PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática
CADERNO DE ATIVIDADES
UMA PROPOSTA PARA O ENSINO SIGINIFICATIVO DA TRIGONOMETRIA
Rialdo Luiz Rezende
Orientadora: Profª Drª Eliane Scheid Gazire
Belo Horizonte
2015
2
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO .................................................................................................................................... 142
ATIVIDADE 1 – TUTORIAL DO MANUSEIO DOS ESQUADROS, COMPASSO E RÉGUA .......... 146
ATIVIDADE 2 - TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ............................................. 150
CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULO RETÂNGULO COM O USO DE ESQUADROS, RÉGUA E
COMPASSO .............................................................................................................................................. 150
ATIVIDADE 3 – TUTORIAL DO MANUSEIO DO SOFTWARE GEOGEBRA ................................. 151
ATIVIDADE 4 - CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS RETÂNGULOS COM O USO DO GEOGEBRA153
ATIVIDADE 5 - ARCOS CÔNGRUOS e CICLO TRIGONOMÉTRICO .............................................. 155
CONSTRUINDO O SIGNIFICADO DE RADIANOS COM O USO DE RÉGUA E COMPASSO ...... 155
ATIVIDADE 7 - REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE COM O USO DE RÉGUA E
COMPASSO .............................................................................................................................................. 161
ATIVIDADE 8 - CONSTRUINDO O CICLO TRIGONOMÉTRICO COM O USO .............................. 164
DO GEOGEBRA E GENERALIZANDO A REUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE ...................... 164
ATIVIDADE 9 - CONSTRUINDO O GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO E COSSENO .......................... 167
ATIVIDADE 10 - CONSTRUINDO O GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE NO GEOGEBRA ...... 171
3
APRESENTAÇÃO
O presente produto é proveniente de uma pesquisa no Mestrado de Ensino de Ciências e Matemática da
PUC-Minas e tem como objetivo apresentar ao educador uma possibilidade complementar de intervenção
pedagógica no ensino da trigonometria com atividades preparadas, definidas e testadas sob uma linha
metodológica voltada para a construção do fazer matemático.
Este caderno é composto por dez atividades complementares que se destinam a melhorar a compreensão
do tema pelos alunos da Educação Básica e/ou Ensino Superior, abordando os seguintes tópicos: triângulo
retângulo, círculo trigonométrico e funções trigonométricas, envolvendo construções, interpretações e
fundamentações geométricas.
A consolidação de cada um desses conceitos poderá ocorrer ao final de dois momentos: no primeiro, eles
constroem o solicitado manipulando régua, compasso e esquadros, aqui designados como materiais
manipulativos, para, depois, responder perguntas, preencher tabelas e realizar cálculos. Num segundo
momento, mas abordando o mesmo conceito, empregam o software Geogebra e seguem preenchendo os
itens de cada ficha, baseando-se nas suas construções realizadas.
Visando oportunizar o confronto de ideias entre os estudantes, que requer uma organização concatenada e
estruturada do pensamento, sugerimos as duplas flexíveis de trabalho, tanto nas carteiras ou cadeiras de
sala de aula como no laboratório de informática. Assim, enquanto um aluno lê em voz alta o roteiro, o
outro manipula os instrumentos ou opera o computador. Porém, vale enfatizar que é desejável que eles se
alternem de funções, com o decorrer dos encontros, procurando dar condições a todos de manipularem.
Logo em seguida, ambos discutem e preenchem os itens.
Culturalmente, a maioria de nossos alunos está acostumada com aulas expositivas, cuja postura em sala
pouco extrapola a de assistir. Como reflexos desse modelo, percebem-se poucas interações entre os
colegas de sala e inclusive com o próprio professor sobre os assuntos, exercícios e tarefas propostas.
Comumente, essa prática dificulta a percepção do docente no processo de significações construídas pelos
estudantes, devido ao baixo nível de feedbacks, retardando os possíveis ajustes nas mediações
pedagógicas.
Portanto, procura-se, também, estimular as interações verbalizadas entre alunos e aluno-professor,
buscando criar um ambiente favorável de aprendizagem, livre de constrangimentos, quando externadas
proposições quaisquer, sejam elas simples, complexas, corretas, equivocadas ou infundadas. Portanto, o
4
estudantes devem ser estimulados a expor os seus pontos de vista e/ou escreverem suas conjecturas, seja
em papel ou no quadro, testando e esclarecendo-as verbalmente, de preferência.
Nesse formato apresentado, os aprendizes precisam ter a liberdade de se agruparem em duplas e, num
constante diálogo, confirmarem, rebaterem e/ou solicitarem explicações para responderem as atividades e
construírem o seu conhecimento, refinando-o através de um constante ir e vir ideológico.
Durante as atividades, exigem-se habilidades de organização concatenada do pensamento, assim como o
domínio de um vocabulário com palavras específicas de significados próprios, reafirmando que ler,
interpretar, conjecturar, propor, negar ou aceitar determinada tese ou hipótese é um labor enriquecedor
nesse processo de ensino e aprendizagem. Portanto, o trabalho em equipe pode favorecer a socialização e
a cooperação, atendendo aos diferentes níveis e ritmos de aprendizagem. (ZABALA, 1999, p.112).
Sugere-se, ainda, que na aplicação das atividades, cada dupla receba uma ficha contendo um roteiro de
construção, com questões a serem respondidas, cálculos a executar e/ou quadros para completar. O
professor, então, inicia o encontro com uma explicação dos objetivos almejados para aquela aula. No
decorrer, faz-se mister que ele transite acompanhando e mediando, ora esclarecendo certas dúvidas, ora
realizando observações sobre o que está sendo produzido, mas sempre respeitando o ritmo do grupo e
procurando estimular a autonomia dos alunos.
