F-128 – Física Geral I
Aula exploratória-10A
UNICAMP – IFGW
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Variáveis rotacionais
z
•  Cada ponto do corpo rígido executa um
movimento circular de raio r em torno do eixo.
Figura:
r
s
s=rθ (θ em radianos)
Δθ = θ2 − θ1
Deslocamento angular:
Velocidade angular (escalar) média: ω =
s
x
Δθ
Δt
zˆ≡ nˆ

Velocidade angular instantânea (vetor):
ω
Δθ dθ
ω = lim
nˆ = nˆ
Δt →0 Δt
dt

Deslocamento angular em torno de n̂ :
t2
θ (t2 ) − θ (t1 ) = ∫ω (t ) dt
t1
y
θ
r
y
θ (t )
x
θ (t +Δt )
Δθ (t )
Variáveis rotacionais
Aceleração angular



Δω = ω (t+Δt ) − ω (t)

 Δω
α=
Δt


Δω dω

α = lim
=
Δt → 0 Δt
dt
Variação da velocidade angular
Aceleração angular média
Aceleração angular instantânea

A aceleração angular instantânea é um vetor paralelo aω quando o
eixo de rotação é fixo!
t2




ω (t2 ) −ω (t1 ) = ∫α (t ) dt
Velocidade angular em função de α
t2
na direção fixa ( n̂ ): ω (t2 ) −ω (t1 ) = ∫α (t ) dt
t1
t1
Cinemática angular
Em capítulo anterior já estudamos o movimento circular uniforme.
Vamos estudar agora o
Movimento circular uniformemente acelerado
Dadas as condições iniciais:
t1 = 0 e t2 = t → θ (0) =θ 0 e ω (0) = ω0
Temos, para a constante:
1
2
ω(t ) =ω0 +α t ; θ (t ) = θ 0 +ω0 t + α t 2
ω 2 = ω02 +2α (θ −θ 0 )
Comparando com as variáveis do movimento linear:
θ (t ) ↔ x (t ); ω (t ) ↔ v (t ); α (t ) ↔ a (t )
Relação com as variáveis lineares
•  Posição:
s= r θ

α


 dv d   dω   dr
×r +ω ×
a = = (ω × r )==
dt dt
dt 
dt

  
at = α ×r = α r vˆ
r
θ
s


at
x̂

aN
(em módulo: at = α r)
     
a N = ω ×v = ω ×(ω ×r ) = − ω 2 r rˆ

 at

a
 N
  
ds dθ
•  Velocidade: v =
= r = rω ( v = ω × r )
dt
dt
•  Aceleração:
ẑ

ω
2
a
=
ω
r)
(em módulo: N
v
ŷ
Energia Cinética de Rotação
1
1
1
1
2
2
K = m1v1 + m2 v2 +.... mn vn2 =∑ mi vi2
2
2
2
2
1
1
K =∑ mi (ω ri ) 2 = ( ∑mi ri 2 )ω 2
2
2
2
Momento de inércia I: I = ∑mi ri
ou:
K=
1 2
Iω
2
(energia cinética de rotação)
∫
Distribuição contínua de massa: I = r 2 dm ,
⎧λ dl : em um fio
⎪
dm=⎨σ ds : em uma superfície
⎪⎩ρ dV : em um volume

vi
Teorema dos eixos paralelos
Se conhecermos o momento de inércia ICM de um corpo em relação
a um eixo que passa pelo seu centro de massa, podemos facilmente
determinar IO do corpo em relação a um eixo paralelo que passa por O.
De fato:
  
   
2
ri = ri′+h ⇒ ri = (ri′+h ) ⋅ (ri′+h )


2
2
2
′
⇒ ∑mi ri =∑mi ri +∑mi h +2h ⋅∑mi ri′
i
i
i
Mas:
i

mi ri
 ∑
 

i
h=
⇒ ∑mi ( ri − h ) = 0 ⇒ ∑mi ri′=0
i
∑mi i
o•

h

ri
dm

ri′
•CM
i
Então:
2
I O =∑mi ri = I CM + Mh 2 (teorema dos eixos paralelos)
i
Exercício 01
Uma roda, partindo do repouso, é acelerada de tal forma que sua
velocidade angular aumenta uniformemente para 180 rpm em 3 min.
Depois de girar com esta velocidade por algum tempo, a roda é freada
com desaceleração uniforme, levando 4 min para parar. O número total
de rotações é 1080. Quanto tempo, ao todo, a roda ficou girando?
Resp: 9,5 min
ω/2π (RPM)
Area = 1080 rotações
180
t (min)
0
3
3+Δt
Δt = 2,5min
7+Δt
Exercício 02
Um astronauta está sendo testado em uma centrífuga. A centrífuga
tem um raio de 10 m e, a partir do repouso, gira de acordo com a
equação θ(t) = 0,3t2, onde t está em segundos e θ em radianos.
Quando t = 5,0 s, quais são os módulos:
a) da velocidade angular;
b) da velocidade linear;
c) da aceleração tangencial;
d) da aceleração radial do astronauta?
Resp:
a ) 3,0 rad/s
b) 30 m/s
c) 6,0 m/s2
d ) 90 m/s2
Exercício 03
Uma barra uniforme de comprimento L e massa M pode girar
livremente através de um pino que está localizado em uma de suas
extremidades, como mostrado na figura abaixo. A barra está
inicialmente na posição horizontal quando é solta.
a) qual é a sua velocidade angular quando ela atingir a sua posição
mais baixa?
b) determine a velocidade linear no centro de massa e a velocidade
linear do ponto mais baixo da barra quando ela se encontra na
posição vertical. Despreze todos os atritos.
Resp:
a) ω =
b) v =
3g
L
3gL
4
v = 3gL
Exercício 04
Duas partículas, cada uma com massa m, são ligadas uma à outra
e ao eixo de rotação por duas barras leves, cada uma de comprimento
L e massa M, como mostrado na figura. O sistema gira em torno do
eixo de rotação com velocidade angular ω. Obtenha as expressões
algébricas para:
a) o momento de inércia do sistema em relação a O e
b) a energia cinética de rotação em torno de O.
(Observação: Use para a barra I CM = ML2 / 12)
I T = 5mL2 +
ML2 28ML2
8M ⎞
⎛
+
= L2 ⎜ 5m +
⎟
3
12
3 ⎠
⎝
1
1⎛
8 ⎞
K = Iω 2 = ⎜ 5m + M ⎟ L2 ω 2
2
2⎝
3 ⎠
Exercício 05 (Extra)
Calcule o momento de inércia de uma placa fina homogênea
retangular de lados a e b em torno de:
a) um eixo perpendicular passando pelo centro da placa.
b) um eixo paralelo ao lado de tamanho b da placa
Resp:
1
M (a 2 + b 2 )
12
a)
I=
b)
1
I = M a2
3