Sumário e Objectivos
Sumário: Perpendicularidade das Tensões Principais. Elipsóide de
Lamé. Tensões Octaédricas. Caso Particular do Estado Plano de
Tensão. Tensões Principais Secundárias. Circunferência ou Circulo de
Mohr.
Objectivos da Aula: Ser Capaz de proceder à Construção de Mohr
para estados planos. Comparar os resultados Analíticos com os
Resultados Gráficos.
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1
Helicóptero
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2
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3
Estrutura de um veículo
Automóvel
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4
Propagação de Fendas
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5
Perpendicularidade
das Tensões Principais
Admita-se que o sistema de eixos Oxyz é tal que uma das direcções
(por exemplo o eixo dos zz) é coincidente com uma das direcções principais,
por exemplo,
.Nestas condições as tensões tangenciais,
são
nulas e o sistema de equações que permite o cálculo das direcções principais é
tal que
0 ⎤⎧ l ⎫
⎡σxx −σ τxy
⎪ ⎪
⎢
⎥
0 ⎥ ⎨m⎬ = 0
⎢ τyx σyy −σ
⎪
⎪
⎢⎣ 0
⎥
0
n
−σ
σzz ⎦⎩ ⎭
Equação
característica
σ xx − σ
τ xy
=0
[σ zz − σ]
τ xy
σ yy − σ
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Soluções da Equação
Característica
σ xx − σ
τ xy
=0
[σ zz − σ]
τ xy
σ yy − σ
A equação é verificada se for
σzz − σ = 0 com
σxx − σ
τxy
τxy
≠0
−
σ
σyy
ou
σzz − σ ≠ 0 com
σxx − σ
τxy
τxy
=0
−
σ
σyy
No 1º caso a direcção principal correspondente é l=m=0 e n=1
No 2º caso tem de ser n=0, as outras tensões principais, σ1 e σ2
pertencem ao plano xy que é perpendicular a z
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Elipsóide de Lamé
No caso de se escolher um sistema de eixos coincidente com as
direcções principais, o tensor das tensões toma a forma
⎡σ1 0 0 ⎤
⎢0
⎥
0
σ
2
⎢
⎥
⎢⎣ 0 0 σ3⎥⎦
Numa faceta cuja normal tem cossenos directores,
{l,m,n}, as componentes do vector tensão, T, são
T1 = l σ1
T 2 = m σ2
ou
T 3 = n σ3
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l = T1
σ1
m = T2
σ2
n = T3
σ3
8
Elipsóide de Lamé
Tendo em conta que l + m + n = 1
2
2
2
Obtém-se
2
1
2
1
2
2
2
2
2
3
2
3
T + T + T =1
σ σ σ
e que
l = T1
σ1
m = T2
σ2
n = T3
σ3
Que corresponde à Equação de um Elipsóide no espaço
T1 , T 2 e T3 , o Elipsóide de Lamé
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Tensões Octaédricas
Considere-se que as tensões estão
representadas no sistema de
eixos principais, existem oito
planos cujas normais são
igualmente inclinadas em relação
ás direcções principais e que
contém as facetas do octaedro
representado na figura. As
facetas deste octaedro têm
cossenos directores iguais em
valor absoluto, no referencial
cartesiano coincidente com os
eixos principais. As tensões
normais que actuam nas faces
deste octaedro são as chamadas
Tensões Octaédricas.