A prática investigativa também deverá ser exercitada por meio de observações, comparações, procurando
direcionar, levando os alunos a estabelecerem hipóteses e a proporem generalizações nas frequentes
discussões socializadas, que finalizam em sistematizações de todo o grupo. O professor poderá realizar
intervenções diretamente nas duplas, caso as dúvidas ou entraves sejam específicos, mas, numa situação
generalizada, o mediador poderá socializar os esclarecimentos necessários, procurando conduzir o grupo
para uma direção do caminho almejado.
As tarefas aqui apresentadas procuram resgatar os elementos subsunçores da vida escolar pregressa e no
cotidiano do sujeito, não-arbitrários e essenciais para o desenvolvimento cognitivo do pensamento
matemático aplicáveis à trigonometria. Dessa maneira, busca-se preencher as possíveis lacunas
pedagógicas existentes, para, em seguida, aprofundar no assunto, procurando respeitar a temporalidade e
a singularidade do sujeito, presentes no processo de aprendizado, oportunizando uma crescente
autonomia do saber fazer.
As atividades 1 e 3 são tutoriais, elaboradas para auxiliar e familiarizar os discentes ao manuseio dos
instrumentos e do software Geogebra. Para tanto, foram incluídos traçados com elementos básicos que os
preparam para tarefas seguintes.
5
Diante disso, acredita-se que os estudantes desenvolvam as respectivas competências e habilidades, de
acordo com o quadro 1, que esclarece os tópicos abordados, objetivos previstos e tempo estimado para
execução das atividades 2, 5, 7 e 9, que empregam material manipulativo, e das atividades 4, 6, 8 e 10,
que utilizam o software Geogebra.
Quadro 1 - Tópicos, objetivos e tempo previsto das atividades
Tópicos
Ativ.
Objetivos
Tempo previsto do
encontro e Mídias
utilizadas
Conhecer e manusear os instrumentos.
Traçar retas paralelas.
Traçar retas perpendiculares.
100 minutos.
Régua, compasso e
esquadros.
Conhecer a apresentação do Geogebra.
Manusear a partir de comandos básicos.
Familiarizar com o software.
100 minutos.
Software Geogebra.
2
5.
6.
7.
8.
100 minutos.
Régua, compasso e
esquadros.
4
9. Razões e proporções.
10. Semelhança de triângulos.
5
11. Medidas de arco central.
12. Unidades de medidas de arcos.
13. Linearização do arco.
Reconhecer um triângulo retângulo.
Identificar os elementos do triângulo
retângulo.
Montar razões trigonométricas.
Calcular as razões trigonométricas.
Reconhecer um triângulo retângulo.
Identificar os elementos do triângulo
retângulo.
Montar razões trigonométricas.
Calcular as razões trigonométricas.
Reconhecer triângulos semelhantes.
Relacionar diferentes unidades de medidas de
ângulo.
Compreender a representação de arcos em
circunferências de arcos distintos.
6
14. Expressão geral dos arcos.
7
15. Redução ao primeiro quadrante.
8
16. Calculo do seno e cosseno de um
ângulo agudo do triângulo retângulo
inscrito no círculo trigonométrico.
17. Representação do seno, cosseno e
tangente no plano cartesiano.
3
Tutoriais
1
1. Manual do material de desenho
geométrico.
2.
Paralelismo.
3.
Perpendicularismo.
4. Tutorial do software Geogebra.
9
Triângulo retângulo.
Razões trigonométricas.
Leitura de texto.
Interpretação de texto.
100 minutos
Software Geogebra
100 minutos
Régua, compasso e
esquadros.
Determinar uma expressão geral dos arcos.
100 minutos.
Software Geogebra.
Perceber o círculo trigonométrico como campo 100 minutos
de estudos dos triângulos retângulos em seus Régua, compasso e
quadrantes.
esquadros.
Generalizar expressões de redução ao primeiro
quadrante.
Reconhecer a equivalência de ângulos no ciclo
em quadrantes diferentes.
Generalizar expressões de redução ao primeiro
quadrante.
Representar a razão seno e cosseno e tangente
no círculo trigonométrico.
18. Construir o gráfico da função seno e Identificar o comportamento das funções seno
cosseno no plano cartesiano, a partir do e cosseno, representando-o algébrica e
círculo trigonométrico.
graficamente.
19. Análise do comportamento do
Familiarizar com o comportamento da função
gráfico da senoide e cossenoide.
seno e cosseno.
Identificar regularidade em situações
100 minutos.
Software Geogebra.
100 minutos
Régua, compasso e
esquadros.
6
10
semelhantes, relacionando padrões a
algoritmos e propriedades a partir do
comportamento dos gráficos das funções
trigonométricas seno e cosseno.
100 minutos.
20. Construir o gráfico da função
Identificar o comportamento de valores
Software Geogebra.
tangente no plano cartesiano, a partir do trigonométricos com o da função tangente,
círculo trigonométrico.
representando-o algébrica e graficamente.
21. Análise do comportamento do
Familiarizar com o comportamento da função
gráfico da tangentoide, gerado a partir do tangente.
círculo trigonométrico.
Identificar padrões de regularidade em
situações gráficas, percebendo algoritmos e
propriedades da função trigonométrica
tangente e como são suas representações.
7
ATIVIDADE 1 – TUTORIAL DO MANUSEIO DOS ESQUADROS, COMPASSO E RÉGUA
MATERIAIS Régua flexível transparente, esquadro isósceles, esquadro escaleno, compasso, folha
A4, lápis, lapiseira com grafite, lápis de cor e borracha.
Essa atividade visa à familiarização mínima necessária com os instrumentos de desenho para as
construções futuras. A precisão necessária será atingida quando alguns cuidados forem atendidos como
medidas corretas, posicionamento das mãos em cada situação e utilização de instrumentos adequados
para cada ocasião.
CONHECENDO OS INSTRUMENTOS
ESQUADRO ESCALENO – Trata-se de um triângulo escaleno, onde dois ângulos internos são agudos
com medidas de 30o e 60o. O terceiro ângulo é reto (90o), conforme mostra a figura abaixo.
