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Lista de Exercícios (em Sala) - PIE 2º ano 2015
2. Complete os vértices do retângulo a seguir com
arcos trigonométricos de medidas x, 0 x 2π,
chamados arcos trigonométricos correspondentes.
Arcos trigonométricos
1. Complete os vértices dos retângulos a seguir
com arcos trigonométricos de medidas x,
0° x 360°, chamados arcos trigonométricos
correspondentes.
π–
π 5π
=
6
6
π+
π 7π
=
6
6
π
6
2π –
π 11π
=
6
6
a)
180° – 30° = 150°
30°
3. Complete, nas figuras, as medidas dos arcos
correspondentes.
180° + 30° = 210°
360° – 30° = 330°
a)
␲
b)
6
180° – 45° = 135°
180° + 45° = 225°
45°
O
360° – 45° = 315°
b)
␲
4
c)
180° – 60° = 120°
O
60°
c)
180° + 60° = 240°
␲
3
360° – 60° = 300°
O
d)
140°
180° + 40° = 220°
1
40°
360° – 40° = 320°
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Lista de Exercícios (em Sala) - PIE 2º ano 2015
Seno e cosseno de um
arco trigonométrico
Resolução de equações trigonométricas
Procedimento:
1. Resolva, no intervalo 0 x 2π, as equações:
a) sen x = 1
S= 2
1o) Equação sen x = k:
I) Marcamos no eixo das ordenadas o valor k.
II) Os pontos com ordenada k formam uma
reta paralela ao eixo das abscissas.
III) As soluções da equação estão nos pontos
de intersecção da reta com a circunferência
trigonométrica.
b) sen x = 0
S = {0, π}
Graficamente:
k
c) sen x =
2o) Equação cos x = k:
I) Marcamos no eixo das abscissas o valor k.
1
2
S = , 5
6 6
II) Os pontos com abscissa k formam uma
reta paralela ao eixo das ordenadas.
III) As soluções da equação estão nos pontos
de intersecção da reta com a circunferência
trigonométrica.
Graficamente:
d) sen x = − 3
2
S = 4 , 5 3 3
k
2
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Lista de Exercícios (em Sala) - PIE 2º ano 2015
2. Resolva, no intervalo 0 x 2π, as equações:
3. Resolva, no intervalo 0 x 2π, a equação:
a) cos x = −1
2sen2 x − sen x − 1 = 0
S = {π}
Inicialmente, resolvemos uma equação do 2o grau da
seguinte forma:
asen2 x + bsen x + c = 0,
em que a = 2, b = −1 e c = −1
Δ = b2 − 4ac ∴ Δ = (−1)2 − 4 ∙ 2 ∙ (−1) = 9
sen x = b ± Δ ∴
2a
sen x = 1
ou
b) cos x = 0
1±3
∴ sen x =
4
S = , 3
2 2
sen x = −
Na circunferência trigonométrica:
π
1 2
c) cos x =
1
2
7π
6
S = , 5
3 3
S = , 7 , 11
2 6
6
d) cos x = −
2
2
S = 3 , 5 4 4
3
–
1
2
11π
6
1
2
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2. Resolva, no intervalo 0 x 2π, a equação
cos2 x − 1 = sen x.
Esta é uma equação trigonométrica, pois x é um arco.
Seno e cosseno de um arco:
a relação fundamental
Como cos2 x = 1 − sen2 x, temos:
1 − sen2 x − 1 = sen x
sen2 x + sen x = 0
sen x (sen x + 1) = 0
Y
B (0,1)
sen x = 0
ou
sen x = −1
Na circunferência trigonométrica:
M
x
A’(–1, 0)
senx
1
O cos x
C
A(1,0)
X
B’(0, –1)
π
0
O
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo
