CADERNO DE ORIENTAÇÕES
UNIDADE DE APRENDIZAGEM –
CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS
CÁLCULO
VETORIAL
E
Sugestões de Problematização da UA:
- Quais são as aplicações das derivadas parciais nas ciências naturais e econômicas?
Produção de material multimídia sobre o tema.
- Em que podemos aplicar o cálculo vetorial
PRIMEIRA
SEMANA
CADERNO DE
ORIENTAÇÕES
Geometria Vetorial
Geometria Vetorial
Vamos começar pelos vetores no plano. Vetores representam
graficamente grandezas que tenham módulo, sentido e direção. O tema
serve como fundamento para uma série de aplicações em diversas áreas
do conhecimento.
Benvindo!
Definição:
Um vetor (geométrico) no plano R² é uma classe de objetos
matemáticos (segmentos) com a mesma direção, mesmo sentido e
mesmo módulo (intensidade).
A direção é a da reta que contém o segmento.
O sentido é dado pelo sentido do movimento.
O módulo é o comprimento do segmento.
Uma quarta característica de um vetor é formada por dois pares
ordenados: o ponto onde ele começa (origem) e um outro ponto onde
ele termina (extremidade) e as coordenadas do vetor são dadas pela
diferença entre as coordenadas da extremidade e as coordenadas da
origem.
Observação: Existe uma definição, não necessariamente geométrica,
muito mais ampla do conceito de vetor envolvendo uma gama variada
de objetos matemáticos como: matrizes, conjuntos, funções, soluções
de equações diferenciais, etc.
Outros conceitos básicos:
Vetores com mesmo módulo, sentido e direção
1
2
Comprimento de um vetor
O comprimento de um vetor é definido pela distância de P à Q, denotada por |P – Q| =
√(𝑎2 − 𝑎1 )2 + (𝑏2 − 𝑏1 )2
Ex: encontre o comprimento do vetor que vai dos pontos P(2, 2) a Q(7, 5)
Solução:
√(7 − 2)2 + (5 − 2)2 = √52 + 32 = √34
Componentes de um vetor
Seja v =→ , onde P = (a1b1) e Q = (a2b2), os componentes de v são as quantidades:
𝑃𝑄
a = a2 - a1 (componente x) e b = b2 - b1 (componente y)
Vetores equivalentes: dois vetores são equivalentes se têm os mesmos componentes.
Ex: Encontre os componentes de v1 = →
𝑃1𝑄1
e v2 = →
𝑃2𝑄2
e verifique se eles são equivalentes, onde
P1 = (3, 7), Q1 = (6, 5) e P2 = (- 1 , 4), Q1 = (2, 1)
Solução:
v1 = (6 - 3 , 5 – 7) = (3 , - 2 )
v2 = (2 – (- 1), ( 1 – 4) = (3 , - 3)
Os vetores não têm os mesmos componentes, logo não são equivalentes.
3
ÁLGEBRA VETORIAL
Vamos definir duas operações vetoriais básicas: adição vetorial e multiplicação por escalar.
Se v = (a, b) e w = (c, d) então:
(i) v + w = (a + c, b + d)
(ii) v – w = ( a – c , b – d)
(iii) 𝜆v = (𝜆a, 𝜆b) ((𝜆 pode ser definido como um número real qualquer)
(iv) v + 0 = 0 + v
e v=v
Graficamente:
4
Ex: Sejam v = (1, 4) e w = (3, 2) calcule v + w e 5v
v + w = ( 1 + 3, 4 + 2) = (4, 6)
5v = 5 (1, 4) = (5, 20)
5
Vetor unitário
Um vetor de comprimento 1 é chamado vetor unitário. Se v = (a, b) e é um vetor não nulo então o
1
vetor ev = ‖𝑣‖ 𝑣 é o vetor unitário apontando na direção e no sentido de v.