ESQUADRO ISÓSCELES - Trata-se de um triângulo isósceles, onde dois ângulos internos são agudos
com medidas iguais de 45o. O terceiro ângulo é reto (90o), conforme mostra a figura abaixo.
POSIÇÃO DA FOLHA – A folha de A4 pode estar em uma das duas posições, retrato (em pé)
ou paisagem deitada.
COMPASSO – Instrumento utilizado para traçar arcos e circunferências, com medidas de raios diversos.
Formado por duas hastes, com grafite em uma das pontas e ponta seca na outra. A ponta seca é metálica e
serve para fixar o compasso na folha, evitando que o mesmo escorregue no momento de traçar.
LÁPIS OU LAPISEIRA – Esses instrumentos são bem conhecidos por todos. Porém, poucos sabem que
a dureza do grafite recebe uma classificação de 2H, H, HB, B, 2B e outros. Essa categorização parte do
mais duro- 2H, para os mais macios 2B, como mostra a figura abaixo. É importante lembrar que o lápis
ou lapiseira precisam ficar levemente inclinados, ao traçar, por conta do conforto e da precisão no
desenho.
8
TRAÇANDO ELEMENTOS BÁSICOS
TRAÇANDO UMA RETA HORIZONTAL – Para o traçado dessa reta, observe as imagens abaixo e
siga as instruções. Com a folha A4 na posição paisagem, alinhe o menor lado do esquadro escaleno com a
borda esquerda da folha e com o outro lado do esquadro, obtenha uma linha horizontal imaginária no
centro da folha. Agora incline o lápis, confortavelmente e trace a horizontal da esquerda para direita.
TRAÇANDO UMA RETA VERTICAL - Na mesma folha A4 que você utilizou para traçar a reta
horizontal, na posição paisagem, alinhe o menor lado do esquadro escaleno, com a borda superior da folha.
Com o outro lado do esquadro, obtenha uma linha vertical imaginária no centro da folha. Trace a vertical de
cima para baixo.
TRAÇANDO RETAS PARALELAS – Alinhe o lado do esquadro escaleno na reta horizontal da folha A4
que você já traçou, obtendo o outro lado do esquadro na posição vertical. Apoie o maior lado do esquadro
isósceles naquele lado que está na vertical. Firme o esquadro isósceles e deslize o escaleno para a posição de
9
interesse e trace a paralela. Sem soltar o esquadro isósceles, reposicione o escaleno e trace novas retas
paralelas. Observe as imagens para facilitar o manuseio.
TRAÇANDO UMA RETA PERPENDICULAR – Com o esquadro isósceles, alinhe um dos lados iguais
na reta vertical que você já traçou. Assim, o outro lado estará na posição horizontal, onde você apoiará o
maior lado do esquadro escaleno. Firme o esquadro escaleno (servindo de apoio), deslize o isósceles para a
posição de interesse, e trace qualquer reta perpendicular. Sem soltar o esquadro escaleno, reposicione o
isósceles e trace novas retas perpendiculares. As imagens ajudaram no manuseio.
10
TRAÇANDO CIRCUNFERÊNCIAS E ARCOS – Marque um ponto no centro de uma folha A4. Abra as
hastes do compasso com uma abertura de raio qualquer. Pegue no apoio do compasso, coloque a ponta seca
no ponto marcado, e levemente inclinado, rode-o traçando a circunferência ou arco desejado.
11
ATIVIDADE 2 - TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULO RETÂNGULO COM O USO DE ESQUADROS, RÉGUA E
COMPASSO
MATERIAIS – Folha A4, régua flexível transparente, esquadros isósceles e escaleno, compasso, lápis e
borracha.
ROTEIRO DE CONSTRUÇÃO
Siga os passos abaixo, na sequência em que são apresentados:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
No centro da folha A4, em posição retrato, trace um segmento horizontal AB de 10 cm;
Encontre o ponto médio M do segmento AB;
Coloque a ponta seca do compasso no ponto M, abra a haste grafitada até A e trace a
semicircunferência AB;
Em qualquer local do arco AB, marque um ponto C;
Trace os segmentos AC e BC obtendo o triângulo ABC;
Nomeie os ângulos α = CÂB, β = ABC e θ = ACB.
Nomeie o lado “a” como oposto ao ângulo α, o lado “b” oposto ao ângulo β e o lado “c” como
oposto ao θ;
A partir de sua construção, responda as questões seguintes:
ITENS
a) Como é classificado o triângulo ABC quanto aos ângulos? Por quê?
b) Os seus lados recebem nomes especiais? Quais?
c) Qual é a soma dos ângulos α e β?
d) Como você fez para descobrir a soma do item anterior?
e) De uma maneira geral, como se calcula seno, cosseno e tangente de um ângulo, em um triângulo
retângulo?
f) Complete corretamente a tabela a seguir utilizando o triângulo que você construiu.
OBSERVAÇÃO - A partir das razões trigonométricas obtidas, encontre as medidas dos ângulos.
Comprimento do lado “a” (cm)
Comprimento do lado “b” (cm)
Seno α =
Seno β =
Cosseno α =
Cosseno β =
Tangente α =
Tangente β =
Medida do Ângulo α =
Medida do Ângulo β =
12
ATIVIDADE 3 – TUTORIAL DO MANUSEIO DO SOFTWARE GEOGEBRA
O programa Geogebra é um software de Matemática dinâmica, gratuito, que permite construções
geométricas, auxiliando no processo de ensino e aprendizagem de Matemática. Pode ser instalado em várias
plataformas (Windons, Mac, Linux e outros). Também há a possibilidade de manuseá-lo diretamente online, quando conectado à internet.
Clicando no ícone do programa Geogebra
, ele abrirá e aparecerá a primeira tela representada pela
figura 1. Observe as escritas em vermelho como barra de menu, barra de ícones, janela de álgebra, eixos
ortogonais e barra de entrada.
Figura 1
Na barra de ícones, há vários ícones e em cada um deles existe uma seta, que está na parte inferior direta,
como mostra a figura 2.
