3a Lista de Exercı́cios de Análise I
(1) Mostre que Q =
n
p
q /p, q
o
∈ Z, q 6= 0 com as operações
a
c
ad + bc
+ =
b
d
bd
a c
ac
. =
b d
bd
e
é um corpo.
(2) Mostre que C = {(a, b)/a, b ∈ R} com as operações
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
e
(a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc)
é um corpo, mas não é ordenado.
(3) Mostre que Z2 = {0, 1} com as operações
0 + 0 = 0,
0 + 1 = 1 + 0 = 1,
1 + 1 = 0,
0.0 = 0,
0.1 = 1.0 = 0,
1.1 = 1
é um corpo, mas não é ordenado.
(4) Sejam a ∈ Q, a 6= 0 e x ∈ R − Q. Prove que ax e a + x são irracionais. Dê
exemplo de dois números irracionais x e y tais que x+y e xy são racionais.
√
(5) Mostre que p, onde p > 0 é um número primo, não é um número racional.
(6) Sejam x, y, z ∈ R. Prove que:
a) Se x < y e y < z, então x < z.
b) Dados x, y ∈ R, ou x = y, ou x < y, ou y < z.
c) Se x < y, então x + z < y + z, ∀ z ∈ R.
d) Se x < y, então xz < yz, ∀ z ∈ R+ e xz > yz, ∀ (−z) ∈ R+ .
(7) Verifique se cada passo na solução das inequações abaixo está correto, justificando.
5x+3
a) 2x+1
> 2 =⇒ 5x + 3 > 4x + 2 =⇒ x > −1.
b)
2x2 +x
x2 +1
< 2 =⇒ 2x2 + x < 2x2 + 2 =⇒ x < 2.
(8) Sejam a, b, c, d ∈ R. Se 0 < a < b e 0 < c < d, então ac < bd.
(9) Se −5 < x < −1 e 1 < y < 2, então qual é o maior intervalo que contém
xy?
√
(10) Prove que se a, b ∈ R, a > 0 e b > 0, então ab ≤ a+b
2 .
(11) Sejam x, y ∈ R tais que 0 < x < y < 1. Prove que 0 < xy < x.
(12) Desigualdade de Bernoulli: Prove, por indução, que para todo número
real x ≥ −1 e ∀ n ∈ N tem-se (1 + x)n ≥ 1 + nx.
(13) Para todo x 6= 0, x ∈ R, prove que (1 + x)2n > 1 + 2nx.
Sugestão: Não use indução, escreva (1 + x)2n = (1 + 2x + x2 )n e use a
desigualdade de Bernoulli.
1