Ex: Encontre o vetor unitário na direção e sentido de v = (3, 5)
Solução:
‖𝑣‖ = √32 + 52 = √34 e ev =
1
√34
3
5
,
34
√
√34
𝑣=(
)
Aplicações
Atividade I
1. Encontre os componentes e o comprimento dos vetores 6(i + 9j) + 2 (i – 4j).
2 Encontre o vetor unitário ev onde v = (3, 4)
3 Dados os vetores u = 3 i - 5 j e v = i + j, determine o vetor 2 u - 2 v
4 Encontre o vetor de comprimento 2 fazendo um ângulo de 30º com o eixo x.
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Vetores em três dimensões
Os conceitos dos vetores no plano podem ser estendidos para três dimensões. Para indicar o plano xyz usamos a regra da mão
direita:
Distâncias entre dois pontos em R3
Sejam A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) dois pontos no espaço R3. A distância entre os pontos A e B é igual ao módulo do vetor AB, sendo
determinada por d = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 , onde
x = x2 - x1, y = y2 - y1 e z = z2 - z1.
Parametrização de uma reta
Apesar da similaridade das dos conceitos sobre vetores em duas e três dimensões aqui nos deparamos com uma diferença
crucial: uma reta em R3 não pode ser descrita como y = ax + b, pois uma equação linear descreve um plano e não uma reta em R 3.As retas
em R3 são descritas parametricamente. Considere um vetor no espaço. Este vetor determina uma direção no espaço, o que significa que
existem infinitas retas paralelas no espaço que têm a mesma direção deste vetor. No entanto, dado um ponto no espaço, existe uma única
reta passando por este ponto e que tem a mesma direção deste vetor.
Podemos definir a parametrização como
r(t) = (x0, y0,z0) + tv (a, b, c)
Com os componentes:
x = x0 + at ,
y = y0 + bt
z = z0 +ct
Exemplo:
Encontre uma parametrização da reta P 0 = (3, -1 , 4) de vetor diretor v = (2, 1, 7)
r(t) = (3, -1, 4) + t(2,1 , 7) = (3 +2t, -1 + t, 4 + 7t)
Equações paramétricas: x = 3 +2t, y = -1 + t, z = 4 + 7t
Combinações lineares
Em matemática uma combinação linear é uma expressão construída a partir de um conjunto de termos multiplicando-se cada um deles por
uma constante e somando os resultados (por exemplo, uma combinação linear de x e y seria uma expressão do tipo ax + by, em que a e b
são constantes).
Vetores unitários
O módulo ou comprimento do vetor v=(x,y,z) é definido por:
Um vetor unitário é o que tem o módulo (comprimento) igual a 1.
Exemplo: Existe um importante conjunto com três vetores unitários de R³.
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i = (1,0,0); j = (0,1,0); k = (0,0,1)
Estes três vetores formam a base canônica para o espaço R³, o que significa que todo vetor no espaço R³ pode ser escrito como
combinação linear dos vetores i, j e k, isto é, se v=(a,b,c), então:
v = (a,b,c) = a i + b j + c k
Para obter um versor de v, isto é, um vetor unitário com a mesma direção e sentido que um vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu
módulo, isto é:
u = v / |v|
Resumo:
A fórmula do ponto médio no espaço é idêntica à do ponto médio no plano, apenas tem em conta mais uma coordenada.
Sejam os pontos A e B :
e
Então as coordenadas do ponto médio do segmento [AB], são:
Na prática
Qualquer tipo de construção envolve a realização de diversos cálculos. Quanto maiores as estruturas, mais elaborados são os cálculos. Se
você participa de um projeto de engenharia que envolva construções, deve levar em consideração a atuação das diversas forças sobre a sua
obra, para definir que tipos de materiais podem resistir a elas e qual a posição que tais materiais devem ocupar na estrutura.
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Atividades
1 Calcule o comprimento do vetor v = {1, 3, 2}
2. Encontre uma parametrização vetorial da reta que passa por P = (1, 2, - 8), vetor diretor v = (2, 1, 3).
3. Calcule a combinação linear: -2(8, 11, 3) + 4(2,1, 1)
4. Encontre o vetor ew em que w = (4, - 2, - 1)
5. Sejam P = (2, 1, -1) e Q = (4,7, 7), encontre as coordenadas do ponto médio de PQ.
6 Prove a fórmula da distância entre pontos no espaço R3.
Respostas
1 √14
2. e) x = (1 + 2t), y = ( 2 + t), z = (-8 + 3t)
3. (-8, -18, -2)
4.(
4
,
−2
,
−1
√21 √21 √21
)
5. (3, 4, 3)
6. Trivial a cargo do leitor
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