Figura 2
Quando você clicar nessa seta, vários outros ícones internos abrirão, conforme a figura 3. Na caixa diálogo,
em cada ícone selecionado, aparecerá o comando a ser realizado na área de trabalho.
13
Figura 3
A visualização da tela pode ficar mais confortável para você. Para isso, selecione o ícone deslocar eixos ou
ampliar (observe a figura 4) ou com o scroll do mouse (figura 5) ajuste a tela.
Figura 4
Figura 5
14
ATIVIDADE 4 - CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS RETÂNGULOS COM O USO DO
GEOGEBRA
ROTEIRO DE CONSTRUÇÃO
Siga os passos abaixo:
1.
Abra o programa;
2.
Na barra de entrada (parte inferior esquerda da tela), entre com o ponto A, digitando o seguinte
comando: A= (0,0). Agora, aperte a tecla enter e observe que aparecerá o ponto A sobre o eixo
horizontal;
3.
Da mesma forma que anteriormente descrito, entre com o ponto B= (10,0);
4.
Agora entre com o ponto C= (10,3);
5.
Selecione o ícone ponto médio
6.
Repetindo a etapa anterior, encontre o ponto E, médio de BD;
7.
Localize o ícone: segmento definido por dois pontos
e encontre D, ponto médio de AB;
, trace os segmentos AB, BC e AC. No final,
você terá construído o triângulo ABC.
8.
Localize o ícone: retas perpendiculares
e trace duas perpendiculares ao segmento AB, sendo uma
passando por D e outra por E;
9.
Com a ferramenta: ponto de intersecção entre objetos
, identifique o encontro entre a reta
perpendicular que passa por E e o segmento AC, obtendo o ponto F;
10.
Com a mesma ferramenta: ponto de intersecção entre objetos
, identifique o encontro entre a reta
perpendicular que passa por D e o segmento AC, obtendo o ponto G sobre AC;
11.
Agora, selecione o ícone: medida de comprimento
, e identifique as medidas de todos os lados dos
triângulos ABC, AEF e ADG e a medida do ângulo Â. Observe que as medidas informadas pelo
programa estão em centímetros;
12.
Selecione a ferramenta: ângulo
, e encontre a medida do ângulo BAC, clicando nos pontos B, A e
C, na seguinte sequência: primeiro no B, depois no A e, por último, no C. Observe que aparecerá um
ângulo α, com a medida em graus.
Agora com a construção que você fez no Geogebra, complete a tabela abaixo corretamente.
15
Triângulo
Triângulo ABC
Triângulo AEF
Triângulo ADG
Medida do cateto
menor
Medida do cateto
maior
Medida da
hipotenusa
Seno A =
Seno A =
Seno A =
Cosseno A =
Cosseno A =
Cosseno A =
Tangente A =
Tangente A =
Tangente A =
Medida do Ângulo A
Medida do Ângulo A
Medida do Ângulo A
16
ATIVIDADE 5 - ARCOS CÔNGRUOS e CICLO TRIGONOMÉTRICO
CONSTRUINDO O SIGNIFICADO DE RADIANOS COM O USO DE RÉGUA E COMPASSO
MATERIAIS
Régua flexível, esquadros isósceles e escaleno, compasso, folha A3, lápis, transferidor e
borracha.
Para construirmos esse conceito, temos que entender, primeiramente, o que é linearizar o ciclo
trigonométrico. Observe a figura 1 e perceba que o processo consiste em tornar a curva da circunferência
uma reta. O zero (0) da reta real e a origem do ciclo coincidem e é necessário “rolar” o ciclo sobre a reta
real. E assim faremos em nossa atividade seguinte, nos orientando pelos passos do roteiro de construção.
Porém, como reflexão fica pergunta: Qual a necessidade de linearizar o ciclo trigonométrico?
Figura 1
ROTEIRO DE CONSTRUÇÃO
Siga os passos abaixo:
1.
Coloque a folha A3 na posição paisagem. Na parte superior esquerda, trace um sistema de eixos
ortogonais, em que cada eixo terá aproximadamente 24 cm, e que a origem esteja 12 cm da duas
bordas da folha;
2.
Nomeie a origem do sistema cartesiano como ponto O;
3.
Considerando o centímetro como unidade de medida, marque com a régua o ponto A de coordenada
(10,0);
4.
Trace com o compasso uma circunferência centrada em O, partindo de A, no sentido anti-horário.
Chamaremos essa circunferência de círculo trigonométrico;
5.
No sistema cartesiano, marque os pontos B (0,10), C (-10,0) e D (0,-10). Observe que teremos a
circunferência dividida em quatro partes, chamados de quadrantes;
17
6.
Assumindo como o sentido positivo dos arcos o anti-horário e como a origem do ciclo
trigonométrico o ponto A, nomeie os quadrantes na sequência como 1º, 2º, 3º e 4º;
7.
Com a medida do segmento OA, centre o compasso em A, gire-o no sentido anti-horário,
encontrando o círculo trigonométrico no 1º quadrante. Marque somente esse encontro e nomeie-o
como ponto E;
8.
Sem alterar a abertura do compasso, repita o processo centrando-o em E e obtendo o ponto “F” no
segundo quadrante;
9.
Novamente, com a mesma abertura do compasso, repita o processo centrando-o em F e obtendo o
ponto G que coincidirá com C;
10.
Escolha um local abaixo do círculo trigonométrico que você construiu e trace uma reta horizontal - h.
Em sua extremidade esquerda, marque um ponto e nomeio-o de Ah, como o ponto A da reta h;
11.
Iniciaremos, então, agora, o processo de linearização do círculo trigonométrico. Posicione a régua
flexível SOBRE o círculo, meça o comprimento do arco AE e transfira-o para a reta h, iniciando a
medida a partir do ponto Ah e finalizando na reta, com o ponto Eh da reta;
12.
Obtenha a medida do arco EF e transfira-o para a reta h, iniciando a transferência de medida a partir
do ponto Eh e finalizando em Fh;
13.
