ESTATÍSTICA
MÓDULO 3
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Índice
1. Medidas de Tendência Central .....................................3
2. A Média Aritmética Simples ( μ , x) ..................................3
3. A Média Aritmética Ponderada .....................................6
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Estatística – Módulo 3: Medidas de Tendência Central
1. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Quando estamos diante de um conjunto de dados, seja ele pequeno
ou grande, em geral buscamos medidas que possam ser usadas para indicar
um valor que tende a representar melhor aquele determinado conjunto de
números. E as medidas mais usadas neste sentido são as chamadas medidas
de tendência eventual, ou central, quais sejam: a média, a mediana e a
moda.
É preciso ter em mente que estes valores serão medidos de forma
distinta conforme tenhamos um grande conjunto de dados ou um pequeno
conjunto de dados. Também o cálculo destes valores irá ser afetado caso as
variáveis sejam discretas ou contínuas.
Neste módulo trataremos do cálculo destas estatísticas para
pequenos conjuntos de dados, que envolvam apenas o tratamento dos dados
em um rol.
2. A MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES ( μ , x)
A média aritmética é um dos valores mais representativos de um
conjunto de dados, e para alguns autores em estatística, a média seria a
medida mais importante a ser estudada nesta disciplina. Obtém-se o valor da
média aritmética dividindo-se o somatório dos valores do conjunto de dados
pelo número de valores total deste conjunto.
Assim, temos que:
n
média =
∑x
i =1
i
n
Para a população, calcula-se a média aritmética utilizando os
seguintes parâmetros:
N
μ=
∑ Xi
i =i
N
, onde
μ ⇒ média aritmética da população (parâmetro)
N ⇒ Total de observações da população (total da
população)
X I ⇒ Cada variável populacional
Para a amostra, calcula-se o valor médio utilizando-se os seguintes
parâmetros:
n
x=
∑x
i =1
n
i
, onde
x ⇒ média aritmética da amostra (estimativa)
n ⇒ número de dados da amostra
xi ⇒ cada variável da amostra
É preciso ter em mente, que embora estejamos destacando uma
diferença na notação utilizada para o cálculo da média aritmética em uma
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Estatística – Módulo 3: Medidas de Tendência Central
amostra e numa população, a expressão para o cálculo da média é A MESMA
tanto no cálculo da média de uma população quanto de uma amostra. Mas
era importante colocar o aluno a par de todas as notações utilizadas em
estatística, principalmente se houver interesse de maior aprofundamento no
assunto.
Vamos agora tomar um exemplo de média aritmética. Supondo um
conjunto de dados xi = {2,4,6,8,10,12} , onde N=6, teremos:
N
μ=
∑X
i =1
N
i
=
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12
=7
6
Para simplificar o nosso estudo, padronizaremos a notação para o
cálculo da média, e passaremos a utilizar sempre a notação utilizada para o
cálculo da média aritmética simples em conjuntos de dados amostrais, tal
qual o exemplo abaixo.
Tomemos uma amostra das notas das provas de matemática dos
estudantes da sétima série de uma grande escola de São Paulo xi , onde
xi = {87,42,64,58,90,90,85,63,47,74,100,94} e n=12, então teremos:
n
x=
∑x
i =1
n
i
=
87 + 42 + 64 + 58 + 90 + 90 + 85 + 63 + 47 + 74 + 100 + 94
= 74,5
12
A nota média na prova de matemática dos estudantes da sétima série
desta escola de São Paulo, por amostragem, é 74,5.
São as propriedades que a média aritmética simples possui que a
fazem a medida de tendência central mais usada e mais importante de todas.
São elas:
a)
Em um conjunto de dados, é sempre possível o cálculo da
média, independentemente de quais os elementos que
compõem esse conjunto de dados.
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Estatística – Módulo 3: Medidas de Tendência Central
b)
Em um determinado conjunto de dados o valor da média
será único, e corresponderá a uma constante.
c)
Todos os valores de um determinado conjunto de dados
irão afetar a média. Se um valor se modifica, a média
aritmética também irá modificar-se.
d)
Somando-se ou subtraindo-se uma determinada constante
c a cada elemento de um determinado conjunto de dados
xi = x1 , x2 , x3 ,..., xn , a média aritmética ficará aumentada ou
diminuída desta constante c. Se, por outro lado,
multiplicarmos cada elemento deste conjunto de dados por
uma constante c, a nova média será também multiplicada
por esta constante c; se dividirmos cada elemento do
conjunto de dados por esta mesma constante c, a média
será dividida por c.
Assim, se temos um conjunto xi = x1 , x2 , x2 ,..., xn , a média será:
n
x1 =
∑x
1
i =1
n
, logo
n
n
∑ (c + x )
x2 =
i
i =1
⇒ x2 =
n
e)
∑x
i =1
n
i
+
nc
⇒ x2 = x1 + c
n
A soma algébrica dos desvios dos números de um conjunto
de dados em torno da média é zero. Isto pode ser
representado da seguinte forma:
∑x
i
−x=0
Por exemplo, se temos um conjunto de dados xi = 2,4,6,8,10 , onde
n=5, teremos que :
5
x=
∑x
i =1
5
i
=
2 + 4 + 6 + 8 + 10
= 6,
5
Se aplicarmos a fórmula acima, teremos:
∑ x − x = ∑ x − 6 = (2 − 6) + (4 − 6) + (6 − 6) + (8 − 6) + (10 − 6)
∑ x − x = −4 − 2 + 0 + 2 + 4
∑x − x = 0
i
i
i
i
5
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3. A MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
Num conjunto de dados onde cada elemento, ou cada observação
possua a mesma importância, o cálculo da média aritmética simples será
bastante representativo da população ou da amostra estudada. No entanto,
se desejo atribuir pesos distintos ou importâncias distintas aos elementos de
um conjunto de dados, a estatística a ser adotada é a média aritmética
ponderada, onde a cada valor xi deverá ser atribuído um determinado peso
wi . A expressão estatística para o cálculo da média ponderada é:
n
xp =
∑w x
i i
i =1
n
∑w
i
i =1
Suponhamos que um estudante tenha que efetuar uma série de 4
exames para obter sua média final para passar de ano. No entanto, cada
exame possui um peso diferente na composição desta média, conforme a
tabela abaixo:
Exame
1
2
3
4
Nota
68
89
45
100
Peso
0,30
0,20
0,40
0,10
1,00
n
xp =
∑w x
i =1
n
i i
∑w
i =1
xp =
, logo
i
(0,30)68 + (0,20)89 + (0,40)45 + 0,10(100)
0,30 + 0,20 + 0,40 + 0,10
x p = 20,4 + 17,8 + 18 + 10 = 66,2
A nota média será então 66,2, resultado diferente do que seria
obtido se utilizássemos a média aritmética simples.
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