retângulo OCM:
–1
(sen x)2 (cos x)2 1
ou, ainda,
sen2
x
cos2
x1
Observe que a igualdade também se verifica nos
pontos A (1, 0), B (0, 1), A’ (−1, 0) e B’ (0, −1).
Assim:
sen2 10° + cos2 10° = 1, sen2
+ cos2 = 1,
5
5
sen2 90° + cos2 90° = 1, etc.
3π
2
S = 0, π,
3
2
2sen2 x − cos x − 1 = 0.
Esta é uma equação trigonométrica, pois é um arco.
Como sen2 x = 1 − cos2 x, temos:
2(1 − cos2 x) − cos x − 1 = 0
2 − 2cos2 x − cos x − 1 = 0
2cos2 x + cos x − 1 = 0
Δ = 12 − 4 ∙ 2 ∙ (−1) = 9
cos x =
cos x = 1 ± 3
4
1. Sendo sen x =
1
, e x π, calcule cos x.
4
2
Como sen2 x + cos2 x = 1, temos:
1
4
2
+ cos2 x = 1 ∴ cos2 x = 1 −
∴ cos x = ±
ou
cos x =
−1
Na circunferência trigonométrica:
π
3
1
15
=
16 16
15
4
Como está no 2o quadrante, cos x 0.
π
–1
1
2
Assim,
15
cos x = −
4
5π
3
4
1
2
S
5
, ,
3
3
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4. Efetue as multiplicações:
Matrizes
a)
4
3
b)
1 0 2
4 1 3
Matrizes – Operações
1. Determine os valores de a, b e c, de modo que
se tenha:
6
2a
3a
=
a+b b–c
7
9
8
Temos o sistema
2a = 6
3a = 9
\
a+b=7
b–c=8
1
2
1
2
3
0
3 2
1 0
2 1
a) 4 1 ⋅ 1 3 =
3 2
2 0
4
⋅
1
+
1⋅2 4⋅3+1⋅0
=
3⋅1+2⋅2 3⋅3+2⋅0
6
12
=
7 9
b) Como os tipos são maiores, usaremos o esquema:
a=3
a=3
3+b=7 \ b=4
4 – c = 8 \ c = –4
1 0 2
4 1 3
3 2
1 0
2 1
Resposta: a = 3, b = 4 e c = –4.
2. Dadas as matrizes A =
1⋅3+0⋅1+2⋅2=7
1⋅2+0⋅0+2⋅1=4
4 ⋅ 3 + 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 = 19
4 ⋅ 2 + 1 ⋅ 0 + 3 ⋅ 1 = 11
4 5
3 –1
e B=
–1 3
2 1
obtenha a matriz C = A – B + 2 ⋅ I2.
C=
4 5 – 3 –1 + 2 1 0
–1 3
2 1
0 1
\ C=
4 5 – 3 –1 + 2 0
–1 3
2 1
0 2
\ C=
4–3+2
–1 – 2 + 0
\ C=
3 6
–3 4
5 – (–1) + 0
3–1+2
5. Resolva a equação matricial:
⎡2
⎢
⎣0
3⎡ ⎡x⎡ ⎡7⎡
⎢⎢ ⎢ = ⎢ ⎢
2⎣ ⎣y⎣ ⎣6⎣
⎡2
⎢
⎣0
3⎡ ⎡ x ⎡ ⎡ 7 ⎡
⎢⎢ ⎢ = ⎢ ⎢
2 ⎣ ⎣ y ⎣ ⎣6⎣
\
3. Dadas as matrizes
A=
⎡1
⎢
⎣3
⎡ –1 0 ⎡
2⎡
⎢ e B= ⎢
⎢
⎣ 3 2⎣
0⎣
obtenha a matriz X, de modo que 2X – A = B.
Como consequência das propriedades da adição e do
produto de um número por uma matriz, temos:
1
2X = A + B \ X = (A + B)
2
1
X = ⎛ 1 2 + –1 0 ⎞
2⎝ 3 0
3 2 ⎠
X=
7 4
19 11
1 0 2
⋅
\ X= 0 1
2 6 2
3 1
5
2x + 3y = 7
0 + 2y = 6 ⎯→ y = 3
2x + 3 . 3 = 7 \ 2x = –2 \ x = –1
⎡x⎡
⎡ –1 ⎡
Assim: ⎢ ⎢ = ⎢ ⎢
⎣y⎣
⎣ 3⎣
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Lista de Exercícios (em Sala) - PIE 2º ano 2015
Determinantes: regras práticas
(ordens 1, 2 e 3)
Sistemas lineares
1. Classifique e resolva o sistema escalonado:
x + 4y + z = 1
2y + z = 4
3z = 6
1. Calcule os determinantes:
a) –7
1 2
3 5
Da terceira equação, temos z = 2.
Substituindo z por 2 na segunda equação, vem:
2y + (2) = 4 \ y = 1
Substituindo y por 1 e z por 2 na primeira equação, resulta:
x + 4(1) + (2) = 1 \ x = –5
Logo, sistema possível e determinado;
3 5 –1
c) 1 2 1
0 1 2
a) –7 = 7
1 2
= 5 – 6 = –1
3 5
b)