Obtenha a medida do arco FG e transfira-o para a reta h, iniciando a transferência de medida a partir
do ponto Fh e finalizando em Gh;
14.
Com a régua flexível, obtenha o comprimento do raio e transfira-o para o círculo trigonométrico.
Essa transferência de medida será SOBRE o círculo, e iniciará pelo ponto A (origem do ciclo) e
finalizará no ponto H, que estará no primeiro quadrante do círculo;
15.
Repita a transferência da medida iniciando por H e obtendo o ponto I;
16.
Repita a transferência da medida iniciando por I e obtendo o ponto J;
17.
Num processo semelhante ao passo 11, posicione a régua flexível SOBRE o círculo, transferindo a
medida do arco AH para a reta h, a partir do ponto Ah e marque o ponto Hh na reta;
18.
Repita a transferência a partir de Hh, obtendo o ponto Ih na reta;
19.
Repita a transferência a partir de Ih, obtendo o ponto Jh na reta.
A partir dessas construções, investigue, pesquise e responda os questionamentos seguintes:
18
ITENS
1.
Pesquise o que é um radiano?
2.
Complete a tabela corretamente
Arcos
Medida em radianos
AH
AI
AJ
3.
Com o raio do círculo trigonométrico que você construiu, calcule o comprimento dos arcos em
centímetros e sua medida em radianos.
Arcos
Comprimento dos arcos
Medida em radianos
AB
AC
AA
4.
Utilizando o transferidor, complete a tabela com as medidas dos arcos pedidos:
Arcos
AE
AB
AF
AC
AD
5.
Medida em Graus
Medida em radianos
Complete a tabela abaixo. Na coluna central, complete entre quais pontos do ciclo está cada medida
de arco em radiano e na coluna da direita, informe a equivalência da medida do arco em graus,
mostrando as etapas do cálculo. Observe o exemplo:
Arco em
Radiano
Entre quais pontos do ciclo
trigonométrico está o arco?
Medida em Graus a
partir de A
0,5
AeH
28,66o
1,3
1,6
2,5
4,2
5,2
6.
Marque os locais da reta h, onde temos os primeiros quatro valores de radianos da tabela do item E.
7.
Agora responda: Qual a finalidade de linearizarmos o ciclo?
19
ATIVIDADE 6 – USANDO E GEOGEBRA PARA CONSOLIDAR O CONCEITO DE RADIANO
ROTEIRO DE CONSTRUÇÃO
Siga os passos abaixo:
1.
Abra o programa;
2.
Na barra de entrada, entre com o ponto O= (0,0);
3.
Entre com o ponto A= (1,0);
4.
Selecione a ferramenta: compasso
, e trace uma circunferência centrada em O, com o raio sendo
do segmento AO;
5.
No ícone: intersecção entre dois objetos
, marque a circunferência e o eixo das ordenadas
(vertical) obtendo os pontos B na parte positiva do eixo e C na parte negativa. Caso seja necessário,
renomeie os pontos, clicando sobre eles com o botão direito do mouse e selecionando a opção
renomear;
6.
Com o mesmo ícone: intersecção entre dois objetos
, encontre o ponto D, intersecção entre a
parte negativa do eixo das ordenadas e a circunferência (encontro da circunferência com o eixo das
abscissas);
7.
Caso apareça um ponto não mencionado na barra de ferramentas, selecione: exibir e janela de
álgebra. Nessa janela de álgebra, clique o círculo azul do ponto indesejado, então ele apagará da tela;
8.
Usando novamente a ferramenta: compasso, trace outra circunferência de raio AO centrada em A;
9.
Marque a intersecção entre essa circunferência e a primeira traçada, obtendo o ponto E no primeiro
quadrante;
10.
Clique com o botão direito do mouse, sobre essa última circunferência traçada, clique em
propriedades e mude sua cor, para cinza claro. Assim, teremos uma construção com visual mais
limpo e visualização menos carregada;
11.
Apague da tela o ponto do quarto quadrante, que surgiu dessa última intersecção e o círculo
trigonométrico;
12.
Usando novamente a ferramenta: compasso, trace outra circunferência de raio AO centrada em E;
13.
Marque a intersecção entre essa circunferência e a primeira traçada obtendo o ponto F, no segundo
quadrante;
14.
Altere a cor da circunferência que passa no ponto F, repetindo o passo 10;
15.
Usando novamente a ferramenta: compasso, trace outra circunferência de raio AO centrada em F;
20
16.
Marque a intersecção entre essa circunferência e a primeira traçada obtendo o ponto G, que
coincidirá com o ponto C do eixo das abscissas;
17.
Altere a cor da circunferência que passa no ponto G, repetindo o passo 10;
18.
Com a ferramenta: polígono
, trace o polígono OAE;
19.
Com a ferramenta: polígono
, trace o polígono OEF;
20.
Com a ferramenta: polígono
, trace o polígono OFG;
21.
Utilizando a ferramenta: medida do ângulo
, clique sequencialmente nos pontos A, O e E,
obtendo a medida o ângulo agudo AOE referido anteriormente;
22.
Repita o processo do passo 20, obtendo a medida dos ângulos internos dos três triângulos de vértice
em O. Esteja atento na sequência de cliques sobre os pontos, para obter o ângulo correto (o segundo
clique, deverá ser no vértice do ângulo).
23.
Você poderá alternar a medida do ângulo entre graus e radianos, abrindo a janela OPÇÕES;
avançado e unidade de medida de ângulo, escolhendo a unidade desejada. Agora, responda os itens.
ITENS
1.
Qual o raio do círculo trigonométrico que você construiu?
2.
Qual o comprimento desse círculo trigonométrico linearizado?
3.
Qual o comprimento do arco AC?
4.
Qual a medida, em radianos, do ângulo α, β e γ?
5.