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z≡3
y≡2
x≡1
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Tensões Octaédricas
Os cossenos directores das normais às facetas são iguais entre si e
verificam a igualdade l 2 + m 2 + n 2 = 1
l=±
1
m=±
3
1
3
n=±
1
3
As equações de Cauchy que permitem o cálculo do tensor das tensões
conhecido o versor da normal conduzem às tensões seguintes nas
facetas do Octaedro
Tx = l σ1 = ±
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σ1
3
Ty = m σ2 = ±
σ2
3
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Tz = n σ3 = ±
σ3
3
11
Tensões Octaédricas
T x = l σ1 = ±
σ1
3
T y = m σ2 = ±
σ2
3
T z = n σ3 = ±
σ3
3
A componente normal da tensão T , pode ser calculada considerando
o produto do transposto do vector T pelo versor da normal à faceta,
ou seja
2
2
2
σoct = l T x + m T y + n T z = l σ1 + m σ2 + n σ3 =
σ1 + σ2 + σ3 I1
=
3
3
A componente tangencial da tensão nas facetas do octaedro pode ser
calculada considerando a equação
τoct = Toct − σoct
2
2
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2
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Tensões Octaédricas
Tx = l σ1 = ±
σ1
3
Ty = m σ2 = ±
σ2
3
2
2
2
σoct = l T x + m T y + n T z = l σ1 + m σ2 + n σ3 =
2
oct
τ
Tz = n σ3 = ±
σ3
3
σ1 + σ2 + σ3 I1
=
3
3
2
2
= Toct
− σoct
2
1 2
I
1
2
2
τ = l σ + m σ + n σ − σ = (σ1 + σ2 + σ3 ) − =
9
3
2
2 2
1 2
I
1
2
(
)
= I1 − 2 I2 − = (I1 − 3 I22 )
9 9
3
2
oct
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2
2
1
2
2
2
2
2
3
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2
oct
13
Estado Plano de Tensão
σyy
y´
y
C
θ
F
D
τxy
σxx
E
A
B
x´
y
90º
y´
τx´y´
σx´x´
σxx
θ
x´
x
τxy
σ yy
θ
(a)
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x
(b)
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Estado Plano de Tensão
As Tensões no Sistema de Eixos Ox´y´ são
σ x´x´ = σ xx
1 + cos2θ
1 − cos2θ
+ σ yy
+ τ xysen2θ
2
2
τ x´y´ =
σ yy − σ xx
sen2θ + τ xycos2θ
2
σ y´y´ =
σ xx + σ yy σ xx − σ yy
−
cos2θ − τ xysen2θ
2
2
σxx + σyy = σx´x´ + σy´y´
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Tensões Principais-Estado
Plano de Tensão
σ xx − σ yy
d σ x´x´
2sen2θ + 2 τ xysen2θ = 0
=−
dθ
2
tan g2θ p =
τ xy
( σ xx − σ yy ) / 2
2
⎛ σ xx − σ yy ⎞
σ xx + σ yy
± ⎜
+ τ 2xy
( σ x´x´)max =
⎟
⎜
⎟
2
2
min
⎝
⎠
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Tensões Principais
Secundárias num plano
Considere-se um sistema de eixos ortogonal Oxyz e determinem-se as
equações de transformação para as componentes σx´x´, σyý´, σz´z´,
relativamente a um novo sistema de eixos coordenados Oxý´z´ obtidos a
partir dos primeiros por rotação θ em relação ao eixo dos zz.
z=z´
1
1
)
=
+
+
(
(σ xx − σ yy )cos2θ + τ xysen2θ
σ
σ x´x´
σ yy
xx
2
2
σ yy − σ xx
sen2θ + τ xycos2θ
τ x´y´ =
2
σ xx + σ yy σ xx − σ yy
−
cos2θ − τ xysen2θ
σ y´y´ =
2
2
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O=O´
x
θ
x´
y
17
Tensões Principais
Secundárias
Da equação que fornece a tensão de corte ou tangencial se se
considerar esta tensão nula obtém-se o ângulo θp que é tal
que:
2τ
tg 2θ p =
(σ
xy
xx
− σ yy )
Tendo em conta que tg2θp=tg(2θp+π) pode dizer-se que
existem duas direcções Ox´e Oy´ mutuamente ortogonais que
satisfazem a condição de ser τxy=0. Para estas duas direcções é
fácil verificar que ∂σx´x´/ ∂θ=0 e ∂σy´y´/ ∂θ=0 .As direcções
assim definidas dizem-se direcções principais secundárias.