S = {(–5, 1, 2)}.
2.

c)
3
5
–1 3
5
1
2
1
1
2
0
1
2
0
1





=

= 12 – 1 – 3 – 10 = – 2
1 3 –1
2. Resolva a equação: 2 0 x = –10.
1 2 4
3
–1
1
3
2
0
x
2
0 = –10
1
2
4
1
2




x + y = 20
⋅ (– 12)
12x + 20y = 360
x + y = 20
8y = 120

3x – 4 – 2x – 24 = – 10 \ x = 18
S = {18}
6
Do enunciado, temos:
123 123

1
Um estagiário trabalha 20 horas por semana, no total, em duas empresas: A e B. A empresa A paga R$ 12,00 por hora, e a B paga R$
20,00 por hora.
Certa semana, ele recebeu um total de R$
360,00. Se, nessa semana, ele trabalhou x horas na empresa A e y horas na empresa B, o
valor de |x – y| é igual a:
a) 7
b) 6
c) 9
➜ d) 10
e) 8
(FGV – SP)
+
b)
(II): y = 15
(I): x + 15 = 20 ∴ x = 5
Assim:
|x – y| = |5 – 15| = 10
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Princípios básicos da contagem
1. Existem 3 estradas ligando a cidade A à cidade
B, e 5 estradas ligando B a C. De quantos modos
uma pessoa pode viajar de A para C, passando
por B e utilizando 2 dessas 8 estradas?
Viajar de A até C, de acordo com o enunciado, implica
escolher um par ordenado (a, b) em que a é o percurso
AB, e b é o percurso BC. Para a existem 3 possibilidades,
e para b existem 5.
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos:
AB
BC
↓
↓
3
⋅
5
= 15
Resposta: 15 modos.
Permutações simples
1. Considere todos os anagramas da palavra
PENSADOR.
a) Quantos anagramas podemos formar?
b) Quantos anagramas começam pela letra P?
c) Quantos anagramas começam pelas letras
P, E, N, juntas, e nessa ordem?
d) Quantos anagramas possuem as letras P, E,
N, juntas, e nessa ordem?
e) Quantos anagramas possuem as letras P, E, N
juntas?
f) Quantos anagramas começam por vogal?
g) Quantos anagramas terminam por consoante?
h) Quantos anagramas começam por vogal e
terminam por consoante?
A palavra apresenta 8 letras distintas, sendo 3 vogais
e 5 consoantes.
a) Devemos dispor as 8 letras em 8 posições:
2. Um homem possui 7 ternos, 10 camisas e 3 pares
de sapatos. De quantos modos ele pode escolher
um terno, uma camisa e um par de sapatos?
Devemos contar as triplas ordenadas (a, b, c), em que
existem 7 possibilidades para a, 10 para b e 3 para c.
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos:
a
e
b
e
c
↓
↓
↓
7
⋅
10
⋅
3
= 210
Resposta: 210 modos.
3. Quantos números naturais pares de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7?
2
ou
4
ou
6
6
⋅
5
⋅
Resposta: 360 números.
7
4
⋅
3
= 360
1444444442444444443
P8 = 8! = 40.320
Resposta: 40.320 anagramas.
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Combinações simples
1. A diretoria de um centro acadêmico de uma
faculdade é constituída por 5 estudantes do
sexo masculino e 3 do sexo feminino. Determinequantascomissõesde5dessesestudantes
podem ser formadas de modo que cada uma
tenha 3 rapazes e 2 moças.
Para escolher os 3 rapazes, temos C5, 3 modos, e para
as 2 moças, temos C3, 2 modos.
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos:
C5, 3 ⋅ C3, 2 modos.
Em símbolos:
3 rapazes
14243
C5, 3
2. Seis amigos vão ao cinema e devem ocupar as
seis poltronas contíguas de uma determinada
fileira. Entre eles há o casal Daniel e Adriana.
a) De quantos modos eles podem ocupar os seis
lugares, sabendo que Daniel e Adriana devem
ficar juntos?
b) De quantos modos eles podem ocupar os seis
lugares, de modo que Daniel e Adriana, que
estão brigados, não fiquem juntos em hipótese nenhuma?
a) Devemos permutar o bloco formado por Daniel e Adriana com as 4 pessoas restantes e, também, trocar a
ordem dos dois dentro do bloco.
Assim:
5! ⋅ 2! = 240
Resposta: 240 modos.
b) Calculamos o número de permutações possíveis com
as 6 pessoas e descontamos aquelas em que Daniel
e Adriana estão juntos.
Assim:
6! – 5! ⋅ 2! = 720 – 240 = 480
Resposta: 480 modos.
8
=
e
⋅
2 moças
14243
C3, 2 =
5!
3!
5⋅4 3
⋅
=
⋅ = 30
3! ⋅ 2! 2! ⋅ 1!
2
1
Resposta: 30
2.Umquímicodispõede10tiposdesubstâncias.
De quantas maneiras ele poderá associar 4 dessas substâncias de modo que uma determinada
substância sempre esteja na escolha efetuada?
Se uma determinada substância deve estar sempre presente, resta ao químico escolher 3 substâncias entre as
9 restantes.
Assim:
9!
C9, 3 =
= 84
3! ⋅ 6!
Resposta: 84
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