Observando a figura 1 e sua construção, complete a tabela abaixo corretamente. Na coluna do centro,
informe o valor do arco com extremidade no ponto e com uma casa decimal, em radianos. Como a
extremidade do arco se encontrará em algum local da reta, na coluna da direita, escreva os extremos
do intervalo numérico, com uma casa decimal, onde se encontrará cada ponto do referido arco,
quando linearizarmos o círculo trigonométrico sobre o eixo das abscissas, coincidindo as origens.
Siga o exemplo:
21
Pontos
Valor do arco em radiano, a
partir da origem do ciclo, e
em seu sentido positivo.
Intervalo numérico, de
extremidades com intervalo
máximo de 0,1 u.m.
A (origem do ciclo)
0
0 – 0,1
E
1,05
1,0 – 1,1
B
F
G
C
D
A (volta inteira)
6.
Escolha um ponto qualquer do círculo trigonométrico. Em seguida, informe o arco côngruo para o
número de voltas pedido e a medida do arco. Por fim, escreva uma generalização para os arcos
côngruos do ângulo escolhido.
Ponto do ciclo
Número de voltas
Expressão dos arcos
côngruos
Medida do arco
(a partir da origem do ciclo e no
sentido positivo)
Medida do arco
0
1
2
“n”
Socialize com o grupo da sala seus resultados e veja como se generaliza uma expressão geral dos arcos.
22
ATIVIDADE 7 - REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE COM O USO DE RÉGUA E
COMPASSO
MATERIAIS
Régua flexível, transferidor, esquadros isósceles e escaleno, compasso, folha A3, lápis e
borracha.
ATENÇÃO - O retângulo inscrito no círculo a ser construído será mais preciso de acordo como seu rigor
nos traçados. Portanto, observe bem as fotos e siga os passos do tutorial ao traçar as retas paralelas
solicitadas.
TUTORIAL DO TRAÇADO DE RETAS PARALELAS
Alinhe o lado numerado do esquadro escaleno
maior lado do esquadro isósceles
com a reta que deseja traçar a paralela. Apoie o
no lado esquerdo do esquadro escaleno, permitindo o
deslocamento vertical e, assim, o traçado de qualquer paralela, conforme as figuras. Firme o esquadro
isósceles e deslize o escaleno para a posição de interesse e trace a paralela. Observe as imagens para facilitar
o manuseio dos instrumentos.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
23
ROTEIRO DE CONSTRUÇÃO
Siga os passos abaixo:
1.
Coloque a folha A3 na posição paisagem. Na parte superior esquerda, trace um sistema de eixos
ortogonais, onde a origem esteja a 12 cm das duas bordas (vertical e horizontal) e cada eixo com
aproximadamente 24 cm;
2.
Nomeie a origem do sistema cartesiano como ponto O;
3.
Considerando o DECÍMETRO como unidade de medida, marque com a régua o ponto A de
coordenada (1,0);
4.
Trace com o compasso, o círculo trigonométrico centrado em O e origem em A, no sentido antihorário;
5.
No sistema cartesiano, marque os pontos B (0,1), C (-1,0) e D (0,-1). Observe que teremos a
circunferência dividida em quatro partes, chamados de quadrantes;
6.
Assumindo como o sentido positivo dos arcos o anti-horário, e a origem do ciclo trigonométrico o
ponto A, nomeie os quadrantes na sequência como 1º, 2º, 3º e 4º;
7.
Com o transferidor, marque o ponto E sobre o círculo trigonométrico com abertura de 30º em relação
a origem A, no sentido positivo;
8.
Utilizando os esquadros, trace uma reta paralela ao eixo das ABSCISSAS partindo do ponto E,
chegando ao ciclo no 2º quadrante, no ponto F (observe o tutorial no início desta atividade);
9.
Nomeie o cruzamento do segmento EF com o eixo das ordenadas como ponto M;
10.
Com um processo semelhante à etapa 8, trace o segmento FG, paralelo ao eixo das ORDENADAS
partindo de F e tocando o círculo trigonométrico em G, no 3º quadrante;
11.
Nomeie o cruzamento do segmento FG com o eixo das abscissas como ponto N;
12.
Com um processo semelhante à etapa 8, trace uma reta paralela ao eixo das abscissas partindo do
ponto G, chegando no ciclo no ponto H, no 4º quadrante;
13.
Nomeie o cruzamento do segmento GH com o eixo das ordenadas como ponto R;
14.
Com um processo semelhante à etapa 10, trace o segmento HE, paralelo ao eixo das ordenadas
partindo de H e tocando o círculo trigonométrico em E, no 1º quadrante;
15.
Nomeie o cruzamento do segmento HE com o eixo das abscissas como ponto S.
OBSERVAÇÃO – Se os procedimentos e traços foram precisos, ao traçar o segmento EG e FH eles
passaram pelo ponto O.
24
ITENS
1.
Em sua construção há 8 triângulos retângulos, onde as hipotenusas estão sobre os segmentos EG e
FH. Encontre os ângulos internos (em graus) de todos os triângulos retângulos, marque os valores em
sua construção e justifique seus cálculos.
2.
Em sua construção, com a origem do ciclo trigonométrico no ponto A e o sentido positivo dos arcos
o anti-horário, complete a tabela corretamente:
Arcos
Medida em Graus
Medida em radianos
AE
AB
AF
AC
AG
AS
AH
AA
3.
O ângulo AÔE tem a mesma medida de abertura que o arco AE? Por quê? Isso se repete para EOM e
a abertura do arco EB? Explique.
4.
Em sua construção, com a origem do ciclo trigonométrico no ponto A e o sentido positivo dos arcos,
complete a tabela corretamente:
Arcos
5.
Medida em graus
Arcos
AOE
EOB
AOB
BOC
BOF
FOC
AOF
FOC
AOC
COG
AOH
HOA
Medida do em graus
Soma da medida dos
dois ângulos
Generalize uma expressão de redução ao primeiro quadrante, para cada parte do círculo
trigonométrico:
2º Quadrante 3º Quadrante 4º Quadrante -
25
ATIVIDADE 8 - CONSTRUINDO O CICLO TRIGONOMÉTRICO COM O USO
DO GEOGEBRA E GENERALIZANDO A REUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE
ROTEIRO DE CONSTRUÇÃO
Siga os passos abaixo:
1.
