 0,5 v –0,5 w
→
→
→
→
→
→
4) Dados os vetores u = (3, –1) e v = (–1,2), determinar o vetor x tal
que:
→
→
x
a) 4 ( u – v ) +
= 2u – x
3
→
→
→
→
→
→
→
→
b) 3 x – (2 v – u ) = 2(4 x – 3 u )
5) Dados os pontos A(–1, 3); B(2, 5); C(3, –1) e O(0, 0), calcular:
a) AO − AB
→
→
b) OC − BC
→
→
c) 3BA − 4CB
→
→
6) Dados os vetores u = (2, –4); v = (–5, 1) e w = (–12, 6), determinar
a1 e a2 tais que:
→
w = a1 u + a2 v .
→
→
→
→
→
7) Dados os vetores u = (1, –1); v = (–3, 4) e w = (8, –6) calcular:
→
→
→
→
a) | u |
→
b) | v |
c) | w |
→
→
→
d) | u + v |
→
e) | 2 u – 2 v |
f) | w – 3 u |
→
→
→
g)
v
|v|
→
h)
u
|u|
→
8) Dado o vetor v = (3, –4) determinar seu versor e seu oposto.
→
→
OBS: versor de um vetor v é o vetor unitário paralelo a v de mesma
→
→
direção e sentido de v determinado por:
v
|v|
→
→
Vetor oposto ao vetor v é o vetor paralelo a v determinado por:
→
–
v
|v|
9) Determinar no eixo Ox um ponto P que seja eqüidistante dos pontos:
A (–1, –2) e B(5, –4).
→
10) Calcular os valores de a para que o vetor u = (a, –2) tenha módulo
igual a 4.
→
11) Determinar os valores de a para que o vetor u = (a,
unitário.
1
) seja
2
→
12) Dados os pontos A (2, –1) e B(–1,4) e os vetores u = (–1,3) e
→
v = (–2, –1) determine:
→
→
a) | u + v |
b) Distância entre A e B
c) Ponto médio de AB