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Tensões Principais
Secundárias
As Tensões normais correspondentes, Tensões Principais
Secundárias são:
σ xx + σ yy
+
σ1 =
2
σ xx + σ yy
−
σ2 =
2
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2
⎛ σ xx −σ yy ⎞
2
+
⎜⎜
⎟⎟ τ xy
2
⎝
⎠
2
⎛ σ xx − σ yy ⎞
2
+
⎜⎜
⎟⎟ τ xy
2
⎝
⎠
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19
Circulo de Mohr para o
Estado Plano de Tensão
σ x´x´ =
σ xx + σ yy σ xx − σ yy
+
cos2θ + τ xysen2θ
2
2
τ x´y´ =
σ yy − σ xx
sen2θ + τ xycos2θ
2
Estas Equações Podem ser Escritas com a Forma
σ xx + σ yy σ xx − σ yy
−
=
cos2θ + τ xysen2θ
σ x´x´
2
2
τ x´y´ = −
σ xx − σ yy
sen2θ + τ xycos2θ
2
Elevando ao quadrado as duas expressões, adicionando e simplificando,
obtém-se:
2
2
⎛
⎛ σ xx −σ yy ⎞
σ xx + σ yy ⎞
2
2
−
+
=
+
σ
τ
τ
x´x´
x´y´
xy
⎜
⎟
⎜
⎟
2 ⎠
2 ⎠
⎝
⎝
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20
Circulo de Mohr para o
Estado Plano de Tensão
Uma vez que as tensões no sistema de eixos Oxy são conhecidas e as
tensões no sistema de eixos Ox´y´ são desconhecidas e variáveis, a
equação anterior é equivalente à equação de um circulo no plano σ,τ.
2
2
⎛
⎛ σ xx −σ yy ⎞
σ xx + σ yy ⎞
2
−
+
=
+ τ 2xy
τ x´y´ ⎜
⎜ σ x´x´
⎟
⎟
2 ⎠
2 ⎠
⎝
⎝
onde
ou ( σ x´x´− a ) + τ 2x´y´ = b 2
2
a = OC =
σ xx + σ yy
2
⎛ σ xx − σ yy ⎞
b=R= ⎜
⎝
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2
2
2
⎟ + τ xy
⎠
21
Circulo de Mohr para o
Estado Plano de Tensão
τ
G
A( σ xx , τ xy )
A
O
σ xx + σ yy
a = OC =
2
2
σ2
2
⎟ +τ
⎠
F
σ1 σ
B
2
⎛ σ xx − σ yy ⎞
⎜⎜
⎟⎟ + τ2xy
2
⎝
⎠
2
xy
a = OC =
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C
B( σ yy ,− τ xy )
⎛ σxx −σ yy ⎞
b=R= ⎜
⎝
2 θp
E
σ xx + σ yy
2
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22
Mudança de Eixos usando
a Construção de Mohr
σ yy
x´
σ x´x´
y
τ x´y´
σ xx
τ xy
y´
σ xx
A
θ
θ
B ( σ x ´x´, τ x ´ y´)
x
O
C
2θp α
τ xy
σ xx + σ yy
2
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23
Círculos de Mohr 3D
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24
Tensões Normal numa
Faceta com normal n
⎡σ1 0 0 ⎤
⎢0
⎥ sendo
0
σ
σ3 ≥ σ2 ≥ σ1
2
⎢
⎥
⎢⎣ 0 0 σ3⎥⎦
Tensão T
Tensão Normal
2
2
2
T n = σ1 n x + σ2 n y + σ3 n z (1)
nx + n y + nz = 1
2
2
2
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T x = n x σ1
T y = n y σ2
T z = n z σ3
(3)
2 2
2 2
2 2
2
T = σ1 n x + σ 2 n y + σ 3 n z (2)
As equações (1),(2),(3) constituem um
sistema de equações por solução do
qual se pode determinar as
componentes de n
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25
Componentes de n –
normal à faceta
2
2
T n + T t − T n (σ2 + σ3) + σ2 σ3
n =
(σ2 − σ1)(σ3 − σ1)
2
2
T
n + T t − T n (σ3 + σ1) + σ3 σ1
2
ny =
(σ3 − σ2)(σ1 − σ2)
2
x
T n + T t − T n (σ1 + σ2) + σ1 σ2
n =
(σ1 − σ3)(σ2 − σ3)
2
z
2
2
[T n − 12 (σ2 + σ3)]2 + T 2t = R12
com
Considere-se a 1ª equação,
passando o denominador para o 1º
membro e adicionando a ambos os
2
membros da equação 14 (σ2 + σ3) ,
obtém-se
2
R1 =
1
4
(σ2 + σ3)2 + (σ1 − σ2 )(σ1 − σ3) n 2x − σ2 σ3
Procedendo de igual modo com as outras duas equações, obtém-se
[Tn − 12 (σ3 + σ1)]2 + T2t = R 22 com R 22 = 14 (σ3 + σ1)2 − (σ1 − σ2 )(σ2 − σ3) n 2y − σ3 σ1
[Tn − 12 (σ1+ σ2 )]2 + T2t = R 32
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com