Abra o programa Geogebra;
2.
No campo exibir, habilite a janela de álgebra, caso essa já esteja sendo visualizada;
3.
Entre com os pontos O= (0,0) e A= (1,0) na barra de comando;
4.
Aproxime a tela girando o scroll do mouse;
5.
Habilite o ícone: mover
e centralize os eixos, visualizando-os confortavelmente no centro da
tela. Se precisar de novos ajustes, proceda da mesma maneira;
6.
Com a ferramenta: compasso
centralize-a em O;
7.
Com o ícone: ponto
se for necessário;
8.
Selecione o ícone: segmento entre dois pontos
9.
Selecionando a ferramenta: ângulo
, clique no ponto O, abra a circunferência até o ponto A e
, crie B, clicando sobre o primeiro quadrante da circunferência. Renomei-o
e trace o segmento BO;
, clique nos pontos A, O e B nessa sequência. Caso a janela de
álgebra não esteja aparecendo o ângulo α, habilite-a na barra de ferramentas no campo: exibir;
10.
Com a ferramenta: girar em torno de um ponto
, clique em O e, depois, arraste B, girando o
segmento BO sobre a circunferência, dentro do primeiro quadrante;
11.
Com a ferramenta: arco circular
, clique em O e, depois, nos pontos A e B;
26
12.
Clique com o botão direito do mouse sobre o arco AB, selecione propriedade e, depois, altere a cor
para outra de sua preferência;
13.
Utilizando o ícone: reflexão com relação a uma reta
, clique em B e, logo em seguida, no eixo das
ordenadas, obtendo ponto B’ no segundo quadrante;
14.
Renomeie B’ como C, clicando com o lado direito do mouse sobre ele e selecionando renomear;
15.
Utilizando o ícone: reflexão com relação a uma reta
, clique em C e, logo em seguida, no eixo das
abscissas, obtendo ponto C’ no terceiro quadrante;
16.
Renomeie C’ para D;
17.
Reflita D, em relação ao eixo das ordenadas, obtenha D’ no quarto quadrante e renomeie para E.
18.
Trace os segmentos BC, CD, DE e EB;
19.
Com a ferramenta: intersecção entre objetos
, obtenha essa intersecção entre o segmento BC e o
eixo das ordenadas, nomeando esse ponto como J.
20.
Repita o processo do passo 18, criando o ponto N para o cruzamento do segmento EB com o eixo das
abscissas e renomei-o.
21.
Crie o segmento ON com a ferramenta: segmento de reta
, e nas propriedades altere sua cor,
dando um destaque para o segmento;
22.
Crie o segmento OJ com a ferramenta: segmento de reta
, e nas propriedades altere sua cor,
dando um destaque para o segmento;
23.
Com a ferramenta: girar em torno de um ponto
, clicando no ícone, depois no ponto O e
arrastando B, movimente o conjunto construído. Observe a janela de álgebra para as solicitações das
atividades seguintes.
ITENS
1.
Em sua construção, após rotacionar o ponto B, observe e generalize as expressões de redução ao
primeiro quadrante.
Quadrantes
Segundo
Terceiro
Quarto
Expressão
27
2.
Em sua construção, tomemos como origem do ciclo trigonométrico o ponto A e o sentido positivo.
Movimente o segmento BO e, observando a janela da álgebra, escolha vários ângulos, completando a
tabela corretamente, a partir do exemplo:
Ângulo α
10º
3.
No segundo
quadrante
170º
CORRESPONDENTE
No terceiro
quadrante
190º
No quarto
quadrante
350º
Rotacione o segmento BO, escolha três ângulos para cada quadrante, e complete a tabela
corretamente, observando janela de álgebra de sua construção. Como auxilio, siga o exemplo:
Quadrante Ângulo α
1º
Valor da
Comprimento do
Valor da
Comprimento do
abscissa de B
segmento ON
ordenada de B
segmento OJ
10º
2º
3º
4º
4.
Reposicione o ponto B no primeiro quadrante para montar a tabela abaixo. Informe a fórmula de
cálculo e segmento representativo em cada situação pedida.
Fórmula de cálculo
Seno de α
Cosseno de α
Expressão
matemática
Segmento
representativo
28
ATIVIDADE 9 - CONSTRUINDO O GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO E COSSENO
MATERIAIS
Régua flexível, esquadros isósceles e escaleno, transferidor, compasso, folha A3, lápis,
lápis de cor e borracha.
ROTEIRO DE CONSTRUÇÃO
1.
Na folha entregue pelo professor com o círculo trigonométrico e eixos já impressos, marque dois
pontos no primeiro e outros dois no segundo quadrante. Nomeie esses pontos como E, F, G e H, onde
o primeiro é o E, o segundo é o F e assim sucessivamente;
2.
Reflita ortogonalmente ao eixo das abscissas esses pontos para o terceiro e quarto quadrantes
seguindo a ordem: Ponto E gera o ponto L, Ponto F gera o ponto K, G gera J e H gera I;
3.
Nomeie o cruzamento dos segmentos com a reta numerada da seguinte maneira: EL - M, FK – N; GJ
– P e IH – Q;
4.
Utilizando a mesma régua flexível, inicie a linearização do ciclo, transferindo o comprimento do arco
AE (sobre a circunferência), para o eixo horizontal, onde o início dessa transferência será o ponto A
(origem dos eixos ortogonais) e o final o ponto E’;
5.
Continue a linearização transferindo o arco EF para o eixo, obtendo o ponto F’ e dando sequência até
chegar em A’, quando lineariza-se completamente o círculo;
6.
Meça o comprimento do segmento ME, e transfira essa medida vertical sobre o ponto E’; Prossiga da
seguinte forma: NF sobre F’; OB sobre B’; PG sobre G’; QH sobre H’, QI sobre I’; PJ sobre J’; OD
sobre D’; NK sobre K’, ML sobre L’;
7.
Partindo do ponto A, una as extremidades dos segmentos obtendo uma curva chamada senoide;
8.
No mesmo sistema de eixos ortogonais e ciclo, transfira o segmento OA, para o eixo vertical sobre
A;
9.
Repita o passo 8 para OM, porém, transferindo-o verticalmente sobre o ponto E’. Prossiga da
seguinte forma: ON sobre F’; OP sobre G’; OQ sobre H’; OC sobre C’, OQ sobre I’; OP sobre J’;
OD sobre D’; ON sobre K’, OM sobre L’ e OA sobre A’;
10.
Partindo da extremidade do segmento OM marcada sobre o eixo vertical em A, una as extremidades
dos segmentos obtendo uma curva chamada cossenoide. Agora responda as questões a seguir:
29
ITENS
1.
No ciclo que você recebeu há dois eixos, um vertical e outro horizontal. Qual deles REPRESENTA
o eixo dos senos? Qual deles REPRESENTA o eixo dos cossenos? Explique.
2.
Sobre a senoide, qual o máximo e mínimo valor que o seno admite , indicando os pontos (abscissas)
onde isso acontece? Agora qual o máximo e mínimo valor do cosseno, indicando o ponto onde isso
acontece?
SENOIDE
Valor
MÁXIMO
Ponto(s) do EIXO Ponto(s) do
onde o gráfico
CICLO
linearizado
atinge o valor
máximo
(no eixo
horizontal)
Abertura do
ARCO em
GRAU
(a partir da
origem)
SENOIDE
Valor
MÍNIMO
Ponto(s) do EIXO
onde o gráfico
atinge o valor
mínimo
Ponto(s) do
CICLO
linearizado
Abertura do
ARCO em
GRAU
(no eixo
horizontal)
(a partir da
origem)
30
COSSENOIDE
Valor
MÁXIMO
Ponto(s) do EIXO
onde o gráfico
atinge o valor
máximo
Ponto(s) do
CICLO
linearizado
Abertura do
ARCO em
GRAU
(no eixo
horizontal)
(a partir da
origem)
COSSENOIDE
Valor
MÍNIMO
3.
Ponto(s) do EIXO
onde o gráfico
atinge o valor
máximo
Ponto(s) do
CICLO
linearizado
Abertura do
ARCO em
GRAU
(no eixo
horizontal)
(a partir da
origem)
Complete a tabela com os pontos onde a curva senoide e cosssenoide CRUZAM O EIXO DA
ABSCISSA. Logo em seguida, informe o grau de abertura do ângulo que esse ponto faz a partir da
origem do ciclo.
SENÓIDE
Ponto
4.
Arco
COSSENÓIDE
Ponto
Arco
Observando sua construção, a origem do ciclo trigonométrico no ponto A, e o ciclo positivo do arco,
complete a tabela corretamente colocando se o seno e cosseno são POSITIVOS, NEGATIVOS OU
NULOS.
Arcos
AA
AE
AF
AB
AG
Quadrante
seno
cosseno
31
Arcos
Quadrante
seno
cosseno
AH
AC
AI
AJ
AD
AK
AL
AA
Generalizando o comportamento do sinal das funções seno e cosseno a partir do gráfico que você construiu:
QUADRANTE
SENO
COSSENO
I
II
III
IV
5.
Observando o ciclo trigonométrico e os gráficos que você construiu, complete o quadro
corretamente:
SENO
Quadrante
I
II
III
IV
Sinal
Crescente/Decrescente
COSSENO
Sinal
Crescente/Decrescente.
32
ATIVIDADE 10 - CONSTRUINDO O GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE NO GEOGEBRA
ROTEIRO DE CONSTRUÇÃO
1.
Abra o programa Geogebra;
2.
No ícone: ARQUIVO, abra o ATIV. 10 - tangente;
3.
Com a ferramenta: girar em torno de um ponto
4.
Gire o ponto B sobre a circunferência até obter α próximo de 90º;
5.
Se o ponto T não estiver traçando o rastro, habilite, clicando com o botão direito do mouse no ponto
T e clique em exibir rastro;
6.
Gire o ponto B sobre a circunferência para qualquer valor de α. Observe o gráfico gerado para
realizar as atividades propostas a seguir:
, clique em O e depois no ponto B;
ITENS
1.
Posicione o ponto B no primeiro quadrante. Observando a figura gerada, qual razão entre segmentos
do triângulo OAC que representa a tangente de α?
2.
Monte essa razão e mostre qual o segmento que equivale a tangente de α? Explique seu raciocínio.
3.
Para o ângulo α no PRIMEIRO quadrante, qual é o menor e maior valor da tangente?
4.
Para o ângulo α no SEGUNDO quadrante, qual é o menor e maior valor da tangente?
5.
Para o ângulo α no TERCEIRO quadrante, qual é o menor e maior valor da tangente?
6.
Para o ângulo α no QUARTO quadrante, qual é o menor e maior valor da tangente?
7.
Complete a tabela com os pontos do círculo trigonométrico, onde a curva tangentoide cruza o eixo
da abscissa. Logo em seguida, informe o grau de abertura do ângulo α.
PONTO
GRAUS
RAD
33
8.
Observando sua construção com a origem do ciclo trigonométrico no ponto A e sentido positivo do
arco, complete a tabela corretamente.
SINAL
COMPORTAMENTO
QUADRANTE POSITIVO/NEGATIVO CRESCENTE/DECRESCENTE
I
II
III
IV
9.
Quando a medida do arco AB se aproxima muito da medida do arco AD e AF, o que acontece com a
reta w?
10.
Quais os valores das tangentes dos ângulos de 90º e 270º?
11.
Para quais ângulos a tangente vale zero?
34
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ZABALA, Antoni. Como trabalhar os conteúdos procedimentais em aula. Trad. Ernani F. da Rosa. Porto
Alegre: Artmed, 1999.