R3 =
2
1
4
(σ1+ σ2 )2 + (σ1 − σ3)(σ2 − σ3) n 2z − σ2 σ1
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26
Círculos de Mohr
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27
Valores Limites dos Raios
1
2
( σ 2 − σ 3 ) ≤ R 1 ≤ [σ 1 −
1
2
( σ 2 + σ 3) ]
[σ 2 − 12 ( σ1 + σ 3) ] ≤ R 2 ≤ 12 ( σ1 − σ 3)
1
2
( σ1 − σ 2 ) ≤ R 3 ≤
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[12 ( σ1 + σ 2 ) − σ 3 ]
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28
Problemas Propostos Círculo de Mohr
1) Considere um estado de tensão plano cujas componentes das
tensões são:
⎡80 60 ⎤
σ
ij
= ⎢
⎣ 60
20 ⎥⎦
a)Desenhe um elemento de dimensões infinitesimais, dx e dy e
represente as tensões a actuarem no elemento.
b)Desenhe o círculo de Mohr correspondente ao estado de tensão
referido.
c)Indique no círculo de Mohr os pontos A e B que correspondem ao
estado de tensão que se obtém nas direcções x´ e y´ que fazem 40º
no sentido dos ponteiros do relógio com o sistema de eixos inicial.
d)Determine o tensor das tensões no sistema de eixos Ox´y´
e) Determine as tensões principais.
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Problemas Propostos Circulo de Mohr
2) Desenhe os círculos de Mohr para os estados de tensão seguintes:
σ
c)
τ=10MPa
a)
b)
σ
σ=100MPa
σ
σ
τ
Tracção simples
σ
d)
corte puro
σ
e)
σ
σ
σ
σ
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σ
σ
Tracção em duas
direcções
σ
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30
Problemas Propostos Circulo de Mohr
3) Considere o estado de tensão seguinte:
⎡100 −50 20 ⎤
⎢ −50 80 50 ⎥
⎢
⎥
⎢⎣ 20 50 40 ⎥⎦
a) Determine as Tensões Principais
b) Desenhe os círculos de Mohr
c) Determine as tensões tangenciais máximas
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Problemas Propostos Circulo de Mohr
3. Considere o Estado Plano de tensão e num ponto do sólido considere que o
tensor das tensões é
⎡ −50 30 ⎤
⎢ 30 80 ⎥ MPa
⎣
⎦
(2.0) a) Determine o tensor das tensões no ponto, num sistema de eixos que se
obtém rodando de 30º, em torno do eixo dos zz no sentido contrário ao dos ponteiros
do relógio, o sistema de eixos inicial.
(1.0) b) Determine as Tensões Principais e a tensão de corte máxima.
Utilize a Construção de Mohr
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Problemas Propostos Circulo de Mohr(4)
4. O campo de Tensões num corpo sólido elástico,
homogéneo e isotrópico é definido pelas seguintes
componentes:
σ yy = 120 2 ( z − y ) ,τ xy = τ xy = −100 2 z e τ xz = τ zx = 100 2 y
As restantes componentes do Tensor das Tensões são nulas.
a) Mostre que tal campo de Tensões está necessariamente
associado a um campo de forças de Volume uniforme e
paralelo ao eixo dos yy.
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Problemas Propostos Circulo de Mohr(4 cont)
b) Determine as Tensões principais nos pontos A(0,√2/2, -√2/2)
e B=(0 ,-√2/2, √2/2) , e as respectivas direcções.
c) Desenhe os círculos de Mohr correspondentes ao estado de
Tensão no ponto C =(0 ,√2/2, √2/2) .
d) À volta do ponto B, desenhe um paralelepípedo elementar de
faces paralelas aos planos cartesianos e, sobre cada uma das
faces represente as tensões correspondentes.
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